上海大学随机过程第六章习题及答案
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
第6章 窄带随机过程
Z (t ) B(t ) cos[ (t )], 其中 B( t ) 0, ( t ) t ( t ) 。 0
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表达式1： Z ( t ) B( t ) cos[ 0 t ( t )],
B( t ) 0, ( t ) 0 t ( t ) 表达式2： Z ( t ) X ( t ) cos 0 t Y ( t ) sin 0 t
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二、解析信号与希尔伯特变换*
1． 解析信号的引入
S ( f ) s(t )e j 2 f t dt R( f ) jI ( f ) 时域实信号S(t)
S ( f )满足共轭对称性，即，
R( f ) R( f ), 偶函数 S ( f ) S ( f ) I ( f ) I ( f )， 奇函数
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2．解析信号的构造
对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
ˆ(t ) z( t ) s( t ) js
ˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为， 其中，s
s( t )
即，
h( t )
ˆ s( t )
z( t ) s( t ) js( t ) h( t )
ˆ ( t ) 的互相关函数满足： X
T
T
R X ( t , t )dt
性质5. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ ( ) ˆ RX X ( ) R ( ), R ( ) R ˆ ˆ X X XX
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《随机过程》第六章习题
Y (s)ds, t 0 ，在均方可积意义下是否存在？存在的话，试求其相
0
t
(t ) e at B(e 2at 1), t 0, a 0 的常数，试求随机过程 (t ) 和 (t ) 的均值函数和相
关函数，并说明 (t ) 和 (t ) 是否是正态过程。 3、 设 {B(t ) , t 0} 是 标 准 的 布 朗 运 动 ， 试 求 B(t ) 与
P{B(t 0 t ) x0 B(t 0 ) x0 } P{B(t 0 t ) x0 B(t 0 ) x0 } 1 / 2 ；
Ta inf{t :t 0, B(t ) a} ， （3） 令： 当 a 0 时， Ta 表示布朗运动首次到达 a 的时刻，
试求 Ta 的分布函数。 7、 设 B(t ) , t 0 是初值为零的标准布朗运动，令：
中国科学院大学 2014～201
第六章 高斯过程（维纳过程） 习题
1、 设有随机过程 Y (t ) t X 1, 0 t ， X 是正态随机变量，期望为 0，方差为 X 。
2 2
（1） 过程 Y (t ) 是否正态过程？是否平稳过程？均需说明理由； （2） 过程 Z (t ) 关函数。 2、 设 B(t ) , t 0 是 初值 为零 的标 准布朗 运 动， 令 (t ) (1 t ) B[t /(1 t )], 0 t 1 ，
X (t ) B(t ) tB(1) , 0 t 1
称 { X (t ), 0 t 1} 为布朗桥过程。 （1） 试问布朗桥过程是否为正态过程，为什么？ （2） 试求布朗桥过程的均值函数和相关函数； （3） 试求布朗桥过程的一维分布密度函数。
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
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第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
上海大学随机过程第六章习题及答案
第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
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第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =L 是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================L L L L L因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++L 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值.（1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P t n i i ===++=⎩⎨⎧≤>i j ij a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j ij iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题六答案
②
k 1
k
t Pik
t zk
kk
k 1
t Pik
t zk
z
z
k 1
k
t Pik
t zk
z t
z
Pik
t
zk
z
t
G t, z
z
③
k1 t Pik1 t zk k 1 t Pik1 t zk m t Pim t zm1
概率分布。 答：
P01 t
1
P00
t
+
+
e +t
1 2
1 e2t
,
P00
t
1 2
1+e2t
，P11
t
1 2
1+e2t
，P10
t
1 2
1 e2t
记 Pk t P N t k x0 0
解得 0
M
，
j
CMj
j
Mj
,
j
1, 2,
,M
（2）
0
30 90
10
1 310
,
j
C1j0
60 j 90
30 10 j 90
(完整word版)随机过程试题带答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 Γ 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 (n)n P P = 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑ 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1．为it(e-1)e λ。
2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。
3． 1λ4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33⎧⎫⎨⎬⎩⎭。
6．(n)nP P =。
随机过程-习题-第6章
随机过程-习题-第6章(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2222222000000σσσσσσσa a a B试求其特征函数。
解：n 元正态分布的特征函数为}21exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξn i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则∑=='ni ijat t j 1μ()()),,,(2122322222121'++='n n t tt t t a t t a t t Bt t σσσσσσ=22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑-=+=+1121122n i i i ni i a t t t σσ∴]21exp[)]21(exp[),,,(112112221][∑∑-=+=--=n i i i ni i i n a t t t jat t t t σσφξ. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ，n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--=设有随机变量∑==ni i 1ξη，求?的特征函数。
解：易得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n ξξξη 21]111[2)1(][][11+===∑∑==n n i E E ni ni i ξη 协方差矩阵为： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=n nn n n n n n n n321312211121B所以 ]111[]111['⋅⋅= B ηD =223n n +由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ)3,2,1(=i ，其协方差矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211b b b b b b b b b B其中，2332211σ===b b b ，试求：（1）[]321ξξξE（2）[]232221ξξξE （3）)])()([(223222221σξσξσξ---E 解：（1） 由教材467P 页可看出()()3,2,1,,,,321321=Φ-=∂Φ∂i t t t u t t t t i i()()()j i j i t t t u u t t t b t t t t t j i ij ji ≠=Φ+Φ-=∂∂Φ∂且3,2,1,,,,,,,3213213212，()()()()()()()3213211232133123213213211233212133213123213213,,,,,,,,,,,,t t t u u u u b u b u b t t t u u u t t t u b t t t u b t t t u b t t t t t t Φ-++=Φ-Φ+Φ+Φ=∂∂∂Φ∂ 其中：()321,,t t t Φ为零均值的三元正态分布随机变量321,,ξξξ的特征函数()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=Φ∑=3132121exp ,,k k k u t t t t∑==31i i ki k t b u令0321===t t t ，则()3,2,1,0,10,0,0===Φk u k ，所以[]()()0,,032132133213213=∂∂∂Φ∂====-t t t t t t t t t jE ξξξ（2）设()321123213312u u u u b u b u b N -++=，则()()3213213213,,,,t t t N t t t t t t Φ=∂∂∂Φ∂21333123321333123312321233122321222132312221133112321111231312123131222213332122231133221132132222u u b u u b u u b b b b b t Nu u b u u b u u b b b b b t Nu u b u u b u u b b b b b t Nb b b b b b b b b b b b t t t N---+=∂∂---+=∂∂---+=∂∂++++=∂∂∂∂()()()()()()()2313123322110132321223132123213212321321303213213023222132164,,,,,,,,,,,,321321321b b b b b b t N t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t N t t t t t t N t t t t t t t t t t t t t t t -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂Φ∂+∂∂∂∂Φ∂+∂∂∂∂Φ∂+Φ∂∂∂∂=∂∂∂Φ∂=∂∂∂Φ∂========= []()()()()231312332211023222132162322214,,63216b b b b b b jt t t t t t jE t t t -=∂∂∂Φ∂=--===ξξξ(3)()()()[]()()()()[]()2121122221222121122122112221121222112121122122221214,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂()()()[]()()()()[]()3131132321332131132133113231121333113131133122321314,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂()()()[]()()()()[]()3232232322332232232233223232222333223232233222322324,2,,t t u u b u u b u u u b b u u b u b b b b t t u u b t t t t t t Φ-+--++-+=Φ+-∂∂∂=∂∂Φ∂[]()21222110222121422212,21b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ []()21333110232131423212,31b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ []()22333220232232423222,32b b b t t t t E t t +=∂∂Φ∂===ξξ()()()[][][][][]()()()22321321222313126232221423222321222122322212232222212224b b b b b b E E E E E E E E ++--=-+++++-=---σσξξξσξξξξξξσξξξσξσξσξ另一种方法是利用设有三维正态分布的随机矢量T ξ=[1ξ,2ξ,3ξ]的概率密度为f []ξ(x 1,x 2,x 3)=C )}422(21exp{2321222121x x x x x x x +-+--(1)证明经过线性变换η=A ξ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---100721021411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321ξξξ 得矢量T η=[321,,ηηη]，则321,,ηηη是相互统计独立的随机变量。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、选择题1. 关于随机过程的描述，错误的是：A. 随机过程是一种由随机变量组成的集合B. 随机过程是一种在时间上有序排列的随机变量序列C. 随机过程可以是离散的，也可以是连续的D. 随机过程是一种确定性的数学模型答案：D2. 以下哪种过程不是随机过程？A. 白噪声过程B. 马尔可夫过程C. 布朗运动D. 正态分布答案：D3. 随机过程的一阶矩描述的是：A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：A4. 当随机过程的各个时间点上的随机变量是独立同分布时，该随机过程为：A. 马尔可夫过程B. 马尔可夫链C. 平稳随机过程D. 白噪声过程答案：B5. 下列关于马尔可夫过程的说法中，正确的是：A. 当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关B. 当前状态只与历史状态有关，与上一状态无关C. 当前状态只与上一状态和历史状态有关D. 当前状态与所有历史状态均无关答案：A二、填空题1. 随机过程中，时域函数常用的表示方法是__________。
答案：概率分布函数或概率密度函数2. 马尔可夫过程的状态转移概率只与__________相关。
答案：当前状态和下一状态3. 随机过程的时间参数称为__________。
答案：时刻或时间点4. 白噪声过程的自相关函数是一个__________函数。
答案：冲激函数5. 平稳随机过程的自相关函数只与__________相关。
答案：时间差三、解答题1. 请简要解释随机过程的概念。
随机过程是一种由随机变量组成的集合，表示一个在时间上有序排列的随机变量序列。
它可以是离散的，也可以是连续的。
随机过程的描述通常包括概率分布函数或概率密度函数，以及相关的统计特征，如均值、方差等。
随机过程可以用于对随机现象进行建模和分析。
2. 请简要说明马尔可夫过程的特点及应用。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即当前状态只与上一状态有关，与历史状态无关。
其状态转移概率只与当前状态和下一状态相关。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
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一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变量X(t)t3te如果对如果对t时取得红球t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5，D(U)5.求：，其中是随机变量，且（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量，且D(U)5.，其中是试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值是两个随机变量试求随机过程，函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t2为多少？一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的poisson过程。
以小时为单位。
则E(N(1))30。
40k(30) P(N(1)40)ek!k030。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车1在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N，1=22时，计算上述概率。
随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。
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随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
Ch6_ans
所以,Xn 是Markov链。
1
