python 牛顿插值法

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牛顿插值法python代码

牛顿插值法python代码牛顿插值法是一种用于构造插值多项式的数值方法。

它的基本思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数，从而实现对数据的近似和预测。

牛顿插值法的原理相对简单，但应用广泛，尤其是在数值计算和数据分析领域。

牛顿插值法的核心思想是利用已知的数据点和对应的函数值，通过差商的概念构造一个多项式函数。

这个多项式函数称为牛顿插值多项式。

牛顿插值多项式的形式为：P(x) = f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0,x1,...,xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)其中，f(x0)、f[x0,x1]、f[x0,x1,x2]等表示差商，表示对应的数据点的函数值。

差商的计算可以通过递归的方式进行，具体的计算公式如下：f[xi] = f(xi)f[xi,xi+1,...,xi+m] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+m] - f[xi,xi+1,...,xi+m-1]) / (xi+m - xi)牛顿插值法的优点是计算简单，效率高。

它适用于任意的数据点，而不仅仅是等间隔的数据点。

另外，牛顿插值法还可以通过增加数据点来改进插值结果，具有很好的灵活性。

在实际应用中，牛顿插值法常用于数据的拟合和插值。

例如，可以利用已知的数据点构造出一个牛顿插值多项式，然后利用该多项式对未知的数据进行预测。

牛顿插值法还可以用于信号处理和图像处理等领域，例如通过已知的离散数据点构造出一个插值函数，从而实现对连续信号或图像的处理和分析。

下面通过一个具体的例子来说明牛顿插值法的应用。

假设我们有一组离散的数据点，表示某个函数在不同位置的取值。

我们希望通过这些数据点构造一个多项式函数，从而对未知位置的函数值进行预测。

我们需要确定要构造的多项式的次数。

次数越高，多项式的拟合效果越好，但也会增加计算的复杂度。

在确定了次数之后，我们可以利用差商的计算公式来计算各个差商的值。

牛顿插值法介绍

牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。

首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。

一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。

这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。

插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。

二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。

牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。

牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。

牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。

因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。

三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。

牛顿插值法——用Python进行数值计算

⽜顿插值法——⽤Python进⾏数值计算拉格朗⽇插值法的最⼤⽑病就是每次引⼊⼀个新的插值节点，基函数都要发⽣变化，这在⼀些实际⽣产环境中是不合适的，有时候会不断的有新的测量数据加⼊插值节点集，因此，通过寻找n个插值节点构造的的插值函数与n+1个插值节点构造的插值函数之间的关系，形成了⽜顿插值法。

推演⽜顿插值法的⽅式是归纳法，也就是计算Ln（x）- Ln+1（x），并且从n=1开始不断的迭代来计算n+1时的插值函数。

⽜顿插值法的公式是：注意：在程序中我⽤W 代替计算⽜顿插值函数关键是要计算差商，n阶差商的表⽰⽅式如下：　关于差商我在这⾥并不讨论计算n阶差商的公式是这样：很明显计算n阶差商需要利⽤到两个n-1阶差商，这样在编程的时候很容易想到利⽤递归来实现计算n阶差商，不过需要注意的是递归有栈溢出的潜在危险，在计算差商的时候更是如此，每⼀层递归都会包含两个递归，递归的总次数呈满⼆叉树分布：这意味着递归次数会急剧增加:(。

所以在具体的应⽤中还需要根据应⽤来改变思路或者优化代码。

废话少说，放码过来。

⾸先写最关键的⼀步，也就是计算n阶差商："""@brief: 计算n阶差商 f[x0, x1, x2 ... xn]@param: xi 所有插值节点的横坐标集合 o@param: fi 所有插值节点的纵坐标集合 / \@return: 返回xi的i阶差商(i为xi长度减1) o o@notice: a. 必须确保xi与fi长度相等 / \ / \b. 由于⽤到了递归，所以留意不要爆栈了. o o o oc. 递归减递归(每层递归包含两个递归函数), 每层递归次数呈⼆次幂增长，总次数是⼀个满⼆叉树的所有节点数量(所以极易栈溢出) """def get_order_diff_quot(xi = [], fi = []):if len(xi) > 2 and len(fi) > 2:return (get_order_diff_quot(xi[:len(xi) - 1], fi[:len(fi) - 1]) - get_order_diff_quot(xi[1:len(xi)], fi[1:len(fi)])) / float(xi[0] - xi[-1])return (fi[0] - fi[1]) / float(xi[0] - xi[1]) 看上⾯的⽜顿插值函数公式，有了差商，还差这个就⽐较好实现了："""@brief: 获得Wi(x)函数;Wi的含义举例 W1 = (x - x0); W2 = (x - x0)(x - x1); W3 = (x - x0)(x - x1)(x - x2)@param: i i阶(i次多项式)@param: xi 所有插值节点的横坐标集合@return: 返回Wi(x)函数"""def get_Wi(i = 0, xi = []):def Wi(x):result = 1.0for each in range(i):result *= (x - xi[each])return resultreturn Wi OK，⽜顿插值法最重要的两部分都有了，下⾯就是将这两部分组合成⽜顿插值函数，如果是c之类的语⾔就需要保存⼀些中间数据了，我利⽤了Python的闭包直接返回⼀个⽜顿插值函数，闭包可以利⽤到它所处的函数之中的上下⽂数据。

