初中数学竞赛试题之三角形

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初中数学竞赛专题：三角形

初中数学竞赛专题：三角形§9. 1全等三角形1. 1. 1★已知等腰直角三角形A8C,8C是斜边.々的角平分线交AC于。

，过C作CE与a）垂直且交8。

延长线于邑求证：BD = 2CE.解析如图，延长CE、B4,设交于b・则NF3E = NAb,A8 = AC,得△AB£>gA4b,CF = 8O.乂BE 1.CF, BE 平分/FBC,故BE 平分CF, E为CF 中点、，所以2CE = FC = BD .9. 1. 2★在△ABC中，已知乙4 = 60。

,£、F、G分别为/W、AC、8C的中点,P、Q为AABC形外两点，使总_14从尸£ = ¥，°尸_14。

,0尸=卓,若6尸=1,求尸0的长.解析如图，连结EG、FG ,则EG//AC , FG//AB，故/PEG = 150。

= NQFG . 又QF = -AC = EG , PE 4AB = FG , 故APEG 9AGFQ , 所以2 2PG = GQ , AEGP + ZFGQ = ZFQG + ZFGQ = 30°, 乂ZEGF = 60°,所以NPG0 = 9O。

，于是PQ = 0PG = y/2 .10.1. 3★在梯形A8C0的底边AD上有一点心若八钻石、ABCEx △（7£）七的周长相等，求竺L AD 解析作平行四边形EC8A,则△AB石口\。

£»,若H与A不重合，则H在£4 （或延长线）上，但由三角形不等式易知,A，在E4上时,AABE的周长〉/XAZE的周长；A，在E4延长线上时,AABE的周长<AA f BE周长,均与题设矛盾，故A与H重合,A£〃8C ,同理ED//BC ,£ = =.= = AD 2AA f E11.1.4★★△ABC 内,44。

= 60。

,/4(78 = 40。

初中数学竞赛中考讲义之双直角三角形模型

解：(1)延长 AB 交海岸线于点 D，过点 B 作 BE⊥海岸线于点 E，过点 A 作 AF⊥l 于 F，如图所示． ∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°， ∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°， ∵BC＝12，AB＝36× 40 ＝24，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°， 60
tan BCD
3
6
(海里)，
3
∴AD＋CD＝10 2 ＋10 6 ＝10( 2 ＋ 6 )(海里)．
答：疑似物 C 与搜救船 A 的距离是 10( 2 ＋ 6 )海里，与搜救船 B 的距离是 20 海里．
10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：
如图，过点 B 作 BH⊥AP 于 H，过点 P 作 PM⊥AB，交 AB 延长线于 M．由题意，知 AB＝24× 40 ＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．
5、如图，在直角坐标系中，直线 y＝－ 3 x＋6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，AB 中点为点 P，则点 P 到 4
直线 y＝－x 的最短距离 PQ 的长度为
．
6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转．
(1)当 AC 平分∠A′CB′时，BD 的长为
例题 2、如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东端 N 有 20km．一轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且与灯塔 C 相距 12km． (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ (2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7)

初中数学竞赛试题之三角形

初中数学竞赛试题之三角形满分： 100 分时间：100分钟一．选择题（共6小题，每题3分，共18分）1．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为（）A．40° B．70° C．70°或20° D．40°或70°2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BD平分∠ABC交AC于D，若AD∶DC=5∶2，则点D到AB的距离为（）A．10 B． 4 C．D．3．如图，△ABC中，AB=AC=BD，∠ADC=108°，则下列选项不正确的是（）A．点D是线段BC的黄金分割点 B．△ABD中∠BAD的角平分线与CD 相等C．BC-AD=CA D．CD=BC4．如图，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点O，过点O分别作三边的平行线，若AB∶BC∶CA=6∶7∶5，则阴影部分面积之和与△ABC面积之比为（）A．B．C． D．5．已知在Rt△ABC中，D为AC上一点，，则等于（）A． B．2 C． D．A第7题D第4题CB第3题第2题6.老师给小明一道数学题，要求他将题补充完整：某农民要在一块面积为144米2的矩形荒地上建一个花坛, 花坛四周是宽度为1米的小路，中央是矩形的花圃，要求花圃面积为99.2米2．已知小明列出的方程为，那么小明找的等量关系是（）A．荒地的长或宽Ｂ．四周小路的面积Ｃ．花圃的长或宽Ｄ．只有设两个未知数才能解决问题二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）7.如图所示，□ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点Ｅ，DE = 2AE = 4cm，梯形ABCE的面积为12.8cm2，则CE的长为_______。

