三角函数基本概念和表示

第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求：1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。

：知识点：1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

2.角的分类为了区别起见，我们规定:|按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。

3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

（1）第一象限角的集合：|22,2k k k Zπαπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭（2）第二象限的集合：|22,2k k k Zπαπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭。

（3）第三象限角的集合：3|22,2k k k Zπαππαπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭。

（4）第四象限角的集合：3|222,2k k k Z παπαππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ 4.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。

它不属于任何象限,也称为非象限角。

<5.终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。

记为：{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈或{}|2,S k k Z ββαπ==+∈。

它们彼此相差2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

6.区间角区间角是指介于两个角之间的所有角，如5|,6666ππππααα⎧⎫⎡⎤=≤≤=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦。

7，角度制与弧度制角度制：规定周角的1360为1度的角，记作01，它不会因圆的大小改变而改变，与r 无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。

|角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

8.角的度量（1）角的度量制有：角度制，弧度制（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=。

3602π=，180rad π=，10.01745()180rad rad π=≈，1801()57.30rad π=≈（30 30>4560 90 120 135 150 180 270 360{9.弧度数计算公式在半径为r 的圆中，弧长l 所对的圆心角的弧度数为||α= lr 。

10.11.三角函数定义/在直角坐标系中，设α是一个任意角，在α的终边上任取一点(,)P x y ,它与原点的距离r ，则||0r OP ==>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为x ，线段MP 的长度为y .把：比值y r 叫做正弦，即sin MP y OP r α==； 比值x r 叫做余弦，即cos OM xOP rα==；比值y x 叫做正切，即tan MP yOMxα==。

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则：（1）y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。

!12．三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的 yxo+-+-sin α口决：一全正，二正三切四余:13．三角函数线以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。

设单位圆与角α的终边的交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，过单位圆与x 轴的非负半轴交点A 作单位圆的切线与角α的终边（或延长线）交于点T 。

根据三角函数的定义：sin MP y α==，cos OM x α==，tan AT α=。

我们把有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

|三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。

利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

补充： 特殊角的三角函数值：α6π 4π 3π 2π π（23πsin α0 12 22 32 1-1cos α、132 22120 -1 0αtan33】13不存在 0 不存在++--y xo cos α++--yxotan α经典例题例1 写出终边在 x 轴上的角的集合 解： 终边在 x 轴上的角的集合是{}{}00|3600360180,|180,oo o k k k Z k k Z ααααα=+=+∈==∈或例2 已知α是第三象限角，则3α是第几象限角 答案：第一，第三，第四象限 ：例3.（1）若sin cos 0θθ⋅>则θ在第 象限。

（2）若α是第二象限角，则sin 2,cos2,sin ,cos ,tan222ααααα中能确定为正值的有 个。

答案:(1)二、四象限（2）2α为第三第四象限，2α为第一，第三象限，所以为1个例4 已知角α的终边上一点P （-4m,3m)，且m<0，求α的四个三角函数值答案：5r OP m===-33sin 55m m α∴==-- 44cos 55m m α-==- 33tan 44m m α∴==-- 44cot 33m m α-==-、例5 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径为R ，若60,10R cm α==，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积 答案：603o πα==所以()101033l R cm παπ===面积:()2221150102233s R cm παπ===基础练习题: 1,若角7,3απ=-则角α是第____象限角（）A 1B 2C 3D 42，30oα=是1sin 2α=的（)A 充分不必要B 必要不充分 }C 充分必要D 既不充分也不必要3，已知角α的终边经过点P(-1，2)，则cos sin αα+= ()A 5 B5-C 5D 5-第二节 三角函数的基本公式复习要求：1，理解同角三角函数的关系2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值 3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式 >4，理解二倍角的三角函数知识点:一、任意角的三角函数在角α的终边上任取一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r=αsec 余割：y r=αcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

、二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。

商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。

平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。

三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

（口诀：函数名改变，符号看象限）()()()sin 2+=sin ,2+=con ,tan 2+=tan k con k k πααπααπαα—()()()sin =-sin ,=con ,tan =-tan con αααααα---()()()sin =-sin ,=-con ,tan =tan con πααπααπαα+++()sin =con ,=-sin ,tan =-cot 22con ππααααπαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 333sin =-con ,=sin ,tan =-cot 222con πππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ [βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=-五、二倍角公式 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-22cos 1cos 2αα+=，22sin 1sin 2αα+=，ααααα2cos 12sin 2sin 2cos 1tan +=-=。

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）。

ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

七、和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ …⑴2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=- …⑵2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=- …⑷了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= -两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。