利用函数性质判定方程解的存在
北师大版高中数学必修一-4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在 教案
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标1.理解函数零点的意义，能够利用函数性质判定方程解的存在2.通过函数性质判定方程解的存在，培养数形结合的思想3.通过学习，初步体会事物间相互转化的辩证思想教学重难点重点：利用函数性质判定方程解的存在难点：方程实数解的存在区间的求解教学过程问题1 下列函数图像x轴的交点坐标和相应方程的根有何关系？（画出图象并分析）y=2x-4 与2x-4=0 y= x2－2x－3与x2－2x－3=0概括总结：函数的零点定义：我们把函数y=f(x )的图象与x轴交点的横坐标叫做函数y=f(x)的零点等价关系：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与X轴有交点⇔函数y=f(x)有零点示例·练习问题探究2概括总结零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，f(x)=0至少有一个实数解。
思考下列问题：问题1：函数f(x)在区间（a,b)上f(a)f(b)<0，是否一定有零点? 举例说明。
问题2 ：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？举例说明。
问题3：函数f(x)在区间（a,b)上有零点，是否只有一个？举例说明。
总结出函数零点存在性定理注意事项：（1）函数y=f(x)的图象是连续不断地曲线（2）f(a)﹒f(b)<0 y=f(x)有零点，但不可逆（3）若f(a)﹒f(b)>0，不确定函数是否有零点示例·练习课后小结1.什么是函数的零点？2.如何使用函数性质判定方程解得存在？作业：P116.第3题[]实数解？为什么？内有没有在问方程已知函数0,1-0)(,3)(.22=-=x f x x f x []否存在零点。
上是在判断函数）（1,2-44)(.11-+=-x e x f x []并说明理由。
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计一、教材依据使用教材为北京师范大学出版社的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修一第四章函数应用的第一节函数与方程的第一课时《利用函数性质判定方程解的存在》。
二、设计思想1、教材分析函数是高中数学的一条主线，是高考的难点与热点，因此，作为高中学生应该精通函数（概念、性质、图象），另一方面还应善于运用函数的观点解决方程问题。
函数思想就是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的图像和性质去分析问题、转问题，从而使问题获得解决。
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程（组），或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
函数思想与方程思想密切相关，对问题的分析过程常需有意识地培养学生的函数与方程转化意识，对于高中学生数学学习来说显得尤其重要，为此设计这一教学内容。
2、学情分析在初中时已经学过一元一次方程、一元二次方程等的求解，而对于一些复杂的方程无法求解，那就要判断所给方程到底有没有实数解，本节课在之前函数学习的基础上，通过函数和方程的联系，让学生会判断所给方程在给定区间是否有实数解。
三、教学目标1、知识与技能理解方程的解与相应函数图像交点之间的内在联系，学会用函数观点处理某些方程的解的问题。
2、过程与方法由函数图像发现函数和方程的联系，并总结出零点的定义以及如何判定方程解的存在。
在发现、研究和解决问题的过程中，体会“函数与方程”、“化归与转化”和“数形结合”等数学思想方法。
3、情感态度与价值观培养学生系统化及联系的观点。
四、教学重点学会用函数方法研究某些方程解的存在性等相关问题；体会函数与方程的思想。
五、教学难点理解方程的解与函数图像交点的横坐标的关系；学会问题转化、优化，能够将某些方程解的问题转化为函数图像的交点问题来解决。
六、教法选择利用多媒体直观地展示函数图像的变化，激发学生自觉地探究数学问题，体验发现的乐趣，充分体现以学生发展为本的理念。
利用函数性质判定方程解的存在教学设计
利用函数性质判定方程解的存在一、教材分析《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。
函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”的基础。
同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“函数与方程思想”、“转化与化归思想”的优质载体。
二、学情分析学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。
缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。
三、教学目标：1.知识与技能：（1）能说出函数零点的概念（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理（3）会判断函数零点的个数和所在区间2.过程与方法：经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程3.情感、态度与价值观：体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想四、教学重点、难点：重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。
难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数五、教法学法： 教法：启发—探究—讨论 学法：自主—合作—交流 六、教学过程：教学准备：导学案，多媒体 课时安排：1课时（一）设问激疑，创设情景 问题引入：求下列方程的根 前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。
（二）启发引导，形成概念 探究（一）：函数零点的概念问题1：一元一次方程10x -= 的解?一次函数1y x =- 图像与x 轴交点坐标？方程的根与交点的横坐标有什么关系？问题2：给定二次函数y ＝x 2＋2x －3，（1）做出函数图像，观察函数的图像与x 轴的交点是什么？（2）方程x 2＋2x －3＝0的根是什么？（3）方程的根与交点的横坐标有什么关系？由问题1、2引出函数零点的概念，及函数零点与对应方程根之间的联系。
精 品 教 学 设 计4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
2024-2025学年高一数学必修第一册(配北师版)教学课件1.1利用函数性质判定方程解的存在性
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
解析 易知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条连续不断的曲线,又f(-3)·f(-1)
(1)函数的零点是一个点.( × )
(2)函数的零点是一个点的坐标.( × )
1
2.函数y=1+ 的零点是( B )
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
3.[人教B版教材例题]如图所示是函数y=f(x)的图象,分别写出
f(x)=0,f(x)>0,f(x)≤0的解集.
