2017年全国考研数学三真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷

《数学三》试题

一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分．

1

．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =

（B ）1

2

ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）

（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-

4． 若级数21

1sin ln(1)n k n n ∞

=⎡⎤--⎢⎥⎣

⎦∑收敛，则k =（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆

6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似

7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）

（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容

8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

1n

i i X X n ==∑，则

下列结论中不正确的是（ ）

（A ）21()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2

12n X X -服从2χ分布

（C ）21

()n i i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9

．3(sin x dx π

π

-+=⎰ ．

10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ．

11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 . 12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，

(0,0)0f =，则(,)f x y =

13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组

123,,A A A ααα的秩为 ．

14．设随机变量X 的概率分布为{}1

22

P X =-=

，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ． 三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限0lim

t x dt +

→16．（本题满分10分）

计算积分3

242

(1)D y dxdy x y ++⎰⎰，其中D

是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域．

17．（本题满分10分）

求21

lim ln 1n

n k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑

18．（本题满分10分） 已知方程

11

ln(1)k x x

-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．

19．（本题满分10分）

设01111

1,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，()S x 为幂级数0

n n n a x ∞

=∑的和函数

（1）证明0

n n n a x ∞

=∑的收敛半径不小于1．

（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 20．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解． 21．（本题满分11分）

设二次型222

12312

3121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

22．（本题满分11分）

设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}1

0{2}2

P X P X ====

，Y 的概率密度为2,01

()0,y y f y <<⎧=⎨⎩

其他．

（1）求概率P Y EY ≤（）；

（2）求Z X Y =+的概率密度． 23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估