利用函数性质判定方程解的存在
北师大版高一数学必修一利用函数性质判断方程解的存在性说课稿
利用函数性质判断方程解的存在性尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是利用函数性质判断方程解的存在性。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数的概念》本节课选自北师大版高中数学必修一第五章第一节。
函数是中学数学的重要内容，本节课则体现出了函数的应用价值。
此前的基本初等函数，函数性质的学习为本节课做了良好的铺垫。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生对基本初等函数以及其性质也有了一定的程度的认识，具有一定的分析概括能力三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：（1）理解方程的解和零点的关系，掌握零点存在性定理（2）通过对方程解的探究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，渗透数形结合，从特殊到一般的思想方法（3）通过探究过程，培养学生细心观察，认真分析的思维习惯，发展数学抽象和逻辑推理的数学核心素养四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为掌握零点存在性定理的概念。
教学难点为利用函数性质判定方程解的存在性。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节中，我会展示一副北方某天气温变化曲线图，图中显示早上6点气温为零下5度，中午12点温度为5度，我会对学生进行提问：“同学们，咱们看下这幅图片，有没有刚好温度等于0度的时刻呢？”，进而引出今天的课题。
高中数学北师大版精品教案《利用函数性质判定方程解的存在性》
利用函数性质判定方程解的存在性【教学目标】1．学习函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系，提升直观想象素养。
2．通过结合图像与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算素养。
【教学重难点】1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系。
易混点2．掌握函数零点存在的判定方法。
重点3．能结合图像求解零点问题。
难点【教学过程】一、基础铺垫1．函数的零点：①定义：函数f的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
①方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系。
2．函数零点的判定定理：若函数＝f在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即fa·fb0，则＝f在区间a，b内一定没有零点吗？[提示]1不是点，是数。
2不一定，如＝2－1，在区间－2，2上有两个零点。
二、新知探究1．求函数的零点【例1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出。
1f＝错误!；2f＝2＋2＋4；3f＝2－3；4f＝1－og3。
[解]1令错误!＝0，解得＝－3，所以函数f＝错误!的零点是－3．2令2＋2＋4＝0，由于Δ＝22－4×40，所以f1·f2021点个数为A．3 B．2C．1 D．02函数f＝n ＋2－3的零点的个数是________。
1B21[1当≤0时，令2＋2＋3＝0，解得＝－3；当>0时，令－2＋n ＝0，解得＝e2，所以已知函数有两个零点，故选B．2因为f1＝－2，f2＝n 2＋1>0；所以f1·f2<0又f＝n ＋2－3的图像在1，2上是不间断的，所以f在1，2上必有零点。
又f在0，＋∞上是递增的，所以零点只有1个。
]【教师小结】判断函数零点个数的三种方法（1）方程法：若方程＝f＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。
（2）图像法：由＝f＝＝g-h＝0，得g=h，在同一平面直角坐标系内作出1＝g和2＝h的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数。
利用函数性质判定方程解的存在教学设计
利用函数性质判定方程解的存在一、教材分析《利用函数性质判定方程解的存在》是北师大版教材必修一，第四章，第一节的内容。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，它与其它知识具有广泛的联系，而本节课“利用函数性质判定方程解的存在”就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
本节内容起着承上启下的作用：在函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程根的存在，是函数图像与性质内容的延续。
函数零点的概念和函数零点存在的判定方法，这又是学习下一节“利用二分法求方程的近似解”的基础。
同时，本节课还是培养学生“数形结合思想”、“函数与方程思想”、“转化与化归思想”的优质载体。
二、学情分析学生已经具备了：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)初步了解一元二次方程和相应二次函数的关系；(3)初步具备将“数”与“形”相结合及转化的意识。
缺乏的能力：(1)应用函数解决问题的能力还不强；(2)由特殊到一般的归纳能力还不够；(3)数形结合的思想敏锐性还有待提高。
三、教学目标：1.知识与技能：（1）能说出函数零点的概念（2）能归纳并叙述函数零点存在性定理（3）会判断函数零点的个数和所在区间2.过程与方法：经历“类比—归纳—应用”的过程；经历方程与函数的转化过程3.情感、态度与价值观：体验自主探究，合作交流的乐趣；体会事物间普遍联系的辩证思想四、教学重点、难点：重点：函数零点的概念，函数零点的判定方法。
难点：探究发现函数零点的存在性，利用函数的图像和性质判断函数零点的个数五、教法学法： 教法：启发—探究—讨论 学法：自主—合作—交流 六、教学过程：教学准备：导学案，多媒体 课时安排：1课时（一）设问激疑，创设情景 问题引入：求下列方程的根 前两个方程学生容易求解，后两个却无从下手，于是，引出本节课所要解决的问题，同时引入本节课题《利用函数性质判定方程解的存在》。
（二）启发引导，形成概念 探究（一）：函数零点的概念问题1：一元一次方程10x -= 的解?一次函数1y x =- 图像与x 轴交点坐标？方程的根与交点的横坐标有什么关系？问题2：给定二次函数y ＝x 2＋2x －3，（1）做出函数图像，观察函数的图像与x 轴的交点是什么？（2）方程x 2＋2x －3＝0的根是什么？（3）方程的根与交点的横坐标有什么关系？由问题1、2引出函数零点的概念，及函数零点与对应方程根之间的联系。
