振型参与质量的简明推导

抗震作业第三章

第三章结构地震反应分析与抗震极限状态计算思考题3．1 什么是地震动反应谱和抗震设计反应谱反应谱的影响因素和特点是什么答：根据给定的地面运动加速度记录和体系的阻尼比，计算出质点的最大绝对加速度S a ，与体系的自振周期T ，绘制成一条曲线－地震加速度反应谱，不同的阻尼比可以绘制出不同曲线。

规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。

反应谱影响因素：受地震动特性即峰值、频谱、持续时间的影响。

特点是随机性。

3．2 什么是地震影响系数其谱曲线的形状参数有何特点答：单自由度体系绝对加速度反应)(T Sa 与重力加速度g 之比。

3．3 什么是地震作用怎样确定单自由度弹性体系的地震作用答：地震作用：地面振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震荷载，可理解为能反映地震影响的等效荷载，实际上，地震荷载是由于地面运动引起的动态作用，属于间接作用，应称为“地震作用”，而不应称为“地震荷载”。

确定单自由度弹性体系的地震作用：水平方向：E Ek G T F )(α= 竖直方向：E v Evk G F max ,α=3．4 抗震设计中的重力荷载代表值是什么其中可变组合值系数的物理含义如何答：重力荷载代表值是指地震作用下计算有关效应标准值时，永久性结构构配件、非结构构件和固定设备等自重标准值加上可变动荷载组合值。

变组合值系数的物理含义：是根据可变重力荷载与地震的遇合概率确定的。

3．5 多自由度集中质量体系地震下的运动方程如何说明方程中各参数的含义。

答：)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[t x R M t x K t x C t x M g •••••-=++3．6 写出振型质量、振型参与质量、振型参与系数的表达式。

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振型参与质量系数详解与解释

振型参与质量系数详解抗震规范和高规都有这个系数，牵涉到其他几个概念，与大家分享有关振型的几个概念振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。

一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比,周期越长加速度越小,地震力也越小。

自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意.在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态.振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。

振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。

特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。

振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构。

）。

某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量与该质点在该一振型中相应方向对应坐标乘积之和的平方（(∑mx)2）。

一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。

有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。

这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。

振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。

振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。

出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。

振型有效质量与参与质量

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振型参与系数

关于振型参与系数
建筑结构2010-08-08 21:20:36 阅读631 评论0 字号：大中小订阅
在抗震设计中，经常会碰到振型参与系数这个概念，但很多人往往记不清或不理解振型参与系数到底表示什么意思。

这里将从振型分解法的求解过程来说明这个系数的含义。

振动方程：
对上式进行振型分解，即令
并应用瑞利阻尼：
得：
对上式两端左乘
得：
由正交性知，上式变为：
即：
方程两端除以
并注意到：
且令：
得：
式中
即为振型参与系数。

可见振型参与系数的真正含义为单位质点在第j振型中所分配到的地震作用的分配系数，即单位质点地震作用的分解（配）系数。

与单质点地震振动方程相比，以上以广义位移
为未知量的振动方程，其右端仅多了一个系数
若再令
则上式可变为与单质点地震振动方程完全一样的形式，即：
上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程，其解由通解和特解组成。

通解可由高等数学求得，特解可由杜哈梅积分求得。

其最终解为：
式中，
求出了
由等效静力的抗震计算法知，第j振型作用到第i质点的地震作用为：
这就是《震规》式（5.2.2-1）求第j振型作用到第i质点的水平地震作用标准值的表达式。

由
的表达式容易知道：
地震作用按振型的分解可用图表示如下：。

二阶系统主振型公式

二阶系统主振型公式
振型参与系数：每个质点质量与其在某一振型中相应坐标乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数。

一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶，三阶。

振型的自振频率逐渐增大. 地震力大小和地面加速度大小成正比，周期越长加速度越小，地震力也越小。

自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意。

在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态。

振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。

振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。

特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。

振型参与质量系数详解

振型参与质量系数详解
马旭升
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2009(000)023
【摘要】现行抗震规范和高规都有这个系数,并牵涉到其他几个概念,与大家分享有关振型的几个概念
【总页数】1页(P299)
【作者】马旭升
【作者单位】黑龙江集盛建筑设计有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】TU857
【相关文献】
1.隔震结构振型参与系数与有效质量系数的研究 [J], 王继红;唐兴荣
2.大跨度屋盖结构脉动风振响应的振型能量参与系数 [J], 田玉基;杨庆山
3.关于建筑结构地震反应分析中振型参与系数物理意义的讨论 [J], 曾敦弟
4.关于“结构振型参与系数和振型贡献的分析”一文的勘误 [J], 孙广俊;李爱群
5.关于结构振型参与系数和振型贡献的分析 [J], 孙广俊;李爱群
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振型参与质量的简明推导

