12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
逆矩阵及初等变换
先假设n阶矩阵A, 满足 A ≠ 0， 即 矩阵A是可逆的
则有下列公式： 则有下列公式：
( A | E ) n×2 n ( E | A ) n×2 n →
行初等变换
1
施行初等行变换， 即对 n × 2n 矩阵 ( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1 .
例3
6 4 2 * 得 A = 3 6 5 , 所以 2 2 2
1 3 2 1 * 3 5 1 . A = A = 3 A 2 2 1 1 1
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例2 设
1 2 3 1 3 2 1 A = 2 2 1, B = 5 3, C = 2 0, 3 4 3 3 1
1 1 1
(4).若A可逆 则A 也可逆 且( A ) = ( A ) . , ,
T
T 1
1 T
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例1 解
1 2 3 . 求方阵 A = 2 2 1的逆阵 3 4 3 ≠0， 可逆。 经计算可得： |A| = 2 ≠0，知A可逆。 经计算可得： | 可逆
A11= 2，A21= 6，A31=－4， 2， 6， A12=－3，A22=－6，A32=5， =5， A13= 2，A23= 2，A33=－2， 2， 2，
1 * A = A, A
1
A A . 其中 *为方阵 的伴随阵
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由定理1和定理2可得：矩阵 由定理1和定理2可得：矩阵A 是可逆方阵的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 。 | 称为奇异方阵 否则称为非 奇异方阵， 当 |A| = 0 时，A 称为奇异方阵，否则称为非 | 奇异阵。 奇异阵。 推论 ），则 若 AB = E（或 BA = E），则B = A -1 。 （ ），
求矩阵逆的方法
求矩阵逆的方法
矩阵逆是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们解决许多实际问题。
矩阵逆的求解方法有很多，这里简单介绍几种常用的方法： 1. 初等变换法：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵，然后将单位矩阵的变换过程反过来，即可得到矩阵的逆矩阵。
2. 行列式法：根据矩阵的行列式与伴随矩阵的关系，可以用伴随矩阵来求解矩阵的逆。
3. 克拉默法则：适用于$n$阶方阵，通过求解线性方程组的行列式来求解矩阵的逆。
以上是一些比较基础的求解矩阵逆的方法，实际运用中还有其他更加高效的方法。
在使用矩阵逆的过程中，需要注意的是，矩阵逆不是所有矩阵都有，只有非奇异矩阵（行列式不为0的矩阵）才有逆矩阵。
此外，求解矩阵逆的过程中需要注意精度问题。
- 1 -。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵的转置、乘法(初等变换)、逆
转置矩阵的行和列分别是原矩阵的列和行。
转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即 det(A^T) = det(A)。
02 矩阵的乘法（初等变换）
矩阵乘法的定义与规则
定义
矩阵的乘法是将两个矩阵按一定的顺序相乘，得到一个新的矩阵。
规则
矩阵乘法需要满足特定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数。
初等列变换及其应用
定义
初等列变换是指对矩阵进行某些列操作，如交换两列、将某一列乘以非零常数或加到另一列等，使得矩阵变为另 一种形式。
应用
初等列变换在矩阵理论中也有着广泛的应用，如求矩阵的逆、求行列式等。
03 矩阵的逆
矩阵逆的定义与条件
定义
如果存在一个矩阵A的逆矩阵A^(-1)，使得 $AA^(-1) = A^(-1)A = I$，其中I为单位矩阵，则称A为可逆 矩阵。
计算方法
按照矩阵乘法的规则，将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元 素相乘，然后按一定的顺序组合起来，得到新的矩阵。
初等行变换及其应用
定义
初等行变换是指对矩阵进行某些行操 作，如交换两行、将某一行乘以非零 常数或加到另一行等，使得矩阵变为 另一种形式。
应用
初等行变换在矩阵理论中有着广泛的 应用，如解线性方程组、求矩阵的秩、 判断矩阵是否可逆等。
