第2章 特殊三角形 综合训练课件(1) 课件(浙教版八年级上)

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AE CD A C AF C∴EF=DE 同理可证EF=DF ∴EF=DE=DF ∴△DEF是等边三角形
说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为 60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解。
A
例8：如图、在△ABC中，D，E在 直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD， 求∠EAC的度数。
D B C E
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探索：如图、在△ABC中，D，E 在直线BC上，且AB=AC=CE=BD， ∠DAE=100°，求∠EAC的度数。
D B
A
C
E
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x
Ｄ
解：如图，令CD＝x，则AD＝x， AB＝2x ∵底边BC＝5
x
∴BC＋CD＝5＋x
Ｃ
5
AB＋AD＝3x
∴(5+x)：3x＝2:1
或3x：(5+x)=2:1
11、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E 是BC延长线上一点，且CE=CD，诬蔑说明 BD=DE的理由. 解:∵ △ABC是正三角形 A ∴ ∠ABC= ∠ACB=600
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再 见！
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∵∠A=90°
A D
•
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•
•
∴AC= 1 DC
2 ∴AC= 1 2
B
C
BD
例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上 ，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.
• 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用 △BMD≌△CME得到结果。
分析：CD=CF ∠1=∠2
倍 速 课 时 学 练 B
∠1=90 1=∠ B+∠BAD ∠ °－∠ BAD ∠ 3+ ∠DAC ∠∠ ２2= =90 ° －∠ CAD
D 12F 3
E
C
A
∠3= ∠B ∠ACB =90 °， CE是AC边上高
小结
1、等腰三角形的有关概念。 2、等腰三角形的识别。 3、应用等腰三角形的性质定理和三线合一 性质解决有关问题。 4、通过习题，能总结代数法求几何角的大 小、线段长度的方法。
C E
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M
A
例5.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 请说明△DEF也是等边三角形的理由.
• • • • • • 解：∵△ABC是等边三角形 ∴AC=BC，∠A=∠C ∵CE=BD ∴BC－BC=AC－CE ∴CD=AE 在△AEF和△CDE中
A E
F B D C
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A 12
D
• 例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并 构思整个作图过程……
A
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已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h a 作法： 1、作PQ⊥MN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ B 于点B、C 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形。
例7. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE 相交于P，BQ⊥AD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.
思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
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证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°， AE=CD， ∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。
A
E B 1
M 2
D C
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说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 请说明AC= BD的理由.
• •
• •
1 2
解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边 ） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° （三角形的外角等于和它不相邻的 两个内角的和）
例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线 上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由.
• 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与 △GEC全等的三角形。
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说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三 角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。
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（2）证明线段或角相等
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以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC ②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2， AD⊥BC B • ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC • 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助 线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作 倍 AD⊥BC，使∠1=∠2.
(一 )
等腰三角形的性质与判定
1.性质 (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上 的高互相重合。
(一 )
2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
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• 等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和 定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的 重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设 法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知 数的方程或方程组）
h
h a
D
C
A M P D N
B
C
Q
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于 E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
• • • • • 证明：∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90° （直角三角形两个锐角互余） • ∴∠1=∠2（等角的余角相等） • ∴BM=CM（等角对等边）
1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
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2.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为 _____________。 4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角 为___________。 5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为 _____________。 6.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D， 连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。 7.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50， △ABD的周长为40，则AD=____________。 8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为 _____________。
证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° B ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB（等角对等边） D BD CE 在△BDE和△CEM中 ∴△BDM≌△CEM（SAS） B MCE BM CM ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形
9. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
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150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
10.已知等腰三角形一腰上的中线将三
角形周长分成２：１两部分，已知三角
形底边长为５，求腰长？
Ａ
2x
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（ ∵ D是AC边上的中点 ）
D
） 1
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1 ∴∠1= ∠ABC=300（ 2 ∵CE=CD ∴∠2= ∠E（ ） ∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（ ∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E ∴BD=DE（ ）
2
B
C
）
12、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高 线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF