正态,T,卡方分布计算
中心极限定理z分布t分布卡方分布
中⼼极限定理z分布t分布卡⽅分布⽣物统计学抽样分布：n个样本会得到n个统计量，将这n个统计量作为总体，该总体的分布即是抽样分布根据⾟钦⼤数定律，从⼀个⾮正态分布的总体中抽取的含量主n的样本，当n充分⼤时，样本平均数渐近服从正态分布。
因此平均数的抽样分布对正态性的要求并不是⼗分严格，但⽅差的抽样分布，对总体的正态性的要求是⼗分严格的。
样本平均值的分布：基于正态总体(两个参数都知道)的抽样分布:eg'：总体n=3,因为n=2有放回抽样,有9种可能性：n=4有放回抽样,有81种可能性统计量与总体参数不完全⼀样，但是满⾜以上关系，所以有：标准误就是参数⽅差⾮正态分布总体(两个参数都知道)：根据中⼼极限定理，⼤样本同基于正态总体所以，只要是⼤样本都会满⾜z分布，z即满⾜N(0,1)⽅差未知：⽤样本标准差代替总体标准差，并得到t,此时是t满⾜⾃由度为（n-1）的t分布，从PDF可知t分布只与⾃由度有关，与其他⽆关。
因为n个数要满⾜均数，必有⼀个数的值受其他数影响，⼜因为⾃由度是独⽴观测的个数，所以⾃由度为n-1：当⾃由度较⼤时，也就是n较⼤时就是正态分布；t--->u特征值：总体分布和抽样分布的关系：PS：对于总体分布未知的⼩样本并⽆⽅法样本⽅差的分布正态总体时，两个参数都知道的情况下，样本⽅差满⾜卡⽅分布随机变量是S⽅，所以卡⽅也是⼀个随机变量，卡⽅分布只与⾃由度有关系。
总结：两个正态分布总体（都知道均数和⽅差），两个样本平均数的和与差的分布：利⽤正态分布加加减减两个正态分布总体（都知道均数，但未知⽅差具体值，但知道⽅差相等），两个样本平均数的和与差的分布：利⽤他分布加加减减分布使⽤条件：1.均值是否已知？2.⽅差是否已知？3.样本量是⼤或者⼩？。
三大抽样分布课件
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
卡方分布t分布和F分布的概念与应用
卡方分布t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布的概念与应用卡方分布、t分布和F分布是概率统计中常见的三种概率分布。
它们在统计学中有着广泛的应用，能够帮助我们进行假设检验、构建置信区间等分析工作。
本文将分别介绍卡方分布、t分布和F分布的概念，以及它们在实际问题中的具体应用。
一、卡方分布卡方分布是以统计学家Karl Pearson命名的一类概率分布。
卡方分布常用于计算一组独立同分布的随机变量的平方和的分布。
它的概率密度函数取决于自由度参数，自由度越大，卡方分布的形状越接近正态分布。
卡方分布的应用非常广泛。
例如，在假设检验中，我们可以使用卡方分布来判断一个样本是否符合某种理论分布。
同时，卡方分布还可以用于计算观察值与理论值之间的差异，从而评估模型的拟合程度。
此外，卡方分布还可以用于计算置信区间和预测区间。
二、t分布t分布是根据正态分布和卡方分布引出的一种概率分布。
t分布的曲线形状与自由度有关，当自由度较小时，曲线较为平缓，自由度增加时，曲线逐渐接近于标准正态分布。
t分布的一个重要应用是在小样本情况下的假设检验。
当总体标准差未知，并且样本容量较小（通常小于30）时，我们需要使用t分布来估计总体均值的置信区间。
此外，t分布还可以用于对两个样本均值的差异进行比较，判断是否存在显著差异。
三、F分布F分布是以统计学家Ronald Fisher命名的一种概率分布。
F分布常用于方差分析和回归分析等统计方法中。
它是两个独立卡方分布的比值的分布。
F分布的形状取决于两个自由度参数。
F分布在方差分析中起着重要作用。
方差分析可以帮助我们判断不同组之间是否存在显著差异，而F分布可以用于计算F统计量，以确定差异是否显著。
此外，F分布还常用于线性回归分析中，用于比较回归模型的拟合优度。
总结卡方分布、t分布和F分布是统计学中常见的三种概率分布。
它们在假设检验、置信区间估计、拟合优度分析等统计任务中有着广泛的应用。
熟练掌握这些概率分布的概念和特性，对于进行统计分析和研究是非常重要的。
常用分布函数及特征函数
常用分布函数及特征函数常用的分布函数及特征函数主要包括正态分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布、指数分布和卡方分布等。
下面将分别对这些分布函数及其特征函数进行介绍。
1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是以均值μ和方差σ²为参数的连续概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=1/(σ*√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))正态分布的特征函数为：φ(t) = e^(itμ - (σ²t²)/2)，其中i为虚数单位。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是一种离散概率分布，用于描述只有两种结果（成功或失败）的随机试验。
