振型参与系数之和为1的证明

一、首先证明：
{}{}1
1n
i
i
i γφ==∑
(1)
即：振型向量关于振型参与系数的加权平均值为单位向量。

首先，由振型向量的线性无关性，有下式成立：
{}{}1
1n
i i i a φ==∑
(2)
其中，i a 为待定系数，将(2)式两边同乘{}[]T j M φ，得：
{}[]{}{}[]{}1
1n
T
j
i
j
i
i M a M φφφ==∑
(3)
利用振型正交性，式(3)右边可化简为：
{}[]{}{}[]{}1
n
i
j
i
j
j
j
i a M a M φφφφ==∑
(4)
由式(3)和式(4)，可得：
{}[]{}{}[]{}
1T j j
j
j
j
M a M φγφφ== (5)
上式说明，j a 恰恰等于振型参与系数j γ。

这个证明过程一般的结构动力学或工程抗震书上都会有。

二、再证明：
1
1n
i
i γ
==∑
(6)
由式(1)可改写为：
{}{}{}{}1122221γφγφγφ+++=
(7)
即：振型向量关于振型参与系数的加权平均为单位向量。

进一步将式(7)改写为：
112111231211n n n nn φφφγγγφφφ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
(8)
也可以写成：
1
1n
i ij
i γφ
==∑
(9)
其中，ij φ——第i 振型第j 质点处的振型位移； 再由振型的无量纲性，总能归一化取1ij φ=，故：
1
1n
i
i γ
==∑
(10)
即：振型参与系数之和等于1。