振型参与质量的简明推导

振型参与质量的计算方法（曲哲，2014.12.24）

无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：

[M]{y }+[K]{y}=−[M]{1}y0(1) 令{y}=[Φ]{q}，则有y =Φ{q }，代入式(1)有

[M]Φ{q }+[K]Φ{q}=−[M]{1}y0(2) 两边同时右乘[Φ]T，有

ΦT[M]Φ{q }+ΦT[K]Φ{q}=−ΦT[M]{1}y0(3) [M]ϕ{q }+[K]ϕ{q}=−ΦT[M]{1}y0(4) 其中[M]φ与[K]φ均为对角阵。故式(3)可写作

{ϕ}s T[M]{ϕ}s q s+{ϕ}s T[K]{ϕ}s q s=−{ϕ}s T[M]{1}y0, s=1~N(5)

q s+K s

M s q s=−{ϕ}s T[M]{1}

{ϕ}s T[M]{ϕ}s

y0, s=1~N

(6)

定义振型参与系数（modal participation factor，刺激係数）

βs=−{ϕ}s T[M]{1}

{ϕ}s T[M]{ϕ}s

(7)

相应地，βs{φ}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。

另有展开定理如下。设{x}=αs{ϕ}s

s，两边同时右乘{ϕ}s

T[M]，根据振型正交性有，

{ϕ}s T[M]{x}=αs{ϕ}s T[M]{ϕ}s(8)

αs=−{ϕ}s T[M]{x}

{ϕ}s T[M]{ϕ}s

(9)

对比式(7)和式(9)可知，

{1}=βs{ϕ}s

s

(10) 结构总质量

m i i =1T M1=βsϕs T

s

Mβsϕs

s

=βs2ϕs T Mϕs

s =βs2M s

s

(11)

可见，以振型参与向量βs{φ}s为振型向量得到的振型质量βs2M s与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。