《斐波那契数列》 PPT课件
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优质课大赛课件(斐波那契数列)
教学过程
1、创设情境，引出斐波那契著名的兔子问题。 2、学生通过观察、分析、讨论，总结出斐波
那契数列的基本特征。 3、出示兔子问题的另一种提法，学生找出与
第一种提法的区别，并进一步引出经常考试 的爬楼梯问题。 4、课堂小结。 项起，每一项都是前两 项之和，那么我们就把 这样的数列称为斐波那 契数列。
课后作业
树木的生长问题
树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段 “休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新 枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年， 以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老 枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的 枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。 那么一棵小树7年后有多少枝树丫？
蜜蜂进蜂房问题： 一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到9号蜂房， 只允许它自左向右（不许反方向倒走）。则
它爬到9号蜂房有多少不同的路线？
1
3
5
7
9
2
4
6
8
… …
n-1
…
n-2
n
…
教材分析
斐波那契数列是小学六年级数学课 本中的一篇阅读材料，好多同学甚至个 别老师都经常把它忽略掉，认为它不重 要，但它却常常出现在小升初考试和各 种杯赛的试卷中。
月 一二三四五六七八九十十十
份
一二
大
兔 数
1
1 2 3 ···
小
兔0
数
1 1 2 ···
总
数1
量
235
8 13 21 34 55 89 144 23 3
3、爬楼梯问题
一段楼梯，地板不算台阶则有7级台阶， 规定每一步只能跨1级或2级台阶，则 登上7级台阶共有（ ）种方法。
《斐波那契螺旋线》课件
《斐波那契螺旋线》PPT 课件
欢迎来到《斐波那契螺旋线》课件。本课件将介绍斐波那契数列的定义和性 质，并深入探讨斐波那契螺旋线的构造、几何性质以及生成算法。
斐波那契数列
1 概念和定义
2 性质
斐波那契数列是指每个数都是前两个数的和， 例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
斐波那契数列具有许多特殊的数学性质，如 黄金比例等。
构造斐波那契螺旋线
1
定义斐波那契螺旋线
斐波那契螺旋线是由一系列正方形组成的螺旋线，边长和斐波那契数列严格相关。
2
构造斐波那契螺旋线
通过不断增加正方形的边长，我们可以绘制出美丽的斐波那契螺旋线。
3
美丽的几何形状
斐波那契螺旋线展现了它独特的几何特性，如自相似性和黄金分割。
斐波那契螺旋线的几何性质
性质分析
总结与展望
总结本节课的内容
我们深入研究了斐波那契数列和螺旋线的定义、性 质、构造和生成算法。
展望斐波那契螺旋线的未来研究方向
斐波那契螺旋线的应用潜力巨大，未来的研究将进 一步探索其在科学和工程领域的应用。
通过数学推导和几何推理，我们可以发现斐波那契螺旋线有许多有趣的性质。
应用实例
斐波那契螺旋线在艺术、建筑和自然界中都有广线的生成算法
1
递归算法
利用递归的思想，我们可以简洁地实现
迭代算法
2
斐波那契螺旋线的生成过程。
通过迭代计算每个正方形的位置和边长， 我们也可以绘制出完美的斐波那契螺旋 线。
欢迎来到《斐波那契螺旋线》课件。本课件将介绍斐波那契数列的定义和性 质，并深入探讨斐波那契螺旋线的构造、几何性质以及生成算法。
斐波那契数列
1 概念和定义
2 性质
斐波那契数列是指每个数都是前两个数的和， 例如：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
斐波那契数列具有许多特殊的数学性质，如 黄金比例等。
构造斐波那契螺旋线
1
定义斐波那契螺旋线
斐波那契螺旋线是由一系列正方形组成的螺旋线，边长和斐波那契数列严格相关。
2
构造斐波那契螺旋线
通过不断增加正方形的边长，我们可以绘制出美丽的斐波那契螺旋线。
3
美丽的几何形状
斐波那契螺旋线展现了它独特的几何特性，如自相似性和黄金分割。
斐波那契螺旋线的几何性质
性质分析
总结与展望
总结本节课的内容
我们深入研究了斐波那契数列和螺旋线的定义、性 质、构造和生成算法。
展望斐波那契螺旋线的未来研究方向
斐波那契螺旋线的应用潜力巨大，未来的研究将进 一步探索其在科学和工程领域的应用。
通过数学推导和几何推理，我们可以发现斐波那契螺旋线有许多有趣的性质。
应用实例
斐波那契螺旋线在艺术、建筑和自然界中都有广线的生成算法
