高考数学21题函数习题

合集下载

高考数学专题《函数的图象》习题含答案解析

专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x=的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（）A．(||)y f x=B．|()|y f x=C．(||)y f x=-D．(||)y f x=--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x=的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x=-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg1y x=-的图象是（）A．B．C．练基础D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5xf x x x e =-⋅的图象大致是（）． A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令x f x b a ，()()log a g x bx =，对于A 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由x f xb a 得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由x f xb a 得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ． 6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）． A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】 ()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+- 函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n xf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3ty =，所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确；浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f =，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f =，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f =，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f =，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（）A ．0,01m n ><>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B【解析】令()0f x =得到1ln x n m =，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m =，由图象知1l 0n x m n =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称练提升C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断. 【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确；故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞，排除AB 选项；对函数ln x y x =求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>. 所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞，当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项. 故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果. 【详解】由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =，∴当11,,22x ∞∞⎛⎛⎫+∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，0y '<；当11,22x ⎛+∈ ⎝⎭时，0y '>；2x x x y e +∴=在1,2⎛--∞ ⎝⎭，1,2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在1122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，可排除AB ；当0x >时，0y >恒成立，可排除C. 故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x x e e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项. 故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可. 【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =±，当3x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '<，则()g x 在区间,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0g x '>，则()g x 在区间3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，0g=，则()g x 存在极小值33339g a ⎛⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()g x ()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=2(1)mx -的图象与y =的图象交点个数说法正确的是（） A ．当[]m 0,1∈时，有两个交点 B ．当(]m 1,2∈时，没有交点 C ．当(]m 2,3∈时，有且只有一个交点 D ．当()m 3,∞∈+时，有两个交点【答案】B 【解析】设f （x ）=2(1)mx -，g （x ），其中x∈[0，1]A ．若m=0，则()1f x =与()g x =[0，1]上只有一个交点(1,1)，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<即当m∈（1，2]时，函数y=2(1)mx -的图象与y =x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-时()()f x g x <，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．30,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，根据图象列式可解得结果.【详解】由题意知关于x的不等式34log2xax-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy=-的图象不在log ay x=的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<. 故选：A9.对a 、b ∈R ，记{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R ．（1）求(0)f ，(4)f -．（2）写出函数()f x 的解析式，并作出图像．（3）若关于x 的方程()f x m =有且仅有3个不等的解，求实数m 的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥，函数{}2()max ||,24f x x x x =--+，∴{}(0)max 0,44f ==，{}(4)max 4,44f -=-=．（2）（3）5m =或m 10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x xx =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）练真题A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞【答案】D 【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点. 因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-，如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =，若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f(x)={|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．[−2,2] B ．[−2√3,2] C ．[−2,2√3] D ．[−2√3,2√3] 【答案】A【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x2+a|下方，当a =2√3时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =−2√3时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

2023年高考乙卷数学理科21题

2023年高考乙卷数学理科21题21. 已知函数1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线1y f x ⎛⎫=⎪⎝⎭关于直线x b =对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若()f x 在()0,∞+存在极值，求a 的取值范围. 【参考答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）存在11,22a b ==-满足题意，理由见解析. （3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解题思路】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b 的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a 的方程，解方程可得实数a 的值，最后检验所得的,a b 是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论0a ≤，12a ≥和102a <<三中情况即可求得实数a 的取值范围. 【参考答案】⑴当1a =-时，()()11ln 1f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.⑵由函数的解析式可得()11ln 1f x a x x ⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数的定义域满足1110x x x++=>，即函数的定义域为()(),10,-∞-⋃+∞，定义域关于直线12x =-对称，由题意可得12b =-，由对称性可知111222f m f m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，取32m =可得()()12f f =-，即()()11ln 22ln 2a a +=-，则12a a +=-，解得12a =，经检验11,22ab ==-满足题意，故11,22a b ==-. 即存在11,22a b ==-满足题意. ⑶由函数的解析式可得()()2111ln 11f x x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+'++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，由()f x 在区间()0,∞+存在极值点，则()f x '在区间()0,∞+上存在变号零点; 令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax-++++=，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，()f x 在区间()0,∞+存在极值点，等价于()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点， ()()()12ln 1,21g x ax x g x a x '=''=-+-+ 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，()g x 在区间()0,∞+上无零点，不合题意; 当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,g x g x '''>在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g ''>=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，所以()g x 在区间()0,∞+上无零点，不符合题意；当102a <<时，由()1201g x a x ''=-=+可得1=12x a -，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x ''<，()g x '单调递减，当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '单调递增，故()g x '的最小值为1112ln 22g a a a ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭'，令()()1ln 01m x x x x =-+<<，则()10x m x x-+'=>，函数()m x 在定义域内单调递增，()()10m x m <=，据此可得1ln 0x x -+<恒成立，则1112ln 202g a a a ⎛⎫-=-+< ⎪'⎝⎭，令()()2ln 0h x x x x x =-+>，则()221x x h x x-++'=，当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增，当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '<单调递减，故()()10h x h ≤=，即2ln x x x ≤-(取等条件为1x =)，所以()()()()()222ln 12112g x ax x ax x x ax x x ⎡⎤=-+>-+-+=-+⎣⎦'， ()()()()22122121210g a a a a a ⎡⎤->---+-=⎣⎦'，且注意到()00g '=，根据零点存在性定理可知:()g x '在区间()0,∞+上存在唯一零点0x .当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()000g x g <=.令()ln n x x =，则()122n x x x=='，则函数()ln n x x =()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()4ln 420n x n ≤=-<，所以ln x < 所以2222244441=11ln 12141a g a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦ 22444>1ln 1121a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222444441ln 11a a a a a ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+>+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝22222164121144110a a ---⎛⎛>+=+> ⎝⎝，所以函数()g x 在区间()0,∞+上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2023-2024学年高考数学三角函数专项练习题(附答案)

2023-2024学年高考数学三角函数小专题一、单选题1．函数的最小正周期为（）()2sin 222sin 4f x x xπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2ππ42π2．若，则等于（）sin tan 0x x ⋅<1cos2x +A ．B ．C ．D ．2cos x 2cos x -2sin x 2sin x-3．已知，均为锐角，则（）251cos ,tan()53ααβ=-=-,αββ=A ．B ．C ．D ．5π12π3π4π64．将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2y x =是（）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向右平移个单位π12π6π12D ．向左平移个单位π65．若，则（）1cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．42979429-79-6．设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 最小正周期大于，则的取值范围为（）πωA ．B ．C ．D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭()0,2[)1,2()1,27．已知，且，求（）π4sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π3π44<<αcos α=A ．B ．C ．D ．2106222610A ．函数的图像可由()f xB ．函数在区间()f xC ．函数的图像关于直线()f xC ．D ．o o2sin15sin 75o oo otan 30tan151tan 30tan15+-11．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说(21)f x +1x =(1)f x +(1,0)法不正确的是（）A ．B ．4为的周期(1)(1)f x f x -=+()f x C ．D ．(1)0f =()32f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．已知函数的图象关于直线对称，则（）ππ()sin(3)()22f x x ϕϕ=+-<<π4x =A ．函数为奇函数π()12f x +B ．函数在上单调递增()f x ππ[,]126C ．若，则的最小值为12|()()|2f x f x -=12||x x -2π3D ．将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象()f x 13sin()y x ϕ=+三、填空题13．计算：＝.tan 73tan1933tan 73tan13︒︒︒︒--14．已知，，则 .1sin cos 5αα+=-()0,πα∈tan α=15．已知函数的最小正周期为，则.π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4πω=16．已知函数，则函数的对称轴的方程为22()2cos 43sin cos 2sin f x x x x x =+-()f x ．答案：1．B【分析】把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.()sin y A x ωϕ=+2πT ω=【详解】因为()2sin 222sin 4f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22sin 2cos 221cos 222x x x =---.22sin 2cos 2222x x =+-πsin 224x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭所以，函数的最小正周期为.2ππ2T ==故选：B 2．B【分析】先由已知条件判断的符号，然后对配凑升幂公式即可.cos x 1cos2x +【详解】由题知：2sin sin tan 00cos 0cos xx x x x ⋅<⇒<⇒<.21cos21cos222cos 2cos 2cos 2xx x x x++=⨯===-故选：B.3．C【分析】由两角差的正切公式求解即可.【详解】因为，，，π02α<<25cos 5α=25sin 1cos 5αα=-=，sin 1tan cos 2ααα==，()()()11tan tan 23tan tan 1111tan tan 123ααββααβααβ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭⎡⎤=--===⎣⎦+-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以.π4β=故选：C.4．A【分析】分析各选项平移后的函数解析式，由此作出判断即可.【详解】对于A ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，符合；πππsin 2sin 2cos 21232y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ：向右平移个单位可得到，不πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 2cos 263y x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦符合；对于C ：向右平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π12，不符合；πππsin 2sin 2cos 21236y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D ：向左平移个单位可得到πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6，不符合；ππ2πsin 2sin 2cos 2633y x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：A.5．D【分析】利用二倍角公式和诱导公式解题.【详解】因为2217cos(2)=cos22cos 121cos(2)366393ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.7sin 2sin 2cos 262339ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D 6．C【分析】根据题意，得到，取得对称轴的方程，由的()π2sin()6f x x ω=+ππ,Z 3k x k ωω=+∈k 取值，结合题意，即可求解.【详解】由函数，()π3sin cos 2sin()6f x x x x ωωω=+=+令，可得，πππ,Z 62x k k ω+=+∈ππ,Z3k x k ωω=+∈因为图象的一条对称轴在区间内，可得，可得，ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππππ633k ωω≤+≤131231k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥+⎩又因为的最小正周期大于，可得，解得，()f x π2ππω>2ω<当且仅当时，解得.0k =ω1≤<2综上可得，实数的取值范围为.ω[1,2)故选：C.7．A【分析】利用平方关系和两角差的余弦公式计算.【详解】因为，所以，，π3π44<<απππ24α<+<2ππ3cos()1sin ()445αα+=--+=-，ππππππ3422cos cos ()cos()cos sin()sin ()44444455210αααα⎡⎤=+-=+++=-+⨯=⎢⎥⎣⎦故选：A.8．B【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的单调性、对称性，结合三角函数图象的平移变换，逐项判断作答．【详解】由图象可知，，2A =由图，因为，所以，，()10=1sin =2f ϕ⇒π02ϕ<<π=6ϕ()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由图，则，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭5ππ122π,=,12655k k k k ωω⨯+=∈⇒-∈Z Z由图可知，所以，所以，1π5π12002125T ωω=>-⇒<<=2ω()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ，的图像向左平移个单位得到的sin =2sin2y A x x ω=π6ππ2sin2+=2sin 2+63y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象，选项A 不正确；对于B ，由，可得，πππ2π22π,262k x k k -+≤+≤+∈Z ππππ,36k x k k -+≤≤+∈Z则函数的单调递增区间为，则在区间上单调递增，()f x πππ,π,36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以在区间上单调递增，选项B 正确；()f x ππ,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于C ，由于，则直线不是函数图象的对称轴，选项π2ππ2sin 12336f ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =()f x C 不正确；对于D ，由，可得，则函数的图象关于点π2π,6x k k +=∈Zππ,122k x k =-+∈Z ()f x 对称，选项D 不正确．ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 故选：B ．9．ABD【分析】令，求得，可判定A 不正确；令，求得5π12x =5π3()122f =π8x =-可判定B 不正确；由时，可得，可判定C 正π5π()sin()812f -=-π22π,π,0,π6x -=--()0f x =确；由，结合正弦函数的性质，可判定D 不正确.π7ππ2(,)666x -∈--【详解】对于函数，()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A 中，令，可得，5π12x =5π5ππ2π3()sin(2)sin 1212632f =⨯-==所以函数的图象不关于点中心对称，所以A 不正确；()f x 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对于B 中，令，可得不是最值，π8x =-πππ5π()sin(2)sin()88612f -=-⨯-=-所以函数的图象不关于直线对称，所以B 不正确；()f x π8x =-对于C 中，由，可得，()π,πx ∈-π13π11π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭当时，可得，π22π,π,0,π6x -=--()0f x =所以在上有4个零点，所以C 正确；()f x ()π,π-对于D 中，由，可得，π[,0]2x ∈-π7ππ2(,)666x -∈--根据正弦函数的性质，此时先减后增，所以D 不正确.()f x故选：ABD.10．BC【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可.11sin(6-π)【详解】由题意有，11ππ1sin sin 662⎛⎫-== ⎪⎝⎭对于A 选项：因为，故A 选项不符合题意；2o o 312cos 151cos3022-==≠对于B 选项：因为，故B 选项符合()o o o o o o o 1cos18cos 42sin18sin 42cos 1842cos 602-=+==题意；对于C 选项：因为，故()()o o o o o o o o 12sin15sin 75cos 7515cos 7515cos 60cos902=--+=-=C 选项符合题意；对于D 选项：因为，故D 选项不符合题意；()o o o o o o otan 30tan151tan 3015tan 4511tan 30tan152+=+==≠-故选：BC.11．CD【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，从而判断A ，B ；举特例符合题意，验证C ，D 选项，即得答案.【详解】由函数的图像关于直线对称，可得，(21)f x +1x =(2(1)1)(2(1)1)f x f x ++=-+即，即，(32)(32)f x f x +=-(3)(3)f x f x +=-以代换x ，则；1x +(4)(2)f x f x +=-由函数关于点对称，可得，(1)f x +(1,0)(2)(2)0f x f x ++-=结合可得，(4)(2)f x f x +=-(4)(2)f x f x +=-+即，则，即4为的一个周期，B 正确；(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=()f x 又，结合，(2)(2)f x f x +=--(2)()f x f x +=-可得，故，A 正确；(2)()f x f x -=(1)(1)f x f x -=+由以上分析可知函数关于直线对称，且关于点成中心对称，()f x 1x =(2,0)其周期为4，则满足题意，π()sin2f x x=但是，故C 错误；π(1)sin 12f ==说明函数图象关于直线对称，3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34x =而，即直线不是对称轴，D 错误，33π()sin 148f =≠±34x =π()sin 2f x x =故选：CD 12．AB【分析】利用三角函数的图象与性质结合图象变换一一判定即可.【详解】由题意可知，又，()πππ3πZ π424k k k ϕϕ⨯+=+∈⇒=-+ππ22ϕ-<<故，()ππ,sin 344f x x ϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于A 项，，由诱导公式知，即函πππsin 3sin 312124f x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()sin 3sin 3x x -=-数为奇函数，故A 正确；π()12f x +对于B 项，，由正弦函数的图象及性质可知函数在上ππππ[,]30,12644x x ⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎣⎦()f x ππ[,]126单调递增，故B 正确；对于C 项，易知，若，则与一个取得最大值，一个()max 1f x =12|()()|2f x f x -=()1f x ()2f x 取得最小值，即与相隔最近为半个周期，即的最小值为，故C 错误；1x 2x 12||x x -π23T =对于D 项，由三角函数的伸缩变换可知，函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，()f x 13得到函数的图象，故D 错误.sin(9)y x ϕ=+故选：AB.13．3【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．()()tan 73tan133tan 73tan13tan 73131tan 73tan133tan 73tan133︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=-+-=故．314．/34-0.75-【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.12sin cos 25αα-=【详解】由可得，故，1sin cos 5αα+=-112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα-=又，解得或，222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125αααααααα-===++3tan 4α=-4tan 3α=-由于，，故，12sin cos 025αα-=<()0,πα∈sin 0,cos 0αα><又，故，因此，1sin cos 05αα+=-<sin cos αα<tan 1α<故，3tan 4α=-故34-15．/120.5【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.【详解】因为的最小正周期为，π()2sin()(0)3f x x ωω=+>4π所以，则.2π2π4πT ωω===ω=12故答案为.1216．ππ(Z)62kx k =+∈【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得ππ2π(Z)62x k k +=+∈答案.【详解】22()2cos 43sin cos 2sin 1cos 223sin 2cos 21f x x x x x x x x =+-=+++-，π23sin 22cos 24sin 26x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令，解得：．ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈故ππ(Z)62kx k =+∈。

2020年高考全国1数学理高考真题变式题21-23题-(解析版)

