北师大版高中数学必修三综合试卷(附答案)
最新【北师大版】数学必修三：第一章-统计综合能力测试(含解析)
最新北师大版数学精品教学资料【成才之路】高中数学第一章统计综合能力测试北师大版必修3 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2015年的世界无烟日(5月31日)之前，小华学习小组为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是( )A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是15个吸烟的成年人D．本地区只有85个成年人不吸烟[答案] B[解析]调查方式显然是抽样调查，∴A错误．样本是这100个成年人．∴C也错误，显然D不正确．故选B.2．某班的78名同学已编号1,2,3，…，78，为了解该班同学的作业情况，老师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )A．简单随机抽样法 B.系统抽样法C．分层抽样法 D.抽签法[答案] B[解析]所抽出的编号都间隔5，故是系统抽样．3．下列问题，最适合用简单随机抽样的是( )A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号为1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人．教育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩. 现抽取农田480亩估计全乡农田某种作物的平均亩产量[答案] B[解析]A项的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B项的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C 项由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，不宜采用简单随机抽样法；D 项的总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜采用简单随机抽样法．4．一个容量为50的样本数据，分组后，组距与频数如下：[12.5,15.5)，2；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5，24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，6；[30.5,33.5)，4.根据分组情况估计小于30.5的数据占( )A ．18% B.30% C ．60% D.92%[答案] D[解析] (2＋8＋9＋11＋10＋6)÷50＝92%.5．如图所示的是2006年至2015年某省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到2006年至2015年此省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )2 9 1 1 5 83 0 2 6 31247A.304.6B.303.6 C ．302.6 D.301.6[答案] B[解析] 由茎叶图得到2006年至2015年城镇居民百户家庭人口数为：291,291,295,298,302,306,310,312,314,317，所以平均数为291＋291＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝3 03610＝303.6.6．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4∶6，根据分层抽样方法，调查了该地区1 000户居民冰箱拥有情况，调查结果如下表所示，那么可以估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为( )A.1.6万户 C ．1.76万户 D.0.24万户[答案] A[解析] 由于城市住户与农村住户之比为4∶6，城市住户有4万户，农村住户有6万户，调查的1 000户居民中共400户城市住户，有600户农村住户，其中农村住户中无冰箱的有160户，所以可估计该地区农村住户中无冰箱的总户数约为10×1601 000＝1.6(万户)．7．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 2 520 2 3 33 1 24 4 8 94 5 5 5 7 7 8 8 950 0 1 1 4 7 96 17 8A.46,45,56B.46,45,53C．47,45,56 D.45,47,53[答案] A[解析]本题考查了茎叶图的应用及其样本的中位数、众数、极差等数字特征，由茎叶图可知，中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.在求一组数据的中位数时，一定不要忘记先将这些数据排序再判断．8．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )A．18 B.36C．54 D.72[答案] B[解析]频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，每个小矩形的面积表示样本数据落在该区间内的频率，故样本数据落在区间[10,12)内的频率为1－2×(0.02＋0.05＋0.15＋0.19)＝0.18，故样本数据落在区间[10,12)内的频数为0.18×200＝36.9.已知两个变量x，y之间具有线性相关关系，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y与x之间的回归直线方程为( )A．y＝0.8x＋3 B.y＝－1.2x＋7.5C．y＝1.6x＋0.5 D.y＝1.3x＋1.2[答案] C[解析] 利用排除法． ∵x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(2＋4＋5＋7)＝4.5，由于回归直线方程y ＝bx ＋a 必过定点(2.5,4.5)，故排除A 、D.又由四组数值知y 随x 的增大而增大，知b >0，排除B.10．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1 000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90 km/h 的约有()A ．100辆 B.200辆 C ．300辆 D.400辆[答案] C[解析] 由题图可知汽车中车速在[60,90)的频率为10×(0.01＋0.02＋0.04)＝0.7， ∴在[90,110]的频率为(1－0.7)＝0.3.∴车速不小于90 km/h 的汽车数量约为0.3×1 000＝300辆．11.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1 B.2 C ．3 D.4[答案] D[解析] 依题意，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧10＝x ＋y ＋10＋11＋95，2＝15x －2＋y －2＋－2＋－2＋－2]，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x －2＋y －2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝12，所以|x －y |＝4.12．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若s 甲，s 乙，s 丙分别表示他们测试成绩的标准差，则( )A ．s 甲<s 乙<s 丙 B.s 甲<s 丙<s 乙 C ．s 乙<s 甲<s 丙 D.s 丙<s 甲<s 乙[答案] D[解析] 由频率分布条形图可得甲，乙，丙三名运动员的平均成绩分别为 x －甲＝0.25×(7＋8＋9＋10)＝8.5；x －乙＝0.3×7＋8×0.2＋9×0.2＋10×0.3＝8.5； x －丙＝0.2×7＋8×0.3＋9×0.3＋10×0.2＝8.5，s 2甲＝0.25×(1.52＋0.52＋0.52＋1.52)＝1.25；s 2乙＝0.3×1.52＋0.52×0.2＋0.52×0.2＋1.52×0.3＝1.45； s 2丙＝0.2×1.52＋0.52×0.3＋0.52×0.3＋1.52×0.2＝1.05，∴s 丙<s 甲<s 乙．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．一个容量为40的样本，共分成6组，第1～4组的频数分别为10,5,7,6，第5组的频率是0.10，则第6组的频率是________．[答案] 0.20[解析] 第5组的频数为40×0.10＝4，第6组的频数为40－(10＋5＋7＋6＋4)＝8，则频率为840＝0.20.14．(2015·广东文，12)已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为________．[答案] 11[解析] 因为样本数据x 1，x 2，…，x n 的均值x ＝5，所以样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的均值为2x ＋1＝2×5＋1＝11.15．(2014·江苏，6)设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.[答案] 24[解析] 本题考查频率分布直方图．由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.频率分布直方图中的纵坐标为频率组距，此处经常误认为纵坐标是频率．16．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案] 6.8[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念． 由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在同等条件下，对30辆同一型号的汽车进行耗油1升所行走路程的试验，得到如下数据(单位：km)：14．1 12.3 13.7 14.0 12.8 12.9 13.1 13．6 14.4 13.8 12.6 13.8 12.6 13.2 13．3 14.2 13.9 12.7 13.0 13.2 13.5 13．6 13.4 13.6 12.1 12.5 13.1 13.513．2 13.4以前两位数为茎画出上面数据的茎叶图(只有单侧有数据)，并找出中位数．[解析]茎叶图如图所示.1213566789130112223445566 6 788914012 4中位数为13.35.18．(本小题满分12分)某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女人数如下表：(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，问应在高三年级抽取多少名学生？[解析](1)由题设可知x3000＝0.17，所以x＝510.(2)高三年级人数为y＋z＝3000－(523＋487＋490＋510)＝990，现用分层抽样的方法在全校抽取300名学生，应在高三年级抽取的人数为：3003000×990＝99名．答：(1)高二年级有510名女生；(2)在高三年级抽取99名学生．19．(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×频率组距故可得下表：(2)0.30＋0.15＋0.02＝中的概率约为0.47. (3)120×1006＝2000.所以水库中鱼的总条数约为2000条．20．(本小题满分12分)某农场为了从三种不同的西红柿品种中选出高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下表：[解析] 因为x 甲＝15(21.5＋20.4＋22.0＋21.2＋19.9)＝21.0(kg)，x 乙＝15(21.3＋18.9＋18.9＋21.4＋19.8)＝20.06(kg)， x 丙＝15(17.8＋23.3＋21.4＋19.9＋20.9)＝20.66(kg)，所以s 甲＝15－2＋…＋－21.02]≈0.756(kg)；s 乙＝15－2＋…＋－2]≈1.104(kg)；s 丙＝15－2＋…＋－2]≈1.807(kg)．由于x 甲>x 丙>x 乙，s 甲<s 乙<s 丙，所以甲种西红柿既高产又稳定．21．(本小题满分12分)潮州统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？[解析] (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－＋0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)， 再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．22.(本小题满分12分)(2015·新课标Ⅰ理，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝，(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：(①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝，α^＝v －β^u .[解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适合作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝∑i ＝18 w i －wy i －y ∑i ＝18 w i －w 2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，∴y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x＝－x ＋13.6x ＋20.12， ∴当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
2019_2020学年高中数学综合测评(含解析)北师大版必修3
