认识二次函数
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像
认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像二次函数和抛物线是数学中重要的概念，它们与许多实际问题有着密切的关联。
了解二次函数和抛物线的特征和像，对于我们解决实际问题以及应用数学知识具有重要的意义。
本文将介绍二次函数和抛物线的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。
1. 二次函数的基本概念我们首先来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指形如f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
b和c则分别决定了二次函数的对称轴和纵轴截距。
2. 抛物线的特征和像抛物线是一种特殊的二次函数图像，它具有许多独特的特征。
首先，抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是二次函数的一个重要特征，可以通过b/(-2a)来计算得出。
其次，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定，开口向上的抛物线具有最小值，开口向下的抛物线具有最大值。
最后，抛物线还包括了顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过对称轴计算得出。
3. 二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在许多实际问题中都有广泛的应用。
比如，在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润等与产量和价格相关的变量；在工程学中，抛物线可以用来设计各种曲线形状的结构等等。
4. 二次函数和抛物线的图像二次函数和抛物线的图像通常可以通过绘制函数的图像来展示。
在绘制图像时，我们可以确定对称轴、顶点以及开口方向，然后通过描点法或利用平移和拉伸等变换来绘制出完整的抛物线图像。
通过观察图像，我们可以获得更直观的信息，更好地理解二次函数和抛物线的特征。
总结：本文介绍了二次函数和抛物线的基本概念，包括二次函数的定义及其系数的意义，抛物线的对称轴、开口方向和顶点等特征。
我们还探讨了二次函数和抛物线在实际中的应用，并提到了通过绘制图像可以更好地理解这些概念和特征。
二次函数(基础思想)讲义
二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。
2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。
⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。
基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。
5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。
7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。
二次函数的概念与性质
二次函数的概念与性质二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有广泛的应用。
本文将对二次函数的概念和性质进行详细的介绍，让我们一同探索二次函数的奥秘。
一、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，b决定了二次函数的对称轴位置，c则表示二次函数的纵坐标偏移量。
二次函数的自变量x可以取任意实数。
二次函数的图像通常为一条平滑的曲线，这条曲线可以是开口朝上的“U”型曲线，也可以是开口朝下的“∩”型曲线。
根据a的正负性质，我们可以确定二次函数的开口方向。
二、二次函数的性质1. 零点及交点：二次函数的零点就是方程f(x) = 0的解，等于函数曲线与x轴的交点。
要确定二次函数的零点，可以通过解关于x的二次方程来求得。
若二次函数有零点，那么它的图像与x轴必有交点；反之，若无零点，则图像与x轴不相交。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是其图像关于某一直线的对称轴。
对称轴的横坐标为x = -b/2a，纵坐标则由该点代入函数得到。
3. 最值点：二次函数的最值点是函数图像的顶点或底点，也就是函数曲线的极值点。
对于开口朝上的二次函数，顶点即为最小值点；对于开口朝下的二次函数，底点即为最大值点。
4. 单调性：二次函数的单调性与a的正负有关。
当a > 0时，二次函数呈现开口朝上的“U”型，并且在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，二次函数呈现开口朝下的“∩”型，并且在对称轴两侧是递减的。
5. 范围：二次函数的范围即为函数图像在y轴上的取值范围。
对于开口朝上的二次函数，范围为y ≥ 最小值；对于开口朝下的二次函数，范围为y ≤ 最大值。
6. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次方程ax² + bx + c = 0的解的性质。
若Δ > 0，方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，方程有两个相等的实根；若Δ < 0，方程无实根。
小学数学认识简单的二次函数
小学数学认识简单的二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，它是一种特殊的代数函数。
在小学数学中，二次函数的认识相对简单，我们可以从以下几个方面来介绍。
一、什么是二次函数二次函数是指一个函数的函数表达式可以写成 $y=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，并且 $a\neq0$。
在这个函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。