2020年高考全国1数学理高考真题变式题21-23题原题211．已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 变式题1基础2．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间； (2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围. 变式题2基础 3．已知函数()ln xf x x =，()231m g x x x=--. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；变式题3巩固4．已知函数()()2ln f x x m x m =-∈R .(1)若函数()()3g x f x x =-为增函数，求m 的取值范围； (2)当0m >，若()1f x ≥在定义域内恒成立，求m 的值. 变式题4巩固 5．已知函数()ln af x x x x=+．（1）讨论函数()()h x xf x =的单调性；（2）若对任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．变式题5巩固 6．已知函数1()(,x x f x ax a R e e+=+∈为自然对数的底数）．（1）若12a >，请判断函数()f x 的单调性；（2）若12,x x R ∀∈，当12x x ≠时，都有2121()()1f x f x x x ->-成立，求实数a 的取值范围．变式题6提升7．已知函数2()(1)x f x axe x =-+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，2()ln 3f x x x x >---，求a 的取值范围. 原题228．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．变式题1基础9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x kty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ--=．(1)当1k =时，判断曲线1C 与曲线2C 的位置关系： (2)当2k =时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的直角坐标．变式题2基础10．己知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθ≥≤<π. 变式题3巩固11．已知在极坐标系下，曲线:(cos 2sin )4C ρθθ+=（θ为参数）与点2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲线C 与点A 的位置关系；（2）已知极坐标的极点与直角坐标原点重合，极轴与直角坐标的x 轴正半轴重合，直线12:24x t l y t =-⎧⎨=-+⎩，求曲线C 与线l 的交点的直角坐标.变式题4巩固12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1323x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为3ρθ=.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 变式题5巩固13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为35135x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5(cos sin )70ρθθ+-=．(1)求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线:340(0)l x y x -=≥与12,C C 分别交于,A B 两点，求AB 的值．变式题6提升14．1.已知曲线1C 的参数方程为22x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线1C 与曲线2C 公共点的极坐标；(2)若点A 的极坐标为()2,π，设曲线2C 与y 轴相交于点B ，点P 在曲线1C 上，满足PA PB ⊥，求出点P 的直角坐标.原题2315．已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．变式题1基础16．已知函数()22f x x x =-++.(图中的每个方格是边长1个单位的正方形)()22f x x x =-++（1）画出函数()f x 的图象；（2）当0a >时，若不等式()()f x f x a <-的解集为{}|3x x <，求a 的取值范围. 变式题2基础17．已知函数f(x)=|x -8|-|x -4|.(1)作出函数y=f(x)的图象; (2)解不等式|x -8|-|x -4|＞2. 变式题3巩固18．（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象；（Ⅰ）求不等式()1f x >的解集．变式题4巩固19．设函数()211f x x x =++-.（Ⅰ）画出()y f x =的图象并解不等式()3f x ≥；（Ⅰ）当[)0,x ∈+∞，()f x ax b ≤+恒成立，求a b +的最小值. 变式题5巩固20．已知函数()2f x x =-，()|21||23|g x x x =+--．（1）画出()y g x =的图象；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．变式题6提升21．设函数()221x x f x =++-. （1）求()f x 的最小值；（2）若集合(){}10x R f x ax ∈+-<≠∅，求实数a 的取值范围.参考答案：1．（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e xf x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥， Ⅰ.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；Ⅰ.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x ----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102xh x x x x =---≥，则()e 1xh x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102xx x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x xf x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x Ⅰ式成立．Ⅰ式()223e74244e-+++⇔≤xx x x ，令()223e7424()(0)e -+++=≥xx x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x xx x h x ()()222213e 2e 9e⎡⎤-----⎣⎦=xx x x ()2(2)2e 9e⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0,()h x h x '<单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，Ⅰ式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2xg x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22xx x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦， Ⅰ.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；Ⅰ.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；Ⅰ当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x xg x x ax x x x --=++≤-++，又由Ⅰ可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21xg x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意. 综上，27e 4a-. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！2．(1)单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞；单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦【详解】（1）2a =-时，()221e x x xf x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.Ⅰ()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）法一：常规求导讨论 ()()()()221212e e xxax a x ax x x F -++----'==.Ⅰ当0a ≤时，令()02f x x '=⇒= 且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.Ⅰ当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意.Ⅰ当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意.Ⅰ当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a a a a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立. Ⅰ当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()2,+∞上.此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤. 综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦.法二：参变分离Ⅰ0x =时，不等式显然成立.Ⅰ当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=，()()()33e 12e 2e 2xx x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，Ⅰ()()2mine 124g x g +==，Ⅰ2e 14a +≤.3．（1）递增区间是()0,e ，递减区间是()e,+∞；（2）(],4-∞.【分析】（1）求导以后，结合定义域解不等式()0f x '>和()0f x '<即可求出结果；（2）参变分离得到32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立，进而构造函数()32ln h x x x x=++，求出函数()h x 的最小值即可得到结果.【详解】（1）()ln x f x x =，得()21ln xf x x-'=由()0f x '>，得0x e <<；()0f x '<，得x e >； Ⅰ()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是()e,+∞ （2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，可化为32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()32ln h x x x x =++，()()()222231232301x x x x h x x x x x +-+-='>=+-=，()0x > 当()0,1x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,1递减当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 在()1,+∞递增，Ⅰ()()min 14h x h == Ⅰ4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞ 4．(1)9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2)2【分析】（1）求得函数()f x 的定义域，再对()g x 求导，将函数()g x 为增函数转化为2230x x m --≥在()0,∞+上恒成立，从而可得解；（2）根据题意可得2ln 1x m x -≥在()0,∞+上恒成立，构造函数()2ln h x x m x =-，求得导数和最值，再根据换元法构造函数()ln 1a a a a ϕ=--，求得导数和最值，进而可求出m 的值. (1)根据题意可得()f x 的定义域为()0,∞+，()2ln 3g x x m x x =--，则()22323m x x mg x x x x--'=--=，Ⅰ()g x 在定义域内为增函数，Ⅰ2230x x m --≥在()0,∞+上恒成立，即223m x x ≤-在()0,∞+上恒成立，则()2min 23m x x ≤-，Ⅰ22399232488x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当34x =时，等号成立，Ⅰ98m ≤-，即m 的取值范围为9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.(2)Ⅰ()1f x ≥在定义域内恒成立， Ⅰ2ln 1x m x -≥在()0,∞+上恒成立，令()2ln h x x m x =-，则()222m x mh x x x x-'=-=. Ⅰ0m >，Ⅰ令()0h x '>，解得x >()h x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，令()0h x '<，解得0x <<()h x 在⎛ ⎝上单调递减，Ⅰ()min 2m h x h m ==-要使()1h x ≥在定义域内恒成立，即()min 12m h x m =-，即ln 10222m m m --≥，令()ln 1a a a a ϕ=--（其中02ma =>），则()ln a a ϕ'=-， Ⅰ当()0,1a ∈时，()0a ϕ'>，即()a ϕ在()0,1上单调递增，当()1,a ∈+∞时，()0a ϕ'<，即()a ϕ在()1,+∞上单调递减， Ⅰ()()max 10a ϕϕ==，即()()1a ϕϕ≤，Ⅰ要使ln 10--≥a a a ，只能取1a =，即22m a ==，综上所述，m 的值为2.5．（1）当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()h x 单调递减；当12e ,x -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()h x 单调递增；（2）[1,)+∞．【分析】（1）先求解()h x 的导数，结合导数符号判定()h x 的单调性；（2）先进行参数分离，然后求解2()ln u x x x x =-的最大值，可得实数a 的取值范围．【详解】（1）由题可知2()()ln h x xf x a x x ==+，且定义域为(0,)+∞， 21()2ln (2ln 1)h x x x x x x x'∴=+⋅=+．令()0h x '=，得12e x -=．∴当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当12e ,x -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0h x '≥，函数()h x 单调递增．（2）对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()ln 1a f x x x x =+≥恒成立，等价于2ln a x x x ≥-恒成立；令2()ln u x x x x =-，则()12ln u x x x x '=--，(1)0u '=．令()12ln m x x x x =--，则()32ln m x x '=--， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()32ln 0m x x '∴=--<，()u x '∴在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0u x '≥，当(1,2]x ∈时，()0u x '<，即函数()u x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间(1,2]上单调递减，max ()(1)1u x u ∴==，从而1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】求解函数单调性的步骤：Ⅰ求解定义域；Ⅰ求解导数()'f x ；Ⅰ求解不等式，()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间；恒成立问题一般利用分离参数法，转化为函数最值问题求解. 6．（1）()f x 在R 上单调递增；（2）11e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，．【分析】（1）求出1(),()x x x x f x a f x e e-'''=-+=，先判断出()'f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1()(1)0f x f a e ≥=-'>'，所以()f x 单调递增；（2）先把212()()1f x f x x x ->-转化为2211()()f x x f x x ->-，记1()()xx g x f x x ax x e +=-=+-，等价于()g x 在R 单调递增，只需()0g x '≥，利用分离参数法即可求解. 【详解】1()xx f x ax e +=+的定义域为R . （1）1(),()x xx x f x a f x e e -'''=-+=，令()0f x ''>，解得：1x >；令()0f x ''<，解得：1x <；所以()'f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1()(1)0f x f a e ≥=-'>'，所以()f x 在R 上单调递增；（2）不妨设12x x <，则212()()1f x f x x x->-，等价于2211()()f x x f x x ->-，记1()()x x g x f x x ax x e+=-=+-，等价于()g x 在R 单调递增，即()0g x '≥，()101x xx x g x a a e e '=-+-≥⇒≥+在R 上恒成立，设1()1,()x x x xh x h x e e-'=+=，所以()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max 111x h x e==+，，所以11a e ≥+，即实数a 的范围为11e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】恒成立问题Ⅰ参变分离，转化为不含参数的最值问题；Ⅰ不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值；Ⅰ特别地，个别情况下()()f x g x >恒成立，可转换为()()min max f x g x >（二者在同一处取得最值）.7．（1）分类讨论，答案见解析；（2）31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求导可得()()(1)2xf x x ae =+-'，由()0f x '=得，11x =-，22ln x a =，分2ln 1a=-，2ln1a <-，2ln 1a>-三种情况讨论单调性即得解；（2）参变分离可得ln 2xx x a xe+->对任意的0x >恒成立，令ln 2()x x x g x xe +-=，求导分析单调性，求出max ()g x 即可.【详解】（1）由题意知，()()(1)2(1)(1)2x xf x a x e x x ae '=+-+=+-，当0a >时，由()0f x '=得，11x =-，22ln x a=， Ⅰ若2ln1a=-，即2a e =时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上单调递增；Ⅰ若2ln1a<-，即2a e >时，令2()0lnx f x a'>∴<或1x >-；令2()0ln 1x a x f '<∴<<-故()f x 的单调递增区间为2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(1,)-+∞，单调递减区间为2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；Ⅰ若2ln1a>-，即02e a <<时，令()01x f x '>∴<-或2ln x a >；令2()01ln f x ax '<∴-<<故()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上：当2a e =时，()f x 在R 上单调递增；当2a e >时，()f x 的单调递增区间为2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(1,)-+∞，单调递减区间为2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当02e a <<时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由题意知，ln 20x axe x x --+>对任意的0x >恒成立，即ln 2xx x a xe +->对任意的0x >恒成立，令ln 2()(0)x x x g x x xe +-=>，则()2(1)(3ln )()xxx e x x g x xe +-'-=，令()3ln h x x x =--，1()10h x x'=--<则()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)20h =>，()20h e e =-<，故()0h x =在(0,)+∞上有唯一的实根，不妨设该实根为0x ，故当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，故0x 为()g x 的极大值点，故()000max 00ln 2()x x x g x g x x e +-==，又003ln 0x x --=，代入上式得()000030ln 21x x x g x x e e+-==，故a 的取值范围为31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.8．（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【分析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为 22cos (sin tt t ==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数），所以0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t 为参数），两式相加得曲线1C 1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C 方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或 136（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 9．(1)相交(2)⎭【分析】（1）将曲线1C 与曲线2C 的方程化成普通方程可知，两曲线一个表示直线，一个表示圆，根据直线与圆的位置关系即可判断；（2）联立曲线1C 与曲线2C 的普通方程即可解出．（1）当1k =时，由cos sin x ty t=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的普通方程为：221x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将2sin cos 10ρθρθ--=化简得曲线2C 的普通方程为：210x y -+=，圆心()0,0到直线210x y -+=的距离为1d r =<=，所以曲线1C 与曲线2C 相交．（2）当2k =时，由2cos 212sin sin x t t y t ⎧==-⎨=⎩可得曲线1C 的普通方程为：()21211x y y =--≤≤，联立221012x y x y -+=⎧⎨=-⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍去）所以曲线1C 与曲线2C的公共点的直角坐标为⎭． 10．（1）、28cos 10sin 160ρρθρθ--+=;（2）、4π⎫⎪⎭和2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）、将1C 的参数方程消去参数t 化为普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）、将曲线2C 的极坐标方程化为普通方程，与1C 的普通方程联立，求出1C 与2C 交点的直角坐标，由此求出1C 与2C 交点的极坐标.【详解】（1）、1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）1C ∴的普通方程为()()224525x y -+-=即22810160x y x y +--+=1C ∴的极坐标方程为:28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）、2C 的极坐标方程为2sin ρθ=2C ∴的直角坐标方程为：2220x y y +-=22221810160120x x y x y y x y y =⎧+--+=⎧∴∴⎨⎨=+-=⎩⎩或02x y =⎧⎨=⎩1C ∴与2C 交点的坐标为()1,1或()02,，1C ∴与2C交点的极坐标为4π⎫⎪⎭和2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（1）点A 不在曲线C （直线）上．（2）48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标后判断；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程求解．【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入:(cos 2sin )4C ρθθ+=，得24x y +=，此即为曲线C 直线坐标方程，又2cos1,2sin33ππ==A ，而14+，所以点A 不在曲线C （直线）上．（2）把1224x t y t =-⎧⎨=-+⎩代入24x y +=得122(24)4t t -+-+=，得76t =，4123t -=-，8243t -+=，所以交点坐标为48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．（1）220x y +-=；（2）()3,0.【分析】（1）根据极坐标转化为直角坐标的公式求得C 的直角坐标方程. （2）求得l 的普通方程，结合图象求得P 的直角坐标.【详解】（1）由ρθ=得222sin ,0x y ρθ=+-=. （2）(22220,3x y x y +-=+=，所以圆心(C ,半径r =直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数得0l y --=，倾斜角为3π，过点(()0,,3,0-.由于过(和()3,0的直线的斜率为1=-，所以当P 到圆心C 的距离最小时，P 的直角坐标为()3,0.13．(1)()22915x y -+=；5570x y +-=； (2)1【分析】（1）消去曲线1C 参数方程中的参数即可求出曲线1C 的普通方程；根据公式cos ,sin x y ρθρθ==即可求出曲线2C 的直角坐标方程；（2）把l 的方程与1C 的方程联立即可求出点A 的坐标，把l 的方程与2C 的方程联立即可求出点B 的坐标，从而利用两点间的距离公式即可求出AB 的值． (1)由1x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1x y ϕϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式平方相加，得()22915x y -+=，所以曲线1C 的普通方程为()22915x y -+=；由5(cos sin )70ρθθ+-=，得5cos 5sin 70ρθρθ+-=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以5570x y +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为5570x y +-=. (2)由5570340x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由()22915340x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，消x 得225840935y y --=，即52520353y y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以625y =-(舍)或65y =，所以85x =，所以86,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1AB ==.14．(1))π和π2⎫⎪⎭(2)4,3⎛- ⎝⎭【分析】（1）将参数方程化为普通方程，进而求出交点坐标，再转化为极坐标；（2）通过参数方程设出点P 的坐标，将PA PB ⊥转化为平面向量的数量积为0，进而解得答案. (1)由题意，1C 的普通方程为：222x y +=，2C的普通方程为：y x =+为()(,，极坐标为：)ππ,2⎫⎪⎭.(2)点A 的直角坐标为()2,0-，点B的直角坐标为(，根据题意，设)Pθθ，则),AP BP θθθθ→→+==，因为PA PB ⊥，所以)20AP BP θθθθ→→=⋅⋅+=，且0BP →→≠，sin 1θθ-=-，又22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 3θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所点P的直角坐标为4,3⎛- ⎝⎭. 15．（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．16．（1）答案见解析；（2）6a =.【分析】（1）根据绝对值的定义，化简为分段函数，结合一次函数的性质，即可求解；（2）根据图象的变换，把函数()y f x =的图象向右平移a 个单位后得到()y f x a =-的图象，结合不等式的解集和图象的交点，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()2,2224,222,2x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩，则函数()f x 的图象如图所示：（2）由()y f x =的图象向右平移a 个单位后得到()y f x a =-的图象,如图所示，因为不等式()()f x f x a <-的解集为{}|3x x <，可得()y f x =与()y f x a =-的交点为(3,6)，所以()22f x a x a x a -=--+-+|过点(3,6)，故32326a a --+-+=，解得6a =或0a =(舍)，当6a =时，()(6)y f x a f x =-=-的图象为()f x 的图象向右平移6个单位，由前面的论证可知，交点(3,6)A ，故()(6)f x f x <-的解集为{}|3x x <，综上可得，实数a 的值为6.17．（1）（2）不等式的解集为(-∞,5)【详解】(1)f(x)=图象如下:(2)不等式|x-8|-|x-4|＞2,即f(x)＞2.由-2x+12=2,得x=5.由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).18．（1）见解析（2）11353x x x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭或或【详解】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅰ）用零点分区间法求解.试题解析：（Ⅰ）的图像如图所示.（Ⅰ）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为，所以的解集为.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅰ）5.【分析】（Ⅰ）根据x的取值范围,分12x≤-,112x-<<,1≥x三种情况分别去绝对值,求出函数()f x 的解析式,根据解析式作出函数()f x 的图象,结合图象求出不等式的解集即可; （Ⅰ）结合（Ⅰ）中函数()f x 的图象,由在[)0,x ∈+∞时,直线y ax b =+的图象满足在函数()f x 的上方或重合,分别求出,a b 的最小值即可求出a b +的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意知,当12x ≤-时,()2113f x x x x =---+=-, 当112x -<<时,()2112f x x x x =+-+=+, 当1≥x 时,()2113f x x x x =++-=,所以()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，作出()y f x =的图象如图所示：由图知，不等式()3f x ≥解集为{}|11x x x ≥≤-或.（Ⅰ）由（Ⅰ）中的图象知，()y f x =的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且()y f x =的图象各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞恒成立，因此a b +的最小值为5.【点睛】本题主要考查利用图象法解绝对值不等式及求解恒成立问题;考查学生的运算求解能力和分类讨论思想、数形结合思想;正确画出函数()f x 的图象是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．（1）答案见解析；（2）92a ≥. 【分析】（1）将()y g x =用分段函数表示，在平面直角坐标系中分段画出图形即可；（2）在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，平移使得()y f x a =+图象在()y g x =图象上方即可，可知需要向左平移，即0a >，临界状态为过3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得92a =，即得解【详解】（1）由题可知14,213()212342,2234,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，3|2|42a +-=，解得92a =或72-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移92个单位，92a ∴≥.21．（1）()min 52f x =；（2）()()2,,3+∞⋃-∞-. 【解析】（1）首先利用零点分段法，去绝对值，求得函数的最小值；（2）()1f x ax <-+在R 上有解，画出函数()f x 的图象，并且1y ax =-+过点()0,1，利用数形结合分析实数a 的取值范围.【详解】解：（1）()1321()3221312x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩当2x -≤时，()[)5,f x ∈+∞，当122x -<<时，()5,52f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当12x ≥时，()5,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()min 52f x =.（2）据题意：()1f x ax <-+在R 上有解，作函数()y f x =及1y ax =-+的图象,1y ax =-+恒过点()0,1，且直线的斜率k a =-， 51220AC k -==---,且直线BC 的斜率3BC k = 由图可得：3a ->或2a -<-所以a 的范围为()()2,,3+∞⋃-∞-.【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是数形结合分析问题，理解1y ax =-+表示过点()0,1的直线，并且直线的斜率k a =-，结合（1）的分段函数，画出函数的图象，分析临界斜率，求a 的取值范围.。

