复合梯形法求定积分
复化梯形积分的自适应算法
复化梯形积分的自适应算法复合梯形积分是一种数值积分方法，用于计算积分形式为∫a^b f(x)dx的近似值。
它是复合模拟辛普森法的一种变体，它使用了梯形规则来估计函数的积分。
自适应算法是指积分算法自动地调整区间的长度和位置，以满足某些精度要求。
这使得自适应算法能够更有效地计算复杂函数的积分。
下面是一个简单的复合梯形积分自适应算法的步骤：1. 设置初始区间[a, b]和精度要求eps。
2. 计算区间[a, b]上的积分值I，使用复合梯形法。
3. 将区间[a, b]划分为两个子区间[a, c]和[c, b]，其中c=(a+b)/2。
4. 计算子区间[a, c]和[c, b]上的积分值I1和I2，使用复合梯形法。
5. 计算I的近似误差E=|I-(I1+I2)|。
6. 如果E>eps，则递归调用算法，计算子区间[a, c]和[c, b]的积分值。
否则，返回I作为积分的近似值。
这个算法可以递归地将区间划分为更小的子区间，直到达到精度要求为止。
它的时间复杂度是O(n)，其中的n是递归的次数，取决于函数的复杂度和所需的精度。
复合梯形积分自适应算法有一些优点，包括：•它可以自动地调整区间长度和位置，以满足精度要求。
•它可以有效计算复杂函数的积分。
•它的时间复杂度比较低，在大多数情况下都能满足实际需求。
但是，复合梯形积分自适应算法也有一些缺点，包括：•它需要较多的计算，因为必须多次计算函数的值。
•它可能在边界处产生较大的误差。
•它对初始区间的选择有一定的要求，如果选择的初始区间不合适，可能会导致较大的误差。
总的来说，复合梯形积分自适应算法是一种有效的数值积分方法，它可以有效计算复杂函数的积分。
但是，在实际应用中，还应该根据函数的特点和精度要求选择合适的积分算法。
MATLAB数值分析实验二(复合梯形、辛普森和龙贝格求积,以及二重积分计算等)
佛山科学技术学院实验报告课程名称_______________ 数值分析________________________实验项目_______________ 数值积分____________________专业班级机械工程姓名余红杰学号2111505010 指导教师陈剑成绩日期月日一、实验目的b1、理解如何在计算机上使用数值方法计算定积分 a f ""X的近似值；2、学会复合梯形、复合Simpson和龙贝格求积分公式的编程与应用。
3、探索二重积分.11 f （x, y）dxdy在矩形区域D = ｛（ x, y） | a _ x _ b, c _ y _ d｝的数值D积分方法。
二、实验要求（1）按照题目要求完成实验内容；（2）写出相应的Matlab程序；（3）给出实验结果（可以用表格展示实验结果）；（4）分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。
（5）写出实验报告。
三、实验步骤1、用不同数值方法计算积xln xdx =-- 0 9（1）取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两公式的精度。
（2）用龙贝格求积计算完成问题（1 ）。
2、给出一种求矩形区域上二重积分的复化求积方法，然后计算二重积分..e"y dxdy，其中积分区域D二｛0乞x岂1,0岂y乞1｝。
1.%lnt_t.m复化梯形：function F = Int_t(x1,x2,n)%复化梯形求积公式% x1,x2为积分起点和中点%分为n个区间，没选用步长可以防止区间数为非整数。
%样点矩阵及其函数值：x = lin space(x1,x2 ,n+1);y = f(x);m = len gth(x);%本题中用Matlab计算端点位置函数值为NaN,故化为零: y(1) = 0;y(m) = 0;%算岀区间长度，步长h：h = (x2 -x1)/n;a = [1 2*o nes(1,m-2) 1];%计算估计的积分值：F = h/2*sum(a.*y);%f.mfun cti on y = f(x)y = sqrt(x).*log(x);%run 11.mclc,clear;%分为10个区间，步长0.1的积分值：F = In t_t(0,1,10);F10 = F%分为100个区间F = In t_t(0,1,100);F100 = F%误差计算W10 = abs((-4/9)-F10);W100 = abs((-4/9)-F100);W = [W10 W100]%复化辛普森：%l nt_s.mfun cti on F = In t_s(x1,x2 ,n)%复化梯形求积公式% x1,x2区间，分为n个区间。
(精选)实验二 数值方法计算积分
实验二数值方法计算积分学号：姓名：指导教师：实验目的1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法；2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用；3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。
一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94.(1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？(2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。