Python数据分析与挖掘实战-数据预处理

• print('去重前品牌总数为：', len(names)) • name_set = set(names) # 利用set的特性去重 • print('去重后品牌总数为：', len(name_set))
4
重复值处理
➢ pandas提供了一个名为drop_duplicates的去重方法。该方法只对DataFrame或Series类型有效。 ➢ drop_duplicates()方法的基本使用格式和参数说明如下：
24
多表合并
➢ 除了concat函数之外，pandas库的append()方法也可以用于纵向合并两张表，append()方法的基本使用格式和常用参数说明如下：
• pandas.DataFrame.append(other, ignore_index=False, verify_integrity= False)
•
if i not in list2:
•
list2.append(i)
•
return list2
• names = list(data['品牌名称']) # 提取品牌名称
• name = delRep(names) # 使用自定义的去重函数去重
3
重复值处理
➢ 除了利用列表去重之外，还可以利用集合（set）元素为唯一的特性去重：
使用固定值
将缺失的属性值用一个常量替换
最近临插补回归方法插值法
在记录中找到与缺失样本最接近的样本的该属性值插补
对带有缺失值的变量，根据已有数据和与其有关的其他变量（因变量）的数
据建立拟合模型来预测缺失的属性值
插值法是利用已知点建立合适的插值函数
数值 f (xi )近似代替

python 牛顿插值法

python 牛顿插值法摘要：一、牛顿插值法简介1.牛顿插值法的定义2.牛顿插值法的基本原理二、Python牛顿插值法1.Python牛顿插值法的实现2.Python牛顿插值法的应用三、Python牛顿插值法的优势1.高效计算2.广泛适用性正文：一、牛顿插值法简介牛顿插值法是一种代数插值方法，通过计算插值节点之间的差商来确定插值多项式的系数。

这种方法可以用于求解方程、计算函数值等问题。

牛顿插值法的定义如下：设已知函数$f(x)$ 在$x_1, x_2, ldots, x_n$ 处有值$y_1, y_2, ldots, y_n$，则插值多项式$P(x)$ 满足：$$P(x) = sum_{i=1}^{n} y_i cdot prod_{j=1, jeq i}^{n} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$x_i$ 称为插值节点，$y_i$ 称为插值节点处的函数值。

牛顿插值法的基本原理是通过插值节点之间的差商来确定插值多项式的系数。

具体来说，设$x_i$ 是插值节点，$y_i$ 是$x_i$ 处的函数值，$x$ 是待求解的点，则插值多项式在$x$ 处的值可以表示为：$$P(x) = y_i + frac{y_i - y_{i-1}}{x_i - x_{i-1}}(x - x_i)$$其中，$i$ 表示第一个满足$x_i leq x < x_{i+1}$ 的整数。

二、Python牛顿插值法Python牛顿插值法是利用牛顿插值法来解决数学问题的一种编程方法。

可以通过编写Python程序来实现牛顿插值法，从而在计算中更加高效地找到插值节点，并且可以适用于各种数学问题，如求解方程、计算函数值等。

以下是使用Python实现牛顿插值法的示例代码：```pythondef newton_interpolation(x_list, y_list, x):n = len(x_list)p = [0] * (n + 1)p[0] = y_list[0]for i in range(1, n):p[i] = (y_list[i] - y_list[i - 1]) / (x_list[i] - x_list[i - 1]) * (x -x_list[i - 1]) + y_list[i]p[n] = (y_list[n] - y_list[n - 1]) / (x_list[n] - x_list[n - 1]) * (x -x_list[n - 1]) + y_list[n]return p[n]```该函数接受三个参数：插值节点的列表`x_list`，插值节点处的函数值的列表`y_list`，以及待求解的点`x`。

详解Python牛顿插值法

详解Python⽜顿插值法⽬录⼀、⽜顿多项式⼆、例题三、ACcode:⼀、⽜顿多项式拉格朗⽇多项式的公式不具备递推性，每个多项式需要单独构造。

但很多时候我们需要从若⼲个逼近多项式选择⼀个。

这个时候我们就需要⼀个具有递推关系的⽅法来构造——⽜顿多项式这⾥的的a0，a1…等可以通过逐⼀带⼊点的值来求得。

但是当项数多起来时，会发现式⼦变得很⼤，这个时候我们便要引⼊差商的概念（利⽤差分思想）具体见式⼦能更好理解这⾥在编程实现中我们可以推出相应的差商推导⽅程d(k,0)=y(k)d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)) / (x(k)-x(k-j))⼆、例题【问题描述】考虑[0,3]内的函数y=f(x)=cos(x)。

利⽤多个（最多为6个）节点构造⽜顿插值多项式。

【输⼊形式】在屏幕上依次输⼊在区间[0,3]内的⼀个值x*，构造插值多项式后求其P(x*)值，和多个节点的x坐标。

【输出形式】输出⽜顿插值多项式系数向量，差商矩阵，P(x*)值（保留6位有效数字），和与真实值的绝对误差（使⽤科学计数法，保留⼩数点后6位有数字）。

【样例1输⼊】0.80 0.5 1【样例1输出】-0.429726-0.029972111 0 00.877583 -0.244835 00.540302 -0.674561 -0.4297260.7009984.291237e-03【样例1说明】输⼊：x为0.8，3个节点为(k, cos(k)),其中k = 0, 0.5, 1。

输出：⽜顿插值多项式系数向量，表⽰P2(x)=-0.429726x^2 - 0.0299721x + 1；3⾏3列的差商矩阵；当x为0.8时，P2(0.8)值为0.700998与真实值的绝对误差为：4.291237*10^(-3)【评分标准】根据输⼊得到的输出准确三、ACcode:C++(后⾯还有python代码）/** @Author: csc* @Date: 2021-04-30 08:52:45* @LastEditTime: 2021-04-30 11:57:46* @LastEditors: Please set LastEditors* @Description: In User Settings Edit* @FilePath: \code_formal\course\cal\newton_quo.cpp*/#include <bits/stdc++.h>#define pr printf#define sc scanf#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)#define forab(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)#define forba(i, a, b) for (i = b; i >= a; i--)#define pb push_back#define eb emplace_back#define fi first#define se second#define int long long#define pii pair<int, int>#define vi vector<int>#define vii vector<vector<int>>#define vt3 vector<tuple<int, int, int>>#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define sq(x) ((x) * (x))#define sz(x) x.size()const int N = 2e5 + 100;const int mod = 1e9 + 7;namespace often{inline void input(int &res){char c = getchar();res = 0;int f = 1;while (!isdigit(c)){f ^= c == '-';c = getchar();}while (isdigit(c)){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}res = f ? res : -res;}inline int qpow(int a, int b){int ans = 1, base = a;while (b){if (b & 1)ans = (ans * base % mod + mod) % mod;base = (base * base % mod + mod) % mod;b >>= 1;}return ans;}int fact(int n){int res = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)res = res * 1ll * i % mod;return res;}int C(int n, int k){return fact(n) * 1ll * qpow(fact(k), mod - 2) % mod * 1ll * qpow(fact(n - k), mod - 2) % mod; }int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int res = exgcd(b, a % b, x, y);int t = y;y = x - (a / b) * y;x = t;return res;}int invmod(int a, int mod){int x, y;exgcd(a, mod, x, y);x %= mod;if (x < 0)x += mod;return x;}}using namespace often;using namespace std;int n;signed main(){auto polymul = [&](vector<double> &v, double er) {v.emplace_back(0);vector<double> _ = v;int m = sz(v);for (int i = 1; i < m; i++)v[i] += er * _[i - 1];};auto polyval = [&](vector<double> const &c, double const &_x) -> double {double res = 0.0;int m = sz(c);for (int ii = 0; ii < m; ii++)res += c[ii] * pow(_x, (double)(m - ii - 1));return res;};int __ = 1;while (__--){double _x, temp;cin >> _x;vector<double> x, y;while (cin >> temp)x.emplace_back(temp), y.emplace_back(cos(temp));n = x.size();vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n));int i, j;for0(i, n) a[i][0] = y[i];forab(j, 1, n - 1) forab(i, j, n - 1) a[i][j] = (a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j]); vector<double> v;v.emplace_back(a[n - 1][n - 1]);forba(i, 0, n - 2){polymul(v, -x[i]);int l = sz(v);v[l - 1] += a[i][i];}for0(i, n)pr("%g\n", v[i]);for0(i, n){for0(j, n)pr("%g ", a[i][j]);puts("");}double _y = polyval(v, _x);pr("%g\n", _y);pr("%.6e",fabs(_y-cos(_x)));}return 0;}python代码'''Author: cscDate: 2021-04-29 23:00:57LastEditTime: 2021-04-30 09:58:07LastEditors: Please set LastEditorsDescription: In User Settings EditFilePath: \code_py\newton_.py'''import numpy as npdef difference_quotient(x, y):n = len(x)a = np.zeros([n, n], dtype=float)for i in range(n):a[i][0] = y[i]for j in range(1, n):for i in range(j, n):a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])return adef newton(x, y, _x):a = difference_quotient(x, y)n = len(x)s = a[n-1][n-1]j = n-2while j >= 0:s = np.polyadd(np.polymul(s, np.poly1d([x[j]], True)), np.poly1d([a[j][j]]))j -= 1for i in range(n):print('%g' % s[n-1-i])for i in range(n):for j in range(n):print('%g' % a[i][j], end=' ')_y = np.polyval(s, _x)print('%g' % _y)# re_errreal_y = np.cos(_x)err = abs(_y-real_y)print('%.6e' % err)def main():_x = float(input())x = list(map(float, input().split()))y = np.cos(x)newton(x, y, _x)if __name__ == '__main__':main()到此这篇关于详解Python⽜顿插值法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python⽜顿插值法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。

python 插值法

python 插值法插值法是一种利用已知数据点构建函数模型，并推导出未知数据点的方法。

在数值分析和科学计算的领域中，插值法是十分常见的一种数值方法，常常于信号处理、图像处理、计算机辅助设计等领域中得到应用。

插值法的核心思想是通过已知数据点上的函数值，去推导未知数据点上的函数值。

此时，数据点可以看作是已知的坐标，函数值可以看作是已知的高度值。

插值法的具体操作方式就是在数据点上构建一个函数模型，该函数模型可以被愈加连续化，从而推导未知点上的函数值。

在插值法中，函数模型有很多种，如拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。

这些方法在不同的场合下有各自的优缺点。

下面，我们将介绍几种常见的插值方法。

1、拉格朗日插值法拉格朗日插值法利用一个 $n-1$ 次多项式连接已知数据点。

具体来讲，设有 $n$ 个不同的数据点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{n-1},y_{n-1})$。

