2020年中考数学试题分类汇编：四边形(含答案解析)

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2023年山东省中考数学模拟题知识点分类汇编：四边形(附答案解析)

等于（）
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A．75°
B．72°
C．60°
D．45°
5．（2022•槐荫区二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，
点 A 在 y 轴上运动，点 B 在 x 轴上运动，点 E 为对角线的交点，在运动过程中点 E 到 y
轴的最大距离是（）
A．
B．1
A．
B．
C．3
D．
3．（2022•烟台模拟）如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，过 D 作 DE⊥ AM 于点 E，过 B 作 BF⊥AM 于点 F，连接 BE．若 AF＝1，四边形 ABED 的面积为 10，则 BF 的长为（）
A．10
B．
C．4
D．3
4．（2022•沂水县二模）如图，在正六边形 ABCDEF 内作正方形 BCGH，连接 AH，则∠FAH
角线 BD 相交于点 N，F 是线段 CE 的中点，则下列结论中正确的有（）个．
①OF＝；②ON＝；③S△CON＝；④sin∠ACE＝．
A．1
B．2
C．3
D．4
19．（2020•聊城一模）如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线
AC 于点 F，垂足为 E．连接 DF，则∠DFE 等于（）
A．2
B．3
C．4
D．5
17．（2020•乳山市模拟）如图，▱ ABCD 的周长为 36，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E
是 CD 的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为（）
A．15
B．18
C．21
D．24
18．（2020•市北区二模）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，CE 平分∠ACB，与对

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《四边形》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 平行四边形的判定与计算【命题规律】1.考查内容：①平行四边形的性质及其相关计算；②平行四边形的判定.2.考查形式：①根据平行四边形的性质考查结论判断；②利用平行四边形的性质求角度、线段或面积；③添加条件使四边形为平行四边形.3.考查题型：性质在选择和填空题中考查居多，判定题近年来多在解答题中考查，有时会在二次函数压轴题中探究平行四边形的存在问题．【命题预测】平行四边形是四边形中主要的图形之一，性质与判定常常考查，是近年命题的重点． 1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE1. D第1题图第2题图2. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴CB ＝MC ＝2，∴AD ＝BC ＝2，∵▱ABCD 的周长是14，∴AB ＝CD ＝5，∴DM ＝DC －MC ＝3.3. 如图所示，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形． 3. AD ∥BC (答案不唯一)第3题图第4题图第5题图 4. 如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．4. 1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.5. 如图所示，在▱ABCD 中，∠C ＝40°，过点D 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交CB 的延长线于点F ，则∠BEF 的度数为__________． 5. 50°6. 如图，将▱ABCD 的AD 边延长至点E ，使DE ＝12AD ，连接CE ，F 是BC 边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形； (2)若AB ＝3，AD ＝4，∠A ＝60°，求CE 的长．6. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴DE ∥FC.∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝12BC ＝12AD ，∵DE ＝12AD ，∴FC ＝DE ，∴四边形CEDF 是平行四边形． (2)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H. 由(1)知四边形DECF 是平行四边形，∴DF ＝CE.∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A ＝60°，AB ＝3，AD ＝4， ∴BC ＝4，CD ＝3，∠BCD ＝60°，在Rt △DHC 中，HC ＝DC·cos ∠HCD ＝32，DH ＝DC ·sin ∠HCD ＝332，∵F 是BC 的中点， ∴FC ＝2，∴FH ＝FC －HC ＝2－32＝12，在Rt △DFH 中，由勾股定理得DF ＝DH 2＋FH 2＝（332）2＋（12）2＝7，∴CE ＝7.命题点2 矩形的判定与计算【命题规律】考查形式：①利用矩形性质，结合勾股定理求线段长或面积；②矩形的判定，一般在解答题中考查，也常在二次函数综合题中考查矩形的存在性问题；③矩形折叠的相关计算与证明(见命题点6：图形折叠的相关计算)．【命题预测】矩形性质将勾股定理、全等、相似等重要知识综合考查，是全国命题趋势之一． 7. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是( )A . △AFD ≌△DCEB . AF ＝12AD C . AB ＝AF D . BE ＝AD －DF7. B 【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A∵四边形ABCD 是矩形，AF ⊥DE ，∴∠C ＝90°＝∠AFD ，AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠CED ，∵AD ＝DE ，∴△AFD ≌△DCE (AAS)√B只有当∠ADF ＝30°时，才有AF ＝12AD 成立×C由△AFD ≌△DCE 可知，AF ＝DC ，∵矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∴AB ＝AF√D∵△AFD ≌△DCE ，∴DF ＝CE ，∴BE ＝BC －CE ＝AD －DF √8. 已知矩形的对角线AC 与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________． 8. 2第7题图第8题图第9题图 9. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．9. 3 【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD ＝x ，由题知，AB ＝x ＋2，又∵矩形ABCD 的面积为15，则x(x ＋2)＝15，得到x 2＋2x －15＝0，解得，x 1＝－5(舍) , x 2＝3，∴AD ＝3. 10. 如图所示，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线AF 交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF. (1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．10. (1)证明：∵点E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE. ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ， ∴△EAF ≌△EDC(AAS )， ∴AF ＝DC. ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ，即D 是BC 的中点．(2)解：四边形AFBD 是矩形．证明如下： ∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∵AB ＝AC ，又由(1)可知D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴四边形AFBD 是矩形．11. 如图，点P 在矩形ABCD 的对角线AC 上，且不与点A ，C 重合，过点P 分别作边AB ，AD 的平行线，交两组对边于点E ，F 和点G ，H. (1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH 和四边形PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．11. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ， ∴四边形PFCH 是矩形， ∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ， ∴△PHC ≌△CFP(SAS )．(2)证明：由(1)知AB ∥EF ∥CD ， AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形， ∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .命题点3 菱形的判定与计算【命题规律】1.考查内容和形式：①根据菱形性质判断结论正误；②菱形的判定；③根据菱形的性质求角度、周长和面积；④与二次函数压轴题结合考查菱形的存在性问题.2.三大题型均会出现．【命题预测】菱形是特殊平行四边形中的重要内容，是中考常考知识，对菱形的性质与判定应做到牢固掌握．12. 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BD C . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC12. C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．第12题图第13题图13. 已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( )A . (0，0)B . (1，12) C . (65，35) D . (107，57)13. D 【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎨⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．14. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BD 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长为________． 14. 16 【解析】∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，∴AB ＝2EF ＝4，∴菱形ABCD 周长是4AB ＝16.第14题图第15题图15. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．15. 24 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA ＝4，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝3，∴BD ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×8×6＝24. 16. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．16. 105°或45° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝150°，∠ABD ＝∠DBC ＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E 在△ABD 内时，∠E 1BC ＝∠E 1BD ＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E 在△DBC 内时，∠E 2BC ＝∠DBC －∠E 2BD ＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC 的度数为105°或45°.17. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF∥BC，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC. 求证：四边形ADCF 是菱形．17. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD ， ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．命题点4 正方形的判定与计算【命题规律】正方形的考查相对比较综合，难度较大，常在选择或填空的压轴题位置出现，考查知识点综合性强，涉及到正方形面积、边长和周长的计算．【命题预测】正方形综合了所有特殊四边形的性质，因此以正方形为背景出题更具有对知识的检验性，倍受命题人青睐，考生应加以关注．18. 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A . 2B . 2 2C . 2＋1D . 22＋118. B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2. 19. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形． 19. ∠BAD ＝90°(答案不唯一)20. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQS 正方形AEFG的值等于________．20. 89【解析】设BD ＝3a ，∠CDB ＝∠CBD ＝45°，且四边形PQMN 为正方形，∴DQ ＝PQ ＝QM ＝NM＝MB ，∴正方形MNPQ 的边长为a ，正方形AEFG 的对角线AF ＝12BD ＝32a ，∵正方形对角线互相垂直，∴S 正方形AEFG ＝12×32a ×32a ＝98a 2，∴S 正方形MNPQ S 正方形AEFG ＝a 298a 2＝89.第20题图第21题图21. 如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE 于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为________． 21.55【解析】∵四边形ABCD 为正方形，∴AO ＝BO ，∠AOF ＝∠BOE ＝90°，∵AM ⊥BE ，∠AFO ＝∠BFM ，∴∠FAO ＝∠EBO ，在△AFO 和△BEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOF ＝∠BOE AO ＝BO ∠FAO ＝∠EBO ，∴△AFO ≌△BEO(ASA )，∴FO ＝EO ，∵正方形ABCD 的边长为22，E 是OC 的中点，∴FO ＝EO ＝1＝BF ，BO ＝2，∴在Rt △BOE 中，BE ＝12＋22＝5，由∠FBM ＝∠EBO ，∠FMB ＝∠EOB ，可得△BFM ∽△BEO ，∴FM EO ＝BF BE ，即FM1＝15，∴FM ＝55.22. 如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A ，D ，G 在同一条直线上，且AD ＝3，DE ＝1，连接AC ，CG ，AE ，并延长AE 交CG 于点H. (1)求sin ∠EAC 的值； (2)求线段AH 的长．22.解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA， ∴△GDC ≌△EDA(SAS )，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ，∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG ×DC ＝12×GC ×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.命题点5 多边形及其性质【命题规律】1.考查内容：①多边形的内外角和公式；②正多边形的有关计算.2.考查形式：①已知正多边形一个内角或外角的度数或内角之间的关系求边数；②已知正多边形的边数求内角度数；③求多边形的内外角和．【命题预测】多边形是三角形和四边形的延伸拓展，也是中考命题不容忽视的知识点． 23. 六边形的内角和是( )A . 540°B . 720°C . 900°D . 1080°23. B24. 一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )A . 7B . 7或8C . 8或9D . 7或8或924. D 【解析】分类讨论：(1)切去一个角，减少一条边，设减少一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是9；(2)切去一个角，增加一条边，设增加一条边后的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是7；(3)切去一个角，边数无改变，设边数没有改变时的边数是n ，则180°(n －2)＝1080°，得出n ＝8，所以原多边形的边数是8，综上所述，原多边形的边数是9，7，8都符合题意，答案选择D.25. 若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是________．25. 6 【解析】设这个多边形的边数为n ，则内角和为(n －2)·180°，外角和为360°，则根据题意有：(n －2)·180°＝2×360°，解得n ＝6. 26. 一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是________．26. 8 【解析】由正多边形的每一个外角都是45°，其外角和为360°，可得这个正多边形的边数是360°45°＝8.方法指导设正多边形的边数为n ，正多边形的外角和为360°，内角和为(n －2)×180°，每个内角的度数为180°×（n －2）n.命题点6 图形折叠的相关证明与计算【命题规律】考查内容和形式：图形折叠计算以矩形折叠考查居多，常考查：①图形的折叠计算角度；②图形的折叠计算线段长或边长；③图形折叠的证明和计算结合；④图形折叠的操作探究．【命题预测】图形折叠将原有图形变得可操作化，且又很好地引入了对称知识，使问题升华，有效地考查学生的知识迁移能力和掌握程度，是全国命题的主流趋势之一，值得每位考生关注．27. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是( )A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CE27. D28. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 128. B第28题图第29题图29. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A′处，点B 落在点B′处．若∠2＝40°，则图中∠1的度数为( )A . 115°B . 120°C . 130°D . 140°29. A 【解析】由折叠的性质知∠EA ′B ′＝∠A ＝90°，∵∠2＝40°，∴∠B ′A ′C ＝50°，∴∠EA ′D ＝40°，∠DEA ′＝50°，∴∠AEA ′＝130°，∴∠AEF ＝∠FEA ′＝12∠AEA ′＝65°，∵AD ∥BC ，∴∠1＝180°－65°＝115°.30. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )A . 66°B . 104°C . 114°D . 124°30. C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.第30题图第31题图第32题图31. 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠，使点C 与点A 重合，已知AB ＝7，BC ＝6，则△BCD 的周长为________． 31. 13 【解析】由折叠的性质可得：CD ＝AD ，∴△BCD 的周长＝BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋AD ＋BD ＝BC ＋BA ＝6＋7＝13.32. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，A D′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．32. 36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.33.如图，将矩形纸片ABCD(AD ＞AB)折叠，使点C 刚好落在线段AD 上，且折痕分别与边BC ，AD 相交．设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．33. 解：(1)四边形CEGF是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折痕，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠GEF，∴GF＝GE，∵图形翻折后EC与GE完全重合，FC与FG重合，∴GE＝EC＝GF＝FC，∴四边形CEGF为菱形．(2)如解图①，当点F与点D重合时，四边形CEGF是正方形，此时CE最小，且CE＝CD＝3；如解图②，当点G与点A重合时，CE最大．设EC＝x，则BE＝9－x，由折叠性质知，AE＝CE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即9＋(9－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝5，所以，线段CE的取值范围为3≤CE≤5.34.如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．34. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°，由折叠性质可知，∠D＝∠AD′E＝60°，∴∠AD′E＝∠B＝60°，∴ED′∥BC，又∵EC∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形，∴ED′＝BC＝AD＝1，∴DE＝ED′＝1，又DC＝AB＝2，∴EC ＝1， ∴EC ＝ED′，∴四边形BCED′是菱形． (2)解：如解图所示，由折叠性质PD′＝PD ，BD 之长即为所求，作DG ⊥BA 的延长线于点G ， ∵∠DAB ＝120°， ∴∠DAG ＝60°， ∵∠G ＝90°， ∴∠ADG ＝30°，在Rt △ADG 中，AD ＝1， ∴AG ＝12，DG ＝32，∵AB ＝2， ∴BG ＝52，在Rt △BDG 中，由勾股定理得：BD 2＝BG 2＋DG 2＝7， ∴BD ＝7，即PD′＋PB 的最小值为7.方法指导“将军饮马”模型：直线同侧两定点，在直线上确定一点使该点到两定点的距离和最小．作法：作其中一点关于直线的对称点，连接另一点和对称点的线段即是最短距离和；最短距离计算方法：构造以最短距离线段为斜边的直角三角形，利用勾股定理求解．中考冲刺集训一、选择题1.关于▱ABCD 的叙述，正确的是( )A . 若A B⊥BC，则▱ABCD 是菱形B . 若AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形 D . 若AB ＝AD ，则▱ABCD 是正方形2.设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是( )A . a ＞bB . a ＝bC . a ＜bD . b ＝a ＋180°3.如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b ，m)，(c ，m)．则点E 的坐标是( )A . (2，－3)B . (2，3)C . (3，2)D . (3，－2)第3题图第4题图4.如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝16，CD ＝6，则△ABO 的周长是( )A . 10B . 14C . 20D . 225.菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边上的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为( )A . 2 2B . 4 2C . 6 2D . 8 2第5题图第6题图第7题图6.如图，平行四边形ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为( )A . 3 cmB . 4 cmC . 5 cmD . 8 cm7.如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ，若BE∶EC ＝2∶1，则线段CH 的长是( )A . 3B . 4C . 5D . 68.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G 、F2H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题9.如图，在▱ABCD 中，BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．10.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，则菱形ABCD 的高DH ＝________．第9题图第10题图第11题图11.如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度. 12.如图，正方形ABCO 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴上，BC 是菱形BDCE 的对角线，若∠D＝60°，BC ＝2，则点D 的坐标是________．第12题图第13题图第14题图 13.如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10＝________°.14.如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为________cm . 15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10.点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处．有下列结论： ①∠EBG ＝45°；②△DEF∽△ABG；③S △ABG ＝32S △FGH ；④AG ＋DF ＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)第15题图第16题图16.如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm . 三、解答题17.如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、CE. 求证：AF∥CE.18.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．19.如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．22.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．23.如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD 、CE 交于点F. (1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB ＝2，∠BAC ＝45°，当四边形ADFC 是菱形时，求BF 的长．24.如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG. (1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG 、GF 、AF 之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．答案与解析：1. C2. B3. C4. B5. A 【解析】∵E ，F 分别是 AD ，CD 边上的中点，即EF 是△ACD 的中位线，∴AC ＝2EF ＝22，则菱形ABCD 的面积＝12AC ·BD ＝12×22×2＝2 2.6. B 【解析】在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，BO ＝DO ，∵平行四边形ABCD 的周长为26 cm ，∴AB ＋BC ＝13 cm ，又∵△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，∴AD －AB ＝BC －AB ＝3 cm ，解得AB ＝5 cm ，BC ＝8 cm ，又AB ⊥AC ，E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ＝CE ＝12BC ＝4 cm.7. B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.8. D 【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误难点突破对于多选项判断正误性的题目，几乎每个选项之间都是紧密联系的，单独判断其中每个的正误或跳跃式判断往往使题目变得复杂而无法求解，本题目难点在于④中，需将S △FDH 与已知条件AE AB ＝23联系起来，并用含相同未知数的代数式分别表示出S △EDH 和S △DHC ，继而求解．9. 110° 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，∴∠CAB ＝∠1＝20°，∵BE ⊥AB 交对角线AC 于点E ，∴∠ABE ＝90°，∴∠2＝∠CAB ＋∠ABE ＝20°＋90°＝110°.10. 4.8 【解析】∵S ＝1AC·BD ＝2AB·DH ，∴AC ·BD ＝2AB·DH.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AOB ＝90°，AO ＝12AC ＝4，BO ＝12BD ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝42＋32＝5，∴DH ＝8×62×5＝4.8.第11题解图11. 15 【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AC ＝BD ，又∵AB ＝BA ，∴△DAB ≌△CBA(SSS )，∴∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∵CE ＝BD ，∴AC ＝CE ，∴∠E ＝∠CAE ＝12∠ACB＝15°.第12题解图12. (3＋2，1) 【解析】如解图，过点D 作DG ⊥BC 于G ，DF ⊥x 轴于F ，∵在菱形BDCE 中，BD ＝CD ，∠BDC ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴DF ＝CG ＝12BC ＝1，CF ＝DG ＝3，∴OF ＝3＋2，∴D(3＋2，1)．13. 75 【解析】∵多边形A 1A 2…A 12是正十二边形，作它的外接圆⊙O ，∴劣弧A 10A 3的度数＝5×360°12＝150°，∴∠A 3A 7A 10＝12×150°＝75°.第14题解图14. 13 【解析】如解图，连接AC 、BD 交于O ，则有12AC·BD ＝120，∴AC ·BD ＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA ·2OB ＝240，∴ OA ·OB ＝60，∵AE 2＝50, OA 2＋OE 2＝ AE 2，OA ＝OE ，∴OA ＝5，∴OB ＝12，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝122＋52＝13.15. ①③④ 【解析】由折叠的性质得，∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，∴∠EBG ＝∠FBE ＋∠FBG ＝12×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF ＝BC ＝10，BA ＝BH ＝6，∴HF ＝BF －BH ＝4，AF ＝BF 2－BA 2＝102－62＝8，设GH ＝x ，则GF ＝8－x ，在Rt △GHF 中，x 2＋42＝(8－x)2，∴x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＝3，同理在Rt △FDE 中，由FD 2＝EF 2－ED 2，得ED ＝83，EF ＝103，∴ED FD ＝43≠ABAG ＝2，∴△DEF 与△ABG 不相似，故②不正确；S △ABG ＝12×3×6＝9，S △FGH ＝12×3×4＝6，∴S △ABG S ＝96＝32，故③正确；∵AG ＝3，DF ＝AD －AF ＝2，∴FG ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，故④正确．综上，答案是①③④.第16题解图16.233或33【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm . 17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，第17题解图∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠1＝∠2，又∵BF ＝DE ，∴BF ＋BD ＝DE ＋BD ，即DF ＝BE.∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴∠AFD ＝∠CEB ，∴AF ∥CE.18. (1)【思路分析】根据四边形ABCD 是菱形，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan 30°＝33. (2)【思路分析】由BE ∥AC ，CE ∥BD 可知四边形BOCE 是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE 是矩形．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°， ∵BE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，且∠BOC ＝90°，∴四边形OBEC 是矩形．19. (1)证明：∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴AM ∥CN ，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴MC ∥AN ，∴四边形CMAN 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ADE ＝∠CBF ，AD ＝CB ，又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°， ∴△AED ≌△CFB(AAS )， ∴DE ＝BF ＝4，∴在Rt △BFN 中，BN ＝32＋42＝5.20. (1)【思路分析】要证∠CEB ＝∠CBE ，结合CE ∥DB ，可得到∠CEB ＝∠DBE ，从而只需证明∠CBE ＝∠DBE ，结合△ABC ≌△ABD 即可得证．证明：∵△ABC ≌△ABD ， ∴∠ABC ＝∠ABD ， ∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE.(2)证明：∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，由(1)得∠CEB ＝∠CBE ， ∴CE ＝CB ， ∴CE ＝BD ， ∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形， ∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．21. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD, ∠BAQ ＋∠DAP ＝90°＝∠DAB ， ∵DP ⊥AQ ，∴∠DAP ＋∠ADP ＝90°， ∴∠BAQ ＝∠ADP.在△DAP 和△ABQ 中， ⎨⎪⎧∠APD ＝∠AQB ＝90°∠ADP ＝∠BAQ ，∴△DAP ≌△ABQ(AAS )，∴AP ＝BQ.(2)解：①AQ 和AP ；②DP 和AP ；③AQ 和BQ ；④DP 和BQ.【解法提示】①由题图直接得：AQ －AP ＝PQ ；②∵△ABQ ≌△DAP ，∴AQ ＝DP ，∴DP －AP ＝ AQ －AP ＝PQ ；③∵△ABQ ≌△DAP ，∴BQ ＝AP ，∴AQ －BQ ＝AQ －AP ＝PQ ；④∵△ABQ ≌△DAP ，∴DP ＝AQ ，BQ ＝AP ，∴DP －BQ ＝AQ －AP ＝PQ.22. (1)证明：在△ADF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABE ＝∠ADF ＝90°EB ＝FD， ∴△ADF ≌△ABE(SAS )．(2)解：∵AB ＝3，BE ＝1，∴AE ＝10，EC ＝4，∴ED ＝CD 2＋EC 2＝5，设AH ＝x ，EH ＝y ，在Rt △AHE 和Rt △AHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10x 2＋（5－y ）2＝9，解得，x ＝1.8，y ＝2.6，∴tan ∠AED ＝AH EH ＝x y ＝1.82.6＝913. 23. (1)证明：∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，AE ＝AC ，∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AC ，∴AD ＝AB ＝AE ＝AC ，∠EAC ＝∠DAB ，在△AEC 和△ADB 中∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝ AE ∠EAC ＝∠DAB AB ＝AC， ∴△AEC ≌△ADB(SAS )．(2)解：当四边形ADFC 是菱形时，AC ＝DF ，AC ∥DF ，∴∠BAC ＝∠ABD ，又∵∠BAC ＝45°，∴∠ABD ＝45°，又∵△ADE 是由△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转而得，∴AD ＝AB ，∴∠DAB ＝90°，又∵AB ＝2，由勾股定理可得：BD ＝AD 2＋AB 2＝2AB ＝22，在菱形ADFC 中，DF ＝AD ＝AB ＝2，∴BF ＝BD －DF ＝22－2.24. (1)【思路分析】根据折叠的性质，易得DF ＝EF ，DG ＝EG ，∠AFD ＝∠AFE ，再由EG ∥DC ，可得∠EGF ＝∠AFD ，从而得出EG ＝EF.根据四条边都相等的四边形是菱形得证；证明：由折叠的性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，第24题解图∠EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD.∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ，∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形．(2)【思路分析】由(1)可知EG ＝EF ，连接DE ，则DE 与GF 相互垂直平分，证得Rt △FHE ∽Rt △FEA ，列比例式，结合FH ＝12GF 得到EG 、GF 、AF 的关系；解：如解图，连接ED ，交AF 于点H ，∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE ＝90°－∠EFA ，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF，即EF 2＝FH·AF ， ∴EG 2＝12GF·AF. (3)【思路分析】把AG ，EG 代入(2)中的关系式，求得GF ，AF 的值，根据勾股定理求得AD ，DE ，再证Rt △ADF ∽Rt △DCE ，可求出EC ，从而可求出BE 的值．解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2＝12GF·AF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)·GF ，∴GF ＝4， ∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA ＝90°，∠DAF ＋∠DFA ＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF ，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810， ∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝AD －EC ＝45－855＝1255.。