精 品 教 学 设 计4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
精 品 教 学 设 计1.1利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法。
让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辨证思维以及分析问题解决问题的能力。
二、教学重点难点重点：函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
三、教学程序设计(一)设问激疑，创设情景问题1一元一次方程10x -=的根和相应的一次函数()1f x x =-的图象与x 轴交点坐标有何关系？问题2一元二次方程2320x x -+=的根和相应的二次函数2()32f x x x =-+的图像与x 轴交点坐标有何关系？(二)启发引导，形成概念函数零点的概念：我们把函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。
等价关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 例如：判断函数12y x =--零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出 函数图像。
函数12y x =--的图像与x 轴有两个交点，所以函数有两个零点。
练习：求下列函数的零点：2(1).()56f x x x =-+(2).()21x f x =-(三)讨论探究，揭示定理思考：函数()y f x =在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数()y f x =一定有零点？观察函数()1f x x =-的图像，此函数在区间[]0,2上有没有零点？计算函数()1f x x =-在区间[]0,2的两个端点对应的函数值(0)f 和(2)f 的乘积，你能发现这个乘积有何特点？观察函数2()32f x x x =-+的图像，此函数在区间[]0,1.5上有没有零点？ 计算函数2()32f x x x =-+在区间[]0,1.5的两个端点对应的函数值(0)f 和(1.5)f的乘积，你能发现这个乘积有何特点？此函数在区间[]1.5,3上是否也具有这样的特点？结论：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b <, 那么函数()y f x =在区间(),a b 内至少有一个零点，即存在(),c a b ∈ , 使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。
利用函数的性质判定方程解的存在
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
y
A
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 14 0 ,
问题引入：
1.方程 x 2 x 1 0 是否有实数解？
2
2.方程 x 2 x 1 0 在区间 (2,3) 上是否有实数解？
2
3.方程 2 3x 0 在区间 (3,5) 上是否有实数解？
x
北师大版数学教材 必修1
利用函数性质判定方程解的存在
北师大版数学教材 必修1
实例分析：
故方程 x x 6 0 在区间 (4, 0) 内有实根,记为 x2 .
2
C
x2
-4 O
x1
4
x
综上可知,方程 x x 6 0 有两个实数解 x1 , x2 .
2
B
北师大版数学教材 必修1
抽象概括:
1.请指出函数的零点的概念. 2.函数的零点与方程的实数解之间有何关系？ 3.用函数的性质来断定方程有解的条件有哪些？
北师大版数学教材 必修1
典例分析:
例 2.已知函数 f ( x ) 3x x 2 .问:方程 f ( x ) 0 在 [1,0] 内 有没有实数解?为什么?
解：由题意知函数 f ( x) 3 x 的图像是 0 , f (1) 2 0 , 3 x 2 所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
利用函数性质判定方程解的存在PPT演示文稿
-x 2 =log
数形 结合
练习
2
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C） （D）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x bx c, x 0, x 0 f ( x) f 4 f 0， f 2 2 2、设函数 若 ， 2, x 0 则关于x的方程 f ( x) x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y log x与y kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A） 4 （B） 2 （C） 4 （D） 2
坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 f(x)=x -5x+m=0的
例3
讨论
x 2 解的个数和分 布情况。
1 2014-9-24
4.1.1
利用函数性质判 定方程解的存在
问题提出
方程与函数都是代数的
重要内容 多数方程没有求解公式 如何利用方程与函数的 关系求方程的解？
实例分析
判断方程
F(x)=
2 x -x-6=0
解的存在。
2 x -x-6
-3
0
4
-6
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横
1 4
总结 方程与函数的关系 根的存在性的判断 的方法
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿
北师大版高中数学必修第一册《利用函数性质判定方程解的存在性》评课稿介绍本文是对北师大版高中数学必修第一册中《利用函数性质判定方程解的存在性》这一章节的评课稿。
本章主要讲解了如何通过利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过学习本章，学生将能够掌握判断一元二次方程、绝对值方程和分式方程解的存在性的方法和技巧。
本评课稿将从教材内容的组织、教学目标的达成度、教学方法的灵活性以及学生对知识的掌握程度等方面进行评价和总结。
教材内容的组织本章的教材内容组织合理，层次清晰，基本符合学生的认知规律。
从解一元二次方程开始，逐渐引入绝对值方程和分式方程的求解，形成了一个由易到难、由简单到复杂的教学过程。
在每一小节中，教材都以实际问题为例子，具体说明了如何利用函数性质来判定方程解的存在性。
通过实际问题的引入，不仅提高了学生的学习兴趣，还帮助学生更好地理解和应用知识。