其概率函数为：P(X=k)=p^k*(1-p)^(1-k)，k=0或1伯努利分布的特征函数为：φ(t) = 1-p + pe^(it)3. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述n重伯努利试验中成功次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，k=0,1,...,n二项分布的特征函数为：φ(t) = (p*e^(it) + 1-p)^n4. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的离散概率分布。
其概率函数为：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!泊松分布的特征函数为：φ(t) = e^(λ*(e^(it)-1))5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述连续随机事件发生时间间隔的概率分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ*e^(-λx)，x>=0指数分布的特征函数为：φ(t) = λ/ (λ-it)6. 卡方分布（Chi-square Distribution）卡方分布是描述标准正态分布随机变量平方和的概率分布。
f分布t分布与卡方分布
布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=v X i 的i2(n)，它的分分布称为自由度等于 布密度p(z )=n 的1 AnX22- n2 0,n-1.+处 2 -u , 0u 2e du ,2分布，记作Zz _2e其他,称为Gamma 函数，且】1 =1，式中的『-=I2分布是非对称分布，具有可加性，即当丫与Z_I - = n 。
2相互独立，且丫2(n )， Z 2(m )，贝y Y+Z 〜2(n+m )。
Y+Z= X+§1.4 常用的分布及其分位数 1.卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分证明：先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独 立且都服从N(0,1)，再根据 2分布的定义以及上述随机变 量的相互独立性，令 丫=X 2+X 2+…+X -, z=x 备+X 2+2+…+Xn+m ，即可得到丫+Z 〜2(n +m )。
2. t 分布若X 与丫相互独立，且X 〜N(0,1) , 丫〜2(n ),则Z =x . 丫的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z〜t (n),它的分布密度；z2 V .n丿n 1 ~Y。
”心LP(z)=―；=时(殳)I请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时，t 分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布若X与丫相互独立，且X〜2(n)，丫〜2(m), 则Z=X丫的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于n mm的F分布，记作Z〜F (n, m)，它的分布密度2P (Z(m nz) 2n mn m------ in——1 z2-,z 0 n m2 20,其他。
请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度1的次序有关，当 Z 〜F (n , m )时，刁〜F (m ,n )。
简述卡方分布,t分布,f分布的定义
简述卡方分布,t分布,f分布的定义
卡方分布也叫卡方检验分布，是常见的概率分布，由英国数学家卡方发现，故称之为卡方分布。
数学家卡方的主要工作是统计学分布的概率期望，他在19世纪20年代发现卡方分布，他还拓展了卡方分布，发现和推导出它的非等距变量的统计分布。
卡方分布的定义：它是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。
二、t分布
t分布也叫t牛顿分布，是一种概率分布，由卡普牛顿在19世纪20年代发现，故称之为t分布。
它是统计学中又一种重要的概率分布。
t分布的全称是Student t分布，因为它主要在学生t检验中使用，故又称之为Student t分布。
t分布的定义：Student t分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布。
该分布与卡方分布非常相似，但是它不是一个单位正态分布的统计分布，因此其期望值不是0。
实际上，当自由度很大时，t分布可以趋近于正态分布。
三、F分布
F分布也叫F检验分布，是一种不可能概率分布，由比利时统计学家卡默特在20世纪初发现，故称之为F分布。
