牛顿插值法例题求解

Newton插值法实例

Newton插值法求解梁的挠度实例学院：建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰一、问题来源求解梁弯曲时的挠度，通常采用积分法和叠加法．积分法是利用挠曲线近似微分方程进行积分求解，积分常数可由粱的边界条件或连续光滑条件来确定．但当粱所受载荷复杂时，就要分段积分并确定多个积分常数，计算相当繁琐。

而叠加法虽然比较简单，但需对梁所受的载荷进行分解，且必须分解成早已知道所产生挠度的单个载荷．若载荷作用位置不同，所用公式也不同，无规律可言，具有一定的局限性。

所以就需要一种更好普遍实用的方法来求解。

二、数学模型实例：图1所示简支梁AB受集度为q的均布载荷作用，其弯曲刚度为脚，长度为l并等分成四段，试求1、2、3三个等分点处的挠度。

三、方法选择牛顿插值法是一种数值计算方法，基本原理是利用牛顿插值方程代替挠曲线近似微分方程，然后用代数的方法求解．如果将梁分成较多的区段，则相应地求解较多的插值方程，且精度较高。

特别指出：当求解方程较多、运算繁琐时可用计算机解决。

下面从图形表示的一般函数y=f(x)入手，推出该方法．如图2所示，将x轴进行等分，各等分点从左到右标以号码，其间距a又称为步长。

如在等电处，其纵坐标分别为等。

现在讨论对应于的A点处函数y的一阶导数．因函数y在处的一阶导数与函数在点处的一阶差商相等，即(a)其二阶导数即一阶导数的变化率，可代表梁在处的挠度，等于f(x)在点处的二阶差商的2倍，即(b)结合梁的挠曲线微分方程，我们可以得到梁的牛顿插值方程：(c)方程中其弯矩M和弯曲刚度EI加上角标i表明这些量为梁在x轴上i点处所求算的量。

要应用该方程求解，需沿梁选择一系列的点写出插值方程，所得的方程组可以求解所选点处的挠度。

四、解答过程及其编程因为此梁对称，1、3两点处的挠度相等，即y1=y3，所以只有两个值y1和y2为方程中的未知量点1处(i=1)：，弯矩，其牛顿插值方程为：又因为，上式简化为：(1)点2处(i=2)：，弯矩，其牛顿插值方程为：又因为，所以上式简化为：(2)可以用Matlab分别求得y1，y2代码如下：A=[-2,1;1,-1];b=[3/512;1/256];y=inv(A)*b截图如下：可得挠度：0.0098，0.0137五、误差要求由积分法求得这些挠度的精确结果为：比较两种结果：点1处：点2处：点3处与点1处相同。

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

计算方法牛顿插值

称为在xi,xj,xk处的2阶差商
k阶差商：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x1 , x2 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x0 xk
利用插值条件和差商,可求出Nn(x)的系数 Ai :
A0 f ( x0 ) f [ x0 ] A1 f [ x0 , x1 ]
差商具有如下性质
性质1 (差商与函数值的关系)
f ( xi ) f x0 , x1 ,..., xn i 0 ' ( xi )
性质2 （对称性）：差商的值与结点排列顺序无关
f x0 , , xi , , x j , , xn f x0 ,, x j ,, xi ,, xn
f ( xi ) f ( xi h) f ( xi )
f ( xi ) f ( xi ) f ( xi h)
一阶中心差分 f ( x ) f ( x h ) f ( x h ) i i i /* centered 2 2 difference */
一般地,称k阶差分的差分为k+1阶差分,如二阶向前和向后差分分别为
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1 ] ( x x1 ) f [ x, x0 , x1 ]
1
2
n1
…………
f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
性质5(差分与导数的关系）
k fi k !h k f [ xi , xi 1 ,, xi k ] hk f ( k ) ( ), ( xi xi k )

MAAB牛顿插值法例题与程序

题目一：多项式插值某气象观测站在8：00（AM ）开始每隔10分钟对天气作如下观测，用三次多项式插值函数（Newton ）逼近如下曲线，插值节点数据如上表，并求出9点30分该地区的温度（x=10）。