综合测评时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为( )A．50 B．100 C．150 D．202．一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.164．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15C.110D.1125．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A．45人 B．50人 C．55人 D．60人6．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )A．2 B．7 C．8 D．1287．如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )A.32 B.34C.12D.148．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.459．在区间[0,10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是( )A.110 B.1010 C.π40 D.π410．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3 11．阅读下列程序： 输入x ：If x ＜0 Theny ＝π2x ＋3ElseIf x ＞0 Then y ＝－π2x ＋5Else y ＝0 End If End If 输出y .如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( ) A ．3＋π B．3－π C．π－5 D ．－π－512．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．14．近期，一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．15．已知变量x ，y 的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，若b ^＝0.51，x ＝61.75，y ＝38.14，则回归方程为________．16．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下．．雨．的概率．18．(本小题满分12分)某商场为了促销实行优惠措施，若购物金额x 在800元以上，打8折，若购物金额x 在500元以上800元以下(含800元)，则打9折，否则不打折．设计算法框图，要求输入购物金额x ，能输出实际交款额，并写出算法语句．19．(本小题满分12分)某网站针对“某假期放假安排”开展网上问卷调查，提出了A ，B 两种放假方案，调查结果如表(单位：万人)：人群 青少年 中年人 老年人 支持A 方案 200 400 800支持B 方案100100n已知从所有参与调查的人中任选1人是老年人的概率为35.(1)求n 的值；(2)从参与调查的老年人中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人支持B 方案的概率．20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x (百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据．x 1 2 3 4 y6.4131825(1) (2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．22．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数占本组的频率第一组 [25,30) 120 0.6第二组 [30,35) 195 p第三组 [35,40) 1000.5 第四组 [40,45) a 0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；(2)从年龄在[40,50)岁的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．综合测评1．解析：因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×3004 500＝100(人)．答案：B2．解析：E 1与E 3，E 1与E 4均为互斥而不对立的事件． 答案：B3．解析：从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P ＝26＝13.答案：C4．解析：随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1,2}，{1,5}，{2,4}，共3种，故选A.答案：A5．解析：成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m＝0.3，m ＝50.6．解析：由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，9－x ，x ＜2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.答案：C7．解析：正方形的面积为4，S △EBC ＝12×2×2×sin 60°＝ 3∴质点落在△EBC 内的概率为34.故选B. 答案：B8．解析：根据几何概型的概率公式，P ＝3－13－－2＝25.答案：B9．解析：在区间[0,10]内随机取出两个数，设这两个数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤10，若这两个数的平方和也在区间[0,10]内，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤10，0≤x 2＋y 2≤10，画出其可行域，由可行域知，这两个数的平方和也在区间[0,10]内的概率是10π×14100＝π40.故选C.答案：C10．解析：根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.答案：D11．解析：输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝π2×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.答案：B 12．解析：设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC的面积大于S 4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝342＝916.答案：D13．解析：由图2可知，鸡蛋占食品开支的比例为3030＋40＋100＋80＋50＝10%，结合图1可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为30%×10%＝3%.14．解析：本题考查用样本估计总体．持反对态度的频率为1－1450＝1825，所以可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人)．答案：6 91215．解析：因为a ^＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为 y ^＝0.51x ＋6.647 5.答案：y ^＝0.51x ＋6.647 516．解析：已知点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62＝36.由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.所以原方程两根都是实数的概率为1－π36.答案：1－π3617．解析：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.18．解析：算法框图如图所示．算法语句如下：19．解析：(1)由题意得n ＋800200＋400＋800＋100＋100＋n ＝35，得n ＝400.(2)支持A 方案的老年人有8001 200×6＝4人，支持B 方案的老年人有4001 200×6＝2人．将支持A 方案的4人标记为1,2,3,4，将支持B 方案的2人标记为a ，b .设M 表示事件“支持B 方案恰好1人”，所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2,4)，(2，a )，(2，b )，(3,4)，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，(a ，b )，共15种．其中满足条件的有(1，a )，(1，b )，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(4，a )，(4，b )，共8种．故P (M )＝815.所以恰好有1人支持B 方案的概率为815.20．解析：(1)甲班的平均身高为x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P (A )＝410＝25.21．解析：(1)根据表中数据可分别求得：x ＝2.5，y ＝15.6，∑4i ＝1x i y i ＝186.4，∑4i ＝1x 2i ＝30. 所以b ^＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.52＝6.08. a ^＝15.6－6.08×2.5＝0.4.所以回归直线方程为y ^＝6.08x ＋0.4.(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.22．解析：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06.补全频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30＝2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a 、b 、c 、d ，[45,50)岁中的2人为m 、n ，则选取2人作为领队的有(a ，b )、(a ，c )、(a ，d )、(a ，m )、(a ，n )、(b ，c )、(b ，d )、(b ，m )、(b ，n )、(c ，d )、(c ，m )、(c ，n )、(d ，m )、(d ，n )、(m ，n )，共15种，其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )、(a ，n )、(b ，m )、(b ，n )、(c ，m )、(c ，n )、(d ，m )、(d ，n )，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为P ＝815.。
【北师大版】高中数学必修三期末试卷(附答案)(1)
一、选择题1．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（ ） A ．110B ．310C ．12D ．7102．如图，长方形的四个顶点为(0,0)O ，(4,0)A ，(4,2)B ，(0,2)C ，曲线y x =经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域外的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．343．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( ) A ．710B ．35C ．12D ．254．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD 是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．14B ．8π C ．34D ．4π 5．执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A．261 B．425 C．179 D．5446．如图是一个程序框图，则输出k的值为（）A．6 B．7 C．8 D．97．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A．28 B．56 C．84 D．120 8．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ()A．2018B．2019C．12D．29．2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．10010．一组数据的平均数为x ，方差为2s ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为x B ．这组新数据的平均数为a x + C ．这组新数据的方差为2as D ．这组新数据的标准差为2a s11．已知x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 8 y 1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且 1.03y x a =+，则a =（ ） A ．1.53B ．1.33C ．1.23D ．1.1312．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，44(,)x y ，55(,)x y .根据收集到的数据可知12345150x x x x x ++++=，由最小二乘法求得回归直线方程为0.6754.9y x =+，则12345y y y y y ++++的值为（ ）A ．75B ．155.4C ．375D ．466.2二、填空题13．现有五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，每个盒子只能放一个小球，则D 、E 至少有一个在盒子中的概率为______．14．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．15．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．16．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．17．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的值为__________．18．程序如下：以上程序输出的结果是_________________ 19．已知x ，y 的取值如下表： x 2 3 4 5 y2.23.85.56.5从散点图分析，y 与x 线性相关，且回归方程为y ＝1.46x ＋a ，则实数a 的值为________．20．某超市统计了一个月内每天光顾的顾客人数，得到如图所示的频率分布直方图，根据该图估计该组数据的中位数为__________．三、解答题21．