高考数学历年函数试题及答案

1. 设（x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1,x2∈[0，]都有（Ⅰ）设);41(),21(,2)1(f f f 求=（Ⅱ）证明)(x f 是周期函数。

2. 设函数.,1|2|)(2R x x x x f ∈--+=（Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.3．已知函数()2sin (sin cos f x x x x =+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象4．（本小题满分12分）求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.5．（本小题满分12分）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.6.△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，求当A 为何值时，2cos 2cos C B A ++取得最大值，并求出这个最大值7.设a 为实数，函数x a ax x x f )1()(223-+-=在)0,(-∞和),1(+∞都是增函数，求a 的取值范围.8. 设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值.(Ⅰ)求a 、b 的值;(Ⅱ)若对于任意的x ,3,0〕〔∈都有f (x )＜c 2成立，求c 的取值范围. 9.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．x（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 10.在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b.11. 已知函数42()36f x x x =-+.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程12. 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像13. 已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式；（Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围解答： 2. 解：（Ⅰ）.7)2(,3)2(=-=f f由于),2()2(),2()2(f f f f -≠-≠-故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.由于),2[)(+∞在x f 上的最小值为)2,(,3)2(-∞=在f 内的最小值为.43)21(=f故函数),()(+∞-∞在x f 内的最小值为.433. 解x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是 4.解：xx x x x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值是,43最小值是.41 5. 解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f（Ⅰ）当0)(<'x f （R x ∈）时，)(x f 是减函数.所以，当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数；（II ）当3-=a时，133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x由函数3x y =在R 上的单调性，可知当3-=a 时，R x x f ∈)((）是减函数；（Ⅲ）当3->a时，在R 上存在一个区间，其上有,0)(>'x f所以，当3->a时，函数))((R x x f ∈不是减函数.综上，所求a 的取值范围是 6. 解：由,222,AC B C B A -=+=++ππ得所以有 .2sin 2cos A C B =+当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π7. 解：其判别试.81212124222a a a -=+-=∆（ⅰ）若,26,08122±==-=∆a a 即当.),()(,0)(',),3()32,(为增函数在时或+∞-∞>+∞∈-∞∈x f x f ax x 所以.26±=a (ⅱ) 若,08122<-=∆a .),()(,0)('为增函数在恒有+∞-∞>x f x f所以 ,232>a 即 ).,26()26,(+∞--∞∈ a （ⅲ）若,08122>-=∆a 即,0)(',2626=<<-x f a 令解得 .323,3232221a a x a a x -+=--=当;)(,0)(',)(),(21为增函数时或x f x f x x x x >∞+∈-∞∈当.)(,0)(',),(21为减函数时x f x f x x x <∈依题意1x ≥0得2x ≤1. 由1x ≥0得a ≥,232a -解得 1≤.26<a由2x ≤1得,232a -≤3,a -解得 .2626<<-a 从而 .)26,1[∈a综上，a 的取值范围为),26,1[),26[]26, +∞-∞- 即 ∈a ).,1[]26,(+∞--∞ 9. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；当23a>，由()0f x '=求得两根为3a x -=即()f x在3a ⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛---+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增；（2）（法一）∵函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，⎝⎭递减，∴23313a ⎧---⎪⎪-，且23a>，解得：2a ≥。

历年高考数学函数题库(含答案)

【答案】D，做出点知即,,2121y y x x >-<-方法二：设3()F x x bx =-【答案】Ｃ图像大致是=，则函数题库(1)g -=【答案】330.（2012高考广东文11）函数的定义域为 .1x y x+=【答案】[)()1,00,-+∞U 31.（2102高考北京文12）已知函数，若，则x x f lg )(=1)(=ab f =+)()(22b f a f _____________。

【答案】232.（2102高考北京文14）已知，，若)3)(2()(++-=m x m x m x f 22)(-=xx g ，或，则m 的取值范围是_________。

R x ∈∀0)(<x f 0)(<x g 【答案】)0,4(-33.（2012高考天津文科14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交211x y x -=-y kx =点，则实数的取值范围是 .k 【答案】或。

10<<k 21<<k 34.（2012高考江苏5）函数的定义域为．x x f 6log 21)(-=【答案】。

(0 6⎤⎦（【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

35.（2012高考江苏10）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，()f x R [11]-，其中．若，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值为．3a b +【答案】。

10-【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函'12cos 2y x =-'12cos 02y x =->1cos 4x <数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C'12cos 0y x =-<1cos x >8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若α（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数),0(+∞的是（）A B C D 3x y =1+=x y 12+-=x y xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，x y x y -==和内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性),0(+∞就可以确定。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习21---同角三角函数的基本关系与诱导公式

新高考数学复习考点知识与题型专题练习专题21 同角三角函数的基本关系与诱导公式一、选择题1．（2020·全国高考真题（理））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A B ．23C ．13D ．9【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴==. 故选：A.2.（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知角α的终边上一点的坐标为（sin43π，cos 43π），则角α的最小正值为（） A ．76π B ．116πC ．56π D ．43π 【答案】A【解析】由题意41sin cos32πα==-，又4sin 03π<，点(sin ,cos )33ππ44在第三象限，即α是第三象限角，∴72,6k k Z παπ=+∈，最小正值为76π．故选：A ．3．（2020·河南高三其他（理））已知平面向量(1,1),(sin ,cos )a b θθ=-=，若a b ⊥，则tan θ=（）A ．1-BC ．1D ．【答案】C【解析】(1,1),(sin ,cos )a b θθ=-=1sin 1cos sin cos a b θθθθ∴⋅=⨯-⨯=-．又a b ⊥sin cos 0θθ∴-=，即sin cos θθ=tan 1θ∴=故选：C4．（2019·湖北高考模拟（文））已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=，则sin α=（）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】B【解析】已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=，则sin sin ,cos αααα==因为22sin cos 1cos ααα+=⇒=sin 0,cos 0sin 3ααα>>∴=故答案为：B.5．（2019·河南高考模拟（理））已知20191cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（）A ．12B ．12- C ．D 【答案】C【解析】因为20191cos 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，诱导公式可得， 201931cos()cos()sin 222ππααα+=+== ，又因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos α== 故选C6.（2020·河南林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1- C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A .7．（2019·四川高三月考（文））已知3sin α5=，π3πα22<<，则5πsin α(2⎛⎫-= ⎪⎝⎭)A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】A【解析】3sin α5=，π3πα22<<，παπ2∴<<，则5ππ4sin αsin αcos α225⎛⎫⎛⎫-=-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．8. （2020·湖南高三期中）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21cos sin 4αα-=，则tan α的值等于（）A ．-BCD ．【答案】A【解析】由21cos sin 4αα-=可得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin 4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴56πα=，∴5tan tan 63πα==-. 故选：A.9．（2020·全国高三其他（理））已知α为第二象限角，且3sin cos 0αα+=，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B C ．10- D ．【答案】D【解析】3sin cos 0αα+=，3sin cos αα∴=-，22sin cos 1αα+=，22sin 9sin 1αα∴+=，21sin 10α=，29cos 10α=，已知α为第二象限角，cos 0α<，cos 10α∴=-，即sin cos 2παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：D10．（2019·天津高考模拟）已知sinαcosα=18,0<α<π2，则sinα+cosα的值是（）A ．14 B ．−√32 C ．√32 D ．√52【答案】D【解析】sinαcosα=18,0<α<π2，sin α+cos α>0, 则2sin αcos α=14,∴1+2sin αcos α=54, 即(sin α+cos α)2=54,∍sin α+cos α=√52.故选D.二、多选题11．（2019·山东师范大学附中高一月考）已知R x ∈，则下列等式恒成立的是( )A ．()sin sin x x -=B ．3sin cos 2x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．()cos cos x x π-=-E.()tan tan x x π+=【答案】CDE【解析】∵sin（﹣x ）＝﹣sin x ，故A 不成立；∵3sin cos 2x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故B 不成立；∵cos sin 2x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故C 成立；∵()cos cos x x π-=-，故D 成立， ∵()tan tan x x π+=，故E 成立. 故选CDE ．12．（2020·山东潍坊�高一月考）下列化简正确的是（）A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-【答案】AB【解析】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos oαααααααα--===--，故B 正确； C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB13.（2020·全国高三其他（文））已知()2sin cos 20sin cos 12a f απαααα-⎛⎫=≤≤ ⎪++⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f α的最小值为B ．()f α的最小值为1-C ．()f α1D ．()f α的最大值为1【答案】BD【解析】设sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由02a π≤≤，得3444a πππ≤+≤，则1t ≤≤，又由()22sin cos t αα+=，得22sin cos 1t αα=-，所以()()2122111t f g t t t t α--===--++，又因为函数1y t =-和21y t =-+在⎡⎣上单调递增，所以()211g t t t =--+在⎡⎣上为增函数， ()()min 11g t g ==-，()max 1g t g==，故选：BD .14．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（）A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=-C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【解析】1sin cos 5θθ+=①()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=242sin cos 25θθ∴=-(0,)θπ∈sin 0θ∴>，cos 0θ<,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-=7sin cos 5θθ∴-=② ①加②得4sin 5θ=①减②得3cos 5θ=-4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--综上可得，正确的有ABD故选：ABD三、填空题15．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=sin 2x +√3cosx −34（x ∈[0,π2]）的最大值是__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1−cos 2x +√3cosx −34=−cos 2x +√3cosx +14= −(cosx −√32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cosx ∈[0,1]，当cosx =√32时，函数f(x)取得最大值1．16.（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则sin β=_____.【答案】13【解析】因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，所以()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==.17．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx −π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23 【解析】因为f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，所以f(π4)取最大值，所以π4ω−π6=2k π(k ∈Z)，∴ω=8k +23(k ∈Z)，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.18．（2020·浙江温州�高一期末）已知角α的终边经过点（4，-3），则sin α=_________；()cos απ+=_________.【答案】35 45-；【解析】因为角α的终边经过点（4，-3），所以3sin 5y r α===-，4cos 5x r α===，所以()4cos =cos 5απα+-=-，故答案为：35；45- 19．（2020·浙江丽水�高一期末）已知()3cos 25θπθπ=-<<，则sin θ=______；()tan πθ-=______.【答案】45- 43-【解析】因为()3cos 25θπθπ=-<<，所以32πθπ<<，所以sin 0θ<，所以4sin 5θ==-.()sin 4tan tan cos 3θπθθθ-=-=-=-. 故答案为：45-；43-. 20.（2020·上海高一课时练习）若1sin cos 2αα+=，则sin cos αα⋅=___________；tan cot +=αα__________.【答案】38- 83-【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以112sin cos 4αα+=，所以sin cos αα⋅=38-，22sin cos sin cos 18tan cot cos sin sin cos sin cos 3αααααααααααα++=+===-.故答案为：38-；83- 21．（2020·海淀�北京市八一中学高一期中）已知tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-=+______，2sin 2sin cos ααα+=______.【答案】13- 85【解析】因为tan 2α=，所以sin 3sin 3cos tan 3231cos sin sin cos tan 12131cos αααααααααα----====-++++. 2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+，222222sin sin 2tan 2tan 448cos cos sin tan 14151cos ααααααααα+++====+++. 故答案为： ①13-；②85；四、解答题22．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知sin()3sin()2()2cos()cos()2f παπααπαπα++--=+--. （1）化简()f α；（2）已知tan 3α=，求()f α的值.【答案】（1）cos 3sin ()2sin cos f ααααα+=-+；（2）-2.【解析】（1)sin()3sin()cos 3sin 2()2sin cos 2cos()cos()2f παπααααπαααπα++--+==-++--; （2)由tan 3α=，可得cos 3sin 13tan 10()22sin cos 12tan 5f ααααααα++====--+--.23.（2020·辉县市第二高级中学高一月考）化简下列各式．（1）()()()sin 2cos 23tan 2cos sin 2ππααππαπαα⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2．【答案】（1）tan α；（2）1-【解析】（1）原式＝()()()()()sin sin tan cos cos ααααα-⋅-⋅-⋅- tan α=（2cos10sin10sin10cos10o o o o-=- 1=-24.（2019·海南高三月考）已知角α的终边经过点1(,33P --（1）求sin ,cos ,tan ααα的值；（25sin(3)2cos()ππαα-++的值【答案】（1）1sin ,tan 3ααα==-=2）【解析】（1）由题意角α的终边经过点1(,3P -，可得1r OP ==，根据三角函数的定义，可得1sin ,tan 3ααα==-= （2）由三角函数的诱导公式，可得5sin(3)2cos()ππαα-++=(14α===⨯=. 25.（2020·陕西大荔�高一期末）若角α的终边上有一点(),8P m -，且3cos 5α=-.（1）求m 的值；（2）求()()()sin cos 2tan cos ππαααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭---的值. 【答案】（1）6-；（2）45.【解析】（1）点P 到原点的距离为r ==根据三角函数的概念可得3cos 5α==-，解得6m =-，6m =（舍去）.（2）原式()()()sin cos (sin )(sin )2sin tan cos (tan )cos ππααααααπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-----，由（1）可得10r =，84sin 5r α-==-，所以原式4sin 5α=-=. 26.（2020·宁县第二中学高一期中）请完成下列小题:（1）若15tan 8α=-，求sin α，cos α的值；（2）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-. 【答案】（1）答案见解析；（2）cos α-.【解析】（1）∵15tan 08α=-<， ∴α是第二或第四象限角.由22sin 15tan cos 8sin cos 1ααααα⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，可得2215sin 17α⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 当α是第二象限角时， 15sin 17α=，8cos 17α=-；当α是第四象限角时， 15sin 17α=-.8cos 17α=（2）3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+- cos sin cos sin cos sin sin ααααααα-⨯=⨯cos α=-.27.（2019·黑龙江大庆实验中学高三月考（理））已知x ∈(−π,0)，且sinx +cosx =15（1）求sinx −cosx 的值；（2）求4sinxcosx −cos 2x 的值. 【答案】（1）−75；（2）−6425. 【解析】（1）∵sinx +cosx =15，∴1+2sinxcosx =125，2sinxcosx =−2425， ∵x ∈(−π,0)，∴sinx＜0，cosx ＞0，∴sinx﹣cosx ＜0，(sinx −cosx)2=1−2sinxcosx =4925，21 / 21∴sinx −cosx =−75；（2）由（1）知，{sinx +cosx =15sinx −cosx =−75，解得sinx =−35，cosx =45，tanx =−34， 4sinxcosx −cos 2x =4sinxcosx−cos 2xsin 2x+cos 2x =4tanx−1tan 2x+1=−6425．。

高考数学函数题库（含答案）

2009————20122012年高考题1．（2012高考安徽文3）（2log 9）·（3log 4）= （A ）14（B ）12（C ）2 （D ）4 【答案】D 2.（2012高考新课标文11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】B 3.（2012高考山东文3）函数21()4ln(1)f x xx =+-+的定义域为的定义域为(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【答案】B 4.（2012高考山东文10）函数cos 622x x xy -=-的图象大致为的图象大致为【答案】D 5.（2012高考山东文12）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是，则下列判断正确的是 (A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+<(C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+< 【答案】B 【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B. 方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x ¢=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <，则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--，比较系数得3141x-=，故31122x =-.3121202x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 6.（2012高考重庆文7）已知22log 3log3a =+，22log 9log3b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （（D ）a b c >> 【答案】B 7.（2012高考全国文11）已知ln x p =，5log 2y =，12z e-=，则，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D 8.（2012高考全国文2）函数1(1)y x x =+³-的反函数为的反函数为（A ）)0(12³-=x x y （B ）)1(12³-=x x y（C ）)0(12³+=x x y （D ）)1(12³+=x x y 【答案】B 9.（2012高考四川文4）函数(0,1)xy a a a a =->¹的图象可能是（的图象可能是（）【答案】Ｃ【答案】Ｃ10.（2012高考陕西文2）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x= D. ||y x x =【答案】D. 11.（2012高考湖南文9）设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x ¢是f(x)的导函数，当[]0,x p Î时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π）且x ≠2p时，()()02x f x p¢->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【答案】Ｂ12.（2012高考湖北文3）函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为上的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】D 13.（2012高考江西文3）设函数211()21x x f x x x ì+£ï=í>ïî，则=))3((f f【答案】D 14.（2012高考江西文10）如右图，OA=2（单位：m ）,OB=1(,OB=1(单位：单位：m),OA 与OB 的夹角为6p，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧 B DC BDC与线段OA 延长线交与点C.甲。