F分布的定义：它是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布，m为数据的自由度。
两个样本之间的方差比服从F分布。
总结：
卡方分布是一种从n个标准正态分布中自由度为k的独立变量中提取的统计概率分布，其中n个独立变量的平方和服从卡方分布。
t 分布是由自由度为k的一组独立变量的统计概率分布，而F分布是由自由度分别为m和n的两组独立样本对比的统计概率分布。
t分布,卡方x分布，F分布
t分布,卡⽅x分布，F分布T分布：温良宽厚命名与源起“t”，是伟⼤的Fisher为之取的名字。
Fisher最早将这⼀分布命名为“Student's distribution”，并以“t”为之标记。
Student，则是William Sealy Gosset（⼽塞特）的笔名。
他当年在爱尔兰都柏林的⼀家酒⼚⼯作，设计了⼀种后来被称为t检验的⽅法来评价酒的质量。
因为⾏业机密，酒⼚不允许他的⼯作内容外泄，所以当他后来将其发表到⾄今仍⼗分著名的⼀本杂志《Biometrika》时，就署了student的笔名。
所以现在很多⼈知道student，知道t，却不知道Gosset。
（相对⽽⾔，我们常说的正态分布，在国外更多的被称为⾼斯分布……⾼斯~泉下有知的话，说不定会打出V字⼿势~欧耶！）看懂概率密度图这⼀点对于初学者尤为重要，相信还是有不少⼈对正态分布或者t分布的曲线没有确切的理解。
⾸先，我们看⼀下频率分布直⽅图，histogram：上图，最关键的就是横轴了，柱⾼，即，对于横轴上每⼀个点，发⽣的频次。
图中横轴为4处，次数最多，⼤约12次；依次类推，横坐标为10处，发⽣1次……我们做单变量的探索性数据分析，最喜欢做柱状图了，或者再额外绘制⼀条Density曲线于其上（见下图）。
很容易就可以看出数据的分布（集中趋势、离散趋势），图中，数据⼤多集中在4左右（均数、众数），有⼀点点右偏态，但基本还是正态分布。
下图，⼿绘曲线，即密度曲线，英⽂全称Probability Density Function/Curve。
实际上是对上⾯柱状图的⼀个平滑，但它的纵坐标变为了概率，区别于柱状图的频次。
但理解起来意义差不多。
以下，我们就⽤Density曲线来讲解T分布的特征。
T分布的可视化我们平常说的t分布，都是指⼩样本的分布。
但其实正态分布，可以算作t分布的特例。
也就是说，t分布，在⼤⼩样本中都是通⽤的。
之前有读者问过：“是不是样本量⼤于30或者⼤于50，就不能⽤t分布了呀”？完全不是这样的！t分布，⼤⼩通吃！具体且看下⽂分解。
f分布t分布和卡方分布
§1、4 常用得分布及其分位数1、 卡平方分布卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布，它们与正态分布一起，就是试验统计中常用得分布。
当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑ii X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它得分布密度p(z )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21=π。
2χ分布就是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。
证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性，令Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。
2、 t 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X得分布称为自由度等于n 得t 分布，记作Z ～ t (n )，它得分布密度 P(z)=)()(221n nn ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。
请注意：t 分布得分布密度也就是偶函数，且当n>30时，t 分布与标准正态分布N(0,1)得密度曲线几乎重叠为一。
这时， t 分布得分布函数值查N(0,1)得分布函数值表便可以得到。
3、 F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m Y n X得分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 得F 分布，记作Z ～F (n , m )，它得分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ•。
5.3卡方分布、t分布及F分布
F分布的分位数
自由度为n, m的F分布的分位数记作 F (n, m ). 1) F ( n, m ) 0, 非对称分布。 2) 当F ~ F (n, m )时，P{F F (n, m )} .