THANKS
对于两个矩阵 A 和 B，(A+B)^T = A^T + B^T
对于实数 k，kA^T = (kA)^T
01
03 02
Байду номын сангаас
矩阵转置的性质
转置矩阵的元素满足：a_{ij} = a_{ji}，即矩阵的 对角线元素不变，非对角线元素互换。
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
矩阵的初等变换与逆矩阵的求法汇总
定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个 方程组，则新方程组与原方程组同解。
此性质在矩阵中如何体现呢？
2.1.2 矩阵的初等变换
1
12r2
0
1 1
1 1
2
0
1
2
0 3 3 2
0 3 3 2
1 0
1 2
1
2
r1 r2 r3 3r2
0
0
1 0
1 2
3
1
2
7
2 2
1
23 r3
0
0 1
2x2 x3 1
2x1 x2 x3 2
解 将矩阵的增广矩阵作行初等变换
1 1 1 0
1 1 1 0
0
2
1
1
r3 2r1 0
2
1
1
2 1 1 2
0 3 3 2
1 1 1 0 2 1
0 1
1
O
1
Rijຫໍສະໝຸດ ()Cij
(
)
MO
L 1
O
1
初等矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是同一 类型的初等矩阵，容易验证：
Rij-1=Rij （Ri()）-1=Ri(1/) （Rij()）-1= Rij(－)
初等矩阵与初等变换有什么关系呢？
第十二讲 矩阵的初等行变换
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
r3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)
1 0
1 1
1 0
1 4
1 2
1 3
0 0 2 18 8 12
0 0 1 9 4 6
r1 + r3 1 0 0 6 3 4
r1 r2
0 0
1 0
0 1
4 9
2 4
3 6
特别要注意将元素化为零 的先后顺序.
12
所以
6 3 4
A1
c
就称矩阵 A 与 B 列等价，记作 A～ B．
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
7
等价关系的性质： (i) 反身性 A~A (ii) 对称性 若 A~B 则 B~A (iii)传递性 若 A~B B~C 则A~C
8
三、利用初等变换求矩阵的逆的方法
变换 ri rj 的逆变换为 ri rj ;
变换 ri k
的逆变换为
ri
(1 k
)
或
ri
k;
变换 ri + krj 的逆变换为 ri + (k)rj 或 ri krj .
5
a11 A a21
a31
a12 a22 a32
r1
r3
a 31 a21
a11
a
32
a22
r1
r3
10
例2.设
A
0 3
2 0
12，求 A1.
2 3 0
解:
0 2 1 1 0 0
( A, E) 3 0 2 0 1 0
矩阵的初等变换与逆矩阵
取 定 k 行 k 列 [ k m in ( m , n )]， 则 位 于 这 k 行 和 k列 交 点 上 的 元 素 , 按 原 顺 序 可 构 成 一 个 k阶 行 列 式 ， 称 这 个 k阶 行 列 式 为 矩 阵 A 的 一 个 k 阶 子 式.
k k 注 ： n 矩 阵 A 的 k 阶 子 式 共 有 C m C n个 . m
（ k c i ：数k乘第i列， 0 ） k
（3）将矩阵的某一列乘以数k后加到另一列， （ c i k c j ：第j列的k倍加到第i列上）
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
当矩阵A经过的初等变换变成矩阵B时，记 作 A B. 注：这是矩阵的演变，A与B一般不相等.
0 例1 利用初等行变换将矩阵 A 1 2 化为单位矩阵. 1 3 0 0 0 0 1
3 2 0
2 1 1
2 3 ，求该矩阵的秩． 5
解
1 0 2
0.
1 0
3 2
2 0,
1 2 3 2 0 2
计算A的3阶子式，
3 2 2 1 2 2 1 1 2 3 0, 5
3 2 0
2
, 1 00
0 3 2, 1
3 00 , 5
3 例4 3 设 A 2 1 秩． 2 2 0 6 0 3 1 4 5 6 5 1 0 1 ,求矩阵 A的 3 4
1 A 1 0
2 1 3
3 1 , 5
2 B 1 1
1 1 5
1 3 . 11
注： ① 上述方法中只能用初等行变换，不能
用初等列变换. ② 初等行变换过程中若发现虚线左边某 一行的元素全为零时，说明矩阵不可逆.