1
递归算法
利用递归的思想，我们可以简洁地实现
迭代算法
2
斐波那契螺旋线的生成过程。
通过迭代计算每个正方形的位置和边长， 我们也可以绘制出完美的斐波那契螺旋 线。
《斐波那契数列》课件
特征方程
特征方程
对于斐波那契数列，其特征方程为x^2=x+1。通过解这个方程，可以得到斐波 那契数列的通项公式。
通项公式
斐波那契数列的通项公式为F(n)=((φ^n)-(-φ)^-n))/√5，其中φ=(1+√5)/2是黄 金分割比。这个公式可以用来快速计算斐波那契数列中的任意数字。
03
斐波那契数列的数学模型
在生物学中的应用
遗传学研究
在遗传学中，斐波那契数列可以用于 描述DNA的碱基排列规律，有助于深 入理解遗传信息的传递和表达。
生物生长规律
许多生物体的生长和繁殖规律可以用 斐波那契数列来描述，如植物的花序 、动物的繁殖数量等。
在计算机图形学中的应用
图像处理
在图像处理中，斐波那契数列可以用于生成复杂的图案和纹理，增加图像的艺术感和视觉效果。
斐波那契数列的递归算法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
03
递归算法的时间复杂度
O(2^n)，因为递归过程中存在大量的重复计算。
迭代算法
迭代算法的基本思想
迭代算法的时间复杂度
从问题的初始状态出发，通过一系列 的迭代步骤，逐步逼近问题的解。
O(n)，因为迭代过程中没有重复计算 。
实际应用价值
斐波那契数列在计算机科指导 意义。
对未来研究的展望
深入探索斐波那契数列的性质
01
随着数学研究的深入，可以进一步探索斐波那契数列的性质和
规律，揭示其更深层次的数学原理。
跨学科应用研究
02
未来可以将斐波那契数列与其他学科领域相结合，如生物学、
表示方法
通常用F(n)表示第n个斐波那契数 ，例如F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1 ，F(3)=2，以此类推。
高中数学必修5《斐波那契数列》PPT
7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 13 21 34 55 89 144
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
• 因此，斐波那契问题的答案是 144 对。 • 以上的数列，亦被称为「斐波那契数列」
斐波那契数列
• 这个数列称之为斐波那契数列，因以兔 子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数 列”。这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和，即
以斐波那契数列的性质为背景命制试题
• 【例】意大利著名数学家斐波那契在研 究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数 列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, ,
其中从第三个数起，每一个数都等于它前 面两个数的和，人们把这样的一列数所 组成的数列称为“斐波那契数列”.
那么 a12 a22 a32
解答
1月 1对 2月 对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对
解答
解答
• 可以將结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
1
34
看 这 两 个
2 3 5 8
13
21
55 89
144 233
377
610
数
34
987
列 55 + 89
1597 + 2584
：
231
6710
斐波那契数列
• 若一个数列，首两项等于 1，而从第 三项起，每一项是之前两项之和， 则称该数列为斐波那契数列。即：
1 + 1 = 2 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
《斐波那契螺旋线》课件
Sketch
适用于Mac系统的矢量绘图软件，也支持绘制斐波那契螺旋线。
Inkscape
免费的开源矢量图形软件，同样可以绘制出精美的斐波那契螺旋 线。
手绘方法与技巧
准备工具
准备一张纸、一支铅笔、一把 尺子和圆规等基本绘画工具。
绘制基础图形
先在纸上绘制一个圆形或椭圆 形作为基础图形。
开始绘制
从圆心开始，按照斐波那契数 列的规律向外绘制线段，每条 线段长度依次为前两条线段之 和。
《斐波那契螺旋线》ppt课件
目 录
• 斐波那契螺旋线的简介 • 斐波那契螺旋线的数学原理 • 如何绘制斐波那契螺旋线 • 斐波那契螺旋线的艺术创作 • 斐波那契螺旋线在自然界中的表现 • 斐波那契螺旋线的科学意义与价值
01
斐波那契螺旋线的简介
定义与特性
定义
斐波那契螺旋线是一种按照斐波那契 数列规律生成的螺旋线，其特点是相 邻两个线段之间的长度比等于前两个 相邻线段长度之和。