3) 当较小时，表中查不出 F (n, m )， 可先查F1 (m, n)，
知道自由度n和α可查t分布的分位数表。
n 30, t n u
卡方分布的分位数
2 自由度n的 2分布的分位数记作 ( n).
1) ( n) 0, 非对称分布。
2
2) 当Z ~ ( n)时， P{ Z ( n)} .
2
2
自由度n, , 可以从 3) 给出概率和 2 2 中查出 ( n). 分布的分位数表
§5.3 卡方分布，t分布及F分布
与F分布的关系
5.常用分布的分位数
1.卡方分布
什么是卡方分布
设随机变量X 1 , X 2 , , X n相互独立, 且都服从
n i 1 2 i
N (0,1), 则随机变量Z X 服从自由度为n的
分布，记作Z ~ ( n).
3) u u1
0.005 ，u0.995 2.58.
t分布的分位数
自由度为n的t分布的分位数记作 t ( n).
为对称分布，记号方式类似标准正态分布。
1) 当T ~ t (n)时，P{T t ( n)} .
2) 0.5时，t n 0,
3) t (n) t1 (n),
，
又根据 F 分布的定义，
1 ~ F (n, m) ， X
1 P F n , m 所以 X ，
1 F n, m 因此 F1 (m, n)
卡方分布和t分布转换公式
卡方分布和t分布转换公式1.引言卡方分布和t分布是统计学中常用的两种概率分布。
它们在假设检验、置信区间估计等统计推断问题中起着重要的作用。
本文将介绍卡方分布和t分布的定义、特征以及它们之间的转换关系。
2.卡方分布卡方分布是由多个独立的标准正态分布的平方和构成，记为$\ch i^2$分布。
对于自由度为$k$的卡方分布，其密度函数为:$$f(x;k)=\fr ac{x^{(k/2-1)}e^{-x/2}}{2^{k/2}\Gam m a(k/2)},\q ua dx>0$$其中，$x$为随机变量的取值，$k$为自由度，$\G am ma(\cd o t)$为伽玛函数。
卡方分布的期望和方差分别为$k$和$2k$。
3. t分布t分布是由标准正态分布和服从卡方分布的独立随机变量构成，记为$t$分布。
对于自由度为$k$的t分布，其密度函数为:$$f(x;k)=\fr ac{\Gam m a((k+1)/2)}{\sq r t{k\pi}\Ga mm a(k/2)}\le f t(1+\f ra c{x^2}{k}\ri gh t)^{-(k+1)/2},\q ua d-\i nf ty<x<\in ft y$$其中，$x$为随机变量的取值，$k$为自由度，$\G am ma(\cd o t)$为伽玛函数。
t分布的期望存在且为0，方差为$\f ra c{k}{k-2}$（当$k>2$）。
4.卡方分布与t分布的关系在统计学中，存在着卡方分布和t分布之间的转换关系。
给定自由度为$k$的卡方分布的随机变量$X$，则$t$统计量$t$可以表示为：$$t=\f ra c{X-\m u}{\s q rt{\fr ac{S^2}{n}}}$$其中，$\m u$为总体均值，$S^2$为样本方差，$n$为样本容量。
当样本容量$n$趋于无穷大时，$t$统计量趋近于标准正态分布。
根据上述转换关系，我们可以在假设检验等统计推断问题中，利用已知的卡方分布来进行t分布的计算，或者利用t分布进行卡方分布的计算。
概率论数理统计基础知识第五章
C
]
（A）Y ~ 2 (n). （B）Y ~ 2 (n 1). （C）Y ~ F (n,1). （D）Y ~ F (1, n).
【例】设 随机变量X和Y都服从标准正态分布，则[ C ]
（A）X+Y服从正态分布.