二、数学原理假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x 0，y 0），……（x n ，y n ），插值多项式有如下形式：）（））（（）（）（）（n 10n 102010n x -x )(x -x x -x x P x x x x x x -⋯⋯-+⋯⋯+-++=αααα（1）其中系数i α（i=0,1,2……n ）为特定系数，可由插值样条i i n y x P =）（（i=0,1,2……n ）确定。

根据均差的定义，把x 看成[a,b]上的一点,可得f(x)=f （0x ）+f[10x x ，]（0x -x ） f[x,0x ]=f[10x x ，]+f[x,10x x ，]（1x -x ）……f[x,0x ，…x 1-n ]=f[x,0x ，…x n ]+f[x,0x ，…x n ](x-x n )综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f(x)=f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+…+f[x,0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )+f[x,0x ，…x n ,x ]）（x 1n +ω=N n （x ）+）（x n R 其中N n （x ）=f[0x ]+f[10x x ，]（0x -x ）+f[210x x x ，，]（0x -x ）（1x -x ）+ …+f[x,0x ，…x n ]（0x -x ）…(x-x 1-n )（2））（x n R =f(x)-N n （x ）=f[x,0x ，…x n ,x ]）（x 1n +ω（3））（x 1n +ω=（0x -x ）…(x-x n ) Newton 插值的系数i α（i=0,1,2……n ）可以用差商表示。

数值分析2-3(牛顿插值法)

二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
一般的k阶差商定义为
f [ x0 , x1 ,..., x k ] f [ x0 ,..., x k 2 , x k ] f [ x0 , x1 ,..., x k 1 ] x k x k 1
特别地，f(x)关于一个点xi的零阶差商定义为函数值本身，即
§3
差商与牛顿插值
一、差商及其性质二、差商的计算
三、牛顿插值公式四、牛顿插值法举例
一、差商及其性质
1. 差商的定义函数关于 xi, xj 一阶差商
f [ xi , x j ] fห้องสมุดไป่ตู้( x j ) f ( xi ) x j xi
f [ x j , xk ] f [ xi , x j ] xk xi
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
f[x0,x1,x2,x3]
∶ ∶ ∶
例已知函数y= f (x)的观测数据如下，试构造差商表，并求 f [2,4,5,6]的值
x 0 2 f(x) 1 5
4 5 6 9 -4 13
解构造差商表如下
xi f(xi) 一阶二阶三阶 0 1 2 5 2 4 9 2 0 5 -4 -13 -5 -1 6 13 17 15 5 四阶
4 3 2
用二次插值求f (3)时，取
x0=2, x1=4, x2=5, 得 f ( 3) f ( 2) f [2,4]( 3 2)
f [2,4,5]( 3 2)( 3 4) 7 5( 3 2)( 3 4) 12 思考：若本题只给出前三个点，结果如何？请你总结牛顿插值法何时停止？

sinx牛顿插值法拟合

sinx牛顿插值法拟合牛顿插值法是一种用于拟合实验数据的插值方法。

假设已知一组数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点拟合出一个函数f(x)，使得f(xi)≈yi。

牛顿插值法的基本思想是利用差商的概念来表示插值多项式。

通过不断递推计算差商，可以得到一个n次插值多项式。

n次插值多项式的一般形式为：f(x) = f(x0) + (x-x0)f[x0, x1] + (x-x0)(x-x1)f[x0, x1, x2] + ... + (x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)f[x0, x1, ..., xn]其中，f[x0, x1, ..., xi]表示 xi 和 x0, x1, ..., xi-1 所对应的差商。

差商的计算可以通过递推公式来进行，如下所示：f[xi] = yif[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x1, x2] = (f[x2] - f[x1]) / (x2 - x1)...f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)通过递推计算差商，可以得到插值多项式f(x)，将插值多项式带入函数计算x的值来逼近y。