2023-2024学年高考数学指数函数与对数函数专项练习题(含答案)

2024．．．．二、多选题．函数，若对任意实数、，，则下列结论错误的是()(32log f x x x =++a b 0a b +>A ．方程有且只有6个不同的解B ．方程()()0f g x =解C ．方程有且只有5个不同的解D ．方程()()0f f x =解的零点个数为．()4log =-y f x x16．已知函数，若方程有4个不同的实根，，，22log (1),13()1357,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩()34f x =1x 2x 3x 且，则.4x 1234x x x x <<<()341211x x x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭答案：1．C【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小.【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，2log y x =()0,∞+π2>22log π>log 21=1a >因为函数在单调递减，且，所以，即，0.5log y x =()0,∞+π1>0.50.5log π<log 1=00b <因为函数在单调递增，且，所以，即，πxy =(),-∞+∞20-<200<ππ1-<=01c <<所以，a c b >>故选：C 2．A【分析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系函数不可能是单Q t 调函数，故选取二次函数进行描述，将表格所提供的三组数据代入，即得函2Q at bt c =++Q 数解析式，进而求解.【详解】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，所以函数不单调，所以选取，且开口向上，2Q at bt c =++将表格中的三组数据分别代入，2Q at bt c =++得解得116360060,8410000100,11632400180,a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩0.01,2.4,224,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩即，对称轴，开口向上，20.01 2.4224Q t t =-+ 2.412020.01t -=-=⨯在对称轴处即120天时函数取最小值.∴t =西红柿种植成本最低时的上市天数是120天.∴故选：A.3．C【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组01a <<1a >即可得到答案.【详解】函数（且）的值域为，2x y a =-0a >1,11a x ≠-≤≤5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又由指数函数的单调性可知，当时，函数在上单调递减，值域是01a <<2xy a =-[]1,1-12,2a a -⎡⎤--⎣⎦所以有，即，解得；110152321a a a -<<⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩101133a a a -<<⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩13a =当时，函数在上单调递增，值域是1a >2x y a =-[]1,1-12,2a a -⎡⎤--⎣⎦所以有，即，解得.11152321a a a ->⎧⎪⎪-=-⎨⎪-=⎪⎩11133a a a ->⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩3a =综上所述，或.13a =3a =故选：C.4．B【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域以及对数、分式的定义域求法求解即可.【详解】因为函数的定义域是，()f x [1,2022]所以对于有：，(1)()lg f x g x x +=1120220lg 0x x x ≤+≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩解得：且，02021x <≤1x ≠故函数的定义域是，()()1ln f x g x x+=(01)(1],,2021⋃故选：B ．5．A【分析】根据题意，求得，得到，结合零点的存在性定理，3()0,(2)02f f >>3(1)()02f f ⋅<即可求解.【详解】由函数，且，可得，()348f x x x =+-()()10,30f f <>3()70,(2)2602f f =>=>所以，根据零点的存在性定理，3(1)()02f f ⋅<可得方程的近似解落在区间为.3480x x +-=31,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：A.6．C【分析】根据给定条件，可得函数在R 上单调递增，再利用分段函数及对数函数单调性()f x 列出不等式求解即得.【详解】函数的定义域为R ，(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩由对任意，都有，得函数在R 上单调递增，12x x ≠1212()()f x f x x x ->-()f x 于是，解得，20130a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩23a <≤所以实数的取值范围为.a (]2,3故选：C 7．B【分析】利用对数的换底公式和运算法则即可得解.【详解】，，，230x y k ==>Q 23log ,log x k y k ==∴11log 2,log 3k k x y ∴==，，则.12log 2log 3log 61k k k x y ∴=+=+=∴26k =6k =故选：B.8．A【分析】由函数的定义域排除C ，由函数的奇偶性排除D ，由特殊的函数值排除B ，结合奇偶性和单调性判断A.【详解】由得，则函数的定义域为，排除选项C ；30x ->33x -<<()ln 3y x =-()3,3-又，所以为偶函数，则图象关于y 轴对称，排除选项D ；()()ln 3ln 3x x --=-()ln 3y x =-当时，，排除选项B ，52x =1ln 02y =<因为为偶函数，且当时，函数单调递减，()ln 3y x =-30x >>()()ln 3ln 3y x x =-=-选项A 中图象符合.故选：A 9．ACD【分析】分析函数的奇偶性与单调性，由已知可得出，结合函数的奇偶性()f x a b >-()f x与单调性可得出合适的选项.【详解】令，对任意的，，即，()()22log 1g x x x =++x ∈R 21x x x+>≥-210x x ++>所以，函数的定义域为，()g x R 则.()()()()2222221log 1log 1log1g x x x x x g x x x⎛⎫-=+--=+-==- ⎪⎝⎭++所以，函数是定义域为的奇函数，()g x R 因为函数、为上的增函数，1u x =221u x =+[)0,∞+所以，内层函数在上为增函数，21u x x =++[)0,∞+外层函数在上为增函数，2log y u =()0,∞+所以，函数在上为增函数，()()22log 1g x x x =++[)0,∞+由于函数是定义域为的奇函数，则该函数在上为增函数，()g x R (],0-∞所以，函数在上单调递增，()()22log 1g x x x =++R 因为的定义域为，则，()f x R ()()()()()33f x x g x x g x f x -=-+-=--=-所以，函数为奇函数，()f x 又因为函数为上的增函数，所以，函数在上单调递增.3y x =R ()f x R 因为，所以，则，即，A 错B 对，0a b +>a b >-()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>又、的大小不确定，故CD 错.a b 故选：ACD.方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.10．ABC【分析】根据题意，由函数的定义，只需满足集合中的每一个元素在集合中都有唯一一P Q 个元素与之对应即可，再结合选项逐一分析，即可得到结果.【详解】选项A ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之1:2f x y x→=P Q 对应，故A 正确；选项B ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，故13:f x y x →=P Q B 正确；选项C ，，集合中的每一个元素在集合中都有唯一一个元素与之对应，1:2xf x y ⎛⎫→= ⎪⎝⎭P Q 故C 正确；选项D ，，集合中的1，在集合中没有元素与之对应，故D 错误；:ln f x y x →=P Q 故选：ABC 11．ABD【分析】根据奇偶性的定义即可判断A,根据基本函数的单调性即可判断BC ，根据反函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，定义域为,关于原点对称，又由于()f x R ()()e e e e ,,22x x x xf x f x --++=-=，所以为偶函数，A 正确，()()=f x f x -()f x 对于B ，，由于函数在单调递增，所以在()e 121e 1e 1x x x f x -==-++e 1xy =+x ∈R 1e 1x y =+单调递减，因此在单调递增，B 正确，x ∈R ()21e 1xf x =-+x ∈R 对于C ，由于函数为定义域上的偶函数，当时，在区间上单调递lg y x=0x >lg y x =()0,∞+增，故C 错误，对于D ，由于函数与互为反函数，所以两者图象关于，D 正13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭133log log y x x ==-y x =确，故选：ABD 12．ACD【分析】令，结合图象可得有3个不同的解，，，不妨设，()t x g =()0f t =1t 2t 3t 123t t t <<则可知，，，令，结合图象可得有2个不同的解121t -<<-2t =312t <<()m f x =()0g m =，，不妨设，则可知，，再数形结合求出复合函数的解的1m 2m 12m m <121m -<<-201m <<个数.【详解】A 选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，，()t x g =()0f t =1t 2t 3t 不妨设，则可知，，，123t t t <<121t -<<-20t =312t <<由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，有2个不同的解，()1g x t =()2g x t =()3g x t =即有6个不同的解，A 正确；()()0f g x =B 选项，令，结合图象可得有2个不同的解，，()m f x =()0g m =1m 2m 不妨设，则可知，，12m m <121m -<<-201m <<由图可知有1个解，有3个不同的解，()1f x m =()2f x m =即有4个不同的解，B 错误；()()0g f x =C 选项，令，结合图象可得有3个不同的解，，()m f x =()0f m =1m 2m 3m 且，，，121m -<<-20m =312m <<由图可知有1个解，有3个不同的解，有1个解，()1f x m =()2f x m =()3f x m =即有5个不同的解，C 正确；()()0f f x =D 选项，令，结合图象可得有两个不同的解，()t x g =()0g t =1t2t 不妨设，则可知，，12t t <121t -<<-201t <<由图可知有2个不同的解，有2个不同的解，()1g x t =()2g x t =即有4个不同的解，D 正确．()()0g g x =故选：ACD ．13．193【分析】利用位数的定义，结合对数运算法则即可得解.k故答案为.14。

高考满分数学压轴题21 导数中的构造函数(可编辑可打印)

近几年高考数学压轴题，多以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，一下问题为例，对在处理导数问题时构造函数的方法进行归类和总结．【方法综述】以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“()()f x g x ±、()()f x g x 、()()f xg x ”等特征式、解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题．方法总结：和与积联系：()()f x xf x '+，构造()xf x ； 22()()xf x x f x '+，构造2()x f x ；3()()f x xf x '+，构造3()x f x ；…………………()()nf x xf x '+，构造()n x f x ；()()f x f x '+，构造e ()x f x ．等等．减法与商联系：如()()0xf x f x ->'，构造()()f x F x x=； ()2()0xf x f x ->'，构造2()()f x F x x =；………………… ()()0xf x nf x ->'，构造()()nf x F x x =． ()()f x f x '-，构造()()e x f x F x =，()2()f x f x '-，构造2()()e x f x F x =，……………… ()()f x nf x '-，构造()()e nxf x F x =，奇偶性结论：奇乘除奇为偶；奇乘偶为奇。

（可通过定义得到）构造函数有时候不唯一，合理构造函数是关键。

给出导函数，构造原函数，本质上离不开积分知识。

【解答策略】类型一、巧设“()()y f x g x =±”型可导函数【例1】已知不相等的两个正实数x ，y 满足()2244log log x y y x -=-，则下列不等式中不可能成立的是导数中的构造函数（） A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<【来源】广东省佛山市2021届高三下学期二模数学试题【答案】B【解析】由已知()2244log log x y y x -=-，因为2log 4x ＝log 2x ，所以原式可变形222log 4g 2lo x x y y =++令()222log f x x x =+，()24log g x x x =+，函数()f x 与()g x 均为()0,∞+上的增函数，且()()f x g y =，且()()11f g =，当1x >时，由()1f x >，则()1g y >，可得1y >，当1x <时，由()1f x <，则()1g y <，可得1y <，要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222224log 2log 2log g x g y g x f x x x x x x x x -=-=+--=-+设()()222log 0h x x x x x =-+>，则()212ln 2h x x x '=-+()2220ln 2h x x ''=--<，故()h x '在()0+∞，上单调递减，又()2110ln 2h '=-+>，()1230ln 2h '=-+<，则存在()01,2x ∈使得()0h x '=，所以当()00,x x ∈时，()0h x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '<，又因为()()()()010,10,412480h h x h h =>==-+=-<，所以当1x <时，()0h x <，当1x >时，()h x 正负不确定，故当1,1x y <<时，()0h x <，所以()()()1g x g y g <<，故1x y <<，当1,1x y >>时，()h x 正负不定，所以()g x 与()g y 的正负不定，所以,,111x y x y y x ><<>>>均有可能，即选项A ，C ，D 均有可能，选项B 不可能．故选：B ．【点睛】本题考查了不等关系的判断，主要考查了对数的运算性质以及对数函数性质的运用，解答本题的关键是要比较x 与y 的大小，只需比较()g x 与()g y 的大小，()()()()222log g x g y g x f x x x x -=-=-+，设()()222log 0h x x x x x =-+>，求导得出其单调性，从而得出,x y 的大小可能性．【举一反三】1．若实数a ，b 满足()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，则a b +=（）A ．2B C ．2D ．【来源】浙江省宁波市镇海中学2021届高三下学期5月模拟数学试题【答案】C 【解析】()ln 1g x x x =--，1()1g x x'=-， ()0g x '>(1,)x ⇒∈+∞，()0g x '<⇒(0,1)x ∈， ∴()g x 在(0,1)x ∈单调递减，在(1,)x ∈+∞单调递增，∴()(1)1ln110g x g =--=，∴1ln 0x x x -≥>，恒成立，1x =时取等号，2211a b +-2221a b -21a b =-， 221ln ln(2)ln a a a bb b-=-， ()221ln 2ln 1a b a b-+-≥，∴2211ln(2)ln a a b b+-=-，又21ab =（不等式取等条件），解得：a b ==，2a b ∴+=，故选：C.2．（2020·河北高考模拟（理））设奇函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，且在(0,)+∞上2'()f x x <，若(1)()f m f m --331[(1)]3m m ≥--，则实数m 的取值范围为（）A ．11[,]22-B ．11(,][,)22-∞-⋃+∞C ．1(,]2-∞- D ．1[,)2+∞【答案】D【解析】由()()1f m f m -- ()33113m m ⎡⎤≥--⎣⎦得：3311(1)(1)()33f m m f m m ---≥-，构造函数31()()3g x f x x =-，2()()0g x f x x '=-<'故g （x ）在()0,+∞单调递减，由函数()f x 为奇函数可得g(x)为奇函数，故g(x)在R 上单调递减，故112m m m -≤⇒≥选D点睛：本题解题关键为函数的构造，由()2'f x x <要想到此条件给我们的作用，通常情况下是提示我们需要构造函数得到新函数的单调性，从而得不等式求解；3．（2020·山西高考模拟（理））定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()251,22x f x f ='>，则关于x 的不等式()13xxf e e <-的解集为（）A ．()20,eB ．()2,e +∞C ．()0,ln 2D ．(),2ln -∞【答案】D 【解析】【分析】构造函数()()1F x f x x=+，利用已知条件求得()'0F x >，即函数()F x 为增函数，而()23F =，由此求得e 2x <，进而求得不等式的解集.【详解】构造函数()()1F x f x x =+，依题意可知()()()222110x f x F x f x x x-=-=''>'，即函数在()0,∞+上单调递增.所求不等式可化为()()1e e 3e x x x F f =+<，而()()12232F f =+=，所以e 2x <，解得ln 2x <，故不等式的解集为(),ln 2-∞.【点睛】本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件()21x f x '>的应用.通过观察分析所求不等式，转化为()1e 3e x x f +<，可发现对于()()1F x f x x=+，它的导数恰好可以应用上已知条件()21x f x '>.从而可以得到解题的思路.4．（2020·河北衡水中学高考模拟（理））定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin 22x f x +>的解集为( )A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->， ()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，故选D5．定义在()0+，∞上的函数()f x 满足()10xf x '-<，且(1)1f =，则不等式()()21ln 211f x x ->-+的解集是__________．【答案】()112，【解析】()()ln F x f x x =-，则()11()()xf x F x f x xx-=-='''，而()10xf x '-<，且0x >，∴()0F x '<，即()F x 在()0+，∞上单调递减，不等式()()21ln 211f x x ->-+可化为()()21ln 2111ln1f x x --->=-，即()()211F x F ->，故210211x x ->-<⎧⎨⎩，解得：112x <<，故解集为：()112，．类型二巧设“()()f x g x ”型可导函数【例】已知定义在R 上的图象连续的函数()f x 的导数是fx ，()()20f x f x +--=，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()10xf x f ->的解集为（）A ．(1,1)-B ．(),1-∞-C ．1,D ．()(),11,-∞-⋃+∞【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第七模拟）【答案】A【解析】当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，即有()()()10f x x f x '++>．令()()()1F x x f x =+，则当1x <-时，()()()()10F x f x x f x ''=++>，故()F x 在(),1-∞-上单调递增．∵()()()()()()22121F x x f x x f x F x --=--+--=---=⎡⎤⎣⎦， ∴()F x 关于直线1x =-对称，故()F x 在()1,-+∞上单调递减，由()()10xf x f ->等价于()()()102F x F F ->=-，则210x -<-<，得11x -<<． ∴()()10xf x f ->的解集为(1,1)-．故选：A. 【举一反三】1．（2020锦州模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，若(2)0f =，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．{20 x x -<<或}02x <C ．{20 x x -<<或}2x >D ．{ 2 x x <-或}02x <<【答案】D ．【解析】令()()F x xf x =，则()F x 为奇函数，且当0x <时，()()()0F x f x xf x '+'=<恒成立，即函数()F x 在()0-，∞，()0+，∞上单调递减，又(2)0f =，则(2)(2)0F F -==，则()0xf x >可化为()(2)F x F >-或()(2)F x F >，则2x <-或02x <<．故选D ．2．（2020·陕西高考模拟）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x ∈R 满足'()()0f x f x +<，则下列结论正确的是（）A ．23(2)(3)e f e f >B ．23(2)(3)e f e f <C ．23(2)(3)e f e f ≥D ．23(2)(3)e f e f ≤【答案】A【解析】令()()xg x e f x = ，则()(()())0xg x e f x f x '+'=<，所以(2)(3),g g > 即()()2323e f e f >，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x <'构造()()xf xg x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 3．（2020·海南高考模拟）已知函数()f x 的导函数'()f x 满足()(1)'()0f x x f x ++>对x ∈R 恒成立，则下列判断一定正确的是（） A ．(0)02(1)f f <，所以函数()g x 在R 上单调递增，所以()()()101g g g -<<，即()()0021f f <<．故选B ． 4．（2020·青海高考模拟（理））已知定义在上的函数满足函数的图象关于直线对称，且当成立（是函数的导数），若，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】令，则当，因为函数的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称，即为偶函数，为奇函数，因此当，即为上单调递减函数，因为，而，所以，选A.5.（2020南充质检）()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21()2()0x f x xf x '++<，且(2)0f =，则不等式()0f x <的解集是（）A ．()()22--+，，∞∞ B ．()()2002-，，C ．()()202-+，，∞D ．()()202--，，∞ 【答案】C ．【解析】构造函数()2()1()g x x f x =+，则()2()1()g x x f x ''=+．又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()2()1()g x x f x =+为奇函数，且当0x >时，()2()1()2()0g x x f x xf x ''=++<，()g x 在()0+，∞上函数单减， ()0()0f x g x <⇒<．又(2)0g =，所以有()0f x <的解集()()202-+，，∞．故选C ．点睛：本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则及构造函数解不等式，属于难题．求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”以构造恰当的函数；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造合适的函数．6．（2020荆州模拟）设函数()f x '是奇函数()f x (x ∈R )的导函数，当0x >时，1ln ()()x f x f x x '<-，则使得()21()0x f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．()()1001-，，B ．()()11--+，，∞∞C ．()()101-+，，∞D ．()()101--，，∞ 【答案】D.【解析】设()ln ()g x x f x =，当0x >时，1()()ln ()0g x f x xf x x'=+<'，()g x 在()0+，∞上为减函数，且(1)0g =，当()01x ∈，时，()0g x >，ln 0x <∵，()0f x <∴，2(1)()0x f x ->；当()1x ∈+，∞时，()0g x <，ln 0x >∵，()0f x <∴，()21()0x f x -<， ∵()f x 为奇函数，∴当()10x ∈-，时，()0f x >，()21()0x f x -<；当()1x ∈--，∞时，()0f x >，()21()0x f x ->．综上所述：使得()21()0x f x -<成立的x 的取值范围是()()101--，，∞ 【点睛】构造函数，借助导数研究函数单调性，利用函数图像解不等式问题，是近年高考热点，怎样构造函数，主要看题目所提供的导数关系，常见的有x 与()f x 的积或商，2x 与()f x 的积或商，e x 与()f x 的积或商，ln x 与()f x 的积或商等，主要看题目给的已知条件，借助导数关系说明导数的正负，进而判断函数的单调性，再借助函数的奇偶性和特殊点，模拟函数图象，解不等式．7．（2020·河北高考模拟）已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(1)()'()0x f x xf x ++>，则（） A ．()0f x > B ．()0f x < C ．()f x 为减函数 D ．()f x 为增函数【答案】A【解析】令()e [()]x g x xf x =，则由题意，得()e [(1)()()]0xg x x f x xf x '+'=+>，所以函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，又因为(0)0g =，所以当0x >时，()0>g x ，则()0f x >，当0x <时，()0<g x ，则()0f x >，而()()()1'0x f x xf x ++>恒成立，则(0)0f >；所以()0f x >；故选A.点睛：本题的难点在于如何利用()()()1'0x f x xf x ++>构造函数()e [()]xg x xf x =。

