高考数学( 文科)一轮复习练习：第三章 导数及其应用 第2讲 含答案

一、填空题
1.(2016·南京、盐城调研)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是________. 解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞
2. ∴f (x )单调递增区间是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)
2.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________. 解析 依题意得f ′(x )＝k －1
x ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即k ≥1
x 在(1，＋∞)上恒成立， ∵x ＞1，∴0＜1
x ＜1，∴k ≥1. 答案 [1，＋∞)
3.已知y ＝1
3x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是增函数，则b 的取值范围是________. 解析 y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2，由题意知Δ＝4b 2－4(b ＋2)>0，解得b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
4.函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 从小到大的顺序为________.
解析 依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<1
2<1，因此f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，c <a <b .
答案 c <a <b
5.函数f (x )＝x ＋9
x 的单调递减区间为________. 解析 f ′(x )＝1－9
x 2(x ≠0)，
由f ′(x )＜0得－3＜x ＜0或0＜x ＜3.故f (x )的单调递减区间为(－3，0)，(0，3). 答案 (－3，0)，(0，3)
6.如果函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上单调递增，则a 的取值范围是________. 解析 f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，由题意知f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立，则
⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 答案 ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，＋∞
7.(2015·安徽卷改编)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，给出以下命题：
①a >0，b <0，c >0，d >0；②a >0，b <0，c <0，d >0；③a <0，b <0，c >0，d >0；④a >0，b >0，c >0，d <0. 则以上命题正确的是________(填序号).
解析 ∵函数f (x )的图象在y 轴上的截距为正值，∴d ＞0.∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＜0的解集为(x 1，x 2)，∴a ＞0，又x 1，x 2均为正数，∴c 3a ＞0，－2b
3a ＞0，可得c ＞0，b ＜0. 答案 ①
8.若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫
23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范
围是________.
解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2
＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋1
4＋2a .
当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2
9＋2a .
令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.
所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－19，＋∞.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－19，＋∞
二、解答题
9.设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0，6). (1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间.
解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，
故f ′(x )＝2a (x －5)＋6
x .
令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，
由点(0，6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝1
2. (2)由(1)知，f (x )＝1
2(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝（x －2）（x －3）
x .
令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，
故f (x )的递增区间是(0，2)，(3，＋∞)；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )的递减区间是(2，3).
10.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知函数f (x )满足f (x )＝x 3
＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ＋c (其中f ′⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
23为f (x )在点x ＝2
3处的导数，c 为常数).
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]e x ，若函数g (x )在[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围.
解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23x －1，
令x ＝23，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫
23＝－1，
∴f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，
∴f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋13(x －1)，
由f ′(x )＞0，得x ＜－1
3或x ＞1；
由f ′(x )＜0，得－1
3＜x ＜1，
故f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，1. (2)∵g (x )＝(－x 2－x ＋c )·e x ，
∴g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝
(－x 2－3x ＋c －1)e x .
当函数g (x )在区间[－3，2]上单调递增时，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3，2]上恒成立，只要h (2)≥0，解得c ≥11.故c 的取值范围是[11，＋∞).
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.设函数f (x )＝1
2x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________.
解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9
x
(x >0)，
当x －9
x ≤0时，有0<x ≤3， 即在(0，3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 答案 (1，2]
12.(2015·青岛模拟)定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f (x )，若f (x )的导函数存在且满足f （x ）f ′（x ）
＞x ，给出下列命题：
①3f (2)<2f (3)；②3f (4)<4f (3)；③2f (3)<3f (4)；④f (2)<2f (1). 则以上命题正确的是________(填序号). 解析 由
f （x ）f ′（x ）＞x ，得xf ′（x ）－f （x ）
f ′（x ）
＜0， ∵f ′(x )＜0，∴xf ′(x )－f (x )＞0，
构造函数F (x )＝f （x ）x ，则F ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）
x 2＞0，
∴F (x )在(0，＋∞)上单调递增，F (2)＜F (3)，即3f (2)＜2f (3). 答案 ①
13.已知函数f (x )＝－1
2x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.
解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3
x ＝－（x －1）（x －3）x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )
的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数
f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0，1)∪(2，3)
14.(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋ax
e x (a ∈R ).
(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )
＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a e x ，
因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.
当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝
3
e ，从而
f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3
e (x －1)，化简得3x －e y ＝0.
(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a
e x .
令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ， 由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋36
6，
x 2＝6－a ＋a 2＋366.
当x ＜x 1时，g (x )＜0， 即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数； 当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0， 即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数； 当x ＞x 2时，g (x )＜0， 即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数. 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，
知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－
9
2， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－92，＋∞.。