在使用牛顿插值法拟合sin(x)函数时，首先需要选取一组适当的数据点，然后按照上述方法进行插值计算，最后可以得到一个拟合sin(x)函数的多项式。

需要注意的是，牛顿插值法只适用于有限区间的数据插值。

对于sin(x)函数来说，它是一个周期函数，所以在选择数据点时，通常会选取一个小的区间来进行拟合，然后通过函数的周期性来进行扩展。

同时，为了提高拟合的准确性，通常会选取适量的数据点，使得数据点的分布均匀。

详解Python牛顿插值法

详解Python⽜顿插值法⽬录⼀、⽜顿多项式⼆、例题三、ACcode:⼀、⽜顿多项式拉格朗⽇多项式的公式不具备递推性，每个多项式需要单独构造。

但很多时候我们需要从若⼲个逼近多项式选择⼀个。

这个时候我们就需要⼀个具有递推关系的⽅法来构造——⽜顿多项式这⾥的的a0，a1…等可以通过逐⼀带⼊点的值来求得。

但是当项数多起来时，会发现式⼦变得很⼤，这个时候我们便要引⼊差商的概念（利⽤差分思想）具体见式⼦能更好理解这⾥在编程实现中我们可以推出相应的差商推导⽅程d(k,0)=y(k)d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)) / (x(k)-x(k-j))⼆、例题【问题描述】考虑[0,3]内的函数y=f(x)=cos(x)。

利⽤多个（最多为6个）节点构造⽜顿插值多项式。

【输⼊形式】在屏幕上依次输⼊在区间[0,3]内的⼀个值x*，构造插值多项式后求其P(x*)值，和多个节点的x坐标。

【输出形式】输出⽜顿插值多项式系数向量，差商矩阵，P(x*)值（保留6位有效数字），和与真实值的绝对误差（使⽤科学计数法，保留⼩数点后6位有数字）。

【样例1输⼊】0.80 0.5 1【样例1输出】-0.429726-0.029972111 0 00.877583 -0.244835 00.540302 -0.674561 -0.4297260.7009984.291237e-03【样例1说明】输⼊：x为0.8，3个节点为(k, cos(k)),其中k = 0, 0.5, 1。