某校从参加某次知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛的均分；（2）如果确定不低于85分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进人复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值大于20的概率.22．某校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高； （2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.23．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述. 24．利用海伦公式编写一个计算三边长为,,a b c 的三角形面积的程序． [海伦公式为：1()()();()2S p p a p b p c a b c =---=++]． 25．“湖广熟，天下足”，鱼米之乡的湖北是全国重要的农产品生产地.而受疫情影响，像莲藕、小龙虾等湖北很多优质农副产品近期都面临销售难题.为了让淜北尽快恢复正常，央视主持人朱广权化身直播带货官，和网红们一起为湖北产品做公益直播.在为湖北某地区的小龙虾进行带货时，需大致了解该地区小龙虾的产量，通过调查发现湖北某地区近几年的小龙虾产量统计如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码t 1 2 3 4 5 6 年产量y （万吨）6.66.97.47.788.4（1）根据表中数据，建立关于t 的线性回归方程y bt a =+； （2）请你根据线性回归方程预测今年（2020年）该地区小龙虾的年产量.附：对于一组数据()11,t y ，()22,t y ，…，(),n n t y ，其回归直线y bt a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆniii ni i t t y y bt t ==--=-∑∑，a y bt =-.（参考数据：()()616.3ii i tty y =--=∑）26．为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；（2）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格.60分以上（含60分）的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列与数学期望；（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z 服从正态分布()2,Nμσ，其中μ可用样本平均数近似代替，2σ可用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五人保留整数）.参考数据：()0.6827P Z μσμσ-<≤+≈，()220.9545P Z μσμσ-<≤+≈，()330.9973P Z μσμσ-<≤+≈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、()5,7,9，共3个，由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为310， 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．2．A解析：A 【分析】计算长方形面积，利用定积分计算阴影部分面积，由面积测度的几何概型计算概率即可. 【详解】由已知易得：34200216=42=8=[]|33S S x ⨯==⎰阴影长方形，，由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域外的概率11=3S P S =-阴影长方形 故选：A 【点睛】本题考查了面积测度的几何概型，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于基础题.3．B解析：B 【分析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解 【详解】解：由题意()13n n a -=-成等比数列的10个数为：1，3-，2(3)-，39(3)(3)-⋯-其中小于8的项有：1，3-，3(3)-，5(3)-，7(3)-，9(3)-共6个数 这10个数中随机抽取一个数， 则它小于8的概率是63105P ==． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题4．D解析：D 【解析】 【分析】利用圆的面积公式及几何概型中的面积型直接得解． 【详解】由已知可得：矩形ABCD 的面积为（3+5）×（2+3+8）＝104， 又阴影部分的面积为14π（12+12+22+32+52+82）＝26π， 即点取自阴影部分的概率为261044ππ=， 故选D ． 【点睛】本题考查了圆的面积公式及几何概型中的面积型，属于中档题．5．B解析：B 【分析】根据循环结构的条件，依次运算求解，即得解. 【详解】起始值：5,1,0x y n ===，满足1105<⨯，故：5,0,2x y n ===； 满足0105<⨯，故：7,4,4x y n ===； 满足4107<⨯，故：11,36,6x y n ===； 满足361011<⨯，故：17,144,8x y n ===； 满足1441017<⨯，故：25,400,10x y n ===； 此时：4001025>⨯，满足输出条件：输出425x y += 故选：B 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据程序框图，模拟计算过程即可求解. 【详解】程序框图的执行过程如下：1S =，10k =；1011S =，9k =；911S =，8k ；811S =，7k =，循环结束. 故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.7．C解析：C【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得：0,0,0i n S ===执行循环体，1,1,1i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，2,3,4i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，3,6,10i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，4,10,20i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，5,15,35i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，6,21,56i n S ===；不满足判断条件7i ≥，执行循环体，7,28,84i n S ===；满足判断条件7i ≥，退出循环，输出S 的值为84.故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．D解析：D【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解．【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==； 满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ；…观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得：满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2．故选D ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．9．B解析：B【分析】由频率分布直方图的性质，求得0.25x =，再结合频率分布直方图的频率的计算方法，即可求解.【详解】由频率分布直方图的性质，可得()20.050.150.051x +++=，解得0.25x =， 所以学习时长在[)9,11的频率2520.5x n==，解得50n =. 故选：B .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图性质及其应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了数据分析能力，以及计算能力. 10．D解析：D【分析】根据平均数及方差的定义可知，一组数据的每个数都乘以a 得到一组新数据，平均值变为原来a 倍，方差变为原来2a 倍.【详解】设一组数据1234,,,,,n x x x x x ⋯的平均数为x ，方差为2s , 则平均值为()12341n ax ax ax ax ax ax n ++++⋯+=， ()()()()()22222212341n s x x x x x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-+-+⋯+-⎢⎥⎣⎦， ()()()()()222222212341n ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax a s n ⎡⎤∴-+-+-+-+⋯+-=⋅⎢⎥⎣⎦ 故选：D.【点睛】本题主要考查了方差，平均数的概念，灵活运用公式计算是解题关键，属于中档题. 11．D解析：D【解析】分析：首先根据题中所给的表中的数据，计算得出样本中心点的坐标，利用回归直线必过样本中心点，代入求得结果. 详解：依题意得，1(014568)46x =⨯+++++=，1(1.3 1.8 5.6 6.17.49.3) 5.256y =+++++=， 因为回归直线必过样本中心点(,)x y ，即点(4,5.25)，所以有5.25 1.034ˆa=⨯+，解得ˆ 1.13a =，故选D. 点睛：该题考查的是有关回归直线的有关问题，涉及到的知识点有回归直线一定过样本中心点，计算得出相应坐标的平均值，求得样本中心点的坐标，代入求得结果.12．C解析：C【分析】 首先求得x 的值，然后利用线性回归方程过样本中心点的性质求解12345y y y y y ++++的值即可.【详解】 由题意可得：12345305x x x x x x ++++==， 线性回归方程过样本中心点，则：0.6754.975y x =⨯+=， 据此可知：12345y y y y y ++++5375y ==.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】计算出都不在盒子中的概率利用对立事件的概率公式可求得结果【详解】记事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒子则至少有一个在盒子中则事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒 解析：910【分析】计算出D 、E 都不在盒子中的概率，利用对立事件的概率公式可求得结果.【详解】记事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 至少有一个在盒子中， 则事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 都不在盒子中，所有的基本事件有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BDE 、CDE ，共10种， 事件M 所包含的基本事件为：ABC ，共1种，故()()19111010P M P M =-=-=. 故答案为：910. 【点睛】方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）列表法；（3）数状图法；（4）排列组合数的应用. 14．【解析】基本事件总数为36点数之和小于10的基本事件共有30种所以所求概率为【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查属于简单题江苏对古典概型概率的考查注重事件 解析：56【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率的考查，属于简单题.江苏对古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往利用对立事件的概率公式进行求解. 15．【分析】设需要门高射炮由题意得出解出的取值范围可得出正整数的最小值【详解】设需要门高射炮则命不中的概率为由题意得出得解得而因此至少需要门高射炮故答案为：【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用在涉 解析：75【分析】设需要n 门高射炮，由题意得出()110.060.99n--≥，解出n 的取值范围，可得出正整数n 的最小值.【详解】设需要n 门高射炮，则命不中的概率为()10.06n-，由题意得出10.940.99n -≥，得0.940.01n ≤，解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-， 而274.43lg 0.94-≈，因此，至少需要75门高射炮. 故答案为：75.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.16．【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序的运行可得满足条件执行循环体满足条件执行循 解析：7【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得1S =，1i =满足条件4i <，执行循环体，2S =，2i =满足条件4i <，执行循环体，4S =，3i =满足条件4i <，执行循环体，7S =，4i =此时，不满足条件4i <，退出循环，输出S 的值为7．故答案为7．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．0【解析】第一次循环：满足条件；第二次循环：满足条件；第三次循环：满足条件；第四次循环：满足条件；第五次循环：满足条件；第六次循环：满足条件；第七次循环：满足条件；可得的值以为周期进行循环所以最后输 解析：0【解析】 第一次循环：1cos 32n S S π=+=，满足条件2018,12n n n <=+=；第二次循环：cos03n S S π=+=，满足条件2018,13n n n <=+=；第三次循环：cos 13n S S π=+=-，满足条件2018,14n n n <=+=；第四次循环：3cos32n S S π=+=-，满足条件2018,15n n n <=+=；第五次循环：cos13n S S π=+=-，满足条件2018,16n n n <=+=；第六次循环：cos03n S S π=+=，满足条件2018,17n n n <=+=；第七次循环：1cos 32n S S π=+=，满足条件2018,18n n n <=+=；...