2 2 2
（B）X2 +Y2服从 2分布. Y
2
2 X （C）X 和Y 都服从 分布. （D）
(X ) ~ t ( n 1) S n
客、考点 10，正态总体的抽样分布
33/33
34/33
35/33
【例】设总体 X ~ N (0,1)，X 1 , X 2 , X1 X 2
2 2 X3 X4
, X n 是简单随机
2 X i. i 4 n
样本 , 试问下列统计量服从什么分布？ （1 ） ; （2 ） n 1X1
记：F分布是两个卡方分布的商
2. F 分布的上侧分位数
设 F ~ F (k1 , k2 ) ，对于给定的 a (0,1) ，称满足条件
P{F Fa (k1 , k2 )}
Fa ( k1 ,k2 )
f F ( x)dx a
的数 Fa (k1 , k2 ) 为F 分布的上侧a 分位数。
服从F分布.
§5.5 正态总体统计量的分布
一、单个正态总体情形 总体
X ~ N ( , 2 ) ，样本 X1 , X 2 , , Xn ，
1 n 样本均值 X X i n i 1
n 1 2 样本方差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
1. 定理1 若设总体X~N(μ,σ2), 则统计量
有一约束条件
(X
i 1
概率分布中的卡方分布与t分布
概率分布是统计学中一个重要的概念，它描述了随机变量取值的可能性。
在概率分布中，卡方分布和t分布是两个常见的分布，它们在统计分析中都有重要的应用。
首先，我们先来介绍一下卡方分布。
卡方分布是一种特殊的概率分布，它和正态分布密切关联。
当一个随机变量服从标准正态分布时，其平方值就服从卡方分布。
卡方分布的特点是非负、右偏，而且其形状和自由度有关。
自由度越高，卡方分布越接近正态分布。
卡方分布在统计学中非常重要，特别是用于检验两个样本的独立性、拟合度和方差齐性等。
卡方分布的应用之一是卡方检验。
卡方检验是一种常用的假设检验方法，用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
比如，我们想知道男性和女性在某个疾病患病率方面是否存在差异，可以通过卡方检验来判断。
在卡方检验中，我们会计算观测值与期望值之间的差异，然后根据卡方分布的性质，得到显著性水平和P值，从而判断是否拒绝原假设。
接下来，我们来介绍一下t分布。
t分布是一种概率分布，常用于小样本情况下的统计推断。
t分布的定义和正态分布类似，但是它有一个重要的特点——它的尾部比正态分布厚。
这意味着在小样本情况下，t分布对偏差的容忍度更高。
t分布的形状和自由度有关，自由度越高，t分布越接近标准正态分布。
t分布的应用之一是t检验。
t检验是一种常用的假设检验方法，用于判断两个样本均值是否存在差异。
比如，我们想知道某种药物对治疗某种疾病是否有效，可以通过t检验来判断。
在t检验中，我们会计算两个样本均值之间的差异，然后根据t分布的性质，得到显著性水平和P值，从而判断是否拒绝原假设。
卡方分布和t分布在统计学中的应用非常广泛，它们可以帮助我们进行各种假设检验，从而为科学研究提供统计依据。
此外，它们还可以用于构建置信区间，评估统计模型的拟合度，进行方差分析等。
综上所述，卡方分布和t分布是概率分布中两个重要的分布。
卡方分布在检验两个分类变量之间是否存在关联方面具有重要的应用，而t分布在比较小样本均值是否存在差异方面具有重要的应用。
3章几种常见的分布
在Gamma分布中：k=n（正整数）时的gamma分布可以看作n个独立的k=1的 gamma分布（即指数分布）之和，按照中心极限定理，独立同分布随机变量 之和趋于正态分布。
几种常见的分布
2019/5/27
1
分类
连续型随机分布
◆ 正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分布、柯西分布、 Gamma分布、瑞利分布、韦伯分布、三角形分布
离散型随机分布
◆ 二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布
三大抽样分布
◆ 卡方分布、F分布、t分布
分布之间的关系
2019/5/27
应用：在自然情况下，均匀分布极为罕见。在实际问题中，当我们无法区分在 区间内取值的随机变量取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定随机变 量服从区间上的均匀分布。
2019/5/27
4
三、指数分布(Exponential distribution)
应用：主要用于描述独立事件发生的时间间隔。自然界中有很多种“寿命”可 以用指数分布来描述，如电子元件的寿命、动物的寿命、电话的通话时间、服 务系统的服务时间等。
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
2019/5/27
取r = 1，负二项分布等于几 何分布。其概率质量函数 为
13
十二、几何分布
定义：在第 n 次伯努利实验，才得到第一次成功的机率。更详细的说是：n 次伯努利试验，前 n-1 次皆失败，第 n 次才成功的概率。
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布方分布
正态分布,卡方分布,T分布
1。
设X1服从以自由度为m的卡方分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，X1与X2独立，则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布2。
设随机变量X1，X2独立且X1服从标准正态分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布、在实际工作中，抽取足够多的样本容量进行调查意味着人力、物力和财力的增加，尤其对一些具有破坏性的试验来说也不宜抽取太多的样本容量。
也就是说，对于大样本进行观察受到某些条件的限制。
这里主要讨论t分布、>2分布和F分布。