逆矩阵的计算初等变换法
如果A ，那么A的逆矩阵A1应当使
A1 ．
用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可素为0．
取E2 ，那么
所得矩阵的右上角元素为0．
取E3 ，那么
因此，E3E2E1AE，而A1AE，所以
矩阵A 将单位正方形OABC变为四边形OA'B'C'（图1），则A1应该把OA'B'C'变回到OABC．
E3 ，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）．
图4
E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩 ，得到正方形OABC．
图1
下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OA'B'C'逐步变回到OABC．
E1 ，它把OA'B'C'变为OXYZ（图2）．
图2
E1是切变矩阵，它把OA'B'C'往Ox轴上作切变，使OX与OA重合．
E2 ，它把OXYZ变为OAPQ（图3）．
图3
E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变．
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
总结求矩阵的逆矩阵的方法
总结求矩阵的逆矩阵的方法课程名称：专业班级：成员组成：联系方式：摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.关键词：矩阵逆矩阵方法Method of finding inverse matrixAbstract:Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix.Key words:Matrix inversematrix method正文：1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.2.求矩阵的逆矩阵的方法总结：2.1矩阵的基本概念矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。
比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。
逆矩阵的三种常用求法
的方法去求其逆矩阵遥 参考文献院
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业大学出版社袁2004.3.
. A单l位l矩R阵iIg施h行t同s 样R的e初se等r行v变ed换.袁就得到 A 的逆矩阵 A-1遥
蓸 蔀 蓸 蔀 渊2冤
A I
初等列变换
I A-1
在通过初等列变换把可逆矩阵 A 化为单位矩阵 I 时袁对
单位矩阵 I 施行同样的初等列变换袁就得到 A 的逆矩阵 A-1遥
蓸 蔀 1 2 -1
例 2.设 A= 3 1 0 袁求 A-1遥
-1 0 -2
蓸 蔀 蓸 蔀 1 2 -1 1 0 0
1 2 -1 1 0 0
解 院 (A I) = 3 1 0 0 1 0 寅 0 -5 3 -3 1 0 寅
-1 0 -2 0 0 1
0 2 -3 1 0 1
蓸 蔀 蓸 蔀 1 2 -1 1 0 0
1 2 -1 1 0 0
bA+cI=0.证明院A 是可逆矩阵袁并求出 A 的逆矩阵遥
证明院因为 aA2+bA+cI=0 且 c屹0
所以
A(-
a c
A-
b c
I)=I 故由定义可知 A 是可逆矩阵袁且 A-
1=-
a c
A-
b c
I
二尧 初等变换法
初等变换法院渊1冤(A I) 初等行变换 (I A-1)
在通过初等行变换把可逆矩阵 A 化为单位矩阵 I 时袁对
矩阵的逆及其求法
充分性．设 A 0 , 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
10
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
•A是满秩矩阵 A是非奇异矩阵 A可逆 A 0
11
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法
例 2.15 设
1 2
A
3
4
,
判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .
解
因为
1 A
2 4 6 2 0 , 故 A 可逆，且
34
A1
1
2 3 2
1
1 2
.
12
推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为
逆矩阵的问题。
代数方程 a x b 的解 x a1b
问矩阵方程 AX B 的解是否为 X A1B ? 若可以，那么 A1 的含义是什么呢？
3
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作B A1 .
17
2 1 1
例 2.18
设
A
2
6
4
,
AB
A B ,
求
A+B
.
2 1 3
解 由于 AB = A + B ，于是 ( A – E ) B = A ,
所以逆矩阵唯一.