，可得S 的值以6为周期进行循环，所以最后输出的S 的值为0，故答案为0.18．24【解析】考点：程序框图专题：图表型分析：由程序中循环的条件为i≤4我们易得到最后一次循环时i=4又由循环变量i 的初值为2故我们从2开始逐步模拟循环的过程即可得到结论解答：解：模拟程序的运行结果：解析：24【解析】考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序中循环的条件为i≤4，我们易得到最后一次循环时i=4，又由循环变量i 的初值为2，故我们从2开始逐步模拟循环的过程，即可得到结论．解答：解：模拟程序的运行结果：i=2时，t=2，i=3时，t=6，i=4时，t=24，故答案为24点评：本题考查的知识点是程序框图及程序代码，在写程序运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的方法，模拟时要分析循环变量的初值，步长和终值 19．—061【分析】根据所给条件求出把样本中心点代入回归直线方程可以得到关于的方程解出即可得到答案【详解】根据题意可得则这组数据的样本中心点是代入到回归直线方程故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程解题 解析：—0.61【分析】 根据所给条件求出x ，y ，把样本中心点()x y ，代入回归直线方程 1.4ˆ6ˆyx a +＝，可以得到关于ˆa的方程，解出即可得到答案 【详解】根据题意可得2345 3.54x +++== 2.2 3.8 5.5 6.5 4.54y +++== 则这组数据的样本中心点是()3.54.5，代入到回归直线方程 1.4ˆ6ˆyx a +＝ 4.5 1.46 3.ˆ5a∴⨯+＝ ˆ0.61a=- 故答案为0.61-【点睛】本题考查了线性回归方程，解题的关键是线性回归方程一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一，是线性回归方程考查的常见题型，体现了回归直线方程与样本中心点的关联．20．75【解析】分析：由频率分布直方图算出各频率然后计算中位数详解：由图可知的频率为的频率为的频率为的频率为的频率为前两组频率前三组频率中位数在第三组设中位数为则解得故该组数据的中位数为点睛：本题考查了 解析：75.【解析】分析：由频率分布直方图算出各频率，然后计算中位数详解：由图可知，10~20的频率为0.1420~30的频率为0.2430~40的频率为0.3240~50的频率为0.250~60的频率为0.1前两组频率0.140.240.380.5=+=<前三组频率0.140.240.320.70.5=++=>∴中位数在第三组设中位数为x ，则()300.380.320.510x -+⨯= 解得33.75x =故该组数据的中位数为33.75点睛：本题考查了在频率分布直方图中求中位数，此类题目需要先确定中位数所在的组，然后根据公式计算求得结果，较为基础． 三、解答题21．（1）频率分布直方图见解析；均分为71分；（2）175；（3）13.【分析】（1）根据频率和为1可求得[)70,80组对应的频率，由此可补全频率分布直方图；利用平均数的估计方法计算可得结果；（2）由频率分布直方图计算可得分数不低于85分的频率，利用总数⨯频率即可计算得到结果；（3）根据分层抽样原则可计算求得第一组、第二组和第六组分别抽取的人数，采用列举法可确定所有基本事件和满足题意的基本事件，由古典概型概率公式计算可得结果.【详解】（1）[)70,80组的频率为()10.010.0150.0150.0250.0051010.70.3-++++⨯=-=， ∴补全频率分布直方图如下图所示：均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）. （2）由频率分布直方图可知：分数不低于85分的频率为10.025100.005100.1752⨯⨯+⨯=， 1000∴名参赛同学中，预估有10000.175175⨯=人进入复赛.（3）第一组、第二组和第六组的频率之比为2:3:1，∴第一组抽取2626⨯=人，第二组抽取3636⨯=人，第六组抽取1616⨯=人， 记第一组和第二组的5人为,,,,a b c d e ，第六组的1人为A ，则随机抽取2人，有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),d e ，(),d A ，(),e A ，共15种情况， 成绩之差的绝对值大于20的有：(),a A ，(),b A ，(),c A ，(),d A ，(),e A ，共5种情况，∴所求概率51153p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数和频率、估计平均数等知识，同时考查了分层抽样和古典概型概率问题的求解，是对概率和统计部分知识的综合考查，属于常考题型. 22．（1）50人，0.04；（2）18 【分析】(1)先根据频数计算在[50,60）上的频率,继而求得全班总人数,再根据[70,80）之间的人数求得[70,80）之间的频率与高即可.(2)根据题意求得[50,60）中的人数与[90,100）分数段内的人数,再编号利用枚举法求解即可.【详解】（1）由茎叶图知分数在[50,60）上的频数为4,频率为0.008×10＝0.08, 故全班的学生人数为40.08=50人, ∵分数在[70,80）间的频数为：50﹣（4+14+8+4）＝20,∴频率是200.450=,∴矩形的高是0.410=0.04. （2）成绩在[50,60）分数段内的人数有4人,记为甲、A 、B 、C ,成绩在[90,100）分数段内的人数有4人,记为乙、a ,b ,c ,则“二帮一”小组有以下24种分组办法：甲乙a ,甲乙b ,甲乙c ,甲ab ,甲ac ,甲bc ,A 乙a ,A 乙b ,A 乙c ,Aab ,Aac ,Abc ,B 乙a ,B 乙b ,B 乙c ,Bab ,Bac ,Bbc ,C 乙a ,C 乙b ,C 乙c ,Cab ,Cac ,Cbc ,其中,甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙a ,甲乙b ,甲乙c ,∴甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P 31248==. 【点睛】本题主要考查了茎叶图与频率分布直方图的应用,同时也考查了枚举法解决古典概型问题,属于基础题.23．见解析【详解】解：流程图如下：程序如下：INPUT a ，bIF a ＝0 THENIF b ＜0 THENPRINT “任意实数”ELSEPRINT “无解”ELSEIF a ＞0 THENPRINT “x ＜“；﹣b /aELSEPRINT “x ＞“；﹣b /aENDIFENDIFENDIFEND点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.24．见解析【解析】试题分析：先输入三角形的三条边长a ，b ，c ，再计算2a b c p ++=，然后计算()()()S p p a p b p c =---，最后输出S 的值.试题根据题意，所求的程序如下：INPUT a ，b ，cp =(a +b +c )/2S =SQR(p *(p –a )*(p –b )*(p –c ))PRINT SEND25．（1）0.36 6.24y x =+；（2）8.76万吨.【分析】（1）由题意求得知 3.5t =，7.5=y ，()62117.5i i t t =-=∑，运用公式求得b ，代入可求得y 关于t 的线性回归方程.（2）由（1）得的线性回归方程，代入年份代码7t =计算，可预测2020年该地区小龙虾的年产量.【详解】（1）由题知 3.5t =，7.5=y ，()62117.5i i t t =-=∑，()()()61621 6.30.3617.5ˆi ii i i t t y y b t t ==--===-∑∑， 又 6.24=-=a y bt .所以，y 关于t 的线性回归方程为0.36 6.24y x =+.（2）由（1）得，当年份为2020年时，年份代码7t =，此时0.367 6.248.76=⨯+=y .所以，可预测，2020年该地区小龙虾的年产量为8.76万吨.【点睛】本题考查线性回归方程的求解，利用线性回归方程对总体进行估计，属于中档题. 26．（1）中位数为65；（2）分布列见解析；期望为5635；（3）50. 【分析】（1）由图中的数据可判断中位数在60分到80分之间，若设中位数为x ，则()0.005200.01520600.020.5x ⨯+⨯+-⨯=，从而可求得中位数；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为6人，不合格的人数为4人，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出各自的概率，从而可得ξ的分布列与数学期望；（3）由已知求出=64=18μσ，，从而可得()()6418641846820.6827P Z P Z -<≤+=<≤≈，再利用正态分布的对称性可求得结果【详解】（1）设中位数为x ，则()0.005200.01520600.020.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得65x =，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为()0.010.0220106+⨯⨯=，不合格的人数为1064-=.由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，3，4.则()464101014C P C ξ===，()134********C C P C ξ===，()2246410327C C P C ξ===，()31464103435C C C P ξ===，()4441014210C P C ξ===. 所以ξ的分布列为所以ξ的数学期望01234142173521035E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意可得，()300.005500.015700.02900.012064μ=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，()()()222230640.150640.370640.4σ=-⨯+-⨯+-⨯()290640.2324+-⨯=，则18σ=，由Z 服从正态分布()2,N μσ，得()()6418641846820.6827P Z P Z -<≤+=<≤≈，则()()18210.68270.158652P Z >≈-=，()460.68270.158650.84135P Z >≈+=，所以此次竞赛受到奖励的人数为600.8413550⨯≈.【点睛】此题考查频率分布直方图、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等知识，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题。
最新【北师大版】数学必修三：第三章-概率综合能力测试(含解析)
最新北师大版数学精品教学资料【成才之路】高中数学 第三章 概率综合能力测试 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球D ．至少有1个黑球与都是红球 [答案] C[解析] “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．3．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为( )A.15 B.13 C ．12 D.25[答案] D[解析] 任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为25.4．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580B.780 C ．1720 D.320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4 C ．π6D.π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2.半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.6．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B.14 C ．34 D.1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.7．(2015·福建文，8)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16 B.14 C ．38 D.12[答案] B[解析] 由已知得，B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)(F 为f (x )与y 轴的交点)，则矩形ABCD 面积为3×2＝6，阴影部分面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14. 8．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14 B.13 C ．12 D.23 [答案] C[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝12.9．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A.34 B.14 C ．12D.18[答案] A[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝34.10.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同 B.颜色不全相同 C ．颜色全不相同 D.无红颜色球[答案] B[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为19.因此，颜色不全相同的概率为1－19＝89，故选B.11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案] A[解析] 本题考查几何概型的计算方法．设图中阴影面积为S 1，S 2，令OA ＝R ，∴S 2－S 1＝πR 24－π·(R 2)2＝0，即S 2＝S 1，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC )＝2[πR224－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28， ∴P ＝S 1＋S 2S 扇AOB ＝π－R 24πR24＝1－2π，充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．