一、t-分布关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的。
t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。
t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。
从平均值为L、方差为R2的正态总体中抽取容量为n的一个样本，其样本平均数服从平均值为L，方差为R2/n的正态分布，因此，。
但是总体方差R2总是未知的，从而只能用s2来代替，（1）如果n很大，那么，s2就是R2的一个较好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布；（2）如果n较小，s2常常与R2的差异较大，因此，统计量就不再是一个标准正态分布，而是服从t分布。
（一）t分布的性质1、t分布是对称分布，且其均值为0。
2、当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n增大到大于或等于30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就趋近于标准正态分布。
3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。
4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。
5、变量t的取值范围在与之间。
t分布与标准正态分布的比较（二）t分布的自由度样本中独立观察值的个数（即样本容量）n减去1（由于样本要估计的总体参数的个数为1，即R2）。
四个分布：正态分布卡方分布F分布T分布
四个分布：正态分布卡⽅分布F分布T分布正态分布：正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从⼀个数学期望为µ、⽅差为σ^2的⾼斯分布，记为N(µ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值µ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
我们通常所说的标准正态分布是µ = 0,σ= 1的正态分布。
当µ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。
概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于µ对称，并在µ处取最⼤值，在正（负）⽆穷远处取值为0，在µ±σ处有拐点，形状呈现中间⾼两边低，图像是⼀条位于x轴上⽅的钟形曲线。
卡⽅分布：若n个相互独⽴的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独⽴同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-squaredistribution）。
其中参数n称为⾃由度（通俗讲，样本中独⽴或能⾃由变化的⾃变量的个数，称为⾃由度），正如正态分布中均值或⽅差不同就是另⼀个正态分布⼀样，⾃由度不同就是另⼀个分布。
记为。
分布的均值为⾃由度 n，记为 E( ) = n；分布的⽅差为2倍的⾃由度(2n)，记为 D( ) = 2n。
从卡⽅分布图可以看出：卡⽅分布在第⼀象限内，卡⽅值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增⼤；卡⽅分布趋近于正态分布；随着⾃由度n的增⼤，卡⽅分布向正⽆穷⽅向延伸（因为均值n越来越⼤），分布曲线也越来越低阔（因为⽅差2n越来越⼤）。
t分布：⾸先要提⼀句u分布，正态分布（normal distribution）是许多统计⽅法的理论基础。
正态分布的两个参数µ和σ决定了正态分布的位置和形态。
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。
它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。
首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。
这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。
换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。
这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。
其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。
峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。
正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。
偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。
这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。
另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。
正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。
卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。
卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。
首先，卡方分布的形状是非对称的。
它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。