这种关系使得斐波那契螺旋线在视觉 上具有美感，被广泛应用于艺术、建 筑和设计等领域。
斐波那契数列中的数字与黄金分割密 切相关，例如，前两个数字的比值接 近于黄金分割，后续的数字的比值也 呈现类似的规律。
生成斐波那契螺旋线的数学公式
斐波那契螺旋线是一种几何图形 ，它由连续的曲线组成，这些曲 线按照斐波那契数列的规律排列
04
斐波那契螺旋线的艺术创作
绘画中的应用
抽象画
斐波那契螺旋线在抽象画中常常被用来表现自然生长的规律和节奏，如花、草、 树木等。
具象画
在具象画中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的纹理和图案，如动物的毛发、 植物的叶片等。
雕塑中的应用
浮雕
在浮雕中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的形态和动态 ，如动物的姿态、植物的形态等。
适用于Mac系统的矢量绘图软件，也支持绘制斐波那契螺旋线。
Inkscape
免费的开源矢量图形软件，同样可以绘制出精美的斐波那契螺旋 线。
手绘方法与技巧
准备工具
准备一张纸、一支铅笔、一把 尺子和圆规等基本绘画工具。
绘制基础图形
先在纸上绘制一个圆形或椭圆 形作为基础图形。
开始绘制
从圆心开始，按照斐波那契数 列的规律向外绘制线段，每条 线段长度依次为前两条线段之 和。
《斐波那契螺旋线》ppt课件
目 录
• 斐波那契螺旋线的简介 • 斐波那契螺旋线的数学原理 • 如何绘制斐波那契螺旋线 • 斐波那契螺旋线的艺术创作 • 斐波那契螺旋线在自然界中的表现 • 斐波那契螺旋线的科学意义与价值
01
斐波那契螺旋线的简介
定义与特性
定义
斐波那契螺旋线是一种按照斐波那契 数列规律生成的螺旋线，其特点是相 邻两个线段之间的长度比等于前两个 相邻线段长度之和。
这种关系使得斐波那契螺旋线在视觉 上具有美感，被广泛应用于艺术、建 筑和设计等领域。
斐波那契数列中的数字与黄金分割密 切相关，例如，前两个数字的比值接 近于黄金分割，后续的数字的比值也 呈现类似的规律。
生成斐波那契螺旋线的数学公式
斐波那契螺旋线是一种几何图形 ，它由连续的曲线组成，这些曲 线按照斐波那契数列的规律排列
04
斐波那契螺旋线的艺术创作
绘画中的应用
抽象画
斐波那契螺旋线在抽象画中常常被用来表现自然生长的规律和节奏，如花、草、 树木等。
具象画
在具象画中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的纹理和图案，如动物的毛发、 植物的叶片等。
雕塑中的应用
浮雕
在浮雕中，斐波那契螺旋线可以用来表现物体的形态和动态 ，如动物的姿态、植物的形态等。
初中数学斐波那契数列优质课PPT课件
• 右式的答案是：
233
377
610 11 = 6710
610
987
1597
+ 2584
????
2021/1/18
尝试成功
下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长
规律，第16行的实心圆点的个数是 610 ．（迎春杯
赛题）
2021/1/18
例题讲解
一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶， 从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？
•换一个试试！
时间到！
• 答案是 6710。
2021/1/18
细看这两个数列：
您有什么 发现吗？
+
2021/1/18
1
2 3 5
8
13
21
34
55
89
+
231
34
55 89 144
233
377
610
987
1597
2584
6710
问题的提出
• 在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题： • 假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能
2021/1/18
归纳小结：
• 可以将结果以表格形式列出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月
1
1
2
3
5
8
7 月 8 月 9 月 10 13 21 34 5月5
11 12 月89 1月44
• 因此，兔子问题的答案是 233 对。
• 以上的数列，是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的，
亦被称为“斐波那契数列”
斐波那契数列-课件(PPT-精)PPT共53页
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
斐波那契数列-课件（PPT-精）
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
45、自己的饭量自己知道。——苏联