解 由图可知,f(x)=0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}.
f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)
的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)
的零点.
解 由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程
【例2】 判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(2)f(x)=x2-
1
;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
解 (1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以-2不是函数的零点,故函数有1和2两个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直
利用函数的性质判定方程解的存在
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
y
A
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 14 0 ,
问题引入：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
2.方程 x 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？
2
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
北师大版数学教材 必修1
利用函数性质判定方程解的存在
北师大版数学教材 必修1
实例分析：
故方程 x x 6 0 在区间 (4, 0) 内有实根,记为 x2 .
2
C
x2
-4 O
x1
4
x
综上可知,方程 x x 6 0 有两个实数解 x1 , x2 .
2
B
北师大版数学教材 必修1
抽象概括:
1.请指出函数的零点的概念. 2.函数的零点与方程的实数解之间有何关系？ 3.用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
北师大版数学教材 必修1
典例分析:
例 2.已知函数 f ( x ) 3x x 2 .问:方程 f ( x ) 0 在 [1,0] 内 有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f ( x) 3 x 的图像是 0 , f (1) 2 0 , 3 x 2 所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
1 x
0
1 x 在 [ 1， 上 不 连 续 , 1]
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
f (x)
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
尽 管 有 f ( 1) f 1) 0
．
③
x
可方程 在（-1，2）上无解
．
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
• 零点是点吗？ • 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1 1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方的点（1，1）， 图像是一条连续的直线，故函数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函 数 f ( x ) 2 x 1在 闭 区 间 [ 0 , 1 ] 上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (0 ) 1 0, f (1) 1 0， 则 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 内 有 零 点 .
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
利用函数性质判定方程解的存在
0
x
有,2个 ,2个
没有
4x－ （3） x2 ＝4x－4；
2x＝ （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
有，1个
有，2个
知识探究
观察二次函数f(x)=x 2x－ 的图像: 观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图像:
f(－ [－2,1] f(－2)>0 f(1)<0
y
2 1
.
－2 －1
. .
第四章
§1
1.1
函数应用
函数与方程
利用函数性质判定 方程解的存在
学习目标
1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点 1.理解函数（结合二次函数）零点的概念， 理解函数 与相应方程解的关系. 与相应方程解的关系. 2.掌握零点存在的判定条件． 2.掌握零点存在的判定条件． 掌握零点存在的判定条件
1.函数零点的定义 1.函数零点的定义 2.等价关系 2.等价关系 3.函数的零点或相应方程的 3.函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断
行动与不满足是进步的第一必需品。
= x - 3x + 2 的图像与 x 轴交点坐标有何关
2
y
o
1
2
x
方程的根等于交点的 横坐标
函数的零点
我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为 我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为 y=f(x) 这个函数的零点。 这个函数的零点。 等价关系： 方程 f (x) = 0 有实数解 等价关系：
y y
.
a
0
.
b
x
.
a 0
.
b
x
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 只要满足上述两个条件, 区间内存在零点。 区间内存在零点。
利用函数性质判定方程解的存在性 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
利用函数性质判定方程解的存在
4.1.1
利用函数性质判定
方程解的存在
实例分析：
例 1.判断方程 x x 6 0 是否存在实数解.