【2019-2020】中考数学试题分项版解析汇编第04期专题10四边形含解析

教学资料参考范本【2019-2020】中考数学试题分项版解析汇编第04期专题10四边形含解析撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________一、选择题1. （2017贵州遵义第10题）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】A.考点：三角形中位线定理；三角形的面积．2. （2017湖南株洲第9题）如图，点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的为（）A．一定不是平行四边形B．一定不是中心对称图形C．可能是轴对称图形D．当AC=BD时它是矩形【答案】C.考点：中点四边形；平行四边形的判定；矩形的判定；轴对称图形．3. （2017广西百色第2题）多边形的外角和等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】试题分析：多边形的外角和是360°，故选B．考点：多边形内角与外角．4. （2017黑龙江绥化第10题）如图，在中，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：①，②，③，④∽，其中正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③【答案】D考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．5. （2017湖北孝感第10题）如图，六边形的内角都相等，，则下列结论成立的个数是①；②；③；④四边形是平行四边形；⑤六边形即是中心对称图形，又是轴对称图形（）A． B． C. D．【答案】D考点：1.平行四边形的判定和性质；2.平行线的判定和性质；3.轴对称图形；4.中心对称图形.6. （2017内蒙古呼和浩特第9题）如图，四边形是边长为1的正方形，，为所在直线上的两点，若，，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．四边形的面积为【答案】C考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．7. （2017青海西宁第7题）如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为（）A． 5 B． 4 C. D．【答案】D考点：矩形的性质．8. （2017上海第6题）已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（）A．∠BAC=∠DCA B．∠BAC=∠DAC C．∠BAC=∠ABDD．∠BAC=∠ADB【答案】C【解析】试题分析：A、∠BAC=∠DCA，不能判断四边形ABCD是矩形；B、∠BAC=∠DAC，能判定四边形ABCD是菱形；不能判断四边形ABCD 是矩形；C、∠BAC=∠ABD，能得出对角线相等，能判断四边形ABCD是矩形；D、∠BAC=∠ADB，不能判断四边形ABCD是矩形；故选C．考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的性质；3.菱形的判定.9. （2017海南第11题）如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C.考点：菱形的性质，勾股定理.10. （2017河池第11题）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线，若，则的长是（）A． B． C. D．【答案】B.【解析】试题分析：连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA=AG，利用勾股定理求出OA的长即可．连接EG，∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD=DE=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG．∵AG⊥DE，∴OA=AG．在Rt△AOD中，OA==4，∴AG=2AO=8．故选B．考点：作图—基本作图；平行四边形的性质.11. （2017贵州六盘水第4题）如图，梯形中，，( )A. B. C.D.【答案】B.试题分析：已知AB∥CD，∠A=45°，由两直线平行，同旁内角互补可得∠ADC=180°-∠A=135°，故选B．考点：平行线的性质．12. （2017贵州六盘水第10题）矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是( )A. B. C. D.【答案】D．考点：黄金分割．13. （2017新疆乌鲁木齐第5题）如果边形每一个内角等于与它相邻外角的倍，则的值是（）A． B． C. D．【答案】C．【解析】试题解析：设外角为x，则相邻的内角为2x，由题意得，2x+x=180°，解得，x=60°，360÷60°=6，故选C．考点：多边形内角与外角．14. （2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，则折痕的长为（）A． B． C. D．【答案】C.考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．二、填空题1. （2017贵州遵义第14题）一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为．【答案】1800°.【解析】试题分析：这个正多边形的边数为=12，所以这个正多边形的内角和为（12﹣2）×180°=1800°．故答案为1800°．考点：多边形内角与外角．2. （2017内蒙古通辽第15题）在平行四边形中，平分交边于，平分交边于.若，，则 .【答案】8或3②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB的长为8或3．故答案为：．考点：平行四边形的性质3. （2017湖北咸宁第14题）如图，点的矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕的长为．【答案】6.考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．4. （2017湖南常德第15题）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为．【答案】（0＜x＜2）．考点：根据实际问题列二次函数关系式；正方形的性质．5. （2017哈尔滨第19题）四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则的长为.【答案】4或2【解析】试题分析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，∴OB= BD=3，∴OC=OA= =3，∴AC=2OA=6，∵点E在AC上，OE=，∴CE=OC+或CE=OC﹣，∴CE=4或CE=2．考点：菱形的性质．6. （2017哈尔滨第20题）如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作，垂足为，若，，则的长为.【答案】考点：1.矩形的性质；2.全等三角形的判定与性质．7. （2017黑龙江齐齐哈尔第13题）矩形的对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）．【答案】AB=BC（答案不唯一）考点：1.正方形的判定；2.矩形的性质．8. （2017黑龙江齐齐哈尔第16题）如图，在等腰三角形纸片中，，，沿底边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是．【答案】10cm或2cm或4cm．【解析】试题分析：如图：，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=DC=6cm，∴AD=8cm，如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10cm，如图②所示：AD=8cm，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8cm，BE=2BD=12cm，则BC=4 cm，如图③所示：BD=6cm，由题意可得：AE=6cm，EC=2BE=16cm，故AC= =2cm，故答案为：10cm或2cm或4cm．考点：图形的剪拼．9. （2017黑龙江绥化第13题）一个多边形的内角和等于，则这个多边形是边形．【答案】七考点：多边形内角与外角．10. （2017湖北孝感第14题）如图，四边形是菱形，于点，则线段的长为．【答案】【解析】试题分析：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∴AO=12，OD=5，AC⊥BD，∴AD=AB= =13，∵DH⊥AB，∴AO×BD=DH×AB，∴12×10=13×DH，∴DH= ，∴BH= = ．考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.11. （2017内蒙古呼和浩特第15题）如图，在中，，，是两条对角线的交点，过点作的垂线分别交边，于点，，点是边的一个三等分点，则与的面积比为．【答案】3：4．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质．12. （2017青海西宁第13题）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．【答案】9【解析】试题分析：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．考点：多边形内角与外角．13. （2017青海西宁第20题）如图，将沿对折，使点落在点处，若，则的长为___.【答案】考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质．14. （2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．【答案】．考点：旋转的性质；正方形的性质；综合题．15. （2017辽宁大连第11题）五边形的内角和为．【答案】540°.【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°计算即可．（5﹣2）•180°=540°．故答案为540°．.考点：多边形内角与外角.16. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E 在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．【答案】.考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.17. （2017河池第18题）如图，在矩形中，，是的中点，于点，则的长是．【答案】.【解析】试题分析：根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=，BD=，根据三角形的面积公式得到BF=，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，考点：勾股定理；矩形的性质，相似三角形的判定与性质.18. （2017贵州六盘水第16题）如图，在正方形中，等边三角形的顶点、分别在边和上，则【答案】75°.试题分析：∵正方形,∴AD=AB,∠BAD=∠B=∠D=90°,∵等边三角形,∴AE=AF,∠EAF=60°,∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=15°,∴∠AEB=75°.考点：正方形、等边三角形、全等三角形．19. （2017贵州六盘水第18题）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则【答案】.考点：平行四边形，相似三角形．20. （2017新疆乌鲁木齐第12题）如图，在菱形中，，则菱形的面积为．【答案】2【解析】考点：菱形的性质．三、解答题1. （2017贵州遵义第26题）边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）当x=3或1时，CE=BC；（3）. 结论：PF=EQ，理由见解析.（2）解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，∵DC=AD=2，由勾股定理得：AC=，∵AP=x，∴PC=4﹣x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，∴ ，考点：四边形综合题．2. （2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【答案】①.证明见解析；②证明见解析.∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．3. （2017内蒙古通辽第25题）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形，如图1，□为1阶准菱形.（1）猜想与计算邻边长分别为3和5的平行四边形是阶准菱形；已知□的邻边长分别为（），满足，，请写出□是阶准菱形.（2）操作与推理小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把□沿折叠（点在上），使点落在边上的点处，得到四边形.请证明四边形是菱形.【答案】（1）3，12（2）证明见解析（2）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形考点：四边形综合题4. （2017湖北咸宁第18题）如图，点在一条直线上，.⑴求证：；⑵连接，求证：四边形是平行四边形.【答案】详见解析.考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．5. （2017广西百色第22题）矩形中，分别是的中点，分别交于两点.求证：（1）四边形是平行四边形；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定与性质．6. （2017广西百色第26题）以菱形的对角线交点为坐标原点，所在的直线为轴，已知，，，为折线上一动点，内行轴于点，设点的纵坐标为（1）求边所在直线的解析式；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当为直角三角形，求点的坐标.【答案】（1）直线BC的解析式为y=x﹣2；（2）当点P在边BC上时， y=10a2+24a+48；当点P在边CD上时，y= 10a2﹣40a+48；（3）点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．Ⅰ、当∠POM=90°时，∴OP2+OM2=PM2，∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32，∴a=0，∴P（4，0），Ⅱ、当∠MPO=90°时，OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16，∴a=2+ （舍）或a=2﹣，∴P（，2﹣），即：当△OPM为直角三角形时，点P的坐标为（，2﹣），（4，0）．考点：四边形综合题．7. （2017黑龙江齐齐哈尔第26题）如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．（1）求线段，的长；（2）求证：，并求出线段的长；（3）直接写出点的坐标；（4）若是直线上一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）OA=8，OC=4；（2）OE=3；（3）D（﹣，）；（4）存在；P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．考点：四边形综合题．8. （2017黑龙江绥化第28题）如图，在矩形中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点．（1）求证：；（2）求证：；（3）当时，请直接写出的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 .理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴，即EF2=AF•GF，∵AF•GF=28，∴EF=2 ，∴CE=2EF=4．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质．9. （2017湖北孝感第20题）如图，已知矩形 .（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；②作的平分线交于点；③连接;（2）在（1）作出的图形中，若，则的值为 .【答案】（1）画图见解析；（2） .考点：1.作图﹣基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.解直角三角形.10. （2017内蒙古呼和浩特第18题）如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线．（1）求证：；（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点．当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由．【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形.（2）四边形DEMN是正方形，理由：∵E、D分别是AB、AC的中点，∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED=BC，∵点M、N分别为线段BO和CO中点，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四边形EDNM是矩形，在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等，∴O到BC的距离=BC，∴BD⊥CE，∴四边形DEMN是正方形．考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质．11. （2017青海西宁第23题）如图，四边形中，相交于点，是的中点，.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）24.。

2020年中考数学二轮复习压轴专题四边形(含解析)

《四边形》1．【习题再现】课本中有这样一道题目：如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM ＝∠FEM．（不用证明）【习题变式】（1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF 交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE．（2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°．【习题变式】解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点，∴MF∥BP，，∴∠MFE＝∠BPE．∵E，M分别是AB，BD的中点，∴ME∥AN，，∴∠MEF＝∠ANE．∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠EFM＝∠FEM，∴∠ANE＝∠BPE．（2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH．∵H，F分别是BD和AD的中点，∴HF∥BG，，∴∠HFE＝∠FGA．∵H，E分别是BD，BC的中点，∴HE∥AC，，∴∠HEF＝∠EFC＝60°．∵AB＝CD，∴HE＝HF，∴∠HFE＝∠EFC＝60°，∴∠A GF＝60°，∵∠AFG＝∠EFC＝60°，∴△AFG为等边三角形．∴AF＝GF，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝60°+30°＝90°．2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，请直接写出线段AD的长．解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）探索：结论：DE2＝BD2+CD2，理由是：如图2中，连接EC．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵，∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝CE2+CD2，∴DE2＝BD2+CD2；（3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，则△DAG是等腰直角三角形，∴∠ADG＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠GDC＝90°，同理得：△BAD≌△CAG，∴CG＝BD＝3，Rt△CGD中，∵CD＝1，∴DG＝＝＝2，∵△DAG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2．3．如图1，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）BE和DG的数量关系是BE＝DG，BE和DG的位置关系是BE⊥DG；（2）把正方形ECGF绕点C旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，正方形ECGF绕点C旋转过程中，若A、C、E三点共线，直接写出DG的长．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点D从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．设点D，E运动的时间是t（s）（0＜t＜5）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）t为何值时，DE⊥AC？（2）设四边形AEFC的面积为S，试求出S与t之间的关系式；（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，∠ADE＝45°？解：（1）∵∠B＝90o，AB＝6 cm，BC＝8 cm，∴AC＝＝＝10（cm），若DE⊥AC，∴∠EDA＝90°，∴∠EDA＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即：＝，∴t＝，∴当t＝s时，DE⊥AC；（2）∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°，∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CAB，∴＝，即＝，∴CF＝，∴BF＝8﹣，BE＝AB﹣AE＝6﹣t，∴S＝S△ABC﹣S△BEF＝×AB•BC﹣×BF•BE＝×6×8﹣×（8﹣t）×（6﹣t）＝﹣t2+t；（3）若存在某一时刻t，使得S四边形AEFC：S△ABC＝17：24，根据题意得：﹣t2+t＝××6×8，解得：t1＝，t2＝（不合题意舍去），∴当t＝s时，S四边形AEFC：S△ABC＝17：24；（4）过点E作EM⊥AC与点M，如图所示：则∠EMA＝∠B＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AEM∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，∴EM＝t，AM＝t，∴DM＝10﹣2t﹣t＝10﹣t，在Rt△DEM中，当DM＝ME时，∠ADE＝45°，∴10﹣t＝t，∴t＝∴当t＝s时，∠ADE＝45°．5．我们定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且项角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．例如，如图（1），△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC＝∠DAE，则△ABD≌△ACE（SAS）（1）熟悉模型：如图（2），已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，求证：BD＝CE；（2）运用模型：如图（3），P为等边△ABC内一点，且PA：PB：PC＝3：4：5，求∠APB 的度数．小明在解决此问题时，根据前面的“手拉手全等模型”，以BP为边构造等边△BPM，这样就有两个等边三角形共顶点B，然后连结CM，通过转化的思想求出了∠APB的度数，则∠APB的度数为150 度；（3）深化模型：如图（4），在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC ＝45°，求BD的长．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：以BP为边构造等边△BPM，连接CM，如图（3）所示：∵△ABC与△BPM都是等边三角形，∴AB＝BC，BP＝BM＝PM，∠ABC＝∠PBM＝∠BMP＝60°，∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBM﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBM，在△ABP和△CBM中，，∴△ABP≌△CBM（SAS），∴AP＝CM，∠APB＝∠CMB，∵PA：PB：PC＝3：4：5，∴CM：PM：PC＝3：4：5，∴PC2＝CM2+PM2，∴△CMP是直角三角形，∴∠PMC＝90°，∴∠CMB＝∠BMP+∠PMC＝60°+90°＝150°，∴∠APB＝150°，故答案为：150；（3）解：过点A作EA⊥AD，且AE＝AD，连接CE，DE，如图（4）所示：则△ADE是等腰直角三角形，∠EAD＝90°，∴DE＝AD＝4，∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝45°+45°＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝．6．（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO ＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）请回答：∠ADB＝75 °，AB＝3（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点0，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB ＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长解：（1）如图2中，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°．∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝2，．又∵AO＝，∴OD＝2AO＝2，∴AD＝AO+OD＝3．∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝3；故答案为75，3．（2）如图3中，过点B作BE∥AD交AC于点E．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°．∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝＝2．∵BO：OD＝1：3，∵AO＝，∴EO＝2，∴AE＝3．∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB＝2BE．在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（4BE2）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝3，∴AB＝AC＝6，AD＝在Rt△CAD中，AC2+AD2＝CD2，即62+（）2＝CD2，解得：CD＝（负根已经舍弃）．7．正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在AB、BC边上（不与点A、B重合）．（1）如图1，连接CE，作DM⊥CE，交CB于点M．若BE＝3，则DM＝ 5 ；（2）如图2，连接EF，将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；再将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…，①如图3，线段EF经过两次操作后拼得△EFD，其形状为等边三角形，在此条件下，求证：AE＝CF；②若线段EF经过三次操作恰好拼成四边形EFGH，（3）请判断四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；（4）以1中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠DCM＝90°，∵BE＝3，BC＝4，∴CE＝＝＝5，∵DM⊥EC，∴∠DMC+∠MCE＝90°，∠MCE+∠CEB＝90°，∴∠DMC＝∠CEB，∵BC＝CD，∴△BCE≌△CDM（AAS），∴DM＝EC＝5．故答案为5．（2）如题图3，由旋转性质可知EF＝DF＝DE，则△DEF为等边三角形．故答案为等边三角形．（2）①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE＝BF．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：连接EG、FH，作HN⊥BC于N，GM⊥AB于M．由旋转性质可知，EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，由△EGM≌△FHN，可知EG＝FH，∴四边形EFGH的形状为正方形．∴∠HEF＝90°∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3．∵∠3+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝∠4．在△AEH与△BFE中，，∴△AEH≌△BFE（ASA）∴AE＝BF．故答案为正方形，AE＝BF．（4）利用①中结论，易证△AEH、△BFE、△CGF、△DHG均为全等三角形，∴BF＝CG＝DH＝AE＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝4﹣x．∴y＝S正方形ABCD﹣4S△AEH＝4×4﹣4×x（4﹣x）＝2x2﹣8x+16．∴y＝2x2﹣8x+16（0＜x＜4）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8，∴当x＝2时，y取得最小值8；当x＝0时，y＝16，∴y的取值范围为：8≤y＜16．8．已知：如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点B的坐标是（6，4）．（1）直接写出A点坐标（ 6 ，0 ），C点坐标（0 ， 4 ）；（2）如图2，D为OC中点．连接BD，AD，如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，求满足条件的点P的坐标；（3）如图3，动点M从点C出发，以每钞1个单位的速度沿线段CB运动，同时动点N 从点A出发．以每秒2个单位的速度沿线段AO运动，当N到达O点时，M，N同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0），在M，N运动过程中．当MN＝5时，直接写出时间t的值．解：（1）∵四边形OABC是长方形，∴AB∥OC，BC∥OA，∵B（6，4），∴A（6，0），C（0，4），故答案为：6，0，0，4；（2）如图2，由（1）知，A（6，0），C（0，4），∴OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴S长方形OABC＝OA•OC＝6×4＝24，连接AC，∵AC是长方形OABC的对角线，∴S△OAC＝S△ABC＝S长方形OABC＝12，∵点D是OC的中点，∴S△OAD＝S△OAC＝6，∵四边形OADP的面积是△ABC面积的2倍，∴S四边形OADP＝2S△ABC＝24，∵S四边形OADP＝S△OAD+S△ODP＝6+S△ODP＝24，∴S△ODP＝18，∵点D是OC的中点，且OC＝4，∴OD＝OC＝2，∵P（m，1），∴S△ODP＝OD•|m|＝×2|m|＝18，∴m＝18（由于点P在第二象限，所以，m小于0，舍去）或m＝﹣18，∴P（﹣18，1）；（3）如图3，由（2）知，OA＝6，OC＝4，∵四边形OABC是长方形，∴∠AOC＝∠OCB＝90°，BC＝6，由运动知，CM＝t，AN＝2t，∴ON＝OA﹣AN＝6﹣2t，过点M作MH⊥OA于H，∴∠OHM＝90°＝∠AOC＝∠OCB，∴四边形OCMH是长方形，∴MH＝OC＝4，OH＝CM＝t，∴HN＝|ON﹣CM|＝6﹣2t﹣t|＝|6﹣3t|，在Rt△MHN中，MN＝5，根据勾股定理得，HN2＝MN2﹣MH2，∴|6﹣3t|2＝52﹣42＝9，∴t＝1或t＝3，即：t的值为1或3．9．综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB ＝2，PC＝3．你能求出∠APB的度数吗？（1）小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数；思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数．请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程．类比探究（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB＝1，，求∠APB的度数．拓展应用（3）如图3，在边长为的等边三角形ABC内有一点O，∠AOC＝90°，∠BOC＝120°，则△AOC的面积是．解：（1）思路一，如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．思路二、同思路一的方法．（2）如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，，BP'＝BP＝1，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，，∵AP＝3，∴AP2+P'P2＝9+2＝11，又∵，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'﹣∠BPP'＝90°﹣45°＝45°．（3）如图，将△ABO绕点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接OE．则△BAO≌△BCE，∠AOB＝∠BEC＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∵△BOE是等边三角形，∴∠BEO＝∠BOE＝60°，∴∠OEC＝90°，∠OEC＝120°﹣60°＝60°，∴sin60°＝＝，设EC＝k，OC＝2k，则OA＝EC＝k，∵∠AOC＝90°，∴OA2+OC2＝AC2，∴3k2+4k2＝7，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴OA＝，OC＝2，∴S△AOC＝•OA•OC＝××2＝．故答案为．10．如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，BP＝BE．作线段AP的中垂线MN分别交线段DC，DB，AP，AB于点M，G，F，N．（1）求证：∠BAP＝∠BGN；（2）若AB＝6，BC＝8，求；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求tan∠CFM的值．（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠BAP＝∠APB＝90°∵BP＝BE，∴∠APB∠BEP＝∠GEF，∵MN垂直平分线段AP，∴∠GFE＝90°，∴∠BGN+∠GEF＝90°，∴∠BAP＝∠BGN．（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABP＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝8，∴BD＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠APB＝∠BEP＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DA＝DE＝8，∴BE＝BP＝BD﹣DE＝10﹣8＝2，∴PA＝＝＝2，∵MN垂直平分线段AP，∴AF＝PF＝，∵PB∥AD，∴＝＝＝，∴PE＝PA＝，∴EF＝PF﹣PE＝﹣＝，∴＝＝．（3）解：如图3中，连接AM，MP．设CM＝x．∵四边形AB CD是矩形，∴∠ADM＝∠MCP＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵MN垂直平分线段AP，∴MA＝MP，∴AD2+DM2＝PC2+CM2，∴82+（6﹣x）2＝62+x2，∴x＝，∵∠PFM＝∠PCM＝90°，∴P，F，M，C四点共圆，∴∠CFM＝∠CPM，∴tan∠CFM＝tan∠CFM＝＝＝．11．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD的取值范围是1＜AD＜7 ．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F，连接EF，若BE＝4，CF＝2，请直接写出EF的取值范围．②如图③，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足BC＝CF，DF＝AD，连接CE、ED，请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论．解：（1）延长AD到点E，使AD＝DE，连接BE，如图①所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△A DC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB＝6，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴8﹣6＜AE＜8+6，即2＜AE＜14，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）①延长ED到点N，使ED＝DN，连接CN、FN，如图②所示：∵点D是BC边上的中点，∴BD＝CD，在△NDC和△EDB中，中，，∴△NDC≌△EDB（SAS），∴BE＝CN＝4，∵DF⊥DE，ED＝DN，∴EF＝FN，在△CFN中，CN﹣CF＜FN＜CN+CF，∴4﹣2＜FN＜4+2，即2＜FN＜6，∴2＜EF＜6；②CE⊥ED；理由如下：延长CE与DA的延长线交于点G，如图③所示：∵点E是AB中点，∴BE＝AE，∵∠BCD＝150°，∠ADC＝30°，∴DG∥BC，∴∠GAE＝∠CBE，在△GAE和△CBE中，，∴△GAE≌△CBE（ASA），∴GE＝CE，AG＝BC，∵BC＝CF，DF＝AD，∴CF+DF＝BC+AD＝AG+AD，即：CD＝GD，∵GE＝CE，12．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O 顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC、AD于点E、F，已知AB＝1，，连接BF．（1）如图①，在旋转的过程中，请写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图②，当α＝45°时，请写出线段BF与DF的数量关系，并证明；（3）如图③，当α＝90°时，求△BOF的面积．解：（1）AF＝CE；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠FAO＝∠ECO，∴在△AFO与△CEO中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），（2）BF＝DF；理由如下：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝1，∴AB＝AO，又∵AB⊥AC，∴∠AOB＝45°，∵α＝45°，∠AOF＝45°，∴∠BOF＝∠AOB+∠AOF＝45°+45°＝90°，∴EF⊥BD，∵BO＝DO，∴BF＝DF；（3）∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠AOF＝α＝90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴AB＝EF＝1，由（1）得：△AFO≌△CEO，∴OF＝OE＝EF＝，由（2）得：AO＝1，∵AB∥EF，AO⊥EF，∴S△BOF＝S△AOF＝AO•OF＝×1×＝．13．综合与实践（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出∠AEB的度数及线段AD，BE之间的数量关系，并说明理由．（2）类比探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．填空：①∠AEB的度数为90°；②线段CM，AE，BE之间的数量关系为AE＝BE+2CM．（3）拓展延伸在（2）的条件下，若BE＝4，CM＝3，则四边形ABEC的面积为35 ．解：（1）∠AEB＝60°，AD＝BE，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．AD＝BE，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．（2）猜想：①∠AEB＝90°，②AE＝BE+2CM．理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME．∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM．∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．故答案为：90°，AE＝BE+2CM；（3）由（2）得：∠AEB＝90°，AD＝BE＝4，∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，∴CM⊥AE，DE＝2CM＝6，∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积＝AE×CM+AE×BE＝×10×3+×10×4＝35；故答案为：35．14．如图，正方形OABC的边长为8，P为OA上一点，OP＝2，Q为OC边上的一个动点，分别以OP\PQ为边在正方形OABC内部作等边三角形OPD和等边三角形PQE．（1）证明：DE＝OQ；（2）直线ED与OC交于点F，点Q在运动过程中．①∠EFC的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；②连结AE，求AE的最小值．（1）证明：如图1中，∵△OPD和△PQE是等边三角形，∴PO＝PD，PQ＝PE，∠OPD＝∠QPE＝60°，∴∠OPQ＝∠DPE，∴△OPQ≌△DPE（SAS），∴DE＝OQ．（2）①∵△OPQ≌△DPE，∴∠EDP＝∠POQ＝90°，∵∠DOP＝∠ODP＝60°∴∠FDO＝∠FDO＝30°，∴∠EFC＝∠FOC+∠FDO＝60°．②如图2中，当点Q与点C重合时，以PQ为边作正三角形PQM．∵∠EFC＝60°为定值，点E的运动路径为线段DM，过点P作PH⊥EA，垂足为H，∴当AE⊥DE时，AE的值最小∵∠PDE＝∠DEH＝∠PHE＝90°，∴四边形PDEH是矩形，∴∠DPH＝90°，EH＝PD＝2，∴EH＝DP＝2，在△PHA中，∠AHP＝90°，∠HPA＝30°∴AH＝PA＝3，∴AE＝EH+AH＝2+3＝5．15．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由；（2）如图2，四边形ABCD是垂直四边形，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE长．（1）解：四边形ABCD是垂直四边形；理由如下：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂直四边形；（2）证明：设AC、BD交于点E，如图2所示：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：连接CG、BE，如图3所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，CG＝AC＝4，BE＝AB，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂直四边形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣BC2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．。