高考数学函数专题习题与详细答案

函数专题练习1.函数1()x y ex R +=∈的反函数是( )A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2.已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值围是(A )(0,1)(B )1(0,)3 (C )11[,)73(D )1[,1)73.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有(A )1()f x x=(B )()||f x x = (C )()2xf x =(D )2()f x x =4.已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3-∞- 6、下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C . ,y x x R =∈ D7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A .4B .3C . 2D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()xf x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>g)C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， (A )0 (B )1 (C )2 (D )3 11、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥ba b ba a ＜,,，函数f (x )＝max {|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是(A )0 (B )12 (C ) 32(D )3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （一）填空题(4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解21---函数中的构造问题

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数中的构造问题题型一导数型构造函数命题点1利用f (x )与x 构造例1(2022·湘豫名校联考)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，若a ＝2f (1)，b ＝f (2)，c ＝4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，则a ，b ，c 的大小关系是() A ．c 0)，得g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )－f (x )x ，由题知当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (2)2>f (1)1>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即f (2)>2f (1)>4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即b >a >c . 思维升华 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n .跟踪训练1设f (x )为定义在R 上的奇函数，f (－3)＝0.当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是()A ．(－∞，－3)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(0,3)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案B解析令g (x )＝x 2f (x )，x ∈R ，当x >0时，g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]>0，即g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (x )为R 上的奇函数，即f (－x )＝－f (x )，于是得g (－x )＝(－x )2f (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，g (x )在(－∞，0)上单调递增，又f(－3)＝0，则g(3)＝－g(－3)＝－[(－3)2f(－3)]＝0，当x>0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(3)，得x>3，当x<0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(－3)，得－3<x<0，综上，得－3<x<0或x>3，所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(－3,0)∪(3，＋∞)．命题点2利用f(x)与e x构造例2已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立，a＝f(2)e2，b＝f(0)，则a，b的大小关系为________．答案a<b解析构造F(x)＝f(x)e x，则F′(x)＝e x f′(x)－e x f(x)e2x＝f′(x)－f(x)e x，导函数f′(x)满足f′(x)<f(x)，则F′(x)<0，F(x)在R上单调递减，F(2)<F(0)，即f(2)e2<f(0)．思维升华(1)出现f′(x)＋f(x)形式，构造函数F(x)＝e x f(x)；(2)出现f′(x)－f(x)形式，构造函数F(x)＝f(x) e x.跟踪训练2已知f(x)是定义在R上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，满足：e x f(x)＋(e x＋1)·f′(x)>0，且f(1)＝12，则不等式f(x)>e＋12(e x＋1)的解集为()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)答案D解析令g (x )＝(e x ＋1)f (x )，则g ′(x )＝e x f (x )＋(e x ＋1)f ′(x )>0，所以g (x )在R 上单调递增，不等式f (x )>e ＋12(e x ＋1)可化为(e x ＋1)f (x )>e ＋12，而f (1)＝12，则g (1)＝(e ＋1)f (1)＝e ＋12，即g (x )>g (1)，所以x >1，即不等式的解集为(1，＋∞)．命题点3利用f (x )与sin x 、cos x 构造例3(2022·重庆模拟)定义在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有()A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 答案C解析构造函数g (x )＝f (x )cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2. 则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x (cos x )2<0，即函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，同理g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 思维升华函数f (x )与sin x ，cos x 相结合构造可导函数的几种常见形式F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；F (x )＝f (x )sin x ，F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；F (x )＝f (x )cos x ，F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 跟踪训练3已知R 上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )，且当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )sin x＋f (x )cos x <0，若a ＝22f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a 与b 的大小关系为________．答案a <b解析设φ(x )＝f (x )·sin x ，则φ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ，∴x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )<0，即φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为奇函数，∴φ(x )为偶函数，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·sin π4，即－12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6>22f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，即22f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，∴a 0，g (t )＝ln t －t ，则g ′(t )＝1t －1＝1－t t ，当0<t <1时，g ′(t )>0，当t >1时，g ′(t )<0，所以g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t ＝1时，g (t )取得极大值即最大值g (1)＝－1，因为当t →0时，g (t )→－∞，所以g (t )∈(－∞，－1]，所以ln2a ≤－1，所以0<a ≤12e ，所以实数a 的最大值为12e .(2)已知当x ≥e 时，不等式x a＋1x －1e x ≥a ln x 恒成立，则正实数a 的最小值为() A ．1B.1e C ．eD.1e 2答案B解析由题意，原不等式可变形为1e x －1x ≤x a －a ln x ，即1e x －ln 1e x ≤x a －ln x a ，设f (x )＝x －ln x ，则当x ≥e 时，f (1e x )≤f (x a )恒成立，因为f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x ≥e ，a >0，所以1e x >1，x a >1，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以要使f (1e x )≤f (x a )，只需1e x ≤x a ，两边取对数，得1x ≤a ln x ，因为x ≥e ，所以a ≥1x ln x .令h (x )＝x ln x (x ∈[e ，＋∞))，因为h ′(x )＝ln x ＋1>0，所以h (x )在[e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝e ，所以0<1x ln x ≤1e ，则a ≥1e ，故正实数a 的最小值为1e .思维升华同构法的三种基本模式：①乘积型，如a e a ≤b ln b 可以同构成a e a ≤(ln b )e ln b ，进而构造函数f (x )＝x e x；②比商型，如e a a b ±ln b ，同构后可以构造函数f (x )＝e x ±x 或f (x )＝x ±ln x . 跟踪训练4(1)(2022·常州模拟)若0<x 1<x 2<1，则下列不等式成立的是()A ．x 21e x >x 12e xB ．x 21e x <x 12e xC ．2e x －1e x >ln x 2－ln x 1D ．1e x －2e x >ln x 2－ln x 1答案A解析构造函数f (x )＝e x x (0<x <1)，因为f ′(x )＝e x (x －1)x 2<0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以22e x x <11e x x ，即x 21e x >x 12e x ，所以选项A正确，选项B错误；构造函数h(x)＝e x－ln x(0<x<1)，h′(x)＝e x－1 x ，易知h′(x)在(0,1)上单调递增，而h′(1)＝e－1>0，当x→0＋时，h′(x)→－∞，所以存在x0∈(0,1)，使h′(x0)＝0，所以h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，1)上单调递增，所以无法判断C选项的正确性；构造函数g(x)＝e x＋ln x(0<x<1)，易知g(x)在(0,1)上单调递增，因为0<x1<x2<1，所以1e x＋ln x1<2e x＋ln x2，即1e x－2e x<ln x2－ln x1，所以选项D不正确．(2)已知函数f(x)＝e x－ln x＋kx－1在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，则实数k＝________.答案1解析令f(x)＝0得，k＝x e x－x－ln x＝e ln x·e x－x－ln x＝e ln x＋x－x－ln x，令x＋ln x＝t，所以t∈R，所以k＝e t－t，令φ(t)＝e t－t，φ′(t)＝e t－1，令φ′(t)>0，得t>0，令φ′(t)<0，得t<0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以φ(t)min＝φ(0)＝1，且当t→－∞时，φ(t)→＋∞，当t→＋∞时，φ(t)→＋∞，所以k＝1.在解决不等式恒(能)成立，求参数的取值范围这一类问题时，最常用的方法是分离参数法，转化成求函数的最值，但在求最值时如果出现“00”型的代数式，就设法求其最值．“00”型的代数式，是大学数学中的不定式问题，解决此类问题的有效方法就是利用洛必达法则．法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)＝0及limx→ag(x)＝0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′(x)g′(x)＝A，那么limx→af(x)g(x)＝limx→a f′(x)g′(x)＝A.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)＝∞及limx→ag(x)＝∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′(x)g′(x)＝A，那么limx→af(x)g(x)＝limx→af′(x)g′(x)＝A.例1已知函数f(x)＝x ln x，若对任意x>1，都有f(x)>a(x－1)成立，求实数a的取值范围．解当x>1时，f(x)>a(x－1)，即a<x ln xx－1，令φ(x)＝x ln xx－1(x>1)，φ′(x )＝x －1－ln x(x －1)2，令g (x )＝x －1－ln x (x >1)，∴g ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )>g (1)＝0，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，由洛必达法则知lim x →1φ(x )＝lim x →1x ln x x －1＝lim x →1(1＋ln x )＝1， ∴a ≤1.故实数a 的取值范围是(－∞，1]．例2已知函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2(a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝－1处有极值，求a 的值．(2)当x >0时，f (x )≥0，求实数a 的取值范围．解(1)f ′(x )＝e x －1＋x e x －2ax＝(x ＋1)e x －2ax －1，依题意知f ′(－1)＝2a －1＝0，∴a＝1 2.经检验a＝12符合题意．(2)方法一当x>0时，f(x)≥0，即x(e x－1)－ax2≥0，即e x－1－ax≥0，令φ(x)＝e x－1－ax(x>0)，则φ(x)min≥0，φ′(x)＝e x－a.①当a≤1时，φ′(x)＝e x－a>0，∴φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(x)>φ(0)＝0，∴a≤1满足条件．②当a>1时，若0<x<ln a，则φ′(x)<0，若x>ln a，则φ′(x)>0.∴φ(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(ln a)＝a－1－a ln a≥0.令g(a)＝a－1－a ln a(a>1)，∴g ′(a )＝1－(1＋ln a )＝－ln a <0，∴g (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴g (a )<g (1)＝0与g (a )≥0矛盾，故a >1不满足条件，综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]．方法二当x >0时，f (x )≥0，即x (e x －1)－ax 2≥0，即e x －1－ax ≥0，即ax ≤e x －1，即a ≤e x －1x 恒成立，令h (x )＝e x －1x (x >0)，∴h ′(x )＝e x(x －1)＋1x 2，令k (x )＝e x (x －1)＋1(x >0)，∴k ′(x )＝e x ·x >0，∴k (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴k (x )>k (0)＝0，∴h ′(x )>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．由洛必达法则知，lim x→0h(x)＝limx→0e x－1x＝limx→0e x＝1，∴a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]．课时精练1．已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2023，且f′(x)≥6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2020的解集为()A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案B解析令函数g(x)＝f(x)－3x2，因为g′(x)＝f′(x)－6x≥0，所以g(x)在R上单调递增．因为g(1)＝f(1)－3＝2020，所以不等式f(x)>3x2＋2020等价于g(x)>g(1)，所以x>1.2．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a＝f(1)，b＝f(ln4) ln4，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b答案A解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0， ∴g (x )为减函数．∵3>ln4>1，∴g (3)<g (ln4)<g (1)，即a >b >c .3．(2022·青铜峡模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞)答案A解析令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ， ∵f (x )>f ′(x )，∴g ′(x )<0，即g (x )为减函数，又f (0)＝1，故g (0)＝f (0)e 0＝1，则不等式f (x )<e x 等价于f (x )e x <1＝g (0)，即g (x )<g (0)，解得x >0，故不等式的解集为(0，＋∞)．4．若函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x <f (x )cos x 恒成立，则() A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4 C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4 答案C解析因为任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x －f (x )cos x <0恒成立，又当x ∈(－π，0)时，sin x <0，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )sin x ′＝f ′(x )sin x －f (x )cos x (sin x )2<0，所以y ＝f (x )sin x 在(－π，0)上单调递减，因为－5π6<－3π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6－12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4－22，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4. 5．已知a ＝ln 33，b ＝e －1，c ＝3ln28，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．b >c >aB ．a >c >bC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析依题意得a ＝ln 33＝ln33，b ＝e －1＝lne e ，c ＝3ln28＝ln88.令f (x )＝ln x x (x >0)，则f ′(x )＝1－ln x x 2，易知函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减．所以f (x )max ＝f (e)＝1e ＝b ，且f (3)>f (8)，即a >c ，所以b >a >c .6．若e 2b＋12(a －1)2＝e a ＋12(2b －1)2，则() A ．a >2b B ．a ＝2bC ．a <2bD ．a >b 2答案B解析∵e 2b ＋12(a －1)2＝e a ＋12(2b －1)2，∴e a －12(a －1)2＝e 2b －12(2b －1)2，令f (x )＝e x －12(x －1)2，∴f ′(x )＝e x －x ＋1，令g (x )＝e x －x ＋1，∴g ′(x )＝e x －1，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )min ＝g (0)＝2，∴g (x )>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在R 上为增函数，又e a －12(a －1)2＝e 2b －12(2b －1)2，则f (a )＝f (2b )，∴a ＝2b .7．已知a ，b ∈(0，e)，且a b e aC ．a ln b b ln a答案C解析设g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2，所以g (x )＝e x x 在(0,1)上单调递减，在(1，e)上单调递增．所以当a ，b ∈(0，e)，a 0，得0<x <e ，由f ′(x )<0，得x >e ，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因为a ，b ∈(0，e)，且a b ln a .所以选项C 不正确，D 正确．8．已知定义域为R 的函数f (x )的图象连续不断，且∀x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝4x 2，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<4x ，若f (2m ＋1)－f (－m )≤6m 2＋8m ＋2，则实数m 的取值范围是()A ．[－1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞D ．[1，＋∞) 答案B解析依题意得，f (x )＋f (－x )＝4x 2，故f (x )－2x 2＝－[f (－x )－2(－x )2]，令g (x )＝f (x )－2x 2，则g (x )＝－g (－x )，所以函数g (x )为奇函数，g ′(x )＝f ′(x )－4x ，因为当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<4x ，即当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝f ′(x )－4x <0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，由g (x )为奇函数可知，g (x )在R 上单调递减，因为f (2m ＋1)－f (－m )≤6m 2＋8m ＋2，故f (2m ＋1)－2·(2m ＋1)2≤f (－m )－2·(－m )2，即g (2m ＋1)≤g (－m )，故2m ＋1≥－m ，则m ≥－13，所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞. 9．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式e x f (x )>e x ＋3的解集为________．答案(0，＋∞)解析将f (x )＋f ′(x )>1左右两边同乘e x 得，e xf (x )＋e x f ′(x )－e x >0，令g (x )＝e x f (x )－e x ，则g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x >0，所以g (x )在R 上单调递增，且g (0)＝f (0)－1＝3，不等式e x f (x )>e x ＋3等价于e x f (x )－e x >3，即g (x )>g (0)，所以x >0.10．若x <y 时，不等式2(sin x －sin y )<m (x －y )恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析因为∀x <y ，恒有2(sin x －sin y )<m (x －y )，即2sin x －mx <2sin y －my ，令f(x)＝2sin x－mx，所以∀x<y，有f(x)<f(y)，所以f(x)在R上单调递增，所以f′(x)＝2cos x－m≥0恒成立，即m≤2cos x，所以m≤－2.11．(2022·深圳模拟)已知a，b，c∈(0,1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c ＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是________．答案a>b>c解析设f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝e x－x，则f(a)＝g(1)，f(b)＝g(2)，f(c)＝g(3)，又g′(x)＝e x－1>0(x>0)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)>g(2)>g(1)，即f(c)>f(b)>f(a)，因为f′(x)＝2x－2x ＝2(x2－1)x<0(x∈(0,1))，所以f(x)在(0,1)上单调递减，所以a>b>c.12．若不等式x e x－a≥ln x＋x－1恒成立，则实数a的最大值为________．答案2解析∵x e x－a≥ln x＋x－1，∴e ln x＋x－a≥ln x＋x－1，令t＝ln x＋x，则e t－a≥t－1恒成立，则a≤e t－t＋1恒成立，令φ(t)＝e t－t＋1，∴φ′(t)＝e t－1，当t∈(－∞，0)时，φ′(t)<0；当t∈(0，＋∞)时，φ′(t)>0，∴φ(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴φ(t)min＝φ(0)＝2，∴a≤2，故a的最大值为2.。

