振型参与系数之和为1的证明

一、首先证明：

{}{}1

1n

i

i

i γφ==∑

(1)

即：振型向量关于振型参与系数的加权平均值为单位向量。 首先，由振型向量的线性无关性，有下式成立：

{}{}1

1n

i i i a φ==∑

(2)

其中，i a 为待定系数，将(2)式两边同乘{}[]T j M φ，得：

{}[]{}{}[]{}1

1n

T

j

i

j

i

i M a M φφφ==∑

(3)

利用振型正交性，式(3)右边可化简为：

{}[]{}{}[]{}1

n

i

j

i

j

j

j

i a M a M φφφφ==∑

(4)

由式(3)和式(4)，可得：

{}[]{}{}[]{}

1T j j

j

j

j

M a M φγφφ== (5)

上式说明，j a 恰恰等于振型参与系数j γ。这个证明过程一般的结构动力学或工程抗震书上都会有。

二、再证明：

1

1n

i

i γ

==∑

(6)

由式(1)可改写为：

{}{}{}{}1122221γφγφγφ+++=

(7)

即：振型向量关于振型参与系数的加权平均为单位向量。 进一步将式(7)改写为：

112111231211n n n nn φφφγγγφφφ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭

(8)

也可以写成：

1

1n

i ij

i γφ

==∑

(9)

其中，ij φ——第i 振型第j 质点处的振型位移； 再由振型的无量纲性，总能归一化取1ij φ=，故：

1

1n

i

i γ

==∑

(10)

即：振型参与系数之和等于1。