输出：⽜顿插值多项式系数向量，表⽰P2(x)=-0.429726x^2 - 0.0299721x + 1；3⾏3列的差商矩阵；当x为0.8时，P2(0.8)值为0.700998与真实值的绝对误差为：4.291237*10^(-3)【评分标准】根据输⼊得到的输出准确三、ACcode:C++(后⾯还有python代码）/** @Author: csc* @Date: 2021-04-30 08:52:45* @LastEditTime: 2021-04-30 11:57:46* @LastEditors: Please set LastEditors* @Description: In User Settings Edit* @FilePath: \code_formal\course\cal\newton_quo.cpp*/#include <bits/stdc++.h>#define pr printf#define sc scanf#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)#define forab(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)#define forba(i, a, b) for (i = b; i >= a; i--)#define pb push_back#define eb emplace_back#define fi first#define se second#define int long long#define pii pair<int, int>#define vi vector<int>#define vii vector<vector<int>>#define vt3 vector<tuple<int, int, int>>#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define sq(x) ((x) * (x))#define sz(x) x.size()const int N = 2e5 + 100;const int mod = 1e9 + 7;namespace often{inline void input(int &res){char c = getchar();res = 0;int f = 1;while (!isdigit(c)){f ^= c == '-';c = getchar();}while (isdigit(c)){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}res = f ? res : -res;}inline int qpow(int a, int b){int ans = 1, base = a;while (b){if (b & 1)ans = (ans * base % mod + mod) % mod;base = (base * base % mod + mod) % mod;b >>= 1;}return ans;}int fact(int n){int res = 1;for (int i = 1; i <= n; i++)res = res * 1ll * i % mod;return res;}int C(int n, int k){return fact(n) * 1ll * qpow(fact(k), mod - 2) % mod * 1ll * qpow(fact(n - k), mod - 2) % mod; }int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){if (b == 0){x = 1, y = 0;return a;}int res = exgcd(b, a % b, x, y);int t = y;y = x - (a / b) * y;x = t;return res;}int invmod(int a, int mod){int x, y;exgcd(a, mod, x, y);x %= mod;if (x < 0)x += mod;return x;}}using namespace often;using namespace std;int n;signed main(){auto polymul = [&](vector<double> &v, double er) {v.emplace_back(0);vector<double> _ = v;int m = sz(v);for (int i = 1; i < m; i++)v[i] += er * _[i - 1];};auto polyval = [&](vector<double> const &c, double const &_x) -> double {double res = 0.0;int m = sz(c);for (int ii = 0; ii < m; ii++)res += c[ii] * pow(_x, (double)(m - ii - 1));return res;};int __ = 1;while (__--){double _x, temp;cin >> _x;vector<double> x, y;while (cin >> temp)x.emplace_back(temp), y.emplace_back(cos(temp));n = x.size();vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n));int i, j;for0(i, n) a[i][0] = y[i];forab(j, 1, n - 1) forab(i, j, n - 1) a[i][j] = (a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j]); vector<double> v;v.emplace_back(a[n - 1][n - 1]);forba(i, 0, n - 2){polymul(v, -x[i]);int l = sz(v);v[l - 1] += a[i][i];}for0(i, n)pr("%g\n", v[i]);for0(i, n){for0(j, n)pr("%g ", a[i][j]);puts("");}double _y = polyval(v, _x);pr("%g\n", _y);pr("%.6e",fabs(_y-cos(_x)));}return 0;}python代码'''Author: cscDate: 2021-04-29 23:00:57LastEditTime: 2021-04-30 09:58:07LastEditors: Please set LastEditorsDescription: In User Settings EditFilePath: \code_py\newton_.py'''import numpy as npdef difference_quotient(x, y):n = len(x)a = np.zeros([n, n], dtype=float)for i in range(n):a[i][0] = y[i]for j in range(1, n):for i in range(j, n):a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])return adef newton(x, y, _x):a = difference_quotient(x, y)n = len(x)s = a[n-1][n-1]j = n-2while j >= 0:s = np.polyadd(np.polymul(s, np.poly1d([x[j]], True)), np.poly1d([a[j][j]]))j -= 1for i in range(n):print('%g' % s[n-1-i])for i in range(n):for j in range(n):print('%g' % a[i][j], end=' ')_y = np.polyval(s, _x)print('%g' % _y)# re_errreal_y = np.cos(_x)err = abs(_y-real_y)print('%.6e' % err)def main():_x = float(input())x = list(map(float, input().split()))y = np.cos(x)newton(x, y, _x)if __name__ == '__main__':main()到此这篇关于详解Python⽜顿插值法的⽂章就介绍到这了,更多相关Python⽜顿插值法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解摘要：I.引言- 介绍牛顿插值法的概念- 简要说明牛顿插值法与拉格朗日插值法的区别II.牛顿插值法的基本原理- 利用差商构造插值多项式- 求解插值多项式的系数III.牛顿插值法例题解析- 例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式- 例题2：利用牛顿插值法求解四次插值多项式- 例题3：利用牛顿插值法求解五次插值多项式IV.牛顿插值法的应用领域- 数值分析- 数据插值- 机器学习V.总结- 回顾牛顿插值法的优点与不足- 展望牛顿插值法在未来的发展正文：牛顿插值法是一种常用的插值方法，它在数值分析、数据插值和机器学习等领域有着广泛的应用。

本文将首先介绍牛顿插值法的概念，然后阐述其基本原理，接着通过例题解析来帮助读者更好地理解牛顿插值法的求解过程。

最后，我们将总结牛顿插值法的优点与不足，并展望其在未来的发展。

牛顿插值法是一种利用差商构造插值多项式的方法。

与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法具有更高的计算效率，尤其在插值节点较多时，其优势更加明显。