2. 设状态空间S = {0, 1, 2, 3} 1 2 Π= 0 0 1 0 0
1 2
0
1 2
0
0 0
0
0 1 2 1
3. 该Markov链是齐次的， 有状态转移图看出， 当n = 2k时， π11 (n) = [π12 (1) · π21 (1)] · [π12 (1) · π21 (1)]...[π12 (1) · π21 (1)] = [π12 (1) · π21 (1)] 2 = 1 1 × 2 2
1
P (n) = P (0)Π(n) = [
0 0
1 ] 3
1 2 即A最终赢的概率为 3 ， B最终赢的概率是 3 。
6-14 设车间有两个独立工作的机器，且每个机器有两个状态：正常工作和故
障修理。已知正常工作的机器某天出故障的概率为a,机器处于故障修理状态 在某天恢复正常工作的概率为b。设Xn 是第n天该车间正常工作的机器数。 1. 证明Xn 是一个三状态的Markov链，并给出一步状态转移概率Π 。 2. 证明该Markov链的稳态状态概率是参数为p = b/(a + b)的二项式分布。 3. 若车间里有n台机器，则稳态概率是什么? 解：
πii (n) = π10 (n) = 4. 求n = 2k 步状态转移矩阵。 5. 计算Πn ,当n → ∞的极限 6. 分别求A和B最终赢的概率 2 1− 3 1 2 1 4
n
,
k
i = 1, 2 = π23 (n)
解：
1. 由于抛均匀硬币,出现正面和反面的概率都为1/2， 因此有： P {Xn+1 = xn+1 |Xn = xn , Xn−1 = xn−1 , ..., X1 = x1 } =P {Xn+1 − Xn = xn+1 − xn |Xn = xn } =P {Xn+1 = xn+1 |Xn = xn }
(完整版)随机过程习题答案
(完整版)随机过程习题答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1随机过程部分习题答案习题2 2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数 ⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
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第三章 习 题1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.（1）写出状态空间；（2）求一步转移概率矩阵；（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为{2,1,0,1,2}S =--（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为1000000000001q rp q r p q r p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P （3）因为两步转移概率矩阵为22(2)22222210000202220200001q rq r pq pr p q rq r pqpr p q qr pq r p pr ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为(2)12(1)p p pr p r =+=+2．设{,1,2,}i Y i =为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =是否为Markov 链？（2）令1nn ii X Y ==∑，问{,1,2,}iX i =是否为Markov 链？解（1）由于11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)()()()()()()(,,,)n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=========================因此，{,1,2,}n Y n =是马尔可夫链.（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++为1n U -的函数，记为1112(),n n n nf U X U U U --=+++为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而122111221111112211 (,,,)(,,,)(,,,)()()nn n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑因此{,1,2,}n X n =是马尔可夫链.3 设,1,2,i X i =是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=-，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =是Markov 链，并求其转移概率；（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且⎩⎨⎧≤>======++i j ij a i X z X P i R z R P j k n n k k k k k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随机变量，因为{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且}{1z X R P tn i i ===++=⎩⎨⎧≤>ij i j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链 令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…{}1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+,0,j j i j iα>⎧=⎨≤⎩ 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。