二、实现实验1、流程图：下图是龙贝格算法框图：2、 算法：(1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h2∑-=11)](n k xk f ；(2) 复合辛普森公式：Sn=6h[f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1)2/1(n k x f ]；以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。
(3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式1、Sn=34T2n-31Tn 2、 Cn=1516S2n-151Sn3、 Rn=6364C2n-631Cn 从而实现算法。
3、 程序设计（1）、复合梯形法：function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));（2）、复合辛普森法：function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2));（3）龙贝格法：function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps)if(nargin==3) eps=1.0e-4;end; M=1; tol=10; k=0;T=zeros(1,1); h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));while tol>epsk=k+1;h=h/2;Q=0;for i=1:Mx=a+h*(2*i-1);Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;M=2*M;for j=1:kT(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1); endtol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j));endI=T(k+1,k+1);step=k;4、实验结果；（1）复合梯形法(2)、复合辛普森法结果：(3)龙贝格法结果四．总结由结果（1）、（2）可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即n 越大、h 越小时，积分精度越高。
复化求积公式
h[ 2
f ( x0 )
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
Tn
h 2
[
f
(
x0
)
n1
2
k 1
f ( xk )
f ( xn )]
复化梯形公式
计算方法
2.复化辛浦生公式
计算方法
在每个小区间[xk1, xk ]上应用辛浦生公式得：
xk
xk 1
则
f
b
( x)dx h[ f 6
计算方法
在 每 个 小 区 间[ xk1, xk ]上 应 用 梯 形 公 式 得 ：
xk xk 1
f ( x)dx
h 2
[
f
(
xk1
)
f ( xk )]
则
b
n
f (x)dx =
xk f (x)dx
a
k 1 xk1
n k 1
h[ f 2
(xk1)
f
(xk )]
计算方法
x0 x1 x2 x3
2
三、区间逐次分半求积法
计算方法
复化求积公式可有效提高计算精度，但对给定 的误差限，如何确定节点的个数，即[a,b]应多少等 份？由截断误差可以估计步长的取值情况，但需要 给出各阶导数的最大值，这往往是比较困难的，且 估计值往往偏大.
接下来，我们将考虑步长的更为实用的选取方 法.
计算方法
若用Tn及T2n分别表示将[a, b]n等分及2n等分的复化 梯形公式，则
f(x) 1 0.997 0.9896 0.976 0.95 0.936 0.908 0.877 0.841 3978 158 7267 8851 1556 8516 1925 4709
matlab梯形法求定积分例题
一、介绍在数值计算领域中，求解定积分是一个常见的问题。
定积分的求解可以通过多种方法，其中梯形法是一种常用的数值积分计算方法。
本文将以MATLAB为工具，通过一个具体的例题来介绍使用梯形法求解定积分的步骤和过程。
二、梯形法原理梯形法是一种利用梯形逼近曲线下面积的数值积分方法。
其原理是将积分区间分成若干小段，然后用每一小段上的函数值来逼近这一小段上的曲线下面积，最后将所有小段上的梯形面积相加得到整个积分的近似值。
三、MATLAB代码实现下面我们通过一个具体的例题来演示如何使用MATLAB来实现梯形法求解定积分。
假设我们要求解如下定积分：\[ \int_{0}^{1} 3x^2 dx \]我们定义被积函数，并选择积分区间及分段数。
在MATLAB中，可以通过以下代码来实现：```matlabf = (x) 3*x^2; 定义被积函数a = 0; 积分下限b = 1; 积分上限n = 100; 分段数```我们通过循环计算每一小段上的梯形面积，并将其相加得到定积分的近似值。
具体实现代码如下：```matlabh = (b - a) / n; 计算每一小段的长度x = a:h:b; 生成积分节点y = f(x); 计算积分节点上的函数值T = h * (sum(y) - (y(1) + y(end)) / 2); 使用梯形法计算定积分近似值```我们输出计算结果并进行比较：```matlabexact_value = integral(f, a, b); 精确值error = abs(exact_value - T); 误差fprintf('定积分的近似值为：f\n', T);fprintf('定积分的精确值为：f\n', exact_value);fprintf('计算误差为：f\n', error);```四、结果分析通过上述代码的计算，我们可以得到定积分的近似值以及与精确值的比较。