牛顿插值法的求解过程主要包括两个步骤：首先，根据给定的插值节点，计算差商；然后，利用差商构造插值多项式，并求解插值多项式的系数。

在实际应用中，牛顿插值法可以用于求解各种次数的插值多项式。

以下我们将通过三个例题来解析牛顿插值法的求解过程。

例题1：利用牛顿插值法求解三次插值多项式。

给定插值节点：x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3。

首先，计算差商：Δx = x2 - x1 = 2 - 1 = 1Δy = y2 - y1 = -1 - (-2) = 1Δx2 = x3 - x2 = 3 - 2 = 1Δy2 = y3 - y2 = 2 - (-1) = 3然后，利用差商构造插值多项式：y = y1 + Δy * (x - x1)= -2 + 1 * (x - 1)= x - 3最后，求解插值多项式的系数：a0 = y1 = -2a1 = Δy = 1a2 = Δx * Δy = 1 * 1 = 1a3 = Δx2 * Δy2 = 1 * 3 = 3因此，三次插值多项式为：y = -2 + 1 * (x - 1) + 1 * (x - 1)2 + 3 * (x - 1)3例题2和例题3的求解过程与例题1类似，这里不再赘述。

牛顿插值法

牛顿插值法一、实验目的及要求1、掌握牛顿插值法的思想和解题方法；2、编程实现牛顿插值公式求函数值；3、会进行误差分析。

二、实验原理牛顿差商形式的多项式：+--+-+=))(](,,[)](,[)()(102100100x x x x x x x f x x x x f x f x P)()](,,,[1010---+n n x x x x x x x f牛顿插值多项式的余项：)(],,,[)(10x x x x f x R n n n +=ω三、研究、解答以下问题问题：1、已知27)4(=-f ，1)0(=f ，2)1(=f ，17)2(=f 作三次牛顿插值多项式，计算)345.2(-f 的近似值，并估计其误差。

2、给出节点03.37)15.3(=-f ，24.7)00.1(=-f ，05.1)01.0(=f ，03.2)02.1(=f ，06.17)03.2(=f ，05.23)25.3(=f ，分别构造一次、二次和四次牛顿插值多项式计算)09.1(f 的近似值。