其中的 $a$ 决定了二次函数的开口方向和开口大小，$b$ 决定了二次函数的对称轴，$c$ 决定了二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特征对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们可以通过绘制函数的图像来了解它的特点。
当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下。
决定开口方向的 $a$ 的绝对值越大，开口越大。
对于二次函数的对称轴，我们可以通过计算 $x=-\frac{b}{2a}$ 来得到。
对称轴是二次函数图像上的一条线，用来将图像分成两个对称的部分。
另外，二次函数的顶点是图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。
顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f(-\frac{b}{2a})$。
三、二次函数在几何中的应用1. 面积计算：当一个平面图形的边缘为二次函数的图像时，我们可以通过计算该二次函数在两个给定的横坐标之间的定积分来求得图形的面积。
2. 抛物线：二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。
抛物线在物理学、建筑学等领域中有着广泛的应用，如喷泉的水流轨迹、拱形门的设计等。
四、小学数学中的二次函数教学在小学数学教学中，二次函数的概念并不是直接教授给学生，而是通过计算函数对应的 $x$ 和 $y$ 的值，探究二次函数的特点。
教师可以利用图形绘制软件或手工绘图，让学生观察二次函数图像与各个参数的关系，进而培养学生的观察力和分析能力。
针对小学生的认知能力和数学水平，在教学过程中应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。
初中二次函数知识点
初中二次函数知识点二次函数是数学中非常重要的一种函数形式，也是初中数学学习的一个重要知识点。
本文将为大家详细介绍二次函数的相关概念、性质和应用。
一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y=ax²+bx+c （其中a、b、c为常数，且a≠0）的函数。
其中x为自变量，y为因变量。
二次函数的一般形式表达了一个二次函数的特征：由一个二次幂项、一个一次项和一个常数项构成。
其中，二次幂项的系数a决定了函数的开口方向、形状和平移等属性；一次项的系数b决定了函数的位置和方向性；常数项c则决定了函数的纵向平移。
二、二次函数的图像特征1. 开口方向当二次函数的二次幂项系数a大于0时，函数的图像开口向上，形状类似于一个“U”字形，称为正向的。
当二次幂项系数a小于0时，函数的图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字形，称为反向的。
2. 顶点二次函数的顶点是图像的最低或最高点，其横坐标为-b/2b。
顶点的纵坐标则根据二次函数的形状而定，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。
3. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，经过顶点。
对称轴的方程为x=-b/2a。
4. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足函数值为0的x值。
求解零点可以通过关于x的二次方程的解得到。
5. 范围和值域二次函数的范围取决于开口方向，当a>0时，范围是y≥最小值；当a<0时，范围是y≤最大值。
值域则为最小值到正无穷或最大值到负无穷的闭区间。
三、二次函数的常见变形1. 常数项的变形在二次函数的一般形式中，常数项c可以使函数图像上下平移，比如y=ax²+bx+c+3，就是原函数图像向上平移3个单位。
2. 一次项的变形一次项的系数b决定了函数图像的斜率和位置。
如果b>0，则图像向右倾斜；如果b<0，则图像向左倾斜。
3. 二次幂项的变形二次幂项的系数a决定了函数图像的开口方向和形状。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系(教案)
- a决表图象与y轴的交点。
（2）二次函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向。
-顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，是图象的最高点或最低点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的图象与系数的关系，包括开口方向、对称轴、顶点坐标和实数根等基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-对称轴x=-b/2a，是图象的对称中心。
-开口方向由a的正负决定。
（3）二次函数实数根的判定：通过判别式Δ=b^2-4ac来判断实数根的个数。
- Δ>0，有两个实数根；
- Δ=0，有一个实数根；
- Δ<0，无实数根。
2.教学难点
（1）理解系数a、b、c对二次函数图象的综合影响。
-难点举例：当a、b、c同时变化时，如何判断图象的开口方向、对称轴和顶点坐标的变化。
第二章二次函数-二次函数的图象与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章“二次函数”中的“二次函数的图象与系数的关系”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
2.二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标与系数的关系：
- a>0时，图象开口向上；a<0时，图象开口向下。
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
用“三个特殊点”来认识二次函数
用“三个特殊点”来认识二次函数函数揭示变量之间的关系，函数图象揭示函数各自的特征。