根据拉格朗日插值法，可以得到如下的 $n-1$ 次多项式：$$f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}y_iL_i(x)$$其中，$L_i(x)$ 是基函数，定义如下：$$L_i(x)=\prod\limits_{j=0,j\neq i}^{n-1}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\qquadi=0,1,\dots,n-1$$举例来说，假设我们已知数据点 $(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)$。

那么相应的拉格朗日插值多项式为：$$f(x)=1\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}+3\cdot\frac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}+5\cdot\frac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}+7\cdot\frac{( x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}$$2、牛顿插值法其中 $k\geq1$，$i=0,1,\dots,n-k-1$。

python 牛顿插值法

python 牛顿插值法摘要：1.牛顿插值法概述2.牛顿插值法的基本原理3.牛顿插值法的应用实例4.Python 中实现牛顿插值法的方法5.总结正文：一、牛顿插值法概述牛顿插值法是一种常用的代数插值方法，它引入了差商的概念，使其在插值节点增加时便于计算。

牛顿插值法广泛应用于数值分析、工程计算等领域，是求解函数值和导数值的一种有效手段。

二、牛顿插值法的基本原理牛顿插值法的基本原理是利用差商的性质来逼近函数值。

差商是指函数在某一点的导数值，可以用以下公式表示：f[x] = f[x0] + f[x1] * (x - x0) / (x1 - x0)其中，f[x0] 和f[x1] 分别是函数在x0 和x1 两点的值，x 是待求的点。

通过不断增加插值节点，可以逐渐提高插值精度。

三、牛顿插值法的应用实例牛顿插值法在实际应用中有很多实例，例如在计算机图形学中，可以用牛顿插值法求解光线与物体的交点，从而实现光线追踪；在数值计算中，可以用牛顿插值法求解微分方程的数值解等。

四、Python 中实现牛顿插值法的方法Python 中可以使用SciPy 库实现牛顿插值法。

以下是一个简单的示例：```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import newton# 设置插值点x = np.array([1, 3, 2])y = np.array([1, 2, -1])# 使用牛顿插值法求解y 值的导数y_derivative = newton(x, y)print(y_derivative)```五、总结牛顿插值法是一种常用的插值方法，它具有较高的插值精度和较好的稳定性。

在Python 中，可以使用SciPy 库方便地实现牛顿插值法。

python中插值方法

python中插值方法
Python中的插值方法有多种，以下是其中一些常见的方法：
1. 线性插值（Linear Interpolation）：在已知两个点的情况下，通过线性关系估计其他点的值。

2. 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）：通过已知的一系
列点，在每个点上构造一个基本插值多项式，再将这些多项式相加得到插值函数。

3. 牛顿插值（Newton Interpolation）：通过已知的一系列点，
构造一个插值多项式，利用差分的概念来推导插值多项式的系数。

4. 分段线性插值（Piecewise Linear Interpolation）：将插值区
间划分为多个子区间，每个子区间内使用线性插值。

5. 样条插值（Spline Interpolation）：通过一系列点和控制节点，构造一条光滑的曲线，利用多项式、分段线性函数或三次函数等方式进行插值。

6. 最近邻插值（Nearest Neighbor Interpolation）：在已知的一
系列点中，找到距离目标点最近的点，将目标点的值设为该点的值。

以上仅列举了一些常见的插值方法，实际上还有其他更复杂的插值方法，如样条样本插值、高斯插值等。

不同的插值方法适
用于不同的问题和数据类型，选择合适的插值方法可以获得更准确的结果。

牛顿差值函数程序代码

牛顿差值函数程序代码
牛顿差值函数是数值分析中常用的一种方法，用于在给定一组数据点的情况下，拟合出一个多项式函数，从而实现数据的插值和近似，下面是牛顿差值函数的程序代码：
```python
def newton_interpolation(x,y):
n = len(x)
b = []
for i in range(n):
b.append([y[i]])
for j in range(1,n):
for i in range(n-j):
b[i].append((b[i+1][j-1]-b[i][j-1])/(x[i+j]-x[i]))
a = [b[0][i] for i in range(n)]
def f(t):
res = a[-1]
for i in range(n-2,-1,-1):
res = a[i] + (t-x[i])*res
return res
return f
```
其中，x和y分别表示数据点的横纵坐标，函数返回一个插值函
数f，可以将任意x值代入f中，得到对应的y值。