这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。
【精】几种常见的分布
十三、泊松分布（Poisson ion）
应用：泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某 一服务设施在一定时间内到达的人数， 交换机接到呼叫的次数，汽车站台 的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷 陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等。
应用：瑞利分布常用于描述平坦衰落信号接收包络或独立多径分量接受包络统 计时变特性。如两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
八、韦伯分布（Weibull distribution）
定义：韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。
= 应用：可靠性和失效分析、极值理论。
九、二项分布(Bernoulli distribution)
应用：n 次试验在相同条件下进行，各个观察单位的结果相互独立，且只能 具有相互对立的一种结果，二项分布常用于医学领域。当n→∞时，二项分布 近似于正态分布。（注：0-1分布是特殊的二项分布）
十、负二项分布(Negative binomial distribution)
定义：已知一个事件在伯努利试验中每次的出现概率是p，在一连串伯努利 试验中，一件事件刚好在第r + k次试验出现第r次的概率。
应用：主要应用于物理学中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中， 它用来描述被共振或者其他机制加宽的谱线形状。
六、Gamma分布
E[X]=
D[X]=
应用：用于描述随机变量X等到第K件事发生所需等候的时间。
七、瑞利分布(Rayleigh distribution)
定义：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分 布时，这个向量的模呈瑞利分布。
卡方分布 公式
卡方分布公式
卡方分布的公式如下：
1. 卡方分布的数学定义：若k个随机变量Z1、……、Zk相互独立，且数学期望为0、方差为1（即服从标准正态分布），则随机变量X被称为服从自由度为k的卡方分布，记作。
2. 卡方分布的概率密度函数为：其中x≥0，当x≤0时fk(x) = 0。
这里Γ代表Gamma函数。
3. 卡方分布的累积分布函数为：其中γ(k,z)为不完全Gamma函数。
在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。
此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。
4. 卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。
自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。
5. 卡方变数与Gamma变数的关系：当Gamma变数频率（λ）为1/2时，α的2倍为卡方变数之自由度（Degree of freedom）即：卡方变数之期望值=自由度。
卡方变数之方差=两倍自由度。
如需了解更多信息，建议查阅统计学相关书籍或咨询专业统计学人士。
卡方分布近似正态分布对应的参数
卡方分布近似正态分布对应的参数下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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正态分布构造卡方分布
正态分布构造卡方分布引言统计学中有许多重要的概率分布，其中正态分布和卡方分布是两个常见且重要的分布。
正态分布是一种连续的概率分布，常用于描述自然界中的各种现象，如身高、体重等。
而卡方分布则是用于描述一组相互独立且同分布的随机变量的和的分布。
本文将介绍正态分布的基本概念和性质，然后讨论如何构造卡方分布。
正态分布的基本概念和性质正态分布是一种连续型的概率分布，其密度函数由以下公式给出：f(x)=1√2πσ−(x−μ)22σ2其中，μ是分布的均值，σ是分布的标准差。
正态分布具有以下重要的性质：1.均值和标准差决定了正态分布的形状。
均值决定了分布的中心位置，标准差决定了分布的宽度。
2.正态分布的图像呈现出钟形曲线的形状，对称于均值。
3.正态分布的总面积为1，且分布曲线与横轴之间的面积代表了某个区间内的概率。
4.标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
构造卡方分布在介绍如何构造卡方分布之前，先来了解一下卡方分布的定义和性质。
卡方分布（Chi-square distribution）是统计学中常用的分布之一，常用于对随机变量的和的分布进行建模。
卡方分布的自由度（degree of freedom）决定了分布的形状。
卡方分布的概率密度函数由以下公式给出：f (x )=12k 2Γ(k 2)x k 2−1e −x 2 其中，x >0，k 为自由度。
接下来，我们将介绍如何通过正态分布构造卡方分布。
构造方法一：正态分布的平方和根据卡方分布定义，卡方分布是一组相互独立且同分布的随机变量的和的分布。
假设有 n 个独立的标准正态分布的随机变量 X 1,X 2,...,X n ，可以构造一个卡方分布的随机变量 Y =X 12+X 22+...+X n 2。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem ），当 n 足够大时，Y 的分布近似服从自由度为 n 的卡方分布。
构造方法二：正态分布的线性组合的平方和假设有 n 个独立的标准正态分布的随机变量 X 1,X 2,...,X n ，且 A 1,A 2,...,A n 是一组常数。