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
y
A
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
x 1 f(x) 23
2 9
3 –7
4 11
5 6 7 –5 –12 –26
）个
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（
A.5 B.4 C.3 D.2
例4.方程log2 x x 0在 0,1内是否存在实数解.
练习3.判断下列方程在指定区间是否存在实数解.
1 log x 2 x 0在 1,3内；
所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
x 2
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数 解,且一个大于5,一个小于2.
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物 线,所以抛物线与横轴在 (5,+∞)内有一交点,在(-∞,2) 内也有一个交点.
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小 于2
练习1.证明方x 2 1至少有一个小于1的正根.
x
1.在二次函数 y ax2 bx c中，ac<0,则其零点的个
数为（
Ａ.１
）
Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案1
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学过程导入新课据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．推进新课①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．图2 图3 图4②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．④方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.②方程的实数根为1，图像如图3.③方程没有实数根，图像如图4.④方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．⑥一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．⑦方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2 x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例例1 已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ 活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f (x )＝0无法解，故用定理法，判断f (－1)f (0)＜0是否成立．解：因为f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0， f (0)＝30－(0)2＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图像是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f (x )＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.变式训练1. 判断函数y ＝|x －1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，图5函数y ＝|x －1|－2的图像与x 轴有两个交点，所以函数y ＝|x －1|－2有两个零点．2．求证：函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法一：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根．所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0可化为(2x ＋1)(x －2)＝0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12. 所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f (x )＝2x 2－3x －2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f (0)＝－2＜0，所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．如图6.图6点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．方法：零点⇔函数方程的根⇔两图像的交点．数学思想：转化思想和数形结合思想.例2 判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2) (2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．图7所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.变式训练关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．图8解：设f(x)＝x2－ax＋a2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图像与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．。
教学设计《利用函数的性质判断方程解的存在》
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计教材：普通高中课程标准实验教科书高中数学(北师大版)必修1第四章函数的应用一、教学目标(一)知识与技能1.结合方程解的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实数解与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.(二)过程与方法1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
(三)情感、态度与价值观1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。
二、教学重点与难点教学重点:零点的概念及零点存在性的判定。
教学难点:探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.三、教学的方法与手段授课类型：新授课教学方法：启发式教学、探究式学习教学辅助: 多媒体四、教学过程(一)问题引入,揭示课题1、教师：同学们回顾一下,我们初中已经学过一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，并掌握了一些方程的求解公式，那么我们今天继续来讨论方程解的问题。
请同学们先来看大屏幕这个问题。
思考1：判断下列方程是否有实数解，有几个实数解？x-=2(1)10(3)60-+=(4)ln260x x--=2(2)60x x+-=x x学生活动：回答，思考解法。
教师：第四个方程若利用初中的求解方法我们难以判断！大家想一下，我们初中里面学习过函数与方程之间的关系，那么我们这节课就来学习《利用函数性质判定方程解的存在》（揭示课题）。
通过这节课的学习我们就可以解决第四个问题（揭示课题:利用函数性质判定方程解的存在）教师：我们继续来讨论思考1的这一元二次方程。