2020中考数学复习《平行四边形》专题练习（含答案）

2020中考数学复习《平⾏四边形》专题练习（含答案）中考复习数学分类汇编：平⾏四边形专题练习含答案⼀、选择题1. (2018·宜宾)在ABCD Y 中，若BAD ∠与CDA ∠的平分线交于点E ，则AED ∠的形状是( )A.锐⾓三⾓形B.直⾓三⾓形C.钝⾓三⾓形D.不能确定2. (2018·黔西南州)如图，在ABCD Y 中，4AC =cm.若ACD ?的周长为13 cm ，则ABCD Y 的周长为( )A. 26 cmB. 24 cmC. 20 cmD. 18 cm3. (2018·海南)如图ABCD Y 的周长为36，对⾓线,AC BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，12BD =，则DOE ?的周长为( )A.15B. 18C. 21D. 244. ( 2018·台州)如图，在ABCD Y 中，2,3AB BC ==.以点C 为圆⼼，适当长为半径画弧，交BC 于点P ，交CD 于点Q ，再分别以点,P Q 为圆⼼，⼤于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是( ) A. 12 B. 1 C. 65 D. 325. (2018·东营)如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB BF =.添加⼀个条件使四边形ABCD 是平⾏四边形，你认为下列四个条件中可选择的是( )A. AD BC =B. CD BF =C. A C ∠=∠D. F CDF ∠=∠6. (2018·安徽)在ABCD Y 中，,E F 是对⾓线BD 上不同的两点.下列条件中，不能得出四边形AECF ⼀定为平⾏四边形的是( )A. BE DF =B. AE CF =C. //AF CED. BAE DCF ∠=∠7. (2018·⽟林)在四边形ABCD 中:①//AB CD ;②//AD BC ;③AB CD =;④AD BC =，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平⾏四边形的选法共有( )A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种8. (2018·呼和浩特)顺次连接平⾯上,,,A B C D 四点得到⼀个四边形，从①//AB CD ;②BC AD =;③A C ∠=∠;④B D ∠=∠四个条件中任取其中两个，可以得出‘“四边形ABCD 是平⾏四边形”这⼀结论的情况共有( )A. 5种B. 4种C. 3种D. 1种9. (2018·眉⼭)如图，在ABCD Y 中，2CD AD =，BE AD ⊥于点E ，F 为DC 的中点，连接,EF BF ，下列结论:①2ABC ABF ∠=∠;②EF BF =;③2EFB DEBC S S ?=四边形;④3CFE DEF ∠=∠.其中正确的结论共有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 4个10. (2018·通辽)如图，ABCD Y 的对⾓线,AC BD 交于点O ，DE 平分ADC ∠交AB 于点E ，60BCD ∠=?，12AD AB =，连接OE .下列结论:①ABCD S AD BD =Y g ; ②DB 平分CDE ∠; ③AO DE =;④5ADE OFE S S ??=.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个⼆、填空题11. (2018·常州)如图，在ABCD Y 中，70A ∠=?，DC DB =，则C D B ∠= .12. (2018·⼗堰)如图，ABCD Y 的对⾓线,AC BD 相交于点O ，且8AC =，10BD =，5AB =，则OCD ?的周长为 .13. (2018·泰州)如图，在A B C D Y 中，,A C B D 相交于点O .若6,16AD AC BD =+=，则BOC ?的周长为 .14. (2018·衡阳)如图，ABCD Y 的对⾓线相交于点O ，且AD CD ≠，过点O 作OM AC ⊥，交AD 于点M .如果CDM ?的周长为8，那么ABCD Y 的周长是 .15.(2018·临沂)如图，在ABCD Y 中，10,6AB AD ==，AC BC ⊥，则BD 的长为 .16. (2018·东营)如图，(3,3)B -，(5,0)C ，以,O C C B 为边作OABC Y ，则经过点A 的反⽐例函数的解析式为 .17. (2018·株洲)如图，在ABCD Y 中，连接BD ，且B D C D =，过点A 作AM BD⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，且DN =在DB 的延长线上取⼀点P ，满⾜ABD MAP PAB ∠=∠+∠，则AP 的长为 .18.(导学号78816053)(2018·⽆锡)如图，60XOY ∠=?，点A 在边OX 上，2OA =.过点A 作AC OY ⊥于点C ，以AC 为⼀边在XOY ∠内作等边三⾓形ABC ，P 是ABC ?围成的区域(包括各边)内的⼀点，过点P 作//PD OY 交OX 于点D ，作//PE OX 交OY 于点E .设,OD a OE b ==，则2a b +的取值范围是 .三、解答题19. (2018·⽆锡)如图，在ABCD Y 中，,E F 分别是边,BC AD 的中点.求证:ABF CDE ∠=∠.20. (2018·衢州)如图，在ABCD⊥，DF AC⊥，垂Y中，AC是对⾓线，BE AC⾜分别为E，F.求证:AE CF=.21. (2018·⼤连)如图，ABCDY的对⾓线,AC BD相交于点O，点,E F在AC上，且AF CE =.=.求证:BE DF22. (2018·福建)如图，ABCDY的对⾓线,AC BD相交于点O，EF过点O且与AD BC分别相交于点,E F.求证:OE OF,=.23. (2018·宿迁)如图，在ABCD Y 中，点,E F 分别在边,CB AD 的延长线上，且BE DF =，EF 分别与,AB CD 交于点,G H .求证:AG CH =.24. (2018·曲靖)如图，在ABCD Y 的边,AB CD 上截取,AF CE ，使得AF CE =，连接,,EF M N 是线段EF 上两点，且EM FN =，连接,AN CM .(1)求证: AFN CEM ;(2)若107CMF ∠=?，72CEM ∠=?，求NAF ∠的度数.25. (2018·岳阳)如图，在ABCD Y 中，AE CF =.求证:四边形BFDE 是平⾏四边形.26. (2018·孝感)如图，,,,B E C F 在⼀条直线上，已知//,//,A B D E A C D F B E C F =，连接AD .求证:四边形ABED 是平⾏四边形.27. (2018·陕西)如图，//AB CD ，,E F 分别为,AB CD 上的点，且//EC BF ，连接AD ，分别与,EC BF 相交于点,G H ，若AB CD =，求证:AG DH =.28. (2018·巴中)如图，在ABCD Y 中，过点B 作BM AC ⊥于点E ，交CD 于点M ，过点D 作DN AC ⊥于点F ，交AB 于点N .(1)求证:四边形BMDN 是平⾏四边形;(2)已知12,5AF EM ==，求AN 的长.29. (2018·江西)如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 为AB 的中点，请仅⽤⽆刻度的直尺分别按下⾯的要求画图.(保留画图痕迹)(1)在图①中，画出ABD ?的BD 边上的中线;(2)在图②中，若BA BD =，画出ABD ?的AD 边上的⾼.30. (2018·黄冈)如图，在ABCD Y 中，分别以边,BC CD 作等腰三⾓形BCF 、等腰三⾓形CDE ，使,BC BF CD DE ==，CBF CDE ∠=∠，连接,AF AE .(1)求证: ABF EDA ;(2)延长AB 与CF ，相交于点G ，若AF AE ⊥，求证: BF BC ⊥.31. (2018·永州)如图，在ABC∠=?，以线段AB为∠=?，30CAB中，90ACB边向外作等边三⾓形ABD，E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD 于点F.(1)求证:四边形BCFD为平⾏四边形;(2)若6Y的⾯积.AB=，求BCFD32. (2018·重庆)如图，在ABCDY中，O是对⾓线AC的中点，E是BC上⼀点，且AB AE=，连接EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线，垂⾜为H，交AC于点G.(1)若3,1的⾯积;AH HE==，求ABE(2)若45∠=?，求证:DF=.ACB参考答案⼀、1. B 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. B 8. C 9. D 10. B⼆、填空题11. 40?12. 1413. 1414. 1615. 16. 6y=x17. 618. 225≤+≤a b三、19. 点拨：证明()∠=∠.，即可得ABF CDEABF CDE SAS20. 点拨：证明()=.，即可得AE CFABE CDF AAS21. 点拨：证明()=.BEO DFO SAS，即可得BE DF22. 点拨：证明()AOE COF ASA ，即可得OE OF =.23. 点拨：证明()AGF CHE ASA ，即可得AG CH =.24. (1)点拨：由FN EM AFN CEM AF CE =??∠=∠??=?，得到AFN CEM(2) 35NAF ∠=?25. 点拨：由//BF DE BF DF ??=?，得到四边形BFDE 是平⾏四边形 26. 点拨：证明()ABC DEF ASA ，得到AB DE =，⼜∵//AB DE ，∴四边形ABED 是平⾏四边形.27. 点拨：证明()AEG DFH ASA ，得到AG DH =.28. (1) 点拨：由////CD AB DN BM，得到四边形BMDN 是平⾏四边形; (2)13AN =29. (1)如图①，连接CE ，交BD 于点F ，连接AF ，线段AF 即为所求(2)如图②，连接CE ，交BD 于点F ，连接AF ，DE 交于点G ，连接BG ，并延长BG ，交AD 于点H ，线段BH 即为所求30. (1) 点拨：由BF DA ABF EDA AB DE =??∠=∠??=?，得到ABF EDA(2) 点拨：由90CBF EAF ∠=∠=?，得到BF BC ⊥31. (1) 点拨：由////BC DF CF BD，得到四边形BCFD 为平⾏四边形; (2)BCFD S =Y 32. (1)ABE S ?= (2) 点拨：AOF COE ，得到AF CE =，∵AD BC =，∴DF BE =. AME BNG ，得到ME NG =，∴22BE ME NG ==在Rt GNC ?中，45GCN ∠=?，∴CG =，2NG =，∴DF =。

中考数学真题四边形分类汇编

全国中考数学真题四边形分类汇编1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．2．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．3．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．4．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．7．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC 的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．9．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．10．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO 并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．（1）证明：△CFG≌△AEG．（2）若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．12．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．13．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．14．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG 的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．15．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．16．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．17．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．18．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF．求证：∠ABF＝∠CBE．19．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．21．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC＝EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．22．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO＝DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长．23．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．（1）求sin∠EAC的值．（2）求线段AH的长．24．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB＝CF；（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．25．已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．（1）求证：△ADF≌△ABE；（2）若BE＝1，求tan∠AED的值．26．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O、D分别是边AC、AB的中点，过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若四边形AECD的面积为24，tan∠BAC＝，求BC的长．28．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的长．29．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．（1）求证：四边形BPEQ是菱形；（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．30．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．31．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD＝1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．32．如图，四边形ABCD为菱形，M为BC上一点，连接AM交对角线BD于点G，并且∠ABM＝2∠BAM．（1）求证：AG＝BG；（2）若点M为BC的中点，同时S△BMG＝1，求三角形ADG的面积．33．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．34．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长．35．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．36．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AC＝2DE，求sin∠CDB的值．37．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点．（1）若AB＝4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）求证：2AD•NF＝DE•DM．38．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．（1）求证：△AED≌△CFD；（2）求证：四边形AECF是菱形．39．如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB＝AC．（1）求证：△BAD≌△AEC；（2）若∠B＝30°，∠ADC＝45°，BD＝10，求平行四边形ABDE的面积．40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF＝时，求⊙O的半径．41．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，点O在边AB上．过点A、D的圆的圆心O在边AB上，它与边AB交于另一点E．（1）试判断BC与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，sin B＝，求AD的长．42．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO 并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．43．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC 于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF＝∠DAC．44．如图，在三角形ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF⊥AC；（2）求tan∠E的值．45．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．（1）试说明点D在⊙O上；（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．46．如图，点D是等边三角形ABC外接圆的上一点（与点B，C不重合），BE∥DC交AD于点E．（1）求证：△BDE是等边三角形；（2）求证：△ABE≌△CBD；（3）如果BD＝2，CD＝1，求△ABC的边长．47．如图所示，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，AD⊥PC，垂足为D，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接AE．（1）求证：∠CAB＝∠CAD；（2）求证：PC＝PF；（3）若tan∠ABC＝，AE＝5，求线段PC的长．48．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E在BC边上，且满足EB ＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AE，若∠C＝45°，AB＝10，求sin∠CAE的值．49．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB 延长线于点E，垂足为点F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径R＝5，tan C＝，求EF的长．50．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．全国中考数学真题四边形分类汇编参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB＝6，求四边形AGCD的对角线GD的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，AC＝BC，得到AB＝AC＝BC，求得∠B＝60°，于是得到∠BAF＝∠BCE＝30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的判定定理得到▱ABCD是菱形，求得∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，求得∠ADG＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB＝AC，AC＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BAF＝∠BCE＝30°，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE＝CF，在△CFG和△AEG中，，∴△CFG≌△AEG；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD，∵△CFG≌△AEG，∴AG＝CG，∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA＝GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG＝30°，∵AD＝AB＝6，∴DG＝＝4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．【分析】（1）由E是AC的中点知AE＝CE，由AB∥CD知∠AFE＝∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF＝CD，结合AB∥CD即可得证；（2）证△GBF∽△GCD得＝，据此求得CD＝，由AF＝CD及AB＝AF+BF可得答案．【解答】解：（1）∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF＝CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴＝，即＝，解得：CD＝，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF＝CD＝，∴AB＝AF+BF＝+＝6．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质．3．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．【分析】（1）只要证明AD＝BC，∠ADP＝∠BCQ，DP＝CQ即可解决问题；（2）首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ．（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝4，点E是BC边上的点，BE＝3，连接AE，DF⊥AE交于点F．（1）求证：△ABE≌△DF A；（2）连接CF，求sin∠DCF的值；（3）连接AC交DF于点G，求的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AE，矩形的性质、全等三角形的判定定理证明；（2）连接DE交CF于点H，根据全等三角形的性质得到DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，证明∠DCH ＝∠DEC，求出sin∠DEC，得到答案；（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K，根据平行线分线段成比例定理得到＝，根据余弦的概念求出EK，计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴＝5，∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△AFD中，，∴△ABE≌△AFD；（2）连接DE交CF于点H．∵△ABE≌△DF A，∴DF＝AB＝CD＝4，AF＝BE＝3，∴EF＝CE＝2．∴DE⊥CF．∴∠DCH+∠HDC＝∠DEC+∠HDC＝90°．∴∠DCH＝∠DEC．在Rt△DCE中，CD＝4，CE＝2，∴DE＝2，∴sin∠DCF＝sin∠DEC＝＝．（3）过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K．∴＝．在Rt△CEK中，EK＝CE•cos∠CEK＝CE•cos∠AEB＝2×＝．∴FK＝FE+EK＝．∴＝＝．【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用，掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC，∴四边形AECD是菱形；（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝，∵，∴AH＝，∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．法二：连接ED交AC于O，由题意得：AC＝8，计算得ED＝6．．计算得5EF＝6✘4，EF＝．【点评】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．7．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明．（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，∴EO＝＝，∴OF＝OC＝＝，∴CF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC 的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝25﹣AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC＝2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC＝EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2DC，∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC＝25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（25﹣AB）2+52，解得，AB＝13cm，【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH＝HA＝2、HM＝4，再根据勾股定理得OM＝2，由直角三角形性质知MN＝OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2，∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝＝2，∴MN＝OM＝2．【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质．10．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO 并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．【分析】（1）利用勾股定理即可得出BH的长，进而运用公式得出△ABE的面积；（2）过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，判定△AME≌△BNG（AAS），可得ME＝NG，进而得出BE＝GC，再判定△AFO≌△CEO（AAS），可得AF＝CE，即可得到DF＝BE ＝CG．【解答】解：（1）∵AH＝3，HE＝1，∴AB＝AE＝4，又∵Rt△ABH中，BH＝＝，∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠MAC＝∠NGC＝45°，∵AB＝AE，∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，又∵AE⊥BG，∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，∴∠MAE＝∠NBG，设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，∴AB＝BG，∴AE＝BG，在△AME和△BNG中，，∴△AME≌△BNG（AAS），∴ME＝NG，在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，∴GC＝NG＝ME＝BE，∴BE＝GC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，∴△AFO≌△CEO（AAS），∴AF＝CE，∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，∴DF＝BE＝CG．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．11．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G．（1）证明：△CFG≌△AEG．（2）若AB＝4，求四边形AGCD的对角线GD的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AC，AC＝BC，得到AB＝AC＝BC，求得∠B＝60°，于是得到∠BAF＝∠BCE＝30°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的判断对了得到▱ABCD是菱形，求得∠ADC＝∠B＝60°，AD＝CD，求得∠ADG＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、BC的中点，CE⊥AB，AF⊥BC，∴AB＝AC，AC＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴∠B＝60°，∴∠BAF＝∠BCE＝30°，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴AE＝CF，在△CFG和△AEG中，，∴△CFG≌△AEG；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠B＝60°，∵AD∥BC，CD∥AB，∴AF⊥AD，CE⊥CD，∵△CFG≌△AEG，∴AG＝CG，∵GA⊥AD，GC⊥CD，GA＝GC，∴GD平分∠ADC，∴∠ADG＝30°，∵AD＝AB＝4，∴DG＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判断和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．12．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝∠F，∠1＝∠2．（1）求证：四边形BCED是平行四边形；（2）已知DE＝2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN＝BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F，∴DE∥BC，∵∠1＝∠2，且∠1＝∠DMF，∴∠DMF＝∠2，∴DB∥EC，则四边形BCED为平行四边形；（2）解：∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN，∵EC∥DB，∴∠CNB＝∠DBN，∴∠CNB＝∠CBN，∴CN＝BC＝DE＝2．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．13．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD＝BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD＝AD可得结论；（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF＝∠EBF，∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，∴△AFD≌△BFE，∴AD＝EB，∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝，AB∥CD，∴∠ABE＝∠DCB，∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，∴tan∠ABE＝＝3，∵BF＝，∴EF＝，∴DE＝3，∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG 的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB＝AF；（2）若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）只要证明AB＝CD，AF＝CD即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG，∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF＝CD，∴AB＝AF．（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．理由：∵AF＝CD，AF∥CD，∴四边形ACDF是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠F AG＝60°，∵AB＝AG＝AF，∴△AFG是等边三角形，∴AG＝GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，∵AG＝GD，∴AD＝CF，∴四边形ACDF是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，证出∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG＝∠C，证出∠F＝∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF＝BE＝BD＝，作FM⊥BD 于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM＝BM＝BF＝1，得出DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC＝∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG＝∠C，∵BE＝BF，∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，∴∠F＝∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；（2）解：∵∠C＝45°，∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝BE＝BD＝，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：则△BFM是等腰直角三角形，∴FM＝BM＝BF＝1，∴DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，即D，F两点间的距离为．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．16．如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．（1）求证：△BDF是等腰三角形；（2）如图2，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；②根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解．【解答】（1）证明：如图1，根据折叠，∠DBC＝∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形，∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形；②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10．∴OB＝BD＝5．假设DF＝BF＝x，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+AF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即BF＝，∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝．【点评】此题考查了四边形综合题，结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答，考查了翻折不变性，综合性较强，是一道好题．17．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．【分析】（1）由∠BAE+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，推出∠BAE＝∠ADF，即可根据AAS证明△ABE≌△DAF；（2）设EF＝x，则AE＝DF＝x+1，根据四边形ABED的面积为6，列出方程即可解决问题；【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠BAE+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS）．（2）设EF＝x，则AE＝DF＝x+1，∵S四边形ABED＝2S△ABE+S△DEF＝6∴2××（x+1）×1+×x×（x+1）＝6，整理得：x2+3x﹣10＝0，解得x＝2或﹣5（舍弃），∴EF＝2．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考常考题型．18．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF．求证：∠ABF＝∠CBE．【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．19．如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF 是菱形．（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB＝∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，得到BE＝AB＝AF，由此即可证明；（2）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB＝4，AG＝AE＝2，∠BAF＝2∠BAE，AE ⊥BF．然后解直角△ABG，求出∠BAG＝30°，那么∠BAF＝2∠BAE＝60°．再根据平行四边形的对角相等即可求出∠C＝∠BAF＝60°．【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB＝∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，∴BE＝AB＝AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图，连结BF，交AE于G．∵菱形ABEF的周长为16，AE＝4，∴AB＝BE＝EF＝AF＝4，AG＝AE＝2，∠BAF＝2∠BAE，AE⊥BF．在直角△ABG中，∵∠AGB＝90°，∴cos∠BAG＝＝＝，∴∠BAG＝30°，∴∠BAF＝2∠BAE＝60°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAF＝60°．【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，解直角三角形，属于中考常考题型．20．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO 即可；（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE＝OF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵EF⊥AC，。

2020年中考数学必考34个考点专题19：平行四边形(含答案解析)

专题19 平行四边形专题知识回顾1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

3．平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah专题典型题考法及解析【例题1】（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【答案】B．【解析】利用三角形中位线定理得到DE AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE A C．A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．【例题2】（2018湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【答案】看解析。