matlab复合梯形法求定积分
matlab复合梯形法求定积分
Matlab中的复合梯形法是一种求解定积分问题比较有效的方法。
它的基本思想是用一些梯
形的面积累加的方式来近似地求出积分。
具体来说，首先将定积分区间定义为[a,b]，则复合梯形法对这一区间进行划分，生成n个
子区间，每个子区间都可以由一组等距的端点构成，也就是x0, x1, x2,…, xn。
在每个子区
间中，假设被积函数y=f(x)的值分别为y0, y1, y2,…, yn，则复合梯形法的近似值可以用如
下公式表示：
I=∑i=0n[(x_{i+1}-x_i)/2][f(x_i)+f(x_{i+1})]
以上所述是Matlab中复合梯形法求解定积分的基本思想和步骤，总体流程是给定定积分，首先将区间划分为n个子区间，其每个子区间有一组等距的端点，然后用上面提到的公式
累加每个子区间在相应端点处的函数值，就可以得到最终的定积分结果。
它比一般的数值
积分方法收敛要快，计算结果也更精确，所以在很多定积分求解问题中仍然作为有效的计
算方法。
复合梯形公式求积分例题
复合梯形公式求积分例题复合梯形公式用于近似计算定积分。
它可以通过将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形法则进行计算，最终将这些小区间上的近似值相加得到最终的近似积分值。
以下是一个应用复合梯形公式求积分的例题：假设要求解定积分∫[0, 1] x^2 dx。
首先，选择将定积分区间[0, 1]等分为n个小区间。
假设n=4，则每个小区间长度为h=1/4=0.25。
接下来，在每个小区间上应用梯形法则进行计算。
对于每个小区间，我们选择左端点和右端点来构造近似的梯形，然后计算梯形的面积。
在第一个小区间[0, 0.25]上，左端点为x0=0，右端点为x1=0.25。
根据梯形面积公式，梯形的面积为(0.25-0) * [(0^2 + 0.25^2)/2] = 0.03125。
在第二个小区间[0.25, 0.5]上，左端点为x1=0.25，右端点为x2=0.5。
梯形的面积为(0.5-0.25) * [(0.25^2 + 0.5^2)/2] = 0.0625。
在第三个小区间[0.5, 0.75]上，左端点为x2=0.5，右端点为x3=0.75。
梯形的面积为(0.75-0.5) * [(0.5^2 + 0.75^2)/2] =0.140625。
在最后一个小区间[0.75, 1]上，左端点为x3=0.75，右端点为x4=1。
梯形的面积为(1-0.75) * [(0.75^2 + 1^2)/2] = 0.328125。
最后，将这些小区间上的梯形面积相加得到整个定积分的近似值：0.03125 + 0.0625 + 0.140625 + 0.328125 = 0.5625。
因此，定积分∫[0, 1] x^2 dx的近似值为0.5625。
需要注意的是，选择分割区间的数量n越大，近似值越接近实际积分值。
在实际应用中，我们通常会选择足够大的n来得到较为精确的近似值。
C语言__用六种方法求定积分
1. 描述问题利用①左矩形公式，②中矩形公式，③右矩形公式 ，④梯形公式，⑤simpson 公式，⑥Gauss 积分公式求解定积分。
2. 分析问题2.1定积分21.1定积分的定义定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。
即()0,,,y x a x b y f x ====所包围的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边梯形。
如下图：（图1）设一元函数()y f x =,在区间[],a b 内有定义。
将区间[],a b 分成n 个小区间[][][][]00112,,,,,......,i a x x x x x x b 。
设1i i i x x x -∆=-，取区间i x ∆中曲线上任意一点记做()i f ξ，作和式：()1lim n n i f i xi ξ→+∞=⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑ 若记λ为这些小区间中的最长者。
当0λ→时，若此和式的极限存在，则称这个和式是函数()f x 在区间[],a b 上的定积分。
记作：()ba f x dx ⎰其中称a 为积分下限，b 为积分上限，()f x 为被积函数，()f x dx 为被积式，∫ 为积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
21.2定积分的几何意义[1]它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a ，x=b 之间的各个部分面积的代数和。
在x 轴上方的面积取正号；在x 轴下方的面积取负号。
如图2.2言实现定积分计算的算法22.1利用复合梯形公式实现定积分的计算假设被积函数为()f x ，积分区间为[],a b ，把区间[],a b 等分成n 个小区间，各个区间的长度为h ，即()/h b a n =-，称之为“步长”。
根据定积分的定义及几何意义，定积分就是求函数()f x 在区间[],a b 中图线下包围的面积。
将积分区间n 等分，各子区间的面积近似等于梯形的面积，面积的计算运用梯形公式求解，再累加各区间的面积，所得的和近似等于被积函数的积分值，n 越大，所得结果越精确。