12.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78[答案] D[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．[答案] 0.32[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32100＝0.32.14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝25外的概率是________．[答案]712[解析] 基本事件空间含有36个基本事件，而“点P 落在圆x 2＋y 2＝25外”含有21个基本事件，所以概率为2136＝712.15．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.16．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[答案]1316[解析] 本题主要考查几何概型． ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34； ∴去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝1316.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．[解析] 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .六种添加剂中任选两种有15种不同选法．(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)，故P (A )＝215.(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的法取有1种：(0,2)，所以事件B 的对立事件B 是“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和小于3”，所以P (B )＝215，故P (B )＝1－P (B )＝1315. 18．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：(1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE . ∴P 1＝610＝0.6.(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件， 即ABC ，ABD ，ABE ，∴P 2＝310＝0.3.(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件，∴P 3＝910＝0.90.19．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)．(1)两次全是红球的概率是P 1＝14.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝12.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3＝1－12＝12.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．20.(本小题满分12分)(2015·北京文，17)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解析] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．21.(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16.设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.22.(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m －n |>1”的概率．[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27. (2)设事件M ：“|m －n |>1”由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3， 设这3人分别为x ，y ，z ；成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4， 设这4人分别为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，则有xy ，xz ，yz 共3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m －n |>1.共有12种情况．所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P (M )＝1221＝47.。
北师大版高中数学必修三第一章《统计》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x ，2s ，新平均分和新方差分别为1x ，21s ，若此同学的得分恰好为x ，则（ ）A ．1x x =，221s s = B ．1x x =，221s s < C ．1x x =，221s s >D ．1x x <，221s s =2．若一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为5，方差为2，则12323,23,23x x x ---，4523,23x x --的平均数和方差分别为（ ）A ．7，-1B ．7，1C ．7，2D ．7，83．采用系统抽样的方法从400人中抽取20人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3…，400.适当分组后在第一组采用随机抽样的方法抽到的号码为5，则抽到的20人中，编号落入区间[201,319]内的人员编号之和为（ ） A ．600B ．1225C ．1530D ．18554．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差5．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+，则表中m 的值为( )A ．26B ．27C ．28D ．296． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（ ）A ．这10天中有3天空气质量为一级B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日7．下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（ ）A ．2018年3月的销售任务是400台B ．2018年月销售任务的平均值不超过600台C ．2018年第一季度总销售量为830台D ．2018年月销售量最大的是6月份 8．①45化为二进制数为(2)101101；②一个总体含有1000个个体（编号为0000，0001，…，0999），采用系统抽样从中抽取一个容量为50的样本，若第一个抽取的编号为0008，则第六个编号为0128； ③已知a ，b ，c 为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，其中3a =，4c =,6A π=，则这样的三角形有两个解.以上说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油10．已知x，y的取值如表：x 2678y若x，y之间是线性相关，且线性回归直线方程为，则实数a的值是A．B．C．D．11．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为A．12 B．14 C．16 D．1812．从存放号码分别为1，2， ，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是（）A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37二、填空题13．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 _____14．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生2000人,则该校学生总人数是_______..15．已知数据(1,2,3,4,5)i x i =的平均值为a ，数列2{()}i x a -为等差数列，且3||0.1x a -=________.16．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．17．某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
2020-2021学年北师大版高中数学必修三《统计》单元综合测评B及解析
最新（新课标）北师大版高中数学必修三单元测评统计(A卷)(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在指定答题栏内．1．下列调查方式合适的是( )A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解收看中央电视台的“法制报道”栏目的情况，采用普查方式C．为了保证“天宫一号”太空舱发射成功，对重要零件采取抽查方式D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可采用抽查方式答案：D2．某班的78名同学已编号1,2,3，…，78，为了解该班同学的作业情况，老师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )A．简单随机抽样法B．系统抽样法C．分层抽样法D．抽签法答案：B3．容量为100的样本数据按从小到大的顺序分为8组，如下表：第3组的频数与频率分别是( ) A ．14和0.14 B ．0.14和14 C.114和0.14 D.13和114解析：频数为100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14，频率为14100＝0.14.答案：A4．一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图如图，记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数为x ，那么x 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：设这名候选人的身高为m ，则180＋181＋170＋173＋178＋179＋m 7＝177.解得m ＝178.∴x ＝8. 答案：D5. 如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：前3组的频率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小组的频率是0.75×21＋2＋3＝0.25，设样本容量为n ，则10n＝0.25，即n ＝40.答案：C6．已知两个变量x ，y 之间具有线性相关关系，试验测得(x ，y)的四组值分别为(1,2)，(2,4)，(3,5)，(4,7)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A ．y ＝0.8x ＋3B ．y ＝－1.2x ＋7.5C ．y ＝1.6x ＋0.5D ．y ＝1.3x ＋1.2解析：利用排除法．∵x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(2＋4＋5＋7)＝4.5，由于回归直线y ＝bx ＋a 必过定点(2.5,4.5)，故排除A ，D. 又由四组数值知y 随x 的增大而增大，知b>0，排除B. 答案：C7．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )A ．3.5B ．－3C ．3D ．－0.5解析：少输入90，9030＝3，平均数少3，求出的平均数减去实际的平均数等于－3.答案：B8．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品3月以后的每月市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，并使其与前三个月的市场收购价格之差的平方和最小，下表列出的是该产品今年前六个月的市场收购价格：( )A.757B.767C ．11D.787解析：设7月份该产品的市场收购价格为a ，由题意得(a －71)2＋(a －72)2＋(a －70)2值最小时a ＝71＋72＋703＝71，前七个月该产品的市场收购价格先各减去71后得：－3,7，－4,0,1，－1,0.所得数据的平均数恰好为0，方差为s 2＝17[(－3)2＋72＋(－4)2＋0＋1＋1＋0－7×02]＝767.答案：B9．已知数据x 1，x 2，x 3的中位数为k ，众数为m ，平均数为n ，方差为p ，则下列说法中，错误的是( )A ．数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB ．数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC ．数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD ．数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p解析：当数据由x 1，x 2，x 3变为2x 1,2x 2,2x 3时，其中位数、众数、平均数也变为原来的2倍，但是其方差应变为原来的4倍．故数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为4p.答案：D10．为了调查利群超市的营业情况，下表是利群超市五月份一周的利润情况记录.A．6.51万元B．6.4万元C．1.47万元D．5.88万元解析：根据这一周的记录可以求得每天的平均利润为：0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.25＝0.21(万元)，故五月份的总利润7为：0.21×31＝6.51(万元)．