牛顿插值法例题求解

牛顿插值法例题求解

牛顿插值法是一种用于多项式插值的方法。它利用给定数据点的函数值和差商的计算来构造一个多项式函数，从而在给定数据点之间进行插值。以下是一个求解多项式插值的牛顿插值法的例题：

假设有以下给定数据点与函数值：

x: 0 1 2 4 y: 1 4 11 36

现在要使用牛顿插值法，通过这些数据点拟合出一个多项式函数来进行插值。

解题步骤如下：

1.计算差商表：

x0 f[x0] 0 1 f[x0,x1] 1 4 f[x0,x1,x2] 2 11 f[x0,x1,x2,x3] 4 36

差商的计算可以使用以下公式：

f[xi,xi+1,...,xi+k] = (f[xi+1,xi+2,...,xi+k] - f[xi,xi+1,...,xi+k-1]) / (xi+k - xi)

2.使用差商表计算插值多项式：

插值多项式P(x) = f[x0] + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) + f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)

P(x)的展开式为：P(x) = 1 + 3(x-0) + 2(x-0)(x-1) + 2(x-0)(x-1)(x-2)

3.使用得到的插值多项式进行插值计算。

例如，要计算在x=3 的位置的插值结果，将x 替换为3，计算P(3)：

P(3) = 1 + 3(3-0) + 2(3-0)(3-1) + 2(3-0)(3-1)(3-2) = 1 + 9 + 12 + 6 = 28

因此，使用牛顿插值法，给定数据点(0,1), (1,4), (2,11), (4,36)，在 x=3 的位置的插值结果为 28。

注意，此例仅为示例，实际问题中，使用牛顿插值法时可能需要更多的数据点和计算过程。在实际应用中，还需要考虑插值误差、阶数选择以及数据点的分布等因素。