数值积分 程序代码
for i=1:1:(n-1)
x2=x2+h;
s2=s2+(log(1+x2))/(1+x2^2);
end
y=h*(z1+2*s2+z2)/2;
>> a=0;b=1;n=10;comtrapezoidal(a,b,n)
ans =
0.2965
>> a=0;b=1;nans =
0.2869
2.复合Simpson算法
function y=comsimpson(a,b,n)
z1=(log(1+a))/(1+a^2);z2=(log(1+b))/(1+b^2);
h=(b-a)/n;s1=0;x1=a+h/2;
s2=0;x2=a+h;
for i=0:1:(n-1)
x1=x1+h;
s2=0;x2=a+h;
for i=0:1:(n-1)
x1=x1+h;
s1=s1+(exp(x1))/(4+x1^2);
end
for i=1:1:(n-1)
x2=x2+h;
s2=s2+(exp(x2))/(4+x2^2);
end
y=h*(z1+4*s1+2*s2+z2)/6;
>> a=0;b=1;n=10;comsimpson(a,b,n)
s2=s2+(sin(x2))/x2;
end
y=h*(z1+2*s2+z2)/2;
>> a=0;b=1;n=10;comtrapezoidal(a,b,n)
数值分析习 题 五 解 答
习 题 五 解 答1、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分，并比较结果。
(1)12(8)4x d x n x=+⎰，(2)20sin (8)x xd x n π=⎰(3)21(4)x n =⎰，(4)10(4)xed xn -=⎰指出：教材中梯形公式和抛物线公式是指单一的而非复化的，但应用复化公式才符合多节点情形。
按教材设想，此处应该应用P118公式。
解：(1)n=8，则 10188b a hn--===,应用复化梯形公式得712h (0)2()(1)]0.111402442k k x d x f f x f x==++=+∑⎰[；应用复化抛物线公式得771122h (0)4()2()(1)]0.111571846k k k k x d x f f xf x f x+===+++=+∑∑⎰[如果采用经典方法推导出的抛物线公式，则得12h2461357(0)(1)2(()()()]4(()()()())]0.1115238438888888=+++++++++=+⎰x d x f f f f f f f f f x[可见，两个抛物线公式结果不一样，因为实际上取的节点不一样多。
1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。
(1)12(4)4x d x n x=+⎰解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）(1)矩形法。
用矩形法公式计算（取2位小数）011()()1(00.060.120.16)0.094b n ab a f x d x y y y n--≈+++=+++≈⎰或者12()()1(0.060.120.160.20)0.144b n ab a f x dx y y y n-≈+++=+++≈⎰(2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数）：01211()[())]21[(00.20)0.060.120.16]0.114b n n ab a f x dx y y y y y n --≈+++++=++++≈⎰(3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）：2413b-a ()2(4(]3n1[(00.2)20.124(0.060.16)]0.1112b n af x dx y y y y y ≈+++++=++⨯+⨯+≈⎰0n-2n-1[(y )++y )++y )2、用复化梯形公式计算积分841d xx⎰，由此计算ln2（注：841ln 2d x x=⎰），精度要求为410-。
复合梯形公式在计算定积分中的应用
复合梯形公式在计算定积分中的应用作者：买买提热依木.玉努斯来源：《新农村》2010年第07期摘要:本文通过实例介绍MATLAB在数学分析教学中的应用, 指出了MATLAB在解决数学分析教学中某些问题的优势。
关键词:MATLAB 数学分析数值分析复合梯形法积分应用目前数值分析对自然科学尤其是数学的各个分支来说占着很重要得地位。
将数值分析教学引人数学的教学课堂并利用MATLAB解决数学问题不仅可以增强教学过程的直观性, 呈现出各种事物的现象和内部结构及其发展变化规律, 帮助学生获得更多的感性材料, 加深对数学理论的理解与掌握, 而且也有助于课堂上的情感教育, 充分调动学生学习数学的兴趣, 同时还可以增大课堂的容量, 有效地提高教学效果与效率。
利用MATLAB制作出课件来把符号功能、数值计算、图形和编程有机结合起来, 把“枯燥的”数学教学过程变成生动活拨充满情趣的学习过程。
本文通过实例介绍MATLAB数学分析教学中的应用, 指出了MATLAB在解决数学分析教学中某些问题的优势。
数值积分是数值分析里面的基本工具,用来计算无法解析求解得定积分得近似解。
计算曲边梯形的面积时我们利用了定积分概念,定积分思想是“分割,求和,取近似,求极限”。
为了把这个过程我们最后归结为牛顿-莱布尼茨公式。
只要找到被积函数的原函数能利用牛顿-莱布尼茨公式。
但很多被积函数的我原函数非初等函数时不能得到准确值。
但利用数学软件把许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示。