(部编版)2020年中考数学试题分项版解析汇编第期专题10四边形含解析6

专题10：四边形一、选择题1.(2017北京第6题)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（） A ． 6 B ． 12 C. 16 D ．18 【答案】B. 【解析】试题分析：设多边形的边数为n,则有（n-2）×180°=n ×150°,解得：n=12.故选B. 考点：多边形的内角与外角2. (2017河南第7题)如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件不能．．判定ABCD 是菱形的只有（）A ．AC BD ⊥B ．AB BC = C.AC BD = D ．12∠=∠ 【答案】C.考点：菱形的判定.3. （2017湖南长沙第10题）如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 20 【答案】D 【解析】试题分析：根据菱形的对角线互相垂直，可知OA=3，OB=4，根据勾股定理可知AB=5，所以菱形的周长为4×5=20. 故选：D考点：菱形的性质4. （2017湖南长沙第12题）如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点H 重合（H 不与端点D C ,重合），折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，CHG ∆的周长为n ，则mn的值为（） A ．22 B ．21C ．215-D ．随H 点位置的变化而变化【答案】B 【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长为2a ，正方形的周长为m=8a ，设CM=x ，DE=y ，则DM=2a-x ，EM=2a-y ， ∵∠EMG=90°， ∴∠DME+∠CMG=90°． ∵∠DME+∠DEM=90°， ∴∠DEM=∠CMG ，又∵∠D=∠C=90°△DEM ∽△CMG ， ∴CG CM MGDM DE EM==,即22CG x MG a x y a y ==-- ∴CG=(2)(2)=,x a x x a y CG MG y y--= △CMG 的周长为CM+CG+MG=24ax x y-在Rt △DEM 中，DM 2+DE 2=EM 2即（2a-x ）2+y 2=（2a-y ）2整理得4ax-x 2=4ay∴CM+MG+CG=2444ax x aya y y-===n ．所以12n m = 故选：B ．考点：1、正方形，2、相似三角形的判定与性质，3、勾股定理5. （2017山东临沂第7题）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（） A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形【答案】C 【解析】试题分析：根据多边形的外角和为360°，可知其内角和为720°，因此可根据多边形的内角和公式（n-2）·180°=720°，解得n=6，故是六边形. 故选：C考点：多边形的内外角和6. （2017山东临沂第12题）在ABC V 中，点D 是边BC 上的点（与B 、C 两点不重合），过点D 作DE AC ∥，DF AB ∥，分别交AB ，AC 于E 、F 两点，下列说法正确的是（）A ．若AD BC ⊥，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD CD =，则四边形AEDF 是菱形 D ．若AD 平分BAC ∠，则四边形AEDF 是菱形【答案】D 【解析】试题分析：根据题意可知：DE AC ∥，DF AB ∥，可得四边形AEDF 是平行四边形. 若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是矩形；选项A 错误；若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是菱形，不一定是矩形；选项B 错误；若BD=CD ，则四边形AEDF 是平行四边形，不一定是菱形；选项C 错误；若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；正确．故选：D考点：特殊平行四边形的判定7. （2017山东青岛第7题）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，3=AB ，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（）A ．23B ．23C ．721 D ．7212 【答案】D考点：1、平行四边形的性质，2、勾股定理，3、面积法求线段长度8. (2017四川泸州第11题)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE BD ⊥,垂足为F ，则ta n B D E ∠的值是（）A B ．14 C ．13D【答案】A. 【解析】试题分析：由AD ∥BC 可得△ADF ∽△EBF ，根据相似三角形的性质可得AD AF DFEB EF BF==，因点E 是边BC 的中点且AD=BC,所以AD AF DFEB EF BF===2，设EF=x ，可得AF=2x ，在Rt △ABE 中，由射影定理可得，再由AD AF DFEB EF BF ===2可得，在Rt △DEF 中，tan BDE ∠=4EF DF ==，故选A. 9. （2017江苏苏州第10题）如图，在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =，F 是AB 的中点．过点F 作F D E ⊥A ，垂足为E ．将F ∆AE 沿点A 到点B 的方向平移，得到F '''∆A E ．设P 、'P 分别是F E 、F ''E 的中点，当点'A 与点B 重合时，四边形CD 'PP 的面积为A ．．．8【答案】A. 【解析】试题分析：作,,DH AB PK AB FL AB ⊥⊥⊥在菱形CD AB 中，60∠A =，D 8A =,F 是AB 的中点4AF EF EL ∴==∴=，P 是F E 的中点，2PK ∴=DH =1PP CD ∴=高为82S ∴==L K H故答案选A.考点：平行四边形的面积，三角函数.10.（2017江苏苏州第7题）如图，在正五边形CDAB E中，连接BE，则∠ABE的度数为A．30 B．36 C.54 D．72【答案】B.【解析】试题分析：∠ABE=3601=3652︒⨯︒故答案选B.考点：多边形的外角，等腰三角形的两底角相等11.（2017浙江台州第10题）如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE BF=，将,AEH CFG∆∆分别沿,EH FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的116时，则AEEB为（）A．53B．2 C.52D．4【答案】A考点：1、菱形的性质，2、翻折变换（折叠问题）二、填空题1.(2017天津第17题)如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点G F ,分别在边CD BC ,上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为 .【解析】试题分析：连结AC,根据正方形的性质可得A 、E 、C 三点共线，连结FG 交AC 于点M ，因正方形ABCD 和正方形EFCG的边长分别为3和1，根据勾股定理可求得,AC=3,即可得AE=2,因P 为AE 的中点，可得,再由正方形的性质可得GM=EM=2,FG 垂直于AC ，在Rt △PGM 中，PM=2 ,由勾股定理即可求得2.(2017福建第15题)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，其摆放方式如图所示，则AOB 等于度．【答案】108【解析】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.DC3.（2017广东广州第16题）如图9，平面直角坐标系中O 是原点，OABC 的顶点,A C 的坐标分别是()()8,0,3,4，点,D E 把线段OB 三等分，延长,CD CE 分别交,OA AB 于点,F G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②OFD ∆与BEG ∆相似；③四边形DEGF 的面积是203；④OD =；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③ 【解析】试题分析：如图，分别过点A 、B 作AN OB ⊥ 于点N ，BM x ⊥ 轴于点M在OABC 中，(80)(34)(114)A C B OB ∴=，，，，，D E 、是线段AB 的三等分点， 12OD BD ∴= ,CB OF ODFBDC ∴∆∆111222OF OD OF BC OA BC BD ∴==∴==， F ∴ 是OA 的中点，故①正确.(34)5C OC OA ∴=≠，，OABC ∴ 不是菱形.,DOF COD EBG ODF COD EBG ∴∠≠∠=∠∠≠∠=∠(40),F CF OC CFO COF ∴=<∴∠>∠，，DFO EBG ∴∠≠∠故OFD ∆ 和BEG ∆ 不相似. 则②错误；由①得，点G 是AB 的中点，FG ∴ 是OAB ∆ 的中位线1,22FG OB FG OB ∴==D E 、是OB 的三等分点，DE ∴=1118416222OAB S OB AN OA BM ∆=⋅=⋅=⨯⨯=解得：1162AN OB=,DF FG ∴ 四边形DEGH 是梯形()551202121223DEGF DE FG h S OB h OB AN -∴==⋅=⋅=四边形则③正确133OD OB == ,故④错误.综上：①③正确.考点：平行四边形和相似三角形的综合运用4.（2017广东广州第11题）如图6，四边形ABCD 中，0//,110AD BC A ∠=，则B ∠=___________.【答案】70° 【解析】试题分析：两直线平行，同旁内角互补，可得：B ∠=180°-110°＝70° 考点：平行线的性质5.（2017山东临沂第18题）在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O .若4AB =，10BD =，3sin 5BDC ∠=，则ABCD Y 的面积是．【答案】24 【解析】试题分析：作OE ⊥CD 于E ，由平行四边形的性质得出OA=OC ，OB=OD=12BD=5，CD=AB=4，由sin ∠BDC=35，证出AC⊥CD ，OC=3，AC=2OC=6，得出▱ABCD 的面积=CD•AC=24．故答案为：24.考点：1、平行四边形的性质，2、三角函数，3、勾股定理6.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE 、ED 、BD ，若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为__________度．【答案】32 【解析】试题分析：如下图由∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，可知A ，B ，C ，D 四点共圆，圆心是E ，直径AC 然后根据圆周角定理由∠BAD ＝58°，得到∠BED ＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°. 故答案为：32.考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质7.(2017山东滨州第16题)如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在AB 边上的E 处，EQ 与BC 相交于点F ．若AD ＝8，AB ＝6，AE ＝4，则△EBF 周长的大小为___________．ABCDHQGFE【答案】8.【解析】由折叠的性质可得DH=EH ，设AH=x ，则DH=EH=8-x ，在Rt △AEH 中，根据勾股定理可得2224(8)x x +=- ，解得x=3，即可得AH=3，EH=5；根据已知条件易证△AEH ∽△BFE ，根据相似三角形的性质可得AH AE EHBE BF EF==,即3452BF EF ==，解得BF=83 ,EF=103 ,所以△EBF 的周长为2+83+103=8. 8.(2017江苏宿迁第15题)如图，正方形CD AB 的边长为3，点E 在边AB 上，且1BE =．若点P 在对角线D B 上移动，则PA+PE 的最小值是．9.(2017辽宁沈阳第16题)如图，在矩形ABCD 中，53AB BC ==，,将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形GBEF ，点A 落在矩形ABCD 的边CD 上，连接CE ，则CE 的长是 .【答案】5. 【解析】试题分析：如图，过点C 作MN ⊥BG ，分别交BG 、EF 于点M 、N ，根据旋转的旋转可得AB=BG=EF=CD=5，AD=GF=3，在Rt △BCG 中，根据勾股定理求得CG=4，再由1122BCGSBC CG BG CM =⋅=⋅,即可求得CM=125,在Rt △BCM 中，根据勾股定理求得95==，根据已知条件和辅助线作法易知四边形BENMW 为矩形，根据矩形的旋转可得BE=MN=3,BM=EN=95,所以CN=MN-CM=3-125=35,在Rt △ECN 中，根据勾股定理求得===.考点：四边形与旋转的综合题.10．（2017江苏苏州第18题）如图，在矩形CD AB 中，将C ∠AB 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，C B 的对应边C ''B 交CD 边于点G ．连接'BB 、CC '，若D 7A =，CG 4=，G ''AB =B ，则CC '='BB （结果保留根号）．【答案】5. 【解析】试题分析：连接AG,设DG=x,则 G=4+x ''AB =B在'Rt AB G ∆ 中，22492(4)1x x x +=+⇒= ，则5,7AB BC ==''CC BB ∴==考点：旋转的性质，勾股定理 .11. (2017山东菏泽第11题)菱形ABCD 中， 60=∠A ，其周长为cm 24，则菱形的面积为____2cm . 【答案】183. 【解析】试题分析：如图，连接BD ，作DE ⊥AB,已知菱形的周长为cm 24，根据菱形的性质可得AB=6;再由 60=∠A ，即可判定△ABD 是等边三角形；求得DE=33,所以菱形的面积为：6×33=183.12. （2017浙江湖州第13题）已知一个多边形的每一个外角都等于72，则这个多边形的边数是．【答案】5考点：多边形的外角和三、解答题1. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证.,（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据上图完成这个推论的证明过程．证明：()ADC ANF FGC NFGD S S S S ∆∆∆=-+矩形，ABC EBMF S S ∆=-矩形（____________+____________）．易知，ADC ABC S S ∆∆=，_____________=______________，______________=_____________．可得NFGD EBMF S S =矩形矩形．【答案】,,,AEF CFM ANF AEF FGC CFM S S S S S ∆∆∆∆∆；；S . 【解析】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可. 本题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：(),()ADC ANF FGC ABC AEF FMC NFGD EBMF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-+矩形矩形 , ∴,,ADC ABC ANF AEF FGC FMC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=== , ∴NFGD EBMF S S =矩形矩形 .考点：矩形的性质，三角形面积计算.2. (2017北京第22题)如图，在四边形ABCD 中，BD 为一条对角线，0//,2,90AD BC AD BC ABD =∠=，E 为AD 的中点，连接BE .（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分,1BAD BC ∠=，求AC 的长.【答案】（1）证明见解析.（2【解析】试题分析：（1）先证四边形是平行四边形，再证其为菱形；（2）利用等腰三角形的性质，锐角三角函数，即可求解. 本题解析：(1)证明：∵E 为AD 中点，AD=2BC,∴BC=ED, ∵AD ∥BC, ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD=2BE, ∠ABD=90°,AE=DE ∴BE=ED, ∴四边形ABCD 是菱形.(2)∵AD ∥BC,AC 平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴BA=BC=1, ∵AD=2BC=2，∴sin ∠ADB=12,∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°, ∠ADC=60°.在RT △ACD 中，AD=2，CD=1，考点：平行线性质，菱形判定，直角三角形斜边中线定理.3. (2017天津第24题)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中，点)0,3(A ，点)1,0(B ，点)0,0(O .P 是边AB 上的一点（点P 不与点B A ,重合），沿着OP 折叠该纸片，得点A 的对应点'A . （1）如图①，当点'A 在第一象限，且满足OB B A ⊥'时，求点'A 的坐标；（2）如图②，当P 为AB 中点时，求B A '的长；（3）当030'=∠BPA 时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）点A ，1）；（2）1；（3）33(,22-或3(,22. 【解析】试题分析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，可得，根据折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP ，由全等三角形的性质可得OA ’,在Rt △A ’OB 中，根据勾股定理求得'A B 的长，即可求得点A 的坐标；（2）在Rt △AOB 中，根据勾股定理求得AB=2，再证△BOP 是等边三角形，从而得∠OPA =120°.在判定四边形OPA ’B 是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得B A '的长；试题解析：（1）因点)0,3(A ，点)1,0(B ，∴根据题意，由折叠的性质可得△A ’OP ≌△AOP.∴OA ’由OB B A ⊥'，得∠A ’BO=90°.在Rt △A ’OB 中，'A B =∴点A ，1）.(2) 在Rt △AOB 中，∴2AB ==∵当P 为AB 中点， ∴AP=BP=1,OP=12AB=1. ∴OP=OB=BP,∴△BOP 是等边三角形 ∴∠BOP=∠BPO=60°， ∴∠OPA=180°-∠BPO=120°. 由（1）知，△A ’OP ≌△AOP ， ∴∠OPA’=∠OPA =120°，P ’A=PA=1，又OB=PA ’=1，∴四边形OPA ’B 是平行四边形. ∴A ’B=OP=1.(3)33(22或3(,22. 4. (2017福建第24题)如图，矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，,P E 分别是线段AC 、BC 上的点，且四边形PEFD 为矩形．（Ⅰ）若PCD ∆是等腰三角形时，求AP 的长；（Ⅱ）若AP =CF 的长．【答案】（Ⅰ）AP 的长为4或5或145；（Ⅱ）CF=4【解析】试题分析：（Ⅰ）分情况CP=CD 、PD=PC 、DP=DC 讨论即可得；（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，通过证明△ADP ∽△CDF ，从而得34CF CD AP AD == ，由，从而可得 .试题解析：（Ⅰ）在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，∴DC=AB=6，；要使△PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：（1）当CP=CD 时，CP=6，∴AP=AC-CP=4 ；（2）当PD=PC 时，∠PDC=∠PCD ，∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，∴∠PAD=∠PDA ，∴PD=PA ，∴PA=PC ，∴AP=2AC，即AP=5；（3）当DP=DC 时，过D 作DQ ⊥AC 于Q ，则PQ=CQ ，∵S △ADC =12 AD ·DC=12AC ·DQ ，∴DQ=245AD DC AC =，185=，∴PC=2CQ =365 ,∴AP=AC-PC=145. 综上所述，若△PCD 是等腰三角形，AP 的长为4或5或145；（Ⅱ）连结PF 、DE ，记PF 与DE 的交点为O ，连结OC ，∵四边形ABCD 和PEFD 都是矩形，∴∠ADC=∠PDF=90°，即∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF ，∴∠ADP=∠CDF ，∵∠BCD=90°，OE=OD ，∴OC=12 ED ，在矩形PEFD 中，PF=DE ，∴OC=12PF ，∵OP=OF=12PF ，∴OC=OP=OF，∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，又∵∠OPC +∠OFC+∠PCF=180°，∴2∠OCP+2∠OCF=180°，∴∠PCF=90°，即∠PCD+∠FCD=90°，在Rt △ADC 中，∠PCD+∠PAD=90°，∴∠PAD=∠FCD ，∴△ADP ∽△CDF ，∴34C F C DA P A D==，，∴CF=4 .5.（2017广东广州第24题）如图13，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，COD∆关于CD的对称图形为CED∆．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若6cmAB=，BC=．①求sin EAD∠的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1/cm s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动．当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．【答案】（1）详见解析；（2）①2sin3EAD∠=②32AP=和Q走完全程所需时间为32s【解析】（2）①连接OE ,直线OE分别交AB于点F ,交DC于点G COD∆关于CD的对称图形为CED∆,OE DC DC AB∴⊥,OF AB EF AD∴⊥在矩形ABCD中，G为DC的中点，且O为AC的中点OG∴为CAD∆的中位线OG GE∴==同理可得：F为AB的中点，3OF AF==92AE∴===32sin sin932EAD AEFEAD AEF∠=∠∴∠=∠==②过点P作PM AB⊥交AB于点MQ∴由O运动到P所需的时间为3s由①可得，23AM AP=∴点O以1.5/cm s的速度从P到A所需的时间等于以1/cm s从M运动到A即：11OP PAOP MAt t t OP MA=+=+=+Q∴由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.如下图，当P运动到1P ,即1PO AB时，所用时间最短.3t OP MA∴=+=在11Rt APM∆中，设112,3AM x AP x==222221111(3)=(2)AP AM PM x x=+∴解得：12x=32AP∴=32AP∴=和Q走完全程所需时间为32s考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置 6. （2017山东青岛第24题）（本小题满分12分）已知：Rt △EFP 和矩形ABCD 如图①摆放（点P 与点B 重合），点F ，B （P ），C 在同一条直线上，AB ＝EF ＝6cm ，BC ＝FP ＝8cm ，∠EFP ＝90°。

2020年中考数学中考真题分类专题解析汇编：专题10：四边形

2020年中考数学试题分类解析汇编专题10：四边形一、选择题1. （2019广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A。

【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。

【分析】根据题意画出图形，如右图所示：连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC。

∴EF=GH，EF∥GH。

∴四边形EFGH是平行四边形。

由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC=BD或AC⊥BD不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。

故选A。

2．（2019广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】A．26B．25C．21D．20【答案】C。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。

∴BE=AD=5。

∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。

∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。

∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。

故选C。

3. （2019广东广州3分）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形【答案】C。

【考点】命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定。

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除：A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误。

2020年全国中考数学试题精选分类(9)——四边形(含解析)

2020年全国中考数学试题精选分类（9）——四边形一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC 2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5 5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010 7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5 9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm 10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE 15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50 17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5 19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4 20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6 22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1 27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96 28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 29．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个30．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°二．填空题（共4小题）31．（2020•德阳）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G 是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝．32．（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，AE，BC的延长线交于点F．若△ECF的面积为1，则四边形ABCE的面积为．33．（2020•鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．以上结论正确的有（把所有正确结论的序号都填上）．34．（2020•河池）如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE ∥AB，则OE的长是．三．解答题（共16小题）35．（2020•济南）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．36．（2020•阜新）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．（1）如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周．①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH＝CH；②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．37．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．（1）当点F在线段AD上时．①求证：BE＝DG；②求证：CD﹣FD＝BE；（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．38．（2020•鞍山）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关系是；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH 中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．39．（2020•朝阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．（1）如图1，求证：AM＝CE；（2）如图2，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求的值；（3）如图3，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现，请直接写出的值．40．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM∠EPN；②的值是；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．41．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC 上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P 重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝．42．（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A′B′C′D′，∠BAD＝∠B′A′D′，起始位置点A在边A′B′上，点B在A′B′所在直线上，点B在点A的右侧，点B′在点A′的右侧，连接AC和A′C′，将菱形ABCD以A为旋转中心逆时针旋转α角（0°＜α＜180°）．（1）如图1，若点A与A′重合，且∠BAD＝∠B′A′D′＝90°，求证：BB′＝DD′．（2）若点A与A′不重合，M是A′C′上一点，当MA′＝MA时，连接BM和A′C，BM和A′C所在直线相交于点P．①如图2，当∠BAD＝∠B′A′D′＝90°时，请猜想线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．②如图3，当∠BAD＝∠B′A′D′＝60°时，请求出线段BM和线段A′C的数量关系及∠BPC的度数．③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．43．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：OE＝OF．（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．44．（2020•盐城）木门常常需要雕刻美丽的图案．（1）图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AD长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；（2）如图②，对于（1）中的木门，当模具换成边长为30厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴木门的一边，使模具进行滑动雕刻．但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合．再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长．45．（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．46．（2020•吉林）能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD＝AG＝5，AB＝9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②．则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为．【操作二】将图②中的平行四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③，若sin∠BAD＝，则四边形DCFG的面积为．47．（2020•云南）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．48．（2020•湖北）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD 上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是；（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．49．（2020•宜昌）菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，0°＜∠ABO≤60°，点G是射线OD上一个动点，过点G作GE∥DC交射线OC于点E，以OE，OG为邻边作矩形EOGF．（1）如图1，当点F在线段DC上时，求证：DF＝FC；（2）若延长AD与边GF交于点H，将△GDH沿直线AD翻折180°得到△MDH．①如图2，当点M在EG上时，求证：四边形EOGF为正方形；②如图3，当tan∠ABO为定值m时，设DG＝k•DO，k为大于0的常数，当且仅当k＞2时，点M在矩形EOGF的外部，求m的值．50．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA 重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝5，CD＝1，AD＞AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长；②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求△MNC周长的最小值．2020年全国中考数学试题精选分类（9）——四边形参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ADB＝90°B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC【答案】D【解答】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．2．（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（）A．4B．C．6D．【答案】B【解答】解：连结BP，如图，∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△P AB+S△PBC，∴×5×PE+×5×PF＝12，∴PE+PF＝，故选：B．3．（2020•大庆）如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A 运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y＝时，x的值为（）A．或2+B．或2﹣C．2±D．或【答案】A【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1，∵y＝，∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5，∴OA•2＝1.5，∴OA＝，∴AM＝1+＝．如图2中，当点A在正方形外部时，由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT，∴2.5＝××﹣1﹣×2AN×AN，解得AN＝，∴AM＝2+，综上所述，满足条件的AM的值为或2+，故选：A．4．（2020•河池）如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED ＝4．则CE的长是（）A．5B．6C．4D．5【答案】C【解答】解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故选：C．5．（2020•绵阳）如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（）A．2条B．4条C．6条D．8条【答案】B【解答】解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，所以此图形的对称轴有4条．故选：B．6．（2020•鄂尔多斯）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形OA2A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4，…，的面积分别为S1，S2，S3，…，如此下去，则S2020的值为（）A．B．22018C．22018+D．1010【答案】B【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝1×1＝，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA2＝A2A3＝2，∴S2＝2×1＝1，同理可求：S3＝2×2＝2，S4＝4…，∴S n＝2n﹣2，∴S2020＝22018，故选：B．7．（2020•十堰）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BAD＝120°，则||＝（）A．B．3C．D．【答案】B【解答】解：根据对称性可知，反比例函数，的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠COM+∠DON＝90°，∠DON+∠ODN＝90°，∴∠COM＝∠ODN，∵∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△COM∽△ODN，∴，∵菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD＝120°，∴∠OCD＝60°，∠COD＝90°，∴，∴，∴，∴．故选：B．8．（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【答案】B【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．9．（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（）A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10（cm），∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm，故选：D．10．（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝BC．证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF 是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF BC；②∴CF AD．即CF BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝BC．则正确的证明顺序应是：（）A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④【答案】A【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，∴DE∥BC，且DE＝BC．∴正确的证明顺序是②→③→①→④，故选：A．11．（2020•十堰）已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC ⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【解答】解：A．AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故A不符合题意；B．AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故B符合题意；C．AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；D．AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D不符合题意．故选：B．12．（2020•烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【答案】C【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．13．（2020•宜昌）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（）A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B．每段直路要短C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走D．每段直路要长【答案】A【解答】解：∵从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，∴＝72°，∴每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走．故选：A．14．（2020•通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（）A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE【答案】A【解答】解：添加∠BAC＝90°时，∵AD是△ABC的中线，∴AD＝BC＝CD，∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；添加∠DAE＝90°，∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；添加AB＝AE，∵AE＝AB，AB＞AD，∴AE＞AD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；故选：A．15．（2020•威海）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tanα的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，由已知可得，GE∥BF，CE＝EF，∴△CEG∽△CFB，∴，∵，∴，∵BC＝3，∴GB＝，∵l3∥l4，∴∠α＝∠GAB，∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，∴tan∠BAG＝＝，∴tanα的值为，故选：A．16．（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）A．20B．30C．40D．50【答案】C【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AB＝5，∴AB＝10，∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．17．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD ∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2）B．（2，﹣4）C．（2，0）D．（0，2）或（0，﹣2）【答案】D【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，A、B、C均在坐标轴上，如图，∵∠BAD＝60°，AD＝4，∴∠OAD＝30°，∴OD＝2，∴AO＝＝＝OC，∴点C的坐标为（0，），同理：当点C旋转到y轴正半轴时，点C的坐标为（0，），∴点C的坐标为（0，）或（0，），故选：D．18．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．B．C．3D．5【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，∵H为BC中点，∴OH＝BC＝．故选：B．19．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD ＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．4【答案】B【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴OD＝BD＝×6＝3，OA＝AC＝×8＝4，AC⊥BD，由勾股定理得，AD＝＝5，∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，∴OE＝AD＝×5＝2.5，故选：B．20．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【答案】B【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．21．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH＝BD，∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝×12×BD＝48，∴BD＝8，∴OH＝BD＝4；故选：A．22．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE＝BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，DE＝BC；①正确；∵EF＝DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形；②正确；∴CF∥BD，CF＝BD，∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB＝BD，∴CF＝CD，∴∠CFE＝∠CDE，∵∠CDE+∠EGC＝180°，∠EGF+∠EGC＝180°，∴∠CDE＝∠EGF，∴∠CFE＝∠EGF，∴EF＝EG，③正确；作EH⊥FG于H，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH＝FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴＝，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF＝＝＝，∴BC＝2DE＝2EF＝2，④正确；故选：D．23．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC 的面积为S2，则（）A．S1+S2＞B．S1+S2＜C．S1+S2＝D．S1+S2的大小与P点位置有关【答案】C【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC的延长线于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，，，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2＝，故选：C．24．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B 重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤【答案】D【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．∵BE＝BH，∠EBH＝90°，∴EH＝BE，∵AF＝BE，∴AF＝EH，∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，∴∠F AE＝∠EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∴AE＝HC，∴△F AE≌△EHC（SAS），∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，∵∠ECH+∠CEB＝90°，∴∠AEF+∠CEB＝90°，∴∠FEC＝90°，∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），∴∠ECB＝∠DCH，∴∠ECH＝∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∴EG＝BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，∵﹣＜0，∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，解得x＝，∴AG＝GD，故⑤正确，故选：D．25．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【答案】C【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．26．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF ＝BD；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE平分∠BOD，故①正确；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，故②正确；③∵△AOF≌△ABD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠F AG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；故选：A．27．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB 于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．96【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝．故选：C．28．（2020•泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG＝2cm，底边BC ＝6cm，∠B＝45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若∠BEF＝30°，则AF的长为（）A．1cm B．cm C．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm 【答案】D【解答】解：过F作FH⊥BC于H，∵高AG＝2cm，∠B＝45°，∴BG＝AG＝2cm，∵FH⊥BC，∠BEF＝30°，∴EH＝，∵沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，∴AF＝CE，∵AG⊥BC，FH⊥BC，。

