初中数学竞赛试题之三角形

A

B

C

初中数学竞赛试题之三角形

满分： 100 分 时间：100分钟 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分）

1．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B 的度数为（ ）

A ．40°

B ．70°

C ．70°或20°

D ．40°或70°

2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=1021

3

，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若AD ∶DC=5∶2，则点D 到

AB 的距离为（ ） A ．10 B ．4

C ．

421

3

D ．

430

3

3．如图，△ABC 中，AB=AC=BD ，∠ADC=108°，则下列选项不正确的是（ ） A ．点D 是线段BC 的黄金分割点 B ．△ABD 中∠BAD 的角平分线与CD 相等 C ．BC-AD=CA

D ．CD=

51

2

-BC 4．如图，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点O ，过点O 分别作三边的平行线，若AB ∶BC ∶CA=6∶7∶5，则阴影部分面积之和与△ABC 面积之比为（ ）

A ．

73162 B ．1

3

C ．

718 D ．25146

5．已知在Rt △ABC 中，D 为AC 上一点，190,,232AB C ABD BDC CD ︒

∠=∠=∠=，则

AD BC 等于（ ）A ． B ．2 C ． D ．

6.老师给小明一道数学题，要求他将题补充完整：某农民要在一块面积为144米2的矩形荒地上建一个花坛, 花坛四周是宽度为1米的小路，中央是矩形的花圃，要求花圃面积为99.2米2．已知小明列出的方程为

99.2

[(1)(

1)]244.8x x

+++⨯=，那么小明找的等量关系是（ ） A ．荒地的长或宽 Ｂ．四周小路的面积 Ｃ．花圃的长或宽 Ｄ．只有设两个未知数才能解决问题 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

7.如图所示，□ABCD 中，∠BCD 的平分线CE 交AD 于点Ｅ，DE = 2AE = 4cm ，梯形ABCE 的面积为12.8cm 2，

则CE 的长为_______。

8.将两只三角板如图所示的放置，有两条边恰好完全重合，记上、下两块三角板的面积分别 为1S 、2S ，若能覆盖它们的最小的圆面积为0S ，则

12

S S S +=______。 9．三边皆为整数的等腰三角形的周长为11，则其面积的可能值有 。 10．腰长为2 cm 的等腰三角形的面积为

1 cm 2，则它的底边长为

。

11．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，已知AE ∶FC=9∶5，AB=30cm ，BC=26cm ，则△DEF 的面积为 。

12．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若BC=8，

BC :1:3AED A D S S ∆=矩形 ，则AE= 。

13．如图，△ABC 中，BC=5，AB 的中垂线PD 交BC 于D ，AC 的中垂线QE 交BC 于E ，PQ 分别交AD 、CE 于点F 、G ，则折线DFGE 的长度为 。

14. 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使得点A 恰与点Ｃ重合；已知折痕EF =5cm ，且折叠后所得图形的面积与

原矩形面积之比等于11∶16，那么原矩形的周长为 。

三．解答题（共8大题，共58分）

15．（5分）如图，在ΔABC 中，10,8AB AC BC ===．用尺规作图作AC 边上的中线BD （保留作图痕迹，不

要求写作法、证明），并求BD 的长。

16．如图，△ABC 中，AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线； (1)（3分）若CD=5，求AC 的长； (2)（4分）求证：AB=AC+CD 。

3322

3

21 A Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ 第7题 第2题

第3题 第4题 A D C

B

第11题

第12题

第13题

第14题

第8题

17.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线D 交AC 于点E ，CE 的垂直平分线正好经过点B ，与A 相交于点F ； （1）（3分）求∠A 的度数；（2）（4分）求cos ∠CBE 。

18．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F

处。 (1)（3分）求梯形ABCE 的面积；(2)（3分）延长EF 交BC 于点G ，试求BF

AG

。

19.△ABC 中，22.5,30,4ABC C AC ︒

︒

∠=∠==，AB 的中垂线OD 交BC 边于点D ，连结AD ； (1) （2分）求∠DAC 的度数； (2) （3分）求△ABC 的面积；

(3)（3分）直线DO 与CA 的延长线交于点E ，试求BE 。

20. 如图，正方形ABCD 内一点P ，1,2,5PA PD PC ===；

（1）（2分）求APD ∠； （2）（3分）求证：~APD DPB ∆∆； （3）（2分）求PB 。

21.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=10cm ，BC=15cm ，点P 从A 出发沿AC

向C 点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从C 出发沿CB 向B 点以2厘米/秒的速度匀速移 动．点P 、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t 秒； (1) （2分）当t = 4时，求线段PQ 的长度；

(2) （3分）当t 为何值时，△PCQ 的面积等于16cm 2

(3)（3分）点O 为AB 的中点，连结OC ，能否使得PQ ⊥OC ？若能，求出t 的值； 若不能，请说明理由。

22. 在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=80°，BD 、AE 分别是∠ABC 、∠BAC 的角平分线，且交于点O ，F 、G 分别为AB 、AC 上一点，使得CB=CF=CG ； (1)（2分）求证：

2BO BE

DO CE

=

； (2)（2分）请找出图中的相似三角形（不包括全等三角形）； (3)（6分）求证：AF 的长是方程3

2

680k k -+=的一个根；

BF 的长是方程3

2

1280t t -+=的一个根。

A

C B

P Q

A C B

P Q O