振型参与质量的简明推导振型参与质量的计算方法（曲哲，）无阻尼多自由度体系在地震作用下的运行方程为：[M]{y}+[K]{y}=?[M]{1}y0(1)令{y}=[]{q}，则有{y}=[Φ]{y}，代入式(1)有[M][Φ]{y}+[K][Φ]{q}=?[M]{1}y0(2)两边同时右乘[]T，有[Φ]y[M][Φ]{y}+[Φ]y[K][Φ]{q}=?[Φ]y[M]{1}y0(3)[M]y{y}+[K]y{q}=?[Φ]y[M]{1}y0、(4)其中[M]与[K]均为对角阵。

故式(3)可写作{y}s y[M]{y}y y s+{y}s y[K]{y}s y s=?{y}s y[M]{1}y0, s=1~N(5) y s+y sy s y s=?{y}s y[M]{1}{y}s y[M]{y}yy0, s=1~N(6)定义振型参与系数（modal participation factor，刺激係数）y s=?{y}s y[M]{1}{y}s y[M]{y}y(7)相应地，s{}s称为振型参数向量（刺激係数），与振型归一化方法无关。

另有展开定理如下。

设{y}=∑y s{y}ss，两边同时右乘{y}s T[M]，根据振型正交性有，`{y}s y[M]{y}=y s{y}s y[M]{y}s(8)y s=?{y}s y[M]{y}{y}s y[M]{y}y(9)对比式(7)和式(9)可知，{1}=∑y s{y}ss(10)结构总质量∑y i i ={1}T[M]{1}=(∑y s{y}y ys)[M](∑y s{y}ss)=∑y s2{y}y y[M]{y}ss =∑y s2y ss(11)可见，以振型参与向量s{}s为振型向量得到的振型质量y s2y s与振型归一化方法无产，且其和等于结构总质量，可作为振型参与质量。