该代码实现了牛顿差值的主要逻辑，采用了递推的思路，先计算出差商表b，再根据b计算出多项式系数a，最后构造出插值函数f。

在实际使用中，只需要调用newton_interpolation函数，传入数据点的坐标，即可得到插值函数。

python 牛顿插值法

python 牛顿插值法牛顿插值法是一种常用的数值插值方法，用于在给定数据点的基础上，估计出未知数据点的函数值。

它基于差商的思想，通过构造一个插值多项式来逼近原始函数。

首先，我们需要明确插值的目的。

插值的目的是为了推测出在已知数据点之间的未知数据点的函数值。

例如，我们已知一组离散的数据点，这些数据点代表了某个物理量在不同位置或时间上的值。

我们希望利用这些已知数据来推测处于未知位置或时间上的数据点的值。

在牛顿插值法中，我们首先需要选取一些已知数据点，然后通过计算差商来构造插值多项式。

插值多项式是一个关于自变量的函数表达式，它经过已知数据点，可以通过对自变量的取值来计算函数的值。

插值多项式的构造是通过不断迭代的方式进行的。

我们从一次插值开始，即假设我们要构造一个一次多项式，通过两个已知数据点，可以确定一个直线。

然后，通过插入一个新的数据点，我们可以构造出一个二次多项式，以此类推。

插值多项式的次数逐渐增加，直到满足要求。

牛顿插值法的核心在于计算差商。

差商是一个递归的过程，通过已知数据点的函数值来计算插值多项式中的各个系数。

差商的计算可以用递推公式来表示，在每一步中，我们需要利用前一步计算得到的差商来求解下一步的差商。

最终，完成差商的计算后，我们可以得到插值多项式的表达式。

利用这个表达式，我们可以估计处于已知数据点之间的未知数据点的函数值。

总的来说，牛顿插值法是一种基于差商的数值插值方法。

通过选取已知数据点、计算差商和构造插值多项式，我们可以推测出未知数据点的函数值。

这种方法简洁高效，适用于各种应用场景，如数据拟合、信号处理等。

在Python中，我们可以利用已有的数值计算库来实现牛顿插值法，使得插值过程更加方便和准确。

通过以上介绍，我们对Python牛顿插值法有了一定的了解。

希望这篇文档可以帮助你理解和应用这种数值插值方法。

牛顿法代码函数

牛顿法代码函数牛顿法（Newton's method）是一种求解函数极值（包括最大值和最小值）的数值方法。

以下是使用Python实现的牛顿法代码示例：```pythonimport numpy as npdef func(x):# 这里替换为你的目标函数，例如：f(x) = x^3 - 6x^2 + 9return x**3 - 6 * x**2 + 9def dfunc(x):# 这里替换为你的目标函数的一阶导数，例如：f'(x) = 3x^2 - 12x return 3 * x**2 - 12 * xdef newton_method(x0, tol=1e-6, max_iter=100):x = x0iteration = 0while True:iteration += 1x_new = x - func(x) / dfunc(x)if np.linalg.norm(x_new - x) < tol:breakx = x_newreturn x, iterationif __name__ == "__main__":x0 = np.array([1.0]) # 初始化参数向量tolerance = 1e-6 # 误差容限max_iter = 100 # 最大迭代次数x_opt, iterations = newton_method(x0, tolerance, max_iter)print("优化后的参数向量：", x_opt)print("迭代次数：", iterations)```在这个示例中，我们定义了一个名为`newton_method`的函数，它接受初始参数向量`x0`、误差容限`tol`和最大迭代次数`max_iter`作为输入。

该函数使用牛顿法迭代求解目标函数的极值。

在`__main__`部分，我们初始化一个示例目标函数（三次多项式）及其一阶导数，然后调用`newton_method`函数求解极值。

使用Python求牛顿插值多项式及其差商表（附加一个拉格朗日插值多项式）

使⽤Python求⽜顿插值多项式及其差商表（附加⼀个拉格朗⽇插值多项式）闲话不多说，直接上代码。

import numpy as npfrom sympy import *# 定义⼀个求差商表的函数，使⽤递归求解差商表，返回值是差商的值# x是数组，表⽰样本点的x# f是数组，表⽰样本点的函数值f（x）# start是int类型，表⽰x数组的起始下标，# end是int类型，表⽰x数组的结束下标，# res是数组类型，表⽰差商表，对⾓线以下为各阶差商表def cs(x,f,start,end,res):# 当x中只有两个元素的时候，结束递归if((end-start)==1):# 将⼀阶差商填⼊差商表res[end-1][end-start-1]=(f[end]-f[start])/(x[end]-x[start])# 返回差商return res[end-1][end-start-1]# 当x中元素个数⼤于2时，根据公式递归调⽤此函数求差商，并将差商填⼊差商表res[end-1][end-start-1]=(cs(x,f,start+1,end,res)-cs(x,f,start,end-1,res))/(x[end]-x[start])# 返回差商return res[end-1][end-start-1]# 定义⼀个求⽜顿插值多项式的函数# x是数组，表⽰样本点的x# f是数组，表⽰样本点的函数值f（x）def Newton(x,f):res = np.ones([x.size - 1, x.size - 1])*np.inf # 初始化差商表⾻架结构cs(x, f, 0, x.size - 1, res) #调⽤差商表函数给差商表填值，对⾓线及以下才是差商表的值X=symbols("x") #定义x变量y=f[0] #初始化⽜顿插值多项式，它的第⼀项是常数项，正好是f[0]for i in range(x.size-1):temp=1 #临时变量，保存 f[x0,x1,...,xn]*(x-x1)(x-x2)...(x-xn-1)for j in range(i+1):temp=temp*(X-x[j]) #(x-x1)(x-x2)...(x-xn-1)temp=res[i,i]*temp #将差商表对⾓线元素作为系数y=y+temp #将temp添加到多项式中# 返回⽜顿插值多项式return yif__name__=="__main__":# 样本点x=np.array([2.0,2.1,2.2,2.3,2.4])f=np.array([1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193])##### 可以直接得到差商表res = np.ones([x.size - 1, x.size - 1]) * np.inf # 初始化差商表⾻架结构# 调⽤差商表函数cs(x,f,0,x.size-1,res)print(res)#### 也可以直接得到⽜顿插值多项式X=symbols("x") #定义⾃变量xy=Newton(x,f) #调⽤函数得到⽜顿插值多项式，类型是<class 'sympy.core.add.Add'>print("N(x)=",y)# 给⾃变量x赋值，求出函数近似值print(y.evalf(subs={X:2.15})) #求给定⾃变量x值时函数f(x)的值 | 将表达式转化为函数得到的差商表：⽜顿插值多项式（⽐较长，就截取了部分）：拉格朗⽇插值多项式代码（使⽤⽅法很简单，和⽜顿插值多项式⼀样）： #拉格朗⽇插值法def L(x,f):X=symbols("x")m=x.size #x个数L=0for i in range(m):temp=1for j in range(m):if(i!=j):temp=temp*((X-x[j])/(x[i]-x[j]))L=L+temp*f[i]return L各位⼤哥点个赞呐（卑微）。