2024-2025年北师大版数学必修第一册5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性(带答案)
1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练知识点一函数零点的概念1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )2．函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为( )A．10 B．9 C．(10，0) D．(9，0)3．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若f(x)有一个零点为x＝3，求a；(2)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．知识点二利用零点存在性定理判断方程的根所在区间4．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )A．方程f(x)＝0一定有实数解B．方程f(x)＝0一定无实数解C．方程f(x)＝0一定有两实数解D．方程f(x)＝0可能无实数解5．已知函数f(x)＝x3＋x－3，则f(x)的零点存在于下列哪个区间内( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 6．函数f (x )＝log 4(2x ＋4)－4x ＋1的一个零点所在的一个区间是( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)知识点三 判断函数的零点(或方程根)的个数7．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．08．方程log 2x －x ＋2＝0的根的个数为________． 知识点四 二次函数的零点问题9．关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a ＝1(a ≠0)，求a 为何值时： (1)方程有一个正根和一个负根； (2)方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．下列关于函数零点的说法正确的是( ) A ．函数零点就是函数图象与x 轴的交点B ．函数f (x )有几个零点，其图象与x 轴就有几个交点C ．不存在没有零点的函数D ．若f (x )＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f (x )有两个零点 2．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a (a ，b ∈R )的部分图象如图所示，则函数g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D ．(2，3) 4．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )－2，并且α，β是方程f (x )＝0的两个根，则a ，b ，α，β的大小关系可能是( )A ．a <α<b <βB ．α<a <β<bC ．α<a <b <βD ．a <α<β<b6．(探究题)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( )A ．a <1<bB ．a <b <1C ．1<a <bD ．b <1<a7．若方程2x－2x－a ＝0的一个根在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是________．8．(易错题)已知方程x 2－2ax ＋a 2－4＝0的一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．9．已知方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时： (1)方程有唯一实数根；(2)方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．(多选题)若函数y＝x2－4|x|＋5－m有四个不同的零点，则实数m可取的值有( ) A．1 B．2C．4 D．62．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0，2]上有两个零点，求实数a的取值范围．1．1 利用函数性质判定方程解的存在性必备知识基础练1．答案：A解析：通过函数图象与x轴的交点个数确定函数的零点，选A.2．答案：A解析：令f(x)＝log3(x－1)－2＝0，即log3(x－1)＝2＝log332，所以x－1＝32，因此x ＝10，所以函数f(x)＝log3(x－1)－2的零点为10，故选A.3．解析：(1)因为f(x)有一零点x＝3，所以32＋a ×3＋3＝0， 所以a ＝－4.(2)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，所以a 的取值范围是[－6，2]. 4．答案：D解析：因为函数f (x )的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f (－1)·f (3)<0，但函数y ＝f (x )在(－1，3)上未必有零点，即方程f (x )＝0可能无实数解．5．答案：B解析：∵f (x )＝x 3＋x －3，∴f (0)＝－3<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，f (3)＝27>0，f (4)＝65>0， ∴f (1)·f (2)<0，又y ＝x 3与y ＝x －3在R 上单调递增，所以f (x )在R 上单调递增， ∴函数f (x )的零点所在的一个区间为(1，2).故选B. 6．答案：C解析：函数f (x )的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞)，易知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．f (1)＝log 46－2＝log 46－log 416＝log 438<log 41＝0，f (2)＝log 48－43 ＝log 4432 －43 ＝32 －43 ＝16>0，由零点存在性定理可知，函数f (x )的一个零点所在的一个区间是()1，2 .故选C. 7．答案：B解析：当x ≤0时，由x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3；当x >0时，由－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.故函数f (x )有2个零点，选B. 8．答案：2解析：log 2x －x ＋2＝0，即log 2x ＝x －2.令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2. 画出两个函数的大致图象，如图所示． 由图可知，两个函数有两个不同的交点．所以方程log 2x －x ＋2＝0有两个根．9．解析：令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1(a ≠0).(1)当方程有一个正根和一个负根时，f (x )对应的草图可能如图①或②所示．因此f (x )＝0有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （0）<0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （0）>0，解得0<a <1.所以当0<a <1时，方程有一个正根和一个负根．(2)当方程的两个根都大于1时，f (x )对应的草图可能如图③或④所示．因此f (x )＝0的两个根都大于1等价于⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）>0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0，2（a ＋1）2a >1，f （1）<0.