8.将两只三角板如图所示的放置，有两条边恰好完全重合，记上、下两块三角板的面积分别为、，若能覆盖它们的最小的圆面积为，则______。

第8题9．三边皆为整数的等腰三角形的周长为11，则其面积的可能值有。

初中数学竞赛专题-第十四章三角形重心的性质及应用

第十四章三角形重心的性质及应用【基础知识】三角形三条中线的交点称为三角形的重心,三角形的重心有下列有趣的性质：性质1设G 为ABC △的重心,连AG 并延长交BC 于D ,则D 为BC 的中点,()22221124AD AB AC BC =+-,且21AG GD =∶∶．性质2设G 为ABC △的重心,过G 作DE BC ∥交AB 于D ,交AC 于E ,过G 作PF AC ∥交AB 于P ,交BC 于F ,过G 作KH AB ∥交AC 于K ,交BC 于H ,则（1）23DE FP KH BC CA AB ===；（2）2DE FD KHBC CA AB++=．性质3设G 为ABC △的重心,P 为ABC △内任一点,则（1）22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++；（2）()2222213z GA GB GC AB BC CA ++++=．证明（1）设D 为BC 边上的中点,则对APG △和DPG △分别应用余弦定理,有2222AP AG PG AG PG cos AGP =+⋅⋅∠-,2222cos PD DG PG DG PG DGP =+-⋅⋅∠, 而2AG DG =,cos cos AGP DGP ∠=-∠,于是,有22222223AP PD AG DG PG +=++．又PD ,DG 分别是BPC △的BC 边,BGC △的BC 边上的中线,有2222122PD PB PC BC +-=,2222122DG BG CG BC =+-,从而22222223AP BP CP AG BG CG PG ++=+++．（2）由性质1,有()2222911424AG AB AC BC =+-,()2222911424BC AB BC AC =+-, ()2222911424CG BC AC AB =+-,此三式相加,整理即得 ()22222213AG BG CG AB BC CA ++=++．注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式： ()2222222133AP BP CP PG AB BC CA ++=+++．性质4设G 为ABC △内一点,G 为ABC △的重心的充要条件是下列条件之一：（1）13GBC GCA GAB ABC S S S S ===△△△△；（2）当点G 在三边BC ,CA ,AB 上的射影分别为D ,E ,F 时,GD GE GF ⋅⋅值最大；（3）当AG ,BG ,CG 的延长线交三边于D ,E ,F 时,AFG BDG CEG S G S ==△△△；（4）过G 的直线交AB 于P ,交AC 于Q 时,3AB ACAP AQ+=；（5）222222333BC GA CA GB AB GC ++=+=．证明（1）必要性：延长AG 交BC 于D ,则D 为BC 中点,有BDA CDA S S =△△,BDG CDG S S =△△,故AGB AGC S S =△△．同理,AGB BGC S S =△△,故13GAB GBC GCA ABC S S S S ===△△△△．充分性：如图14-1,令G 为ABC △内一点,连AG 并延长交BC 于D ,连BG 并延长交AC 于E ．记GAB GBC GCA S S S S ===△△△,BC a =,CA b =,AB c =,1BDG S S =△,2CDG S S =△,BD x =,DG y =．由11sin 2S xy BDG =⋅∠, ()()()()2111sin sin 180sin 222S a x y CDG a x y BDG a x y BDG =-⋅∠=-⋅⋅︒-∠=-⋅⋅∠,故211S a S x =-．即2211111S S S a S x S S S +=+==,亦即1S S a =,()2SS a x a=-．又()11sin 2ABD SS cx B S S a x a =⋅∠=+=+△．()()21sin 22ACD SS b a x C S S a x a=-⋅∠=+=-△．再由正弦定理,得sin 1sin c B b C ⋅∠=⋅∠,于是,由上述两式,有2x a x a x a x +=--,于是2ax =,即 AD 为ABC △的边BC 上的中线．同理,可证BE 为ABC △边AC 上的中线．故G 为ABC △的重心．注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比．（2）充分性与必要性合起来证．设三角形三内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ．记GD x =,GE y =,GF z =,由 12GBC S ax =△,12GAC S by =△,12GAB S cz =△,知2ABC ax by cz S ++=△为定值．由三个正数的平均值不等式,有338327ABC ax by cz ax by cz S ++⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭△≤,即3827ABCS xyz abc △≤．此式当且仅当ax by cz ==时,即GBC GAC GAB S S S ==△△△时等号取得,即G 为ABC △的重心时,结论成立．（3）仅证充公性：如图14-2,设1APF BPD CPE S S S ===△△△,APE S x =△,BPF S y =△,CPD S z =△．图14-2111yx z F EDABCP由111AP y x PD z ++==,111BP z y PE x ++==,111CP x z PFy ++==,有 1yz z x +=+,①1zx x y +=+,②1xy y z +=+．③由①-②得()z y x z x x y -+-=-,即 ()()1z x x y z -=-+．④同理()()1x y y z x -=-+,⑤()()1y z z x y -=-+．⑥若x y =代入④得z x =．即有x y z ==,再代入①得1x =,故1x y z ===．若x y ≠,则y x ≠,z x ≠,由④×⑤×⑥得()()()111z 1x y +++=,⑦而x ,y ,z 为正数,则11x +>,11y +>,11z +>,等式⑦无正数解, 故只有正数解1x y z ===,即证．（4）必要性：如图14-3,设M 为ABC △的边BC 上任一点,直线PQ 分别交AB ,AM ,AC 于P ,N ,Q ,连PM ,QM ．图14-3AB CPQMN则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AB CM AC BM AB AC AP AQ AP BC AQ BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△．当N 为ABC △的重心时,M 为BC 中点,有BM MC =,且32AM AN =∶∶,由此即证得结论3AB ACAP AQ+=．充分性：设ABC △的一边AB 上有1P ,2P 两点,在另一边AC 上有1Q ,2Q 两点．若11223AB AC AB ACAP AQ AP AQ +=+=,则可证得11PQ 与22P Q 的交点G 是ABC △的重心．事实上,如图14-4,连AG 并延长交BC 于M ,过B ,C 分别作AM 的平行线交直线11PQ ,22P Q 分别于1X ,1Y ,2X ,2Y ,于是,图14-4MY 1Y 2X 1X 2P 1P 2Q 1Q 2ABC G由111111311BP CQ AB AC AP AQ AP AQ ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 有1111111BP CQ BX CY AP AQ AG AG =+=+,即11BX CY AG +=．同理,22BX CY AG +=．从而1122BX CY BX CY +=+,即1221BX BX CY CY -=-．亦即1212X X YY =．而1212X X YY ∥,从而易判断1212GX X GYY △≌△．所以11GX GY =．推知BM MC =,即AM 为ABC △的BC 边上的中线,亦即GM 为梯形11BCY X 的中位线．此时112BX CY GM +=．由11BX CY AG +=,故2AG GM =．由此即知G 点为ABC △之重心．即满足3AB ACAP AQ+=的直线PQ 过其重心．（5）必要性：设AD 为BC 边上的中线,G 为ABC △的重心时,由中线长公式（即性质1）,有()()222222AD AB CA BC =+-,从而()()222222222212332333BC GA BC AD BC AD AB BC CA ⎛⎫+=+=+=++ ⎪⎝⎭．同理,()22222222333CA GB AB BC CA AB GC +=++=+．充分性：注意到结论,给定ABC △后,若点G 满足()222213GA GB CA BC -=-为常数,则点G 的轨迹是垂直于直线AB 的一条直线,并且这条直线过ABC △的重心．事实上,以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立坐标系,设(),G x y ,则222AG x y =+,()222BG x c y =-+,其中AB c =．因此,由()22222123GA GB cx c CA BC -=-=-,得G 的坐标为2223,6CA BC AB y AB ⎛⎫-+⎪⎝⎭,即证得前一断言,后一断言可由性质4（4）推证：由AB 上的点P 2223,06CA BC AB AB ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭知AP 的长度,可求得AC 上的线段AQ的长度为()()2222223cos 3AC CA BC AB APBAC AB AC BC -+=∠+-,故3AB AC AP AQ +=,即证．性质5设P 是锐角ABC △内一点,射线AP 、BP 、CP 分别交边BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,则P 为ABC △重心的充分必要条件是DEF ABC △∽△．证明充分性：如图14-5,设PEF α∠=,CPE β∠=,CPD γ∠=,EBC α'∠=,并分别用A 、B 、C 表示BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠．图14-5α'γβαFEDABC在DEF △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PEF PDE PFDPED PDF PFE ∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβαπ---+-+⋅⋅=--π+++--．在ABC △中,对点P 应用角元形式的塞瓦定理,有sin sin sin 1sin sin sin PBC BAP ACPPBA CAP PCB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠,即()()()()()sin sin sin 1sin sin sin B C A B βγαβααβαβγαβα''π---+-+'⋅⋅='''--π+++--．设()()()()()()sin sin sin sin sin sin B x C x x f x x A B x x βγβββγβπ---+-+=⋅⋅--π+++--．由x ,B x -,B x βγπ---+,A B x βγ-π+++-,C x β-+,0,2x βπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,易知()f x 递增,于是由()()f f αα'=可得αα'=,所以EF BC ∥．同理可得DF AC ∥,DE AB ∥．从而有AF AE FB EC =,AF DC FB BD =,DC ECBD AE=．所以AF FB =,BD DC =,EC AE =．故P 为ABC △的重心．必要性：显然（略）．故命题获证,性质6三角形重心G 到任一条直线l 的距离,等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一．事实上,若设三顶点A ,B ,C ,重心G ,BC 边的中点M 到直线l 的距离分别为A d ,B d ,C d ,G d ,M d ,则()23G A M G d d d d =+-,()12M B C d d d =+．两式相加,即有 ()13G A B C d d d d =++．注由此性质可推知：设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零,则它通过重心．所以这种和为定值的直线与一个以G 为圆心的圆相切．性质7设G 为ABC △的重心,若222AG BG CG +=,则两中线AD 和BE 垂直；反之,若两中线AD ,BE 垂直,则222AG BG CG +=．【典型例题与基本方法】例1如图14-6,在ABC △中,G 为重心,P 为形内一点,直线PG 交直线BC ,CA ,AB 于A ',B ',C '．求证：3A P B P C PA GB GC G'''++='''．图14-6G 'P'C 'B'A'ABCGP证明连BG ,GC ,PB ,PC ,分别过G ,P 作GG BC '⊥于G ',作PP BC '⊥于P ',则PP GG ''∥,PP A PGG A G''=''．又PBC GBC S PP S GG '='△△,有PBC GBC S A P S A G '='△△．同理PCA GCA S B P S B G '='△△,PAB GAB S C PS C G'='△△．因G 为重心,有13GAB GBC GBC GCA ABC S S S S S ====△△△△△．故3333PBC PCA PABABC ABC ABCS S S A P B P C P A G B G C G S S S '''++=++='''△△△△△△．例2如图147-,设ABC △的重心为G ,AG ,BG ,CG 分别交对边于D ,E ,F ,交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．求证：1A D B E C FDA EB FC'''++≥．图14-7C 'B 'A 'GF ED AB C证明设BC a =,CA b =,AB c =,这三边上的中线分别记为a m ,b m ,c m ,应用相交弦定理,有22224a A D A D DA BD DC a DA DA DA m ''⋅⋅===．同理224b B E b EB m '=,224c C F C FC m '=．则所证不等式等价于2222224a b ca b c m m m ++≥．应用三角形中线公式222222a m b c a =+-等三式,可求出2a ,2b ,2c ,即()22224229b c a a m m m =+-等三式．将其代入上式左边,即证得结论成立．3A D B E C FDA EB FC'''．例3如图14-8,过ABC △的重心G 任作一条直线把这个三角形分成两部分,试证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的19．（1979年安徽省竞赛题）图14-8AB CEFG证明把三角形的每条边三等分,过每一分点作平行于其他两边的直线,这些直线把ABC △分成9个面积相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G ．过G 的任一直线把三角形分成两部分,观察这两部分面积之差,显然不超过BEF △的面积,即ABC △面积的19．例4如图14-9,已知P 为ABCD 内一点,O 为AC 与BD 的交点,M ,N 分别为PB ,PC 的中点,Q 为AN 与DM 的交点,求证：（1）P ,Q ,O 三点在一直线上；（2）2PQ OQ =．图14-9Q P MN DOABC证明连PO ,设PO 与AN ,DM 分别交于点Q ',Q ''．在PAC △中,AO OC =,PN NC =,则Q '为其重心,且2PQ OQ ''=．在PDB △中,DO BO =,BM M P =,则Q ''为其重心,且2PQ OQ ''''=．这样,Q Q '''≡,并且Q ',Q ''就是AN ,DM 的交点Q ．故P ,Q ,O 在一条直线上,且2PQ OQ =．例5如图14-10,已知CA AB BD ==,AB 为O 的直径,CT 切O 于P ．求证：APC DPT ∠=∠．证明连PO 并延长交O 于E ,则PE PC ⊥．连EC ,ED ,并延长PA 交CE 于F ．图14-10DC在Rt CPE △中,CO 为PE 边上的中线,且2CA AO =,即知A 为CPE △的重心,则PF 为CE 边上的中线,从而CF PF =,FCP FPC ∠=∠．又PE 与CD 互相平分,则CPDE 为平行四边形,即有FCP DPT ∠∠=．故CPA FCP DPT ∠=∠=∠．例6试证：以锐角三角形各边为直径作圆,从相对顶点作切线,得到的六个切点共圆．证明如图14-11,设ABC △的三边分别为a ,b ,c ,O 是以BC a =为直径的圆,AT 切O 于T 点．连AO ,在AO 上取点G 使2AG GO =,则G 为ABC △的重心．连OT ,GT ,图14-11AB由AO ,2222cos TG OT OG OT OG TOA =+-⋅⋅∠及cos OT TOA OA ∠=,12OT a =,13OG OA =,有()2222118TG a b c =++为定值．同理,其他五个切点如T 等到重心G 的距离的平方均为()222118a b c ++,由此即证．例7如图14-12,AD ,BE ,CF 是ABC △的三条中线,P 是任意一点．证明：在PAD △,PBE △,PCF △中,其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）图14-12G F'E'DFEDABCD 'C 'A '证明设G 为ABC △的重心,直线PG 与AB ,BC 相交,从A ,C ,D ,E ,F 分别作该直线的垂线,垂足为A ',C ',D ',E ',F ',易证2AA DD ''=,2CC FF ''=,2EE AA CC '''+=,从而EE DD FF '''=+,故PGE PGD PGF S S S =+△△△．【解题思维策略分析】1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用例8已知ABC △的三边BC a =,CA b =,AB c =,DEF △是ABC △的任意内接三角形,试以a ,b ,c 表示DEF △的三边平方和的最小值．解首先,证明如下结论：若G 为ABC △内的任意一点,G 到三边BC ,CA ,AB 的距离分别为x ,y ,z ,则当x y z a b c =∶∶∶∶时,222x y z ++的最小值为22224ABCS a b c ++△．事实上,由柯西不等式()()()222222224ABC a b c xy z ax by cz S ++++++=△≥,当且仅当x y z a b c =∶∶∶∶时取等号,由此即证．如图14-13,设G 为DEF △的重心,则由中线长公式或重心性质3（2）,图14-13D 0F 0E 0F EDGABC有()2222129GD DE DF EF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GE DF EF DF ⎡⎤=+-⎣⎦, ()2222129GF EF DF DE ⎡⎤=+-⎣⎦．三式相加,得()2222223DE EF FD GD GE GF ++=++．从G 点向ABC △的三边BC ,AC ,AB 引垂线,垂足分别为0D ,0E ,0F , 则()()()2222222222222022212333ABCS DE EF FD GD GE GF DD EE FF GD GE GF a b c ++=+++++++++△≥≥．下证等号能够取到,设G 为ABC △内一点,G 到BC ,CA ,AB 的距离依次为x ,y ,z ,且满足x y z a b c =∶∶∶∶．过G 分别向三边作垂线,垂足为0D ,0E ,0F ,由0D ,C ,0E ,G 共圆,知00180D GE C ∠+∠=︒,于是00001sin 21sin 2GD E ABCxy D GE S xy S ab ab C ⋅∠==⋅∠△△．同理,00GE F ABCS yz S bc =△△,00GF D ABC S zxS ca=△△．因x y z a b c =∶∶∶∶,则xy yz zxab bc ca==,故000000GD E GE F GF D S S S ==△△△,由重心性质4（1）,知G 为000D E F △的重心．由此可见,对ABC △的内接000D E F △而言,222200000022212ABCS D E E F F D a b c ++=++△．因此,所求最小值为222212ABCS a b c ++△．例9如图14-14,设G 为ABC △的重心,AG ,BG ,CG 的延长线分别交ABC △的外接圆于A ',B ',C '．图14-14'求证：（1）3AG BG CGGA GB GC ++='''；（2）3GA GB GC GA BG CG'''++≥；（3）GA GA '或GB GB '或1GCGC '≤．证明（1）证法1：设AA '交BC 于D ,则D 为BC 的中点．由13ABC ABGGBA GBA S S AG GA S S ''=='△△△△,13ABC GAB S BG GB S '='△△,13ABC GAC SCG GC S '='△△,及AGB BGA ''△∽△, AGC CGA ''△∽△,有22GAB GBA S AG S BG ''=△△,22GAC GAC GBA GCA S S AG S S CG ''''==△△△△,从而22222211133ABCABC BGA BGA S S AG BG CG BG CG AG BG CG GA GB GC S AG AG S AG ''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC'△∽△,得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△,所以222222113BGA ABC BGA BGA S S BG CG AG BG CG S AG AG S AG '''⎡⎤⎛⎫++⎛⎫⎛⎫++=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦△△△△．由BDA ADC '△∽△得22221192BDA BDA ADC ABC S S BD BC S AD AG S ''===⋅△△△△, 所以2222111361818BGA BGD BDA ABC ABC ABC S S S BC AG BC S S S AG AG ''⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△△△△△．中线长公式或重心性质3（2）,有()2222223AG BG CG AB BC CA ++=++ ．从而()()222222222323AG BC AB BC CA AG BG CG +⋅++=++=．故22222211833AG BG CG AG AG BG CG GA GB GC AG BC AG ⋅++++=⋅⋅'''+ ()()222222221832AG AG BG CG AG BG CG AG⋅⋅++=⋅++⋅3=．证法2：令O 为ABC △的外心,由莱布尼兹公式,则()2222219OG R a b c =-++（其中R ,a ,b ,c 分别 ABC △的外接圆半径及三边之长）．注意到()2222219GA GA GB GB GC GC R OG a b c '''⋅=⋅=⋅=-=++, 于是222AG BG CG AG BG CG GA GB GC GA GA BG GB CG GC ++=++''''''⋅⋅⋅ ()()2222222222213319a b c AG BG CGR OG a b c ++++===-++．（2）2113333GA GB GC GA GB GC AG BG CG GA GB GC GA GB GC GA GB GC ''''''⎛⎫⎛⎫++=++⋅++⋅= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭≥ （3）由（2）,知A G AG '或B G BG '或1C G CG '≥,由此即AG GA '或BG GB '或1CGGC '≤,或由（1）也可推得结论成立． 2．证明线共点的一条途径例10如图14-15,设O 是ABC △的内切圆,BC ,CA ,AB 上的切点各是D ,E ,F ．射线DO 交EF 于A ',同样可得B ',C '．试证：直线AA ',BB ',CC '共点．图14-15证明连A B ',A C '．易知B ,D ,O ,F 及C ,D ,O ,E 分别共圆,得A OF B '∠=∠,A OE C '∠=∠．在A OF '△及A OE '△中应用正弦定理,有'sin sin sin sin A F OA OA A EA OF OFA OEA A OE '''===''''∠∠∠∠, 有sin sin sin sin A F A OF B AC A E A OE C AB ''∠∠===''∠∠．从而AB A F AC A E ''⋅=⋅．又AFE AEF ∠=∠,故有11sin sin 22ABA ACA S AFE A F AEF AC A E S ''''=∠⋅=∠⋅⋅=△△．由此式可知直线AA '必平分BC 边,即AA '必过ABC △的重心,同样可证BB ',CC ',也都过ABC △的重心．故由重心的唯一性,知AA ',BB ',CC '三直线共点于ABC △的重心．【模拟实战】习题A 1．如图14-16,点O 在锐角ABC △内,过O 作EF BC ∥,PQ CA ∥,HG AB ∥,若EF PQ HGBC CA AB==试问O 为ABC △的什么心？图14-16OABCEFGHPQ2．如图14-17,M 、N 、P 分别为正ABC △、DCE △、mBEF 的重心．求证：MNP △为正三角形．图14-17FEA BC M NP3．已知ABC △的重心G 和内心I 的连线GI BC ∥．求证：2AB AC BC +=．4．设O 为ABC △的外心,AB AC =,D 是AB 的中点,G 是ACD △的重心．求证：OG CD ⊥． 5．设M 为ABC △的重心,且3AM =,4BM =,5CM =,求ABC △的面积．（1991年上海市初中竞赛题）6．设D 是ABC △的边BC 上的一点,点E ,F 分别是ABD △和ACD △的重心,连接EF 交AD 于点G ,则DGGA 的值是多少？（1991～1992年度广州等五市竞赛题） 7．给定任意ABC △,作这样的直线与三角形相交,使得由A 点到直线的距离等于由B ,C 点到直线的距离的和．证明：所有这样的直线相交于一点．习题B1．如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似,其逆亦真． 2．在ABC △中,G 为重心,I 为内心,试证：AGI △,BGI △,CGI △中,最大的一个的面积等于其余两介面积的和．3．在锐角ABC △中,O ,G 分别为其外心和重心．若OG AC ∥,求证：tan A ,tan B ,tan C 成等差数列, 4．试证：任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．第十四章三角形重心的性质及应用习题A1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=,则2EF PQ HGBC CA AB===,故O 为ABC △的重心． 2．先证BD AE CF ==,再由△BMP ∽△BCF ,得MP BM CF BC ==,同理PN BD =,MN AE =,则MP PN MN ==．3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ,则BC 边上的高为3r ,再利用面积法证明．4．证明△ODG 与ABC △的重心重合．5．由3AM =,4BM =,5CM =,有222AM BM CM +=,知两中线AD ,BE 垂直．于是3182ABC S AM BM =⋅⋅=△．6．连BE ,CF ,并延长相交于M ,则M 为AD 的中点．由E ,F 分别是ABD △和△ACD 的重心,则13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥,EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==,23DG BE DM BM ==,13MG DM =,23DG DM =,1433AG AM MG DM DM DM =+=+=,故241233DG GA DM DM ==∶∶∶．7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质,推知所有这些直线都经过ABC △的重心,即共点于重心．习题B1．设G 为ABC △的重心,连DE 并延长到H 使EH DE =,连HC ,HF ,则以三条中线AD ,BE ,CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =,22CA b =,22AB c =成等差数列时,若ABC △为正三角形,易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥,有2221222CF a b c =+-2221222BE c a b =+-2221222AD b c a =+-2222a c b +=分别代入以上三式,得3CF =,3BE =,3AD =,从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶,故有ABC △∽△HCF ．反之,若有ABC △∽△HCF ,当ABC △中a b c ≥≥时,△HCF 中CF BE AD ≥≥,且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯34”,有2234CF a =∶∶,即222223422a CF a b c ==+-,故22a c += 22b ．2．分两种情况讨论．①若G ,I 两点重合,易断ABC △为正三角形,此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△,结论显然成立．②若G ,I 两点互异,过G ,I 作直线l ．若l 通过ABC △的一个顶点,易推知ABC △为等腰三角形,此时AGI S △,BGI S △,CGI S △中一个为零,其余两个相等,结论亦成立；若l 与ABC △的两边相交,不妨设l 与AB ,AC 相交．延长AG 交BC 于E ,E 必为BC 的中点,连EI ．过B ,E ,C 分别作到直线l 的距离BB ',EE ',CC ',易证2BB CC EE '''+=,从而2BGI CGI EGI S S S +=△△△．又由重心性质知2AG GE =,从而2AGI EGI S S =△△,故AGI BGI CGI S S S =+△△△．3．要证tan A ,tan B ,tan C 成等差数列,只需证2tan tan tan B A C =+,又在ABC △中,由tan B = tan tan 1tan tan A C A C+--⋅,有tan tan tan tan tan tan A C B A B C +=-+⋅⋅．故只需证2tan tan tan tan tan B B A B C =-+⋅⋅,亦即tan tan 3A B ⋅=．因O 为外心,有2AOC B =∠∠,221sin sin cos 2AOC S R AOC R B B =⋅=⋅⋅△∠．又由G 是重心,有2112sin sin sin 33AGC ABC S S R A B C ==⋅⋅⋅△△．注意到OG AC ∥,有AOC AGC S S =△△,故2sin cos R B B ⋅⋅=22sin sin sin 3R A B C ⋅⋅⋅,从而3cos 2sin sin B A C =⋅,即由cos cos cos sin sin B A C A C =-+⋅,有sin A ⋅ sin 3cos cos C A C =⋅,由此即证．4．ABC △中,重心G 到三边距离之和为123GG GG GG ++,ABC △内切圆半径为r ,内心I 到三边距离之和为1233II II II r ++=．记BC a =,CA b =,AB c =,射线AG 交BC 于D ,连GB ,GC ．则由 13GCA GAB ABCS S S ==△△△知,1123132ABCABC S S GG a a ==△△．同理,223ABC S GG b =△,323ABC S GG C =△．于是1232ABC GG GG GG S ++=⋅⋅△211111111()3333333r a b c r a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅++++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥,即证．。

初中数学八年级竞赛培优训练直角三角形含解析

直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ，在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。

数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(含答案) (1)