斐波那契数列-课件（PPT-精）
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
《斐波那契螺旋线》课件
01
斐波那契螺旋线在 艺术与设计中的应
用
艺术作品中的斐波那契螺旋线
总结词
斐波那契螺旋线在艺术作品中常被用来表达自然美和和谐。
详细描述
许多艺术家在创作中运用斐波那契螺旋线来表现自然生长的规律和美感，如自然界中的花朵、树木等。这种螺旋 线能够给人带来视觉上的舒适和和谐感，使作品更具艺术感染力。
设计作品中的斐波那契螺旋线
《斐波那契螺旋线》 ppt课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 斐波那契螺旋线的定义与特性 • 斐波那契螺旋线的几何形状与生成
原理 • 斐波那契螺旋线的数学模型与公式 • 斐波那契螺旋线的计算机模拟与可
视化
目录CONTENTS
• 斐波那契螺旋线在艺术与设计中的 应用
• 斐波那契螺旋线的未来发展与展望
01
斐波那契螺旋线的 定义与特性
定义
斐波那契螺旋线
又称黄金螺旋，是一种特殊的几 何图形，其形状由斐波那契数列 决定。
斐波那契数列
是一个著名的数列，由0和1开始 ，之后的每一个数字都是前两个 数字的和。
特性
黄金分割
斐波那契螺旋线在几何形状上符 合黄金分割原则，即较长线段与 较短线段之比等于整体与较长线
颜色映射
通过颜色映射技术，将不同的数值或 参数以不同的颜色表示，使得图形更 加直观易懂。
结果展示
动态展示
通过动态展示技术，将斐波那契螺旋线的生成过程以动画的形式呈现出来，让用户更加清晰地理解其 生成原理和形态变化。
对比分析
将不同参数下的模拟结果进行对比分析，帮助用户更好地理解斐波那契螺旋线的特性和变化规律。
北师大版六年级上册数学 斐波那契数列 14张幻灯片
1
3
导师：稻 壳儿
思 先独立思考； 记 用你喜欢的方式记录你的思考
过程；
说 和同桌说说你的想法。
小蜜蜂爬到3 号蜂房有几条不同路线？
B-1-3
2
B-2-3 B-1-2-3
1
3
导师：稻 壳儿
小蜜蜂爬到4号蜂房有几条不同路线？
2条
5条
2
4
1导师：稻
壳儿
3条 3
B-2-4； B-1-2-4；
B-1-2-3-4； B-1-3-4； B-2-3-4；
从第3项开始，后一个数等于前两个数之和......
07 文化渗透
斐 波 那 契 数 列 请你画一画，写一写或举例子制作一张斐
波那契数列名片。
发现者：
别名：
举例：
我会画：
我的发现：
巩固练习1：填数
1,1,2,3,5，（ 8 ），13，（ 21），（34 ）,( 55 )....
练习2：假定一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过 一个月便能生下一对小兔，并且以后每个月都生一对小兔， 一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12 个月会有多少对兔子呢？
2+3=5（条）
小蜜蜂爬到5号蜂房有几条不同路线？
3+5=8（条）
小蜜蜂爬到6 、7 、8、 9 、10号蜂房有几条不同路线？
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
导师：稻 壳儿
小蜜蜂爬到6号，7号，8号，9号，10号蜂房分别有几条不同路线？
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
斐波那契数列通项公式的推导方法ppt课件
即 bn =2 bn1 数列{ bn }为等比数列， 其中b1 = a1 +1=2,q=2 bn =2 2n1 = 2n an 2n 1
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1 时也成立， a n = 2
n1
3
1
n
N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2bn1， 构造法
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
构造法
将(4)、 (5)两式相减得：
n
n
5a
n
1
2
5
1 2
5
an
《斐波那契数列》课件
03
斐波那契数列的应用
在自然界的运用
生长与繁殖
许多动植物的生长和繁殖遵循斐 波那契数列的规律。例如，菠萝 表面的小眼通常以斐波那契数列
的顺序排列。
植物生长
许多植物的花瓣、叶子和分支遵 循斐波那契数列的规律，如向日 葵花盘上的花瓣数量、松果的鳞
片排列等。
动物行为
一些动物的行为模式，如蜘蛛网 的构造、蜜蜂的蜂巢等，也与斐
02
在建筑设计中的应用
斐波那契数列的美学价值使得它在建 筑设计中也有所应用。通过运用斐波 那契数列的规律和比例，可以在建筑 设计中创造出和谐、优美的作品。
03
在音乐和艺术领域的 应用