答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．11．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验．这三种型号的轿车依次抽取__________辆，__________辆，__________辆．解析：各种型号的轿车差别较大，可用分层抽样法抽取，抽取比例为46∶(1 200＋2 000＋6 000)＝1∶200.所以这三种型号的轿车依次应抽取6辆，30辆，10辆．答案：6 30 1012．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为__________.解析：由茎叶图知，抽取的20名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为6，频率为620，故200名教师中使用多媒体进行教学的次数在[15,25)内的人数为620×200＝60.答案：6013．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90，则90～100分数段的人数为__________．解析：设总人数为n ，则90n ＝0.05，故n ＝1 800，故90～100分数段的人数为1 800×0.45＝810.答案：81014．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加__________万元．解析：本题考查了对线性回归知识的理解和应用．回归直线方程中的斜率就是平均增长率．答案：0.254三、解答题：本大题共4小题，满分50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(12分)某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录，抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99；乙：110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种？(2)估计甲、乙两车间包装的肥料重量的平均值与方差，并说明哪个车间产品较稳定？解：(1)这种抽样方法是系统抽样；(2分)(2)x甲＝102＋101＋99＋98＋103＋98＋997＝100(kg)，s2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]≈3.428 6(kg 2)，(6分)x 乙＝110＋115＋90＋85＋75＋115＋1107＝100(kg)，s 2乙≈228.57(kg 2)，因为x 甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲车间产品较稳定．(12分)16．(12分)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？解：(1)设该厂本月生产轿车n 辆， 由题意，得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(6分) (2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为要用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以4001 000＝m 5，解得m ＝2，即在C 类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．(12分) 17．(12分)某零售店近五个月的销售额和利润额资料如下表：(1)画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； (2)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程； (3)当销售额为4(千万元)时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元)．⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤参考公式：b ＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2，a ＝y －b x 解：(1)散点图如下． 两个变量呈线性相关关系．(4分)(2)设回归直线的方程是y ＝bx ＋a.由题中的数据可知y ＝3.4，x ＝6.所以b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i－y )∑i ＝1n(x i －x )2＝－3×(－1.4)＋(－1)×(－0.4)＋1×0.6＋3×1.69＋1＋1＋9＝1020＝12. a ＝y －b x ＝3.4－12×6＝0.4. 所以利润额y 关于销售额x 的回归直线方程为y ＝0.5x ＋0.4.(8分)(3)由(2)知，当x ＝4时，y ＝0.5×4＋0.4＝2.4，所以当销售额为4千万元时，可以估计该店的利润额为2.4百万元．(12分)18．(14分)在某中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？(不必说明理由)解：(1)因为各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，所以第二小组的频率为1.00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.(3分)因为第二小组的频率为0.40，所以落在59.5～69.5内的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04，由此可补全频率分布直方图(如图阴影部分所示)．(6分)(2)设高二年级两个班参赛的学生人数为x 人，因为第二小组的频数为40，频率为0.40，所以40x＝0.40. 解得x ＝100(人)．所以高二年级两个班参赛的学生人数为100.(12分)(3)高二年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．(14分)。
北师大版高中数学必修三四综合测试卷(含答案)
图1乙甲7518736247954368534321高一数学试题一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
每题只有一个正确答案） 1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A ．45，75，15B ．45，45，45C ．30，90，15D ．45，60，303．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b -等于 ABCD ．44. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．62 B ．63 C ．64 D ．65 5．在ABC ∆中，有如下四个命题：①BC AC AB =-；②AB BC CA ++=0 ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是A ．① ②B ．① ③ ④C ．② ③D ．② ④6. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象沿x 轴方向左平移6π个单位，平移后的图象如右图所示.则平移后的图象所对应函数的解析式是A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-7．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”； ③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”， 其中属于互斥事件的有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 8．200所示，则时速在[60，70)的汽车大约有( ) A ．30辆 B ． 40辆C ． 60辆 D ．80辆9. 函数)cos[2()]y x x ππ-+是 A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数组距频率C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数 10.如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中 WHILE 后面的“条件”应为A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<911.下列各式中，值为12的是 A ．sin15cos15B ． 22cos sin 1212ππ- C ．6cos 2121π+ D ．2tan 22.51tan 22.5- 12.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为 A ．π B ．π C ．π D ．π二、填空题（每题4分，共16分）13．已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为 弧度, 扇形面积是 14. 已知x 与y 之间的一组数据为则y 与x 的回归直线方程a bx y +=必过定点_____15．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy = 16．已知tan2α＝2，则αtan 的值为_________；6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为____________三、解答题17.已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，(1) ka b + 与3a b - 垂直？(2) ka b + 与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？18.一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（Ⅰ）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.19.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60） ．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.20．已知,cos )a x m x =+ ，(cos ,cos )b x m x =-+ , 且b a x f∙=)((1) 求函数()f x 的解析式;(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.第19题图21．已知向量 a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），|b a-．（Ⅰ）求cos （α－β）的值；（Ⅱ）若０＜α＜2π，－2π＜β＜０，且sin β＝－513，求sin α的值．22．（本小题满分14分） 函数f (x)=|sin2x |+|cos2x |(Ⅰ)求f (127π-)的值；(Ⅱ)当x ∈[0，4π]时，求f (x)的取值范围；(Ⅲ)我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f (x)的性质（本小题只需直接写出结论）高一数学试题第二学期质量检测答案一、BDACC CBDCD DB 二、13.23，48 14.（1.5,4） 15.96 16.—34，76三、17.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥ (3)a b -，得()ka b + (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==（2）()//ka b + (3)a b - ，得14(3)10(22),3k k k --=+=-此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=-- ，所以方向相反。
【北师大版】高中数学必修三期末试卷带答案(3)
一、选择题1．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个､十､百位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字为奇数的概率为（）A．13B．49C．59D．232．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A，B两个贫困县各有15名村代表，最终A县有5人表现突出，B县有3人表现突出，现分别从A，B两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B县选取的人表现不突出的概率是（）A．13B．47C．23D．563．在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是（）A．49B．827C．29D．1274．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（）A．13B．14C．15D．165．执行下面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A ．3B ．4C ．5D ．66．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤8．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．10072015B ．10082017C ．10092019D ．101020219．若一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数为5，方差为2，则12323,23,23x x x ---，4523,23x x --的平均数和方差分别为（ ）A ．7，-1B ．7，1C ．7，2D ．7，810．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A ．24B ．48C ．56D ．6411．甲、乙两名同学在五次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x ，2x ，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）A ．