利用复合梯形公式计算定积分的近似解的演示所谓复合梯形公式如下:其中。
利用以上公式计算函数的定积分的步骤如下:1.给定积分区间和积分精度2.对于用如果误差大于精度则令。
继续计算,否则退出.复合梯形公式在MATLAB环境下的代码如下:function [q,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps)if(nargin==3)eps=1.0e-4; %要求精度为0.0001endn=1;h=(b-a)/2;q1=0;q2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(q2-q1)>epsn=n+1;h=(b-a)/n;q1=q2;q2=0;for i=0:n-1x=a+h*i;x1=x+h;q2=q2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+...subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1));endendq=q2我们在MATLAB命令窗口中收入以下命令:[q,s]=CombineTraprl('cos(x)',1,2)q =0.0677s =6由上面结果可以发现函数在区间上达到精度(0.0001)的积分准确值是0.0677,而对应的区间分了6个积分小区间。
复合梯形公式求积分例题
复合梯形公式求积分例题
复合梯形公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。
它将积分区间分成若干个小区间，然后在每个小区间上使用梯形面
积来逼近曲线下的面积。
下面我将以一个例题来说明如何使用复合
梯形公式求积分。
假设我们要求解函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分。
我们可以将该区间分成 n 个小区间，每个小区间的宽度为 h = (b a) / n，其中 a 和 b 分别为积分区间的下限和上限。
首先，我们需要计算每个小区间的梯形面积。
对于第 i 个小区间，其左边界为 x_i-1，右边界为 x_i。
梯形面积可以通过将小区
间划分为一个矩形和一个三角形来计算。
矩形的面积为 f(x_i-1) h，三角形的面积为 (f(x_i) f(x_i-1)) h / 2。
因此，第 i 个小
区间的梯形面积为 A_i = (f(x_i-1) + f(x_i)) h / 2。
接下来，我们需要计算所有小区间的梯形面积之和，即定积分
的近似值。
将所有小区间的梯形面积相加，得到近似值 S = A_1 +
A_2 + ... + A_n。
最后，我们可以将近似值 S 作为函数在区间 [a, b] 上的定积分的近似值。
即∫[a, b] f(x) dx ≈ S。
需要注意的是，使用复合梯形公式时，选择适当的小区间数量n 可以提高近似值的精度。
通常情况下，n 的值越大，近似值越接近真实值。
综上所述，复合梯形公式可以通过将积分区间分成若干个小区间，并使用梯形面积来逼近曲线下的面积，从而求解定积分的近似值。
复合梯形公式和复合辛普森公式误差
复合梯形公式和复合辛普森公式误差在我们学习数学的过程中，常常会遇到各种各样的公式，而复合梯形公式和复合辛普森公式就是其中比较重要的两个。
这两个公式在数值计算中发挥着重要的作用，可别小瞧它们，这里面的学问可大着呢！先来说说复合梯形公式。
它就像是一个勤劳的小工人，虽然简单直接，但也有自己的小脾气。
复合梯形公式的基本思想就是把区间分成很多小段，然后在每个小段上用梯形的面积来近似函数的积分值。
这就好像我们要计算一段山坡的面积，把山坡分成一段一段的，每一段都看成一个梯形，然后把这些梯形的面积加起来，就得到了山坡的近似面积。
我记得有一次在课堂上，老师给我们出了一道用复合梯形公式计算积分的题目。
那道题可把大家难住了，大家都在草稿纸上不停地写写画画。
我也不例外，一开始我总是算错，不是区间分错了，就是梯形面积计算有误。
但是我没有放弃，一遍又一遍地检查，终于发现了问题所在。
原来我在计算梯形面积的时候，忘记乘以二分之一了。
经过这次小小的挫折，我对复合梯形公式的理解更加深刻了，也明白了做数学题一定要细心，不能马虎。
再聊聊复合辛普森公式。
它可比复合梯形公式要“聪明”一些，精度也更高。
复合辛普森公式就像是一个精明的小管家，能够更准确地估计函数的积分值。
它把区间分成偶数段，然后用抛物线来近似函数，计算出的结果更接近真实值。
有一次我在做一个数学实验，要用复合辛普森公式计算一个复杂函数的积分。
我按照公式一步一步地计算，心里还挺紧张，生怕出错。
当我算出结果，和标准答案一对比，发现竟然相差无几，那一刻我心里别提多高兴了，就像是在黑暗中找到了光明一样。
那么，复合梯形公式和复合辛普森公式到底有什么误差呢？其实啊，复合梯形公式的误差与区间长度的平方成正比，而复合辛普森公式的误差与区间长度的四次方成正比。
这就意味着，在相同的区间长度下，复合辛普森公式的误差要比复合梯形公式小得多。
比如说，我们要计算一个函数在[0, 1]区间上的积分，如果用复合梯形公式，把区间分成 10 段，可能会有比较大的误差；但如果用复合辛普森公式，同样分成 10 段，误差就会小很多。
工程数学试卷及答案