数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一．选择题1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．：：C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．A．重心B．内心C．外心D．垂心7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R 与r的大小关系是（）A．R＝r B．R＞r C．R＜r D．无法确定8．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心9．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心10．三个等圆O 1，O 2，O 3有公共点H ，点A 、B 、C 是其他交点，则H 是三角形ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心二．填空题11．在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC ＝．12．如图，ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB ＝90°，现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3，若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约元．13．如图，在△ABC 中M 为垂心，O 为外心，∠BAC ＝60°，且△ABC 外接圆直径为10，则AM ＝．14．如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC ＝10，OA ＝6，则OM 的长＝．15．设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的重心分别为E ，F ，G ，H ，则S EFGH ：S ABCD ＝．16．如图，I 是Rt △ABC （∠C ＝90°）的内心，过I 作直线EF ∥AB ，分别交CA 、CB 于E 、F ．已知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S△ABC＝．17．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于．三．解答题18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P（1）求凹四边形ABHC的面积；（2）求PO•OH的值．19．如图，AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF≌△KMN．20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点．21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．23．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ．又设△AFE ，△BDF ，△CED 均为锐角三角形，它们的垂心依次为H 1，H 2，H 3，求证：1．∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；2．△H 1H 2H 3≌△DEF ．24．如图，△ABC 为锐角三角形，CF ⊥AB 于F ，H 为△ABC 的垂心．M 为AH 的中点，点G 在线段CM 上，且CG ⊥GB ．（1）求证：∠MFG ＝∠GCF ；（2）求证：∠MCA ＝∠HAG ．25．如图，已知H 为锐角△ABC 的垂心，D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点，过BC 的中点M 作AB 的垂线，垂足为N ，K 为MN 的中点，过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ，若A ，K ，M ，C 四点共圆．求证：直线BK 平分线段CG ．参考答案一．选择题1．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，∴OD'＝OE'＝OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心，故选：C．2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．3．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2，∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ABC的外心，∵OA＝OC≠OD，∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选：B．4．解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，∴∠BAC＝∠BOD；同理可得：∠BOF＝∠BCA，∠AOE＝∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD＝R•cos∠BOD＝R•cos∠A，OE＝R•cos∠AOE＝R•cos∠B，OF＝R•cos∠BOF＝R•cos∠C，故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选：D．5．解：∵点G是△ABC的重心，∴＝2，作CE⊥AG于点E，连接EF，∴△CEG是直角三角形，∵∠EGC＝60°，∴∠ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠GFE＝∠FEG＝30°，而∠ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，∴∠FAD＝∠EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△AEC是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75°，故选：D．6．解：结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．容易得出：AB的斜率＝＝﹣，BC的斜率＝＝﹣，AH的斜率＝，CH的斜率＝，∵AH⊥BC，CH⊥AB，∴＝，＝，∴a•＝c•，∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，∴（a﹣c）xy＝（a﹣c）k．显然，a﹣c≠0，∴xy＝k，即：y＝．∴点H（x，y）在反比例函数y＝的图象上．故选：D．7．解：如图，延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CBG＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CBG，同理：∠BCF＝∠BCG，在△BCH和△BCG中，，∴△BCH≌△BCG（ASA），∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△BHC的外接圆半径为r，∴△BGC的外接圆的半径为r，∴R＝r，故选：A．8．解：如图，连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，∴△CBE≌△FBE（SAS）；∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，∴BE⊥CF于G，∴EG是△MEF的边FM上的高，同理：FH是△MEF的边EM上的高，∴点B是△MEF的三边的高，即：点B是△MEF的垂心．故选：A．9．解：∵BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），∴∠EBF＝∠FCE，∵HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），∴∠HBF＝∠FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，∴∠HDE＝∠HDF，∴DA平分∠EDF即可．同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，∴H是△DEF的角平分线的交点，∴H是△DEF的内心．故选：C．10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3有公共点H，∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ABC的垂心．故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，∵⊙O3可使生产成本节约3元，∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．则10块这样的残料可使生产成本节约6×10＝60元．故答案为：60．13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sin F＝＝，∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠OAH＝∠NOM，∵OH⊥AM，∴∠AOH＝∠ONM＝90°，∴△AOH∽△ONM，∴，∴，∴OM＝．故答案为．15．解：如图：∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，∴，∴EF∥AC，同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，∵，∴，同理：，∴，∴，同理：，，．∴．16．解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝IH＝IG＝r，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得＝，＝，解得a＝，b＝，由勾股定理，得c2＝a2+b2，得1＝+，解得r＝，又ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），∴＝r（++c），解得c＝m+n+＝m+n+，∴S△ABC＝ab＝＝（）2（m+n+）2＝．故答案为：．17．解：∵I是锐角三角形ABC的内心，∴∠DBI＝∠ABC，∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，∴ID＝A1D＝IA1，∠BDI＝90°，∵点B在△A1B1C1的外接圆上，∴IB＝IA1，∴ID＝IB，∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共8小题）18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵H为垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∴GA∥CH，GC∥AH，∴AGCH是平行四边形，∴AG＝GC，∵∠BA C＝60°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OM＝OB＝，BM＝，∴BC＝，又∵OM＝CG，∴AH＝2OM＝1，设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△AHC＝×AH×BN+×AH×CN＝×AH×BC＝，（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，∴∠ACF＝30°，∴∠CHE＝60°，∴∠BHC＝120°，∴B、C、H、O四点共圆，∵∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠CHP＝∠OBC＝30°，∴∠OHC＝∠OCP＝150°，∴△OHC∽△OCP，∴OH•OP＝OC2＝1．19．证明：如图：∵OD⊥BC，FM⊥BC，∴OD∥FM，∵OF⊥AB，DM⊥AB，∴OF∥DM，∵DMFO是平行四边形，同理OFKE，ODNE均为平行四边形，∴MD∥KE，MD＝KE，∴MDEK也是平行四边形，∴DE＝MK，同理DF＝KN，EF＝MN∴△DEF≌△KMN（SSS）．于点Q，20．证明：如图，延长AP交⊙O2连接AH，BD，QB，QC，QH．因为AB为⊙O的直径，1所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）故BQ为⊙O的直径．2于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形．（15分）所以点P为CH的中点．（20分）21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，∴AG＝（AB+AC﹣BC），而BC＝（AB+AC），∴AG＝BC，又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，∴∠EAD＝90°，∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，而BD弧＝DC弧，∴ED垂直平分BC，即BH＝BC，∴AG＝BH，而∠BAD＝∠DAC＝∠DBC，∴Rt△AGI≌Rt△BHD，∴AI＝BD；（2）∵∠BID＝∠BAI+∠ABI，而∠BAI＝∠DBC，∠ABI＝∠CBI，∴∠DBI＝∠BID，∴ID＝DB，而AI＝BD，∴AI＝ID，∴OI为三角形AED的中位线，∴OI＝AE．22．（1）证明：如图1，连接BH并延长交AC于E，∴BE⊥AC，过O作OF⊥AC于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，DN，则FN∥AM，AH＝2FN，DN∥BE，∵AM⊥BC，OD⊥BC，∴OD∥AM，∴FN∥OD，∵BE⊥AC，OF⊥AC，∴BE∥OF，∵OD⊥BC，∴D为BC中点，∵N为CH中点，∴DN∥BE，∴DN∥OF，∴四边形ODNF是平行四边形，∴OD＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OD．（2）解：如图2，连接OB，OC，∴OA＝OB，∵OA＝AH，∴OB＝AH，由（1）知，AH＝2OD，∴OB＝2OD，在Rt△ODB中，cos∠BOD＝＝，∴∠BOM＝60°，∵OD⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．23．证明：（1）∵H2是△BDF的垂心，⊥BF，∴DH2DB＝90°﹣∠B，∴∠H2同理：∠H 3DC ＝90°﹣∠C ，∴∠H 2DH 3＝180°﹣∠H 2DB ﹣∠H 3DC ＝∠B +∠C ， ∵H 1是△AEF 的垂心，∴∠H 1EF ＝90°﹣∠AFE ，∠H 1FE ＝90°﹣∠AEF ， ∴∠EH 1F ＝180°﹣∠H 1EF ﹣∠H 1FE ＝180°﹣（90°﹣∠AFE ）﹣（90°﹣∠AEF ）＝180°﹣∠A ＝∠B +∠C ，∴∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；（2）如图，由（1）知，∠FH 1E ＝∠B +∠C ， ∵∠FDE ＝∠A ，∠A +∠B +∠C ＝180°， ∴∠FH 1E +∠EDF ＝180°，∴H 1在△DEF 的外接圆上，同理：H 2，H 3也在△DEF 的外接圆上， ∴D ，H 2，F ，H 1，E ，H 3六点共圆，由（1）知，∠EH 1F ＝∠H 2DH 3， ∴EF ＝H 2H 3，同理：DF ＝H 1H 3，DE ＝H 1H 2，∴△DEF ≌△H 1H 2H 3（SSS ）．24．证明：（1）如图延长AH 交BC 于T ． ∵H 是△ABC 的垂心，∴∠THC ＝∠HFA ＝90°，∵∠THC ＝∠AHF ，∴∠HCT ＝∠FAH ，在Rt △AFH 中，∵AM ＝MH ，∴FM＝AM＝MH，∴∠FAH＝∠MFA，∴∠MFA＝∠HCT，∵BG⊥CM，∴∠BFC＝∠BGC＝90°，∴B、C、G、F四点共圆，∴∠AFG＝∠BCG，∴∠AFM+∠MFG＝∠HCT+∠MCF，∴∠MFG＝∠GCF．（2）∵∠FMG＝∠FMC，∠MFG＝∠MCF，∴△MFG∽△MCF，∴＝，∴MF2＝MG•MC，∵MA＝MF，∴MA2＝MG•MC，∴＝，∵∠AMG＝∠AMC，∴△MAG∽△MCA，∴∠MCA＝∠HAG．25．证明：如图，设BK交CG于E，连接AG，AK，∵A，K，M，C四点共圆，∴∠AC B＝∠AKG（外角等于内对角），∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∵四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥AD，AH∥CD，∴CD⊥BC，AD⊥AB，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴点A，B，C，D四点共圆，∴∠5＝∠ACB＝∠AKG，∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠1＝∠2＝∠4，∵AG∥BD，∴∠3＝∠4＝∠2，在△ANG和△ANK中，，∴△ANG≌△ANK，∴GN＝KN＝MK，∴MK＝KG，∵直线BKE截得△GMC，由梅涅劳斯定理得：，∵点M是CB中点，∴CB＝2BM，∴GE＝EC，∴直线BK平分线段CG．。

2024全国初中数学竞赛试题

1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。

初中数学竞赛——三角形四边形综合

三角形四边形综合1. 如图，已知ABC △中，AD BC AB CD AC BD ⊥+=+，．求证：AB AC =．2. 两个全等的3060︒︒、角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E A C 、、三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME MC 、，试判断EMC △的形状，并说明理由。

3. 如图，已知AD 是ABC △的中线，且1356AB AC AD ===，，，则ABC △的面积为_______．4. □ABCD 中，DE AB ⊥于E 交AC 于F ，且12AD FC =．求证：3DAB ACD ∠=∠． CDBAEF CBADCDBAMBEACD5. 平面上有3个正ABD BCE ACF △、△、△，两两共有一个顶点．求证：CD 与EF 互相平分．6. 在ABC △中，BD 是ABC ∠的平分线．在ABC △外取一点E ，使得EAB ACB ∠=∠，AE DC =，并且线段ED 与线段AB 相交，交点记为K ．求证：KE KD =．7. 正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为CD 上的点，且AF CD CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．8.ABC △是等腰直角三角形，90ACB ∠=，D 是AC 的中点，连结BD ，作ADF CDB ∠=∠，连结 CF 交BD 于E ．求证：BD CF ⊥．F E DCBACFEDBAFE CDBACAKBDE9. 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在BC 上，AE BE =，点F 是CD 的中点，且AF AB ⊥，若 2.7AD =，4AF =，6AB =，求CF 的长.10. 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AD =，2ABC BCD ∠=∠，点E 在DC 上，且BEF A ∠=∠.求证：BE EF =.11. 如图，已知AD 为ABC △的角平分线，AB AC ＜，在AC 上截取CE AB =，M 、N 分别为BC 、AE 的中点．求证：MN AD ∥．NMD CBAEFDC BAEFEDCBA12. 如图，已知ABC △中，D 在AC 上，DC AB =，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连结EF 并延长交BA 的延长线于G ，求证：AF AG =．13. 如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA CB 、到E F 、，使得DE DF =，过E F 、分别作CF 、CB 的垂线，相交于点P ．求证：PAE PBF ∠=∠．14. 如图，90BAC DAE ∠=∠=，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证：AM CD ⊥． DCBAF EG ECD BAMDCB AFMP15. 如图，在ABC ∆中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，求证：AD DE =．16. ．分别以ABC △的边AC BC 、为一边，在ABC △外作正方形ACDE CBFG 、，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离是AB 的一半．17. 在ABC △中，789BC CA AB ===，，，P 为三角形内一点，PD BC ⊥于D ，PE AC ⊥于E ，PF AB ⊥于F ，且12BD CE AF ++=，求BD BF +的值．C DEBACP EDFABQP BCAFGED18. 四边形ABCD 中，135ABC ∠=，120BCD ∠=，6AB =，53BC =-，6CD =，求AD .19. 如图，在四边形ABCD 中，10545ACB BAD ABC ADC ︒︒∠=∠=∠=∠=，，求证：CD AB =。

初中数学竞赛教程8三角形的初步知识

2013年暑期初一数学竞赛第八讲：三角形的初步知识【例题解析】例1、在△ABC中，若∠A＝70°－∠B，则∠C等于（）A、35°B、70°C、110°D、140°1、如图．平面上六个点A，B，C，D，E，F构成一个封闭折线图形．求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．2、若三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、无法确定3、如果α、β、γ分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的外角，且α：β：γ=4：2：3，则∠BAC等于（）A、20°B、40°C、60°D、80°4、如图，∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F的度数．5、在△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，则这个三角形的所有内角之和为（）A、360°B、900°C、1260°D、1440°例2、周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？1、现有长度分别为2cm、3cm、4 cm、5 cm的线段，从中任取三条，能组成三角形的个数是。

2、用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不允许火柴棒折断，并且全部用完），能摆出不同形状的三角形的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个OCBAEBD CA3、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是4和1997，则满足上述条件的三角形的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、已知三角形的每条边长的数值都是2001的质因数，则这样的不同三角形共有（） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个5、三角形三条边a 、b 、c 都是质数，且16a b c ++=，则这个三角形是（） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、直角三角形或等腰三角形6、现有11根火柴，用火柴棒首尾连接构成三角形（这11根火柴可以不用完，但不能折断），则可以搭成的互不全等的三角形个数为（） A ．11个 B ．14个 C ．15个 D ．18个例3、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相较于点O ，若△ABC 不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC 的度数。

初中数学竞赛指导：《三角形》竞赛专题训练(含答案)