高考数学函数与不等式好题单选100训练含详解

高考数学函数与不等式好题单选100训练1．已知函数()f x =A ，集合15{|}B x x =<<-，则集合A B 中整数的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{A x y ==，124xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()RAB =（）A ．∅B ．12x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C ．{}1x x >-D ．112x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭3．1≥x 是12x x+≥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“13m <<”是“方程2211m 3x y m 表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2()22x xx f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．设函数()2,0,0⎧≥=⎨-<⎩x x f x x x ，则()2f f -⎡⎤⎣⎦的值是（）．A ．2 B ．3 C ．4D ．57．函数()()01f x x =- ） A ．()1,+∞B ．()2,-+∞C ．()()2,11,-⋃+∞D ．R8．已知集合102x M xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}21,N y y x x M ==-∈，则M N =（）A ．∅B ．()2,3-C ．[)1,1-D ．()0,19．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,210．已知函数2(1)21f x x x +=++，那么(1)f x -=（） A ．2x B ．21x + C ．221x x -+D ．221x x --11．已知函数()212x f x x +=+，则()3f =（）A ．17B ．12C ．8D ．312．已知0a >且1a ≠，函数()()233,1log ,1a a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，满足12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x ->-成立，那么实数a 的取值范围（）A ．()1,2B ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．()1,+∞D ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭13．下列函数中，既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（） A ．cos y x = B ．211y x =+ C ．22x x y -=-D ．ln y x =14．若()2f x x x =+，则满足()()1f a f a -≤的a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．已知()f x 为奇函数，当0x ≥时，()24xf x x m =-+，则当0x <时，()f x =（）A ．241x x --+B ．241x x ----C ．241x x --+-D ．241x x --++16．下列函数既是奇函数又是增函数的是（） A ．sin y x =B ．2x y =C ．2log y x =D ．3y x =17．设定义在R 上的奇函数()f x 满足，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有()()21210f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式2()3()0f x f x x+-≥的解集为（）A ．(,3][3,)-∞-+∞B ．[3,0)[3,)-+∞C ．(,3](0,3]-∞-D ．[3,0)(0,3]-18．已知函数()32x f x x =+，则不等式2332f m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的解集为（）．A ．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭19．已知定义域为R 的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，且(2)()f x f x +=-，若3245f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则20214f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．25B ．25-C ．35D ．53-20．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()41=-x f x ，则72f ⎛⎫=⎪⎝⎭（） A ．-1B ．0C ．1D ．221．已知函数())3f x x =-，若()1f a =-，则()f a -=（） A ．－7B ．－6C ．－5D ．－422．已知函数()21x x x f k =-+在[]2,5上具有单调性，则k 的取值范围是（）A ．[]2,5B ．[]4,10C ．(][),410,-∞⋃+∞D ．(][),22,-∞-+∞23．已知0.20.30.30.30.2,2,a b c ===，则它们的大小关系是（） A ．a b c < ）A ．54mB ．52mC ．mD ．127．已知函数()e 1e 1x x f x -=+，则（）A ．函数()f x 是奇函数，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 是奇函数，在区间(),0∞-上单调递减C ．函数()f x 是偶函数，在区间()0,∞+上单调递减D ．函数()f x 非奇非偶，在区间(),0∞-上单调递增 28．log 5(log 3(log 2x ))＝0，则12x -等于（）A BC D ．2329．函数()22x xy x -=-的图象关于（）对称A ．x 轴B ．y 轴C ．原点D ．直线y x =30．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，3(2)x f x =-，则(1)f -=（） A ．1B ．1-C ．14D ．114-31．若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．32．设函数()f x =2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为（）A ．(],4∞-B ．(],1-∞C ．(]0,4D ．(]0,133．已知函数(2)x y f =的定义城为[]1,1-．则函数2(lo )g y f x =的定义域为（）A ．[－1，1]B ．[12，2]C ．[1，2]D ．4]34．已知函数()21xf +的定义域为()3,5，则函数()21f x +的定义域为（）A ．()1,2B ．()9,33C ．()4,16D ．()3,535．设2log 5a =，0.52b =，4log 10c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a < B ．1x y< C ．0x y -<D ．0x y ->37．已知()1,2x ∀∈，不等式()2log 21220xx m +++>恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．()10,-+∞B ．[)10,-+∞C ．()3,-+∞D ．[)3,∞-+38．当102x <<时，4log xa x <，则a 的取值范围是（）A ．(0B ．1)C ．，1)D ．39．心理学家有时使用函数()()1e ktL t A -=-来测定在时间t （单位：min ）内能够记的量L ，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率．假设一个学生有100个单词要记忆，记忆率0.02k =，则该学生要求记忆50个单词大约需要（）（ln 20.7≈）A ．28minB ．35minC ．42minD ．49min40．已知1ea =，ln 77b =，ln 55c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<41．已知实数b 满足23b =，则函数()2xf x x b =+-的零点所在的区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,342．43lg8-+（）A ．1B ．1-C ．12D ．12-43．已知实数a ，b ，c 满足1.5 3.1a =，50.1b =，422log 16log e c =，则（） A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>44．设()f x 为偶函数，且当0x >时，()1ln f x x =+，则当0x <时，()f x =（） A ．()1ln x ---B ．()1ln x -+-C ．()l ln x +-D ．()1ln x --45．设()f x =12x f ⎛+⎫⎪⎝⎭的定义域为（）A ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)1,+∞C ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)0,∞+46．函数()()()21log 21a f x x -=+在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则a 的取值范围是（）A ．1a <2<D．a <<47．函数()lg 1f x ⎛= ⎝的值域为（）A ．(),-∞+∞B ．()(),00,-∞⋃+∞C ．(),0-∞D ．()0,∞+48．已知函数()1lg 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x 、2x ，则下列关系式正确的是（）A ．1201x x <≠的反函数的图象过点()1,3，则()2log 8f =（） A ．1-B ．1C ．2D ．351．已知函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，则函数g （x ）=log a （x -m ）+1（a >0，且a ≠1）的图象所过定点P 的坐标是（） A ．（2，1） B ．（0，2） C ．（1，2）D ．（-1，2）52．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则函数()()()sin 2πx f g x x =-在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和是（）A ．10B ．8C ．6D ．453．已知函数()22,0lg ,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()11g x f x =--的零点个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．454．设函数()y f x =在R 上可导，则()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆（）A ．()1f 'B ．()113f ' C ．()31f 'D ．以上都不对55．已知函数()e (1)x f x x f -'=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（） A ．2e y x =B ．2e 2e y x =-C ．2e e y x =+D ．2e 3e y x =-56．对于函数()ln f x x x =，以下判断正确的是（） A ．无极大值无极小值 B ．在()1,+∞是增函数C ．()f x 有两个不同的零点D ．其图象在点()1,0处的切线的斜率为057．已知()f x 为偶函数，且当x ＞0时，()1x f x e x -=+，则曲线()y f x =在()()1,1f --处的切线斜率是（） A ．－2B ．－1C ．－eD ．e58．若曲线1e x y -=与曲线y ==a （）A B C ．2eD ．1e59．函数()3321e xf x x =++，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ''++---的值是（） A ．3B ．2C ．1D ．060．已知函数()()2223ln 9f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（）A ．209-B ．119-C ．79D ．16961．已知函数()312f x x x =-，则（）A ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增B ．函数()f x 在(),∞∞-上有两个零点C ．函数()f x 有极大值16D ．函数()f x 有最小值16-62．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0xf x f x '+>，且()12f =，则()2e e x xf >的解集为（） A ．()0,+∞B ．()ln2,+∞C ．()1,+∞D ．0,163．已知f (x )为R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且对于任意的x ∈R ，均有()()'0f x f x +>，则（）A ．e －2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)<f (0)B ．e －2 021f (－2 021)<f (0)，e 2 021f (2 021)<f (0)C ．e －2 021f (－2 021)>f (0)，e 2 021f (2 021)>f (0)D ．e －2 021f (－2 021)<f (0)，e 2 021f (2 021)>f (0)64．已知函数()2e 1x f x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实数a 的取值范围为（）A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭65．函数 ()y f x =的导函数()y f x ='的图象如图所示，给出下列命题：∈3-是函数()y f x =的极值点； ∈1-是函数()y f x =的最小值点； ∈()y f x =在区间()3,1-上单调递增； ∈()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（） A ．∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈66．已知函数ln ()xf x x x=-，则（） A ．()f x 的单调递减区间为(0,1) B ．()f x 的极小值点为1 C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-67．已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(), -∞⋃+∞B ．⎡⎣C ．(,)-∞⋃+∞D ．(68．函数()cos 2x f x x =-在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．2π-B ．12π+ C ．-1 D ．12π-69．已知函数()32132x ax f x ax =+++既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,4B ．[]0,4C ．()(),04,-∞⋃+∞D ．(][),04,-∞+∞70．已知函数()8sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]0,4x π∈，则()f x 所有极值点的和为（）A ．223πB ．13πC ．17πD ．503π71．如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +=（）A ．23B ．43C ．83D ．12372．已知2x =是2()2ln 3f x x ax x =+-的极值点，则()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．92ln 32-B ．52-C ．172ln 318--D ．2ln 24-73．设a R ∈，若不等式ln ax x >在()1,x ∞∈+上恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,∞+D ．()e,+∞74．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l ，左右两端均为半球形，其半径为r ，若其表面积为S ，则胶囊的体积V 取最大值时r =( )ABCD75．若函数21()2f x x a x =--，当13x ≥时，()0f x ≤恒成立，则a 的取值范围（）A ．(],3-∞B ．[)3,+∞C ．25,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．25,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭76．已知函数2()ln 2a f x x x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，都有1212()()4f x f x x x -≥-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)4∞+，B ．()4.∞+C ．(]4∞-，D ．()4∞-，77．若函数()1ln f x x a x=+-在区间()1,e 上只有一个零点，则常数a 的取值范围为（） A ．1a ≤B ．a e >C ．111a e <<+D ．11a e<<78．数列{}n a 为等差数列，且2020202204a a x π+=⎰，则()2021201920212023a a a a ++=（） A ．1B ．3C ．6D ．1279．在()()*1nx n N +∈二项展开式中2x 的系数为15，则10n x dx ⎰（）A ．17B ．7C ．15D ．10380．已知函数()3f x x =，()g x = ）A ．23B ．3C ．32D ．51281．下列不等式成立的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，则11a b< C ．若0a b <<，则22a ab b << D ．若a b >，则33a b >82．已知25a b ≤+≤，21a b -≤-≤，则3a b -的取值范围是（） A ．[]1,4- B ．[]2,7- C ．[]7,2-D ．[]2,783．若παβπ-<<<，则αβ-的取值范围是（） A ．22παβπ-<-< B ．02αβπ<-<C ．20παβ-<-<D ．{}084．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为P =160-2x ，生产x 件所需成本为C （元），其中C =500+30x ，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（） A ．20≤x ≤30，x ∈N * B ．20≤x ≤45，x ∈N * C ．15≤x ≤30，x ∈N *D ．15≤x ≤45，x ∈N *85．当02x ≤≤时，若220x x a --≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(),1-∞-D ．(),0-∞86．若关于x 的不等式2830x x a --+≤在15x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．10a ≤B ．19a ≥C ．10a ≥D ．19a ≤87．已知命题p ：[]1,1x ∃∈-，2330x x a --->；q ：x R ∀∈，230x x a -+≠，若p 为假命题，q 为假命题，则实数a 的取值范围为（） A ．3,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,2-C ．[]1,2D ．91,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦88．已知全集U =R ，2511x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，则UA（）A ．(]1,2B ．(](),12,-∞+∞C ．[)1,2D ．()[),12,-∞+∞89．22132x x x +≥-+的解集是（）A ．{}12x x <≤B ．{10x x -≤<或}23x <≤C ．{}04x x ≤≤D ．{01x x ≤<或}24x <≤90．若变量,x y 满足约束条件50,20,4,x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩则32z x y =-的最小值为（）A ．5-B ．72-C ．52-D ．2-91．设0,0m n >>，且21m n +=，则11m n+的最小值为（） A ．4B．3C．3+D ．692．已知函数()2sin 4sin 9sin 2x x f x x -+=-，则函数()f x （）A．有最小值B．有最大值-C ．有最大值92-D ．没有最值93．已知a ，b 为正实数，且228a b ab ++=，则2+a b 的最小值为（） A ．4B ．92C ．5D ．11294．若2x >，则2242x x y x -+=-的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．895．设0,0m n >>，且2520m n +=，则mn 的最大值为（）A B ．C ．10D ．2096．已知0t >，函数y = ） A ．1B ．2C ．3D ．497．一元二次方程()25400ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（） A ．0a C ．2a <-D ．1a >98．不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，函数2y ax x c =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．99．设实数m ，n 分别满足2192010m m ++=，220190n n ++=且1m n ⋅≠，则232mn m n++的值为（） A ．3719B ．3719-C ．319D ．319-100．已知函数()ln x f x x=，若关于x 的方程()()210f x af x a ++-=⎡⎤⎣⎦仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,1e e --B ．(]1,1e -C ．()1,1e -D ．()1,2e e -参考答案：1．C 【解析】【分析】根据根式的性质及解一元二次不等式求定义域A ，再应用集合交运算求A B ，即可知整数的个数. 【详解】由题设，230x x -≥，可得定义域{|0A x x =≤或3}x ≥，所以{|10A B x x =-<≤或35}x ≤<，故其中整数元素有{0,3,4}共3个. 故选：C 2．D 【解析】【分析】求出集合A 、B ，B R，再由交集的运算可得答案.【详解】设集合{{}{}3101===+≥=≥-A x y x x x x ，{}21122242-⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<=>-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭xx B x x x x ，则1|2⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭R B x x ，所以()1|12⎧⎫=-≤≤-⎨⎬⎩⎭RAB x x .故选：D. 3．A 【解析】【分析】由12x x+≥得0x >，进而根据充分不必要条件求解即可. 【详解】解：12x x +≥等价于2210x x x-+≥，即()()222110x x x x x -+=-≥，所以0x >，即不等式12x x+≥的解集为0x >，所以1≥x 是0x >充分不必要条件. 所以1≥x 是12x x+≥的充分不必要条件故选：A 4．B 【解析】【分析】根据方程2211m 3x y m 表示椭圆13m <<，且m ≠2，再判断必要不充分条件即可. 【详解】解：方程22113x ym m +=--表示椭圆满足103013m m m m ->⎧⎪-<⎨⎪-≠-+⎩，解得13m <<，且m ≠2所以“13m <<”是“方程2211m 3x y m 表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 5．D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性排除AC 选项，特殊值检验排除排除B 选项，进而可求出结果. 【详解】由于函数2()22x x x f x -=+的定义域为R ,且()()22()2222x x x x x x f x f x ----===++, 所以()f x 为偶函数，故排除AC 选项；5525800(5)221025f -==+，4416256(4)22257f -==+，由于()(5)4f f <，因此()f x 在()0,∞+上不是单调递增，故排除B 选项, 故选：D. 6．C 【解析】根据x 的范围代入相应的解析式即可. 【详解】函数()2,0,0⎧≥=⎨-<⎩x x f x x x ，则()()224f f f ⎡⎤-==⎣⎦．故选：C ． 7．C 【解析】【分析】根据函数解析式，列出满足的条件，解得答案. 【详解】由已知1020102x x x -≠⎧⎪+≠⎪⎨⎪≥⎪+⎩，解得2x >-且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()2,11,-⋃+∞，故选：C ． 8．C 【解析】【分析】分别求出集合,M N ，再根据交集的定义即可得出答案. 【详解】解：()(){}{}10120212x M xx x x x x x -⎧⎫=<=-+<=-<<⎨⎬+⎩⎭， {}{}21,13N y y x x M y y ==-∈=-≤<，则{}[)111,1M N x x ⋂=-≤<=-. 故选：C. 9．D 【解析】【分析】令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转求二次函数与指数函数的值域即可.令22t x x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∈()222111t x x x =-=--≥-，∈(],2120ty ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，∈函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,2，故选：D 10．C 【解析】【分析】采用换元即可求出答案. 【详解】令11t x x t =+⇒=-，则22()(1)2(1)1f t t t t =-+-+=，22(1)(1)21f x x x x -=-=-+. 故选：C. 11．C 【解析】【分析】先利用换元法求()f x 的解析式，再代入3x =计算即可. 【详解】解：设1t x =+，则1x t =-，从而()12122(1)221t t f t t t t --=+-=+-+，即()12221x f x x x -=+-+，故()31232323149618f -=+-⨯+=+-+=.