3、求函数5/7)(x e x f --=在]6,2[上的五次牛顿插值多项式，计算)156.3(f ，并估计误差。

实验答案：1．程序：a.function [A,C,L]=newtoncz(X,Y)n=length(X);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); endendC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endL=poly2sym(C);b.X=[-4 0 1 2]Y=[27 1 2 17][A,C,L]=newtoncz(X,Y)M=polyval(C,-2.345)结果：X =-4 0 1 2Y =27 1 2 17A =27.0000 0 0 01.0000 -6.5000 0 02.0000 1.0000 1.5000 017.0000 15.0000 7.0000 0.9167C =0.9167 4.2500 -4.1667 1.0000L =11/12*x^3+17/4*x^2-25/6*x+1M =22.3211误差：function [R]=wucha(M,x,X)n=length(X);r=1;q=1;for i=1:n;r=i*r;q=(x-X(i))*q;endR=M*abs(q)/rb.syms Mx=-2.345X=[-4,0,1,2][R]=wucha(M,x,X)结果：x = -2.3450X =-4 0 1 2R =1323077530165133/562949953421312*MR =1323077530165133/562949953421312*M2．程序：a.function [A,C,L]=newtoncz(X,Y)n=length(X);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endendC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endL=poly2sym(C);b. 一次牛顿插值多项式X=[1.02 2.03]Y=[2.03 17.06][A,C,L]=newtoncz(X,Y)M=polyval(C,1.09)结果：X =1.02002.0300Y =2.0300 17.0600A =2.0300 017.0600 14.8812C =14.8812 -13.1488L =1503/101*x-7402123036060447/562949953421312M = 3.0717c. 二次牛顿插值多项式X=[0.01 1.02 2.03]Y=[1.05 2.03 17.06][A,C,L]=newtoncz(X,Y)M=polyval(C,1.09)结果：X =0.0100 1.0200 2.0300Y =1.05002.0300 17.0600A =1.0500 0 02.0300 0.9703 017.0600 14.8812 6.8866C =6.8866 -6.1229 1.1105L =70250/10201*x^2-215429692038271/35184372088832*x+2500714087374863/2251799813685 248M =2.6185d. 四次牛顿插值多项式X=[-1.00 0.01 1.02 2.03 3.25]Y=[7.24 1.05 2.03 17.06 23.05][A,C,L]=newtoncz(X,Y)M=polyval(C,1.09)结果：X = -1.0000 0.0100 1.0200 2.0300 3.2500Y =7.2400 1.0500 2.0300 17.0600 23.0500A =7.2400 0 0 0 01.0500 -6.1287 0 0 02.0300 0.97033.5144 0 017.0600 14.8812 6.8866 1.1129 023.0500 4.9098 -4.4715 -3.5056 -1.0867C =-1.0867 3.3516 4.5230 -6.0453 1.1100L =-611762439748959/562949953421312*x^4+1886762043973075/562949953421312*x^3+50924 65223944159/1125899906842624*x^2-425397102392759/70368744177664*x+1249745430756 363/1125899906842624M = 2.70093．程序：a.function [A,C,L]=newtoncz(X,Y)n=length(X);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';for j=2:nfor i=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endendC=A(n,n);for k=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k)));d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endL=poly2sym(C);b.X=2:0.8:6Y=-7*exp(-X/5)[A,C,L]=newtoncz(X,Y)M=polyval(C,3.156)结果：X = 2.0000 2.8000 3.6000 4.4000 5.2000 6.0000Y =-4.6922 -3.9985 -3.4073 -2.9035 -2.4742 -2.1084A =-4.6922 0 0 0 0 0-3.9985 0.8672 0 0 0 0-3.4073 0.7390 -0.0801 0 0 0-2.9035 0.6297 -0.0683 0.0049 0 0-2.4742 0.5366 -0.0582 0.0042 -0.0002 0-2.1084 0.4573 -0.0496 0.0036 -0.0002 0.000C =0.0000 -0.0004 0.0089 -0.1389 1.3985 -6.9991L =9721799720875/1152921504606846976*x^5-3503994098647815/9223372036854775808*x^4+1607 42008798419/18014398509481984*x^3-1251152213853501/9007199254740992*x^2+62981319043 28647/4503599627370496*x-3940156929554013/562949953421312M = -3.7237误差：function [R]=wucha(M,x,X)n=length(X);r=1;q=1;for i=1:n;r=i*r;q=(x-X(i))*q;endR=M*abs(q)/rb.syms Mx=3.156X=2:0.8:6[R]=wucha(M,x,X)结果：x = 3.1560X = 2.0000 2.8000 3.6000 4.4000 5.2000 6.0000R = 5950883395542623/3242591731706757120*M。

牛顿插值法

原因：高次插值会发生Runge现象。逼近效果并不算太好！
分段线性插值
满足条件 S1xiyi,i0,1 , ,n具有分划
的分段一次式 S 1 x 在每个子段 xi, xi1上都
具有如下表达式：
S 1x0 x h ix i y i1 x h ix i y i 1 ,x ixx i 1
并在每个 xi, xi1子段上构造插值多项式，然后把它
们装配在一起，作为整个区间 a , b 上的插值函数，
即称为分段多项式。如果函数 S k x 在分划的每
个子段上都是 k 次式，则称为具有分划的分段 k 次式。
分段插值
1.分段线性插值； 2.分段抛物插值； 3.分段低次多项式插值；
02（(1/12)）
1 6
例题分析（续2）
f(x)N2(x)f(x0)f[x0,x1](xx0)
f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)
21(x1)1(x1)(x1)
2
6
练习：
若上例中增加两点f(-2)=2, f(3)=2，加上原来三点f(-1)=2, f(1)=1, f(2)=1，求f(x)的Newdon插值多项式。
所以 S 3 x 0 x h ix i y i 1 x h ix i y i 1 h i0 x h ix i y i' h i1 x h ix i y i' 1
其中 xi xxi1，且有 0xx122x1,1xx22x3
0xxx12,1xx2x1
样条函数的概念
高次插值的龙格现象
对于代数插值来说，插值多项式的次数很高时，逼近效果往往很不理想。例如，考
察函数 fx 1 /1 x 2, 5 x 5 ，设将区间－5，5 分