《三角形》竞赛专题训练1 与三角形有关的线段我们来看这样一个问题:如图1所示，AD 是BC 边上的高，若点P 在BC 边上移动，你能判断线段AP 与边AB 或边AC 的大小吗?从直观上我们可以看出，若点P 在线段BD 上移动，则AP AB <，若点P 在线段CD 上移动，则AP AC <.可是遇到这样判断三角形中边与边的大小的问题，我们会想到哪些定理呢?下面我们就通过例题来看看这些定理的运用.经典例题(1)在ABC ∆内，AB AC =，AD 是边BC 上的高，若点P 在ABD ∆内，证明: APB APC ∠>∠.( 2) ABC ∆是等边三角形，P 是ABC ∆内或边上任意一点(不包含端点)，证明:PA PB PC <+. 解题策略(1)如图2，设PC 与AD 交于点E ，连结BE ，延长AP 交BC 于点F ，因为AB AC =，所以ACB ABC ∠=∠，CAD BAD ∠=∠，CE BE =，ECB EBC ∠=∠(由等腰三角形性质)，则ACE ACB ECB ABC CBP ABP ∠=∠-∠>∠-∠=∠，CAP BAP ∠>∠ 所以180APB ABP BAP ∠=︒-∠-∠ 180ACE CAP >︒-∠-∠ APC =∠(2)直接找PA 与PB PC +的关系并不容易，因为它们不在一个三角形中，这时我们要想办法找个中间量，使得PA 小于这条边，而PB PC +大于这条边，由两边之和大于第三边可知PB PC BC +>，我们很自然地想到把BC 作为中间量来证明.如图3，延长AP 交边BC 于点F ，则AP AF ≤，因为AFC B ∠>∠，B C ∠=∠，所以AC AF >，而PB PC BC +≥ (等号成立条件是点P 在边BC 上)，所以AP PB PC <+.画龙点睛判断三角形边与边的大小，我们常用的定理有:(1)在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边; (2)在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边. 举一反三1. 如图，ABC ∆中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 上的点，证明: DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是高，P 是线段AD 上任意一点，证明:PB PC BD CD -<-3. 如图，在ABC ∆中有D 、E 两点，求证:BD DE EC AB AC ++<+.融会贯通4. 已知点O 在ABC ∆内部，连结OA ，OB ，OC ，说明:1()2AB AC BC OA OB OC AB AC BC ++<++<++2 与三角形有关的角三角形内角和是180度，这条看似简单的定理在我们求三角形中的角的度数甚至是其他多边形的内角的度数时，却起着不可缺少的作用，这一讲我们就来看几道利用内角和定理的有趣的问题. 经典例题如图所示.平面上六个点A B C D E F 、、、、、构成一个封闭折线图形.求+A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠的度数.解题策略所求的六个角中任意三个都不在同一个三角形中，两两成对地分布在三个三角形中，且这三个三角形中第三个角的对顶角在同一个三角形中，于是，我们反复利用内角和定理可求得结果.因为+180A B APB ∠∠+∠=︒ +180E F FRE ∠∠+∠=︒+180C D DQC ∠∠+∠=︒ 且 +180PRQ PQR QPR ∠∠+∠=︒ 即 +180FRE DQC APB ∠∠+∠=︒故 +360A B C D E F ∠∠+∠+∠+∠+∠=︒ 画龙点睛三角形内角和等于180度，在涉及求角度的时候，总要直接或间接地用到这条定理，当然，更多时候，它要结合其他知识，如外角和定理、对顶角相等，平行线性质定理才能使它的作用更大的发挥出来，希望同学们能熟练应用. 举一反三1. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.2. 如图，求+A B C D E ∠∠+∠+∠+∠的度数.3. 如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 相交于G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，求A ∠的度数.融会贯通4. 如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线交于1A ，1A CD∠与1A BC ∠的平分线交于2A ，2A BC ∠与2A CD ∠的平分线交于3A ，3A BC ∠与3A CD ∠的平分线交于4A ，若450A ∠=︒，求A ∠的度数.3 多边形的边和角在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的内角和公式: (2)180n -⨯︒.多边形的外角和等于360︒.经典例题如图1，在六边形ABCDEF 中，=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠，1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm.求六边形ABCDEF 的周长.解题策略如图2，将BC 、DE 、AF 分别向两边延长交于L 、M 、N 三点.由六边形内角和公式可知=A B C D E F ∠∠=∠=∠=∠=∠(2)1806n =-⨯︒÷120=︒所以=N L M NCD NDC FEM EFM LBA ∠∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠LAB =∠60=︒，所以LMN ∆、ALB ∆、CDN ∆、EFM ∆都是等边三角形；所以LN MN LM ==，AB LB AL ==，EM MF FE ==，CD DN CN ==因为1AB =cm ，3BC CD ==cm ，2DE =cm ，所以1AB LB AL ===cm ，3CD DN CN ===cm.因为LN CN BC LB =++，所以3317LN =++=(cm)，所以7LN MN LM === cm.因为EM MN DE DN =--，所以7232ME =--=(cm)，所以2EM MF FE ===cm.因为AF LM LA FM =--，所以7124AF =--=(cm)，因为六边形ABCDEF 的周长AB BC CD DE EF FA =+++++，所以六边形ABCDEF 的周长13322415=+++++=cm.画龙点睛因为每个内角都是120°，所以多边形的每个外角也都相等，且为60°，从而可以通过延长线段构造等边三角形，利用等边三角形的特殊性质解题. 举一反三1. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( ).(A)13 (B)14 (C)15 (D)162. 一块正六边形硬纸片，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图b)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，如图a 中的四边形'AGA H ，那么'GA H ∠的大小是度.3. 如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖密铺，从里向外共铺了10层(不包括中央的正六边形地砖)，每一层的外边界都围成一个多边形，若中央正六边形的地砖的边长为0.5m ，则第10层的外边界所围成的多边形的周长是多少?融会贯通4. 在一个多边形中，除了两个内角外，其余的内角和为2002°，求这个多边形的边数.4 图形面积——等积变换对于三角形的面积有以下两个重要性质:1. 两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积的比;2. 等底(高)的两个三角形面积之比等于它们的高(底)之比.作为以上两个性质的一个特例，等底等高的两个三角形面积相等. 经典例题如图，已知P 为ABC ∆内一点，AP 、BP 、CP 分别与对边相交于点D 、E 、F .把ABC ∆分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已经给出.求ABC ∆的面积.解题策略设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，由题设404303PBD PCD S BD DC S ∆∆=== 所以8440435303ABD ACD S x S y ∆∆++==++ 化简得34112x y -=- ①又30402351BPC EPC S BP PE S ∆∆+===所以8421ABP APE S x S y ∆∆+== 化简得284x y =- ② 由①、②可得56,70x y == 所以315ABC S ∆=画龙点睛底边相等的两个三角形面积之比等于它们的高之比，高相等的两个三角形面积之比等于它们的底之比，灵活利用这个性质可以帮助我们解决许多问题. 举一反三1. 如图，平行四边形ABCD 中，//EF AC 分别交CD 、AD 于E 、F .连结AE 、BE 、BF 、CF ，问与BCE ∆面积相等的三角形还有几个?分别是哪几个？2. 在ABC ∆中，E 为AC 中点，D 在BC 上，2DC BD =，AD 交BE 于F ，求证::1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 在ABC ∆内任取一点P ，连结AP 、BP 、CP ，并分别延长交BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1AF BD CEBF CD AE=.融会贯通4. 设P 是ABC ∆内任一点，AD 、BE 、CF 过点P 且分别交边BC 、CA 、AB 于D 、E 、F .求证:1PD PE PFAD BE CF++=.参考答案1 与三角形有关的线段1. 因为,,AE AF EF BD BF DF CE CD DE +>+>+>所以AE AF BD BF CD CE DE EF DF +++++>++ 所以DEF ∆的周长小于ABC ∆的周长.2. 如图，在BD 上取一点E ，使得DE CD =，则BD CD BE -=，PD 既是PEC ∆的高，又是中线，则PEC ∆是等腰三角形，所以PE PC =，因为PB PE BE -<，故PB PC BD CD -<-.3. 延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N .在ABM ∆中AB AM BM +>，在CNM ∆中，NM MC NC +> 所以AB AM NM MC BM NC +++>+ 因为AM MC AC +=，BM BN NM =+ 所以AB AC NM BN NM NC ++>++ 所以AB AC BN NC +>+……①在BNC ∆中，BN NC BD DN NE EC +=+++……② 在DNE ∆中，DN NE DE +>……③由②、③得BN NC BD DE EC +>++……④由①、④得AB AC BN NC BD DE EC +>+>++4. 根据两边之和大于第三边，对于OAB ∆、OBC ∆、OAC ∆，有： OA OB AB +>，OA OC AC +>，OB OC BC +> 因此OA OB OA OC OB OC AB AC BC +++++>++所以1()2AB AC BC OA OB OC ++<++ 延长BO 交AC 于D ，则AB AC AB AD DC BD DC BO OD DC BO OC +=++>+=++>+，即AB AC OB OC +>+同理可得：AB BC OA OC +>+，AC BC OA OB +>+三式相加得：2()2()AB AC BC OA OB OC ++>++ 即AB AC BC OA OB OC ++>++2 与三角形有关的角1. 将CD 延长，交AB 于点F ，AE 于点G ，则AFG B C ∠=∠+∠，AGF D E ∠=∠+∠ 因为180A AFG AGF ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒2. 如图，因为CIH D E ∠=∠+∠，CHI A B ∠=∠+∠，180CHI CIH C ∠+∠+∠=︒所以+180A B C D E ∠∠+∠+∠+∠=︒3. 延长CD 交AB 于H ，212123CDB DHB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠，224CGB CFB A ∠=∠+∠=∠+∠+∠因为12∠=∠，34∠=∠，且140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒ 所以1340∠+∠=︒，60A ∠=︒4. 因为ACD A ABC ∠=∠+∠（外角和定理）所以111222ACD ABC A ∠-∠=∠ 即112A A ∠=∠以此类推2112A A ∠=∠，3212A A ∠=∠，4312A A ∠=∠所以41680A A ∠=∠=︒3 多边形的边和角1. B2. 60°3. 根据题意分析可得:从里向外的第1层是61612⨯+=边形;第2层是62618⨯+= 边形;此后，每层都比前一层多6条边.依此递推，第10层是610666⨯+=边形，因为边长为0.5m ，所以第10层的外边界所围成的多边形的周长是660.533⨯=(m).4. 设这个多边形的边数为n ，两个内角的和为x ︒.则(2)1802002n x --=解得1802362x n =-因为0360x <<所以01802362360n <-< 解得118113619090n << 所以14n =或15，则多边形的边数是14或15.4 图形面积——等积变换1. BCE CEA S S ∆∆=，ACE AFC S S ∆∆=，AFC ABF S S ∆∆=，，，所以与BCE ∆面积相等的有3个三角形，分别是CEA ∆、AFC ∆、ABF ∆2. 设BDF S a ∆=.连结DE ，取DC 中点G ，连结EG ，由中位线性质可知//EG AD ，所以F 是BE 的中点，于是有BDF EDF S S a ∆∆==，又2GCE DEG BDE S S S a ∆∆∆===，所以225FDE DEG GCE FDCE S S S S a a a a ∆∆∆=++=++=四边形.因此:1:5BDF FDCE S S ∆=四边形3. 因为ACF APF BPF BCFS S AF BF S S ∆∆∆∆== 所以ACF APF ACP BCF BPF BCP S S S AF BF S S S ∆∆∆∆∆∆-==-同理可得APB APC S BD CD S ∆∆=，BCP APB S CE AE S ∆∆= 三式相乘可得1AF BD CE BF CD AE= 4. 设P 到BC 、CA 、AB 的距离分别为a t 、b t 、c t ，BC 、CA 、AB 边上的高分别为a h 、b h 、c h ，因为PDC a PBC ADC a ABCS t S PD AD S h S ∆∆∆∆=== 所以PBC ABCS PD AD S ∆∆= 同理PAC ABC S PE BE S ∆∆=，PAB ABC S PF CF S ∆∆= 三式相加即得1PD PE PF AD BE CF ++=。

【八年级数学几何培优竞赛专题】专题2 全等三角形判定方法的选择【含答案】

专题2 全等三角形判定方法的选择知识解读三角形全等判定方法的选择已知条件可供选择的判定方法一边和这边邻角对应相等选边：只能选角的另一边（SAS ）选角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ，ASA ）一边及它的对角对应相等只能再选一角：可选另外两对角中任意一对角（AAS ）两边对应相等选边；只能选剩下的一边（SSS ）选角：只能选两边的夹角（SAS ）两角对应相等只能选边：可选三条边的任意一对对应边（AAS ．ASA ）典例示范一、从变换的角度理解“全等”1．轴对称变换例1如图1－2－1，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，求证：BD ＝CE ．【提示】从结论“BD ＝CE ”来看，有两种思路，思路一：通过证明△BOD ≌△COE 得到对应边相等；思路二：通过证明“△ACD ≌△ABE ”得到AD ＝AE ，然后运用等式性质证得．从题设看，由“AB ＝AC ，∠B ＝∠C ”加上公共角∠A ，可得△ACD ≌△ABE ，所以我们考虑使用思路二给出证明过程．图1-2-1B【技巧点评】哪些情况下，可考虑利用全等的性质来证明线段相等和角相等呢？本题中，这个图形很显然是轴对称图形，而BD 和CE 也是轴对称的，这时候就可以考虑把BD 和CE 置于一对轴对称的三角形中，且BD 和CE 恰好是一对对应边.跟踪训练1．如图1－2－2，已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CE ＝F B ．求证：AF ＝DE ．图1-2-22．旋转变换例2如图1－2－3，AD 是△ABC 的中线，在AD 及其延长线上截取DE ＝DF ，连接CE ，BF ，试判断△BDF 与△CDE 全等吗？BF 与CE 有何位置关系？【提示】若△BDF 与△CDE 全等，需要寻找三个相等的要素，题中已知一对对顶角相等，由中线可得到BD ＝CD ，加上DE ＝DF ，即可根据“SAS ”得到两个三角形全等．图1-2-3B【技巧点评】本题是一个简单的全等证明题，本题意在说明图中△BDF 与△CDE 是中心对称的图形．，其中一个三角形可以看作另一个三角形绕点D 旋转180°得到．从中心对称的角度寻找相等的线段和相等的角，可以为证明全等提供方便．跟踪训练2．如图1－2－4，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ，求证：BC ＝E D ．图1-2-4二、线段和角度相等，常考虑证全等例3如图1－2－5，AC 交BD 于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B ．【提示】要证明∠C ＝∠B ，可考虑将∠C 和∠B 置于一对三角形中，证明两个三角形全等，由于本题图中△AOB 和ACOD 全等不容易证明，可考虑连接AD ，证明△ACD 与△DBA 全等．图1-2-5跟踪训练3．已知，如图1－2－6，AD ⊥DB ，BC ⊥CA ，AC ，BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，求证：AD ＝B C ．图1-2-6B【技巧点评】由于全等三角形的对应角相等，对应边相等，因此证明两个三角形全等是证明两个角相等和两条线段相等常用的方法．利用全等三角形证明线段相等和角相等的思路：对应边（角）相等→两个三角形全等→线段相等或者角相等，可以看出全等三角形类似于一个桥梁，建立起角度相等与线段相等、线段相等与另两条相等的线段、角相等与另一对相等的角之间的联系．跟踪训练4．如图1－2－7，A ，D ，B 三点在同一条直线上，△ADC ，△BDO 均为等腰三角形，AO ，BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论．图1-2-7三、借助“同角的余角相等”寻找相等的角例4如图1－2－8，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）求证：∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系，并证明．【提示】（1）∠ABD ，∠ACE 都和∠BAC 互余，根据“同角的余角相等”可证明∠ABD ＝∠ACE ；（2）由已知条件“BF ＝AC ”“CG ＝AB ” “∠ABD ＝∠ACE ”可证明△ABF ≌△GCA ，AF ，AG 恰好是这对全等三角形的对应边，所以这两条线段的大小关系是相等．又由于∠G ＝∠BAF ，∠G ＋∠GAE ＝90°，因此∠GAF ＝90°，所以AF 和AG 的位置关系是垂直．图1-2-8B 【技巧点评】（1）当已知两条边相等，要证明两个三角形全等时，“同角的余角相等”是常用的证明夹角相等的手段．（2）要证明两直线垂直，证明夹角等于90°也是常用思路，当夹角是由两个角的和组成的时候，常考虑证明这两个角的和等于90°．跟踪训练5．如图1－2－9，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB ＝F C ．图1-2-9A四、从等腰、等边、正方形中获取全等所需的元素例5如图1－2－10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD ，垂足为E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：DB ＝BF ．【提示】要证明DB ＝BF ，由于D 为BC 的中点，所以CD ＝BD ，因此本题可转证CD ＝BF ，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD ≌△CBF ．图1-2-10A【技巧点评】本题证明△ACD ≌△CBF 需要的三个要素AC ＝BC ，∠CAD ＝∠BCF ，∠ACD ＝∠CBF 都和△ABC 是等腰直角三角形相关．当题目中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等条件时，往往图形中隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等有关．跟踪训练6．如图1－2－11，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，E C ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想．图1-2-11B拓展延伸五、AAS 华丽变全等例6 如图1-2-12，在△ABC 中，∠DBC ＝∠ECB ＝∠A ，求证：BE ＝CD ．21ABCD E F【提示】要证明BE ＝CD ，一般考虑证明两个三角形全等，而△DCF 和△EBF 显然不全等，本题有三种构造全等的方法，如图1-2-13①②③．图1-2-12GFE D CBAHFE D CBAFE D CBAH G 【技巧点评】本题△BEF 和△CDF 虽然不全等，但是∠BFE ＝∠CFD ，加之可证FB ＝FC 以及待证的BE ＝CD ，可见这两个三角形虽然不全等，但也有3对相等的要素．构造全等三角形可将小三角形补上一部分，或者将大三角形截去一部分．跟踪训练7．如图1-2-14，OC 平分∠AOB ，点D 、E 分别在OA 、OB 上，点P 在OC 上，且有PD ＝PE ，求证：∠PDO ＝∠PEB ．(有三种解法)P OD C BA E竞赛链接图1-2-13图1-2-14②③①例7 (全国初中数学竞赛浙江赛区题)如图1-2-15，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，E 是AD 延长线上一点，若DE ＝AB ＝3cm ，CE ＝4cm ，则AD 的长是．2【提示】如图1-2-16，连接CA ，构造△BAC ≌△DEC ，利用勾股定理求出AE 的长．EDCB AAB CDE【技巧点评】勾股定理——如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．跟踪训练8．(希望杯竞赛题)如图1-2-17，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有()A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对F OABCDE 培优训练1．如图1-2-18，AC ，BD 交于点E ，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝BD ．4321ABCED2．如图1-2-19，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：BF ＝FC ．图1-2-17图1-2-15图1-2-16图1-2-18ABCDEF3．如图1-2-20，已知△ABD 、△AEC 都是等边三角形，AF ⊥CD 于F ，AH ⊥BE 于H ，问：(1)BE 与CD 有何数量关系?为什么?(2)AF 、AH 有何数量关系?O HFEDCBA 4．如图1-2-21，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD ＝∠BCE ＝90°，AE 交DC 于点F ，BD分别交CE ，AE 于点G ，H 试猜测线段AE 和BD 的位置关系和数量关系，并说明理由．DBCFH AE G 5．将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1-2-22①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F ．(1)求证：AF ＋EF ＝DE ；(2)若将图1-2-22①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角，且0°＜＜60°，其他条件不变，请在αα图1-2-22②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立．AC BABCE FD①图1-2-19图1-2-20图1-2-21②图1-2-226．如图1-2-23，AD 是△ABC 的高，作∠DCE ＝∠ACD ，交AD 的延长线于点E ，点F 是点C 关于直线AE 的对称点，连接AF ．(1)求证：CE ＝AF(2)在线段AB 上取一点N ，使∠ENA ＝∠ACE ，EN 交BC 于点M ，连接AM 请你判断∠B 与∠MAF 21的数量关系，并说明理由．DBEAF CN M直击中考7．★★(2017江苏常州)如图1-2-24，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，∠BCE ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠D ，BC ＝CE ．(1)求证：AC ＝CD ；(2)若AC ＝AE ，求∠DEC 的度数．ECDBA 8．(凉山州中考题)如图1-2-25，△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF ＝CE ．求证：FD ＝BE ．FBECDAO9．(内江中考题)如图1-2-26，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：AE ＝BD ．图1-2-23图1-2-24图1-2-25CDEBA10．(重庆中考题)如图1-2-27，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ．CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG ．求证：(1)AF ＝CG ；(2)CF ＝2DE ．GCDFEBA挑战竟赛11．(希望杯竞赛题)如图1-2-28，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠BAC ＝75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD ＝．HBCE ADBGF E ADC12．(希望杯竞赛题)如图1-2-29，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE ＝4，AB ＝14，则BG ＝．图1-2-26图1-2-27图1-2-28图1-2-29。