数值计算方法实验之newton多项式插值（Python代码）

数值计算⽅法实验之newton多项式插值（Python代码）⼀、实验⽬的在⼰知f(x),x∈[a,b]的表达式，但函数值不便计算或不知f(x),x∈[a,b]⽽⼜需要给出其在[a,b]上的值时,按插值原则f(x i)=y i (i=0,1,……, n)求出简单函数P(x)(常是多项式)，使其在插值基点x i处成⽴(x i)= y i(i=0,1,……,n),⽽在[a,b]上的其它点处成⽴f(x)≈P(x).⼆、实验原理三、实验内容求f(x)=x4在[0,2]上按5个等距节点确定的Lagrange插值多项式四、实验程序import matplotlib.pyplot as pltfrom pylab import mplimport mathx = [0, 0.5, 1, 1.5, 2]y = [0, 0.0625, 1, 5.0625, 16]"""计算四次差商的值"""def four_order_difference_quotient(x, y):# i记录计算差商的次数，这⾥循4次，计算4次差商。

i = 0quotient = [0, 0, 0, 0, 0]while i < 4:j = 4while j > i:if i == 0:quotient[j]=((y[j]-y[j-1])/(x[j]-x[j-1]))else:quotient[j] = (quotient[j]-quotient[j-1])/(x[j]-x[j-1-i])j -= 1i += 1return quotient;def function(data):return parameters[0] + parameters[1]*(data-0) + parameters[2]*(data-0)*(data-0.5) + parameters[3]*(data-0)*(data-0.5)*(data-1) + parameters[4]*(data-0)*(data-0.5)*(data-1)*(data-1.5)"""计算插值多项式的值"""def calculate_data(x,parameters):returnData=[];for data in x:returnData.append(function(data))return returnData"""画函数的图像newData为曲线拟合后的曲线"""def draw(newData):plt.scatter(x,y,label="离散数据",color="blue")plt.plot(datax,newData,label="⽜顿插值拟合数据",color="orange")plt.scatter(1.75,1.75**4, label="准确值",color="red")plt.title("⽜顿插值法拟合数据")mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseplt.legend(loc="upper left")plt.show()parameters=four_order_difference_quotient(x,y)datax=[0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2]datay=calculate_data(datax,parameters)draw(datay)print("⽜顿插值多项式为：N(x) = %f(x-0) + %f(x-0)(x-0.5) + %f(x-0)(x-0.5)(x-1) + %f(x-0)(x-0.5)(x-1)(x-1.5)"%(parameters[1], parameters[2], parameters[3],parameters[4]))五、运算结果(1) 图像（2）运算结果六、⼼得体会通过本次实验，我对数值分析有了更深⼀个层次的认识，将数学理论和计算机软件结合会得到意想不到的结果⽐如插值法，在先学习了拉格朗⽇插值法后，对其理解透彻，了解了其中的原理和思想，再学习之后的⽜顿插值以及三次样条插值等等，都很容易的融会贯通，很容易的就理解了其中所想，其中⼼思想并没有多⼤的变化，但是使⽤的⽅式却是不同的每个不同的思考⽅式带来的都是不同的算法。

基于python仿真的插值方法分析与实验

• 31•本文主要针对基于python 仿真中拉格朗日（Lagrange ）插值法以及牛顿（Newton ）插值法进行内插的分析与实验，对这两种常见的插值方法进行比较，分析其适用性。

随着科学技术的不断发展，在各种复杂工作的研究中仿真是一种不可或缺的手段。

然而在仿真过程中，可能会出现数据丢失以及仿真结果不精确的问题。

这一问题可通过使用插值方法对仿真结果行优化处理来解决。

本文对两种插值算法进行分析实验，得出结论。

1 插值法插值法是通过所有已知的点来构建一个插值函数f(x)，对于未知的点x i 可以利用插值函数f(x)来算出函数的值f(x i )，用(x i ，f(x i ))来近似的替代。

对于在平面上相异的n+1个点，我们必定可以构建一个n 次多项式。

不同的插值法所要做的就是构造这个多项式函数，只是求得多项式的方式有些不同。

1.1 拉格朗日插值法已知函数有n+1个互不相同的已知点，其中自变量用x j 表示，x j对应的函数值用y j 表示。

拉格朗日插值多项式为：(1)其中插值基函数表达式为：(2)1.2 牛顿插值法牛顿插值法引入了差商的概念。

已知函数f(x)在n+1个互不相同点处的函数取值为f(x i )。

差商计算表如表1所示，高阶差商与低阶差商存在迭代关系，三角形指向为迭代运算方向。

为f (x )在点x 0，x 1处的一阶差商；为f (x )在点x 0，x 1，x 2处的二阶差商；为f (x )在点x 0，x 1，x 2，x 3处的三阶差商；为f (x )在点x 0，x 1...x n 处的n 阶差商。