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...x n](x-x0 )...(x-x n-1)+R n(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质乩定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn (设a< x1 <x2 < xn w b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x)，使得P(xi)=yi,则称P(x)为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序1,-Mt Cll. nilI frT-r-1■■』zJr1程序框图#include<stdio.h> void mai n(){float x[11],y[11][11],xx,temp, newto n;int i,j, n;printf("Newton 插值:\n请输入要运算的值:x=");sca nf("%f", &xx);printf(" 请输入插值的次数(n<11):n=");sca nf("%d",&n);printf("请输入％d组值:\n",n+1);for(i=0;i< n+1;i++){ prin tf("x%d=",i);sca nf("%f", &x[i]);prin tf("y%d=",i);sca nf("%f", &y[0][i]);XO=OMHUOW ①匚LHdlu9a巨A-」WL-qx-mxgD-mL'M-nKL'MHmuM①(LAW7 (++rL+uvrHD 」04 (+土=+u v ~ud 」04a -=x① s a)O O H(匚L o_(x )l l o)u ①-H u((A)£6U2H H(X )£6U①一)七】siuAs(oxsx)uoweN H 4 u o l o u a性胆 qewlAIw迴B犀<eo w① u-xx-=u\J6&Ha寸& )M灭<撫旨e ^=)匕 £」d宀CL l u ①&=二A +uo g ① u H u og ① u二 L.'vxxhdlu 晋 dlu2 〉(+土=+u v ~U_)」O 4disp('x 和y 的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); % 将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x) 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(X)的近似值。

牛顿(Newton)插值法

f ( x 2 ) f ( x1 ) x 2 x1
C2 =

f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
x2 x0
差商的概念
差商的定义
f ( xi ) f ( x j ) xi x
j
定义1：设有函数f (x)以及自变量的一系列互不相等的x0， x1，…，xn （即在I ≠ j时，xi ≠ xj）的值f(xi),称
f [ x 0 , x 1 ,... x n ] x0 xn
xi xk
其中(i ≠ k)
f [ x 0 , x 1 ,... x n 1 ] f [ x 1 , x 2 ,... x n ]
为f (x)在点x0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1，…xn处的n阶差商。
差商形式的插值公式
求作次数≤n多项式pn(x),使满足条件， Pn(xi) = yi,i = 0,1,… 利用差商其解亦可表达为如下形式： Pn(x) = f(x0) + f(x0，x1)(x – x0)+ …+ f(x0，x1，…xn) (x –x0)(x –x1)…(x-xn-1) 称这种差商形式的插值公式为牛顿插值公式。
Newton插值C 的求法
i
Nn(x) = c0 + c1(x – x0) + c2(x – x0) (x – x1) + …..+ cn(x – x0) (x – x1) …. (x-xn)
令x = x0得：Nn(x0) = c0 = y0 = f(x0) x = x1得：Nn(x1) = c0 + c1(x1 –x0) = y1 = f(x1) 由此可解出：c0，c1；ci 依次类推。
线性插值公式可以写成如下形式： P1(x) = p0(x) + c1(x – x0) 其中p0(x) = f(x0)， f ( x1 ) f ( x 0 ) 其修正项的系数 c 1

Ch2(2)牛顿插值法

于是
f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192,
17
截断误差
R4 ( x ) f [ x0 , , x5 ] 5 (0.596) 3.63 10 9.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xk )的线性组合表示, 且
6
f [ x0 Hale Waihona Puke x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
共n+1个多项式的线性组合那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的相等证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk x0 x1 x2 x3 x4
f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]