斐波那契数列在音乐和艺术领域也有 所应用。例如，在作曲中可以利用斐 波那契数列来安排和声和旋律，在绘 画中可以利用斐波那契数列来构图和 布局。
在计算机科学中的应用
数据结构和算法设计
斐波那契数列在计算机科学中被广泛应用于数据结构和算 法设计。例如，斐波那契堆是一种优化的数据结构，用于 实现高效的内存管理和动态调整。
加密和安全
斐波那契数列在加密算法和网络安全领域也有所应用。例 如，利用斐波那契数列的特性可以设计出更安全的加密算 法。
计算机图形学
寻找新的应用领域
除了在生物学、经济学等领域的应用，未来可以 寻找斐波那契数列在其他领域的新应用，如物理 学、计算机科学等。
优化算法和计算方法
随着计算能力的提高，可以进一步优化斐波那契 数列的计算方法和算法，提高计算效率和精度。
如何将斐波那契数列应用到实际生活中
01
在金融领域的应用
斐波那契数列在金融领域有广泛的应 用，如股票价格预测、风险评估等。 通过分析历史数据，可以利用斐波那 契数列预测未来的市场走势。
人教版六年级数学下册《斐波那契数列》PPT课件
阅读材料
斐波那契数列
假斐定(fě一i对)波刚那出契生是的中小世兔纪一数个学月家后，就他 能对长欧成洲大的兔数,学再发过展一有个着月深便远能的生影下响一。对他小生 于兔意,并大且利以的后比每萨个，月曾都经生游一历对过小东兔方。和一阿年 拉内伯没的有许发多生地死方亡。1那2么02,年由，一斐对波刚那出契生出的 版兔了子他开的始著,1作2个《月算后盘会书有》多。少在对这兔部子名呢著?
377，610，987 … …
单位: cm 5
3
11
2 8
兰 花
1 2
3
12
5
3
4
苹果花
格桑花
8 12
7
3
6 54
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
3
5
8
13
21
34
• 树丫的数目（树的分杈）
七 13
六
8
五
5
四
3
三
2
二
1
一
1
种
()
子 的 排
松 果
列
种
()
子 的 排
松 果
列
种子的排列
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
音乐中的斐波那契数列
从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程
5
2
3
共13个
3
5
8
斐波那契数列还有很多性质 未曾介绍。在国际上，仍然有很 多人对此数列发生兴趣，并办杂 志來分享研究的心得。
1月 2月 3月 4月 5月 6月
斐波那契数列
假斐定(fě一i对)波刚那出契生是的中小世兔纪一数个学月家后，就他 能对长欧成洲大的兔数,学再发过展一有个着月深便远能的生影下响一。对他小生 于兔意,并大且利以的后比每萨个，月曾都经生游一历对过小东兔方。和一阿年 拉内伯没的有许发多生地死方亡。1那2么02,年由，一斐对波刚那出契生出的 版兔了子他开的始著,1作2个《月算后盘会书有》多。少在对这兔部子名呢著?
377，610，987 … …
单位: cm 5
3
11
2 8
兰 花
1 2
3
12
5
3
4
苹果花
格桑花
8 12
7
3
6 54
雏
菊
13 1 2 3
12
11
4
10 98
5
6 7
3
5
8
13
21
34
• 树丫的数目（树的分杈）
七 13
六
8
五
5
四
3
三
2
二
1
一
1
种
()
子 的 排
松 果
列
种
()
子 的 排
松 果
列
种子的排列
向日葵花盘上的螺旋线条，顺时针数 ２１条；反向再数就变成了３４条．是不 是很有意思呀！
音乐中的斐波那契数列
从一个 C 键到下一个 C 键就是音乐中的一个八度音程
5
2
3
共13个
3
5
8
斐波那契数列还有很多性质 未曾介绍。在国际上，仍然有很 多人对此数列发生兴趣，并办杂 志來分享研究的心得。
1月 2月 3月 4月 5月 6月
高中数学必修5《斐波那契数列》PPT (1)
被 2 整除。
斐波那契数列与数学
● 后来的数学家发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … • 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能够
被 2 整除。 • 第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3
由此可观察到:
5 0.666666667 8
lim Fn 0.61803398 9 F n
n1
8 0.615384615 13 13 0.619047619 21
此数也就是黃金比
......
832040 0.618033989
1346296 ......
另一說法
大自然中的斐波那契数列
十秒钟加数
●再来一次！
时间到
• 答案是 6710。
1
「十秒钟加数」的秘密
2
3
● 数学家又发现：连续 10 个斐波那契数之和，必定等于第 7 个数的 11 倍！
5
8
13
• 所以右式的答案是：
21
21 11 = 231
34 55
+ 89
??