振型参与系数的物理意义

振型参与系数的物理意义振型参与系数，这个词听上去是不是有点拗口？它的意思就是在振动分析中，每种振型对于系统整体振动的贡献有多大。

听起来复杂？别担心，我们来慢慢聊聊，保证你听了也能会心一笑。

想象一下，你和朋友们在一起玩乐队，每个人都有自己的乐器。

你是主唱，另一位朋友打鼓，还有人弹吉他、拉小提琴。

每个人都在用心演奏，但如果主唱跑调了，整个乐队可就尴尬了。

这个时候，主唱的“参与系数”就特别高，因为他对乐曲的影响最大。

再想想如果吉他手太过火，音量一大，反而让人听不清主唱的声音，这样一来，吉他手的参与系数就得打个折扣。

振型参与系数的道理就像是乐队中的每个乐器，各自的贡献和影响力不一样，有的主导，有的辅助。

说到这里，咱们可以把这个系数想象成一个“重要性排行榜”。

在一场激烈的篮球比赛中，得分手就是那个重要的“主唱”。

他每次投篮，球进了，球队就能欢呼；投不进，那可真是有点哭笑不得。

相对来说，防守球员的参与度虽然重要，但他们的得分少，影响力稍微小一些。

振型参与系数就是这样评估每个“球员”在整体“比赛”中扮演的角色。

振动的时候，咱们的系统就像是一场热闹的聚会，每个振型都在跟着节奏晃动。

有的振型节奏快，像是在舞池中旋转；有的振型则是慢慢摆动，给人一种稳重的感觉。

不同的振型就像不同的舞蹈风格，有的活泼，有的端庄。

在分析振动的时候，搞清楚哪个振型在整个系统中贡献最大，才能更好地理解系统的表现。

咱们再深入一层，振型参与系数的计算其实就像是对这场聚会的“人气评分”。

如果某个振型的参与系数高，说明它在整个系统中占据了举足轻重的地位，起到了“定海神针”的作用。

反之，参与系数低的振型就像是聚会中那个默默无闻的角落，虽有存在，但不太引人注目。

可是，千万别小看那些低参与度的振型，它们也能在关键时刻闪耀光芒，像个黑马，给你一个意外的惊喜。

听到这里，你可能会想，振型参与系数能不能用在生活中呢？当然可以！比如，工作团队中，每个人的能力和贡献就像振型参与系数一样。

抗震作业第三章

第三章结构地震反应分析与抗震极限状态计算思考题3．1 什么是地震动反应谱和抗震设计反应谱反应谱的影响因素和特点是什么答：根据给定的地面运动加速度记录和体系的阻尼比，计算出质点的最大绝对加速度S a ，与体系的自振周期T ，绘制成一条曲线－地震加速度反应谱，不同的阻尼比可以绘制出不同曲线。

规范根据同一类场地在各级烈度地震作用下地面运动的，分别计算出的反应谱曲线，再进行统计分析，求出最有代表性的平均反应谱曲线作为设计依据；通常称之为抗震设计反应谱。

反应谱影响因素：受地震动特性即峰值、频谱、持续时间的影响。

特点是随机性。

3．2 什么是地震影响系数其谱曲线的形状参数有何特点答：单自由度体系绝对加速度反应)(T Sa 与重力加速度g 之比。

3．3 什么是地震作用怎样确定单自由度弹性体系的地震作用答：地震作用：地面振动过程中作用在结构上的惯性力就是地震荷载，可理解为能反映地震影响的等效荷载，实际上，地震荷载是由于地面运动引起的动态作用，属于间接作用，应称为“地震作用”，而不应称为“地震荷载”。

确定单自由度弹性体系的地震作用：水平方向：E Ek G T F )(α= 竖直方向：E v Evk G F max ,α= 3．4 抗震设计中的重力荷载代表值是什么其中可变组合值系数的物理含义如何答：重力荷载代表值是指地震作用下计算有关效应标准值时，永久性结构构配件、非结构构件和固定设备等自重标准值加上可变动荷载组合值。

变组合值系数的物理含义：是根据可变重力荷载与地震的遇合概率确定的。

3．5 多自由度集中质量体系地震下的运动方程如何说明方程中各参数的含义。

)(t x答：)(}]{[)}(]{[)}(]{[)}(]{[t x R M t x K t x C t x M g •••••-=++3．6 写出振型质量、振型参与质量、振型参与系数的表达式。

答：振型质量：{}[]{}j Tj j x M x M =振型参与质量：{}[]{}j Rpj x M R M =振型参与系数：jpj j M M V =3．7 简述多自由度体系地震反应的振型分解法与振型分解反应谱法的原理和步骤。

[整理].01.11结构动力学--振型参与系数

关于振型参与系数
建筑结构2010-08-08 21:20:36 阅读631 评论0 字号：大中小订阅
在抗震设计中，经常会碰到振型参与系数这个概念，但很多人往往记不清或不理解振型参与系数到底表示什么意思。

这里将从振型分解法的求解过程来说明这个系数的含义。

振动方程：
对上式进行振型分解，即令
并应用瑞利阻尼：
得：
对上式两端左乘
得：
由正交性知，上式变为：
即：
方程两端除以
并注意到：
且令：
得：
式中
即为振型参与系数。

可见振型参与系数的真正含义为单位质点在第j振型中所分配到的地震作用的分配系数，即单位质点地震作用的分解（配）系数。

与单质点地震振动方程相比，以上以广义位移
为未知量的振动方程，其右端仅多了一个系数
若再令
则上式可变为与单质点地震振动方程完全一样的形式，即：
上式是一个常系数的二阶非齐次微分方程，其解由通解和特解组成。

通解可由高等数学求得，特解可由杜哈梅积分求得。

其最终解为：
式中，
求出了
由等效静力的抗震计算法知，第j振型作用到第i质点的地震作用为：
这就是《震规》式（5.2.2-1）求第j振型作用到第i质点的水平地震作用标准值的表达式。