➢单位矩阵的逆为其本身。
可逆矩阵运算法则
可逆矩阵运算法则一、可逆矩阵的定义在线性代数中，一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
二、逆矩阵的求解1. 矩阵可逆的充要条件一个矩阵A可逆的充要条件是其行列式不为零，即det(A)≠0。
2. 逆矩阵的求解方法（1）伴随矩阵法设A为一个n×n矩阵，如果A可逆，则它的逆矩阵为A的伴随矩阵除以A的行列式，即A⁻¹=adj(A)/det(A)。
（2）初等变换法通过初等行变换或初等列变换将A化为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，得到A的逆矩阵。
三、可逆矩阵的运算法则1. 逆矩阵的运算律（1）矩阵的逆与转置若A可逆，则(A⁻¹)ᵀ=(Aᵀ)⁻¹。
（2）逆矩阵的乘法若A和B都是可逆矩阵，则AB也可逆，并且(AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹。
2. 逆矩阵的加法和减法（1）可逆矩阵的加法若A和B都是可逆矩阵，则A+B也可逆，且(A+B)⁻¹=A⁻¹+B⁻¹。
（2）可逆矩阵的减法若A和B都是可逆矩阵，则A-B也可逆，且(A-B)⁻¹=A⁻¹-B⁻¹。
3. 逆矩阵的数乘若A是可逆矩阵，k为非零实数，则kA也可逆，并且(kA)⁻¹=1/k * A⁻¹。
四、应用举例1. 线性方程组的解法对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，则方程组的解为x=A⁻¹b。
2. 矩阵的相似性若矩阵A与B相似，即存在可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=B，则矩阵B 与A相似，且P为相似变换矩阵。
3. 矩阵的幂若A为可逆矩阵，n为正整数，则A的n次幂Aⁿ也可逆，且(Aⁿ)⁻¹=(A⁻¹)ⁿ。
五、总结可逆矩阵是线性代数中重要的概念，它在解线性方程组、矩阵相似性、矩阵的幂等运算等方面具有重要的应用价值。
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
初等变换是可逆的，即用同类型的变换可将新方程组 变为原方程组。
注意：变换过程中方程组中方程的个数不变。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
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12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
组，则新方程组与原方程组同解。（证明看课本第9页）
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 1. 对换矩阵的两行（或两列）；
记为 ri rj(ci cj)
2. 以任意数(0)乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或ri列(）ci)的每个元乘以同一常数加到另一行
（或列）的对应元上去. 记为
矩阵A经过初ri等变r换j(c化i 为c矩j)阵B表示为A→B。
习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
消元法的基本思想是：反复利用同解变换将方程组化 为阶梯形状。
在消元法求解过程中，只涉及到对方程组的系数与常 数的运算。因此只考虑对方程组的系数与常数组成的 矩阵进行变换即可。相应的，对矩阵进行类似的变换 叫做矩阵的初等变换。
变为阶梯型矩阵之后就得到了原方程组的同解方程组。
或
注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不 能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程 组的同解变换。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初 等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有 三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且
证明1.3，1.4，1.5
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
原理：可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积，
设
AP1P2 Pt
则
P t 1 P 2 1P 1 1AI
P t 1 P 2 1P 1 1IA 1
上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，
在把A化为单位阵的同时，就把I化为了A的逆
矩阵。
做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵，对
矩阵的初等行变换的定义，完全对应着方程组的同解 变换。因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶 梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解 变换使其变为阶梯形状的过程。
例：解线性方程组
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
先将方程组的系数与等式右边的常数组成一个3×4的 矩阵，然后对矩阵进行初等行变换。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候， 原来的I部分就成为A的逆。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
设
，求
解：
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.
12矩阵的初等变换与逆矩阵的 求法
P34
12矩阵的初等变换与 逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
1. 线性方程组的同解变换； 2. 矩阵的初等变换； 3. 初等矩阵； 4. 用初等行变换求逆矩阵.
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组 同解。
初等变换就是线性方程组的同解变换。 定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程