函数是高中数学的主线，而二次函数是高中数学的传统经典内容，它具有丰富的内涵和外延，通过对它的研究可以把数和形有机地融合起来，使数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数和方程的思想方法得到充分的发挥，它沟通了函数、方程、不等式、曲线等知识之间的内在联系，使数学知识的综合运用得到很好的体现。
那么如何有效地来学习二次函数知识呢？我们知道函数的性质与它的图象密不可分，那么二次函数的图象上有哪些特殊点呢？一、二次函数图象上最关键的点——顶点在二次函数的教学和学习时，通常是从最简单的二次函数y=ax2开始去研究其图象的特征和性质，有函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性和最值等等。
关键是从图象入手来认识函数的基本性质，我们可以看到它的性质其实就是围绕着顶点的横坐标和纵坐标来展开的。
而接下来的扩展型y=ax2+k和y=a（x-h）2的图象的特征和性质，通过具体作图感受图象的特征及形状后，发现图象还是抛物线，只是顶点和对称轴发生了变化，顶点的变化才是关键，函数y=ax2+k的图象是由y=ax2向上或者向下平移k个单位而得，顶点由（0,0）移动到了（0，k），所以最值由0变为k，其余则不变；函数y=a（x-h）2的图象是由y=ax2向左或者向右平移h个单位而得，顶点由（0，0）移动到了（h，0），从而对称轴变为直线x=h。
我们始终抓住顶点的变化和对称轴位置的所在，紧密联系其图象，可以很明显地看到这两个扩展型函数的性质和特征还是围绕顶点的两个坐标展开的。
对于顶点式就更显而易见了，顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），除了开口方向其余特征和性质都与h或k有关。
而一般式y=ax2+bx+c也可以通过配方法或者公式法得到它的顶点坐标为（- ，）。
这样一系列的学习调理清晰、层层递进、主题突出，紧紧抓住顶点，对二次函数的学习有很大的帮助。
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)
《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。
《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系
初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系二次函数是数学中一类重要且常见的函数类型。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c为常数且a不等于0。
本文将初步介绍二次函数的性质及与其他函数的关系。
一、二次函数的基本形式二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，当a大于0时，函数开口向上；当a小于0时，函数开口向下。
b决定了二次函数在x轴方向上的平移，正值表示向左平移，负值表示向右平移。
c表示二次函数的纵坐标偏移。
二、二次函数的图像特点1. 开口方向与开口大小：根据二次函数的a值可以确定开口的方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
a的绝对值越大，开口越窄；a的绝对值越小，开口越宽。
2. 顶点坐标：对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
顶点坐标是二次函数的最高点或最低点，也是对称轴与x轴的交点。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线，其方程为x = -b/2a。
对称轴将二次函数分为两个对称的部分。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
三、二次函数与其他函数的关系1. 线性函数与二次函数：线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
与二次函数相比，线性函数的图像是一条直线，没有弯曲的部分。
二次函数可以看作是线性函数的一种特殊情况，当a=0时，二次函数变为线性函数。
2. 指数函数与二次函数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且不等于0。
与二次函数相比，指数函数的图像呈现出不同的特征。
指数函数是逐渐增长或逐渐减小的，与二次函数的弯曲程度不同。
3. 对数函数与二次函数：对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数。
小学五年级数学下册认识简单的二次函数
小学五年级数学下册认识简单的二次函数认识简单的二次函数二次函数是数学中重要的一类函数，也是小学五年级数学下册的学习内容之一。
通过学习二次函数，可以帮助学生进一步认识数学的规律和特点，培养数学思维和解决问题的能力。
本文将介绍小学五年级数学下册认识简单的二次函数的相关知识。
一、什么是二次函数二次函数是指在坐标平面上由二次方程所表示的函数关系。
通常可以写成y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在坐标平面上呈现出一种特殊的曲线形态，称为抛物线。
二、二次函数的图像特点1. 抛物线的开口方向二次函数的抛物线可以有两种开口方向：向上开口和向下开口。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
这是因为二次函数的二次方项ax²的系数a决定了抛物线的开口方向。
2. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是垂直于x轴的一条直线，将抛物线分为左右对称的两部分。
对称轴的方程一般可以用x=h来表示，其中h为实数。
对称轴的特点是，抛物线上任意一点在对称轴上的对称点也在抛物线上。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线上最高或最低的点，也就是离对称轴最近的点。
对于向上开口的抛物线，顶点位于抛物线的上方；对于向下开口的抛物线，顶点位于抛物线的下方。
顶点在坐标平面上的坐标形式一般可以表示为顶点坐标为(h,k)，其中h和k都是实数。
三、二次函数的应用1. 面积问题二次函数的应用之一是求解面积问题。