由
的表达式容易知道：
地震作用按振型的分解可用图表示如下：。

关于结构振型参与系数和振型贡献的分析

关于结构振型参与系数和振型贡献的分析
孙广俊;李爱群
【期刊名称】《防灾减灾工程学报》
【年(卷),期】2009(29)5
【摘要】采用振型分解反应谱法求解多自由度弹性体系的地震反应时,为了在满足所需计算精度的前提下减少工作量,需要对振型数量进行合理的选择,而振型数的确定主要取决于结构各阶振型对总体反应的贡献。

通过数学推导,对振型贡献及振型数量的选择问题进行了研究。

首先,讨论了振型参与系数的性质,在此基础上给出了能够反映结构振型贡献参数的数学表达式,对这些参数的力学含义进行了解释,并给出了相关证明;其次,对有效质量法、振型位移控制法等基于不同振型贡献标准的确定振型数的方法进行了分析比较,指出了其合理性和不足。

本文研究对进一步理解结构振型贡献和振型数的选择问题具有一定的理论意义。

【总页数】6页(P485-490)
【关键词】结构振型;振型参与系数;振型贡献;有效质量法
【作者】孙广俊;李爱群
【作者单位】东南大学土木工程学院东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】TU352.1
【相关文献】
1.隔震结构振型参与系数与有效质量系数的研究 [J], 王继红;唐兴荣
2.高层连体结构振型及其参与系数的分析 [J], 卞朝东;李爱群;娄宇;吴耀辉
3.大跨度屋盖结构脉动风振响应的振型能量参与系数 [J], 田玉基;杨庆山
4.关于建筑结构地震反应分析中振型参与系数物理意义的讨论 [J], 曾敦弟
5.关于“结构振型参与系数和振型贡献的分析”一文的勘误 [J], 孙广俊;李爱群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

振型参与系数

振型参与系数振型参与系数每个质点质量mi与其在某一振型中相应坐标φij乘积之和与该振型的主质量（或者说该模态质量）之比，即为该振型的振型参与系数(表明地震反应中j振型位移对该振型质量点的某一方向的反应的加权系数) 。

一阶振型自振频率最小(周期最长),二阶,三阶....振型的自振频率逐渐增大。

地震力大小和地面加速度大小成正比，周期越长加速度越小，地震力也越小。

自振振型曲线是在结构某一阶特征周期下算得的各个质点相对位移(模态向量)的图形示意。

在形状上如实反映实际结构在该周期下的振动形态。

振型零点是指在该振型下结构的位移反应为0。

振型越高，周期越短，地震力越大，但由于我们地震反应是各振型的迭代，高振型的振型参与系数小。

特别是对规则的建筑物，由于高振型的参与系数小，一般忽略高振型的影响。

振型的有效质量：这个概念只对于串连刚片系模型有效(即基于刚性楼板假定的，不适用于一般结构）。

某一振型的某一方向的有效质量为各个质点质量mi与该质点在该一振型中相应方向对应坐标φij乘积之和的平方。

一个振型有三个方向的有效质量，而且所有振型平动方向的有效质量之和等于各个质点的的质量之和，转动方向的有效质量之和等于各个质点的转动惯量之和。

有效质量系数：如果计算时只取了几个振型，那么这几个振型的有效质量之和与总质量之比即为有效质量系数。

这个概念是由WILSON E.L. 教授提出的，用于判断参与振型数足够与否，并将其用于ETABS程序。

振型参与质量：某一振型的主质量（或者说该模态质量(φj)'Mφj ）乘以该振型的振型参与系数的平方，即为该振型的振型参与质量。

振型参与质量系数：由于有效质量系数只实用于刚性楼板假设，现在不少结构因其复杂性需要考虑楼板的弹性变形，因此需要一种更为一般的方法，不但能够适用于刚性楼板，也应该能够适用于弹性楼板。

出于这个目的，我们从结构变形能的角度对此问题进行了研究，提出了一个通用方法来计算各地震方向的有效质量系数即振型参与质量系数，规范即是通过控制有效质量振型参与质量系数的大小来决定所取的振型数是否足够。

振型分解反应谱法公式推导过程

振型分解反应谱法公式推导过程一、振型分解反应谱法基本原理。

1. 多自由度体系的运动方程。

- 对于一个具有n个自由度的线性弹性结构体系，在地震作用下的运动方程为：M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)其中，M为质量矩阵（n× n阶），C为阻尼矩阵（n× n阶），K为刚度矩阵（n× n阶），ẍ(t)、ẋ(t)和x(t)分别为相对于地面的加速度、速度和位移向量（n维），ẍ_g(t)为地震地面加速度时程，1是元素全为1的列向量。