「十秒钟加数」的秘密
● 又例如：
• 右式的答案是： 610 11 = 6710
斐波那契数列与楼梯的问题
● 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只 ● 能跨一级或两级，要登到十级有几种走 ● 法？(可以用文字也可以用算式)
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
十秒种加数
● 请用十秒，计出左边一条加数的答案。源自时间到• 答案是 231。
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
斐波那契数列与数学
● 后来的数学家发现了许多关于斐波那契数列的特性。例如：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … • 第 3、第 6、第 9、第 12 项的数字，能够
被 2 整除。 • 第 4、第 8、第 12 项的数字，能够被 3
由此可观察到:
5 0.666666667 8
lim Fn 0.61803398 9 F n
n1
8 0.615384615 13 13 0.619047619 21
此数也就是黃金比
......
832040 0.618033989
1346296 ......
另一說法
大自然中的斐波那契数列
十秒钟加数
●再来一次！
时间到
• 答案是 6710。
1
「十秒钟加数」的秘密
2
3
● 数学家又发现：连续 10 个斐波那契数之和，必定等于第 7 个数的 11 倍！
5
8
13
• 所以右式的答案是：
21
21 11 = 231
34 55
+ 89
??
「十秒钟加数」的秘密
● 又例如：
• 右式的答案是： 610 11 = 6710
斐波那契数列与楼梯的问题
● 有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只 ● 能跨一级或两级，要登到十级有几种走 ● 法？(可以用文字也可以用算式)
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
十秒种加数
● 请用十秒，计出左边一条加数的答案。源自时间到• 答案是 231。
34 55 89 144 233 377 610 987 1597 + 2584 ????
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让观众从你写出的斐波那
1
契数列中任意选定连续的
1
十个数，你能很快说出这
2
些数的和。
3
5
其实有公式：这个
8
和，就是所选出的十个 13
数中第七个数的11倍。 21
34
55 89 144 233 377 610 987 …
20
“十秒钟加数”的秘密
数学家发现：连续 10个斐波 那契数之和，必定等于第 7个 数的 11 倍！
所以右式的答案是： 21 11 = 231
+
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??
21
“十秒钟加数”的秘密
34 55
又例如：
89
144
右式的答案是：
233
377
610 11 = 6710
610
987
1597
+ 2584
????
22
兔子数列
斐波那契数列
1
1 2 3 5 8 13 21 34 55 + 89 ??
十秒钟加数
请用十秒，计算出 左边一列数的和。
时间到！
答案是 231。
2
34 55 8#43; 2584 ????
十秒钟加数
再来一次！
时间到！
答案是 6710。
3
8
有人比喻说，“有关斐波那契数 列的论文，甚至比斐波那契的兔子 增长得还快”，以致1963年成立了 斐波那契协会，还出版了《斐波那 契季刊》。
9
兔子问题
假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子， 那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会 有多少对兔子呢？
10
1月 1对
(L.Fibonacci,1170-1250）
5
2． 斐波那契生平 斐波那契 （Fibonacci.L,1175—1250）
出生于意大利的比萨。他小时候就对算术很 有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、 希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触 到东方国家的数学。斐波那契确信印度—阿拉伯 计算方法在实用上的优越性。1202年，在回到家 里不久，他发表了著名的《算盘书》。
个月时，共有多少对兔子？
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。
19
用斐波那契数列及其推广变魔术
17
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 2月 3月 4月 5月 6月 112358
7月 8月 9月 10月 11月 12月 13 21 34 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列， 即“斐波那契数列”
18
规律
兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二
这与“斐波那契数列”有关
若一个数列，前两项等于1，而从第三项 起，每一项是其前两项之和，则称该数 列为斐波那契数列。即：
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …
4
兔子问题和斐波那契数列
1． 兔子问题 1） 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 （1202年）
6
斐波那契的才能受到弗里德里希二世 的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞 赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。
他的最重要的成果在不定分析和数论 方面，除了《算盘书》外，保存下来的还 有《实用几何》等四部著作。
7
六、 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且 在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
解答
11
1月 1对 2月 1对
解答
12
1月 1对 2月 1对 3月 2对
解答
13
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对
解答
14
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对
解答
15
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对
解答
16
解答
1月 1对 2月 1对 3月 2对 4月 3对 5月 5对 6月 8对 7 月 13 对