比如，给定一个矩形的边长为x和y，且矩形的面积为A。
如果已知x和y之间的关系，可以建立一个二次函数表达式，从而通过求解方程找到使得面积最大或最小的边长。
2. 运动问题二次函数的应用之二是求解运动问题。
比如，一个物体在空中以一定初速度向上抛掷，根据物体的初速度和时间的关系，可以得到物体的高度-时间函数的二次函数表达式。
通过对这个二次函数的研究，可以计算物体的最高点、飞行距离等运动信息。
认识二次函数及其图像性质
认识二次函数及其图像性质二次函数是数学中的一类重要函数，它的表达式可以写成f(x) =ax^2 + bx + c的形式，其中a、b、c都是常数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质及其图像表现。
一、二次函数的图像形状二次函数的图像是一个抛物线，其形状取决于二次项的系数a的正负。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，形状为向上的U型。
这种情况下，抛物线的最低点称为顶点，是函数的极值点。
2. 当a < 0时，抛物线开口向下，形状为向下的U型。
这种情况下，抛物线的最高点称为顶点。
二、二次函数的顶点及对称轴二次函数的顶点可以通过以下公式得到：x = -b / (2a)，将这个值代入函数中即可得到对应的y值。
顶点坐标为(x, y)。
对称轴垂直于x轴，通过顶点。
这意味着对称轴的方程为x = -b /(2a)。
三、二次函数的零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
零点可以通过以下公式得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
这个公式称为二次函数的根公式。
根公式中的判别式（Δ）可以用来判断二次函数的零点情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根，即与x轴有两个交点。
2. 当Δ = 0时，二次函数有一个实根，即与x轴有一个交点。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，即不与x轴有交点。
此时，函数的取值范围都在x轴上方或下方。
四、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性可以通过a的正负来判断。
1. 当a > 0时，抛物线开口向上，函数是凹的。
2. 当a < 0时，抛物线开口向下，函数是凸的。
五、二次函数的图像平移二次函数的图像可以通过平移变换得到新的函数。
平移变换可以沿着x轴或y轴方向进行。
1. 沿着x轴平移：将f(x) = ax^2 + bx + c中的x替换为x - h，其中h 为平移的距离。
平移后的函数为f(x - h) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。
小学数学重点认识二次函数和二次方程的概念
小学数学重点认识二次函数和二次方程的概念敬爱的老师：今年我们小学数学的学习内容非常丰富，其中涉及到了二次函数和二次方程的概念。
二次函数和二次方程在数学中的应用非常广泛，我们需要认真掌握它们的概念和基本性质。
下面是我对二次函数和二次方程的认识的总结。
一、二次函数的概念二次函数是指以自变量的二次幂最高次项的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c的形式，其中a、b、c是实数且a≠0。
在二次函数中，x是自变量，y是对应的函数值。
二次函数的图像通常为一个抛物线，并且抛物线的开口方向可以通过a的正负性判断。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是x轴的一个垂直线，对称轴的方程为x=-b/2a。
抛物线在对称轴上的顶点，具有最小或最大值，可以通过对称轴的方程计算得到。
另外，二次函数还可以应用于解决实际问题，例如通过二次函数模型来研究抛物线的运动轨迹等。
二、二次方程的概念二次方程是指以自变量的二次幂最高次项的方程，通常可以表示为ax²+bx+c=0的形式，其中a、b、c是实数且a≠0。
在二次方程中，变量是x，我们需要找到使方程成立的解，这些解被称为方程的根。
解二次方程最常用的方法是配方法、用公式和图像法。
在配方法中，我们可以通过变形将二次方程化简成平方差或完全平方，以便于求解。
二次方程的解可以分为实数解和复数解两种情况。
如果二次方程的判别式b²-4ac大于0，则方程有两个不相等的实数解；如果判别式等于0，则方程有两个相等的实数解；如果判别式小于0，则方程没有实数解，但可以有两个复数解。
三、二次函数和二次方程的联系二次函数和二次方程之间有着密切的联系。
事实上，二次函数的图像和二次方程的解之间存在着一一对应的关系。
对于二次函数y=ax²+bx+c来说，函数的图像与x轴的交点就是方程的解，也就是说，对于函数上的每一个点(x, y)，都有对应的方程的解(x, 0)。
认识二次函数
认识二次函数二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学建模、物理学、经济学等领域都有广泛应用。
本文将从定义、图像特征、性质和应用等方面逐一进行介绍。
一、定义二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。
二次函数的自变量为x，因变量为y，其图像在平面直角坐标系中呈现一条开口向上或向下的曲线。
二、图像特征1. 平移二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。
平移的方式有水平方向平移和垂直方向平移。
水平方向平移是改变x的值，垂直方向平移是改变y的值。
2. 对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，这条直线称为对称轴。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 顶点二次函数的图像的最高点（对于开口向下的函数）或最低点（对于开口向上的函数）称为顶点。
顶点的横坐标与对称轴的横坐标相同。
4. 开口方向二次函数的开口方向由二次系数a的正负确定。
当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。