初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第9章三角形试题新人教版

第9章三角形§9．1全等三角形9．1．1★已知等腰直角三角形ABC ,BC 是斜边．B ∠的角平分线交AC 于D ,过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E ,求证.2BD CE =．解析如图,延长CE 、BA ,设交于F ．则FBE ACF ∠=∠,AB AC =,得ABD ACF △△≌,CF BD =．又BE CF ⊥,BE 平分FBC ∠,故BE 平分CF ,E 为CF 中点,所以2CE FC BD ==．9．1．2★在ABC △中,已知60A ∠=︒,E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点,P 、Q 为ABC △形外两点,使PE AB ⊥,2AB PE =,QF AC ⊥,2ACQF =,若1GP =,求PQ 的长． F AE DBC解析如图,连结EG 、FG ,则EG AC ∥,FG AB ∥,故150PEG QFG ∠=︒=∠．又12QF AC EG ==,12PE AB FG==,故PEG GFQ △△≌,所以PG GQ =,30EGP FGQ FQG FGQ ∠+∠=∠+∠=︒,又60EGF ∠=︒,所以90PGQ ∠=︒,于是PQ ==ACG QPEF9．1．3★在梯形ABCD 的底边AD 上有一点E ,若ABE △、BCE △、CDE △的周长相等,求BCAD．解析作平行四边形ECBA ',则A BE CEB '△△≌,若A '与A 不重合,则A '在EA （或延长线）上,但由三角形不等式易知,A '在EA 上时,ABE △的周长>A BE '△的周长；A '在EA 延长线上时,ABE △的周长A BE '<△周长,均与题设矛盾,故A 与A '重合,AE BC ∥,同理ED BC ∥,12BC AD =．B CEDAA'9．1．4★★ABC △内,60BAC ∠=︒,40ACB ∠=︒,P 、Q 分别在边BC 、CA 上,并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证.BQ AQ AB BP +=+．解析延长AB 到D ,使BD BP =,连结DP ．易知80ABC ∠=︒,所以40QBC ACB ∠=︒=∠,AC AQ QC AQ QB =+=+．ABCDQP因1402BDP BPD ABC ACB ∠=∠=∠=︒=∠,所以ADP ACP △△≌,AC AD AB BD AB BP ==+=+．于是BQ AQ AB BP +=+．9．1．5★★设等腰直角三角形ABC 中,D 是腰AC 的中点,E 在斜边BC 上,并且AE BD ⊥．求证. BDA EDC ∠=∠．解析如图,作BAD ∠的平分线AF ,F 在BD 上．ABCEFD由于45BAF ACE ∠=︒=∠,AB AC =,ABF CAE ∠=∠,故ABF CAE △△≌,故EC AF =．又45C FAD ∠=∠=︒,AD CD =,于是AFD CED △△≌,于是ADB EDC ∠=∠．9．1．6★★设ABE △、ACF △都是等腰直角三角形,AE 、AF 是各自的斜边,G 是EF 的中点,求证.GBC △也是等腰直角三角形．解析如图,作AQ 、GP 、EM 、FN 分别垂直于直线BC ,垂足为Q 、P 、M 、N ．AE FGMBQ PC由90EBM ABQ BAQ ∠=︒-∠=∠,AB BE =,EMB BQA △△≌,故有EM BQ =,BM AQ =．同理FN QC =,CN AQ =,所以BM CN =, EM FN BQ QC BC +=+=．又EG GF =得BP CP =,且()1122GP EM FN BC =+=,故GP BP CP ==．又由GP BC ⊥,故结论成立．9．1．7★★已知AB AC ⊥,AB AC =,D 、E 在BC 上（D 靠近B ）,求证.222DE BD CE =+的充要条件是45DAE ∠=︒．ABEFC解析如图,作FC BC ⊥,且FC BD =,则45ACF B ∠=︒=∠,又AB AC =,故ABD ACF △△≌,AD AF =,且490D F BAC ∠=∠=︒．若45DAE ∠=︒,则45EAF ∠=︒,因AD AF =,得ADE AFE △△≌,则222222DE EF EC FC EC BD ==+=+．反之,若222DE EC BD =+,由222EF EC FC =+得EF DE =．又AD AF =,故ADE AEF △△≌,又90DAF ∠=︒,于是45DAE ∠=︒．9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证.可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、旋转后拼成另一个三角形．解析如图,设ABC △与A B C '''△关于l 对称,分别找到各自的内心I 、I ',分别向三边作垂线ID 、IE 、 IF 与I D ''、I E ''、I F '',于是6个四边形AFIE ……均为轴对称的筝形,且四边形AFIE ≌四边形A E J F '''',所以两者可通过平移、旋转后重合；同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．AECDF BA'B'C'D'F'E'l l'l9．1．9★★★已知.两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等．解析如图,设BC B C ''=,A 至BC 距离等于A '至B C ''距离,取各自的中位线FE 、F E '',则FE FE '=．由ABC △、A B C '''△均为锐角三角形,可在BC 、B C ''上各取一点D 、D ',使图中标相同数字的角相等,于是AEF D E F '''△△≌,DEF A E F '''△△≌,FBD FD B ''△△≌,EDC E C D '''△△≌．评注还有一种旋转而不是对称的构造法．A BC DEF A'B'D'C'E'F'123451465264152432519．1．10★已知ABC △与A B C '''△中,A A '∠=∠,BC B C ''=,ABC A B C S S '''=△△,ABC △与A B C '''△是否一定全等？A B CA'解析如图,让B 与B '重合,C 与C '重合,A 、A '在BC 同侧,若A 与A '重合,则ABC A B C '''△△≌；否则由条件知四边形ABCA '为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是ABC A CB '∠=∠,AB A C '=,ABC A C B '''△△≌．综上,可知ABC △与A B C '''△全等．评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．9．1．11★★如图所示,已知ABC △、CED △均为正三角形,M 、N 、L 分别为BD 、AC 和CE 的中点,求证.MNL △为正三角形．ABEDM TS CN L解析如图,设BC 、CD 中点分别为S 、T ,连结NS 、SM 、MT 、TL ．则四边形CSMT 为平行四边形,设BCD θ∠=,则60180240NSM LTM θθ∠=︒+︒-=︒-=∠,360120240NCL θθ∠=︒-︒-=︒-,又NC SN SC MT ===,LC LT CT SM ===,故CNL SNM TML △△△≌≌, NL NM ML ==,于是MNL △为正三角形．评注注意有时S 在MN 另一侧,此时120NSM LTM NCL θ∠=∠=∠=︒+,不影响最终结论．9．1．12★★★ABC △中,90A ∠=︒,AB c =．6AC =,BC a =,M 是BC 中点,P 、Q 分别在AB 、AC 上（可落在端点）,满足MP MQ ⊥,求22BP CQ +的最小值（用a 、b 、c 表示）．解析如图,延长QM 至N ,使QM MN =,连结PN 、BN 、PQ 、AM 由于M 是BC 、NQ 的中点,故BN CQ =,BN AC ∥,BN BP ⊥,又PM 垂直平分NQ ,故222222BP CQ BP BN PN PQ +=+==．取PQ 中点K （图中未画出）,则2a PQ AK MK AM =+=≥,于是22BP CQ +的最小值为24a ,取到等号仅当PQ AM =即四边形APMQ 为矩形时．NMP CBQA9．1．13★★★已知P 为ABC △内一点,PAC PBC ∠=∠,由P 作BC 、CA 的垂线,垂足分别是L 、M ．C ABDEFMP L设D 为AB 中点,求证.DM DL =．解析如图所示,取AP 中点E ,BP 中点F ,连ME 、ED 、DF 、FL ．显然四边形DEPF 是平行四边形,所以EP DF =,FP DE =．DEP DFP ∠=∠．又由PM AC ⊥,所以EM EA EP DF ===,2PEM PAC ∠=∠；同理FL DE =,2PFL PBC ∠=∠．由PAC PBC ∠=∠,所以DEM DEP PEM DFP PFL DFL ∠=∠+∠=∠+∠=∠,从而DFM LFD △△≌,所以DM DL =．9．1．14★★在ABC △中,已知60CAB ∠=︒,D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且60AED ∠=︒,ED DB CE +=,2CDB CDE ∠=∠,求DCB ∠的度数．解析如图,延长AB 到F ,使BF ED =,连CF 、EF ．CEA DB F因为60EAB AED ∠=∠=︒,所以60FDA ∠=︒,120EDB CED ∠=∠=︒, AD AE ED BF ===．CE ED DB DB BF DF =+=+=．于是,AC AF =,60ACF AFC ∠=∠=︒．又因为120EDB ∠=︒,2CDB CDE ∠=∠, 所以40CDE ∠=︒,80CDB ∠=︒,18020ECD CED EDC ∠=︒-∠-∠=︒．在CDA △和CBF △中,CA CF =,60CAD CFB ∠=∠=︒,AD BF =,所以CDA CBF △△≌,故 20FCB ACD ∠=∠=︒．于是,6020DCB CDE FCB ∠=︒-∠-∠=︒．9．1．15★★在ABC △中,B ∠、C ∠为锐角,M 、N 、D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点,满足AM AN =,BD DC =,且BDM CDN ∠=∠．求证.AB AC =．解析若DM DN >,则在DM 上取一点E ,使DN DE =．连结BE 并延长交AC 于F ,连结EN ．在BED △与CND △中,BD DC =,BDE CDN ∠=∠,DE DN =,故BDE CDN △△≌．于是有EBD NCD ∠=∠,BE NC =,所以FB FC =．又易知EN BC ∥,因此ENF ACB ∠=∠．但另一方面,由DM DN >,知ABC FBC ACB ∠>∠=∠,所以AFM NE BDC1(180)2ANM BAC ∠=︒-∠()12ABC ACB =∠+∠ ()12ACB ACB ACB >∠+∠=∠．从而ENF MNA ACB ∠>∠>∠．矛盾,故假设DM DN >不成立．若DM DN <,同法可证此假设不成立．综上所述DM DN =,于是由BDM CDN △△≌ 知DBM DCN ∠=∠,从而AB AC =．9．1．16★★如图,ABC △为边长是1的等边三角形,BDC △为顶角()BDC ∠是120︒的等腰三角形,以D 为顶点作一个60︒角,角的两边分别交AB 、AC 于M 、N ,连结MN ,形成一个AMN △．求AMN △的周长．AM NBC DE解析延长AC 到E ,使CE BM =,连结DE ．易知在BMD △与CED △中有BD DC =,90MBD ECD ∠=∠=︒,BM CE =,从而MBD ECD △△≌．所以MD DE =,MDB EDC ∠=∠．于是在DMN △与DEN △中有DN DN =,MD DE =,60MDN MDB CDN EDC CDN EDN ∠=︒=∠+∠=∠+∠=∠．从而MDN EDN △△≌,故NE MN =．所以AM MN AN AM NE AN AM NC CE AN AM MB NC AN ++=++=+++=+++= 2AB AC +=．9．1．17★★★ABC △为等腰直角三角形,90C ∠=︒,点M 、N 分别为边AC 和BC 的中点,点D 在射线BM 上,且2BD BM =,点E 在射线NA 上,且2NE NA =,求证.BD DE ⊥．解析取AD 中点F ,连EF ．EADF MBNC在BMC △与DMA △中,AM MC =,12BM BD MD ==,BMC DMA ∠=∠,故AMD CMB △△≌．于是有ADM CBM ∠=∠,AD BC =,AD BC ∥．同样易知BMC ANC △△≌,于是有CBM CAN ∠=∠．在ANC △与EAF △中,12NA NE AE ==,1122AF AD BC NC ===,由AD BC ∥知EAF ANC ∠=∠,所以FAF ANC △△≌．于是有AEF NAC ∠=∠,90EFA ACN EFD ∠=∠=︒=∠．从而在EAF △与EDF △中有AF FD =,EF EF =,故FAF EDF △△≌．于是有EDF EAF ∠=∠, FED FEA ∠=∠．总之,90EDF MDA EDF NAC EDF AEF EDF FED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒,即 BD DE ⊥．9．1．18★★★已知ABCD ,延长DC 至P ,使DP AD =,连结PA 与BC 交于Q ,O 为PQC △的外心,则B 、O 、C 、D 共圆．ADBC O PQ解析如图连好辅助线,由于DPA BAP PAD CQP ∠=∠=∠=∠,故CQ CP =,设OCP OCQ OQC θ∠=∠=∠=,则180BQO DCO θ∠=︒-=∠,又BQ AB CD ==,QO CO =,故BQO DCO △△≌,于是QOB COD ∠=∠,于是2BOD QOC QPC BCD ∠=∠=∠=∠,因此B 、O 、C 、D 共圆．9．1．19★★★已知ABC △和A B C '''△,A A '∠=∠,且BC B C ''=,D 和D '分别是BC 、B C ''的中点,AD A D ''=,问两个三角形是否必定全等？解析如图,作出ABC △外心O (A B C '''△及相应的O '、D '图中未画出)．若O 在BC 上,则90A A '∠=︒=∠,此时ABC △与A B C '''△未必全等．若O 不与D 重合,则2sin 2sin BC B C AO A O A A ''''===', cos cos OD BO A AO A == cos A O A O D '''''==,AD A D ''=．当A 、O 、D 共线,则AD BC ⊥,A D B C ''''⊥,所以ABD A B D '''△△≌,ACD A C D '''△△≌,从而 ABC A B C '''△△≌．当A 、O 、D 不共线,则AOD A O D '''△△≌,ODA O D A '''∠=∠,于是'ADC A D C ''∠=∠（或A D B '''∠）,于是由三角形全等可得AC A C ''=(或A B ''),AB A B ''=（或A C ''）,故有ABC A B C '''△△≌（或A CB '''△）．评注此题亦可用中线长公式证明．9．1．20★★如果两个三角形满足“ASS ”,它们不一定全等,此时称它们是相近的,现在有一三角形1△,作2△与之“相近”,……一般有1n +△与n △相近,问是否存在一个k ,使1△与k △相做且不全等？解析这是不可能的．因为由正弦定理,1△与2△有等大的外接圆（它们有一对内角相等或互补）,从而推出1△与x k △有等大的外接圆,它们不可能只相似不全等．9．1．21★★★是否存在两个全等的三角形△与'△,△可划分为两个三角形1△与2△,'△可划分成两个三角形1'△与2'△,使12△△≌,2△与2'△却不全等？解析这样的两个三角形是存在的,如图(a)、(b),设不等边三角形ABC A B C '''△△≌,其中22''BC AB AC A B A C B C ''''=⋅=⋅=,不妨设AC A C ''=是各自的最长边,则AB 、A B ''为各自的最短边．在AC 、B C ''上分别找D 、D ',使CD AB =,BA D C ''∠=∠,则由于2BC AB AC CD AC =⋅=⋅,故ABC BDC △∽△,所以'BDC ABC A B C ''∠=∠=∠,又因为C B A D '''∠=∠,CD A B ''=,因此BDC D B A '''△△≌,而ABD △显然不与A C D '''△全等．（若90B B '∠=∠=︒,还可避免相似．） ABCDA'B'D'图(a)图(b)9．1．22★★★已知ABC △中,60A ∠=︒,I 是ABC △内心,AI 的垂直平分线分别交AB 、AC 于M 、N ,E 、F 在BC 上,BE EF FC ==,求证.ME NF ∥．解析如图,连结MI 、BI 、CI 、NI ．易诮AMN △与IMN △为全等之正三角形,120BIC ∠=︒, 180MIB NIC ∠+∠=︒．ANMTB E F CIS两端延长MN 至S 与T ,使SM MN NT ==,则60SMB AMN BMI ∠=∠=∠=︒,于是SMB IMB △△≌,同理NTC NIC △△≌,因此180S T MIB NIC ∠+∠=∠+∠=︒,SB TC ∥．而M 、N 将ST 三等分,E 、F 将BC 三等分,于是由平行线分线段成比例,知ME NF ∥(SB ∥)．评注读者可以考虑.如果ME NF ∥是否有60BAC ∠=︒．9．1．23★★★已知锐角三角形ABC ,60BAC ∠=︒,AB AC >,ABC △的垂心和外心分别为M 和O ,OM 分别与AB 、AC 交于X 、Y ,证明.AXY △的周长为AB AC +,OM AB AC =-．解析如图,连结AO 、BO 、CO 、AM ．由AB AC >可知O 在AB 一侧,M 在AC 一侧．因120BOC ∠=︒,故AO =,而tan BC AM BAC ==∠于是AO AM =,AOM AMO ∠=∠．又90OAB C YAM ∠=︒-∠=∠,故AXY AYX ∠=∠,AXY △为正三角形．又60XOB YOC YOC OCY ∠+∠=︒=∠+∠,故XOB YCO ∠=∠,120BXO CYO ∠=︒=∠,又BO CO =,故XBO YOC △△≌,XY XO YO BX YC =+=+．于是AX XY YA AB AC ++=+．又XO MY YC ==,做()()112233OM XY YC AB AC AC AB AC AB AC ⎡⎤=-=+--+=-⎢⎥⎣⎦．§9．2特殊三角形9．2．1★在直角三角形ABC 中,BC 是斜边,5AC =,D 是BC 中点,E 是AC 上一点,2DE AE ==,求AB ．BADEC解析如图,连结AD ．设AD CD x ==,因2DE =,2AE =,3CE =,则 22223x -=⨯,x =AB ==9．2．2★已知ABC △中,14AB =,16BC =,28CA =,P 为B 在A ∠平分线上的射影,M 为BC 中点,求PM ．解析延长BP 交AC 于Q ．由BAP QAP ∠=∠．AP BQ ⊥知BP QP =,AB AQ =．又BM CM =,故()()11128147222PM CQ AC AQ =-=⨯-=∥．ABCQ P M9．2．3★等腰三角形ABC 中,AB AC =,D 为直线BC 上一点,则22AB AD BD CD -=⋅（D 在BC 上）,22AD AB BD CD -=⋅（D 在BC 外）．解析如图,设D 在BC 上且较靠近B ．作AE BC ⊥于E ,则E 为BC 中点,于是AB D E C()()BD CD BE DE CE DE ⋅=-⋅+2222BE DE AB AD =-=-．当D 在BC 外时的结论同理可证．评注这是斯图沃特定理在等腰三角形的特殊情形,具有十分广泛的用途（例如题9．2．1）,亦可用相交弦定理证明．9．2．4★★已知锐角三角形ABC 中,AD 、CE 是高,H 为垂心,AD BC =,F 是BC 的中点,求证.12FH DH BC +=．AEBFDCH解析如图,连结EF ,则12EF CF BC ==．于是2222FH EF EH CH EF AH HD EF =-⋅=-⋅=- 222AH HD HD HD EF HD AD ⋅-+=-⋅+22222HD EF HD BC HD EF HD =-⋅+=-⋅ ()22EF HD EF HD +=-．由于EF FH HD >>,故12FH EF DH BC DH =-=-． 9．2．5★已知斜边为AC 的直角三角形ABC 中,B 在AC 上的投影为H ．若以AB 、BC 、BH 为三边可以构成一个直角三角形,求AHCH的所有可能值． BHAC解析显然由AB 、BC 、BH 构成的直角三角形中,BH 不是斜边,且AB BC ≠．若AB BC >,则AB 为斜边．设AB c =,BC a =,BH h =,则由ABC △的面积知h ac ,又h =,故4422c a a c -=．易知2222AH AB c kCH BC a ===,则由前式知21k k -=,得k =,故AH CH =同理,若AB BC <,可得AH CH =．所以AHCH9．2．6★★已知ABC △中,AD 为高,D 在BC 上, 以下哪些条件能判定AB AC =. (1)AB CD AC BD +=+. (2)AB CD AC BD ⋅=⋅；(3)1111AB CD AC BD+=+． AB D C解析设BD x =,CD y =,AD h =,则AB ,AC先看条件y x =．若x y =,则AB AC =；否则不妨设x y >,则22x y -==．x y =+,于是0h =,矛盾．故AB AC =．再看见条件（2）.=22222222h y x y h x x y +=+,于是x y =,故AB AC =．最后条件（3）.11y x =+．于是22x y xy -=．若x y ≠,则()xy x y =+,仍有0h =,矛盾,故AB AC =．所以三个条件都能判定AB AC =．9．2．7★已知P 是等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上任意一点,求222BP CP AP +．解析如图,作AD BC ⊥于D ．AB D CP不妨设1AD BD CD ===．P 在CD 上,PD a =,则1BP BD PD a =+=+,1CP CD PD a =-=-,于是()()222221122BP CP a a a +=++-=+．