函数的概念(第一课时)解读

函数的概念（第一课时）

------郑州外国语学校乔慧娜【三维目标】

1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性.

【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.

【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.

【教学方法】诱思教学法

【教学过程】

Ⅰ.创设情景引入课题

北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.

在初中已学习过函数的定义.

首先请同学们复习回顾初中学习的函数的定义：

设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量.

函数的定义从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.

Ⅱ.探索研究

上一章我们已学习过集合，并且知道集合是现代数学的基本语言，能否用集合和对应的语言来描述函数？函数又有哪些构成要素呢？将是本节课探讨的主要内容.

一、实例分析

（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2. （﹡）

你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹距离地面的高度h随时间t的变化而变化，对于在（0，26）范围内变化

的任意一个时间t ，按照关系式，都有没有高度h 与它对应呢？若有，有几个？

这里，炮弹飞行时间t 的变化范围是数集}260{≤≤=t t A ，炮弹距地面的高度h 的变化范围是数集}8450{≤≤=h h B .

能否用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系？

从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系（﹡），在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

观察图中曲线可看到，臭氧层空洞面积s 随着时间的变化在变化，1987年、1999年的臭氧层空洞面积分别是多少？由曲线可看出，对于在1979至2001年的每一个时间t ，都对应着唯一的臭氧层空洞面积.

其中t 的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s 的变化范围是多少？ 根据图中曲线可知，时间t 的变化范围是数集}20011979{≤≤=t t A ，臭氧层空洞面积s 的变化范围是数集}260{≤≤=S S B .

观察分析并用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.

（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.

表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.

根据上表，可知时间t 的变化范围是数集},20011991{*∈≤≤=N t t t A ，恩格尔系数y 的变化范围是数集}8.539.37{≤≤=y y B . 并且，对于数集A 中的任意一个时间t ，根据表1，在数集B 中都有唯一确定的恩格尔系数y 和它对应. 二、问题探讨

以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性. 三个实例中都有两个变量，变量的取值范围都可用集合表示，两个集合之间都有一定的对应关系，有怎样的对应关系呢？

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

其共同点是：①都有两个非空数集A ，B ；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；是一种怎样的对应关系？③对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 值和它对应. 记作.:B A f → 我们把这样的对应称为函数.

Ⅲ.归纳概括

通过对三个实例的探讨分析，找出了其共同点. 在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？ 活动：让学生分组讨论交流，归纳出函数的概念. 1.函数的概念:

一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合中A 任意一个数x ，在集合中B 都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称

B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作.),(A x x f y ∈=

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫做函数的值域.

显然，值域是集合的子集.