一、 选择填空题1. 某数x 的有四位有效数字且绝对误差限是4105.0-⨯的近似值是（A ） （A ）0.693 (B)0.6930 （C ）0.06930 (D)0.006930 2. n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A)(A))()!1()()(1)1(x n f x R n n n +++=ωξ (B)()()()()!n n n f R x x n ξω= (C))!1()()()1(+=+n f x R n n ξ (D)()()()!n n f R x n ξ=3. 求积公式)1()1()(11f f dx x f +-≈⎰-具有（A ）次代数精度（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）34. 用牛顿法计算)0(>a a n ，构造迭代公式时，下列方程不可用的是（A ）（A ）0)(=-≡n a x x f （B ）0)(=-≡n a x x f （C ）0)(=-≡nx a x f （D ）01)(=-≡nx ax f 5. 由数据0051152252171 022 42......x y --- 所确定的插值多项式是次数不大于（ D ）的多项式．（A ）二次 （B ）三次 （C ）四次 （D ）五次 6. 在牛顿—柯特斯公式()()()()nbn i i ai f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当n （ B ）时的牛顿—柯特斯公式不使用。
（A ）10≥ （B ）8≥ （C ）6≥ （D ）4≥ 7. 经过点)3,2(),2,1(),1,0(C B A 的插值多项式=)(x P （ B ） 8. （A ）x （B ） 1+x （C ）12+x （D ）12+x 9. 给定向量Tx )4,3,2(-=，则∞xx x,,21分别为（ A ）（A ）4,29,9 （B ）5,29,9 （C ）4,29,5.8 （D ）5,29,5.8 10. 精确值x =36.85用四舍五入保留三位有效数字的近似数为 36.9 。
复化梯形算法求解数值积分
复化梯形算法求解数值积分摘要求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。
另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。
由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。
特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。
但是它们的精度较差。
而且高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。
因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。
这种方法称为复化求积方法。
本文从三个积分实例出发，主要讨论复化梯形公式以及精确程度分析。
关键词：数值积分；复化求积公式；复化梯形算法；MATLABTHE REHABILITATION OF TRAPEZOID FORMULA TO SOLVE THE NUMERICAL INTEGRATIONABSTRACTFind the definite integral of a function, in most cases, the original integrand function is difficult toexpress the elementary functions, it can use calculus of Newton - Leibniz formula to calculate thedefinite integral of the few opportunities . In addition, many practical problems in the integrand is often a list of functions or other forms of non-continuous function, the definite integral of suchfunctions, indefinite integral method can not solve. For these reasons, the numerical integration oftheory and method has been the subject of calculation of the basic mathematical research.Structural formula for numerical integration method is used most often on the n-th integration interval polynomial interpolation instead of the integrand, thus derived is called interpolation-typequadrature formula quadrature formula. Especially in the case of equidistant distribution of nodesis called Newton - Keci formula, such as trapezoidal formula and the formula is the most basicparabolic approximation formula. But their accuracy is poor. And high-level Newton-Cotesquadrature formula is