开口的大小也由a的绝对值确定。
三、性质1. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。
可以通过求解一元二次方程来确定二次函数的零点。
2. 增减性二次函数的增减性取决于二次系数a的正负。
当a大于0时，二次函数是递增的；当a小于0时，二次函数是递减的。
3. 极值二次函数在顶点处取得极值。
对于开口向上的函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的函数，极大值为顶点的纵坐标。
四、应用1. 物理学二次函数广泛应用于物理学中的运动学问题。
例如，自由落体运动的高度-时间关系可以用二次函数来表示。
2. 经济学在经济学中，二次函数可以用来描述成本、利润、供求关系等问题。
例如，成本函数可以用二次函数来模拟。
3. 生活中的应用二次函数在我们的日常生活中也有很多实际应用，比如抛物线的形状可以用二次函数来刻画。
结论通过本文的介绍，我相信大家对二次函数有了更深入的了解。
二次函数在数学和实际应用中都具有重要的地位，掌握二次函数的定义、图像特征、性质和应用将有助于我们解决实际问题。
二次函数中考考点
二次函数的图像和性质1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。
限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。
2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。
（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。
注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。
离开它用一般形式也可以。
（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx。
（4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。
注意：①当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。
这个交点是抛物线的什么点？②是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？③利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。
实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。
▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。
这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。
（1）形状----开口大小。
由决定，越大，开口越。
（2）开口方向：由决定。
当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。
例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。
二次函数知识点总结与重难点精析
二次函数知识点总结与重难点精析一、引言本文旨在总结九年级数学中的二次函数知识点，重点探讨二次函数的基本概念、图象与性质，以及相关应用。
希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高数学学科的成绩和兴趣。
二、二次函数的基本概念1.二次函数定义：一般地，形如y = ax²+ bx + c(a、b、c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中，x为自变量，y为因变量。
2.二次函数图象：二次函数的图象是一条抛物线，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b²)/4a)，对称轴为x=-b/2a。
三、y=ax²的图象与性质1.定义域：对于y=ax²，其定义域为全体实数。
2.值域：当a>0时，值域为[0. +∞);当a<0时，值域为(0. +∞)。
3.奇偶性：当a=0时，既是奇函数又是偶函数;当a≠0时，是偶函数。
4.对称性：二次函数y=ax²的图象关于y轴对称。
5.增减性：当a>0时，在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0.+∞)上单调递增;当a<0时，在区间(-∞，0)上单调递增，在区间(0.+∞)上单调递减。
6.最值：当a>0时，有最小值0;当a<0时，有最大值0.四、重难点分析1.重点掌握y=ax²的图象与性质。
包括抛物线的形状、对称轴、顶点坐标、增减性、最值等。
2.理解并掌握二次函数的定义域、值域和奇偶性等基本性质。
3.能够根据二次函数的图象和性质进行分类讨论，准确地确定函数的单调性和最值。
4.能够运用二次函数的知识解决实际问题，如利用二次函数的最值求最优化问题等。
五、知识点应用1.求二次函数的最大(小)值：要结合函数的图象和性质，首先确定函数的对称轴和开口方向，然后根据函数的单调性求出最大(小)值。
2.求二次函数的零点：通过观察函数的图象和性质，找到函数与x轴的交点坐标，即为函数的零点。
二次函数
二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
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认识二次函数
以下是查字典数学网为您推荐的认识二次函数，希望本篇文章对您学习有所帮助。
认识二次函数
教学
目标知识与技能1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义;2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质;[
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题;
过程与方法通过画二次函数的图象，提高动手能力;
经历画图、观察、分析、总结、归纳的过程，总结出二次函数的性质.