教学目标的达成度学生在学习本章后应能够： - 理解并应用一元二次方程的解的性质，判断方程解的存在性。
- 掌握绝对值方程的解的性质，准确判定方程解的存在性。
- 理解并运用分式方程解的性质，判定方程解的存在性。
通过对学生的学习情况的观察和测试，大部分学生能够达到上述学习目标。
他们能够准确地判断方程解的存在性，并能够应用所学知识解决实际问题。
然而，在对一些复杂问题的应用上，仍有部分学生存在困难，部分学生对分式方程解的判断仍存在不确定性。
因此，在教学过程中，可以适当增加一些练习和巩固的环节，帮助所有学生更好地掌握这些知识和技巧。
教学方法的灵活性教学过程中教师采用了多种灵活的教学方法，如讲解、示范、讨论和练习等。
教师在引入新知识时，注重通过简单明了的语言和具体的例子来解释概念和原理，使学生易于理解。
在讲解过程中，教师积极与学生互动，鼓励学生提问、思考和讨论，促进学生的主动学习。
同时，教师还设计了一些小组活动和练习，让学生在合作中巩固所学内容，提高解题能力。
教学方法的灵活性使学生能够更好地参与课堂，增加了学习的乐趣和积极性。
利用函数性质判定方程解的存在
利用函数性质判定方程解的存在高一数学组：闫小鹏课题：利用函数性质判定方程解的存在三维目标1、知识与技能理解方程的解与相应函数图像交点之间的内在联系，学会用函数观点处理某些方程的解的问题。
2、过程与方法由函数图像发现函数和方程的联系，并总结出零点的定义以及如何判定方程解的存在。
在发现、研究和解决问题的过程中，体会“函数与方程”、“化归与转化”和“数形结合”等数学思想方法。
3、情感态度价值观培养学生系统化及联系的观点和学生动手操作的能力。
重点难点教学重点学会用函数方法研究某些方程解的存在性等相关问题；体会函数与方程的思想。
教学难点理解方程的解与函数图像交点的横坐标的关系；学会问题转化、优化，能够将某些方程解的问题转化为函数图像的交点问题来解决。
教学策略和手段采用“自主学习——动手实践——解决问题”的教学模式。
利用自制的多媒体课件，创设形象生动的教学氛围，同时应用模型探究法、讲述法、比较法、指导学习法等，引导学生思考一系列问题，使他们积极主动参与到教学中，在获取知识的同时，培养学生动手、观察、比较和总结的能力。
课前准备1、教师准备多媒体课件2、学生准备课前预习、一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象教学过程教学反思本节课的不足是：（1）开始时较紧张忽略了学生的参与，本应让学生自己尝试探究问题，但由于紧张最终变成教师自己介绍。
（2）学生参与较少，课堂个别提问人数较少，集体回答次数较多，应该增加个别提问人数，使更多学生参与到课堂教学中来。
（3）课堂时间处理的不够好，有点前松后紧，例题讲解时间较长，后面的知识提升和练习就稍微显得有点紧张。
4.1.1利用函数性质判定方程解的存在
1 x
0
1 x 在 [ 1， 上 不 连 续 , 1]
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
f (x)
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
尽 管 有 f ( 1) f 1) 0
．
③
x
可方程 在（-1，2）上无解
．
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
• 零点是点吗？ • 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1 1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方的点（1，1）， 图像是一条连续的直线，故函数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函 数 f ( x ) 2 x 1在 闭 区 间 [ 0 , 1 ] 上 的 图 像 是 连 续 的 ， 且 f (0 ) 1 0, f (1) 1 0， 则 在 区 间 （ 0 ， 1 ） 内 有 零 点 .
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
利用函数性质判定方程解的存在性 获取数据的途径(2) 高一下学期数学北师大版(2019)必修第一册
如何从函数的角度判定方程 2 − − 6 = 0实数根的存在性呢？
观察函数 = 2 − − 6的图象，
−4 = 14 > 0
6 与
点C 4，6 之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间
= ln 在区间
它是方程− 2 − + 2 = 0的一个根．
它是方程ln = 0的一个根．
<0
内有零点 = 1，
= − 2 − + 2在 −3，0 内有零点 = −2，
它是方程− 2 − + 2 = 0的另一个根．
➢你能概括上面两种情况的共性吗？
如果函数 = 在区间[，]上满足 • < 0，是否一定能得到函数
至少有一个零点，即在区间 ， 内相应的方程 = 0至少有一个解．
如果满足零点存在定理的条件，那么方程 = 0 在区间 ， 内只有一个解吗？
不一定．
如： = (－1)(－2)(－3)， 0 4 = －6 × 6 < 0，
但是该函数在区间(0，4)内有三个零点 = 1， = 2和 = 3．
加什么条件就能保证函数 = 在区间[，]内存在零点？
函数 = 的图象在给定区间[，]上的图象连续不断．
零点存在定理 若函数 = 在闭区间[，]上的图象是一条连续的曲线，并且在
区间端点的函数值一正一负，即 • < 0，则在开区间 ， 内，函数 =
画出函数 = − 2 − 5 − 1的图象，如图：
观察得， −1 = −1 × −4 − 1 = 3 > 0， 6 = 4 × 1 − 1 = 3 > 0．
利用函数性质判定方程解的存在性 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【学习目标】1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.◆知识点一函数的零点使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=x+1的零点是(-1,0).()(2)函数y=x2-2x-3有两个零点.()◆知识点二零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0解.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x)在区间[a,b]内满足f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内无零点.()(2)f(x)在区间(a,b)内有一个零点,则f(a)·f(b)<0.()◆探究点一由图象确定函数的零点例1 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在[a,d]内有个零点.