unstable. So it is usually not higher-order quadrature formula to be moreprecise integral values, but the whole range of sub-points, with each short on low-level quadrature formula. This method is called complex method of quadrature.This example from three points of departure, the main complex of the trapezoid formula anddiscuss the accuracy of the analysis.Key words: Numerical integration；Rehabilitation of numerical integration；Rehabilitation of trapezoid formula；MA TLAB目录1 问题的提出 (1)2 问题的分析 (2)3 问题假设 (2)4 符号说明 (3)5 模型的建立及求解 (3)5.1 模型的准备工作 (3)5.1.1 复化梯形数值积分基本原理........... (3)5.2 模型的建立及求解 (4)6 模型验证及结果分析 (8)参考文献 (9)附录 (10)1问题提出有很多实际问题常常需要计算积分才能求解。
工程数学试卷及答案
一、 选择填空题1. 某数x 的有四位有效数字且绝对误差限是4105.0-⨯的近似值是（A ） （A ）0.693 (B)0.6930 （C ）0.06930 (D)0.006930 2. n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A)(A))()!1()()(1)1(x n f x R n n n +++=ωξ (B)()()()()!n n n f R x x n ξω= (C))!1()()()1(+=+n f x R n n ξ (D)()()()!n n f R x n ξ=3. 求积公式)1()1()(11f f dx x f +-≈⎰-具有（A ）次代数精度（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）34. 用牛顿法计算)0(>a a n ，构造迭代公式时，下列方程不可用的是（A ）（A ）0)(=-≡n a x x f （B ）0)(=-≡n a x x f （C ）0)(=-≡nx a x f （D ）01)(=-≡n xax f 5. 由数据0051152252171 022 42......x y --- 所确定的插值多项式是次数不大于（ D ）的多项式．（A ）二次 （B ）三次 （C ）四次 （D ）五次 6. 在牛顿—柯特斯公式()()()()nbn i i ai f x dx b a C f x =≈-∑⎰中，当系数()n i C 有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当n （ B ）时的牛顿—柯特斯公式不使用。
（A ）10≥ （B ）8≥ （C ）6≥ （D ）4≥ 7. 经过点)3,2(),2,1(),1,0(C B A 的插值多项式=)(x P （ B ） 8. （A ）x （B ） 1+x （C ）12+x （D ）12+x 9. 给定向量Tx )4,3,2(-=，则∞xx x,,21分别为（ A ）（A ）4,29,9 （B ）5,29,9 （C ）4,29,5.8 （D ）5,29,5.8 10. 精确值x =36.85用四舍五入保留三位有效数字的近似数为 36.9 。
常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。
)
2
k 1
f
( xk ) f
(b)
称为复化辛普森公式。
类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的 求积余项为
Rs
b a h4 2880
f
(4) ( )
a,b
显然，复化辛普森公式是收敛且稳定的.
复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及 的各阶导数在[a,b]上连续，那么复化梯形公式、复化辛普
n1
求出积分值Ik,然后将它们累加求和,用 I k 作为所求积分I
的近似值。
k 0
I
b
n1
f ( x)dx
a k0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xk1 f ( x)dx n1 h
xk
k0 2
f ( xk ) f ( xk1)
h 2
f
(
x0
)
2(
f
(
x1
)
f (x2 ) ...
森公式所得近似值 Tn , Sn , Cn 的余项和步长的关系依次 为O(h2 ) 、O(h4 )、O(h6 ) 。因此当h→0 (即n→∞)时,Tn , Sn , Cn
都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。
例1 依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算
I
1 sin x dx
213等份时，用复化梯形公式计算误差不超过 1 105。
2
由于Tn 的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是稳定的.