又22221AP AD PD a =+=+．故2222BP CP AP +=．评注请读者考虑,若对BC 上任一点P ,有222BP CP AP+为定值,是否可认为ABC △为等腰直角三角形． 9．2．8★★在ABC △中,19AB =,17BC =,18CA =,P 是ABC △内一点,过点P 向ABC △的三边BC 、CA 、AB 分别垂线PD 、PE 、PF ,垂足分别为D 、E 、F ,且27BD CE AF ++=,求BD BF + 的长．解析如图,由于2222220BD CD CE AE AF BF -+-+-=,于是AFEPBDC()()222222(17)18190BD BD CE CE AF AF --+--+--=,此即171819487BD CE AF ++=．而181818486BD CE AF ++=,故1AF BD -=．所以118BD BF BD AB AF AB +=+-=-=． 9．2．9★★已知ABC △中,AB AC =,AE 是BC 的中垂线,AE BC =,3BDC BAC ∠=∠, 求ADDE．AF DBEC解析如图,不妨设1BE CE ==,则2AE =,AB =．作ABD ∠的平分线BF ,由于3BDE BAE ABD BAE ∠=∠=∠+∠,故ABF DBF BAE ∠=∠=∠．因此AF BF =,ABD BFD △∽△, AB AD BD BF BD DF ==,从而2BD DF DA =⋅,DB ADDF AB DB⋅=+,所以()2DA BD BD AB =⋅+．设DE x=,则221BD x =+,2DA x=-,因此()2221x x -=+,()223455x x -=+,2112440x x -+=,211x =（2x =舍）．于是2011AD =,10AD DE =． 9．2．10★★正三角形ABC 内有一点P ,P 关于AB 、AC 的对称点分别为Q 、R ,作平行四边形QPRS ,求证.AS BC ∥．A SMRQBCP解析如图,设QS 与AB 交于M ,连结MP ,则60Q ∠=︒,AB 垂直平分PQ ,QM PM =,MPQ △ 为正三角形,MP PQ SR ==,于是四边形MPRS 为等腰梯形,PR 的中垂线即MS 的中垂线．于是60SAC MAC C ∠=∠==∠,AS BC ∥．9．2．11★★AB 与O 相切于点B ,AC 与O 相交于C 、D ,若45C ∠=︒,60BDA ∠=︒,CD =求AB ．BC D AK T解析如图,由题意可得45ABD ∠=︒,作BK AC ⊥于K ,则BK CK=,又CK CD DK =+=,故32BK =,BD =再作AT BD ⊥于T ,设BT AT x ==,则DT =,x =x =于是6AB ==．9．2．12★已知大小相等的等边ABC △与等边PQR △有三组边分别平行,一个指向上方,一个指向下方,相交部分是一个六边形,则这个六边形的主对角线共点．A D KR QEHBFGCP解析如图,设两个三角形的边的交点依次为D 、E 、F 、G 、H 、K ．设ABC △、PQR △的高为h ,则正ADK △的高h =（RQ 与BC 的距离）=正FPG △的高,于是DK FG ∥,DG 、KF 互相平分,同理DG 、EH 互相平分,于是DG 、EH 、KF 的中点为同一点,结论成立．9．2．13★★★★求证.过正三角形ABC 的中心O 任作一条直线l ,则A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为常数．AlB'A'OC'B QC P解析如图,不妨设l 与AB 、AC 相交,且与BC 延长线交于P (平行容易计算)．由中位线及重心性质,知BB CC AA '''+=．故222222()B B C C A A B B C C B B C C '''''''++=++⋅．连结OB 、OC ,作OQ BC ⊥,易知B BP QOP C CP ''△∽△∽△,故C C CP OQ OP '=,B B BPOQ OP'=．对于等腰三角形OBC ,有22OP OC CP BP -=⋅．因此()()222222222223OQ OQ B B C C B B C C CP BP CP BP BC CP BP OP OP ''''++⋅=++⋅=+⋅= ()222222333OQ BC OP OC OQ OP+-=(定值),这里用到了BC =．于是A 、B 、C 三点至l 的距离平方和为22162OQ BC =,结论得证．§9．3三角形中的巧合点9．3．1★已知.H 是ABC △内一点,AH 、BH 、CH 延长后分别交对边于D 、E 、F ,若AH HD BH HE CH HF ⋅=⋅=⋅,则H 是ABC △的垂心,解析如图,由条件知AHE BHD △∽△,故AEH BDH ∠=∠,同理,AFH CDH ∠=∠,故180AFH AEH ∠+∠=︒．A FEHBDC又FBH ECH △∽△,故BFH CEH ∠=∠,这样可得90AFH AEH ∠=∠=︒,故H 为ABC △之垂心．9．3．2★★求证.到三角形三顶点的距离平方和最小的点是三角形的重心．解析设ABC △中,AD 、BE 、CF 是中线,G 是重心,M 是任一点．由斯图沃特定理,并考虑到结论成立． 123DG GA AD =∶∶∶∶,得2222122339MG AM DM AD =+-22212233AM DM GD =+-．① 又由中线长公式,有 ()22221124MD BM CM BC =+-, ()22221124GD BG CG BC =+-．代入式①,得()()222222230MG MA MB MC GA GB GC =++-++≥．结论成立． 9．3．3★★★已知,H 是锐角ABC △的垂心,D 是BC 中点,过H 作DH 的垂线,交AB 、AC 于M 、N ,求证.H 是MN 中点．AQ NMHBD PC解析设ABC △两条高为AP 、CQ ．又不妨设D 在BP 上．由于HAM DCH ∠=∠,90AHM DHP HDC ∠=︒-∠=∠,故AMH CHD △∽△,于是MH AH HD CD =,同理NH AHHD BD=, 又CD BD =,故MH NH =．9．3．4★★★ABC △的边BC 、CA 、AB 上分别有点D 、E 、F ,且BD CE AFDC EA FB==,求证.ABC △的重心与DEF △的重心是同一点．解析在AB 上取一点M ,使MD AC ∥,则MD BD CEAC BC AC==,所以MD CE =,四边形MDCE 为平行四边形,设MC 与DE 交于N ,又设BC 的中点为,P 连结PN 、AP 、FN ,AP 与FN 交于G ,于是由 BM BD CE AF AB BC AC AB ===,得RM AF =,于是1122PN BM AF ∥∥,于是12PG GN PN GA FG AF ===,所以G 为ABC △与DEF △之重心．AFMG EBDPCN9．3．5★★★已知ABC △,60A ∠=︒,G 是ABC △重心,120BGC ∠=︒,求证.ABC △是正三角形．解析设ABC △三条中线分别为AD 、BE 、CF ．连EF 为中位线．于是由条件知A 、F 、G 、E 共圆,故GBD FEG BAD ∠=∠=∠,于是2BD GD DA =⋅．由于12BD BC =,13GD AD =,代入,得AD =．在ABC △外作等腰BCP △,使BP CP =,120BPC ∠=︒,连结DP ,DP BC ⊥．由圆心角与圆周角的关系,211333GP BP AD AD AD GD PD ====+=+,故G 、D 、P 三点共线,故AD BC ⊥,于是AB AC =,又60RAC ∠=︒,故ABC △为正三角形．AFEBD CPG9．3．6★★★已知D 是BC 上一点,ABD △、ECD △、BCF △都是正三角形,A 、E 在BC 同侧,F 在另一侧,求证.以这三个正三角形的中心为顶点的三角形是正三角形,且它的中心在BC 上．又问此题如何推广？A BCEFR R'DQ'P'Q解析如图,设P 、Q 、R 分别为BCF △、DCE △和ABD △的中心,则由题11．2．25知PQR △为正三角形．过P 、Q 、R 分别作BC 的垂线PP '、QQ '、RR ',则RR QQ PP BD CD BC ⎛'''=== ⎝⎭,又BD CD BC +=, 故RR QQ PP '''+=．又设RQ 中点为S （图中未画出）,SS BC '⊥于S ',则SS PP ''∥,且()1122SS RR QQ PP ''''=+=．设SP 与BC 交于G ,则12SG SS GP PP '==',所以G 为PQR 的中点．评注此题不难推广,只需AB DE CF ∥∥,AD CE BF ∥∥,此时ABD DC FCB △∽△∽△, P 、Q 、R 为各自对应的重心,则必有PQR △之重心位于BC 上． 9．3．7★★★ABC △内有一点P ,连结AP 、BP 、CP 并延长,分别与对边相交,把ABC △分成六个小三角形,若这六个小三角形中有三个面积相等,则点P 是否必为ABC △之重心？解析如图,设AD 、BE 、CF 交于P ．由对称性,可分四种情况讨论．AFEPBDC（1）BPD CDP BPF S S S ==△△△．于是BD CD =,2CPPF=,由梅氏定理（或添平行线）,得AF BF =,P 为中心．（2）BPD CDP APF S S S ==△△△．此时FD AC ∥,故D 、F 分别为BC 、AB 中点,P 为重心．（3）BPD BPF APE S S S ==△△△．此时有DE AB ∥,由塞瓦定理,AF BF =,于是APF BPF S S =△△,回到情形（1）．（4）APF BPD CPE S S S ==△△△,见题15．1．58．综上所知,答案是肯定的．9．3．8★★★设有一个三角形三角之比为124∶∶,作两较大角的平分线,分别交对边于M 、N ．求证.这个三角形的重心在MN 上．解析如图(a),设A ∠为最小角,作中线AD ,交MN 于G ,于是只要证明2AG GD =．分别作EB AD CF ∥∥,E 、F 在直线MN 上,则2GD EB CF =+,故问题变成1EB FCAG AG+=,或 1BC BC CM BN CF BEAB AC AM AN AG AG+=+=+=．不妨设A θ∠=,2C θ∠=,4B θ∠=,7180θ=︒,在AC 上找一点P ,使ABP θ∠=,又作PQ BC ∥,Q 在AB 上,则各角大小如图(b)所示．于是BC BP AP BQ ===,故 11BC AP CP BQ BCAC AC AC AB AB==-=1-=-． ABCD E FNMGA QP B C2θ3θ2θ3θ3θθθ图(a)图(b)9．3．9★★★不等边锐角ABC △中,H 、G 分别是其垂心和重心,求证.若112HABHACHBCS S S +=△△△,AG HG ⊥．ABDECGH解析设ABC △的一条中线与高分别为AD 、AE ,则欲证结论等价于AG AD AH AE ⋅=⋅．熟知cot AH BC A =⋅,23AG AD =．于是结论变为22cot cos 3AD BC AE A AB AC A =⋅⋅=⋅⋅．设AB c =,BC a =,CA b =,则由中线长及余弦定理,知欲证式左端()2221226b c a =+-, 右端2222b c a +-=,整理,得2222b c a +=,于是剩下的任务是证明这个等价条件．1cos 2BHC S BH BC C =⋅⋅⋅△1cot cos 2AC BC B C =⋅⋅⋅⋅ cot cot ABC S B C =⋅⋅△,同理有另两式,于是条件变为cot cot 2cot C B A +=,由正弦及余弦定理,知上式即cos cos ab C ac B +=2cos bc A ,或()()22222222262()ac a c b b c a +-++-=+-,化简即得2222b c a +=．9．3．10★★已知凸四边形ABCD 中,2BAC BDC ∠=∠,2CAD CBD ∠=∠,A 是否一定为BCD △之外心？ABDC解析当BCD △固定．由题设BAC ∠、CAD ∠固定,于是BAC △、ACD △外接圆固定,它们的交点 C 、A '固定,又若A 为BCD △外心时,确为BAC △的外接圆和ACD △的外接圆之异于C 的交点,因此A A '=,结论成立．9．3．11★★★已知锐角ABC △的外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ,O 是外心,O 至三边距离之和为L ,试用R 、r 表示L ．解析易知()cos cos cos L R A B C =++．设ABC △三边分别为a 、b 、c ,由于cos cos a B b A c +=等,则()()cos cos cos a b c A B C ++⋅++=cos cos cos a b c a A b B c C +++++,于是 cos cos cos 1A B C ++-cos cos cos a A b B c Ca b c++=++．①又1cos 2BOC Ra A S =△等,可得()()11cos cos cos 22ABC R a A b B c C S r a b c ++==++△,故式①的右端r R =．于是L R r =+． 9．3．12★★★★.已知ABC △,D 、E 分别在AC 、AB 上,BD 、CE 交于F ,ED BC ∥,求证.AEF △、ADF △、EFB △、DFC △的外心四点共圆．AED BCOKO 1O 2解析如图,设BEF △、DFC △的外心分别为1O 、2O ,O 为EFD △的外心,于是1OO 垂直平分EF ．2OO 垂直平分DF ．设EFB DFC θ∠=∠=,则由垂径定理知11sin 2OO BD θ=,21sin 2OO CE θ=,于是12OO BD FD OO CE EF ==．易知AF 过ED 中点（由塞瓦定理或面积比）,作KD EF ∥,K 在AF 上,则KD EF =,又 12180KDF EFD O OO ∠=︒-∠=∠,故12O OO FDK △∽△．又设AEF △,ADF △的外心分别为3O 、4O （图中未画出）,于是3O 、4O 分别在直线1O O 与2O O 上, 且34O O AF ⊥,于是4312OO O KFD OO O ∠=∠=∠,于是1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．9．3．13★★★已知.ABC △中,AB AC =,D 是AB 中点,F 为ADC △重心,O 为ABC △外心,求证.FO CD ⊥．解析1如图,延长DF 交AC 于E ,则AE CE =,2DF EF =．连结AO 并延长,分别交CD 、BC 于G 、H ,则G 为ABC △重心,BH CH =,2233DF DE BH ==,易见2323BHDO BH DF AD AH AG AH ===． ADEF OGB H C又OD AB ⊥,90ODF ADE DAG ∠=︒-∠=∠,ODF DAG △∽△,对应边垂直,所以FO CD ⊥．解析2O 为ABC △外心,故22222CO DO AO DO AD -=-=；而由中线公式,CF =DF 于是22222CF DF AD CO DO -==-,于是FO CD ⊥．9．3．14★★★设I 和O 分别是ABC △的内心和外心,求证.90AIO ∠︒≤的充分必要条件是2BC AB AC +≤．解析延长AI 与外接圆交于点D ,连结BD 、CD 、OD ,则 90AIO ∠︒≤ AI ID ⇔≥．2ADDI⇔≤D由内心性质知,DI DB DC ==,结合托勒密定理得 AD BC AB CD AC BD ⋅=⋅+⋅ AB DI AC DI =⋅+⋅, 所以AD AB ACDI BC+=, 所以902AB ACAIO BC+∠︒⇔≤≤, 故90AIO ∠︒≤的充要条件是2BC AB AC +≤．评注本题的关键是先把90AIO ∠︒≤转换为AI ID ≥,然后再用托勒密定理．托勒密定理是.圆内接四边形的对角线的乘积等于对边乘积的和．9．3．15★★★设O 是ABC △的外接圆,G 是三角形重心,延长AG 、BG 、CG ,分别交O 于D 、E 、F ,则3AG BG CGGD GE GF++=． AF ERQGBP DC解析设BC 、CA 、AB 的中点分别为P 、Q 、R ,则由中线长公式及相交弦定理,有（此处ABC △三边分别设为a 、b 、c ） AG AG AGBP CPGD GP PD GP AP==⋅++22223133APAP BP CP AP BP CP AP AP ==⋅+⋅+ 2222222222222122211132244b c a b c a a b c b c a a +-+-==+++-+．同理,有22222222BG c a b GE a b c +-=++ , 22222222CG a b c GF a b c +-=++．三式相加,即得结论．9．3．16★★I 在ABC △内,AI 平分BAC ∠,1902BIC A ∠=︒+∠,求证.I 是ABC △内心．解析如图,作EIF AI ⊥,E 在AB 上,F 在AC 上,则AE AF =,LE IF =,AEF BCI1902BEI IFC A BIC ∠=∠=︒+∠=∠．又1902EBI EIB A EIB FIC ∠+∠=︒-∠=∠+∠,故EBI FIC ∠=∠,于是EBI FIC △∽△,BI BE BEIC IF EI==．而BEI BIC ∠=∠,故BEI BIC △∽△,ABI IBC ∠=∠,所以I 为ABC △内心．9．3．17★★已知.ABC △中,2BC AB AC =+,D 是内心,DE 与BC 垂直于E ,求2DE BE CE⋅的值．解析设ABC △三边长分别为a 、b 、c ,则2a b c =+．易知若设DE r =,()12p a b c =++,则BE p b =-,CE p c =-．r =于是2133DE P a b c a a BE CE p a b c a -+-====⋅++． 9．3．18★★设ABC △中,AB 最长,在其上分别找两点M 、N ,使AN AC =,BM BC =,又设I 为ABC △内心,求MIN ∠（用A ∠、B ∠、C ∠及其组合表示）．解析如图,连结CM 、CN 、CI 、AI ．CABM NI易知ACI ANI △△≌,CI NI =,同理CI MI =,I 为CMN △的外心,因此 MCN ACN BCM C ∠=∠+∠-∠11909022A B C =︒-∠+︒-∠-∠1902C =︒-∠,2180MIN MCN C ∠=∠=︒-∠．9．3．19★★★★ABC △的边BC 上有一点D ,ABD △与ACD △的内心与B 、C 四点共圆,求证. AD BD ABAD CD AC+=+． AMNE FBDCPI 1I 2解析如图,设ABD △与ACD △的内心分别为1I 与2I ．连结1AI 、2AI 、1BI 、2CI 、12I I ,两端延长12I I ,分别交AB 、AC 于E 、F ,则由条件知()1112AEF ABI EI B ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠,同理AFE ∠也是此值,于是AE AF =．又设12I I 与AD 交于P ,则由角平分线性质知1212EI FI AE AF I P AP AP I P ===,故由梅氏定理（直线AB 截1PDI △及直线AC 截2PDI △）,得1212I D I DI M I N=（此处M 、N 分别为1DI 、2DI 延长后与AB 、AC 之交点）,又由角平分线性质,知11I D AD BD I M AB +=,22I D AD CDI N AC+=于是结论成立． 9．3．20★★★已知ABC △中,AB AC =,O 、I 分别为其外心与内心,D 在AC 上,DI AB ∥,求证.OD CI ⊥．解析如图,不妨设O 在ABC △内,且在I “之上”(O 在形外、I 之下类似处理）,连结AOI 、OC ,则IOC BAC IDC ∠=∠=∠,故O 、I 、C 、D 共圆,于是ODC ICD OIK ICD ∠+∠=∠+∠．这里K 为DO 、CI 直线之交点．AD O KIBC由于AOI BC ⊥,故9090OIK ICD BCI ICD ∠+∠=︒-∠+∠=︒,于是90DKC ∠=︒．9．3．21★★设G 为ABC △的重心,已知GA =GB =2GC =,求ABC △的面积．解析1由题意可画出图(a),令D 为AB 中点,GE AB ⊥,垂足为点E ,因G 为重心,可知112GD GC ==．由勾股定理可知222222222GE GB EB GE GA EA GE GD DE ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩①②③,C ABD E G22322(a)令AD BD c ==．由①与②可得(()(()2222c DE c DE -+=--,化简后可得1c DE ⨯=,即1DE c =,代入③得2211GE c=-,再代入①式可得 22118c c c ⎛⎫1-=-- ⎪⎝⎭, 解方程可得3c =,GE =,故 ABC △的面积=6GBD ⨯△的面积1632=⨯⨯= 解析2由题意可画出图(b),令D 为AB 中点,在GD 的延长线上取E 点使得GD DE =,因此GBD △ 之面积为AEG △之面积的一半．此时因AB 与GE互相平分,可知四边形AEBG 为平行四边形,也因此可知AE GB ==,即AEG △的三边长为2、,故可知AEG △为直角三角形,故GBD △的面积为11222⨯⨯=,所以ABC △的面积6GBD =⨯△的面积=(b)22232GD BAC 22E 119．3．22★★★已知120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒,P 为异于F 的任一点,求证. PA PB PC FA FB FC ++>++．解析如图,在ABC △外作正三角形ABD ,由于ABC ∠,120BAC ∠<︒,故四边形DBCA 的内角均小于180︒,是凸四边形．ADF F'PP'BC对于ABC △中任一异于F 的点P ,将ABP △、ABF △均以点A 为中心顺时针旋转60︒,至ADP '△ 和ADF '△,则AFF △与APP '△均为正三角形．由全等知AP BP CP PP DP CP CD DF F F FC AF BF CF ''''++=++>=++=++,这是因为DP PC '是一条折线,而120DF A AFC '∠=∠=︒,60AFF AF F ''∠=∠=︒,D 、F '、F 、C 四点共线且仅对于F 满足四点共线．评注当ABC △内角均小于120︒时,满足条件的点F 称为ABC △的费马点（当ABC △有内角比如120A ∠︒≥时,到A 、B 、C 距离之和最小的点正是点A ）．。