12x x <，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，乙比甲成绩稳定C ．12x x <，甲比乙成绩稳定D ．12x x >，甲比乙成绩稳定12．从8名女生4名男生中,选出3名学生组成课外小组,如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为( ) A ．112种B ．100种C ．90种D ．80种二、填空题13．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为_____14．在区间[,]22ππ-上随机取一个实数x ，则事件“13sin cos 2x x -≤+≤”发生的概率是__________．15．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是________ .16．我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，问一开始输入的x =______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．17．已知流程图如图，则输出的i ＝________．18．已知下列程序INPUTtIFt≤3THENC=0.2ELSEC=0.2+0.1*(t-3)ENDIFPRINTCEND当输入t=5时，输出结果是____.19．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2018年高考的考生人数如下表所示：学校A高中B高中C高中D高中参考人数80012001000600现用分层抽样的方法在这4所普通高中抽取144人，则应在D高中中抽取的学生人数为_______．20．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．三、解答题21．某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示.（1）估计这次考试的平均分；（2）假设分数在[90，100]的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95，76，97，88，69，100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.22．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a，第二次出的点数为b，且已知关于x、y的方程组322 ax byx y+=⎧⎨+=⎩.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为0x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.23．编写一个程序，要求输入两个正数a 和b 的值，输出a b 和b a 的值，并画出程序框图. 24．如图,已知单位圆x 2+y 2=1与x 轴正半轴交于点P ,当圆上一动点Q 从P 出发沿逆时针方向旋转一周回到P 点后停止运动设OQ 扫过的扇形对应的圆心角为xrad,当0<x<2π时,设圆心O 到直线PQ 的距离为y,y 与x 的函数关系式y=f(x)是如图所示的程序框图中的①②两个关系式(Ⅰ)写出程序框图中①②处的函数关系式; (Ⅱ)若输出的y 值为2,求点Q 的坐标.25．经营费用指流通企业对在经营过程中发生除经营成本以外的所有费用，如管理费用、财务费用、法律费用等，这些费用没有直接用于生产产品或提供服务，但它是影响公司收益的重要因素．某创业公司从2014年开始创业到2019年每年的经营费用y （万元）、年份及其编号t ，有如下统计资料： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 t 1 2 3 4 5 6 y9.512.214.617.419.6m已知该公司从2014年到2019年年平均经营费用为16万元，且经营费用y 与年份编号t 呈线性相关关系．（1）求2019年该公司的经营费用；（2）y 关于t 的回归方程为 2.6y t a =+，求a ，并预测2020年所需要支出的经营费用； （3）该公司对2019年卖出的产品进行质量指标值检测，由检测结果得如图所示频率分布直方图：预计2020年生产产品质量指标值分布与上一年一致，将图表中频率作为总体的概率．当每件产品质量指标值不低于215时为优质品，指标值在185到215之间是合格品，指标值低于185时为次品．出售产品时，每件优质品可获利1.5万元，每件合格品可获利0.7万元，次品不仅全额退款，还要对客户进行赔付，所以每件次品亏损1.3万元．若2020年该公司的产量为500台，请你预测2020年该公司的总利润（总利润=销售利润-经营费用）．26．某市举办了一次“诗词大赛”，分预赛和复赛两个环节，已知共有20000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下的统计数据. 得分（百分制） [0，20) [20，40) [40，60) [60，80) [80，100] 人数1020302515地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由样本数据分析可知，该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中间值代替），且2361σ=.利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于72分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下： ①参加复赛的学生的初始分都设置为100分；②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n ，每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k 题时“花”掉的分数为()0.21,2,k k n =；③每答对一题得2分，答错得0分；④答完n 题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n 为多少时，他的复赛成绩的期望值最大？参考数据：若()2~,Z Nμσ，则() 6.827P Z μσμσ-<<+≈，()220.9545P Z μσμσ-<<+≈，()330.9973P Z μσμσ-<<+≈【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型的计算方法计算即可. 【详解】解：依题意得所拨数字可能为610，601，511，160，151，115，106，61，16，共9个，其中有5个是奇数，则所拨数字为奇数的概率为59，故选：C. 【点睛】本题考查概率的实际应用问题，考查古典概型的计算方法，同时考查了学生的阅读能力和文化素养，属于中档题.2．B解析：B 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.3．C解析：C 【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色，有6种结果，所以所求概率为62279=． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答根据几何体的结构特征，得出基本事件的总数和所求事件所包含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．B解析：B 【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15，利用时间的长度比即可求出所求. 【详解】解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台整点报时，∴事件总数包含的时间长度是60，∵满足他等待的时间不多于15分钟的事件包含的时间长度是15， 由几何概型公式得到151604P ==, 故选B ． 【点睛】本题主要考查了几何概型，本题先要判断该概率模型，对于几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：模拟执行程序, 可得4,6,0,0a b n s ====,执行循环体,2,4,6,6,1a b a s n =====,不满足条件16s >,执行循环体,2,6,4,10,2a b a s n =-====, 不满足条件16s >,执行循环体,2,4,6,16,3a b a s n =====, 不满足条件16s >,执行循环体,2,6,4,20,4a b a s n =-====,不满足条件16s >,退出循环, 输出n 的值为4,故选B. 考点：1、程序框图；2、循环结构.6．D解析：D 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D. 【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,i S 的值，当输出的63S =时，退出循环，对应的条件为5i ≤，从而得到结果. 【详解】当=11S i =，时，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当1123,2S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当2327,3S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当37215,4S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当415231,5S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当313263,6S i =+==，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为5i ≤， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，根据题意写出判断框中需要填入的条件，属于简单题目.8．C解析：C 【解析】首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯的值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】 由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯， 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭， 111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯ 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1110091220192019⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9．D 解析：D 【分析】 根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果.【详解】令23(1,2,,5)i i y x i =-=1234555x x x x x x ++++==, 1234523232323232310375x x x x x y x -+-+-+-+-∴==-=-=， （也可()(23)2()32537E y E x E x =-=-=⨯-=） ()()()2y 232428D D x D x =-==⨯=故选：D【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题.10．B解析：B根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解.【详解】由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=， 又前3个小组的频率之比为1:2:3， 所以第二组的频率为20.750.256⨯=， 所以学生总数120.2548n =÷=，故选B.【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.11．A解析：A【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，即可计算出两人平均分，再根据茎叶图的分布情况可知乙成绩稳定.【详解】由茎叶图知， 甲的平均数是110210410511413391.65x ++++==， 乙的平均数是2108115116122123116.85x ++++==， 所以12x x <，从茎叶图上可以看出乙的数据比甲的数据集中，乙比甲成绩稳定故选：A ．【点睛】本题考查茎叶图中两组数据的平均数和稳定程度，平均数要进行计算，稳定程度可通过计算方差或通过数据排布形状作出比较．12．A解析：A【解析】分析：根据分层抽样的总体个数和样本容量，做出女生和男生各应抽取的人数，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根据分步计数原理得到需要抽取的方法数．详解：∵8名女生，4名男生中选出3名学生组成课外小组，∴每个个体被抽到的概率是14， 根据分层抽样要求，应选出8×14=2名女生，4×14=1名男生， ∴有C 82•C 41=112．故答案为：A ．点睛：本题主要考查分层抽样和计数原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平.二、填空题13．【分析】基本事件总数n 两名男生相邻包含的基本事件个数m4由此能求出两名男生相邻的概率【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相基本事件总数n 两名男生相邻包含的基本事件个数m4则两名男生相邻的概率为p 解析：23【分析】基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4，由此能求出两名男生相邻的概率．【详解】两名男生和两名女生随机站成一排照相，基本事件总数n 336A ==，两名男生相邻包含的基本事件个数m 2222A A ==4则两名男生相邻的概率为p 23m n ==． 故答案为：23【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】用辅助角公式化简题目所给不等式解三角不等式求得点的取值范围利用几何概型的概率公式求得所求的概率【详解】由得故解得根据几何概型概率计算公式有概率为【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法考查三角 解析：512【分析】用辅助角公式化简题目所给不等式，解三角不等式求得x 点的取值范围，利用几何概型的概率公式求得所求的概率.