解得a ∈∅.所以不存在实数a ，使方程的两个根都大于1.关键能力综合练1．答案：B解析：函数零点指的是使f (x )＝0的x 的值，即函数图象与x 轴交点的横坐标，所以A 不正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y ＝2，故C 不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D 不正确．故选B.2．答案：D解析：∵f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，f (6)f (7)<0，∴函数f (x )至少有4个零点，即方程f (x )＝0到少有4个实根．3．答案：A解析：由图可得，f (0)＝a ∈(0，1)，f (1)＝1－b ＋a ＝0， 所以b ＝a ＋1∈(1，2)，因为g (x )＝ln x ＋2x －b 单调递增，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝ln 12 ＋1－b <0，g (1)＝2－b >0， 所以g (x )＝ln x ＋2x －b 的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 ，故选A.4．答案：B解析：令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝(12)x .设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝(12 )x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．5．答案：C解析：由题意得，f (a )＝f (b )＝－2<0，而f (α)＝f (β)＝0，借助图象可知(图略)，a ，b ，α，β的大小关系有可能是α<a <b <β，故选C.6．答案：A解析：令f (x )＝0，即e x＋x －2＝0，则e x＝2－x .令g (x )＝0，即ln x ＋x －2＝0，则ln x ＝2－x ，设y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x . 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝e x，y 2＝ln x ，y 3＝2－x 的图象如图．∵函数f (x )＝e x＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，∴y 1＝e x与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为a ，y 2＝ln x 与y 3＝2－x 图象的交点的横坐标为b ，由图象知a <1<b ，故选A. 7．答案：(0，3)解析：令f (x )＝2x －2x －a ，根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f (x )＝2x －2x－a 在区间(1，2)内是增函数，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，所以f (1)<0，且f (2)>0，求解可得0<a <3.8．答案：(1，2)解析：设f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－4，结合零点存在性定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f （2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3>0，a 2－4<0，a 2－4a <0，解得1<a <2. 9．解析：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即x ＝－12 ，符合题意；当a ≠0时，Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)＝0，解得a ＝－13 .所以当a ＝0或a ＝－13 时，方程有唯一实数根．(2)令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1.因为方程的一个根大于1，一个根小于1，故a ≠0，f (x )的草图可能如图①或②所示．所以必须有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f （1）<0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f （1）>0. 解得a >0.所以当a >0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.核心素养升级练1．答案：BC解析：因为函数y ＝x 2－4|x |＋5－m 有四个不同的零点， 所以关于x 的方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个不同的实数解，所以令f (x )＝|x |2－4|x |＋5＝(|x |－2)2＋1，h (x )＝m ，画出函数f (x )的图象，如图所示．因为要使f (x )的图象与h (x )的图象有四个交点，则直线h (x )＝m 应该在直线l 和直线n 之间，所以1＜m ＜5，故实数m 可取2，4.2．解析：当x ＝0时，f (0)＝a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1＞0， 因此x ＝0不是f (x )的零点．当x ＝2时，f (2)＝16－8a ＋a 2－2a ＋2＝a 2－10a ＋18， 由f (2)＝0，得a ＝5±7 .若a ＝5＋7 ，则另一根x 2＝5＋7 －2＝3＋7 ∉[0，2]， 若a ＝5－7 ，则另一根x 2＝5－7 －2＝3－7 ∈[0，2]. ∴a ＝5－7 符合题意．若f (x )在(0，2)内有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝a 2－2a ＋2＞0，f （2）＝a 2－10a ＋18＞0，Δ＝16a 2－4×4（a 2－2a ＋2）＞0，⇒0＜a2＜2⎩⎨⎧a ＞5＋7或a ＜5－7，a ＞1，0＜a ＜4，解得1＜a ＜5－7 .综上所述，a 的取值范围是(1，5－7 ].。
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-高一上学期数学北师大版
学习目标
新课讲授
课堂总结
方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系:
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象 与x轴有交点
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：函数零点存在定理
思考:不解方程,该如何判断函数f(x)=x2-x-6零点是否存在？
函数f(x)=x2-x-6的图象如图，f(0)=6<0，f(4)=6>0，
新课讲授
课堂总结
知识点1:函数的零点及其与方程根的关系
1.计算完成下列表格:
2.画出函数y=x2-x-6的图像:
x
-4
x2
0
x1
4
y=x2-x-6
14
0
-6
0
6
x1 x2
问题:方程y=x2-x-6的根与对应函数图像与x轴交点有什么关系
学习目标
新课讲授
课堂总结
新知讲解
使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. f (x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 注意: 1.函数的零点是一个实数,而不是一个点. 例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0). 2.不是所有的函数都有零点,如f(x)=1，f(x)=x2+1就没有零点.