2019、2020年浙江中考数学试题分类(5)——三角形与四边形(含答案)

2019、2020年浙江中考数学试题分类（5）——三角形与四边形一．三角形三边关系（共3小题）1．（2020•绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，113．（2019•金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．8二．三角形内角和定理（共2小题）4．（2019•绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，c，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A．5°B．10°C．30°D．70°5．（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°三．全等三角形的判定与性质（共4小题）6．（2020•湖州）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（）A．DC＝DT B．AD=√2DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC7．（2020•宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长8．（2020•台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．9．（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．四．角平分线的性质（共1小题）10．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24 B．30 C．36 D．42五．等腰三角形的性质（共2小题）11．（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C 点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°12．（2020•绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°．思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．六．等边三角形的判定与性质（共1小题）13．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA ，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是．七．勾股定理（共2小题）14．（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．较小两个正方形重叠部分的面积D ．最大正方形与直角三角形的面积和15．（2020•绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，m 为半径作弧，两弧交于点D ，连结BD ．若BD 的长为2√3，则m 的值为．八．勾股定理的证明（共1小题）16．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连结EG ，BD 相交于点O 、BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形SSSSS 正方形SSSS 的值是（）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154 九．勾股定理的应用（共3小题）17．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√341718．（2019•衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D ．现测得AB ＝8dm ，DC ＝2dm ，则圆形标志牌的半径为（）A ．6dmB ．5dmC ．4dmD ．3dm19．（2020•衢州）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O ，P 两点固定，连杆P A ＝PC ＝140cm ，AB ＝BC ＝CQ ＝QA ＝60cm ，OQ ＝50cm ，O ，P 两点间距与OQ 长度相等．当OQ 绕点O 转动时，点A ，B ，C 的位置随之改变，点B 恰好在线段MN 上来回运动．当点B 运动至点M 或N 时，点A ，C 重合，点P ，Q ，A ，B 在同一直线上（如图3）．（1）点P 到MN 的距离为 cm ．（2）当点P ，O ，A 在同一直线上时，点Q 到MN 的距离为 cm ．一十．等腰直角三角形（共1小题）20．（2019•宁波）已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若∠1＝25°，则∠2的度数为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°一十一．三角形中位线定理（共1小题）21．（2020•宁波）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF ．若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．4一十二．三角形综合题（共1小题）22．（2020•金华）如图，在△ABC 中，AB ＝4√2，∠B ＝45°，∠C ＝60°．（1）求BC 边上的高线长．（2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ．①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数．②如图3，连结AP ，当PF ⊥AC 时，求AP 的长．一十三．多边形（共2小题）23．（2020•湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC ′D ′．若∠D ′AB ＝30°，则菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是（）A ．1B ．12C ．√22 D ．√3224．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．√2C．√3D．2一十四．平面镶嵌（密铺）（共1小题）25．（2019•绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F 分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是．一十五．平行四边形的性质（共2小题）26．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°27．（2020•绍兴）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．一十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）28．（2019•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．一十七．菱形的性质（共1小题）29．（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．一十八．菱形的判定（共1小题）30．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件：，使▱ABCD 是菱形．一十九．矩形的性质（共6小题）31．（2019•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（） A ．14 B ．12 C ．817 D ．815 32．（2019•金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ．已知AB ＝m ，∠BAC ＝∠α，则下列结论错误的是（）A ．∠BDC ＝∠αB ．BC ＝m •tan α C ．AO =S 2SSSSD ．BD =S SSSS 33．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的（填序号）．①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3． 34．（2019•绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，AB ＝AE ＝6，BC ＝5，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝135°，∠E ＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE 上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．（1）若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积．（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．35．（2019•舟山）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．36．（2019•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．二十．正方形的性质（共5小题）37．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和238．（2019•绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E 从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变39．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为．40．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的度数为．41．（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．二十一．正方形的判定与性质（共1小题）42．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②二十二．四边形综合题（共8小题）43．（2020•衢州）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1S2=13时，求SSSS的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的110时，请直接写出tan∠BAE的值．44．（2020•嘉兴）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF ＝4cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．45．（2020•绍兴）如图1，矩形DEFG中，DG＝2，DE＝3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝2，OC＝4．将△ABC绕点O逆时针旋转α（0°≤α＜180°）得到△A′B′C′．（1）当α＝30°时，求点C′到直线OF的距离．（2）在图1中，取A′B′的中点P，连结C′P，如图2．①当C′P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C′到直线DE的距离．②当线段A′P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．46．（2020•温州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=−65x+12，当Q为BF中点时，y=24 5．（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．（2）求DE，BF的长．（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．47．（2019•舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝a，AD＝h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM＝90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．48．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．49．（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．50．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）2019、2020年浙江中考数学试题分类（5）——三角形与四边形参考答案与试题解析一．三角形三边关系（共3小题）1．【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．2．【解答】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．3．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：C．二．三角形内角和定理（共2小题）4．【解答】解：∠3＝∠2＝100°，∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，故选：B．5．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．三．全等三角形的判定与性质（共4小题）6．【解答】解：如图，连接OD．∵OT是半径，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切线，∵DC是⊙O的切线，∴DC＝DT，故选项A正确，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵DC是切线，∴CD⊥OC，∴∠ACD＝90°，∴∠A＝∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝DT，∴AC=√2CD=√2DT，故选项B正确，∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，∴△DOC≌△DOT（SSS），∴∠DOC＝∠DOT，∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，∴∠AOT＝∠BOT＝45°，∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，∴BO＝BD，故选项C正确，根据筛选法，故选：D．7．【解答】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．9．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，∴AE=√SS2+SS2=√25+144=13．四．角平分线的性质（共1小题）10．【解答】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4＝30，故选：B．五．等腰三角形的性质（共2小题）11．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．12．【解答】解：（1）∠DAC的度数不会改变；∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，①，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∵∠BAE＝90°，∴∠B＝90°﹣∠AED＝90°﹣2∠C，∴∠BAD=12（180°﹣∠B）=12[180°﹣（90°﹣2∠C）]＝45°+∠C，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣（45°+∠C）＝45°﹣∠C，②由①，②得，∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝45°﹣∠C+∠C＝45°；（2）设∠ABC＝m°，则∠BAD=12（180°﹣m°）＝90°−12m°，∠AEB＝180°﹣n°﹣m°，∴∠DAE＝n°﹣∠BAD＝n°﹣90°+12m°，∵EA＝EC，∴∠CAE=12S AEB＝90°−12n°−12m°，∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝n°﹣90°+12m°+90°−12n°−12m°=12n°．六．等边三角形的判定与性质（共1小题）13．【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．七．勾股定理（共2小题）14．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．15．【解答】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE=√3，当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2√3，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；当点D、B在AC的同侧时，如图，∵BD′＝2√3，∴D′E＝3√3，∴AD′=√(3√3)2+12=2√7，∴m＝2√7，综上所述，m的值为2或2√7，故答案为：2或2√7．八．勾股定理的证明（共1小题）16．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°， ∴∠GBC ＝22.5°， ∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ， ∴△BPG ≌△BCG （ASA ）， ∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ， ∵O 为EG ，BD 的交点， ∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF ＝CG ＝x ， ∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=S 2(√2+1)2+S 2=(4+2√2)S 2， ∴S 正方形SSSS S 正方形SSSS=(4+2√2)S 22S 2=2+√2．故选：B ．九．勾股定理的应用（共3小题） 17．【解答】解：过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6，解得：x ＝4， ∴DE ＝4， ∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√SS 2+SS 2=√42+32=5， ∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°， ∴△CDE ∽△CBF ， ∴SS SS =SS SS ，即3SS=58，∴CF =245．故选：A ．18．【解答】解：连接OA ，OD ，∵点A ，B ，C 在⊙O 上，CD 垂直平分AB 于点D ．AB ＝8dm ，DC ＝2dm ， ∴AD ＝4dm ，设圆形标志牌的半径为r ，可得：r 2＝42+（r ﹣2）2，解得：r ＝5，故选：B ． 19．【解答】解：（1）如图3中，延长PO 交MN 于T ，过点O 作OH ⊥PQ 于H ．由题意：OP ＝OQ ＝50cm ，PQ ＝P A ﹣AQ ＝140﹣60＝80（cm ），PM ＝P A +BC ＝140+60＝200（cm ），PT ⊥MN ，∵OH ⊥PQ ，∴PH ＝HQ ＝40（cm ）， ∵cos ∠P =SSSS =SSSS ， ∴4050=SS 200，∴PT ＝160（cm ），∴点P 到MN 的距离为160cm ，故答案为160．（2）如图4中，当O ，P ，A 共线时，过Q 作QH ⊥PT 于H ．设HA ＝xcm ．由题意AT ＝PT ﹣P A ＝160﹣140＝20（cm ），OA ＝P A ﹣OP ＝140﹣50＝90（cm ），OQ ＝50cm ，AQ ＝60cm ， ∵QH ⊥OA ，∴QH 2＝AQ 2﹣AH 2＝OQ 2﹣OH 2， ∴602﹣x 2＝502﹣（90﹣x ）2，解得x =4609，∴HT ＝AH +AT =6409（cm ）， ∴点Q 到MN 的距离为6409cm ．故答案为6409．一十．等腰直角三角形（共1小题） 20．【解答】解：设AB 与直线n 交于点E ，则∠AED ＝∠1+∠B ＝25°+45°＝70°．又直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°．故选：C ．一十一．三角形中位线定理（共1小题） 21．【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6， ∴AB =√SS 2+SS 2=√82+62=10．又∵CD 为中线， ∴CD =12AB ＝5．∵F 为DE 中点，BE ＝BC 即点B 是EC 的中点， ∴BF 是△CDE 的中位线，则BF =12CD ＝2.5．故选：B ．一十二．三角形综合题（共1小题） 22．【解答】解：（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D ．在Rt △ABD 中，AD ＝AB •sin45°＝4√2×√22=4．（2）①如图2中，∵△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝EP ，∵AE ＝EB ，∴BE ＝EP ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠PEB ＝90°，∴∠AEP ＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC =SS SSS60°=8√33， ∵PF ⊥AC ，∴∠PF A ＝90°，∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，∴∠AFE ＝∠B ，∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴SS SS =SS SS ，即4√2=√28√33，∴AF ＝2√3，在Rt △AFP ，AF ＝FP ，∴AP =√2AF ＝2√6．方法二：AE ＝BE ＝PE 可得直角三角形ABP ，由PF ⊥AC ，可得∠AFE ＝45°，可得∠F AP ＝45°，即∠P AB ＝30°． AP ＝AB cos30°＝2√6．一十三．多边形（共2小题）23．【解答】解：根据题意可知菱形ABC ′D ′的高等于AB 的一半，∴菱形ABC ′D ′的面积为12SS 2，正方形ABCD 的面积为AB 2． ∴菱形ABC ′D ′的面积与正方形ABCD 的面积之比是12．故选：B ．24．【解答】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度=√32×2=√3．故选：C ．一十四．平面镶嵌（密铺）（共1小题）25．【解答】解：如图所示：图1的周长为1+2+3+2√2=6+2√2；图2的周长为1+4+1+4＝10；图3的周长为3+5+√2+√2=8+2√2．故四边形MNPQ 的周长是6+2√2或10或8+2√2．故答案为：6+2√2或10或8+2√2．一十五．平行四边形的性质（共2小题）26．【解答】解：∵在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，∴∠C ＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴∠E ＝70°．故选：D ．27．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CF ，∴∠DAE ＝∠CFE ，∠ADE ＝∠FCE ，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，在△ADE 和△FCE 中，{∠SSS =∠SSS SSSS =SSSS SS =SS，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．一十六．平行四边形的判定与性质（共1小题）28．【解答】（1）证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC ，EF ∥AB ，∴DF ∥BE ，EF ∥BD ，∴四边形BEFD 是平行四边形；（2）解：∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝6，∴DF ＝DB ＝DA =12AB ＝3，∵四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形，∵DB ＝3，∴四边形BEFD 的周长为12．一十七．菱形的性质（共1小题）29．【解答】解：如图所示，连接IC，连接CH交OI于K，则A，H，C在同一直线上，CI＝2，∵三个菱形全等，∴CO＝HO，∠AOH＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOH+∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOC+∠BOH＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO=√2x，IK=√2x﹣x，∵Rt△CIK中，（√2x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+√2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK=12IC×BO，∴√2x2=12×2×BO，∴BO＝2√2+2，∴BE＝2BO＝4√2+4，AB＝AE=√2BO＝4+2√2，∴△ABE的周长＝4√2+4+2（4+2√2）＝12+8√2，故答案为：12+8√2．一十八．菱形的判定（共1小题）30．【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴当AD＝DC，▱ABCD为菱形；故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．一十九．矩形的性质（共6小题）31．【解答】解：如图，∵∠ADC＝∠HDF＝90°∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°∴△CDM≌△HDN（ASA）∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形∴四边形DNKM是菱形∴KM＝DM∵sinα＝sin∠DMC=SS SS∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，∵MD2＝CD2+MC2，∴a 2＝4+（8﹣a ）2，∴a =174 ∴CM =154 ∴tan α＝tan ∠DMC =SS SS =815 故选：D ．32．【解答】解：A 、∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠DCB ＝90°，AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴AO ＝OB ＝CO ＝DO ，∴∠DBC ＝∠ACB ，∴由三角形内角和定理得：∠BAC ＝∠BDC ＝∠α，故本选项不符合题意；B 、在Rt △ABC 中，tan α=SS S ，即BC ＝m •tan α，故本选项不符合题意；C 、在Rt △ABC 中，AC =S SSSS ，即AO =S 2SSSS ，故本选项符合题意； D 、∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ＝AB ＝m ，∵∠BAC ＝∠BDC ＝α，∴在Rt △DCB 中，BD =S SSSS，故本选项不符合题意；故选：C ．33．【解答】解：如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2−1，④√32，不可以是√3．故答案为：①②③④．34．【解答】解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC ，如图1所示：过点C 作CF ⊥AE 于F ，S 1＝AB •BC ＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE ，如图2所示：过点E 作EF ∥AB 交CD 于F ，FG ⊥AB 于G ，过点C 作CH ⊥FG 于H ，则四边形AEFG 为矩形，四边形BCHG 为矩形，∵∠C ＝135°，∴∠FCH ＝45°，∴△CHF 为等腰直角三角形，∴AE ＝FG ＝6，HG ＝BC ＝5，BG ＝CH ＝FH ，∴BG ＝CH ＝FH ＝FG ﹣HG ＝6﹣5＝1，∴AG ＝AB ﹣BG ＝6﹣1＝5，∴S2＝AE•AG＝6×5＝30；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，∵∠C＝135°，∴∠FCG＝45°，∴△CGF为等腰直角三角形，∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6﹣x，∴FM＝GM+FG＝GM+CG＝BC+BM＝11﹣x，∴S＝AM×FM＝x（11﹣x）＝﹣x2+11x＝﹣（x﹣5.5）2+30.25，∴当x＝5.5时，即：AM＝5.5时，FM＝11﹣5.5＝5.5，S的最大值为30.25．35．【解答】解：添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABD＝∠BDC，又∵BE＝DF（添加），∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF．36．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．二十．正方形的性质（共5小题）37．【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．38．【解答】解：连接DE，∵S△SSS=12S四边形SSSS，S △SSS =12S 正方形SSSS ，∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等．故选：D ．39．【解答】解：由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2，故直角三角形的另一条直角边长为：√32−22=√5，故阴影部分的面积是：2×√52×4=4√5，故答案为：4√5．40．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，∴∠BAM ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD ＝AB ，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的同侧时，由题意得，点E 与点B 重合， ∴∠ADE ＝45°，当点E 与正方形ABCD 的直线AP 的两侧时，由题意得，E ′A ＝E ′M ， ∴△AE ′M 为等边三角形，∴∠E ′AM ＝60°，∴∠DAE ′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD ＝AE ′，∴∠ADE ′＝15°，故答案为：15°或45°．41．【解答】解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴DE ＝1﹣a ，∵S 1＝S 2，∴a 2＝1×（1﹣a ），解得，S 1=−√52−12（舍去），S 2=√52−12，即线段CE 的长是√52−12；（2）证明：∵点H 为BC 边的中点，BC ＝1，∴CH ＝0.5，∴DH =√12+0．52=√52，∵CH ＝0.5，CG =√52−12， ∴HG =√52， ∴HD ＝HG ．二十一．正方形的判定与性质（共1小题）42．【解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．二十二．四边形综合题（共8小题）43．【解答】（1）解：如图1中，△AFG 是等腰三角形．理由：∵AE 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，∵DF ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHG ＝90°，∵AH ＝AH ，∴△AHF ≌△AHG （ASA ），∴AF ＝AG ，∴△AFG 是等腰三角形．（2）证明：如图2中，过点O 作OL ∥AB 交DF 于L ，则∠AFG ＝∠OLG ．∵AF ＝AG ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∵∠AGF ＝∠OGL ，∴∠OGL ＝∠OLG ，∴OG ＝OL ，∵OL ∥AB ，∴△DLO ∽△DFB ，∴SS SS =SS SS ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝2OD ，∴BF ＝2OL ，∴BF ＝2OG ．（3）解：如图3中，过点D 作DK ⊥AC 于K ，则∠DKA ＝∠CDA ＝90°，∵∠DAK ＝∠CAD ，∴△ADK ∽△ACD ，∴SS SS =SS SS ，∵S 1=12•OG •DK ，S 2=12•BF •AD ，又∵BF ＝2OG ，S 1S 2=13， ∴SS SS=23=SS SS ，设CD ＝2x ，AC ＝3x ，则AD =√5x ， ∴SS SS =SS SS =√52．（4）解：设OG ＝a ，AG ＝k ．①如图4中，连接EF ，当点F 在线段AB 上时，点G 在OA 上．∵AF ＝AG ，BF ＝2OG ，∴AF ＝AG ＝k ，BF ＝2a ，∴AB ＝k +2a ，AC ＝2（k +a ），∴AD 2＝AC 2﹣CD 2＝[2（k +a ）]2﹣（k +2a ）2＝3k 2+4ka ，∵∠ABE ＝∠DAF ＝90°，∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ，∴SS SS =SS SS ，即SS SS =SS SS ，∴SS S +2S =S SS ，∴BE =S (S +2S )SS ，由题意：10×12×2a ×S (S +2S )SS =AD •（k +2a ）， ∴AD 2＝10ka ，即10ka ＝3k 2+4ka ，∴k ＝2a ，∴AD ＝2√5a ，∴BE =S (S +2S )SS =4√55a ，AB ＝4a ， ∴tan ∠BAE =SS SS =√55．②如图5中，当点F 在AB 的延长线上时，点G 在线段OC 上，连接EF ．∵AF ＝AG ，BF ＝2OG ，∴AF ＝AG ＝k ，BF ＝2a ，∴AB ＝k ﹣2a ，AC ＝2（k ﹣a ），∴AD 2＝AC 2﹣CD 2＝[2（k ﹣a ）]2﹣（k ﹣2a ）2＝3k 2﹣4ka ，∵∠ABE ＝∠DAF ＝90°，∠BAE ＝∠ADF ，∴△ABE ∽△DAF ，∴SS SS =SS SS ，即SS SS =SS SS ，∴SS S −2S =S SS ， ∴BE =S (S −2S )SS ，由题意：10×12×2a ×S (S −2S )SS =AD •（k ﹣2a ）， ∴AD 2＝10ka ，即10ka ＝3k 2﹣4ka ，∴k =143a ，∴AD =2√1053a ， ∴BE =S (S −2S )SS =8√10545a ，AB =83a ， ∴tan ∠BAE =SS SS =√10515，综上所述，tan ∠BAE 的值为√55或√10515．44．【解答】解：【思考】四边形ABDE 是平行四边形．证明：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，∠BAC ＝∠EDF ，∴AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形；【发现】如图1，连接BE 交AD 于点O ，∵四边形ABDE 为矩形，∴OA ＝OD ＝OB ＝OE ，设AF ＝x （cm ），则OA ＝OE =12（x +4），∴OF ＝OA ﹣AF ＝2−12x ，在Rt △OFE 中，∵OF 2+EF 2＝OE 2，∴(2−12S )2+32=14(S +4)2，解得：x =94，∴AF =94cm ．【探究】BD ＝2OF ，证明：如图2，延长OF 交AE 于点H ，由矩形的性质及旋转的性质知：OA ＝OB ＝OE ＝OD ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠ODE ＝∠OED ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∠OAE ＝∠OEA ，∴∠BDE +∠DEA ＝∠ABD +∠EAB ，∵∠ABD +∠BDE +∠DEA +∠EAB ＝360°，∴∠ABD +∠BAE ＝180°，∴AE ∥BD ，∴∠OHE ＝∠ODB ，∵EF 平分∠OEH ，∴∠OEF ＝∠HEF ，∵∠EFO ＝∠EFH ＝90°，EF ＝EF ，∴△EFO ≌△EFH （ASA ），∴EO ＝EH ，FO ＝FH ，∴∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ，∴△EOH ≌△OBD （AAS ），∴BD ＝OH ＝2OF ．45．【解答】解：（1）如图1中，过点C′作C′H⊥OF于H．∵∠HC′O＝∠C'OC＝α＝30°，∴C′H＝C′O•cos30°＝2√3，∴点C′到直线OF的距离为2√3．（2）①如图2中，当C′P∥OF时，过点C′作C′M⊥OF于M．∵C′P∥OF，∴∠O＝180°﹣∠OC′P＝45°，∴△OC′M是等腰直角三角形，∵OC′＝4，∴C′M＝2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2−2．如图3中，当C′P∥DG时，过点C′作C′N⊥FG于N．同法可证△OC′N是等腰直角三角形，∴C′N＝2√2，∴点C′到直线DE的距离为2√2+2．②设d为所求的距离．第一种情形：如图4中，当点A′落在DE上时，连接OA′，延长ED交OC于M．∵OA′＝2√5，OM＝2，∠OMA′＝90°，∴A′M=√S′S2−SS2=√(2√5)2−22=4，∴A′D＝2，即d＝2，如图5中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C′B′于Q．。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《四边形综合》(含答案)