情感态度价值观体会数形结合的思想方法;
重点二次函数的图象和性质;
难点函数性质的应用.
教学流程安排
活动说明活动目的
活动1 回顾一次函数
活动2二次函数概念学习
活动3解析
活动4观察
活动5布置作业为二次函数的学习做准备
学二次函数的有关概念
巩固二次函数
小结复习
加强练习
课前准备
教具学具补充材料
电脑、投影仪课件资源、投影仪
教学过程设计
问题与情景师生行为设计意图
活动1：
1.我们以前学过函数，函数是用来描述一个量与另一个量之间的对应关系的，大家回忆一下，我们到现在都学过哪些函数?
2.请描述一下你对一次函数、反比例函数是如何理解的.
3.在现实生活中，我们除了接触到一次函数、反函数，我们还会遇到另外一种函数二次函数，现在我们就来认识二次函数.
活动2：
我们看引言中正方体的表面积的问题.
正方体的六个面是全等的正方形(图26.11)，设正方体的棱长为x，表面积为y，显然对于x的每一个值，y都有一个对
应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为
y=6x2①
我们再来看几个问题.
问题1 多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎么样表示?
小组讨论，引导学生找出其中的量与量之间的关系，列出函数式.
活动3：解析
问题1 由图26.12可以想出，如果多边形有n条边，那么它有________个顶点.从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可以作_________条对角线.
因为像线段MN与NM那样，连接相同两顶点的对角线是同一条对角线，所以多边形的对角线总数
即
②式表示了多边形的对角线数d与边数n之间的关系，对于n的每一个值，d都有一个对应值，即d是n的函数.
问题2 这种产品的原产量是20件，一年后的产量是
_________件，再经过一年后的产量是_________件，即两年后的产量为
y=20(1+x)2,
即
y=20x2+40x+20.③
③ 式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数.
活动4：观察
函数①②③有什么共同点?与我们已学过的正比例函数，反比例函数和一次函数有什么不同?
在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的.一般地，形如
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)
的函数，叫做二次函数(quadratic function).其中，x是自变量，a，b，c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
现在我们学习过的函数有：一次函数y=ax+b(a0),其中包括正比例函数y=kx(k0),反比例函数和二次函数
y=ax2+bx+c(a0).
可以发现，这些函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.
活动5：练习
1.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r
之间的关系式.
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛场次数m与球队数n之间的关系式.
活动6：小结
学生讨论，总结出本节所学的知识.师引导设问
学生回答
师引导设问
学生活动：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k0)的函数是一次函数，例如：y=2x+1，y=x等都是一次函数.形如y= (k0)的函数就是反函数，例如：y= .
引导设问
学生解答，教师点评
学生解答教师点评
学生解答教师巡视指导
学生解答教师点评
学生回答教师点评
学生解答教师点评
并给予鼓励
生回答问题，教师点评.
学生讨论回忆到现在都学过的函数
回忆一次函数、反比例函数的概念
引出二次函数
从实际情境中感受二次函数
认识二次函数
加深对二次函数的认识
学二次函数的概念
加深一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的认识
对二次函数的概念进行巩固
总结本节知
查字典数学网。