故选：C. 12．D 【解析】【分析】由题可知函数()f x 在区间R 上为增函数，则f (x )在x ＝1左右两侧均为增函数，且左侧在x ＝1出函数值小于或等于右侧在x ＝1出函数值. 【详解】由题可知函数()f x 在区间R 上为增函数，则()2012330a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞＋，解可得524a ≤：＜.故选：D. 13．D 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性、奇偶性以及函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，函数cos y x =为偶函数，且在()0,∞+上不单调；对于B 选项，令()211f x x =+，该函数的定义域为R ，()()()221111f x f x x x -===+-+，所以，函数211y x =+为偶函数，且该函数在()0,∞+上单调递减；对于C 选项，令()22x x g x -=-，该函数的定义域为R ，()()22x xg x g x --=-=-，所以，函数22x x y -=-为奇函数；对于D 选项，令()ln h x x =，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()ln ln h x x x h x -=-==，所以，函数ln y x =为偶函数，当0x >时，ln y x =，故函数ln y x =在()0,∞+上为增函数. 故选：D. 14．C 【解析】【分析】通过分析函数的奇偶性及单调可解决问题.【详解】因为()2()f x x x f x -=+=，且函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 为定义域R 上的偶函数，又当0x >时，()2f x x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以()()1f a f a -≤，则有|1|||a a -≤，解得12a ≥. 故选：C 15．C 【解析】【分析】根据奇函数的性质()()f x f x =--即可算出答案. 【详解】因为()f x 为奇函数，所以()010f m =-=，即1m =．当0x <时，0x ->，()()()224141x x f x f x x x --⎡⎤=--=---+=-+-⎣⎦．故选：C 16．D 【解析】【分析】根据给定条件利用奇偶性定义判断排除，再利用函数单调性判断作答. 【详解】指数函数2x y =，对数函数2log y x =都是非奇非偶函数，即选项B ，C 都不正确；正弦函数sin y x =是R 上的奇函数，但在定义域R 上不单调，选项A 不正确；幂函数3y x =是R 上的奇函数，且在R 上单调递增，选项D 正确. 故选：D 17．A 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可求解. 【详解】因为对任意()12,0,x x ∈+∞,且12x x ≠都有()()21210f x f x x x -<-，所以函数在()0,∞+上单调递减，又()f x 是在R 上的奇函数，则在(),0∞-上也单调递减，由()30f =，则()30f -=，2()3()2()3()()0f x f x f x f x f x x x x +---==≥，当0x >时，()0f x ≤，即()()3f x f ≤解得3x ≥，当0x <时，()0f x ≥，即()()3f x f ≥-，解得3x ≤-，综上，不等式的解集为(][),33,∞∞--⋃+，故选：A. 18．C 【解析】【分析】判断函数()32x f x x =+的单调性，又()13f =，所以将不等式转化为()2312f m m f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，利用函数的单调性求解关于m 的一元二次不等式即可. 【详解】因为()32x f x x =+在R 上单调递增，()13f =，所以不等式2332f m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭等价于()2312f m m f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得2312m m -<，即22320m m --<，解得122m -<<．故选：C ． 19．A 【解析】【分析】根据(2)()f x f x +=-，()()0f x f x +-=，得到(4)()f x f x +=求解. 【详解】因为(2)()f x f x +=-，()()0f x f x +-=，所以()()f x f x -=-，所以(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以2021505411505444f f f⨯+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1112641144f f ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1321445f f ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 20．A 【解析】【分析】利用函数()f x 的性质，将72f ⎛⎫⎪⎝⎭变形为12f⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用题目提供的解析式计算即可. 【详解】解：()f x 是R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()41=-x f x1272331241121222221f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+==-+=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 21．C 【解析】【分析】根据题意，求出()f x -的解析式，再根据对数的运算可知()()6f x f x +-=-，即可求解. 【详解】解：∈())3f x x =-，∈())3f x x -=-，则()()6f x f x +-=-， ∈()1f a =-，∈()5f a -=-. 故选：C. 22．C 【解析】由函数()21x x x f k =-+，求得对称轴的方程为2k x =，结合题意，得到22k ≤或52k≥，即可求解. 【详解】由题意，函数()21x x x f k =-+，可得对称轴的方程为2k x =，要使得函数()f x 在[]2,5上具有单调性，所以22k ≤或52k≥，解得4k ≤或10k ≥．故选：C. 23．B 【解析】【分析】根据幂函数、指数函数的性质判断大小关系. 【详解】由00.30.20.20.3020.30.20.2210.3c a b >===>>>==，所以b a c <<. 故选：B 24．B 【解析】【分析】由已知结合指数的运算可得，23x y +=，然后根据21122()222x y xy x y +=⨯⨯≤可求最值．【详解】解：x ，(0,)∈+∞y ，且3212()24x y y --==，32x y ∴-=-，即23x y +=，∴则21129(2)()2228x y xy x y +=⨯≤=，当且仅当322x y ==时取得最大值98．故选：B ． 25．A【分析】根据根式的性质，结合分数幂指数与根式的互化公式、指数幂的公式进行逐一判断即可. 【详解】A ：因为3(2)8-=-2-，因此本选项正确； B：因为=C133344()()y x y x ≠+=+，所以本选项不正确；D ：因为222n n m m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以本选项不正确，故选：A 26．C 【解析】【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．【详解】 0m >m===.故选：C ． 27．A 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，然后结合复合函数的单调性判断()f x 的单调性，由此确定正确选项. 【详解】()()1e e 1e 1e e 1e 1e 1e xx x x x x x xf x f x -------=-=-==+++，故()f x 是奇函数. 又()e 1221e 1e 1x x x f x +-==-++，由复合函数单调性可知()f x 单调递增.故选：A 28．C【分析】根据对数运算公式得到log 3(log 2x )＝1，进而得到log 2x ＝3，x ＝8，根据指数幂运算可得到结果. 【详解】∈log 5(log 3(log 2x ))＝0，∈log 3(log 2x )＝1，∈log 2x ＝3，∈x ＝23＝8，∈11228x --==故选：C. 29．B 【解析】【分析】判断函数的奇偶性即可得函数图象的对称性. 【详解】函数()22x xy x -=-的定义域为R ，又()()()()2222x x x xf x x x f x ---=--=-=，所以()22x xy x -=-为偶函数，函数()22x xy x -=-的图象关于y 轴对称故选：B. 30．A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，得出()()11f f -=-，即可求解. 【详解】因为0x >时，()23xf x =-，由题意函数()f x 为奇函数，所以()()111(23)1f f -=-=--=.故选：A.【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3x f x g x --+-=，即()()3x f x g x --=，由()()()()33x x f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由3312x x -+≥=，排除BC ．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ．故选：A 32．A 【解析】【分析】先求出()f x 的定义域，再令2x满足()f x 的定义域范围求出x 的范围即可得2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域. 【详解】由903x -≥即39x ≤可得2x ≤ 所以()f x 的定义域为{}2|x x ≤，令22x≤，可得4x ≤，所以函数2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域为(],4∞-，故选：A ． 33．D 【解析】【分析】抽象函数求解定义域，要满足同一对应法则下取值范围相同，定义域是x 的取值范围. 【详解】因为[]1,1x ∈-，所以1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故21,2log 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得：x ⎤∈⎦. 故选：D 34．C 【解析】计算()219,33x+∈，根据抽象函数定义域得到92133x <+<，解得答案.【详解】当()3,5x ∈时，()219,33x+∈，故92133x <+<，解得416x <<.故选：C. 35．A 【解析】【分析】利用指对数函数的性质比较a ，b ，c 的大小. 【详解】由22444log 5log 42log 16log 10log 8 1.5b a c =>==>=>>= 所以b c a <<. 故选：A 36．C 【解析】【分析】由指数函数的性质可知()20212022x xf x -=-是R 上的增函数；根据题意可知2021202220212022x x y y ---<-，即()()f x f y <，再根据函数的单调性，可得x y <，由此即可得到结果．【详解】令()20212022x xf x -=-，由于2021,2022x x y y -==-均为R 上的增函数，所以()20212022x xf x -=-是R 上的增函数，因为2021202120222022x y x y ---<-，所以2021202220212022x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<. 故选：C ． 37．D【分析】分析可知()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，利用二次不等式的性质可得出关于实数m 的不等式，即可得解. 【详解】由已知可得()22120x xm ⨯++>，则()22220x x m ++>对任意的()1,2x ∈恒成立，因为()22,4x∈，所以，22220m ++≥，解得3m ≥-.故选：D. 38．C 【解析】【分析】分类讨论1a >和01a <<两种情况，根据对数和指数函数的单调性结合4log xa x <得出a 的取值范围. 【详解】解：由题意可得：当1a >时，结合102x <<可得：log 04x a x <<，不满足题意；当01a <<时，log a y x =在区间1(0,)2上单调递减，4x y =在区间1(0,)2上单调递增，满足题意4log xa x <时有：1214log ()2a ，即：1log ()22a ．求解不等式可得实数a 的取值范围是：．故选：C 39．B 【解析】【分析】将100A =，0.02k =，()50L t =代入等式()()1e ktL t A -=-，求出t 的值，即可得解.【详解】令()0.02501001e t-=-，可得50ln 235=≈t .40．A 【解析】【分析】根据实数的结构形式，构造函数，利用导数判断单调性，最后进行比较大小即可．【详解】设2ln 1ln ()(0)()x xf x x f x x x -'=>⇒=，当e x >时，()0,()f x f x '<单调递减，1(e)e a f ==，ln 7(7)7b f ==，ln 5(5)5c f ==，因为75e >>，所以(7)(5)(e)f f f <<，即b c a <<，故选：A ． 41．B 【解析】【分析】由已知可得2log 3b =，结合零点存在定理可判断零点所在区间. 【详解】由已知得2log 3b =，所以()22log 3xf x x =+-，又()122121log 3log 3021f -=-=----<，()02220log 31log 300f =+-=-<， ()12221log 33log 301f =+-=-> ()22222log 36log 302f =+-=->， ()32223log 311log 303f =+-=->，所以零点所在区间为()0,1，故选：B. 42．A 【解析】【分析】根据对数的运算算出结果即可.【详解】433232495lg8lg lg16lg(495)lg1494916⨯⨯+=-+⨯==⨯，故选：A43．B【解析】【分析】先通过对数的运算性质和换底公式将c化简，进而通过中间量0和1并结合对数函数的单调性确定出a,b,c的范围，然后比较出大小.【详解】依题意，()1.5log 3.11,a=∈+∞，()5log0.1,0b=∈-∞，()2422222log4211ln20,1ln elog e log e log eln2c=====∈，故a c b>>.故选：B．44．C【解析】【分析】利用偶函数的定义经计算即可得解.【详解】因()f x为偶函数，且当0x>时，()1lnf x x=+，因此，当0x<时，0x>-，()()1ln()f x f x x=-=+-，所以()1ln()f x x=+-.故选：C45．C【解析】【分析】先求得()f x的定义域，然后求得12xf⎛+⎫⎪⎝⎭的定义域.【详解】依题意30431,344,14x x x <-≤<≤<≤，所以()f x 的定义域为3,14⎛⎤⎥⎝⎦，所以03111,04,22214x x x <≤--+≤<≤<，所以函数12x f ⎛+⎫ ⎪⎝⎭的定义域为1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：C 46．B 【解析】【分析】通过换元得到()()21log 0,0,1a y t t -=>∈，根据对数函数的性质可得2201112a a <-<⇒<<，解出不等式即可得到结果. 【详解】函数()()()21log 21a f x x -=+，令()210,1t x =+∈，()()21log 0,0,1a y t t -=>∈ 根据对数函数的性质可得2201112a a <-<⇒<<解得1a <<1a <<-. 故选：B. 47．D 【解析】【分析】利用换元法，令t=，则0t >，从而可得111t =+>，然后利用对数的单调性可求得答案【详解】设t=，则0t >，∈111t =+>， ∈()lg 1lg 10t⎛=+> ⎝，∈函数()lg 1f x⎛= ⎝的值域为()0,∞+，故选：D ．48．A【解析】【分析】转化为两个函数图像相交问题，结合图形可得.【详解】()1lg 3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点即为函数lg y x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点横坐标，如图. 记213x m ⎛⎫ ⎪⎝=⎭，则23lg lg x x m =-=，210m x =，310m x -= 所以023101x x == 由图知1301x x <<<所以1201x x <<故选：A49．C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法，“同增异减”求得函数的递减区间.【详解】令2t x x =- ，则由20t x x =->，得01x << ，而函数13log y t = 是单调减函数，要求213()log ()f x x x =-的单调递减区间，就要求2t x x =-的递增区间，而2t x x =-的递增区间为1(,)2-∞ ，故213()log ()f x x x =-得单调递减区间为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选：C.50．B【解析】【分析】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数求出a 值，再借助对数运算即可作答.【详解】依题意，函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的反函数是x y a =，即函数x y a =的图象过点()1,3，则3a =，()3log f x x =，于是得()2323log 8log (log 8)log 31f ===，所以()2log 81f =.故选：B51．A【解析】【分析】根据幂函数的定义，结合对数函数的性质进行求解即可.【详解】解：∈函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，∈3m -2=1，∈m =1，∈g （x ）=log a （x -1）+1，令x -1=1得x =2，此时g （2）=log a 1+1=1，∈函数g （x ）的图象所过定点P 的坐标是（2，1），故选：A ．52．A【解析】【分析】数形结合，函数()f x 与()sin 2πy x =在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点横坐标即为g (x )的零点，根据对称性即可求零点之和.如图所示，()f x 与()sin 2πy x =在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上一共有10个交点，且这10个交点的横坐标关于直线1x =对称，所以()g x 在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和是10．故选：A ．53．C【解析】【分析】通过解法方程()0g x =来求得()g x 的零点个数.【详解】由()0g x =可得()11f x -=.当0x ≤时，2211x x x +=⇒=-1x =-，当0x >时，lg 110x x =⇒=或110x =.故112x x -=-=()g x 的零点，1109x x -=⇒=-是()g x 的零点，1911010x x -=⇒=是()g x 的零点. 综上所述，()g x 共有3个零点.故选：C54．B【解析】根据极限的定义计算．【详解】由题意()()()()00111111lim lim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆．故选：B ．55．D【解析】【分析】由导数的几何意义得出切线方程.【详解】()e e x x f x x ='+，则(1)2e,(1)e 2e e f f ==-=-'，由点斜式得2e 3e y x =-.故选：D.56．B【解析】【分析】求函数的导数，结合函数单调性，极值，函数零点的性质分别进行判断即可．【详解】函数()ln f x x x =定义域为()0,∞+，()1ln f x x '=+，令()0f x '=，则1=x e ，故D 错误；当10x e <<时，()'0f x <，函数为减函数，当1x e>时，()'0f x >，函数()f x 为增函数，故B 正确；当1=x e 时，函数取得极大值，极大值为f （1e ）1e =-，故A 错误，作出函数的图象，可知C 错误.故选：B57．A【解析】【分析】利用偶函数求0x <的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求()()1,1f --处的切线斜率.【详解】设0x <，则0x ->，1()e x f x x ---=-，又()f x 为偶函数，∈1()e x f x x --=-，则对应导函数为1()e 1x f x --'=--，∈()12f '-=-，即所求的切线斜率为2-故选：A58．A【解析】【分析】设公共点为(),P s t ，根据导数的几何意义可得出关于a 、s 的方程组，即可解得实数a 、s 的值.【详解】设公共点为(),P s t ，1e x y -=的导数为1e x y -'=，曲线1e x y -=在(),P s t 处的切线斜率1e s k -=，y =y '，曲线y =(),P s t处的切线斜率k =因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以1e s -=1e s t -=，t =所以11e e s s --⎧=⎪⎨⎪=⎩=12s =，所以112e -=，解得a =故选：A ．59．A【解析】【分析】求出()f x '，计算出()()f x f x -+以及()()f x f x ''-=，即可得解.【详解】()3321e x f x x =++，则()()222223e 3e 3666e 12e e e 21e x x x x x x x f x x x x -'=-=-=-+++++，所以，()()()()3331e 333e 32231e 1e 1e 1e e 1e x x x x x xx x f x f x x x --+-+=-+++=+==+++++， ()()()223366e e 2e e 2x x x x f x x x f x --''-=⨯--=-=++++，因此，()()()()20222022202220223f f f f ''++---=.故选：A.60．D【解析】【分析】对函数进行求导，求出(3)2f '=，再令1x =代入解析式，即可得到答案；【详解】'41()2(3)9f x f x x'∴=-+，∴41(3)2(3)33f f ''=-+(3)1f '⇒=， 22()2ln 9f x x x x ∴=-+，216(1)299f ∴=-=，故选：D.61．C【解析】【分析】对()f x 求导，研究()f x 的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.【详解】()'2312f x x =-，由()'0f x >，得2x <-或2x >，由()'0f x <，得22x -<<，所以()f x 在(),2-∞-上递增，在()2,2-上递减，在()2,+∞上递增，所以极大值为(2)160f -=>，极小值为(2)160f =-<，所以()f x 有3个零点，且()f x 无最小值.故选：C62．A【解析】【分析】令()()g x xf x =，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式()2e e x xf >. 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，故()g x 为R 上的增函数，而()2e e x x f >可化为()()e e 211x x f f >=⨯即()()g e 1x g >，故e 1x >即0x >，所以不等式()2e ex x f >的解集为()0,+∞，故选：A.63．D【解析】【分析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.【详解】构造函数()()()()()''e ,e 0x x F x f x F x f x f x ⎡⎤=⋅=+⋅>⎣⎦，所以()F x 在R 上递增，所以()()()()20210,02021F F F F -<<，即()()()()20212021e 20210,0e 2021f f f f -⋅-<<⋅.故选：D64．B【解析】【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，()2e x f x x a '=+，因为函数()()2e 1x f x x a a R =+-∈有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根，亦即2e x x a -=有两个不等实根. 令()2e x x g x =，则()()21e xx g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 21eg x g ==，又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，所以2e 0a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，解得20e a -<<，即a 的范围是2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B65．C【解析】【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '≥， ∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，故∈正确；则3-是函数()y f x =的极小值点，故∈正确；在()3,1-上单调递增，∴1-不是函数()y f x =的最小值点，故∈不正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故∈不正确．故选：C ．66．C【解析】【分析】对函数()f x 求导，即可得到()f x 的单调区间与极值点，即可判断．【详解】解：因为ln ()x f x x x =-，所以2221ln 1ln ()1x x x f x x x---=-='，令2()1ln x x x ϕ=--，则1()20x x xϕ'=--<，所以2()1ln x x x ϕ=--在(0,)+∞上单调递减，因为()10ϕ=，所以当01x <<时，()0x ϕ>，即()0f x '>；当1x >时，()0x ϕ<，即()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，故()f x 的极大值点为1，()()11f x f ==-极大值，即()()max 11f x f ==-，不存在最小值．故选：C ．67．B【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数()f x 在()-∞+∞，上是单调递减函数，由()0f x '≤在()-∞+∞，上恒成立求解.【详解】解：()321f x x ax x =-+--，()2321f x x ax ∴=-+-'，因为函数()f x 在()-∞+∞，上是单调递减函数，所以()0f x '≤在()-∞+∞，上恒成立，。