(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A .a>0B .c<0C .(-1,0)是函数的一个零点D .3是函数的一个零点(3)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )=x 2-2x (x ≥0),则函数f (x )的零点个数为 ( ) A .0 B .1 C .2D .3[素养小结]由图象确定函数的零点个数主要有两种方法:1.直接画出函数的图象,通过图象与x 轴交点的个数确定零点个数.2.将函数f (x )写成f (x )=h (x )-g (x )的形式,画出函数y=h (x )与y=g (x )的图象,根据两函数图象的交点个数判断方程h (x )=g (x )的根的个数,即可确定函数f (x )的零点个数.◆ 探究点二 由方程的解求函数的零点[提问] 当方程易得出解时,可通过 得到对应函数的零点.例2 求函数f (x )=(ax-1)(x-1)(a ∈R)的零点.变式 函数f (x )={x 2+x -2,x ≤0,-1+lnx ,x >0的零点为 .[素养小结]求函数y=f (x )的零点通常有两种方法:其一是令y=0,由对应方程的根求得函数的零点;其二是画出函数的图象,图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点.◆ 探究点三 函数零点的综合问题 角度1 判断函数零点个数例3 求函数f (x )=3x - lo g 12x 的零点个数.变式 (1)函数f (x )=2x +x 3-2在区间(0,1)上的零点个数是 ( )A .0B .1C .2D .3(2)设函数f (x )={x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-3)=1,则函数y=f (x )-x 的零点个数为( )A .1B .2C .3D .4[素养小结]确定函数零点个数的方法:(1)因式分解法:可转化为一元n 次方程根的个数问题,一般采用因式分解法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题,通常用判别式法来判断根的个数. (3)图象法:将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题,可用图象法解决. (4)单调性法:如果能够确定函数在所给区间上有零点,且是单调函数,那么函数在所给区间上只有一个零点.角度2 判断函数零点所在的区间例4 (1)函数f (x )=ln x+x-4的零点所在的区间为( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,4)D .(5,6)(2)二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0)的部分对应值如下表:x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6不求a ,b ,c 的值,判断方程ax 2+bx+c=0的两根所在的区间是 ( ) A .(-3,-1)和(2,4) B .(-3,-1)和(-1,1) C .(-1,1)和(1,2) D .(-∞,-3)和(4,+∞)变式 (1)根据下表中的数据,可以判断方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为 ( )x -1 0 123e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+212345A .(-1,0)B .(0,1)C .(1,2)D .(2,3)(2)若x 0是函数f (x )=(13)x -x 12的零点,则x 0属于区间( )A .(0,13)B .(13,12) C .(12,23)D .(23,1)[素养小结](1)判断一个函数是否有零点,首先看函数f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,其次判断f (a )·f (b )<0是否成立,若成立,则函数y=f (x )在区间(a ,b )内必有零点.(2)已知函数f (x )在[a ,b ]上的图象是连续不断的曲线,若存在f (a )·f (b )<0,则f (x )在区间(a ,b )内有零点,若只有一个零点,则称此零点为变号零点.反过来,若f (a )与f (b )不变号,而是同号,即不满足f (a )·f (b )<0,也不能说函数f (x )在(a ,b )内无零点,如f (x )=x 2在[-1,1]上的图象是连续不断的曲线,且f (-1)·f (1)=1>0,但0是f (x )的零点.角度3 由函数零点(或方程的解)的个数求参数问题例5 (1)函数f (x )=ax 2-x-1仅有一个零点,则实数a= .(2)已知函数f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象与直线y=k 有三个不同的交点,则k 的取值范围是 ( ) A .(-4,-3) B .[-4,-3) C .[-4,-3]D .(-4,-3]变式 若函数f (x )=|2x -2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[素养小结]解此类题的关键是将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题.求解时首先根据已知条件构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象,最后结合函数图象的交点个数确定参数的取值范围.拓展已知函数f(x)=log a x-4x-1(a>0且a≠1)在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,则实数a的取值范围为()A.(0,14)B.(14,1)∪(1,+∞)C.(0,14]D.(14,1)第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.1利用函数性质判定方程解的存在性【课前预习】知识点一横坐标诊断分析(1)×(2)√[解析] (1)零点不是点,是一个数,是函数图象与x轴交点的横坐标.知识点二f(a)·f(b)<0至少有一个诊断分析(1)×(2)×[解析] (2)函数y=x2在区间(-2,2)内有零点,但f(-2)·f(2)>0.【课中探究】探究点一例1(1)3(2)D(3)D[解析] (1)由题图知函数f(x)在[a,d]内有3个零点.(2)由题图可知a<0,c>0,∵函数图象的对称轴为直线x=1,函数图象与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(3,0),∴3是函数的一个零点.故选D. (3)根据题意可知x=2,x=0为f(x)的零点,因为奇函数的图象关于原点对称,所以x=-2也为f(x)的零点,所以f(x)的零点共有3个,故选D.