例1.方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？
又因为函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线,由零点存在定理可知方程 f(x)=0在区间(-1,0)内有解,即在区间[-1,0]内有解,故方程3x-x2=0在区间[-1,0]内 有解.
学习目标
新课讲授
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思一、引言函数是高中数学中重要的概念之一，对于理解数学中的许多问题具有重要作用。
其中，通过利用函数性质判定方程解的存在是高中数学中重要的一块内容，也是许多学生感觉比较困难的一个知识点。
本文主要介绍北师大版必修1中的“利用函数性质判定方程解的存在”这一节的教学教案及反思。
二、教学目标1.知道什么是函数性质，了解常见函数形式；2.能够准确地运用函数性质判定方程解的存在。
三、教学内容本节课程的重点在于利用函数性质判定方程解的存在，主要涉及以下内容：1.函数的概念和性质；2.奇偶性函数；3.单调性函数；4.形如f(x)=x的方程的图像与y=x的图像的位置关系；5.利用奇偶性、单调性和函数图像判定方程解的存在。
四、教学重难点1.知道如何准确地应用函数奇偶性和单调性判定方程解的存在；2.理解函数f(x)=x与y=x的图像位置关系。
五、教学策略1.引导学生发现函数的特点，理解函数性质；2.针对方程的形式，引导学生思考利用哪些函数性质进行判定；3.引导学生运用数学工具，如画函数图像等。
六、教学过程1. 知识导入引导学生听一段《小燕子》的歌曲，鼓励学生用歌词中的“如何让你知道我在等你”的形式，思考几种方程的解的存在性，并在黑板上列示出来。
2. 理解函数的概念和性质介绍函数的定义和常见的函数形式，并讲解函数的性质，如奇偶性、单调性等。
在讲解过程中，通过示例让学生理解基本函数性质。
3. 利用奇偶性和单调性判定方程解的存在从最简单的形式f(x)=c入手，引导学生思考不同情况下的判定方法。
然后引导学生自己发现利用奇偶性和单调性判定方程解的方法，并通过练习加深理解。
4. 画f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系通过讲解y=x的图像在平面直角坐标系中的位置，以及f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系，引导学生理解如何运用图像判定方程解的存在。
5. 实例练习将学过的知识点整合起来，让学生结合题目进行实例练习，加深对知识点的理解和记忆。
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总结
方程与函数的关系 根的存在性的判断 的方法
精品课件
8 2021/3/17
作业
P136:A
2
B1
P125:A
6
精品课件
9 2021/3/17
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横 坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。
若y=f(x)的图像在[a,b]上是连
续曲线，且f(a)f(b)<0，则在
(a,b)内至少有一个零点，即
f(x)=0在 (a,b)内至少有一个
实数解。
精品课件
4 2021/3/17
例2
f(x)=x2-5x+m=0 的两根都大于1， 求m的范围。
若
关于x的方程 已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则
（A）
（B）
（C）
f (x)， x
（D）
，则 解的个数
为
ylog1 x与ykx
（A）1 （B）2 4 （Ck）3（D）4
3、点已A，知且函14 点数A的横12 坐标为2，14 则
的图1 象有公共 2=
（A） （B） （C） （D）
精品课件
数形 结合
精品课件
5 2021/3/17
例3
讨论 2-
x=log2x解的个 数和分布情况。
数形 结合
怎样求这个根的近似值？ 精品课件
6 2021/3/17
练习
P133:1,2,3
1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。
ห้องสมุดไป่ตู้
2、设函数 x2bxc,x0,x0
f(x) 2,
x0
f4f0 f 2 2
利用函数性质判 定方程解的存在
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1 2021/3/17
问题提出
方程与函数都是代数的 重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
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2 2021/3/17
实例分析
判断方程 x2-x-6=0 解的存 F(x)= 在。
x2-x-6
精品课件
-3
0
4
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