(完整版)高考数学函数专题习题及详细答案

函数专题练习1。

函数1()x y e x R +=∈的反函数是（）A ．1ln (0)y x x =+>B ．1ln (0)y x x =->C ．1ln (0)y x x =-->D ．1ln (0)y x x =-+>2。

已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是(A ）(0,1) (B ）1(0,)3 (C ）11[,)73（D ）1[,1)73。

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠，1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x=（B )()||f x x = (C ）()2x f x =(D ）2()f x x =4。

已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时,()lg .f x x =设63(),(),52a f b f ==5(),2c f =则(A ）a b c << （B ）b a c << (C ）c b a << (D ）c a b <<5.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C 。

11(,)33- D . 1(,)3-∞-6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A .3 ,y x x R =-∈B . sin ,y x x R =∈C 。

,y x x R =∈R7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如右图所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =A 。

4B .3C . 2D .18、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是(A )()()f x f x -是奇函数（B )()()f x f x -是奇函数（C ) ()()f x f x --是偶函数（D ） ()()f x f x +-是偶函数9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则A ．()22()x f x e x R =∈B ．()2ln 2ln (0)f x x x =>C ．()22()x f x e x R =∈D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+>)10、设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（A ）0 (B )1 （C ）2 （D )311、对a ，b ∈R ，记max {a ，b }＝⎩⎨⎧≥b a b ba a ＜,,，函数f （x ）＝max {|x ＋1｜，｜x －2|｝（x ∈R )的最小值是(A ）0 （B ）12 (C ) 32（D ）3 12、关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题: ①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（一）填空题（4个)1.函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。

高考数学专题《函数的单调性与最值》习题含答案解析

专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则（） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确；因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>，因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-．故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =，所以(3)(3)0f f -==．作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>，所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<，即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】解：定义域为{}0x x ≠，因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++，因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以(4)(4)0f f -=-=，所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数．作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<．综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减，故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-，所以，函数()f x 为偶函数，当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数，故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =，因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题．故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<，所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈，因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增，当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣；当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减，当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---，故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断，即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞，而1x和11x +在各段定义域内均为减函数，故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误；当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+，当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确；令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-，令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确，故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在；对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =，即存在“倍值区间”[0,2；故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦，当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，．【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题．【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >．即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+，当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+，此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增，而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==，练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③。

高中数学高考总复习函数概念习题及详解

高中数学高考总复习函数概念习题及详解一、选择题1．(文)(2010·浙江文)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] B[解析] 由题意知，f (a )＝log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·广东六校)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ∈(－∞，2]log 2x x ∈(2，＋∞)，则满足f (x )＝4的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或16[答案] C[解析] 当f (x )＝2x 时.2x ＝4，解得x ＝2. 当f (x )＝log 2x 时，log 2x ＝4，解得x ＝16. ∴x ＝2或16.故选C.2．(文)(2010·湖北文，3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x >02x x ≤0，则f (f (19))＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14[答案] B[解析] ∵f (19)＝log 319＝－2<0∴f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x－1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1lg x 0>1⇒x 0<0或x 0>10.3．(2010·天津模拟)若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个[答案] C[解析] 由x 2＝1得x ＝±1，由x 2＝4得x ＝±2，故函数的定义域可以是{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1,2，－1}，{1,2，－2}，{1，－2，－1}，{－1,2，－2}和{－1，－2,1,2}，故选C.4．(2010·柳州、贵港、钦州模拟)设函数f (x )＝1－2x1＋x ，函数y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则g (1)等于( )A ．－32B ．－1C ．－12D ．0[答案] D[解析] 设g (1)＝a ，由已知条件知，f (x )与g (x )互为反函数，∴f (a )＝1，即1－2a1＋a ＝1，∴a ＝0.5．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )[答案] A[解析] 解法1：y ＝f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位得y ＝f (1－x )的图象，故选A.解法2：由f (0)＝0知，y ＝f (1－x )的图象应过(1,0)点，排除B 、C ；由x ＝1不在y ＝f (x )的定义域内知，y ＝f (1－x )的定义域应不包括x ＝0，排除D ，故选A.高考总复习含详解答案6．(文)(2010·广东四校)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表，填写下列g (f (x ))的表格，其三个数依次为( )A.3,1,2 C ．1,2,3D ．3,2,1[答案] D[解析] 由表格可知，f (1)＝2，f (2)＝3，f (3)＝1，g (1)＝1，g (2)＝3，g (3)＝2， ∴g (f (1))＝g (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2，g (f (3))＝g (1)＝1， ∴三个数依次为3,2,1，故选D.(理)(2010·山东肥城联考)已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g [f (x )]＝x 的解集为( ) A ．{1} B ．{2} C ．{3}D ．∅[答案] C[解析] g [f (1)]＝g (2)＝2，g [f (2)]＝g (3)＝1； g [f (3)]＝g (1)＝3，故选C.7．若函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13B. 2C.22D ．2[答案] D[解析] ∵0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2，又∵0≤log a (x ＋1)≤1，故a >1，且log a 2＝1，∴a ＝2.8．(文)(2010·天津文)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x ＜g (x )g (x )－x ，x ≥g (x )，则f (x )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－94，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞) [答案] D[解析] 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2 x <－1或x >2x 2－x －2 －1≤x ≤21°当x <－1或x >2时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74 由函数的图可得f (x )∈(2，＋∞)．2°当－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94，故当x ＝12时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－94，当x ＝－1时，f (x )max ＝f (－1)＝0， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－94，0. 综上所述，该分段函数的值域为⎣⎡⎦⎤－94，0∪(2，＋∞)． (理)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x ) (x ≤0)f (x －1)－f (x －2) (x >0)，则f (2010)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[答案] B[解析] f (2010)＝f (2009)－f (2008)＝(f (2008)－f (2007))－f (2008)＝－f (2007)，同理f (2007)＝－f (2004)，∴f (2010)＝f (2004)，∴当x >0时，f (x )以6为周期进行循环， ∴f (2010)＝f (0)＝log 21＝0.9．(文)对任意两实数a 、b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ；b ，若a >b函数f (x )＝log 12(3x高考总复习含详解答案－2)*log 2x 的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)[答案] C[解析] ∵a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，若a ≤b ，b ，若a >b .而函数f (x )＝log 12(3x －2)与log 2x 的大致图象如右图所示，∴f (x )的值域为(－∞，0]．(理)定义max{a 、b 、c }表示a 、b 、c 三个数中的最大值，f (x )＝max{⎝⎛⎭⎫12x，x －2，log 2x (x >0)}，则f (x )的最小值所在范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,3)[答案] C[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝x －2与y ＝log 2x 的图象，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝log 2x 图象的交点为A (x 1，y 1)，y ＝x －2与y ＝log 2x 图象的交点为B (x 2，y 2)，则由f (x )的定义知，当x ≤x 1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，当x 1<x <x 2时，f (x )＝log 2x ，当x ≥x 2时，f (x )＝x －2，∴f (x )的最小值在A 点取得，∵0<y 1<1，故选C.10．(文)(2010·江西吉安一中)如图，已知四边形ABCD 在映射f ：(x ，y )→(x ＋1,2y )作用下的象集为四边形A 1B 1C 1D 1，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积是12，则四边形ABCD 的面积是()A ．9B ．6C ．6 3D ．12[答案] B[解析] 本题考察阅读理解能力，由映射f 的定义知，在f 作用下点(x ，y )变为(x ＋1,2y )，∴在f 作用下|A 1C 1|＝|AC |，|B 1D 1|＝2|BD |，且A 1、C 1仍在x 轴上，B 1、D 1仍在y 轴上，故S ABCD ＝12|AC |·|BD |＝12|A 1C 1|·12|B 1D 1|＝12SA 1B 1C 1D 1＝6，故选B.(理)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤02 x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 解法1：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－4)2＋b ·(－4)＋c ＝c (－2)2＋b ·(－2)＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 x ≤02 x >0，当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x 得，x ＝2， ∴方程f (x )＝x 有3个解．解法2：由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2可得，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图如图所示．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．二、填空题11．(文)(2010·北京东城区)函数y ＝x ＋1＋lg(2－x )的定义域是________． [答案] [－1,2)[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x >0得，－1≤x <2.(理)函数f (x )＝x ＋4－x 的最大值与最小值的比值为________． [答案]2[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ≥04－x ≥0，∴0≤x ≤4，f 2(x )＝4＋2x (4－x )≤4＋[x ＋(4－x )]＝8，且f高考总复习含详解答案2(x )≥4，∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤22，故所求比值为 2.[点评] (1)可用导数求解；(2)∵0≤x ≤4，∴0≤x 4≤1，故可令x 4＝sin 2θ(0≤θ≤π2)转化为三角函数求解．12．函数y ＝cos x －1sin x －2 x ∈[0，π]的值域为________．[答案] ⎣⎡⎦⎤0，43 [解析] 函数表示点(sin α，cos α)与点(2,1)连线斜率．而点(sin α，cos α)α∈[0，π]表示单位圆右半部分，由几何意义，知y ∈[0，43]．13．(2010·湖南湘潭市)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，有下列函数①f (x )＝sin2x ②g (x )＝x 3 ③h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ④φ(x )＝ln x .其中是一阶整点函数的是________．(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④[解析] 其中①只过(0,0)点，④只过(1,0)点；②过(0,1)，(1,1)，(2,8)等，③过(0,1)，(－1,3)等．14．(文)若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝________.[答案] 2011[解析] 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝1，∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2012)f (2011)＝2011. (理)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有的正确命题的序号为________． [答案] ①②[解析] ①f (x )＝x |x |＋c＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c ，x ≥0－x 2＋c ，x <0，如右图与x 轴只有一个交点．所以方程f (x )＝0只有一个实数根正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx 显然是奇函数．③当c ＝0，b <0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ，x ≥0－x 2＋bx ，x <0如右图方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 三、解答题15．(文)(2010·深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨，(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －1206t (0≤t ≤24) 令6t ＝x ，则x 2＝6t 且0≤x ≤12，∴y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40(0≤x ≤12)； ∴当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨． (2)依题意400＋10x 2－120x <80，得x 2－12x ＋32<0，解得4<x <8，即4<6t <8，∴83<t <323；∵323－83＝8，∴每天约有8小时供水紧张．(理)某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 长度为x 米．(1)要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，AB 长度应在什么范围内？ (2)若规划建设的仓库是高度与AB 长度相同的长方体形建筑，问AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)高考总复习含详解答案[解析] (1)依题意得三角形NDC 与三角形NAM 相似，所以DC AM ＝ND NA ，即x 30＝20－AD20，AD ＝20－23x ，矩形ABCD 的面积为S ＝20x －23x 2 (0<x <30)，要使仓库占地ABCD 的面积不少于144平方米，即20x －23x 2≥144，化简得x 2－30x ＋216≤0，解得12≤x ≤18. 所以AB 长度应在[12,18]内．(2)仓库体积为V ＝20x 2－23x 3(0<x <30)，V ′＝40x －2x 2＝0得x ＝0或x ＝20，当0<x <20时，V ′>0，当20<x <30时V ′<0，所以x ＝20时，V 取最大值80003m 3，即AB 长度为20米时仓库的库容最大．16．(2010·皖南八校联考)对定义域分别是Df ，Dg 的函数y ＝f (x )，y ＝g (x )，规定：函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )，当x ∈Df 且x ∈Dg ，f (x )，当x ∈Df 且x ∉Dg ，g (x )，当x ∈Dg 且x ∉Df .(1)若函数f (x )＝1x －1，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；(2)求问题(1)中函数h (x )的值域；(3)若g (x )＝f (x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f (x )，及一个α的值，使得h (x )＝cos4x ，并予以证明．[解析] (1)由定义知，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x －1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)，1，x ＝1.(2)由(1)知，当x ≠1时，h (x )＝x －1＋1x －1＋2，则当x >1时，有h (x )≥4(当且仅当x ＝2时，取“＝”)；当x <1时，有h (x )≤0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)．则函数h (x )的值域是(－∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)．(3)可取f (x )＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g (x )＝f (x ＋α)＝cos2x －sin2x ，于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x .(或取f (x )＝1＋2sin2x ，α＝π2，则g (x )＝f (x ＋α)＝1－2sin2x .于是h (x )＝f (x )f (x ＋α)＝cos4x )．[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解，关键是读懂h (x )的定义，第(3)问是一个开放性问题，乍一看可能觉得无从下手，但细加观察不难发现，cos4x ＝cos 22x －sin 22x ＝(cos2x ＋sin2x )(cos2x －sin2x )积式的一个因式取作f (x )，只要能够找到α，使f (x ＋α)等于另一个因式也就找到了f (x )和g (x )．17．(文)某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图所示：该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如表所示：(1)(2)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)[解析] (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20 (0<t <25，t ∈N *)－t ＋100 (25≤t ≤30，t ∈N *) (2)图略，Q ＝40－t (t ∈N *) (3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800 (0<t <25，t ∈N *)t 2－140t ＋4000 (25≤t ≤30，t ∈N *)高考总复习含详解答案＝⎩⎪⎨⎪⎧－(t －10)2＋900 (0<t <25，t ∈N *)(t －70)2－900 (25≤t ≤30，t ∈N *) 若0<t <25(t ∈N *)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N *)，则当t ＝25时，y max ＝1125.由1125>900，知y max ＝1125，∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大． (理)(2010·广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每投入x 万元，可获得纯利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获纯利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192·(60－x )万元，问仅从这10年的累积利润看，该规划方案是否可行？[解析] 在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W 1＝100×10＝1000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100知，每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元) 前5年的利润和为7958×5＝39758(万元) 设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而剩下的(60－x )万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2＝[－1160(x －40)2＋100]×5＋(－159160x 2＋1192x )×5＝－5(x －30)2＋4950. 当x ＝30时，W 2＝4950(万元)为最大值，从而10年的总利润为39758＋4950(万元)． ∵39758＋4950>1000， ∴该规划方案有极大实施价值．。

2023北京高考数学21题

高考数学试卷一、单选题1.已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =12 2.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A ．120B ．35C ．310D ．9103.已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,34.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.25255 D.56.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（）A.12B.6C.27D.307.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞8．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件9.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤10．函数21x y x +=-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞11.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2x f x -=12.已知函数()11f x x x =--，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______14.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.三、解答题15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cosC b cosA acosB ⋅=⋅+(1)求角C ；(2)若9a =，1cos 3A =-，求边c 16.已知函数1()2f x x x =+-（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围17.已知函数2()2sin cos 233(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.18.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的多少倍？19.已知α、β是方程24420x mx m -++=的两个实根，设()22f m a β=+（1）求函数()f m 的解析式；（2）当m 为何值时，()f m 取得最小值？20.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x2+y2的值；（2）（x-y ）2的值.（3）若不等式f （2x ）≧m ·2x 对x ЄR 恒成立，求实数m 的取值范围。

专题21：函数的奇偶性基础巩固检测题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

f（﹣x2）﹣f（﹣x1）＜0，﹣f（x2）+f（x1）＜0，f（x1）＜f（x2）， g（﹣x2）﹣g（﹣x1）＜0，g（x2）＜g（x1） ∴f（x）为增函数，g（x）为减函数. 故选：C．
8．设函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x log3 x 1 ，则 f 8 （）
A． a b c
B． a c b
C． c b a
D． b c a
【答案】D
【分析】
根据 f x 的解析式得 f x 为 R 上的奇函数，构造函数 g x xf x ，可得 g x 为
R 上的偶函数，再结合 g x 的单调性即可得解．
【详解】
解：由题意知函数 f x 的定义域为 R ，且 f x ex ex f x ，所以 f x 为 R
2x
1
2x
2x 3x x2 4
，
令
g
x
2x
2x x2 43x源自，则gx2 x
2x 3x x2 4
2x 2x 3x x2 4
gx，
即 g x 为奇函数，图象关于原点对称，
g x f x1，
g(x)max M 1 ， g(x)min m 1 ，且 g(x)max g(x)min 0 ， M 1 m 1 0 ，则 M m 2 ．
C．f（x）为增函数，g（x）为减函数
D．f（x）为减函数，g（x）为增函数
【答案】C
【分析】
设 0 x1 x2 ，则 x2 x1 0 ，根据定义结合奇偶函数性质即可判断.
【详解】
解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），设 0＜x1＜x2，﹣x2＜﹣x1＜0， ∵f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，