4考虑一个具有状态0,1,2,的Markov 链，其转移概率满足,1,11i i i i i p p p +-==-，其中01p =，请找出为了使该Markov 链正常返，所有的i p 所应该满足的充要条件，并计算其在这种情况下的转移概率.解：根据题意知，要满足马尔可夫链为正常返约，当且仅当πj i y iP ππ=∑ j =0，1，2...有一组解j π>0, 1j jπ=∑根据,1,11i i i i i P P P +-==- ，方程可重写为011q ππ=1111,1i i i i i P q i πππ--++=+≥ 则11,0i i i i q P i ππ++=≥ 因此01011....,0. (i)i i P P i q q ππ++=≥从而，随机游动为正常返约的充要条件是0011 (i)i i P P q q ∞=+<∞∑5 捕捉苍蝇的一只蜘蛛依循一个Markov 链在位置1，2之间移动，其初始位置是1，转移矩阵为0.70.30.30.7⎛⎫⎪⎝⎭，未觉察到蜘蛛的苍蝇的初始位置是2，并依照转移矩阵为0.40.60.60.4⎛⎫⎪⎝⎭的Markov 链移动，只要它们在同一个位置相遇，蜘蛛就会捉住苍蝇而结束捕捉.（1）证明：在捕捉的过程中，除非知道它结束的位置，否则都必须用三个状态的Markov 链来描述，其中一个是吸收状态，表示结束捕捉，另外两个代表蜘蛛与苍蝇处在不同位置，对此求转移矩阵；（2）求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处在各自初始位置的概率； （3）求捕捉过程的平均持续时间.证明：捕捉过程中，除非知道它结束时的位置，可用三个状态的马尔可夫链来描述，其中一个是吸收状态代表捕捉结束，而另外的两个代表植蜘蛛与苍蝇处在不同的位置，对此链求转移概率矩阵。
求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处于各自的出事位置的概率，捕捉过程的平均持续时间是多少？解：（1）根据题意可知，在捕捉过程中共有三个状态，我们分别令为1，2，3则1={蜘蛛为1，苍蝇在2} 2={蜘蛛为2，苍蝇在1} 3={蜘蛛，苍蝇在同一位置}其中状态3也代表着捕捉结束，则转移概率矩阵为0.280.180.540.180.280.54001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）分别设n X ，n Y 代表时刻n 蜘蛛和苍蝇的位置。
令{1,2}n n n P P X Y === '{2,1}n n n P P X Y === 则有{1,2}n n n P P X Y ====111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====+'111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---=====0.281n P -+0.18'1n P -同理'n P =0.28'1n P -+0.181n P - 且1P =0.28,'1P =0.18(3)苍蝇被吃掉的概率为P =P {蜘蛛不动，苍蝇动}＋P {苍蝇不动，蜘蛛动} 故P ＝0.7*0.6+0.4*0.3=0.54 故捕捉过程的平均时间为1.856 在一个分枝过程中，每个个体的后代个数服从参数为（2，p ）的二项分布，从一个个体开始，计算： （1）灭绝概率；（2）到第三代群体灭绝的概率；（3）若开始时不是一个个体，初始的群体总数0Z 是一个随机变量，服从均值为λ的泊松分布，证明：此时对于12p >，灭绝概率为2exp{(12)/}p p λ-. 解 （a ）设0π=P {灭绝的概率}= 210{}{j}j p j P X ===∑1灭绝的概率|X22002(1)j j j j p p j π-=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑故有222000(1)2(1)p p p p πππ=-+-+解得220221|12|122(1)2p p p p p p π⎧±-+-+⎪===-⎨⎪⎩因为p X E 2][=，根据定理4.5.1可知， 若P ≤0.5 时 ，0π=1P >0.5 时 ，0π= 22(1)p p-即201,0.51(),0.5p p p p π≤⎧⎪=-⎨>⎪⎩（b ）Ⅱ={第三代群体首次灭绝}=∑=21j p {第三代群体首次灭绝|j x =2}}{2j x ==∑=21j Ⅱj j j j p p C --22)1(故Ⅱ=Ⅱ22p +2Ⅱ)1(p p -（c ）Ⅱ*=p {群体灭绝}=∑∞=0k p {群体灭绝|k Z =0}}{0k Z p ==∑∞=0k p {群体灭绝|k Z =0}λλ-e k k!=λλπ-∞=∑e k kk k !=}ex p{0λπλ-e =})21(ex p{2p p -λ7 一辆出租车流动在三个位置之间，当它到达位置1时，然后等可能的去位置2或3.当它到达位置2时，将以概率1/3到位置1，以概率2/3到位置3.但由位置3总是开往位置1.在位置i 和位置j 之间的平均时间是12132320,30,30t t t ===，且ij ji t t =.求 （1）此出租车最近停的位置是i 的（极限）概率是多少？1,2,3i =； （2）此出租车朝位置2开的（极限）概率是多少？ （3）有多少比例的时间此出租车从位置2开到位置3?注意，以上均假定出租车到达一个位置后立即开出.解：根据题意有12P =1/2，13P =1/2，21P =1/3，23P =2/3，32P =0 12t =21t =20，3113t t ==30，23t =30(a)根据123123213121131121223j i ij i i p ππππππππππππππ++=⎧⎪⎪=+⎧=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎪=+⎪⎩∑∑解得12337314514πππ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(b)此出租汽车朝位置2开的极限概率是112332p p ππ+，为3/14(c)2232332301214331312576(3020)(2030)3072143314j ji ji ijp t p t ππ⨯⨯==⨯++⨯+⨯+⨯∑8 转移矩阵称为双随机的，若对于一切j ，1iji p+∞==∑，设一个具有双随机转移矩阵的Markov链，有n 个状态，且是遍历的，求它的极限概率.解：由于Markov 链是状态有限的遍历链，极限分布是唯一的平稳分布，满足121...1,1,2,...,n n j i ij i p j nπππππ=+++=⎧⎪⎨==⎪⎩∑ 解得121...n n πππ====。