探究点二提问解方程例2 解:①当a=0时,函数f (x )=-x+1.令-x+1=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1.②当a=1时,函数f (x )=(x-1)2.令(x-1)2=0,得x=1,则函数f (x )的零点为1. ③当a ≠0且a ≠1时,令(ax-1)(x-1)=0,得x=1或x=1a ,则函数f (x )的零点为1,1a .综上,当a=0或a=1时,函数f (x )的零点为1;当a ≠0且a ≠1时,函数f (x )的零点为1,1a . 变式 -2,e [解析] 由f (x )=0,得{x ≤0,x 2+x -2=0或{x >0,-1+lnx =0,解得x=-2或x=e .所以函数f (x )的零点为-2,e .探究点三例3 解:令f (x )=0得3x =lo g 12x.作出y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象,如图所示,由图可知y=3x (x>0)和y=lo g 12x 的图象有1个交点,∴f (x )=3x -lo g 12x 有1个零点.变式 (1)B (2)B [解析] (1)因为y=2x 与y=x 3-2在R 上均为增函数,所以函数f (x )=2x +x 3-2在R 上是增函数,因此函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上单调递增,又f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0,所以f (x )在(0,1)上有1个零点.(2)由f (-2)=f (0)得4-2b+c=c ,所以b=2,由f (-3)=9-6+c=1,得c=-2,所以当x ≤0时,f (x )=x 2+2x-2.当x ≤0时,由f (x )-x=x 2+x-2=0,得x=-2或x=1(舍去).当x>0时,由f (x )-x=2-x=0,得x=2.因此方程f (x )-x=0只有两个解,即函数y=f (x )-x 有两个零点.故选B .例4 (1)B (2)A [解析] (1)易知f (x )=ln x+x-4在(0,+∞)上单调递增,又f (2)=ln 2-2<0,f (3)=ln 3-1>0,所以f (2)·f (3)<0,所以f (x )的零点在区间(2,3)内.故选B .(2)易知f (x )=ax 2+bx+c 的图象是一条连续不断的曲线,因为f (-3)×f (-1)=6×(-4)=-24<0,所以f (x )在(-3,-1)内有零点,即方程ax 2+bx+c=0在(-3,-1)内有根.同理方程ax 2+bx+c=0在(2,4)内有根.故选A .变式 (1)C (2)B [解析] (1)令f (x )=e x -x-2,则由表中数据知f (-1)=0.37-1=-0.63<0,f (0)=1-2=-1<0,f (1)=2.72-3=-0.28<0,f (2)=7.39-4=3.39>0,f (3)=20.09-5=15.09>0,因为f (1)·f (2)<0,f (x )的图象是连续不断的曲线,所以f (x )的一个零点在区间(1,2)内,即方程e x -x-2=0的一个根在区间(1,2)内.故选C .(2)根据指数函数和幂函数的性质,可得(13)13>(13)12,(13)12<(12)12,所以f (13)=(13)13-(13)12>0,f (12)=(13)12-(12)12<0,即f (13)·f (12)<0.又f (x )=(13)x-x 12为R 上的减函数,所以由零点存在定理,可得函数f (x )=(13)x-x 12有且只有一个零点且零点x 0∈(13,12).故选B .例5 (1)0或-14 (2)D [解析] (1)若a=0,则f (x )=-x-1,易知函数f (x )仅有一个零点.若a ≠0,则f (x )为二次函数,由f (x )仅有一个零点,得方程ax 2-x-1=0有两个相等的实数根,故Δ=1+4a=0,即a=-14.综上所述,当a=0或a=-14时,函数f (x )仅有一个零点.(2)作出f (x )={x 2+2x -3,x ≤0,-2+lnx ,x >0的图象和直线y=k ,如图所示,由图可知-4<k ≤-3,故选D .变式 (0,2) [解析] 由|2x -2|-b=0,得|2x -2|=b ,由题意可知函数y=|2x -2|与y=b 的图象有两个交点,结合函数y=|2x -2|与y=b 的图象(如图所示)可知0<b<2.拓展 D [解析] 函数f (x )在(0,12]上无零点,在(12,1)上有零点,即方程f (x )=0在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根,即方程log a x=4x-1在(0,12]上无实数根,在(12,1)上有实数根.设g (x )=log a x ,h (x )=4x-1,则函数h (x )在R 上为增函数,且h (0)=14,h (12)=12,h (1)=1,h (x )=4x-1>0恒成立.若a>1,则当x ∈(0,1)时,g (x )=log a x<0,不满足条件,故0<a<1.由于g (x )与h (x )的图象在(0,12]上无交点,在(12,1)上有交点,因此根据函数g (x )与h (x )的图象(如图所示)可知{0<a <1,g (12)>ℎ(12),解得14<a<1,故选D .。
利用函数性质判定方程解的存在
4.1.1
利用函数性质判定
方程解的存在
实例分析：
例 1.判断方程 x x 6 0 是否存在实数解.
2
解：由题意知函数 f ( x) x x 6 的图像是连续的,
2
因 f (0) 6 0 , f (4) 6 0 ,
y
A
故方程 x x 6 0 在区间 (0, 4) 内有实根,记为 x1 ；
x 1 f(x) 23
2 9
3 –7
4 11
5 6 7 –5 –12 –26
）个
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（
A.5 B.4 C.3 D.2
例4.方程log2 x x 0在 0,1内是否存在实数解.
练习3.判断下列方程在指定区间是否存在实数解.
1 log x 2 x 0在 1,3内；
所以方程 3 x 0 在区间 (1, 0) 内有实根.
x 2
例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数 解,且一个大于5,一个小于2.
解:函数f(x)=(x-2)(x-5)-1 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1 f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1 f(x)的图像开口向上的抛物 线,所以抛物线与横轴在 (5,+∞)内有一交点,在(-∞,2) 内也有一个交点.
