牛顿(newton)插值法

牛顿(newton)插值法

牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。

插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。

下面介绍牛顿插值法的基本原理。

插值基础

插值基础是插值方法中的一个重要概念。在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。

一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。

在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。具体来说，若给定以下节点：

x0, y0

x1, y1

x2, y2

...

xn, yn

我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：

y0

y1-y0

…

yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0

上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。

牛顿插值公式

基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。具体来说，牛顿插值公式可以表示为：

f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]

其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。

函数 f(x) 的具体形式由差商的组合方式决定。例如，f[x0,x1,x2] 表示我们使用三个节点 (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) 定义了一个差商，它的形式为：

这通常被称为二阶差商。我们可以通过唯一确定的数学方式来计算任意阶数的差商。

牛顿插值法的优点

牛顿插值法有许多优点。首先，它是一个非常简单的插值方法，易于实现。其次，由于它是一个多项式插值方法，因此对于任何连续函数，我们都可以使用有限数量的插值基础来表示它。此外，与其他插值方法相比，牛顿插值法的误差较小，因为它使用了一些特定的差商。

结论