牛顿插值法的基本形式为：(3)2 基于python的仿真方法设计拉格朗日插值法与牛顿插值法的设计流程分别如图1、图2所示。

3 仿真结果与分析分别对拉格朗日插值法和牛顿插值法进行实验，得到如图3、基于python仿真的插值方法分析与实验沈阳理工大学徐佳文表1 差商表表2 插值表插值点0.184.328.0313.6818.70拉格朗日插值 1.58037276419199829.4435058074535786.574969814320623019.5625410236768415.852004446355743拉格朗日插值总时间（s）0.5000066757202148牛顿插值 1.58037276419199809.443505807453576 6.574969814320624619.56254102367683615.852004446355721牛顿插值总时间（s）0.21875405311584473图4所示的结果。

用Python实现插值算法

⽤Python实现插值算法数模⽐赛中，常常需要对数据进⾏处理和分析，但有时候数据不多，就需要⼀些⽅法“模拟产⽣”⼀些靠谱的值来满⾜需求，这就是插值的作⽤。

本⽂不再具体介绍每个插值算法的内在原理，将直接通过调包实现。

下⾯，先上三件套，看⼀下原始数据的⼤致情况：import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltdata = pd.read_excel('data.xlsx')拉格朗⽇插值算法原始数据我们采⽤sin(x)的形式，看⼀下原始数据点：import scipyfrom scipy.interpolate import lagrangex = np.linspace(0,10,6) #0~10等差插⼊11个数，需要预测的值y = np.sin(x)x_new = np.linspace(0,10,200) #⽤于绘制图形y_new = np.sin(x_new)plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')f1 = lagrange(x,y)plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f1(x_new),'g')看⼀下拟合效果：分段线性插值f4 = scipy.interpolate.interp1d(x,y,kind='linear') plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f4(x_new),'g')分段⼆次（三次）插值f5 = scipy.interpolate.interp1d(x,y,kind='quadratic') #三次就是cubic plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f5(x_new),'g')⽜顿插值法：暂未找到相应的库分段三次埃尔⽶特插值f5 = scipy.interpolate.interp1d(x,y,kind='quadratic') #三次就是cubic plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f5(x_new),'g')三次样条插值f3 = scipy.interpolate.CubicSpline(x,y)plt.plot(x,y,'ro')plt.plot(x_new,y_new,'b')plt.plot(x_new,f3(x_new),'g')接下来，让我们看看⼀个具体实例的⽐较：y = np.array(data)[:,1]x = np.linspace(2009,2018,10)x_new = np.array([2019,2020,2021])f2 = scipy.interpolate.PchipInterpolator(x,y)f3 = scipy.interpolate.CubicSpline(x,y)#coding:utf-8plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #⽤来正常显⽰中⽂标签plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #⽤来正常显⽰负号plt.plot(x,y,color='black',marker='o',label='样本点')plt.plot(x_new,f2(x_new),'b-',marker='x',label='分段三次埃⽶尔特')plt.plot(x_new,f3(x_new),'r-',marker='x',label='三次样条插值')plt.xticks(range(2009,2022,1)) #调整x轴间距plt.legend()plt.show()Tips：①最常⽤的就是埃尔⽶特三次插值、三次样条插值②拉格朗⽇插值虽然在训练集上表现良好，但是在测试集上着实难堪，尤其拟合⾼阶函数时，千万不要轻易⽤此预测到此这篇关于⽤Python实现插值算法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python插值算法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。