【详解】由1cos x x -≤+≤π12sin 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭1πsin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，故πππ664x -≤+≤，解得ππ312x -≤≤，根据几何概型概率计算公式有概率为ππ5123ππ1222⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查三角函数辅助角公式，考查几何概型的计算，属于基础题.15．98【解析】设甲闹钟准时响为事件A 乙闹钟准时响为事件B 则两个闹钟没有一个准时响为事件事件A 与事件B 相互独立得两个闹钟至少有一个准时响与事件对立故两个闹钟至少有一个准时响的概率为解析：98【解析】设甲闹钟准时响为事件A ，乙闹钟准时响为事件B ，则两个闹钟没有一个准时响为事件，事件A 与事件B 相互独立，得，，．两个闹钟至少有一个准时响与事件对立，故两个闹钟至少有一个准时响的概率为．16．【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件输出令即可得结果【详解】第一次输入执行循环体执行循环体执行循环体输出的值为0解得：故答案为【点睛】本题主要考查程序框图的解析：78【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件输出87x -，令870x -=即可得结果.【详解】第一次输入x x =，1i =执行循环体，21x x =-，2i =，执行循环体，()221143x x x =--=-，3i =，执行循环体，()243187x x x =--=-，43i =>，输出87x -的值为0，解得：78x =， 故答案为78． 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.17．9【解析】根据流程图可得：否；否；否；否；是输出故答案为9 解析：9【解析】根据流程图可得：1,3S i ==，否，133S =⨯=，3i =；否339S =⨯=，5i =； 否9545S =⨯=，7i =；否457315S =⨯=，9i =；是输出9i =，故答案为9. 18．4【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算分段函数 的值将t=5代入即可得到答案【详解】由已知中程序语句可知该程序的功能是： 计算分段函数 的值 故答案为04【点睛】算法是新课标高考的一大解析：4【分析】由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算分段函数 0.2,30.20.1(3),3t C t t ≤⎧=⎨+->⎩的值，将t =5代入即可得到答案．【详解】由已知中程序语句可知该程序的功能是：计算分段函数 0.2,30.20.1(3),3t C t t ≤⎧=⎨+->⎩的值 50.20.1(53)0.4t C =∴=+-=， 故答案为0.4.【点睛】算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.19．24【分析】计算出高中人数占总人数的比例乘以得到在高中抽取的学生人数【详解】应在高中抽取的学生人数为【点睛】本小题主要考查分层抽样考查频率的计算属于基础题解析：24【分析】计算出D 高中人数占总人数的比例，乘以144得到在D 高中抽取的学生人数.【详解】应在D 高中抽取的学生人数为6001442480012001000600⨯=+++．【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查频率的计算，属于基础题.20．【解析】三、解答题21．（1）72；（2）15. 【分析】（1）利用频率分布直方图各组的中值估计平均分.（2）这是一个古典概型，先求得从95，76，97，88，69，100这6个数中任取2个数基本事件的总数，再根据在[90，100]的人数是600.053⨯=，求得从95，97，100这3个数中任取2个数基本事件数，然后代入公式求解.【详解】（1）平均分为：450.05+550.15+650.2+750.3+850.25+950.05=72⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（2）从95，76，97，88，69，100这6个数中任取2个数，共有2615C =种， 在[90，100]的人数是600.053⨯=，从95，97，100这3个数中任取2个数，共有233C =种，所以这2个数恰好是两个学生的成绩的概率是. 31155p ==. 【点睛】本题主要考查平均数的求法，古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．（1）1112；（2）1336. 【分析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯； （2）006232,2022232b x ax by a b a b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--， 因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题. 23．见解析；【解析】试题分析: 先利用INPUT 语句输入两个正数a 和b 的值，再分别赋值a b 和b a 的值，最后输出a b 和b a 的值试题程序和程序框图分别如下：24．(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据题意得到函数解析式为f(x)=(]()x ,0,π,2x ,,22cos x cos x ππ⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩，根据这一条件可得到结果；（2）当0<x<2π时x=2π3，π<x<2π时, x=4π3，分别求得点的坐标. (I)当0<x≤π时,y=cos 2x ;, 当π<x<2π时,y=cos(π-2x )=-cos 2x 综上可知,函数解析式为f(x)=(]()x ,0,π,2x ,,22cos x cos x ππ⎧∈⎪⎪⎨⎪-∈⎪⎩. 所以框图中①②处应填充的式子分别为y=cos2x ,y=-cos 2x , (Ⅱ)若输出的y 值为,则当0<x<2π时由cos 2x =12,得x=2π3,此时点Q 的坐标为(-12,2;当π<x<2π时,由-cos=2x =12,得x=4π3,此时点Q 的坐标为(-12 25．（1）22.7万元；（2）6.9；25.1万元；（3）254.9万元.【分析】（1）根据均值定义列式计算； （2）求出t ，代入方程可得a ，令7t =代入可得估计值；（3）由频率分布直方图是三种产品的概率，得三种产品的件数，根据各产品赢利可计算出总赢利，注意减去（2）中估计的经营费用．【详解】（1）9.512.214.617.419.6166m y +++++==． 解得22.7m =，即2019年该公司的经营费用为22.7万元．（2） 3.5t =，16y =，所以 2.6 6.9a y t =-=，取7t =，代入得25.1y =，预测2020年所需要支出的经营费用为25.1万元． （3）由图可得生产优质品的概率是0.1，生产合格品的概率是0.79，生产次品的概率是0.11，则预测该公司2020年的总利润为1.50.15000.70.79500 1.30.1150025.1254.9⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-=（万元）．【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查频率分布直方图及其期望，考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．26．（1）2552；（2）3173；（3）当他的答题数量7n =时，他的复赛成绩的期望值最大. 【分析】（1）由表可知，样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，再结合排列组合与古典概型即可得解；（2）先求出样本中的100名学生预赛成绩的平均值，即为μ，从而推出~(53Z N ，219)，再根据正态分布的性质即可得解；（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~B ξ(,0.75)n ，记甲答完n 题所得的分数为随机变量X ，则2X ξ=，为了获取答n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为20.1()n n +，设甲答完n 题后的复赛成绩的期望值为()f n ，则2()1000.1()()f n n n E X =-++，最后利用配方法即可得解．【详解】解：（1）由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40分，其中成绩优良的人数为15人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件A ，则()1125152402552C C P A C == 答：“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”的概率为2552（2）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：100.1300.2500.3700.25900.1533x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则53μ=，由2361σ=得19σ=，所以()()()()17210.158652P Z P Z P Z μσμσμσ≥=≥+=--<≤+≈， 所以，估计全市参加参赛的全体学生中，成绩不低于72分的人数为20000×0.15865=3173，即全市参赛学生中预赛成绩不低于72分的人数为3173.（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则()~,0.75B n ξ，且()0.75E n ξ=，记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=，∴()()2 1.5E X E n ξ==， 依题意为了获取答n 道题的资格，甲需要“花”掉的分数为：()()20.2123...0.1n n n ⨯++++=+，设甲答完n 题后的复赛成绩的期望值为()f n ，则()()()221000.1 1.50.17104.9f n n n n n =-++=--+， 由于*n N ∈，所以当7n =时，()f n 取最大值104.9.即当他的答题数量7n =时，他的复赛成绩的期望值最大.【点睛】本题考查古典概型、正态分布的性质、二项分布的性质及数学期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．。
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北师大版高中数学必修三综合试卷（附答案）
一、单选题
1．如图放置的边长为1的正方形沿轴顺时针滚动一周，设顶点的运动轨迹与轴所围区域为，若在平面区域内任意取一点，则所取的点恰好落在区域
内部的概率为
A．B．C．D．
2．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（）
A．10B．9C．11D．8
3．19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够象圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形，这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示，现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
4．若执行如图所示的程序框图，其中表示区间上任意一个实
数，则输出数对的概率为（）
A．B．C．D．
5．设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是（）
A．144B．3C．0D．12
6．如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌（事件A）的概率为，取到方片牌（事件B）的概率是，则取到红色牌（事件C）的概率和取到黑色牌（事件D）的概
率分别是（）
A．B．C．D．
7．某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现从该学校中抽取一个容量为100的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率
为，则该学校学生的总数为（）
A．200B．400C．500D．1000
8．执行如图所示的程序框图,当输入的为6时,输出的的值为
A．B．C．D．
9．已知下列说法：
①对于线性回归方程，变量增加一个单位时，平均增加5个单位；
②甲、乙两个模型的分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；
③对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大；
④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
10．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件
进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．下列说法正确的是：
①在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差；
②回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
③在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位
④若，，则；
⑤已知正方体，为底面内一动点，到平面的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分．
正确的序号是：______．
12．为了解学生答卷情况，某市教育部门在高三某次测试后抽取了n名同学的第Ⅱ卷进行调查，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图)，已知从左到右第一小组的频数是50，则n＝______.。