方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小 于2
练习1.证明方x 2 1至少有一个小于1的正根.
x
1.在二次函数 y ax2 bx c中，ac<0,则其零点的个
数为（
Ａ.１
）
Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：
北师大版必修一第四章函数应用第一节《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
《§4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学设计--现代信息技术与中学数学教学有效整合案例江西省东乡县实验中学黄树华乐建平一、教材分析本节课内容选自经全国中小学教材审定委员会 2004 年初审通过的普通高中课程标准试验教科书，北师大版数学必修1第四章《函数的应用》第1单元“函数与方程”的第1节内容《利用函数性质判定方程解的存在》。
函数与方程的关系，是“整体”与“局部”的关系，是“动”与“静”的相互补充。
用函数的观点研究方程，本质上是在整体中研究局部问题，在动态的过程中研究静态的结果，为今后进一步学习函数与不等式等其它知识奠定了坚实的基础。
二、学情分析学生已经对一次函数、二次函数的图像与性质有了深刻的理解，在此基础上学习了指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质，学生能够运用计算机绘制它们的图像；通过本节课的学习，学生理解一元二次方程的实数解就是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标；在现代多媒体技术的辅助教学下，学生的学习兴趣得到进一步提高。
三、教学目标分析（一）知识与能力目标1.熟练掌握二次函数的图象，了解函数零点的概念及其与方程的根的联系；2、掌握函数零点存在的判定条件，会判断一元二次方程根的个数；（二）过程与方法目标让学生经历计算机绘制函数图像、分析零点存在性的过程，培养学生的探究意识；（三）情感态度与价值观目标1、通过对一般函数图像的分析，渗透由“形”到“数”，由特殊到一般的数学思想，体会研究和解决问题过程中的一般思维方法；2、培养学生对事物的观察、归纳和探究能力。
四、教学重、难点教学重点：根据具体函数的图像研究函数与方程的关系。
教学难点：函数零点存在性的判断及其个数的确定。
五、教学方法和手段问题教学法、多媒体辅助教学（演示文稿、几何画板）；六、教学过程设计（一）创设问题情境，引入课题问题 1：不解方程能否求出方程 x2-2x-3=0 的根?（幻灯片1）学生探究：利用函数图像及试值法，转化为求函数f（x）= x2-2x-3 与 x 轴交点的横坐标。
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案1
《4.1.1利用函数性质判定方程解的存在》教学案三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点根据二次函数图像与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学过程导入新课据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图像与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面的学习埋好伏笔．推进新课①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图像.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图像.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图像.④观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤如何判断一元二次方程根的个数？如何判断二次函数图像与x轴交点的个数？它们之间有什么关系？⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图像不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图像(图2)．图2 图3 图4②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图像的关键(图4)．④方程的根与函数的图像和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图像穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图像如图2.②方程的实数根为1，图像如图3.③方程没有实数根，图像如图4.④方程的根就是函数的图像与x轴交点的横坐标．⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图像与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数．a.当Δ＞0时，一元二次方程有两个不等的实根x1，x2，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)；b.当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实根x1＝x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点(x1,0)；c.当Δ＜0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点．⑥一般地，对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．⑦方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图像，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2 x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例例1 已知函数f (x )＝3x －x 2，问：方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ 活动：学生回想判断函数零点的方法：解方程法和定理法．由于本题中方程f (x )＝0无法解，故用定理法，判断f (－1)f (0)＜0是否成立．解：因为f (－1)＝3－1－(－1)2＝－23＜0， f (0)＝30－(0)2＝1＞0，函数f (x )＝3x －x 2的图像是连续曲线，所以f (x )在区间[－1,0]内有零点，即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．点评：本题主要考查函数零点的概念及其判断方法．当无法解方程f (x )＝0时，通常用定理法判断函数零点的存在性.变式训练1. 判断函数y ＝|x －1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图像(图5)，图5函数y ＝|x －1|－2的图像与x 轴有两个交点，所以函数y ＝|x －1|－2有两个零点．2．求证：函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法一：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根．所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x 2－3x －2＝0可化为(2x ＋1)(x －2)＝0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12. 所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f (x )＝2x 2－3x －2的图像是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f (0)＝－2＜0，所以函数f (x )＝2x 2－3x －2有两个零点．如图6.图6点评：判断函数零点个数可以结合函数的图像．方法：零点⇔函数方程的根⇔两图像的交点．数学思想：转化思想和数形结合思想.例2 判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点．