第三节 一维势箱中的粒子

C
C
4/9E 4/9 1
l
l 定域键
l
1/9E1
3l 离域键
四、求体系的各种物理量
1、粒子在箱中的平均位置
ˆ ˆ 本 值 只 求 均 ： 由 x = x , xψn ≠ cψn, x无 征 ， 能 平 值 于ˆ
x = ∫ ψ xψndx = ∫
0 * n
l
l
0
2 nπx 2 nπx sin x sin dx l l l l
称为简并能级。相应的状态为简并态， 称为简并能级。相应的状态为简并态，简并态的数目为简 并度。 并度。
ψ
0
E2 0 n=1 n=1 E1 0
0
（4）ψ可正可负，ψ=0称节 点，节点数随量子数增加而 增加，共有n-1个节点，节点 越多，能量越高。
0
x
ห้องสมุดไป่ตู้
l
0
x
l
（5）波函数的正交归一性
l
∫ ψ ψ n dx = 0(m ≠ n)
0 ∗ m
（正交）
ψ ψ n dx = 1(m = n) ∫
0 ∗ m
l
（归一）
2 l π 2 l 1−cos（ πx/l） 2n 2 n x = ∫ xsin dx = ∫ x dx ∫ u cos nudu = 12 cos nu + 1 u sin nu 0 0 n n l l 2 l
1 x l 2nπx l 2nπx l xsin = − − cos = l 2 2nπ l 2nπ l 2 0
第三节 一维势箱中运动的粒子
一、一维势箱模型
V＝0 V＝∞ 0＜x＜l（Ⅱ区） x≤0，x≥l（Ⅰ 、Ⅲ区，ψ＝0）
Ⅰ V＝∞ Ⅱ V＝0 Ⅲ V＝∞
二、Schr dinger方程求解 Schrödinger dinger方程求解
d − 2 ψ = Eψ 2 8π m dx
d2ψ 8π 2mE 即 ， 2 + ψ =0 2 dx h
2 2 2 nx ny nz h E= + 2 + 2 nx， y， z均 非 整 n n 为 零 数 2 8m a b c
若a=b=c,则：
h 2 2 2 E= nx + n y + nz 2 8ma
2
(
)
♣简并能级：一个能级有两个或两个以上状态与其相对应， 简并能级：一个能级有两个或两个以上状态与其相对应，
例：丁二烯的离域效应
C C C C E1 C C
•丁二烯的离域效应： =2× E定=2×2h2⁄8ml2=4E1 E离=2h2/8m(3l)2+ 2×22h2/8m(3l)2 =(10/9)E1 •势箱长度的增加，使分 势箱长度的增加， 势箱长度的增加 子能量降低，更稳定。 子能量降低，更稳定。
π4 4
n 2h 2 = 8 ml 2
( n = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) nπx ψ ( x) = B sin
l
由波函数的归一化条件求常数B:
nπx B2 l 2nπx 2 2 ∫0 ψ ( x) dx = B ∫0 sin l dx = 2 ∫0 (1 − cos l )dx 2 2 B l 2nπ l B = [x − sin x 0] = l =1 l 2 2nπ 2
ψ (0) = A cos 0 + B sin 0 = 0
ψ (l ) = B sin( 2 mE
s in
l )=0 h
A=0 B 为0 ( 则 数处处为0 数处处为0)
l 2mE = 0 h
l 2mE = nπ (n = 0,±1,±2,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅) h
En
将En代入ψ(x)，得：
h
2
2
0
l
x
此方程为二阶常系数线性齐次微分方程，方程的通解为：
2mE 2mE ψ(x) = Acos x + Bsin x h h
h (h = ) 2π
可以看出，任何一组A、B和E的数值都可确定一个ψ， 即可得到方程的一个解，但A、B和E所确定的解要满足 波函数的三个条件。
根据品优波函数的连续性和单值性条件，x＝0和x＝l 时,ψ＝0 根据品优波函数的连续性和单值性条件，
ψ ( x , y , z ) = ψ ( x ) ⋅ ψ ( y ) ⋅ψ ( z )
三维势箱中粒子运动的波函数： 三维势箱中粒子运动的波函数
E = Ex + E y + Ez
8 ψ = abc
2
1/ 2
nyπy nxπx nzπz sin sin sin a b c
三维势箱能级表达式： 三维势箱能级表达式：
l 2 l
2 B=± l
习惯上取 B = 2
l
∴ψ ( x) =
nπx 2 sin l l
(n=1,2,3….)
一维势箱粒子的Schr dinger 一维势箱粒子的Schrödinger Schr
结果如下： 结果如下：
∴ψ ( x) =
2 nπx sin l l
(0 < x < l )
En
n 2h 2 = 8 ml 2
(n = 1,2,3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅)
三、结果讨论
（1）粒子在势箱中没有经 典的运动轨道，而是以不同 的几率密度出现在箱内各点。
0
n=3 n=3 E3 0 ψ*ψ n=2 n=2
（2）在量子力学中，能量
是量子化的；而经典力学 中，箱内粒子的能量是连 续的。 （3）零点能。按经典力学 基态能量为零，按量子力学 零点能为h2/8ml2>0；
ih sin 2 (nπx / l) =− =0 πl 2 x =0
x =l =l
（3）粒子的动量平方px2值
2 x
h2 h 2 d 2 2 nπx ˆ p ψn = − 2 2 sin = − 2 4π 4π dx l l
=
d nπ dx l
2 2 l
（2）粒子动量的x轴分量px
ˆ ˆ 可以验证，Px 也无本征值，即 Px ψ n ≠ cψ n
* ˆ Px = ∫ ψ n Pxψ n dx 0 l
2 l nπx ih d nπx = − ∫ sin sin dx 0 l l 2π dx l ih l nπx nπx = − ∫ sin d sin 0 πl l l
2 nπx cos l l
nh h nπ 2 nπx • sin = 2 ψn l l 4π 2 l 4l
2 2
2
2
P2 n2h2 E= x = 2m 8ml2
五、量子力学处理微观体系的一般步骤
①根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出 Schrödinger方程； ②解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一 化因子及En，求得ψn ③描绘ψn， ψn*ψn等图形，讨论其分布特点； ④用力学量算符作用于ψn，求各个对应状态各种力 学量的数值，了解体系的性质； ⑤联系实际问题，应用所得结果。
★ 受一定势能场束缚的粒子的共同特征
1、粒子可以存在多种运动状态，它们可由ψ1，ψ2，…，ψn等描述； 2、能量量子化； 3、存在零点能； 4、没有经典运动轨道，只有几率分布； 5、存在节点，节点越多，能量越高。
量子效应
当∆En=(2n+1)h2/8ml2中m、l增大到宏观数量时，能级间隔 变小，能量变为连续，量子效应消失。
六、三维势箱中运动的粒子
三维势箱的定态Schr dinger Schrödinger Schr 为
∂ ∂ ∂ − 2 ( 2 + 2 + 2 )ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) 8π m ∂x ∂y ∂z h2
由于粒子在三个方向的运动是独立的，因此 由于粒子在三个方向的运动是独立的，因此：