中考数学复习专题训练：《四边形综合》1．问题发现：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC 边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P；问题探究：（2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD＝DE ＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值．问题解决：（3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C 处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE ＝x，EG＝y．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值．3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H．（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE．（2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．4．[问题引入]（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD两边上的点，且AE⊥BF，垂足为点P．求证：AE＝BF；[类比探究]（2）如图2，把（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，且AD＝2AB，其余条件不变，请你推断AE、BF满足怎样的数量关系，并说明你的理由；[实践应用]（3）如图3，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，E、F分别为CD、AD边上的点，连接AE、BF，恰好使得AE⊥BF，垂足为点P．请求出的值．5．如图，已知正方形ABCD中，BC＝4，AC、BD相交于点O，过点A作射线AM⊥AC，点E是射线AM上一点，联结OE交AB边于点F．以OE为一边，作正方形OEGH，且点A在正方形OEGH的内部，联结DH．（1）求证：△HDO≌△EAO；（2）设BF＝x，正方形OEGH的边长为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）联结AG，当△AEG是等腰三角形时，求BF的长．6．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”，如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么∠ACB＞∠ABC．证明如下：将AB沿△ABC的角平分线AD翻折（如图2），因为AB＞AC，所以点B落在AC的延长线上的点B′处．于是，由∠ACB＞∠B′，∠ABC＝∠B′，可得∠ACB＞∠ABC．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”，如图3，在△ABC中，如果∠ACB＞∠ABC，那么AB＞AC．小明的思路是：沿BC的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M为正方形ABCD的边CD上一点（不含端点），连接AM并延长，交BC的延长线于点N．求证：AM+AN＞2BD．7．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系；②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长．8．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC剪开，再把△ADC沿AB方向平移，得到图2，其中A'D交AC于E，A'C'交BC于F．（1）在图2中，除△ABC与△C'DA'外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明；（2）设AA'＝x．①当x为何值时，四边形A'ECF是菱形？②设四边形A'ECF的面积为y，求y的最大值．9．在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，连接CF．（1）如图①，求证：∠ECF＝45°；（2）如图②，作FG⊥AB，交BD于点G，求证：DE＝GE；（3）在（2）的条件下，如图③，延长FG交CE于点K，延长CE交AD于点M，连接MG、BK，若MG＝2EK，GK＝2，求线段BK的长．10．如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．11．如图，菱形ABCD中，AB＝10，连接BD，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP 与对角线BD交于点E，连接EC．（1）求证：AE＝CE；（2）若sin∠ABD＝，当点P在线段BC上时，若BP＝4，求△PEC的面积；（3）若∠ABC＝45°，当点P在线段BC的延长线上时，请直接写出△PEC是等腰三角形时BP的长．12．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ．连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF ．（1）若∠BAP ＝α，直接写出∠ADF 的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：BF ⊥DF ；（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明．13．已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E ，F 分别在OA ，OC 上，且OA ＝4，OE ＝2．将△OEF 绕点O 逆时针旋转，得△OE 1F 1，点E ，F 旋转后的对应点为E 1，F 1．（Ⅰ）①如图①，求E 1F 1的长；②如图②，连接CF 1，AE 1，求证△OAE 1≌△OCF 1；（Ⅱ）将△OEF 绕点O 逆时针旋转一周，当OE 1∥CF 1时，求点E 1的坐标（直接写出结果即可）．14．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．（1）如图1，若∠A＝90°，DE＝CF，求证：DE⊥CF；（2）如图2，若∠EGC+∠B＝180°．求证：DE＝CF；（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN 于点H，若∠FCD＝15°，BN＝，请直接写出FG的长度．15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．（1）观察猜想如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则△ADB 和△EAC是否全等？（填是或否），线段AB、AC、BD、CE之间的数量关系为．（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，AB＝6，以AC为直角边向外作等腰Rt △DAC，连接BD，求BD的长．（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝5，AD＝，DC＝DA，CG⊥BD于点G，求CG的长，17．已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N 在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值．18．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一个动点，把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F 处，过点F作GH∥CE，分别交AB、CD于点G、H．（1）求证：△EFG是等腰三角形；（2）如图①，若F是GH中点，求∠FGE的度数；（3）如图②，若点G与点A重合，AB＝30，BC＝20，求FH的长．19．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（4，0），点C，D在x轴上方，且四边形ABCD的面积为32，（1）若四边形ABCD是菱形，求点D的坐标．（2）若四边形ABCD是平行四边形，如图1，点E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，求AE+2EF的值．（3）若四边形ABCD是矩形，如图2，点M为对角线AC上的动点，N为边AB上的动点，求BM+MN的最小值．20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC与长方形DEFG的位置如图所示，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点B的横坐标为a，点D，E在x轴的负半轴上（点E在点D的右侧），点G的坐标为（b，﹣b），DE＝OA，实数a，b的值满足．（1）求点F的坐标；（2）长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移t（t＞0）秒得到矩形D'E'F'G'，点D'，E'，F'，G'分别为点D，E，F，G平移后的对应点，设矩形D'E'F'G'与正方形OABC 重合部分的面积为S，用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的范围；（3）在（2）的条件下，在长方形DEFG出发运动的同时，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），连接PD'，PG'，当三角形PD'G'的面积为15时，求S＞0时相应的t值，并直接写出此时刻S值及点P 的坐标．参考答案1．解：（1）如图①中，点P即为所求．当E，P，B共线时，BP的值最小．（2）如图②中，取BC的中点P，连接PA，PF．∵∠BDE＝90°，BD＝DE＝2，∴BE＝BD＝4，∴CF＝EF，CP＝PB＝2，∴PF＝BE＝2，∵∠ACP＝90°，AC＝4，CP＝2，∴PA＝＝＝2，∵AF≤PA+PF，∴AF≤2+2，∴AF的最大值为2+2．（3）如图③中，作△ABD的外接圆⊙O交CD于E，连接OE，EB，AC．∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°，∴∠CDB＝30°，∴∠EOB＝60°，∵EO＝EB，∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝，∵∠ECB＝60°，∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°，作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝，∴PE＝PB＝PC＝＝，∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，AP＝＝＝13，∵AC≤PA+PC，∴AC≤13+，∴AC的最大值为13+，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．∵PB∥CW，∴＝＝，∴＝＝，∴CW＝+1，BW＝2，∴BC＝＝＝，∴S＝•BC•BD＝•BC•BC＝×（26+2）＝13+．△BCD2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴∠BAE+∠EAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACF＝60°，∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△AEB和△AFC中，，∴△AEB≌△AFC（ASA），∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形；（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝，∠AEF＝60°，∵∠ABH＝60°，∴，BH＝HC＝1，∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|，∴EF＝＝，∵∠AEF＝∠B＝60°，∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠CEG＝∠BAE，∵∠B＝∠ACE＝60°，∴△BAE∽△CEG，∴，∴，∴y＝EG＝（0＜x＜2），（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形，∴AC＝2，∴OA＝OC＝1，∵EG＝EO，∴∠EOG＝∠EGO，∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG，∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，∴∠EGO＝∠CEA，∴∠EOG＝∠CEA，∵∠ECA＝∠OCE，∴△COE∽△CEA，∴，∴CE2＝CO•CA，∴x2＝1×2，∴x＝（x＝﹣舍去），即x＝．3．（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠HBE+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝90°，∴BH⊥DE；（2）解：MH2+HN2＝2CM2，理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE，∵∠DPH＝∠CPM，∴∠DHP＝∠BCP＝90°，∴∠MHN＝90°，∵M，N分别为BG，DE的中点，∴BM＝BG，DN＝DE，∴BM＝DN，∵BC＝CD，∴△BCM≌△DCN（SAS），∴CM＝CN，∠BCM＝∠DCN，∴∠MCN＝∠BCP＝90°，∴MH2+HN2＝CM2+CN2＝2CM2；（3）解：∵DH⊥PG，∴∠DHP＝∠DHG＝90°，把△PDH沿着PD翻折得到△APD，把△GDH沿着DG翻折得到△DGC，∴AD＝DH＝CD，∠A＝∠C＝∠DHP＝90°，∠ADP＝∠HDP，∠GDH＝∠GDC，AP＝PH＝2，CG＝HG＝4，∵∠PDG＝45°，∴∠ADC＝90°，延长AP，CG交于B，则四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，设DH＝AD＝AB＝BC＝x，∴PB＝x﹣2，BG＝x﹣4，∵PG2＝PB2+BG2，∴62＝（x﹣2）2+（x﹣4）2，解得：x＝3+（负值舍去），∴DH＝3+．4．证明：[问题引入]（1）∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）BF＝2AE，理由如下：∵矩形ABCD，∴∠ABC＝∠C，AD＝BC＝2AB，∵AE⊥BF，∴∠APB＝∠BAP+∠ABP＝90°，∵∠ABP+∠CBF＝90°，∴∠BAP＝∠CBF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，∴△ABE∽△BCF，∴＝2，∴BF＝2AE；（3）如图3，过点B作BH⊥AD于H，连接BD，∵把△ABC沿斜边AC对折得到Rt△ADC，∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，且BH⊥AD，∴AD＝AB＝2AH，BH＝AH，∴，∵∠ADC+∠EPF+∠DEA+∠DFB＝360°，∴∠DEA+∠DFB＝180°，且∠DFB+∠BFA＝180°，∴∠DEA＝∠BFH，∵∠BHF＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BHF，∴＝＝5．解：（1）∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，AO＝OD，∵四边形OEGH是正方形，∴∠EOH＝90°，OE＝OH，∴∠AOE＝∠DOH，∴△HDO≌△EAO（SAS）；（2）如图1，过O作ON⊥AB于N，则AN＝BN＝ON＝AB＝2，∵BF＝x，∴AF＝4﹣x，∴FN＝2﹣x，∴OF＝＝＝，∴EF＝y﹣，∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴，∴＝，∴；（3）①当AE＝EG时，△AEG是等腰三角形，则AE＝OE，∵∠EAO＝90°，∴这种情况不存在；②当AE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图2，过A作AP⊥EG于P，则AP∥OE，∴∠PAE＝∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴＝，∵AE＝AG，∴PE＝y＝，AE＝＝，∴＝，解得：x＝2，②当GE＝AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE＝∠EAO＝90°，∴∠GEQ+∠EGQ＝∠GEQ+∠AEO＝90°，∴∠EGQ＝∠AEO，∵GE＝OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴EQ＝AO＝2，∴AE＝2EQ＝4＝，∴x＝，∴BF＝2或．6．解：（1）将∠B沿BC的中垂线DE翻折（如图3），使点B落在点C处．∵∠ACB＞∠ABC，∴CD在△ABC的内部，D落在AB上．连接DC，∵DE为BC的中垂线，∴DB＝DC，在△ADC中，AD+DC＞AC，∴AD+DB＞AC，即AB＞AC；（2）如图4，延长DC到点E，使得CE＝CN，连接AE交BC于点F，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠ACN＝135°，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACN（SAS），∴AE＝AN，过点C作PQ⊥AC，分别交AN、AE于点P、Q，由∠ACP＝∠ACQ＝90°可知AP＞AC、AQ＞AC，∴AP+AQ＞2AC，∵∠ACD＞∠E，∠ACD＝45°，∠QCE＝45°，∴∠QCE＞∠E，∴QE＞CQ，同理可得PC＞PM，由全等或对称性可得PC＝CQ，∴QE＞PM．∴AM+AN＝AM+AE＝AM+AQ+QE＞AM+AQ+PM＝AP+AQ，又∵AP+AQ＞2AC，∴AM+AN＞2AC，∵正方形ABCD中，AC＝BD．∴AM+AN＞2BD．7．解：（1）①如图1，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝90°∴F、D、G共线，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝DF+DG＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；②成立，理由：如图2，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴C、D、G在一条直线上，与①同理得，∠EAF＝∠GAF＝45°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵BE＝DG，∴EF＝GF＝BE+DF；（2）解：∵△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，由勾股定理得：BC＝＝4，如图3，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF．则AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，∵∠DAE＝45°，∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，在△FAD和△EAD中，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，∵BC＝4，∴BF＝CE＝4﹣1﹣x＝3﹣x，∵∠FBA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠FBD＝90°，由勾股定理得：DF2＝BF2+BD2，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即DE＝．8．解：（1）△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，由题意得，四边形A′DCB是矩形，∴A′B＝DC，∴AA′＝CC′，∵AB∥CD，∴∠BA′F＝∠C′，由题意得，∠BA′F＝∠A，∴∠A＝∠C′，在△AA′E和△C′CF中，，∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；（2）①设A′E＝a，A′F＝b，∵A′F∥AC，∴＝，即＝，解得，b＝，同理＝，解得，a＝x，当A′E＝A′F时，四边形A′ECF是菱形，∴＝x，解得，x＝，∴当x＝时，四边形A′ECF是菱形；②由①得，四边形A′ECF的面积为y＝3×（4﹣x）﹣×（3﹣x）×（4﹣x）×2＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，y的最大值为3．9．解：（1）如图①，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABD＝∠CBD＝45°，且BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠BCE+∠EFB＝360°，∴∠BCE+∠BFE＝180°，∠BFE+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝∠BCE，∴∠BAE＝∠AFE，∴EF＝AE＝EC，且∠FEC＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°；（2）如图②，延长FG交CD于H，∵GF⊥AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCHF是矩形，∴FH＝BC＝CD，∠FHC＝90°，∵∠AFE＝∠BCE，∴∠EFH＝∠ECH，且EF＝EC，FH＝CD，∴△EFH≌△ECD（SAS）∴∠FHE＝∠CDE＝45°，且∠FHD＝90°，∴∠FHE＝∠CDE＝∠DGH＝∠DHE＝45°，∴EG＝EH，EH＝DE，∴EG＝DE；（3）如图③，延长FK交CD于H，连接FM，过点M作MP⊥FH于P，∵AD∥BC∥FH，∴∠MDE＝∠KGE，且DE＝EG，∠MED＝∠GEK，∴△MED≌△KEG（ASA）∴ME＝EK＝MK，MD＝GK＝2，∵MG＝2EK，∴MK＝MG，且MP⊥FH，∴GP＝PK＝1，∵∠ADH＝∠DHF＝∠MPH＝90°，∴四边形MDHP是矩形，∴MD＝PH＝2，∴GH＝3，∴FH＝BC＝AB＝AD＝3+FG，∴AM＝1+FG，∵FG⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BFG是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴AF＝3，∵ME＝EK，EF⊥MK，∴FM＝FK＝FG+2，∵FM2＝AM2+AF2，∴（FG+2）2＝（FG+1）2+9，∴FG＝3，∴BK＝＝．10．解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝＝＝6，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴＝＝＝＝，∴＝，∴AQ＝AN＝2；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝＝＝2，∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴＝＝＝，∴PM＝AM＝，∴AP＝AM+PM＝3．11．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE；（2）解：连接AC，交BD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝AB＝4，∠AOB＝90°，OB＝OD，OA＝OC，∴△BEP∽△DEA，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵sin∠ABD＝＝＝，∴OA＝2，OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∴＝，解得：DE＝，∴BE＝BD﹣DE＝8﹣＝，∴S△DEA＝OA•DE＝×2×＝，S△ABE ＝OA•BE＝×2×＝＝S△BEC，∴S△BEP ＝S△DEA＝×＝，∴S△PEC ＝S△BEC﹣S△BEP＝﹣＝；（3）解：①由（1）得：△ABE≌△CBE，∴∠BAE＝∠BCE，当∠BAE＝90°时，则∠BCE＝90°，∴∠ECP＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝22.5°，∠CPE＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴CE＝CP，∠BEC＝90°﹣22.5°＝67.5°，过点E作∠FEC＝45°交BC于F，如图2所示：则CE＝CP＝CF，EF＝CF，∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠BEF＝∠EBC，∴EF＝BF，∴CF+CF＝BC＝10，∴CF＝＝10（﹣1），∴BP＝BC+CP＝BC+CF＝10+10（﹣1）＝10；②由（1）得：△ABE≌△CBE，∴∠AEB＝∠CEB，当∠BAE＝105°时，∠AEB＝180°﹣105°﹣22.5°＝52.5°，∴∠AEC＝2∠AEB＝105°，∴∠CEP＝75°，∵∠APB＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∴∠ECP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ECP＝∠CEP，∴△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：则△ABN是等腰直角三角形，∴AN＝BN＝AB＝5，∵∠APB＝30°，∴tan30°＝，即＝，∴PN＝5，∴BP＝BN+PN＝5+5，综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为10或5+5．12．（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵点E与点B关于直线AP对称，∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．∴AE＝AD．∴∠ADE＝∠AED．∵∠AED+∠AEF＝180°，∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，∴∠BFD+∠BAD＝180°，∴∠BFD＝90°∴BF⊥DF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠ABM＝∠CBF，∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，∴∠MFB＝∠MFE＝45°，∴△BMF是等腰直角三角形，∴BM＝BF，FM＝BF，在△AMB和△CFB中，，∴△AMB≌△CFB（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝FM+AM，∴AF＝BF+CF．13．（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角顶点O在原点，OE＝2，∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，∴EF＝＝＝2，∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴E1F1＝EF＝2；②证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA．∵将△OEF绕点O逆时针旋转，得△OE1F1，∴∠AOE 1＝∠COF 1，∵△OEF 是等腰直角三角形，∴△OE 1F 1是等腰直角三角形，∴OE 1＝OF 1．在△OAE 1和△OCF 1中，∴△OAE 1≌△OCF 1（SAS ）；（Ⅱ）解：∵OE ⊥OF ，∴过点F 与OE 平行的直线有且只有一条，并与OF 垂直，当三角板OEF 绕O 点逆时针旋转一周时，则点F 在以O 为圆心，以OF 为半径的圆上．∴过点F 与OF 垂直的直线必是圆O 的切线，又点C 是圆O 外一点，过点C 与圆O 相切的直线有且只有2条，不妨设为CF 1和CF 2，此时，E 点分别在E 1点和E 2点，满足CF 1∥OE 1，CF 2∥OE 2．当切点F 1在第二象限时，点E 1在第一象限．在直角三角形CF 1O 中，OC ＝4，OF 1＝2，cos ∠COF 1＝＝＝，∴∠COF 1＝60°，∴∠AOE 1＝60°．∴点E 1的横坐标＝2cos60°＝1，点E 1的纵坐标＝2sin60°＝，∴点E 1的坐标为（1，）；当切点F 2在第一象限时，点E 2在第四象限．同理可求：点E 2的坐标为（1，﹣）．综上所述，当OE 1∥CF 1时，点E 1的坐标为（1，）或（1，﹣）．14．解：（1）证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°∴菱形ABCD是正方形∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°在Rt△ADE与Rt△DCF中∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）∴∠ADE＝∠DCF∴∠DCF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝∠ADC＝90°∴∠CGD＝90°∴DE⊥CF（2）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC∴∠A+∠B＝180°∵∠EGC+∠B＝180°，∠EGC+∠CGD＝180°∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF∴△ADE∽△GDF∴∴∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD∴△DCG∽△FCD∴∴∵AD＝DC∴DE＝CF（3）如图，过点N作NP⊥CD于点P，连接FM ∴∠CPN＝∠MPN＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD∴四边形BCPN是矩形∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝在Rt△NPM与Rt△CDF中∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）∴PM＝DF设PM＝DF＝x，则CM＝PC+PM＝+x∵由（1）得MN⊥CF，G为CF中点∴MN垂直平分CF∴MF＝MC∴∠MFC＝∠FCD＝15°∴∠DMF＝∠MFC+∠FCD＝30°∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝DF＝x ∴2x＝+x∴x＝∴DF＝，CM＝2，CD＝CM+DM＝2+∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°∴△CGM∽△CDF∴＝∴2CG2＝CD•CM＝（2+）＝8+4∴CG2＝4+2＝12+2+（）2＝（1+）2∴FG＝CG＝1+15．（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形BCGE是垂美四边形；②解：∵四边形BCGE是垂美四边形，∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．16．解：（1）观察猜想结论：AB+AC＝BD+CE，理由如下：如图①，∵DB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D+∠DAB＝∠DAB+∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，在△ADB和△EAC中，，∴△ADB≌△EAC（AAS），∴BD＝AC，EC＝AB，∴BC＝AB+AC＝BD+CE，故答案为：是，AB+AC＝BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）得：△ABC≌△DEA（AAS），∴DE＝AB＝6，AE＝BC＝＝＝12，Rt△BDE中，BE＝AB+AE＝18，由勾股定理得：BD＝＝＝6；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，则四边形DEBF是矩形，同（1）得：△CED≌△AFD（AAS），∴CE＝AF，DE＝DF，∴四边形DEBF是正方形，设AF＝x，则BF＝DE＝DF＝x+5，在Rt△ADF中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（）2，解得：x＝，或x＝﹣（舍去），∴AF＝，DF＝，∴BD＝DF＝，四边形ABCD的面积＝正方形DEBF的面积＝（）2＝，△ABD的面积＝AB×DF＝×5×＝，∴△BCD的面积＝四边形ABCD的面积﹣△ABD的面积＝BD×CG＝﹣＝51，∴CG＝＝6．17．（1）解：如图1中，∵AB＝BD，∠BAD＝45°，∴∠BDA＝∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴E、C重合时BF＝BD＝AB，在Rt△ABF中，∵AF2＝AB2+BF2，∴（2）2＝（2BF）2+BF2，∴BF＝2，AB＝4，在Rt△ABD中，AD＝＝4；（2）证明：如图2中，在AF上截取AK＝HD，连接BK，∵∠AFD＝∠ABF+∠2＝∠FGD+∠3，∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3，在ABK和△DBH中，，∴△ABK≌△DBH，∴BK＝BH，∠6＝∠1，AK＝DH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠4＝∠1＝∠6＝45°，∴∠5＝∠ABD﹣∠6＝45°，∴∠5＝∠1，在△FBK和△FBH中，，∴△FBK≌△FBH，∴KF＝FH，∵AF＝AK+KF，∴AF＝DH+FH；（3）解：连接AN并延长到Q，使NQ＝AN，连接GQ，取AD的中点O，连接OG，∵∠AGD＝90°，∴点G的轨迹是以O为圆心，以OG为半径的弧，且OG＝4，当O，G，Q在同一条直线上时，QG的值最小，∴OQ＝10，OG＝4，∴GQ最小值为6，∵MN是△AGQ的中位线，∴MN的最小值为3．18．解：（1）∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠BEC＝∠FEC，∵GH∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∠GFE＝∠FEC，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；（2）如图①，取CE的中点M，连接FM，∵把△BCE沿CE折叠，使点B落在点F处，∴∠EFC＝∠B＝90°，∴EM＝FM，∵AB∥CD，GH∥CE，∴四边形GECH是平行四边形，∴GH＝CE，∵F是GH中点，∴FG＝EM，∴四边形GEMF是平行四边形，∴GE＝FM，由（1）知，GE＝EF，∴EG＝GF＝EF，∴△EFG是等边三角形，∴∠FGE＝60°；（3）由（2）知，BE＝EF，AE＝EF，∴AE＝BE＝AB＝15，∴CH＝AE＝15，∴DH＝30﹣15＝15，∴AH＝＝＝25，如图②，过E作EN⊥AF于N，∴∠ANE＝∠B＝90°，∵CE∥AH，∴∠EAN＝∠BEC，∴△AEN∽△ECB，∴＝，∴＝，∴AN＝9，∴AF＝18，∴FH＝25﹣18＝7．19．解：（1）如图1，过D作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（4，0），∴OA＝OB＝4，∴AB＝8，∵四边形ABCD的面积为32∴8DH＝32，∴DH＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝8，∴AH＝＝＝4，∴OH＝AH﹣OA＝4﹣4，∴D（4﹣4，4）；（2）如图1，延长EF交x轴于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠C＝∠FBG，∠CEF＝∠FGB，∵CF＝BF，∴△CEF≌△BGF（AAS），∴EF＝FG，CE＝BG，∴EG＝2EF，过E作EP⊥x轴于P，∴EP＝DH＝4，∵CD＝AB＝8，∴设D（a，4）则C（8+a，4），∵点E为CD的中点，∴E（4+a，4），∴AP＝8+a，PG＝4﹣a，∴PE2＝AP•PG，∴（8+a）•（4﹣a）＝16，∴a＝2﹣2（负值舍去），∴AP＝6+2，PG＝6﹣2，∴AE＝＝4，EG＝＝4，∴AE+2EF＝AE+EG＝4+8；（3）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，∴AC＝＝4，作B关于AC的对称点M′，连接BM′交AC于E，则BM′＝2BE＝2×＝2×＝，过M′作M′N⊥AB于N交AC于M，则此时，BM+MN的值最小，且BM+MN的最小值＝M′N，∵∠M′EM＝∠CEB＝90°，BE＝，BC＝4，∴CE＝，∴CM＝2CE＝，∴AM＝，∴AM2﹣AN2＝BM2﹣BN2，∴（）2﹣AN2＝42﹣（8﹣AN）2，∴AN＝，∴MN＝＝，∴M′N＝，∴BM+MN的最小值为．20．解：（1）∵，∴a﹣4＝0，b+6＝0，∴a＝4，b＝﹣6，∵四边形OABC是正方形，点B的横坐标为a，∴OA＝4，∵四边形DEFG为长方形，点G的坐标为（b，﹣b），∴F的纵坐标为：﹣b＝6，OD＝6，∵DE＝OA，∴OE＝OD﹣DE＝OD﹣OA＝6﹣4＝2，∴F（﹣2，6）（2）∵OE＝2，AD＝2OA+OE＝2×4+2＝10，AE＝OA+OE＝4+2＝6，长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，∴当0＜t≤2，t≥10时，S＝0；当2＜t≤6时，点E'在OA上，如图1所示：S＝OC•OE′＝4（t﹣2）＝4t﹣8；当6＜t＜10时，点D'在OA上，如图2所示：S＝AB•AD'＝4（10﹣t）＝40﹣4t；∴S＝；（3）∵D′G′＝DG＝6，当三角形PD'G'的面积为15时，∴点P到D′G′的距离为5，∵长方形DEFG以每秒1个单位长度的速度向右平移，点P从点O出发，沿正方形的边以每秒2个单位长度的速度顺时针方向运动（即O→C→B→A→O→C），∵当点P再次运动到AO、OC时，△PD'G'的面积＜15，∴分两种情况：①当t＝3s时，点P在BC的中点处，如图3所示：即PC＝2，DG向右平移了3个单位长度，OD′＝OD﹣3＝6﹣3＝3，此时，PC+OD′＝2+3＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（2，4），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣3＝1，∴S＝OC•OE′＝4×1＝4；②当t＝5s时，点P在AB的中点处，如图4所示：即AP＝2，DG向右平移了5个单位长度，OD′＝OD﹣5＝6﹣5＝1，此时，OA+OD′＝4+1＝5，即点P到D′G′的距离为5，P的坐标为：（4，2），OE′＝D′E′﹣OD′＝4﹣1＝3，∴S＝OC•OE′＝4×3＝12．。

2020年中考数学考点专项突破卷14平行四边形(含解析)

专题14.1平行四边形精选考点专项突破卷（一）考试范围：平行四边形；考试时间：90分钟；总分：120分一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2019·湖南中考真题）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形2．（2019·湖北中考真题）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．（2016·辽宁中考真题）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．144．（2019·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数1yx=上，顶点B在反比例函数5yx=上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是（）A．32B．52C．4D．65．（2019·海南中考真题）如图，在ABCD Y 中，将ADC ∆沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若=60B ︒∠，=3AB ，则ADE ∆的周长为（）A ．12B ．15C ．18D ．216．（2019·山东中考真题）如图，E 是ABCD Y 边AD 延长线上一点，连接BE ，CE ，BD ，BE 交CD 于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（）A ．ABD DCE ∠=∠B ．DF CF =C ．AEB BCD ∠=∠ D ．AEC CBD ∠=∠7．（2019·广东中考真题）如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是（）A ．EH=HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC⊥BD D ．ABO ∆的面积是EFO ∆的面积的2倍8．（2019·广西中考真题）如图，在ABC ∆中，,D E 分别是,AB BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是（）A ．B F ∠=∠ B ．B BCF ∠=∠C ．AC CF =D ．AD CF =9．（2016·浙江中考真题）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③10．（2017·山东中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是AP 和RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动，而点R 不动时，下列结论正确的是（）A ．线段EF 的长逐渐增长B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长始终不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关二、填空题（每小题4分，共28分) 11．（2018·湖北中考真题）如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为_____．12．（2019·四川中考真题）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，BEO ∆的周长是8，则BCD ∆的周长为_____．13．（2015·江苏中考真题）如图，▱ABCD 中，E 为AD 的中点，BE ，CD 的延长线相交于点F ，若△DEF 的面积为1，则▱ABCD 的面积等于．14．（2013·江苏中考真题）如图，在Y ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG⊥AE，垂足为G ，BG=，则EF ＋CF 的长为 cm 。

(部编版)2020年中考数学试题分项版解析汇编第期专题10四边形含解析0

专题10 四边形一、选择题1.（2017浙江衢州第8题）如图，在直角坐标系中，点A 在函数)0(4>=x xy 的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数)0(4>=x xy 的图象交于点D 。

连结AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于（）A. 2B. 32C. 4D. 34 【答案】C ．【解析】试题解析：设A （a ，4a ），可求出D （2a ，2a）， ∵AB ⊥CD ， ∴S 四边形ACBD =12AB•CD=12×2a×4a=4，故选C ．考点：反比例函数系数k 的几何意义.2.（2017浙江衢州第9题）如图，矩形纸片ABCD 中，A B=4，BC=6，将△ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（）A.53 B. 35 C. 37 D. 45 【答案】B ．【解析】试题解析： ∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置， ∴AE=AB ，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB=CD ， ∴AE=DC ，而∠AFE=∠DFC ， ∵在△AEF 与△CDF 中，AFE CFD E DAE CD ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ）， ∴EF=DF ；∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD=BC=6，CD=AB=4， ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ， ∴FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6﹣x ，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6﹣x ）2，解得x=133，则FD=6﹣x=53．故选B ．考点：1.矩形的性质；2.折叠问题.3.（2017山东德州第11题）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD 边长为a ，小正方形CEFG 边长为b(a ＞b),M 在边BC 上，且BM=b ，连AM ，MF ，MF 交CG 于点P ，将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ，将△MEF 绕点F 旋转至△NGF 。

2020年中考数学重点试题分项版解析汇编第05期专题10四边形含解析

专题10 四边形一、选择题1．（2017年贵州省毕节地区第14题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E'处，则下列判断不正确的是（）A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE'C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形【答案】D.【解析】考点：旋转的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定．2．（2017年贵州省黔东南州第8题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（）A．60° B．67.5°C．75° D．54°【答案】A考点：正方形的性质3．（2017年山东省东营市第10题）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PHPC其中正确的是（）A．①②③④ B．②③ C．①②④D．①③④【答案】C∴DP PH PC DP= ， ∴DP 2=PHPC ，故④正确；故选C ．考点：1、正方形的性质，2、等边三角形的性质，3、相似三角形的判定和性质4. （2017年山东省泰安市第19题）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上的一点，且BC EC =，CF BE ⊥交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分CBF ∠；②CF 平分DCB ∠；③BC FB =；④PF PC =．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C.3 D．4【答案】D【解析】∴∠CFB=∠BCF，∴BF=BC，∴③正确；∵FB=BC，CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF=PC，故④正确．故选：D．考点：1、菱形的判定与性质；2、线段垂直平分线的性质；3、平行四边形的性质5. （2017年山东省威海市第10题）如图，在□ABCD 中，DAB ∠的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点G ，ABC ∠的平分线交CD 于点F ，交AD 的延长线于点H ，AG 与BH 交于点O ，连接BE .下列结论错误的是（）A ．OH BO =B ．CE DF = C.CG DH = D ．AE AB =【答案】D【解析】试题分析：∵四边形ABC D 是平行四边形，∴AH ∥BG ，AD=BC ，∴∠H=∠HBG ，∵∠HBG=∠HBA ，∴∠H=∠HBA ，∴AH=AB ，同理可证BG=AB ，考点：1、平行四边形的性质，2、等腰三角形的判定和性质6. （2017年山东省潍坊市第12题）点C A 、为半径是3的圆周上两点，点B 为AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ,顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）. A.5或22 B.5或32 C.6或22 D.6或32【答案】D【解析】试题分析：过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，∵点B 为AC 的中点，∴BD ⊥AC ，①如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD=13×2×3=2，∴OD=OB﹣BD=1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=2，连接OD，∵∴边；考点：1、圆心角、弧、弦的关系；2、菱形的性质7．（2017年湖南省长沙市第10题）如图，菱形ABCD 的对角线BD AC ,的长分别为cm cm 8,6，则这个菱形的周长为（）A ．cm 5B ．cm 10C ．cm 14D ．cm 20【答案】D考点：菱形的性质二、填空题1．（2017年湖北省十堰市第13题）如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于O ，OE ⊥BC 于E ，连接OE ，若∠ABC=140°，则∠OED= ．【答案】20°.【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是菱形，∴DO=OB ，∵DE ⊥BC 于E ，∴OE 为直角三角形BED 斜边上的中线，∴OE=12BD ，∴OB=OE ， ∴∠OBE=∠OEB ，∵∠ABC=140°，∴∠OBE=70°，∴∠OED=90°﹣70°=20°，故答案为：20°．考点：菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质.2. （2017年内蒙古通辽市第15题）在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交边BC 于E ，DF 平分ADC ∠交边BC 于F .若11=AD ，5=EF ，则=AB .【答案】8或3∴AB=8；②在▱ABCD 中，∵BC=AD=11，BC ∥AD ，CD=AB ，CD ∥AB ，∴∠DAE=∠AEB ，∠ADF=∠DFC ，∵AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，∴∠BAE=∠DAE ，∠ADF=∠CDF ，∴∠BAE=∠AEB ，∠CFD=∠CDF ，∴AB=BE ，CF=CD ，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB 的长为8或3．故答案为：8或3．考点：平行四边形的性质3. （2017年四川省成都市第14题）如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交,AB AD 于点,M N ；②分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作AP 射线，交边CD 于点Q ，若2,3DQ QC BC ==，则平行四边形ABCD 周长为．【答案】15考点：平行四边形的性质4. （2017年贵州省六盘水市第16题）如图，在正方形ABCD 中，等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在边BC和CD上，则AEB=∠度．【答案】75°.试题分析：∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠BAD=∠B=∠D=90°,∵等边三角形AEF,∴AE=AF,∠EAF=60°,∴△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=15°,∴∠AEB=75°.考点：正方形、等边三角形、全等三角形5.（2017年湖北省黄冈市第12题）已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则BED∠=__________度．【答案】45考点：1、正方形，2、等边三角形三、解答题1．（2017年贵州省毕节地区第24题）如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=45，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；【解析】考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；解直角三角形．2．（2017年江西省第13题）（1）计算：÷；（2）如图，正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且∠EFG=90°．求证：△EBF ∽△FCG ．【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG ，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定△EBF ∽△FCG ．考点：1、相似三角形的判定；2、分式的乘除法；3、正方形的性质3. （2017年辽宁省沈阳市第18题）如图，在菱形ABCD 中，过点D 做DE AB ⊥于点E ，做DF BC ⊥于点F ，连接EF ，求证：（1）ADE CDE ∆≅∆;（2）BEF BFE ∠=∠【答案】详见解析.【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得AD=CD ，A C ∠=∠，再由DE AB ⊥，DF BC ⊥，可得090AED CFD ∠=∠=，根据AAS 即可判定ADE CDE ∆≅∆；（2）已知菱形ABCD ，根据菱形的性质可得AB=CB ，再由ADE CDE ∆≅∆，根据全等三角形的性质可得AE=CF ，所以BE=BF ，根据等腰三角形的性质即可得BEF BFE ∠=∠. 试题解析：(1) ∵菱形ABCD ，∴AD=CD ，A C ∠=∠∵DE AB ⊥，DF BC ⊥∴090AED CFD ∠=∠=∴ADE CDE ∆≅∆(2) ∵菱形ABCD，∴AB=CB∵ADE CDE∆≅∆∴AE=CF∴BE=BF∴BEF BFE∠=∠考点：全等三角形的判定及性质；菱形的性质.4．（2017年山东省日照市第18题）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．【答案】(1)详见解析；(2)AD=BC（答案不唯一）．【解析】（2）添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA ≌△EAC ，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD 为矩形；考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．5. （2017年湖南省岳阳市第18题）（本题满分6分）求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在CD AB 中，对角线C A ，D B 交于点O ，．求证：．【答案】AC ⊥BD ；四边形ABCD 是菱形．【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．6．（2017年浙江省杭州市第21题）如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）6【解析】在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．考点：1、正方形的性质，2、矩形的判定和性质，3、勾股定理，4、直角三角形30度的性质。

2020年河南中考数学·分类汇编专题07 三角形四边形运用(学生版)

专题07 三角形四边形运用一．选择题（共19小题）1．（2020•河南一模）在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是( )A ．AB AD = B ．OA OB =C ．AC BD = D ．DC BC ⊥2．（2020•长葛市一模）如图，已知ABC ∆与DEF ∆位似，位似中心为点O ，且ABC ∆的面积等于DEF ∆面积的49，则:AO AD 的值为( )A ．2:3B ．2:5C ．4:9D ．4:133．（2020•长葛市一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是()A ．B ．C ．D ．4．（2020•巩义市一模）下列图形一定是相似图形的是( )A ．两个矩形B ．两个周长相等的直角三角形C ．两个正方形D ．两个等腰三角形5．（2020•巩义市一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是()A ．B ．C ．D ．6．（2020•商城县一模）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan BAC ∠的值为( )A ．12B ．1CD 7．（2020•安阳县一模）如图，菱形ABCD 中，150D ∠=︒，则1(∠= )A ．30︒B ．25︒C ．20︒D ．15︒8．（2020•河南一模）将一块含30︒角的直角三角板按图中所示摆放在一张矩形纸片上．若182∠=︒，则2∠的度数是( )A ．82B ．98C ．131D ．1209．（2020•许昌市一模）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当135∠=︒时，2∠的度数为( )A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒10．（2020•平顶山一模）如图，已知平行四边形ABCD ，点E 在DC 上，:2:1DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF ∆与BAF ∆的周长之比为( )A ．4:9B ．1:3C ．1:2D ．2:311．（2020•平顶山一模）如图，将一副直角三角板按照图中所示位置摆放，点C 在边AO 上，两条斜边互相平行，90O BCE ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45B ∠=︒，则ACB ∠等于( )A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒12．（2020•邓州市一模）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AB ，AO 的中点，连接EF ，若2EF =，则BD 的长为( )A ．10B ．8C ．6D ．413．（2020•孟津县一模）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45︒角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30︒角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1∠的度数是( )A ．30︒B ．20︒C ．15︒D ．14︒14．（2020•沈丘县一模）一把直尺和一块三角板ABC （含30︒、60︒角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 、点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 、点A ，且40CDE ∠=︒，那么BAF ∠的大小为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．10︒15．（2020•汝南县一模）如图，//DE BC ，BE 平分ABC ∠，若170∠=︒，则CBE ∠的度数为( )A ．20︒B ．35︒C ．55︒D ．70︒16．（2020•汝南县一模）如图，以点O 为位似中心，把ABC ∆中放大到原来的2倍得到△A B C '''．以下说法中错误的是( )A ．ABC ∆∽△ABC '''B ．点C ，O ，C '三点在同一条直线上C ．:1:2AO AA '=D ．//AB A B ''17．（2020•郑州市校级一模）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若235∠=︒，则1∠的度数为( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒18．（2020•郑州市校级一模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若8ab =，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A ．9B ．6C ．4D ．319．（2020•金平区一模）如图所示，有一块含有30︒角的直角三角板的一个顶点放在直尺的一条边上．如果252∠=︒，那么1∠的度数是( )A ．44︒B ．25︒C ．36︒D ．38︒二．填空题（共5小题）20．（2020•巩义市一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEF ABF S S ∆∆= ．21．（2020•衢州模拟）如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于点P ，Q ．平行四边形ABCD 的面积为6，则图中阴影部分的面积为．22．（2020•商城县一模）如图，将长方形ABCD 沿GH 折叠，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上过点E 处，若32AGE ∠=︒，则GHC ∠等于 ︒23．（2020•安阳县一模）如图，ABC ∆中，10AB AC ==，tan 2A =，BE AC ⊥于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD BD +的最小值是．24．（2020•内乡县一模）如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，120B ∠=︒，1OA =，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105︒至OA B C '''的位置，则点B '的坐标为．三．解答题（共2小题）25．（2020•长葛市一模）如图，已知点D 是ABC ∆的边AC 上的一点，连接BD ．ABD C ∠=∠，6AB =，4AD =．（1）求证：ABD ACB ∆∆∽；（2）求线段CD 的长．26．（2020•郑州一模）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，点E 为AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AD AF =；（2）填空：①当ACB ∠= ︒时，四边形ADCF 为正方形； ②连接DF ，当ACB ∠= ︒时，四边形ABDF 为菱形．。

2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题(含答案)

2020年中考数学真题分类训练——专题二十二：新定义与阅读理解题1．(2019天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE732．(2019白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM ≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°．解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，∠EB1M1=90°=∠A1B1M1，∴△EB1C1是等腰直角三角形，∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°，∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，∴∠M 1C 1N 1=90°+45°=135°， ∴∠B 1C 1E +∠M 1C 1N 1=180°， ∴E 、C 1、N 1三点共线，在△A 1B 1M 1和△EB 1M 1中，111111111111A B EB A B M EB MM B M B =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△A 1B 1M 1≌△EB 1M 1（SAS ）， ∴A 1M 1=EM 1，∠1=∠2，∵A 1M 1=M 1N 1，∴EM 1=M 1N 1，∴∠3=∠4， ∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°， ∴∠A 1M 1N 1=180°﹣90°=90°． 3．(2019江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等. 形成概念（2）把满足21n y x nx =--+（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --（k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.解：（1）①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确；③123,,y y y 与1y =交点（除了点C ）横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．（2）①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭，即：n P 顶点满足关系式21y x =+. ②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=．C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=．∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1， ∴C n C n –1=21k +. ③n n C A 与11n n C A --不平行．理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++，(),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D （–k –n ，1），E （–k –n +1，1）. 在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nkk n A D n k n k---++===+----，在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk kk n A E n k n k-----+++-===+--+---+，∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1， ∴n n C A 与11n n C A --不平行．4．（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+…+22017+22018①，则2S=2+22+…+22018+22019②，②–①得2S–S=S=22019–1，∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019–1.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+…+29=__________；（2）3+32+…+310=__________；（3）求1+a+a2+…+a n的和（a＞0，n是正整数），请写出计算过程．解：（1）设S=1+2+22+…+29①，则2S=2+22+…+210②，②–①得2S–S=S=210–1，∴S=1+2+22+…+29=210–1；故答案为：210–1；（2）设S=3+3+32+33+34+…+310①，则3S=32+33+34+35+…+311②，②–①得2S=311–1，所以S=1131 2-，即3+32+33+34+ (310)1131 2-；故答案为：1131 2-；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+…+a n①，则aS =a +a 2+a 3+a 4+…+a n +a n +1②， ②–①得：（a –1）S =a n +1–1，a =1时，不能直接除以a –1，此时原式等于n +1；a ≠1时，a –1才能做分母，所以S =111n a a +--，即1+a +a 2+a 3+a 4+…+a n=111n a a +--.5．（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知mn =10m +n ；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc =100a +10b +c ．【基础训练】（1）解方程填空：①若2x +3x =45，则x =__________； ②若7y –8y =26，则y =__________； ③若93t +58t =131t ，则t =__________；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn +nm 一定能被__________整除，mn –nm 一定能被__________整除，mn •nm –mn 一定能被__________整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532–235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．解：（1）①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．（2）∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–（10n+m）=9m–9n=9（m–n），∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=（10m+n）（10n+m）–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10（10mn+m2+n2）∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算， 972–279=693， 963–369=594， 954–459=495， 954–459=495，… 故答案为：495．②当任选的三位数为abc 时，第一次运算后得：100a +10b +c –（100c +10b +a ）=99（a –c ），结果为99的倍数，由于a ＞b ＞c ，故a ≥b +1≥c +2， ∴a –c ≥2，又9≥a ＞c ≥0， ∴a –c ≤9，∴a –c =2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．6．（2019衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x 3a c +=，y 3b d+=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x 143-+==1，y ()823+-==2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．解：（1）∵17 3 +﹣=2，573+=4，∴点C（2，4）是点A、B的融合点；（2）①由融合点定义知x13=（t+3），y13=（2t+3），则t=3x﹣3，则y13=（6x﹣6+3）=2x﹣1；②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（i）当∠DHT=90°时，如图1所示，设T（m，2m﹣1），则点E（m，2m+3），由点T是点D，E的融合点得：m32302133m mm+++=-=或，解得：m32=，即点E（32，6）；（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在；综上所述，符合题意的点为（32，6）或（6，15）．7．（2019济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1<x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）=6x（x＞0）是减函数．证明：设0<x1<x2，f（x1）–f（x2）=()212112121266666x xx xx x x x x x---==．∵0<x1<x2，∴x2–x1＞0，x1x2＞0．∴()21126x xx x-＞0．即f（x1）–f（x2）＞0．∴f （x 1）＞f （x 2），∴函数f （x ）═6x （x ＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f （x ）=21x+x （x <0）， f （–1）=21(1)-+（–1）=0，f （–2）=21(2)-+（–2）=–74．（1）计算：f （–3）=__________，f （–4）=__________；（2）猜想：函数f （x ）=21x+x （x <0）是__________函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．解：（1）∵f （x ）=21x +x （x <0）， ∴f （–3）=21(3)-–3=–269，f （–4）=21(4)-–4=–6316，故答案为：–269，–6316；（2）∵–4<–3，f （–4）＞f （–3），∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数，故答案为：增；（3）设x 1<x 2<0，∵f （x 1）–f （x 2）=12221211x x x x +--=（x 1–x 2）（1–122212x x x x +） ∵x 1<x 2<0，∴x 1–x 2<0，x 1+x 2<0，∴f （x 1）–f （x 2）<0，∴f （x 1）<f （x 2），∴函数f （x ）=21x+x （x <0）是增函数． 8．（2019宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E ，F 分别是BD ，AD 上的点．求证：四边形ABEF 是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长．解：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形ABEF即为所求；（3）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，∵DE=2BE，∴BD=CD=3BE，∴CE=CD+DE=5BE，∵∠EDF=90°，M为EF中点，∴DM=ME．∴∠MDE=∠MED，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴3 5QB BDNC CE==，∵QB=3，∴NC=5，∵AN=CN，∴AC=2CN=10，∴AB=AC=10．9．（2019枣庄）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求4⊗（–3）的值；（2）若x⊗（–y）=2，（2y）⊗x=–1，求x+y的值．解：（1）根据题中的新定义得：原式=8–3=5；（2）根据题中的新定义化简得：2241x yx y-=⎨+=-⎧⎩①②，①+②得：3x+3y=1，则x+y=13．10．（2019河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7．则（1）用含x 的式子表示m =__________；（2）当y =–2时，n 的值为__________．解：（1）根据约定的方法可得：m =x +2x =3x ；故答案为：3x ；（2）根据约定的方法即可得x +2x +2x +3=m +n =y ．当y =–2时，5x +3=–2．解得x =–1．∴n =2x +3=–2+3=1．11．（2019白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A =80°，则它的特征值k =__________．解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：218080︒-︒=50°， ∴特征值k =808505︒=︒； ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°–80°–80°=20°，∴特征值k =208014︒=︒；综上所述，特征值k 为85或14； 12．（2019湘西）阅读材料：设a r =（x 1，y 1），b r =（x 2，y 2），如果a r ∥b r ，则x 1•y 2=x 2•y 1，根据该材料填空，已知a r =（4，3），b r =（8，m ），且a r ∥b r ，则m =__________．解：∵a r =（4，3），b r =（8，m ），且a r ∥b r ，∴4m =3×8，∴m =6．。