解：考虑函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，f(2)＝(2－2) (2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线(如图7)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．图7所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解.变式训练关于x的方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a的取值范围．图8解：设f(x)＝x2－ax＋a2－7，图像为开口向上的抛物线(如图8)．因为方程x2－ax＋a2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x2－ax＋a2－7的图像与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a＋a2－7＜0，所以－1＜a＜3.课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．。
利用函数性质判定方程解的存在
2-5x+m=0的 f(x)=x
例3
讨论 x 2 解的个数和分 布情况。
-x=log 2
怎样求这个根的近似值？
数形 结合
6 2010-12-11
练习
已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 （A） （B） （C）
P133:1,2,3 1、若y=ax2-x-1只有一个零点，求a范围。 x + bx + c, x ≤ 0, x ≤ 0 f (x) = f ( −4) = f ( 0)， f ( −2 ) = −2 2、设函数 2, ， x > 0若 则关于x的方程 f ( x ) = x 解的个数为 （A）1 （B）2 （C）3（D）4 3、已知函数 y = log x与y = kx 的图象有公共点A，且点 A的横坐标为2，则 k = 1 1 1 1 （A）− 4 （B） 2 （C） 4 （D） − 2
利用函数性质判 定方程解的存在
1 2010-12-11
问题提出
方程与函数都是函数的 关系求方程的解？
2 2010-12-11
实例分析
判断方程 x2-x-6=0 解的存在。 F(x)= x2-x-6
-3
0
4
-6
3 2010-12-11
抽象概括
y=f(x)的图像与x轴的交点的横 坐标叫做该函数的零点。即 f(x)=0的解。 若y=f(x)的图像在[a,b]上是连续 曲线，且f(a)f(b)<0，则在(a,b)内 至少有一个零点，即f(x)=0在 (a,b)内至少有一个实数解。
4 2010-12-11
例2
两根都大于1，求m 的范围。
数形 结合
2
（D）
高中数学知识点精讲精析 利用函数性质判定方程解的存在
4.1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.关于函数的零点(1)函数的零点的定义①如果函数在实数a 处的值等于零，即，则a 叫做这个函数的零点. ②函数的零点的几何意义是：函数的图象与x 轴的公共点.也就是函数的图象与x 轴的交点的横坐标.③方程有实数根函数有零点函数的图象与x 轴有交点.④若方程有二重实根，则称函数有二阶零点.(2) 如何判断函数在区间[a,b]上是否有零点？判断函数在区间[a ，b]上是否有零点，最关键是要把握两点：①函数的图象在区间[a ，b]上是否是连续不断的一条曲线.（函数的连续性，形象地说就是图象在指定区间无间断点）②在区间的两个端点处，函数值之积小于0，即，那么函数在区间(a ，b)内有零点，即存在，使，这个c 就是方程的根.2.二次函数的零点一元二次方程的根也称为二次函数的零点3.零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点.既存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程的根.例1讨论函数的零点.解:本题主要考查对函数零点的求法的灵活准确应用和分类讨论思想的运用，解题时要本着简洁直观的原则，按照函数零点的求法进行转化和求解.例2 求证：方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上. 解析:而二次函数是连续的，)(x f y =0)(=a f )(x f y =)(x f y =)(x f y =0)(=x f ⇔)(x f y =⇔)(x f y =0)(=x f )(x f y =)(x f y =)(x f y =)(x f y =0)()(<b f a f )(x f y =),(b a c ∈0)(=c f 0)(=x f )0(02≠=++a c bx ax )0(2≠++=a c bx ax y )2)(1(--=x ax y .2,10;2,2021==≠=+-==x ax a x x y a 时，零点为当故其零点为时，函数为当01752=--x x )0,1(-)2,1(,015)2()1(,011)0()1(,175)(2<-=<-=---=f f f f x x x f 则设所以函数在（－1，0）和（1，2）上分别有零点..即方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上.证明方程的两个根一个在区间上，另一个在区间上.即证函数在和分别有一个零点.判断函数是否在上存在零点，除验算是否成立外，还要考查函数在上是否连续.例3 已知函数的图象的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围.解析:（1）当m ＝0时，，直线与x 轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意.（2）当m ≠ 0时，因为，所以抛物线过点.①若的开口向下，如下图，二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧.②若的开口向上，如下图，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当.综上所述，所求m 的范围是.对函数图象性质的研究，一是要注意特殊点；二是要画出示意图，再根据图象的特征解决问题.研究二次函数在给定区间上的零点时，可从判别式.对称轴.开口方向.区间的端点值等几方面去考虑.)(x f y =01752=--x x )0,1(-)2,1(01752=--x x )0,1(-)2,1()0,1(-)2,1()(x f y =),(21x x 0)()(21<x f x f )(x f ),(21x x 1)3()(2+-+=x m mx x f 13)(+-=x x f )0,31(311)0(=f )1,0()(,0x f m <)(,0x f m >1m 0,309,1,002304)3(2≤<⎩⎨⎧<<≥≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≥--=∆即或解得：m m m m m m m m1,∞-。
《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计
单元课题：函数与方程一、课标要求与教材分析这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，先是判断方程实数解的存在性，然后是求方程的近似解。
方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，解方程的过程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程。
这样容易看出函数对方程的统领作用，使学生感受函数的核心地位。
学生将通过本节学习，结合实际问题，感受运用函数概念简历模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题。
学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系，并为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定了坚实的基础．二、学情分析高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节内容必须承载的任务．通过本节学习要让学生意识到“数学可以解决实际问题”并且也认识到“自己的数学知识还有待进一步提高”。