4.3.2 复化辛普森公式及其误差
将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 xk , xk1 的中点
同济大学数值分析matlab编程
同济⼤学数值分析matlab编程MATLAB 编程题库1.下⾯的数据表近似地满⾜函数21cx bax y ++=，请适当变换成为线性最⼩⼆乘问题，编程求最好的系数c b a ,,，并在同⼀个图上画出所有数据和函数图像.625.0718.0801.0823.0802.0687.0606.0356.0995.0628.0544.0008.0213.0362.0586.0931.0ii y x ----解：>> x=[-0.931 -0.586 -0.362 -0.213 0.008 0.544 0.628 0.995]'; >> y=[0.356 0.606 0.687 0.802 0.823 0.801 0.718 0.625]'; >> A= [x ones(8,1) -x.^2.*y]; >> z=A\y;>> a=z(1); b=z(2); c=z(3); >>xh=[-1:0.1:1]';>>yh=(a.*xh+b)./(1+c.*xh.^2); >>plot(x,y,'r+',xh,yh,'b*')2.若在Matlab ⼯作⽬录下已经有如下两个函数⽂件，写⼀个割线法程序，求出这两个函数精度为1010-的近似根，并写出调⽤⽅式：>> edit gexianfa.mfunction [x iter]=gexianfa(f,x0,x1,tol) iter=0;x=x1;while(abs(feval(f,x))>tol) iter=iter+1;x=x1-feval(f,x1).*(x1-x0)./(feval(f,x1)-feval(f,x0)); x0=x1;x1=x; end>> edit f.m function v=f(x) v=x.*log(x)-1;>> edit g.m function z=g(y) z=y.^5+y-1;>> [x1 iter1]=gexianfa('f',1,3,1e-10) x1 =1.7632 iter1 = 6>> [x2 iter2]=gexianfa('g',0,1,1e-10) x2 =0.7549 iter2 = 83.使⽤GS 迭代求解下述线性代数⽅程组：123123123521242103103x x x x x x x x x ì++=--++=í???-+=??解：>> edit gsdiedai.mfunction [x iter]=gsdiedai(A,x0,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); iter=0; x=x0;>> A=[5 2 1;-1 4 2;1 -3 10]; >> b=[-12 10 3]'; >>tol=1e-4; >>x0=[0 0 0]';>> [x iter]=gsdiedai(A,x0,b,tol); >>x x =-3.0910 1.2372 0.9802 >>iter iter = 64.⽤四阶Range-kutta ⽅法求解下述常微分⽅程初值问题（取步长h=0.01）,(1)2x dy y e xy dx y ì??=++?í??=??解：>> edit ksf2.mfunction v=ksf2(x,y)v=y+exp(x)+x.*y; >> a=1;b=2;h=0.01; >> n=(b-a)./h; >> x=[1:0.01:2]; >>y(1)=2;>>for i=2:(n+1)k1=h*ksf2(x(i-1),y(i-1));k2=h*ksf2(x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k1); k3=h*ksf2(x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k2); k4=h*ksf2(x(i-1)+h,y(i-1)+k3); y(i)=y(i-1)+(k1+2*k2+2*k3+k4)./6; end >>y调⽤函数⽅法>> edit Rangekutta.mfunction [x y]=Rangekutta(f,a,b,h,y0) x=[a:h:b]; n=(b-a)/h; y(1)=y0; for i=2:(n+1)k1=h*(feval(f,x(i-1),y(i-1)));k2=h*(feval(f,x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k1)); k3=h*(feval(f,x(i-1)+0.5*h,y(i-1)+0.5*k2)); k4=h*(feval(f,x(i-1)+h,y(i-1)+k3)); y(i)=y(i-1)+ (k1+2*k2+2*k3+k4)./6; end>> [x y]=Rangekutta('ksf2',1,2,0.01,2); >>y5.取0.2h =，请编写Matlab 程序，分别⽤欧拉⽅法、改进欧拉⽅法在12x ≤≤上求解初值问题。
数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法
f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
龙贝格算法matlab程序
龙贝格算法matlab程序一、龙贝格算法简介龙贝格算法是一种数值积分的方法，它可以用来计算函数在给定区间上的定积分。
该算法基于复合梯形公式和复合辛普森公式，通过逐步逼近真实值来得到数值解。
它是一种自适应方法，即在每个子区间上都采用不同的步长以获得更高的精度。
二、龙贝格算法的原理1. 复合梯形公式复合梯形公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用梯形公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{2}(f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。
2. 复合辛普森公式复合辛普森公式是将一个区间分成若干个小区间，在每个小区间上应用辛普森公式求出积分值，最后将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值。
具体公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \frac{h}{6}(f(a)+4\sum_{i=1}^{n/2-1}f(a+(2i)h)+2\sum_{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+f(b))$$其中，h为步长，n为子区间数。
3. 龙贝格算法龙贝格算法是通过不断加密网格来逼近真实值的方法。
首先，将整个区间分成若干个小区间，并在每个小区间上应用复合梯形公式求出初始积分值T(0,0)，然后将这些积分值相加得到整个区间上的积分值T(0,1)。
接着，在每个小区间上应用复合辛普森公式求出更精确的积分值T(1,0)，并将所有小区间的积分值相加得到整个区间上的积分值T(1,1)。
然后，计算两次结果之差E(1,0)=T(1,1)-T(0,1)，如果E(1,0)小于给定误差限，则直接输出T(1,1)作为积分结果；否则，在每个子区间中再次应用复合辛普森公式求出更精确的积分值，并计算两次结果之差，直到满足误差限为止。