奥赛三角形面积(含答案)

(2002年全国初中数学联赛预赛暨2001年山东省初中数学竞赛试题) （）2、如图，已知AB＝10，P是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作两个等边三角形APC和BPD，则线段CD的长度的最小值是
A、4B、5C、6D、
（江苏省第十五届初中数学竞赛初二第1试试题）10、已知凸四边形ABCD的面积是，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，那么图中阴影部分的总面积是。
A.4∶9B.2∶3C.1∶2D2∶5
（2003年嵊州市初二数学竞赛试卷）10.观察下列图形
则图②中的三角形的个数为_________，图③中的三角形的个数为___________.
（2003年嵊州市初二数学竞赛试卷）12.已知△ABC为等腰三角形，由A点所引BC边的高线恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的度数为______________.
(嵊州市2004年初三数学竞赛试题)5．如图，平行四边形ABCD中，E是AD上的一点，且AE＝ AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果 ABCD的面积为S，那么，△GEF的面积为（）
A.
B.
C.
D.
(嵊州市2004年初一数学竞赛试题)10．在等腰△ABC（AB＝AC≠BC）所在的平面上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）
（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种
（江苏省第十七届初中数学竞赛初一年级第1试）8．如图所示，一个大长方形被两条线段AB、CD分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5，那么阴影部分的面积为（）．
（A）（B）（C）（D）
（江苏省第十八届初中数学竞赛初一年级第1试）13．如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形，如果S1＝75cm2，S2＝15cm2，那么大正方形的面积是S＝_____________cm2

三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛

三角形的五心三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一．三角形的外心定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径．定理3：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．定理4：AOBC AOC B BOC A Ð=ÐÐ=ÐÐ=Ð21,21,211.如图所示，在锐角ABC D 中，BC AD ^于D ，AC DE ^于E ，AB DF ^于F ，O 为ABC D 的外心. 求证：（1）AEF D ∽ABC D (2)EFAO ^O F E DCBA2.设O 为锐角A B C D 的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则CNBMAL 111++的值是_______________.(设R 为ABC D 外接圆半径) 二．三角形的内心定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．定理3：内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有r =12(a +b －c )．ABC OIK HE FD ABCMBCDAIBCEDA定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2190ABIC Ð+=ÐB CIA Ð+=Ð2190 ，C AIB Ð+=Ð2190 。

3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定(附答案)

八年级数学竞赛专题训练17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠FAE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O BCMD EEABDCF BCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图第8题图第9题图ACDB B ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABC ADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B DFE C图2A ′ E ′D ′ AENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（）A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 87．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CPA =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，PA =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=PA +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC D(第1题)(第2题)ABD E CABPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )．（重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABPQCABD MCFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3专题17 等腰三角形的判定例1 延长MF ，BA 交于E ，延长FM 至点P ，使MP =MF ，连BP ，则△BMP ≌△CMF ，∴BP =CF . ∵AD 平分∠BAC ，AD ∥FM ，∠BAD =∠DAC =∠MFC =∠AFE =∠E =∠P ，∴AE =AF ，BE =BP ，即AB +AE =AB +AF =AB +AC -CF =CF ，∴CF =12(AB +AC )= 12(7+11)=9.例2 D例3 提示：△EMC 为等腰直角三角形，连AM ，易证：△ADE ≌△BAC .∴AD =AB ，又∠DAB =90°.又∵M 为BD 中点，∴AM ⊥DB 且DM =BM =AM . 又∵∠MDE =∠MAC =105°，∴△EDM ≌△CAM . ∴EM =MC ，∠DME =∠AMC ， ∴∠DME +∠EMA =∠AMC +∠EMA =90°. ∴△EMC 为等腰直角三角形.例4延长AD 至G ，使DG =AD ，连接BG . 由△ADC ≌△GDB ，得AC =BG ，AC ∥BG . ∵BE =AC ，∴BE =BG ，得∠BED =∠BGD ， ∴∠F AE =∠BGD =∠BED =∠AEF ，故AF =EF .例5 提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：△ABO ≌△ACO ，∴∠BAO =∠CAO =10°，∴∠ABO =∠ACO =20°，∴∠AOB =∠AOC =150°.又∵BO =BC =CO = AD ，∴△ACD ≌△CAO ，∴∠AOC =∠CDA =150°，故∠BDC =30°.A 级1.90°或75°或15°2.72°3.24.375.D6.D 提示：将三式相加7.D8.C9.⑴先证△ACD ≌△CBF ，∴∠CAD =∠BCF .又∵∠CAD +∠CDG =∠BCF +∠CDG =90°， ∴∠CGD =90°，∴AD ⊥CF . ⑵△ACF 为等腰三角形.10.提示：延长DB 至E ，使BE =AB ，连结AE ，证明∠E =∠C ，AC =AE . 11. 提示：证明△DCA ≌△ECB 、△DCM ≌△ECN ，∠NCM =60°. 12. ⑴提示：先证明∠CEF =∠CFE .⑵作EG ⊥AC 于G ，证明△CEG ≌△BE ´D ´，可得CE = BE ´，又CF =CE ，BE ´=CF .B 级1.2:12.110°3.104.D5.C 提示：在五边形内作等边三角形ABF ，则E 、F 、C 在一条直线上.6.B7. 提示：⑴ ⑵ 在BB ´上取点P ，使∠BPC =120°，再在PB ´上取点E 使PE =PC ，连结CE . 则由△PCE 为等边三角形，可得：PC =CE ，∠PCE =60°，∠CEB ´=120°∵△ACB ´为正三角形，∴可证：△ACP ≌△B ´CE . ∴∠APC =∠B ´EC =120°，P A =EB ´.ACGDEF∴∠APC =∠BPC =∠CP A =120°，∴P 为△ABC 的费马点. ∴BB ´过△ABC 的P ，且BB ´=EB ´+PB +PE =P A +PB +PC .8. 提示：延长AB 至M ，使BM =BP ，连结PM ，则AB +BP =AM ，可证明BQ =QC . ∴AQ +QB =AQ +QC =AC ，又由△AMP ≌△ACP 得AM =AC ，故AB +BP =AQ +BQ .9. 提示：延长FM 至P ，使PM =FM ，连结BP ，则△BMP ≌△CMF ，AE =AF ，BE =BP .10. 提示：当D 为BC 的端点，显见△AED 是等边三角形；当D 为BC 边的中点，取AC 的中点F ，连接DF ，易证△CDF 为等边三角形，又△ADF ≌△EDC ，故△ADE 为等边三角形．猜测：当D 为BC 上任意点时，△ADE 也为等边三角形． 11．（1）142y x =-+；（2）过点C 作CH ⊥y 轴于H ，证明△AOB ≌△BHC 即可；（3）符合条件的P 点共有5个，分别为()()()()84,12,4,,4,8,4,4,4,43⎛⎫-------- ⎪⎝⎭．12．提示：（1）B (8，0)；（2）如图a ，过A 作AS ⊥OB 于S ，过D 作DT ⊥x 轴于T ． ∵△OAB 为等腰直角三角形，∴OS =AS =BS ，再由△ASC ≌△CTD ，可得：AS =CT ，SC =TD ． ∴CT =AS =OS ，∴OT =CS =TD ． ∴∠TOD =45°，则∠AOD =90°；（3）等式成立，理由如下：如图b ，在AM 上截取AS =OF ，连ES ，可证△EAS ≌△EOF ，可得：ES =EF ，∠AES =∠OEF ∴∠SEF =∠AEO =90°，∴∠FEM =∠SEM =45°．又∵EM =EM ，∴△EFM ≌△ESM ，∴FM =SM ， ∴AM =AS +SM =OF +FM ，∴1AM FMOF-=．x图a图b。

数学竞赛初中试题及答案

数学竞赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，那么这个等腰三角形的周长是：A. 18B. 21C. 26D. 282. 一个数的平方等于它的4倍，这个数是：A. 0B. 2C. -2D. 0或23. 一个长方形的长是宽的2倍，如果宽增加2厘米，长减少2厘米，那么面积不变。

设长方形的宽为x厘米，根据题意可得方程：A. 2x(x+2) = x(x-2)B. 2x(x-2) = x(x+2)C. 2x^2 = x^2 - 4x + 4D. 2x^2 = x^2 + 4x - 44. 一个数列的前四项依次为1, 2, 4, 8，那么第五项是：A. 16B. 32C. 64D. 1285. 一个圆的直径是10厘米，那么它的面积是：A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 314平方厘米D. 785平方厘米6. 一个数的相反数是-4，那么这个数是：A. 4B. -4C. 0D. 87. 一个分数的分子比分母小3，且这个分数等于1/2，那么这个分数是：A. 1/3B. 2/5C. 3/6D. 4/78. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 09. 一个数的立方等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0, 1或-110. 一个等差数列的前三项依次为2, 5, 8，那么第四项是：A. 11B. 12C. 13D. 14二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的立方根是它本身的数是______。

2. 如果一个三角形的两个内角分别是45度和45度，那么第三个内角是______度。

3. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。

4. 一个数的平方等于16，这个数是______。

5. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和4，求这个等腰三角形的周长。

竞赛初中数学试题及答案

竞赛初中数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm，那么这个三角形的周长是（）。

A. 11cmB. 13cmC. 16cmD. 无法确定2. 下列哪个数是无理数（）。

A. 0.5B. √2C. 22/7D. 03. 一个数的相反数是-3，那么这个数是（）。

A. 3B. -3C. 0D. 64. 若a、b、c是等差数列，且a+c=10，b=5，则a、b、c的值分别是（）。

A. 2, 5, 8B. 3, 5, 7C. 4, 5, 6D. 5, 5, 55. 一个圆的半径为2cm，那么这个圆的面积是（）。

A. 4π cm²B. 8π cm²C. 12π cm²D. 16π cm²二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方是25，那么这个数是______或______。

7. 一个数增加20%后是120，那么这个数原来是______。

8. 已知一个直角三角形的两个直角边长分别为3cm和4cm，那么斜边长是______cm。

9. 一个数的绝对值是5，那么这个数是______或______。

10. 一个数除以-2的商是-3，那么这个数是______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 已知一个二次函数y=ax²+bx+c，其中a=1，b=-3，c=2，求当x=1时，y的值。

12. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽增加2cm，长减少2cm，面积不变，求原长方形的长和宽。

13. 一个数列的前三项分别是1，2，3，从第四项开始，每一项都是前三项的和，求数列的第8项。

14. 一个圆的直径是10cm，求这个圆的周长和面积。

答案：一、选择题1. B2. B3. A4. A5. B二、填空题6. ±57. 1008. 59. ±510. 6三、解答题11. 当x=1时，y=1-3+2=0。

数学相似三角形(竞赛题专页)

几何：2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）· GAO DB EC Q P NM · O Q PB DEC N M · A OD BF AECP P A D CB4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED 的度数．1.∠ABC 的顶点B 在⊙O 外，BA 、BC 均与⊙O 相交，过BA 与圆的交点K 引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O 于P ，交BC 于M 。

求证：线段PM 为圆心到∠ABC 平分线距离的2倍。

2.在△ABC 中，AP 为∠A 的平分线，AM 为BC 边上的中线，过B 作BH⊥AP 于H ，AM的延长线交BH 于Q ，求证：PQ∥AB。

EDCB A3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

求证：MQ∥NP。

4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。

求证：KP⊥AB。

5.以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。

专题35 初中数学竞赛分类汇编(七)三角形(简单) 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

专题35 全国初中数学竞赛分类汇编卷（七）三角形（简单）1．如图，BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，BF 与CE 交于点G ，若∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，则∠A 的度数为（）A ．50°B ．55°C ．70°D ．80°2．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，AD 为△ABC 的中线，点F 在边AC 上（不与端点重合），BF 与AD 交于点E ，若AF ＝EF ，则AE 的长为（）A ．145 B ．3 C ．165 D ．43．在⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点E 在BĈ上，CF ⊥AE 于点F ．若点F 三等分弦AE ，⊙O 的直径为12，则CF 的长是（）A ．2√55B ．2√105C ．6√55D ．6√1054．平面上任意一点到边长为2√3的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（）A．3√3B．6C．4√3D．85．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN ＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走m的路程．7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．AB BC （填＝、＞或＜号），当BE⊥AD于E时，BE、AE、CD数量之间等量关系是．8．如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB＝AC，FC ＝AB，∠AFB＝51°，则∠DFE＝．9．如图，在R t△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3cm，OB＝4cm，以点O为坐标原点建立坐标系，设P、Q分别为AB、OB边上的动点它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为1cm/秒，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）．（1）求AB的长，过点P作PM⊥OA于M，求出P点的坐标（用t表示）；（2）求△OPQ面积S（cm2）与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t为何值时，S有最大值？最大是多少？（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？（4）若点P运动速度不变，改变Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求Q点运动的速度和此时t的值．10．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝x°，∠BAD＝y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD＝AB，x＝40，y＝30时，求证：AB＝AC．（2）若CD＝CA＝AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）11．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，M是CD的中点，BM＝EM，求证：∠BAC＝∠EAD．12．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F 在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．13．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．14．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD．AG．（1）求证：AD＝AG；（2）AD与AG的位置关系如何．专题35全国初中数学竞赛分类汇编卷（七）三角形（简单）1．如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G，若∠BDC ＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为（）A．50°B．55°C．70°D．80°【解答】解：连接BC．∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，∵∠BGC＝110°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，∴∠GBD+∠GCD=12∠ABD+12∠ACD＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∴∠A＝180°﹣100°＝80°．故选：D．2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，点F在边AC上（不与端点重合），BF与AD交于点E，若AF＝EF，则AE的长为（）A ．145B ．3C ．165D ．4【解答】解：过点D 作DG ∥AC ，交BF 于点G ，则∠EGD ＝∠EFA ，∵AD 是△ABC 的中线，∴DG 是△BFC 的中位线，设AF ＝x ，则CF ＝6﹣x ，EF ＝x ，∴DG =12（6﹣x ），∵∠EGD ＝∠EFA ，∠GED ＝∠FEA ，∴△EDG ∽△EAF ，∴EG EF =DG AF ，∵AF ＝EF ，∴EG ＝DG =12（6﹣x ），∴FG ＝EG +EF =12（6﹣x ）+x =12（6+x ），∴BF ＝6+x ，∵AB ＝8，AF ＝x ，∠BAF ＝90°，∴BF =√AB 2+AF 2=√82+x 2=√64+x 2，∴√64+x 2=6+x ，解得：x =73，∴EG =116，EF =73，∵AB ＝8，AC ＝6，∠BAC ＝90°，∴BC ＝10，∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ＝5，∵△EDG ∽△EAF ，∴AE ED =EF EG ，即AE 5−AE =73116，解得：AE =145．故选：A ．3．在⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点E 在BĈ上，CF ⊥AE 于点F ．若点F 三等分弦AE ，⊙O 的直径为12，则CF 的长是（）A ．2√55B ．2√105C ．6√55D ．6√105【解答】解：如图，连接AC ，EC ．设AE 交OC 于点K ，设EF ＝a ．∵AF ＝2EF ，EF ＝a ，∴AF ＝2a ，∵AB ⊥CD ，∴∠AOC ＝90°，∴∠CEA =12∠AOC ＝45°，∵CF ⊥EF ，∴∠CFE ＝90°，∴∠FCE ＝∠FEC ＝45°，∴CF ＝EF ＝a ，∴AC =√a 2+(2a)2=√5a ，∵OA ＝OC ＝6，∴AC ＝6√2，∴√5a ＝6√2，∴a =6√105∴CF=6√10 5故选：D．4．平面上任意一点到边长为2√3的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（）A．3√3B．6C．4√3D．8【解答】解：如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PD，∵AP＝AD，∠PAD＝60°，∴△APD是等边三角形，∴∠APD＝∠ADP＝60°，PD＝AP，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2√3，∵点P为等边△ABC的中心，∴PA＝PB＝PC，∴△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），∴∠APB＝∠APC＝120°，由旋转得：∠ADE＝∠APC＝120°，∴∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小，∵∠ABP＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AHB＝90°，∴AH=12AC=√3，∴BH＝AH•tan∠BAC=√3•tan60°＝3，∵AE＝AC＝AB＝2√3，AH⊥BE，∴BE＝2BH＝6，在平面内任取一点P′，连接P′A，P′B，P′C，将△P′AC绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，连接P′D′，∵BP′，P′D′，D′E不在同一条直线上，∴BP′+P′D′+D′E＞PA+PB+PC＝6，∵（3√3）2＝27，62＝36，27＜36，∴3√3＜6，故选：A．5．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B＝35°，BC＝AI+AC，则∠BAC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【解答】解：方法一：如图1，在BC上取CD＝AC，连接BI、DI，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI＝∠BCI，在△ACI与△DCI中，{AC=CD∠ACI=∠BCI CI=CI，∴△ACI≌△DCI（SAS），∴AI＝DI，∠CAI＝∠CDI，∵BC＝AI+AC，∴BD＝AI，∴BD＝DI，∴∠IBD＝∠BID，∴∠CDI＝∠IBD+∠BID＝2∠IBD，又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠IBD，∠BAC＝2∠CAI，∴∠CDI＝∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAI＝2∠CDI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝35°×2＝70°；方法二：如图2，延长CA到D，使AD＝AI，∴∠D＝∠AID，∵BC＝AI+AC，∴BC＝CD，在△BCI与△DCI中，{BC=CD∠BCI=∠DCI CI=CI，∴△BCI≌△DCI（SAS），∴∠D＝∠CBI，∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠CBI，又∵∠CAI＝∠D+∠AID＝2∠D，∠BAC＝2∠CAI＝2∠ABC，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝2×35°＝70°．故选：B．6．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN ＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走26m的路程．【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB＝24m，宽AD＝10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=√676=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．故答案为：26m．7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2．AB＝BC （填＝、＞或＜号），当BE⊥AD于E时，BE、AE、CD数量之间等量关系是BE＝AE+CD．【解答】解：连接AC．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2．∵AD2+CD2＝2AB2，∴AB2+BC2＝2AB2，∴BC2＝AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC；过C作CF⊥BE于F．∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED＝∠CFE＝∠D＝90°，∴四边形CDEF是矩形．∴CD＝EF．∵∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴在△BAE与△CBF中∴{∠AEB =∠BFC∠BAE =∠CBF AB =BC，∴△BAE ≌△CBF ．（AAS ）∴AE ＝BF ．∴BE ＝BF +EF ＝AE +CD ，故答案为：＝，BE ＝AE +CD ．8．如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA ＝BC ，EB ＝AC ，FC ＝AB ，∠AFB ＝51°，则∠DFE ＝ 39° ．【解答】解：连接BD 、AE ，∵DA ⊥AB ，FC ⊥AB ，∴∠DAB ＝∠BCF ＝90°，在△DAB 和△BCF 中，{DA =BC ∠DAB =∠BCF AB =FC，∴△DAB ≌△BCF （SAS ），∴BD ＝BF ，∠ADB ＝∠ABF ，∴∠BDF ＝∠BFD ，∵∠DAB ＝90°，∴∠ADB +∠DBA ＝90°，∴∠DBF ＝∠ABD +∠ABF ＝90°，∴∠BFD ＝∠BDF ＝45°，同理∠AFE ＝45°，∴∠DFE ＝45°+45°﹣51°＝39°，故答案为：39°．9．如图，在R t △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，以点O 为坐标原点建立坐标系，设P 、Q 分别为AB 、OB 边上的动点它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为1cm /秒，设P 、Q 移动时间为t （0≤t ≤4）．（1）求AB 的长，过点P 作PM ⊥OA 于M ，求出P 点的坐标（用t 表示）；（2）求△OPQ 面积S （cm 2）与运动时间t （秒）之间的函数关系式，当t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）若点P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使△OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值．【解答】解：（1）∵OA ＝3cm ，OB ＝4cm ，∴AB =√OA 2+OB 2=√32+42=5cm ．∵PM ⊥OA 于M ，∠AOB ＝90°，∴PM ∥OB ，∵△APM ∽△ABO ，∴MP AP =OB AB =AM AO ，∴MP =45t ，AM =3t 5，∴P （45t ，3−35t ）．（2）如图：过点P 作PN ⊥OQ 于点N ，则PN ＝3−3t 5，S =12OQ •PN=12t （3−3t 5）=−310t 2+32t ， ∵a =−310＜0，∴当t =−b 2a =52时，S 有最大值，且S 最大值=158．（3）△OPQ 能成为直角三角形．∵∠POQ ＜90°，OQ ＝t ＞ON ，∠OQP ＜90°，∴只有∠OPQ 可能是90°，当∠OPQ ＝90°时，△OPN ∽△PQN ，∴PN ON =NQ PN ，∴PN 2＝ON •NQ即：(3−3t 5)2=45t ×t 5，解得：t 1＝3，t 2＝15，∵OB ＝4＜15，∴t ＝3．（4）要使△OPQ 为正三角形，则OQ ＝2ON =85t ，∴Q 点的速度为85cm /s ，此时3−35t =85t •√32，解得t =20√3−1513．故Q 点运动的速度为85cm /s 时，t 的值为20√3−1513． 10．在△ABC 中，已知D 为直线BC 上一点，若∠ABC ＝x °，∠BAD ＝y °．（1）当D 为边BC 上一点，并且CD ＝AB ，x ＝40，y ＝30时，求证：AB ＝AC ．（2）若CD ＝CA ＝AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）【解答】（1）证明：如图，在BC 上取点E ，使BE ＝CD ＝AB ，连接AE ，则∠AEB ＝∠EAB =12（180°﹣40°）＝70°，∴∠AEB ＝∠ADE ＝70°，∴AD ＝AE ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝180°﹣70°＝110°，∵BD ＝BE ﹣DE ，CE ＝CD ﹣DE ，∴BD ＝EC ，在△ADB 和△AEC 中，{AD =AE∠ADB =∠AEC BD =CE∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴AB ＝AC ．（2）解：①当点D 在边BC 上时，∵∠ABC ＝x °，CA ＝AB ，∴∠C ＝∠ABC ＝x °，∵CD ＝CA ，∴∠ADC ＝∠CAD =180°−∠C 2=90°−12x °，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴90−12x＝x+y，即：y=−32x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）②当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝x°，∵AC＝CD，∴∠ACB＝2∠D，∴∠D=12∠ACB=12x°，在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D＝180°，∴x+y+12x＝180，即：y=−32x+180，（0＜x＜90）③当点D在CB延长线上时，如图2，∵∠BAD＝y°，∠ABC＝x°，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝x°﹣y°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x°，∵CD＝AC，∴∠CAD＝∠D＝x°﹣y°，在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD＝180°，∴x﹣y+x+x﹣y＝180，∴3x﹣2y＝180，∴y=32x﹣90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．11．如图，在五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，M是CD的中点，BM＝EM，求证：∠BAC＝∠EAD．【解答】解：分别取AC、AD的中点F、G，再连接BF、MF、MG、EG，∵F是AC中点，∠ABC＝90°，∴BF=12AC，又∵MG是△ACD的中位线，∴MG=12AC，∴BF＝MG，同理GE＝MF，又∵BM＝EM，∴△BFM≌△MGE，∴∠BFM＝∠MGE，∵∠CFM＝∠CAD＝∠DGM，∴∠BFC＝∠EGD，∴∠BAF+∠ABF＝∠GAE+∠AEG，∵AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，同理∠GAE＝∠AEG，∴2∠BAF＝2∠EAG，即∠BAC＝∠EAD．12．（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM 、AN 上，且AB ＝AC ，CF ⊥AE 于点F ，BD ⊥AE 于点D ．求证：△ABD ≌△CAF ；（2）如图2，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 都在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角．已知AB ＝AC ，且∠1＝∠2＝∠BAC ．求证：△ABE ≌△CAF ；（3）如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＞BC ．点D 在边BC 上，CD ＝2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1＝∠2＝∠BAC ．若△ABC 的面积为15，求△ACF 与△BDE 的面积之和．【解答】解：（1）如图①，∵CF ⊥AE ，BD ⊥AE ，∠MAN ＝90°，∴∠BDA ＝∠AFC ＝90°，∴∠ABD +∠BAD ＝90°，∠ABD +∠CAF ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAF ，在△ABD 和△CAF 中，{∠ADB =∠CFA ∠ABD =∠CAF AB =AC，∴△ABD ≌△CAF （AAS ）；（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC ，∠1＝∠BAE +∠ABE ，∠BAC ＝∠BAE +∠CAF ，∠2＝∠FCA +∠CAF ，∴∠ABE ＝∠CAF ，∠BAE ＝∠FCA ，在△ABE 和△CAF 中，{∠ABE =∠CAFAB =AC ∠BAE =∠ACF，∴△ABE ≌△CAF （ASA ）；（3）∵△ABC 的面积为15，CD ＝2BD ，∴△ABD 的面积是：13×15＝5，由（2）中证出△ABE ≌△CAF ，∴△ACF 与△BDE 的面积之和等于△ABE 与△BDE 的面积之和，即等于△ABD 的面积，是5．13．如图，在△ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，交AB 于M 、N 两点，DM 与EN 相交于点F ．（1）若△CMN 的周长为15cm ，求AB 的长；（2）若∠MFN ＝70°，求∠MCN 的度数．【解答】解：（1）∵DM 、EN 分别垂直平分AC 和BC ，∴AM ＝CM ，BN ＝CN ，∴△CMN 的周长＝CM +MN +CN ＝AM +MN +BN ＝AB ，∵△CMN 的周长为15cm ，∴AB ＝15cm ；（2）∵∠MFN ＝70°，∴∠MNF +∠NMF ＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD ＝∠NMF ，∠BNE ＝∠MNF ，∴∠AMD +∠BNE ＝∠MNF +∠NMF ＝110°，∴∠A +∠B ＝90°﹣∠AMD +90°﹣∠BNE ＝180°﹣110°＝70°，∵AM ＝CM ，BN ＝CN ，∴∠A ＝∠ACM ，∠B ＝∠BCN ，∴∠MCN ＝180°﹣2（∠A +∠B ）＝180°﹣2×70°＝40°．14．如图，在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD ＝AC ，在CF 的延长线上截取CG ＝AB ，连接AD ．AG ．（1）求证：AD ＝AG ；（2）AD 与AG 的位置关系如何．【解答】（1）证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，∴∠AFC＝∠BFC＝∠BEC＝∠BEA＝90°∴∠BAC+∠ACF＝90°，∠BAC+∠ABE＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∴∠ABE＝∠ACF．在△ABD和△GCA中，{BD=AC∠ABE=∠ACF AB=CG，∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD＝GA，（2）结论：AG⊥AD．理由：∵△ABD≌△GCA（SAS），∴∠BAD＝∠G，∴∠BAD+∠GAF＝90°，∴AG⊥AD．。

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