拉格朗日插值与牛顿插值

拉格朗⽇插值与⽜顿插值拉格朗⽇插值与⽜顿插值这⾥使⽤python实现了拉格朗⽇插值和⽜顿插值import numpy as np# 拉格朗⽇插值class Lagrange:def __init__(self, x, y):"""这⾥x,y是长度相同的⼀维numpy数组"""# 插值基函数的系数self.coefficient = []# 基函数self.base = []for i in range(x.size):self.base.append(np.delete(x, i))self.coefficient.append(y[i] / np.prod(x[i] - self.base[i]))self.base = np.array(self.base)self.coefficient = np.array(self.coefficient)def calculate(self, x):"""这⾥的x是⼀个标量"""return np.sum(np.prod(x - self.base, axis=1) * self.coefficient)# ⽜顿插值class Newton:def __init__(self, x, y):"""这⾥x,y是长度相同的⼀维numpy数组"""# 插值节点的个数self.n = x.size# 差商表self.table = np.zeros((self.n, self.n + 1))self.table[:, 0] = xself.table[:, 1] = y# 按⾏构造差商表for i in range(1, self.n):for j in range(2, i + 2):self.table[i, j] = (self.table[i, j - 1] - self.table[i - 1, j - 1]) / (self.table[i, 0] - self.table[i - j + 1, 0])def calculate(self, x):"""这⾥x是⼀个标量"""value = 0for i in range(1, self.n):value += self.table[i, i + 1] * np.prod(x - self.table[:i, 0])# 加上f(x0)value += self.table[0, 1]return valuedef append(self, x, y):"""⽜顿插值可以插⼊更多的点以提⾼精度这⾥x,y是长度相同的⼀维numpy数组"""n = self.n + x.sizetable = np.zeros((n, n + 1))# 对原有的差商表进⾏扩⼤table[:self.n, :self.n + 1] = self.tabletable[self.n:, 0] = xtable[self.n:, 1] = y# 按⾏构造差商表for i in range(self.n, n):for j in range(2, i + 2):table[i, j] = (table[i, j - 1] - table[i - 1, j - 1]) / (table[i, 0] - table[i - j + 1, 0])self.n = nself.table = tableif __name__ == '__main__':# example# 拉格朗⽇插值lx = Lagrange(x=np.array([1, 3, 4, 7, 9], dtype=np.float64), y=np.array([0, 2, 15, 12, 2], dtype=np.float64) )print("L(2.5)=", lx.calculate(2.5))# 3个点进⾏⽜顿插值nx = Newton(x=np.array([1, 3, 4], dtype=np.float64),y=np.array([0, 2, 15], dtype=np.float64))print("N(2.5)=", nx.calculate(2.5))# ⽜顿插值新增2个点nx.append(x=np.array([7, 9], dtype=np.float64),y=np.array([12, 2], dtype=np.float64))print("N(2.5)=", nx.calculate(2.5))测试结果L(2.5)= -3.98203125N(2.5)= -1.5# 新增点后的⽜顿插值结果和拉格朗⽇插值结果相同N(2.5)= -3.98203125。

python插值法

python插值法给定一些数据，生成函数的方式有两种：插值，回归。

插值而得到的函数通过数据点，回归得到的函数不一定通过数据点。

下面给出拉格朗日插值，牛顿插值和Hermite插值的程序，具体原理可参考课本，不再赘述。

拉格朗日插值法线性插值一次精度需要2个节点二次插值二次精度需要3个节点n次插值 n次精度需要n+1个节点拉格朗日插值代码段（根据传入数据自动判断次数）：# 返回多项式defp(x,a):"""p(x,a)是x的函数，a是各幂次的系数"""s=0foriinrange(len(a)):s+=a[i]*x**ireturns# n 次拉格朗日插值deflagrange_interpolate(x_list,y_list,x):"""x_list 待插值的x元素列表y_list 待插值的y元素列表插值以后整个lagrange_interpolate是x的函数"""iflen(x_list)!=len(y_list):raiseValueError("list x and list y is not of equal length!")# 系数矩阵A=[]foriinrange(len(x_list)):A.append([])forjinrange(l en(x_list)):A[i].append(pow(x_list[i],j))b=[]foriinrange(len(x_list)):b.append([y_list[i]])# 求得各阶次的系数a=lu_solve(A,b)# 用LU分解法解线性方程组，可以使用numpy的类似函数a=transpose(a)[0]# change col vec a into 1 dimensionval=p(x,a)print(x,val)returnval其中lu_solve(A,b)是自己写的轮子，可以用numpy的numpy.linalg.sovle(A,b)来代替到后面会有一期讲矩阵方程直接法，会有讲到如何写lu_solve()看一看插值的效果如何importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotasplt# 待插值的元素值x_points=[0,1,2,3,4,5]y_points=[1,5,4,8,7,12]# 拉格朗日插值x=np.linspace(0,5)y=list(map(lambdat:lagrange_interpol ate(x_points,y_points,t),x))# 画图plt.scatter(x_points,y_points,color="orange")plt.plot( x,y)plt.legend(["lagrange interpolation","scattered points"])plt.show()拉格朗日插值可以看到，插值之后的函数可以较好地反映原数据点的情况。

python 差值函数

python 差值函数Python差值函数介绍差值是数学中的一个重要概念，它可以用来估计或预测未知数据点的值，同时也可以用来插值已知数据点之间的数值。

在Python中，我们可以使用不同的方法来实现差值操作，例如拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。

在本文中，我们将介绍Python中的差值函数，并提供一个全面的详细的函数，以帮助您更好地理解和使用Python中的差值操作。

拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法，它可以通过已知数据点之间的连线来估计或预测未知数据点之间的数值。

在Python中，我们可以使用scipy.interpolate库中的lagrange函数来实现拉格朗日插值。

下面是一个示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import lagrangex = np.array([0, 1, 2, 3])y = np.array([0, 1, 4, 9])poly = lagrange(x, y)print(poly)```输出结果为：```2-0.333 x + 1.5 x - 0.167```这个结果表示了一个二次多项式函数，它经过了给定数据点。

我们可以使用poly函数来计算任意x处的函数值，例如：```pythonprint(poly(0.5))```输出结果为：```0.625```这个结果表示了x=0.5处的函数值。

牛顿插值牛顿插值是另一种基于多项式的插值方法，它可以通过已知数据点之间的差商来估计或预测未知数据点之间的数值。

在Python中，我们可以使用scipy.interpolate库中的newton函数来实现牛顿插值。

下面是一个示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.interpolate import newtonx = np.array([0, 1, 2, 3])y = np.array([0, 1, 4, 9])poly = newton(x, y)print(poly)```输出结果为：```2-0.333 x + 1.5 x - 0.167```这个结果与拉格朗日插值的结果相同，它也表示了一个二次多项式函数。