;三、教学目标1．知识与技能目标：（1）正确认识函数与方程的关系，求方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，体会函数知识的核心作用。
（2）能够利用函数的性质判定方程解得存在性（3）能够用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。
2．过程与方法目标：在近似计算的学习中感受近似，逼近和算法等数学思想的含义和作用。
3．情感、态度和价值观目标：（通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间是存在一定联系的。
课时课题：利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标：'（1）知识与技能目标了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；（2）过程与方法目标培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；（3）情感态度与价值观目标培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成严谨的科学态度。
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思
北师大版必修1《利用函数性质判定方程解的存在》教案及教学反思一、引言函数是高中数学中重要的概念之一，对于理解数学中的许多问题具有重要作用。
其中，通过利用函数性质判定方程解的存在是高中数学中重要的一块内容，也是许多学生感觉比较困难的一个知识点。
本文主要介绍北师大版必修1中的“利用函数性质判定方程解的存在”这一节的教学教案及反思。
二、教学目标1.知道什么是函数性质，了解常见函数形式；2.能够准确地运用函数性质判定方程解的存在。
三、教学内容本节课程的重点在于利用函数性质判定方程解的存在，主要涉及以下内容：1.函数的概念和性质；2.奇偶性函数；3.单调性函数；4.形如f(x)=x的方程的图像与y=x的图像的位置关系；5.利用奇偶性、单调性和函数图像判定方程解的存在。
四、教学重难点1.知道如何准确地应用函数奇偶性和单调性判定方程解的存在；2.理解函数f(x)=x与y=x的图像位置关系。
五、教学策略1.引导学生发现函数的特点，理解函数性质；2.针对方程的形式，引导学生思考利用哪些函数性质进行判定；3.引导学生运用数学工具，如画函数图像等。
六、教学过程1. 知识导入引导学生听一段《小燕子》的歌曲，鼓励学生用歌词中的“如何让你知道我在等你”的形式，思考几种方程的解的存在性，并在黑板上列示出来。
2. 理解函数的概念和性质介绍函数的定义和常见的函数形式，并讲解函数的性质，如奇偶性、单调性等。
在讲解过程中，通过示例让学生理解基本函数性质。
3. 利用奇偶性和单调性判定方程解的存在从最简单的形式f(x)=c入手，引导学生思考不同情况下的判定方法。
然后引导学生自己发现利用奇偶性和单调性判定方程解的方法，并通过练习加深理解。
4. 画f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系通过讲解y=x的图像在平面直角坐标系中的位置，以及f(x)=x的图像与y=x的图像的位置关系，引导学生理解如何运用图像判定方程解的存在。
5. 实例练习将学过的知识点整合起来，让学生结合题目进行实例练习，加深对知识点的理解和记忆。
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利用函数性质判定方程解的存在
【学习目标】
1.正确认识方程0)(=x f 的实数解与函数)(x f 的零点的关系。
2.会结合函数图像性质判断方程解的个数。
3.会用多种方法求方程的解和函数的零点。
【学习重点】
方程的解与函数零点的关系、函数零点的应用。
【学习难点】
函数零点的应用
【课前预习案】
一、课本助读
阅读课本115—116页，然后完成。
（一）函数与方程的关系
1.求方程2230x x --=的根，画函数223y x x =--的图像。
2.观察函数的图像发现：方程的根与函数的图像和x 轴交点的横坐标有什么
关系？
3.归纳函数的零点的概念
我们把函数()y f x =的图像与 _______交点的_________ 称为这个函数的
___________。
总结：方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =的图像与______有交点⇔函数
()y f x =有_______.
（二）函数零点的判断
4.如何判断二次函数零点的个数，如何判断一元二次方程根的个数，它们之
间有什么关系？
分析：观察二次函数()26f x x x =--的图像，我们发现函数()26
f x x x =--在区间(4,0)-和()0,4有零点，计算)4(),0(-f f ，发现()()04f f -______0，函数
()26f x x x =--在(4,0)-内有零点__________,它就是方程()26f x x x =--的一
个根，同样地，()()04f f _____0，函数()26f x x x =--在()0,4内有零点________,
它就是方程()26f x x x =--的另一个根。
我们可以用学过的解方程的方法来验证
这个结论。
5.判断函数有零点的方法.（函数零点的存在性定理）
若①函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是______曲线，②并且在区间端
点的函数值符号_________，即____________，则在区间(),a b 内，函数_______
有______零点，即相应的方程()0f x =在区间(),a b 内__________实数解.
二、预习自测
1.函数223y x x =--的零点有 。
2.判断下列函数在给定的区间上是否有零点：
（1）()3x f x e x =--在区间[1,2]上； (2) 2()32f x x x =-+在区间[0,3]上
【课堂探究案】
一、 探究问题
1.在零点存在性定理中，
①为什么要是连续曲线？能举出反例吗？
②若0)()(>•b f a f 则函数)(x f y =在区间()b a ,内存在零点吗？
2. 为什么说函数)(x f y =“至少有一个”零点？函数零点的存在性定理能
否判断函数零点的个数？试举例说明.
3.单调函数满足函数零点的存在性定理的两个条件，能否判断函数零点的个
数？试举例说明.
4.)(x f y =在区间()b a ,内存在零点，则满足0)()(<•b f a f 吗？
5.判定方程34150x x +-=在[]1,2内实数解的存在性，并说明理由
6.求下列函数的零点.
()212;y x x =--+ ()()()222232y x x x =--+
7.讨论函数244x y x =+-的零点的个数。
二、课堂检测
1.判定方程()()364x x --=有两个相异的实数解，且一个大于6，一个小于3.
2.判断下列方程存在几个实数解，并分别给出每个实数解的存在区间. ()
2110;x x +-= ()2lg 0x =
【课后检测案】 1.若函数2()2f x x x a =--没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1a >-
B ．1a <-
C ．1a ≥-
D ．1a ≤-
2.函数1()x f x e x
=-
的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2 C ．3(1,)2 D ．3(,2)2 3.方程3log 3x x +=的解所在的区间是（ ）
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,3)
D ．(3,)+∞
4.若函数()y f x =在区间上(2,2)-的图象是连续不断的，且方程()0f x =在(2,2)-上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -的值（ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0 或小于0
5.判定下列方程在指定区间内是否存在实数解，并说明理由
()()3100x x +=-∞在，内； ()[]22011x -=-在，内.
6.指出下列方程存在实数解，并给出一个实数解得存在区间： ()110x x -
= ()2lg 0x x +=。