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合》1．如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．2．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（不与C ，D 两点重合），连接BE ，过点C 作CH ⊥BE 于点F ，交对角线BD 于点G ，交AD 边于点H ，连接GE ，（1）求证：△DHC ≌△CEB ；（2）如图2，若点E 是CD 的中点，当BE ＝8时，求线段GH 的长；（3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时，的值为．3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）．（I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；（Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG．（1）求证：GD＝EG．（2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积．（3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．5．（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN 绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为．（2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．（3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN 的周长．6．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，AE＝，则的值是；（2）如图2，在（1）的条件下，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一定的角度，连接CE 和BD，的值变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出不变的值；（3）如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝，当CD＝6，AD＝3时，请直接写出线段BD的长度．7．如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E．（1）当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；（2）如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F，①求证：AF＝FC；②求AF长．（3）连接D′B，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，m），B（n，O），AC∥OB，且AC＝OB，连接BC交x轴于点F，其中m、n满足方程+n2+8n+16＝0．（1）求A、B两点坐标；（2）过A做AE⊥BC于E，延长AE交x轴于点D，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向x轴正半轴方向运动，设△PFD的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PE，将△PED沿PE翻折到△PEG的位置（点D与点G对应），当四边形PDEG为菱形时，求点P和点G的坐标．9．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．10．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）11．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与实践动手操作：第一步：在矩形纸片ABCD的边BC，AD上分别取两点E，F，使CE＝AF；第二步：分别以DE，BF为对称轴将△CDE与△ABF翻折得到△C'DE与△A'BF，且边C'E 与A'B交于点G，边A'F与C'D交于一点H．问题解决：（1）求证：△BEG≌△DFH；（2）请判断四边形A'HC'G的形状，并证明你发现的结论；（3）已知tan∠EBG＝，A'G＝6，C'G＝1，求矩形纸片ABCD的面积．13．如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S△BCD′．（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．（3）当α＝α1时，OB＝OD′，则α1＝°；当α＝α2时，△OBD′不存在，则α2＝°．14．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝m ，点E 是边BC 上一点，BE ＝1，连接AE ．（1）沿AE 翻折△ABE 使点B 落在点F 处，①连接CF ，若CF ∥AE ，求m 的值；②连接DF ，若≤DF ≤，求m 的取值范围．（2）△ABE 绕点A 顺时针旋转得△AB 1E 1，点E 1落在边AD 上时旋转停止．若点B 1落在矩形对角线AC 上，且点B 1到AD 的距离小于时，求m 的取值范围．15．如图1，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ．（1）BE 和DG 的数量关系是，BE 和DG 的位置关系是；（2）把正方形ECGF 绕点C 旋转，如图2，（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）设正方形ABCD 的边长为4，正方形ECGF 的边长为3，正方形ECGF 绕点C 旋转过程中，若A 、C 、E 三点共线，直接写出DG 的长．16．如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．（1）求证：CE＝EF；（2）求△AEG的周长（用含a的代数式表示）；（3）试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．17．问题情境：矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB、BC所在的直线相交，交点为E、F．探究1：如图1，当PE⊥AB，PF⊥BC时，则＝．探究2：如图2，在（1）的基础上，将三角板绕点P逆时针旋转，旋转角为α，（0°＜α＜60°），试求的值．探究3：在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如图3，试求的值．18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D从点B出发，以每秒3个单位的速度沿B→A→C运动，到点C停止．在点D运动的过程中，过点D作DE⊥BC，垂足为E，以DE为一边在右侧作矩形DEFG，点F在BC边上，且EF：DE＝4：3，连结AG，CG，设运动时间为t（秒），矩形DEFG与△ABC重叠部分面积为S．（1）当AG＝CG时，求t的值．（2）当点D在边AB上运动时，求S与t的函数关系式．（3）当△ACG的面积为6时，直接写出t的值．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝32，DC＝24，AD＝42，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒4个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB 上以每秒2个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20．（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF＝45°，求证：EF＝DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF＝45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是（不要求证明）（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE＝3，求AF的长．参考答案1．解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；②如图2，延长BE交AD于T，交DG于H．由①知，△ABE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG，故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；（2）数量关系不成立，DG＝2BE，位置关系成立．如图③中，延长BE交AD于T，交DG于H．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴＝＝，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，＝，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，∴＝＝＝2，∴GH＝2x，AH＝2y，∴4x2+4y2＝4，∴x2+y2＝1，∴BG2+DE2＝（2x）2+（2y+2）2+x2+（4﹣y）2＝5x2+5y2+20＝25．2．证明（1）∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∠HDC＝∠BCE＝90°，∴∠DHC+∠DCH＝90°，∵CH⊥BE，∴∠EFC＝90°，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∴∠CHD＝∠BEC，∴△DHC≌△CEB（AAS）．（2）解：∵△DHC≌△CEB，∴CH＝BE，DH＝CE，∵CE＝DE＝CD，CD＝CB，∴DH＝BC，∵DH∥BC，∴．∴GC＝2GH，设GH＝x，则，则CG＝2x，∴3x＝8，∴x＝．即GH＝．（3）解：∵，∴，∵DH＝CE，DC＝BC，∴，∵DH∥BC，∴，∴，，设S△DGH ＝9a，则S△BCG＝49a，S△DCG＝21a，∴S△BCD＝49a+21a＝70a，∴S1＝2S△BCD＝140a，∵S△DEG ：S△CEG＝4：3，∴S△DEG＝12a，∴S2＝12a+9a＝21a．∴．故答案为：．3．解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示：∵点A（6，0），点B（0，8）．∴OA＝6，OB＝8，∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3，∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3，∴点D的坐标为（6﹣3，3）；（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示：则GA＝DH，HA＝DG，∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，∴AE＝＝＝10，∵AE×DH＝AD×DE，∴DH＝＝＝，∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝，∴点D的坐标为（，）；（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，∴∠OAC＝∠ADO，∴∠DAE＝∠ADO，∴AE∥OC，∴∠GAE＝∠AOD，∴∠DAE＝∠GAE，在△AEG和△AED中，，∴△AEG≌△AED（AAS），∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，∴OG＝OA+AG＝12，∴点E的坐标为（12，8）．4．证明：（1）如图1，延长EG交DC的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠H＝GEB，且BG＝CG，∠BGE＝∠CGH，∴△CGH≌△BGE（AAS）∴GE＝GH，∵DE⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥DE，且GE＝GH，∴DG＝EG＝GH；（2）如图1：∵DB⊥EG，∴∠DOE＝∠DEB＝90°，且∠EDB＝∠EDO，∴△DEO∽△DBO，∴∴DE×DE＝4×（2+4）＝24，∴DE＝2，∴EO＝＝＝2，∵AB∥CD，∴， ∴HO ＝2EO ＝4， ∴EH ＝6，且EG ＝GH ， ∴EG ＝3，GO ＝EG ﹣EO ＝， ∴GB ＝＝＝，∴BC ＝2＝AD ， ∴AD ＝DE ，∴点E 与点A 重合，如图2：∵S 四边形ABCD ＝2S △ABD ，∴S 四边形ABCD ＝2××BD ×AO ＝6×2＝12；（3）如图3，过点O 作OF ⊥BC ，∵旋转△GDO ，得到△G ′D 'O ，∴OG ＝OG '，且OF ⊥BC ，∴GF ＝G 'F ，∵OF ∥AB ，∴＝＝，∴GF＝BG＝，∴GG'＝2GF＝，∴BG'＝BG﹣GG'＝，∵AB2＝AO2+BO2＝12，∵EG'＝AG'＝＝，＝．5．解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN，∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4；（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；（3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°，∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝，∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3，∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN，∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4．6．解：（1）∵DE∥BC，∴＝＝＝；故答案为：；（2）的值不变化，值为；理由如下：由（1）得：DE∥B，∴△ADE∽△ABC，∴＝，由旋转的性质得：∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝；（3）在AB上截取AM＝AD＝3，过M作MN∥BC交AC于N，把△AMN绕A逆时针旋转得△ADE，连接CE，如图所示：则MN⊥AC，DE＝MN，∠DAE＝∠BAC，∴∠AED＝∠ANM＝90°，∵AC⊥BC于点C，∠BAC＝∠ADC＝θ，且tanθ＝＝，∴BC：AC：AB＝3：4：5，同（2）得：△ABD∽△ACE，∴＝＝，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，∴MN＝×AM＝×3＝，∵∠BAC＝∠ADC＝θ，∴∠DAE＝∠ADC＝θ，∴AE∥CD，∴∠CDE+∠AED＝180°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝＝＝，∴BD＝CE＝×＝．7．解：（1）由题意知△ADE≌△AD′E，∴∠DAE＝∠D′AE，∵D′点落在AB边上时，∠DAE+∠D′AE＝90°，∴∠DAE＝∠D′AE＝45°，故答案为：45；（2）①如图2，由题意知∠ACD＝∠ACD′，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∴∠ACD′＝∠BAC，∴AF＝FC；②设AF＝FC＝x，则BF＝10﹣x，在Rt△BCF中，由BF2+BC2＝CF2得（10﹣x）2+62＝x2，解得x＝6.8，即AF＝6.8；（3）如图3，∵△AD′E≌△ADE，∴∠AD′E＝∠D＝90°，∵∠AD′B＝90°，∴B、D′、E三点共线，又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，∴△ABD′≌△BEC，∴BE＝AB＝10，∵BD′＝＝＝8，∴DE＝D′E＝10﹣8＝2；如图4，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC，∴BE＝AB＝10，∴DE＝D″E＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．8．解：（1）∵，，（n+4）2≥0，∴m﹣4＝0，n+4＝0，∴m＝4，n＝﹣4，∴A（0，4），B（﹣4，0）；（2）∵AC∥OB，∴∠C＝∠CBO，∠CAF＝∠BOF，∵AC＝OB，∴△ACF≌△OBF（ASA），∴AF＝OF＝2，∵OA＝OB，∠OAD＝∠OBF，∠BOF＝∠AOD，∴△BOF≌△AOD（ASA），∴OF＝OD＝2，∴BD＝6，①当0≤t＜3时，S＝PD•OF＝（6﹣2t）×2＝6﹣2t；②当t＞3时，S＝PD•OF＝（2t﹣6）×2＝2t﹣6；（3）①当0≤t＜3，如图2，∵AO＝4，OD＝2，∴AD＝，∵BD×OA＝AD×BE，∴BE＝，∴DE＝，∵四边形PDEG为菱形，∴DP＝DE＝EG＝，∵D（2，0），∴P（2﹣，0），作EH⊥BD于H，∵BE×DE＝BD×EH，∴EH＝，∴HD＝，∴OH＝，∴E（，），∵EG∥OB，∴G与E的纵坐标相同，∴G（﹣，）②当t＞3时，如图3，同理求得P（2+，0），G（+，）．9．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），＝BC•GN＝××（﹣1）＝．∴S△BCG10．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．11．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示，①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M为CE 的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）．12．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD，CD＝AB，∠C＝∠ABC＝∠A＝∠ADC＝90°，∵CE＝AF，∴BC﹣CE＝AD﹣AF，即BE＝DF，在△DCE和△BAF中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴∠CDE＝∠ABF，∠CED＝∠AFB，由折叠的性质得：∠CDE＝∠C′DE，∠ABF＝∠A′BF，∠CED＝∠C′ED，∠AFB＝∠A′FB，∵∠CDE+∠C′DE+∠HDF＝90°，∠ABF+∠A′BF+∠GBE＝90°，∠CED+∠C′ED+∠GEB＝180°，∠AFB+∠A′FB+∠HFD＝180°，∴∠HDF＝∠GBE，∠GEB＝∠HFD，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（ASA）；（2）解：四边形A'HC'G的形状是矩形；理由如下：由折叠的性质得：∠C＝∠DC′E＝∠A＝∠BA′F＝90°，由（1）得：△BEG≌△DFH，∴∠BGE＝∠DHF，∵∠BGE＝∠A′GC′，∠DHF＝∠A′HC′，∴∠A′GC′＝∠A′HC′，∵∠DC′E+∠BA′F+∠A′GC′+∠A′HC′＝90°+90°+∠A′GC′+∠A′HC′＝360°，∴∠A′GC′+∠A′HC′＝180°，∴∠A′GC′＝∠A′HC′＝90°，∴∠DC′E＝∠BA′F＝∠A′GC′＝∠A′HC′＝90°，∴四边形A'HC'G是矩形；（3）解：由（2）知：∠BGE＝∠A′GC′＝90°，∵tan∠EBG＝，∴设EG＝3x，则BG＝4x，BE＝＝5x，由折叠的性质得：CE＝C′E＝EG+C′G＝3x+1，CD＝AB＝A′B＝BG+A′G＝4x+6，∴BC＝CE+BE＝3x+1+5x＝8x+1，S矩形ABCD＝CD•BC＝4×CD•CE+2×EG•BG﹣A'G•C'G，即（4x+6）（8x+1）＝4×（3x+1）（4x+6）+2×3x•4x﹣6×1，整理得：x2﹣2x＝0，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意舍去），∴CD＝4×2+6＝14，CB＝8×2+1＝17，∴S矩形ABCD＝CD•BC＝14×17＝238．13．解：（1）作D'E⊥BC交BC的延长线于E，如图2所示：则∠E＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB＝2，∴∠ACD＝∠BAC，∠DAC＝∠ACB＝30°，∵∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝2，∠ACD＝∠BAC＝60°，由旋转的性质得：CD'＝CD＝2，∠ACA'＝30°，∴∠D'CE＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，∴∠CD'E＝30°，∴CE＝CD'＝1，D'E＝CE＝，∴S＝BC×D'E＝×2×＝3；△BCD′（2）△OBD′是直角三角形，理由如下：连接OC，如图3所示：由旋转的性质得：CA'＝CA，∠AD'C＝∠ADC＝90°，∠D'A'C＝∠DAC＝30°，∵O是AA′的中点，∴OC⊥AA'，∴∠AOC＝∠AOC＝90°＝∠ABC＝∠AD'C，∴∠ABC+∠AOC＝180°，∴A、B、C、O四点共圆，∴∠BOC＝∠BAC＝60°，同理；A、D'、C、O四点共圆，∴∠D'OC＝∠D'A'C＝30°，∴∠BOD'＝90°，∴△BOD'是直角三角形；（3）若B、C、D'三点不共线，如图3所示：由（2）得：∠OBC＝∠OAC，∠OD'C＝∠OA'C，∠OAC＝∠OA'C，∴∠OBC＝∠OD'C，∵OB＝OD，∴∠OBD'＝∠OD'B，∴∠CBD'＝∠CD'B，∴CB＝CD'，∵CD'＝CD，∴BC＝CD，这与已知相矛盾，∴B、C、D'三点共线；分两种情况：当点D'在BC的延长线上时，如图4所示：＝90°；α＝α1当点D'在边BC上时，如图5所示：＝360°﹣90°＝270°；α＝α1故答案为：90°或270；时，△OBD′不存在时，分两种情况：当α＝α2当O与D'重合时，如图6所示：∵CA'＝CA，∠CAD'＝∠CA'D'＝30°，∴∠ACA'＝120°，＝360°﹣120°＝240°；∴α＝α2当O与B重合时，如图7所示：则AA'＝2AB＝4，∵CA＝CA'＝2AB＝4＝AA'，∴△ACA'是等边三角形，∴∠A'CA＝60°，＝360°﹣60°＝300°；∴α＝α2故答案为：240°或300．14．解：（1）①如图1，∵CF∥AE ∴∠FCE＝∠AEB，∠CFE＝∠AEF∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，∠AEF＝∠AEB∴∠FCE＝∠CFE∴CE＝EF＝1∴m＝BC＝BE+CE＝2∴m的值是2．②如图2，过点F作GH⊥AD于点G，交BC于点H ∴GH⊥BC∴∠AGF＝∠FHE＝90°∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝∠B＝90°∴四边形ABHG是矩形∴GH＝AB＝2，AG＝BH∵△ABE翻折得到△AFE∴EF＝BE＝1，AF＝AB＝2，∠AFE＝∠B＝90°∴∠AFG+∠EFH＝∠AFG+∠FAG＝90°∴∠EFH＝∠FAG∴△EFH∽△FAG∴设EH＝x，则AG＝BH＝x+1∴FG＝2EH＝2x∴FH＝GH﹣FG＝2﹣2x∴解得：x＝∴AG＝，FG＝∵AD＝BC＝m∴DG＝|AD﹣AG|＝|m﹣|∴DF 2＝DG 2+FG 2＝（m ﹣）2+2≥，即可把DF 2看作关于m 的二次函数，抛物线开口向上，最小值为∵∴∵（m ﹣）2+2＝解得：m 1＝，m 2＝1 ∴根据二次函数图象可知，1≤m（2）如图3，过点B 1作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ∴MN ∥AB ，MN ＝AB ＝2∵AC ＝ ∴sin ∠ACB ＝∵AD ∥BC ，点B 1在AC 上∴∠MAB 1＝∠ACB∴sin ∠MAB 1＝ ∴∵点B 1到AD 的距离小于∴MB 1＝解得：∵m＞0 ∴m＞如图4，当E1落在边AD上，且B1在AC上时，m最大，此时，∠ACB＝∠B1AE1＝∠BAE∴tan∠ACB＝tan∠BAE∴∴m＝BC＝2AB＝4∴m的取值范围是＜m≤415．解：（1）BE＝DG．BE⊥DG；理由如下：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴CD＝BC，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°，在△BEC和△DGC中，，∴△BEC≌△DGC（SAS），∴BE＝DG；如图1，延长GD交BE于点H，∵△BEC≌△DGC，∴∠DGC＝∠BEC，∴∠DGC+∠EBC＝∠BEC+∠EBC＝90°，∴∠BHG＝90°，即BE⊥DG；故答案为：BE＝DG，BE⊥DG．（2）成立，理由如下：如图2所示：同（1）得：△DCG≌△BCE（SAS），∴BE＝DG，∠CDG＝∠CBE，∵∠DME＝∠BMC，∠CBE+∠BMC＝90°，∴∠CDG+∠DME＝90°，∴∠DOB＝90°，∴BE⊥DG；（3）由（2）得：DG＝EB，分两种情况：①如图3所示：∵正方形ABCD的边长为4，正方形ECGF的边长为3，∴AC⊥BD，BD＝AC＝AB＝4，OA＝OC＝OB＝AC＝2，CE＝3，∴AE＝AC﹣CE＝，∴OE＝OA﹣AE＝，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；②如图4所示：OE＝CE+OC＝2+3＝5，在Rt△BOE中，由勾股定理得：DG＝BE＝＝；综上所述，若A、C、E三点共线，DG的长为或．16．（1）证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：则∠AHF＝90°，∵AM平分∠DAH，∴∠FAH＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AH，AF＝AH＝FH，∵AF＝BE，∴FH＝AH＝BE，∴AH+AE＝BE+AE，∴HE＝AB＝BC，在△FEH和△ECB中，，∴△FEH≌△ECB（SAS），∴CE＝EF；（2）解：∵△FEH≌△ECB，∴∠FEH＝∠ECB，∵在Rt△BCE中，∠ECB+∠CEB＝90°，∴∠FEH+∠CEB＝90°，∴∠CEF＝90°，由（1）知，CE＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝∠EFC＝45°，把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，如图2所示：则∠GCN＝90°，CG＝CN，DG＝BN，∴∠NCE＝∠GCN﹣∠GCE＝45°，∴∠NCE＝∠GCE，在△CEG和△CEN中，，∴△CEG≌△CEN（SAS），∴GE＝NE＝EB+BN＝EB+DG，∴△AEG的周长＝AE+GE+AG＝AE+EB+DG+AG＝AB+AD＝2a；（3）解：设AE＝x，由（1）得：FH＝BE＝a﹣x，则△EAF的面积＝AE×FH＝x（a﹣x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝，即点E在AB边中点时，△EAF的面积最大，最大值为．17．解：（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA＝PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE＝∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE＝∠CPF．∵在△APE与△PCF中，，∴△APE≌△PCF（ASA），∴PE＝CF．在Rt△PCF中，＝tan30°＝，∴＝，故答案为：．（2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．0°～30°时∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF，∴＝，由（1）知，＝，∴＝．同理30°～60°时，＝；（3）当60°＜α＜90°时，将顶点P在AC上移动且使＝时，如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM＝∠PCN，∠PAM＝∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴＝＝，得CN＝2PM．在Rt△PCN中，＝＝tan30°＝，∴＝．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME∽△PNF，∴＝＝．18．解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG＝BF，GF＝BD，∠BDG＝∠BFG＝90°，∴∠ADG＝∠CFG＝90°，由题意得：BD＝3t，则AD＝6﹣3t，DG＝4t，CF＝8﹣4t，FG＝BD＝3t，当AG＝CG时，由勾股定理得：AG2＝AD2+DG2，CG2＝FG2+FC2，∴AD2+DG2＝FG2+FC2，即（6﹣3t）2+（4t）2＝（3t）2+（8﹣4t）2，解得：t＝1，即当AG＝CG时，t＝1秒；（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，如图1所示：S＝矩形DEFG的面积＝3t×4t＝12t2；即S＝12t2（0＜t≤1）；②当1＜t≤2时，如图2所示：∵∠ADH＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ADH∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DH＝8﹣4t，同理得：FM＝6﹣3t，∴S＝×6×8﹣×2×（6﹣3t）（8﹣4t）＝﹣12t2+48t﹣24；即S＝﹣12t2+48t﹣24（1＜t≤2）；（3）分三种情况：①如图1所示：由题意得：×6×8﹣12t2﹣×4t×（6﹣3t）﹣×3t×（8﹣4t）＝6，解得：t＝；②如图3所示：由题意得：×4t×（6﹣3t）+×3t×（8﹣4t）+3t×4t﹣×6×8＝6，解得：t＝；③如图4所示：由勾股定理得：AC＝＝＝10，∴CD＝6+10﹣3t＝16﹣3t，同（2）得：△CDE∽△CAB，∴＝＝，即＝＝，解得：DE＝（16﹣3t），CE＝（16﹣3t），由题意得EF＝（16﹣3t），∴C与F重合，∴×8×（16﹣3t）＝6，解得：t＝；综上所述，当△ACG的面积为6时，t的值为秒或秒或秒．19．解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形．∴PM＝DC＝24．∵QB＝32﹣t，∴S＝×24×（32﹣2t）＝384﹣24t（0≤t＜16）；（2）由图可知：CM＝PD＝4t，CQ＝2t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ＝BQ．在Rt△PMQ中，PQ2＝4t2+242，由PQ2＝BQ2得4t2+242＝（32﹣2t）2，解得t＝；②若BP＝BQ．在Rt△PMB中，BP2＝（32﹣4t）2+242．由BP2＝BQ2得：（32﹣4t）2+242＝（32﹣2t）2即3t2﹣32t+144＝0．由于△＝﹣704＜0，∴3t2﹣32t+144＝0无解，∴PB≠BQ．③若PB＝PQ．由PB2＝PQ2，得4t2+242＝（32﹣4t）2+242整理，得3t 2﹣64t +256＝0．解得t 1＝，t 2＝16（舍去）综合上面的讨论可知：当t ＝秒或t ＝秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形．（3）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ．如图2，过点Q 作QE ⊥AD 于E ，垂足为E ．∵AD ∥BC∴∠BQF ＝∠EPQ ，又∵在△BFQ 和△BCD 中∠BFQ ＝∠C ＝90°，∴∠BQF ＝∠BDC ，∴∠BDC ＝∠EPQ ，又∵∠C ＝∠PEQ ＝90°，∴Rt △BDC ∽Rt △QPE ， ∴＝，即＝，解得t ＝9．所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD ．20．（1）【发现证明】证明：把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°至△ADG ，如图1，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∴∠DAG+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝DF+BE；（2）【类比引申】①不成立，结论：EF＝DF﹣BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB＝∠MAD，AE＝AM，∠EAM＝90°，BE＝DM，∴∠FAM＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），。

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∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，
∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；
故选：B．
14．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．4B．8C． D．6
【解答】解：四边形是菱形，
故选：B．
5.（2020湖北黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）
A. B. C. D.
解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
A． B． C．4D．
【解答】解：如图．
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，∴OB 4，∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB•DE AC•BD，
∴DE ．
故选：D．
21．（3分）（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（）
A． SB． SC． SD． S
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S AC×BD，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF OC AC，EG OB BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG AC BD S；
6.（2020山东青岛）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
解：由对折可得：
矩形，
BC=8
由对折得：
故选C．
7．（2020上海）（4分）下列命题中，真命题是（）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
故选：B．
9.(2020甘肃定西）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）
A. B.3C. D.4
答案：A
10.(2020甘肃定西）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离.若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（）
A.90°B.100°C.120°D.150°
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，∴ ，
∴EQ＝PE，
∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，
故选：B．
19．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．
求证：DE∥BC，且DE BC．
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：
∴∠A′PE＝∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，
∴A′P2：D′H2＝8：2，∴A′P：D′H＝2：1，
∵A′P＝x，∴D′H＝ x，
∵S△D′PH＝ D′P•D′H＝ A′P•D′H，即，
∴x＝（负根舍弃），
∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，
①∴DF BC；
②∴CF AD．即CF BD；
③∴四边形DBCF是平行四边形；
④∴DE∥BC，且DE BC．
则正确的证明顺序应是：（）
A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④
【解答】证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，
∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴AD＝BD，AE＝EC，
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、正确；
D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；
故选：C．
8．（2020四川南充）（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）
∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF AD．即CF BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF BC，
∴DE∥BC，且DE BC．
∴正确的证明顺序是②→③→①→④，
故选：A．
20．（2020贵州遵义）（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）
A．20B．30C．40D．50
【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF AB＝5，∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；
故选：C．
22．（3分）（2020•烟台）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD是菱形，是对角线的中点，
∴AO⊥BD，AD=AB=4，AB∥DC
∵∠BAD=120º，
∴∠ABD=∠ADB=∠CDB=30º，
∵OE⊥DC，
∴在RtΔAOD中，AD=4，AO= =2，DO= ，
在RtΔDEO中，OE= ，DE= ，
∴四边形的周长为AO+OE+DE+AD=2+ +3+4=9+ ，
故选：B.
4.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）
A.5B.20C.24D.32
【答案】B
【详解】解：如图所示，根据题意得AO＝，BO＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x ，
由勾股定理得，BC＝＝5，∴AD＝5，
∵OE＝CE，∴∠DCA＝∠EOC，
∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCA＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠EOC，∴OE∥AD，
∵AO＝OC，∴OE是△ADC的中位线，
∴OE＝ AD＝2.5，
故选：B．
12．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若∠FPG＝90°，S△A′EP＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（）
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故⑤正确，
故选：．
16．（2020黑龙江牡丹江）（3分）如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．若，则线段的长为
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
，
，，
，，
．
故选：．
17．（2020江苏连云港）（3分）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于
其中正确的结论是
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤
解：如图1中，在上截取，连接．
，，，
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长到，使得，则，
，，
，
，，，，
，，，故③错误，
的周长，故②错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为．故④正确，
A． B． C．3D．2
【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，
∴Rt△BCF中，EF＝ BC＝4，
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
∴F是AG的中点，
∴EF是梯形ABCG的中位线，
∴CG＝2EF﹣AB＝3，
又∵CD＝AB＝5，
∴DG＝5﹣3＝2，
故选：D．
3.（2020乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为（）
∴PE＝，PH＝，
∴AD＝＝，