《复数的加法与减法》教学设计

教学目标

（1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算；

（2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题；

（3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题；

（4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的数学思想；

（5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．

教学建议

一、知识结构

二、重点、难点分析

本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。

三、教学建议

（1）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：①当时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．

（2）复数加法的向量运算讲解设，画出向量，后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量），画出向量后，问与它对应的复数是什么，即求点Z的坐标OR与

RZ（证法如教材所示）．

（3）向学生介绍复数加法的三角形法则．讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以指出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图8－5（2）所示，求与的和，可以看作是求与的和．这时先画出第一个向量，再以的终点为起点画出第二个向量，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量，就是这两个向量的和向量．（4）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当与在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便．

（5）讲解了教材例2后，应强调（注意：这里是起点，是终点）就是同复数－对应的向量．点，之间的距离就是向量的模，也就是复数－的模，即．

例如，起点对应复数－1、终点对应复数的那个向量（如图），可用来表示．因而点与（）点间的距离就是复数的模，它等于。

教学设计示例

复数的减法及其几何意义

教学目标

1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．

2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．

3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．

教学重点和难点

重点：复数减法法则．

难点：对复数减法几何意义理解和应用．

教学过程设计

（一）引入新课

上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）

（二）复数减法

复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+ i）-（+ i）=（- ）+（- ）i，

1．复数减法法则

（1）规定：复数减法是加法逆运算；

（2）法则：（+ i）-（+ i）=（- ）+（- ）i（，，，∈R）．

把（+ i）-（+ i）看成（+ i）+（-1）（+ i）如何推导这个法则．

（+ i）-（+ i）=（+ i）+（-1）（+ i）=（+ i）+（- - i）=（- ）+（- ）i．推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．

推导：设（+ i）-（+ i）= + i（，∈R）．即复数+ i为复数+ i减去复数+ i的差．由规定，得（+ i）+（+ i）= + i，依据加法法则，得（+ ）+（+ ）i= + i，依据复数相等定义，得

故（+ i）-（+ i）=（- ）+（- ）i．这样推导每一步都有合理依据．

我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．

复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+ i）±（+ i）=（±）+（±）i．

（三）复数减法几何意义

我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？

设z= + i（，∈R），z1= + i（，∈R），

对应向量分别为，如图

由于复数减法是加法的逆运算，设z=（- ）+（- ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（- ）+（- ）i对应，如图．

在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量2吗？

还有．因为OZ2 Z1Z，所以向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．

能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．

（四）应用举例

在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．

例2 根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．

解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．

例3 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．