2. 振型分解。

- 假设多自由度体系的位移x(t)可以按照体系的振型φ_j（j = 1,2,·s,n）进行分解，即：x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)其中，φ_j为第j阶振型向量（n维），q_j(t)为第j阶广义坐标（标量）。

- 将x(t)=∑_j = 1^nφ_jq_j(t)代入运动方程M ẍ(t)+C ẋ(t)+Kx(t)= - M1ẍ_g(t)，然后左乘φ_i^T（φ_i的转置向量），得到：φ_i^TM∑_j = 1^nφ̈_jq_j(t)+φ_i^TC∑_j = 1^nφ̇_jq_j(t)+φ_i^TK∑_j = 1^nφ_jq_j(t)=-φ_i^TM1ẍ_g(t)- 由于振型具有正交性，即φ_i^TMφ_j=0（i≠ j），φ_i^TKφ_j=0（i≠ j），并且对于比例阻尼C = α M+β K，也有φ_i^TCφ_j=0（i≠ j）。

- 当i = j时，定义广义质量M_j^*=φ_j^TMφ_j，广义刚度K_j^*=φ_j^TKφ_j，广义阻尼C_j^*=φ_j^TCφ_j，则对于第j阶振型，有：M_j^*q_j(t)+C_j^*q_j(t)+K_j^*q_j(t)=-φ_j^TM1ẍ_g(t)进一步化为标准形式：q_j(t)+2ξ_jω_j q_j(t)+ω_j^2q_j(t)=-frac{φ_j^TM1}{M_j^*}ẍ_g(t)其中，ω_j=√((K_j)^*)/(M_{j)^*}为第j阶圆频率，ξ_j=frac{C_j^*}{2M_j^*ω_j}为第j阶阻尼比。

新的抗震规范将结构分为规则结构、一般不规则结构、特别不规则结构和严重不规则结构,而严重不规则结构是禁

有效质量是由振型分解方法来的,是说参与抗震计算的振型数,也就是说当有效质量系数超过0.9,即保证有足够的振型参与了计算;如果不到0.9,此说明后续振型产生的地震作用不能忽略,导致地震作用偏小,设计就会不安全.
SATWE中,有效质量的计算适用于弹性板和刚性板.当有效质量系数不足时,也会发生剪重比不够的情况.
======================================================================
考虑扭转耦联时的振动周期(秒)、X,Y方向的平动系数、扭转系数
振型号周期转角平动系数(X+Y)扭转系数
1 1.4877 179.67 0.99 ( 0.99+0.00 ) 0.01
周期比，位移比是通过数据来分析结构布置的合理性，另外更重要的是强调抗震较大，原则是离刚心越远的地方增加抗侧力构件的刚度，可调整边框梁柱，剪力墙断面。同时可减小X,Y向侧向刚度，总之Tt/T1,从分母，分子两个方面着手即可。
另外，多层只需满足抗规的要求，只有位移比控制，没有周期比控制，但可参考分析。
==============================================
3-Dimensional Vibration Period (Seconds)
and Vibration coefficient in X, Y direction and torsion
Mode NoPeriodAngleMovementTorsion
注释：
1)这里的“质量”的概念不同于通常意义上的质量。离散结构的振型总数是有限的，振型总个数等于独立质量的总个数。可以通过判断结构的独立质量数来了解结构的固有振型总数。具体地说：

振型有效质量与参与质量

1振型有效质量(系数)对于刚性楼板的高楼模型，可以将楼层的质量集中到楼板处，以形成糖葫芦串结构。

并且只关心“糖葫芦”水平向的两个平动自由度和一个扭转自由度。

这样一来，当对其进行动力分析而需要设每个“糖葫芦”的质量时，就只需设其这三个方向的质量（两个平动方向均为其质量，扭转为其转动惯量）。

并且，质量矩阵不采用一致质量矩阵，而采用集中质量矩阵。

则其质量矩阵有如下的对角阵形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nz nynxzyxJ m m J m m m 0...0][111 …………..(1) 式(1)中，iz iy ix J m m 、、分别为每个“糖葫芦”在x 、y 向的质量和扭转惯量。