牛顿插值

f [ x 0 , x 1 , , x k ]
k 1 i 1
习题：设f(x)是n次多项式且具有n个互异实根, x12,,…,, xn 证明f 1,[…,, xk+1] =0 k 2 , x k 1 ] f [ x 0 , x 1 x x k 2 , x k ] [x f x 0 x 1 , , x (k=1,…n-1) 证明：因为x1, …, xn是根，则 f(xi)=0 由性质1
N n (x2 ) y2 a2 ( y2 y0
x2 x0
由 N n ( x 3 ) y 3 a 3 , ，再由 N n ( x n ) y n a n ,
为了将这些系数能表示出来，我们先来介绍差商的概念和性质
一、差商
1 . 定义：设有函数称 f ( x j ) f ( xi ) x j xi f ( x ), x 0 , x 1 , , x n 为一系列互不相等的点 , 称 y i f ( x i ) 为零阶差商 , 为 f ( x ) 关于点 x i , x j 的一阶差商 ( 也称均差 ), 记为 f [ x i , x j ].
记 N n ( x ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] ( x x 0 )( x x 1 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ] ( x x 0 )( x x 1 ) ( x x n 1 ) f [ x 0 , x 1 , , x n ]
显然，Nn(x)是至多n次的多项式。而由：
R n ( x i ) n 1 ( x i ) f [ x i , x 0 , x 1 , , x n ] 0 ( i 0 ,1, n )

牛顿插值法原理及应用

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

53第三节-Newton插值多项式

差商的计算结果要做出一个数据表格
差商表
xk 函数值一阶差商二阶差商
三阶差商 ...
x0 f (x0)
f [ x0 , x1]
x1 f (x1)
f [x0, x1, x2]
f [ x1 , x2]
f [x0, x1, x2 , x3] ...
x2 f (x2)
f [x1, x2, x3]
f [ x2 , x3]
一、差商的概念
1. 差商的定义
定义1
称 f [ x0 , xk ]
f ( x0 ) f ( xk ) 为函数 f (x) x0 xk
关于点x0, xk的一阶差商. 一阶差商的差商(均差)
f [ x0 , x1 , xk ]
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1 ] xk x1
可表示为
P2( x) P1( x) a2( x x0 )( x x1 ).
显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令
P2(x2)=f(x2)，则得
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 )
a2

P2( x2 ) P1( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

x2 x0
x1 x0
x2 x1
系数a2是函数f(x)的“差商的差商”.
一般情况已知f(x)在插值点上xi(i=0,1, …,n)的值为f(xi)(i=0,1, …,n)，要求n次插值多项式满足条件
Pn( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n,
则Pn(x)可表示为
第三节牛顿(Newton)插值多项式

拉格朗日和牛顿插值法的C 方法实现(数值分析上机实验)

数值分析上机实验实验一一．上机题目：已知： 4 =2,9 =3,16 =4分别用二次Lagrange和Newton插值法求7 的近似值。

二．解题方法：1．lagrange方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4代入方程:(x1-X)(x2-X)/(x1-x0)(x2-x0)*y0+(x0-X)(x2-X)/(x0-x1)(x2-x1)*y1+(x1-X)(x0-X)/(x1-x2)(x0-x2)*y2令X=7代入方程得 Y=2.628572．Newton方法：设x0=4，y0=2，x1=9，y1=3，x2=16，y2=4建表4 29 3 0.216 4 0.14286 -0.00476f(x)=f(x0)+f[x0,x1](X-x0)+f[x0,x1,x2](X-x0)(X-x1)(X-x2)令X=7代入方程得Y=2.62857三．算法公式步骤：grange方法：通过公式写出算法并得出最后的值Y：for(b=0;b<m;b++)//完成公式f(Xn)外层嵌套循环f[b]=i//{double l=1;//保证每次跳出内层循环将L置1 不会将第一项的值带入下一项//for(a=0;a<m;a++)//完成公式f(Xn)内层嵌套循环f[a]=j//{if(a!=b)//完成定义i=1,i!=j//l=(f[a]-F)/(f[a]-f[b])*l;//完成(j-m)/(j-i)//la=l*g[b];//完成公式的F(X0)=f(X0)*Y0并累乘输出结果// }Y=la+Y;//累加x0y0+x1y1+...得最后结果//}2．Newton方法：先建表，通过二维数组的思想建表for(l=2;l<m+2;l++)//外层循环控制y阶数//{for(k=1;k<m+1;k++)//内层循环控制x个数//{a[k][l]=(a[k][l-1]-a[k-1][l-1])/(a[k][0]-a[k-l+1][0]);//完成f(x0,x1,...,xn)并存表//}}填表。

牛顿插值法原理及应用汇总

牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。

为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。

插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。

若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。

定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。

牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。