一般情况下，两个平动质量是相等的。

若对上述结构进行模态分析，便可以得到振型向量矩阵，并对其关于质量矩阵][m 进行归一化得到归一化后的振型向量矩阵][Φ：][]][[][E m T =ΦΦ……………………………...…………………(2) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Φnnz nznz nznny ny ny ny nnx nx nx nx z n zz z y n y y y x n x x xθθθθφφφφφφφφθθθθφφφφφφφφ......................][321321321131211113121111312111. (3)式(3)中ijz ijy ijx θφφ、、分别为第i 振型第j 个“糖葫芦”在x 、y 方向上的位移和扭转角。

对于上述的“糖葫芦”串结构，每个节点处有三个方向的自由度，并且三个方向上的振型是相互独立的——也就是说，对于其任一振型，每个节点都最多只存在一个方向上的位移。

因此，下面将仅讨论这种结构的一个方向上的振型有效质量：可以将式(1)和式(3)表达成为如下形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n m m m m .0.0][21………………………….…………(4) ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Φnn nn n n n φφφφφφφφφφφφ.......][21323132221212111 (5)由式(2)有：][]][[][E m T =ΦΦ两边同时右乘1][-Φ后有：1][][][-Φ=Φm T再边再同时左乘][Φ有：][][]][[E m T =ΦΦ通过同样的方法(等式两边同时左乘或右乘一矩阵)可以得到如下式：}1]{[}1{}1]{[]][][[}1{m m m T T T =ΦΦ将上式写成这样的形式：}1]{[}1{})1]{[]([})1]{[]([m m m T T T T =ΦΦ (6)于是，容易得到如下的非矩阵表达式：∑∑∑====n i ni i nj ijj m m 1121))((φ (7)于是，有一天，Wilson 教授就将式(7)表达式中的21))((∑=nj ij j m φ定义为第i 阶振型的有效质量，并且将∑∑==ni i n j ij j m m 121/))((φ定义为第i 阶振型的质量系数。

弹簧振子的谐振频率与质量关系

弹簧振子的谐振频率与质量关系弹簧振子是经典力学中的一个重要模型，它是由一个固定的弹簧和一个挂在弹簧下端的质点组成。

当质点受到外力作用时，它会发生振动，而弹簧的弹性力则是质点回到平衡位置的恢复力。

弹簧振子的谐振频率是研究弹簧振动的一个重要参数，它与振子的质量密切相关。

首先，我们来看一下弹簧振子的基本原理。

当振子处于平衡位置时，质点不受外力作用，弹簧既不拉伸也不压缩，此时弹簧处于自然长度。

当质点受到外力作用，振子发生偏离平衡位置的振动。

根据胡克定律，弹簧的伸长或压缩与所受力成正比，即F=kx，其中F为弹簧受力，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长或压缩量。

根据牛顿第二定律，质点的加速度与受力成正比，即F=ma，其中m为质点的质量，a为质点的加速度。

因此，振子的运动方程为m(d²x/dt²) + kx = 0。

接下来，我们来推导弹簧振子的谐振频率与质量的关系。

假设振子的振动形式为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。

将该振动形式代入运动方程中，并除以m，得到(d²x/dt²) + k/m * x = 0。

由此可得振子的谐振频率表达式为ω=√(k/m)。

上述表达式告诉我们，弹簧振子的谐振频率与振子的质量成反比。

也就是说，质量越大，振子的谐振频率就越小；质量越小，振子的谐振频率就越大。

这是因为振子的谐振频率与振子的有效惯性量有关，而有效惯性量与质量成正比。

质量越大，振子的有效惯性量就越大，对应的振子谐振频率就越小；质量越小，振子的有效惯性量就越小，对应的振子谐振频率就越大。

弹簧振子的质量与其谐振频率的关系在实际生活中有着广泛的应用。

例如，钟摆的摆动，就是一种弹簧振子。

我们可以观察到，当钟摆的质量增加时，它的谐振频率变低，摆动的周期变长。

这也是为什么古代的大钟都是由重物组成的原因。

另外，弹簧秤也是利用了弹簧振子的谐振频率与质量关系。

当被称量物体的质量增加时，弹簧的形变增大，振子的谐振频率变低，通过测量谐振频率的变化，可以推算出物体的质量。