2第二章 流体静力学

第二章 流体静力学
2－1 设水管上安装一复式水银测压计，如图所示。

试问测压管中1－2－3－4水平液面上的压强p 1、p 2、p 3、p 4中哪个最大？哪个最小？哪些相等？
解：p 1<p 2=p 3<p 4
2－2 设有一盛（静）水的水平底面的密闭容器，如图所示。

已知容器内自由表面上的相对压强p 0 =9.8×103Pa ，容器内水深h =2m ，点A 距自由表面深度h 1=1m 。

如果以容器底为水平基准面，试求液体中点A 的位置水头和压强水头以及测压管水头。

解：12(21)m 1m H O A Z h h =-=-=
330123
9.8109.8101m 2m H O 9.810A p gh p g g ρρρ+⨯+⨯⨯===⨯ 2(12)m 3m H O A pA A p
H Z g
ρ=+=+=
2－3 设有一盛水的密闭容器，如图所示。

已知容器内点A 的相对压强为4.9×104Pa 。

如在该点左侧器壁上安装一玻璃测压管，已知水的密度ρ=1000kg/m 3，试问需要多长的玻璃测压管？如在该点右侧器壁上安装一水银压差计，已知水银的密度H g ρ=13.6×103kg/m 3，h 1 =0.2m ，试问水银柱高度差h 2是多大值？
解：（1） A gh p ρ=
4
3
4.910m 5m 9.810A p h g ρ⨯===⨯
（2） Hg 2A 1gh p gh ρρ=+
43123
Hg 4.9109.8100.2
m 0.38m 13.6109.8
A p gh h g ρρ+⨯+⨯⨯===⨯⨯
2－4 设有一盛水的密闭容器，连接一复式水银测压计，如图所示。

已知各液面的高程
分别为1234523m 1.2m 2.5m 14m 30m ...
，，，，，∇=∇=∇=∇=∇=水的密度ρ==1000 kg/m 3，ρHg =13.6×103kg/m 3。

试求密闭容器内水面上压强p 0的相对压强值。

解：0Hg 1232Hg 3454()()()()p g g g g ρρρρ=∇-∇-∇-∇+∇-∇-∇-∇
33
(13.6109.8(2.3 1.2)9.810(2.5 1.2)⎡=⨯⨯⨯--⨯⨯-+⎣
33313.6109.8(2.5 1.4)9.810(3.0 1.4)Pa 264.8010Pa
2－5 设有一盛空气的密闭容器，在其两侧各接一测压装置，如图所示。

已知h 1 =0.3m 。

试求容器内空气的绝对压强值和相对压强值，以及水银真空计左右两肢水银液面的高差h 2。

（空气重量略去不计）。

解：（1）4340abs a 1(9.8109.8100.3)Pa 9.50610Pa p p h g ρ=-=⨯-⨯⨯=⨯
3
019.8100.3Pa 2940Pa p h g ρ=-=-⨯⨯=-
（2）3
023
Hg 2940m 2210m 22mm 13.6109.8
p h g ρ--===⨯=⨯⨯
2－6 设有两盛水的密闭容器，其间连以空气压差计，如图a 所示。

已知点A 、点B 位于同一水平面，压差计左右两肢水面铅垂高差为h ，空气重量可略去不计，试以式表示点A 、点B 两点的压强差值。

若为了提高精度，将上述压差计倾斜放置某一角度θ=30°，如图b 所示。

试以式表示压差计左右两肢水面距离l 。

解：（1）A B p gh p ρ-=，A B p p gh ρ-=
（2）l h =
θsin ，h h
l 230sin ==
2－7 设有一被水充满的容器，其中点A 的压强由水银测压计读数h 来确定，如图所示。

若在工作中因不慎或换一相同的测压计，而使测压计向下移动一距离Δz ，如图中虚线所示。

试问测压计读数是否有变化？若有变化，Δh 又为多大？
解：由压强关系得：
Hg 1()A h h h p g g ρρ-+= (1)
Hg 321()()A h h z h h h h p g g ρρ+∆-∆-+++= (2) 由水银容积前后相等关系得：
3222h h h h h +∆+=+ (3) 联立解上述三式可得
333Hg 2g 29.810(2g g)(213.6109.89.810)13.1
z z z
h ρρρ∆⨯⨯⨯∆∆∆===
-⨯⨯⨯-⨯ ，测压计读数有变化。

2－8 杯式微压计，上部盛油，下部盛水，圆杯直径D ＝40mm ，圆管直径d ＝4mm ，初始平衡位置读数h ＝0。

当p 1－p 2＝10mmH 2O 时，在圆管中读得的h （如图所示）为多大？油的密度0ρ＝918kg/m 3，水的密度=ρ1000kg/m 3。

解：当圆管中水面高差为h 时，圆杯中油面高差为2Δh ，所以
22ππ244h D h d ∆⨯=⨯
22
22
40.0052240hd h h h D ⨯∆===⨯
10022p gh gh g h p ρρρ+--∆=
1200(2)(0.99)p p gh g h h g g h ρρρρ-=--∆=-
3
3
0.019.810m 0.11m 9.8100.999189.8
h 。

⨯⨯==⨯-⨯⨯ 2－9 设有一盛有油和水的圆形澄清桶，如图所示。

油和水之间的分界面借玻璃管A 来确定，油的上表面借玻璃管B 来确定。

若已知圆桶直径D ＝0.4m ， h 1 ＝0.5m ，h 2 ＝1.6m ，油的密度0ρ =840kg/m 3，水的密度ρ=1000kg/m 3。

试求桶内的水和油各为多少？若已知h 1＝0.2m ，h 2＝1.2m ，h 3＝1.4m ，试求油的密度0ρ。

解：（1） 210310g()g()g h h h h h ρρρ-=-=
3210g()9.810(1.60.5)m 1.31m g 8409.8
h h h ρρ-⨯⨯-===⨯
桶内水的体积 22331
1ππ
0.40.5m 0.063m 44V D h 桶内油的体积 22332
ππ0.4 1.31m 0.165m 44V D h （2）21031g()
g ()
h h h h ρρ-=-
3
3321031()(1.20.2)10kg/m 833kg/m () 1.40.2
h h h h ρρ--⨯===--
2－10 设有两盛水的密闭容器，其间连以水银压差计，如图所示。

已知容器内点A 、点B 位于同一水平面，压差计左右两肢水银液面高差h ＝0.2m ，试求点A 、B 两点的压强值。

若点A 、点B 不位于同一水平面，两点相差Δz ＝0.5m ，如图中虚线所示，试求点A 、点B 两点的压强差值。

解：（1）Hg g A B p gh p h ρρ+=+
333Hg (g g)(13.6109.89.810)0.2Pa 24.69610Pa A B p p h ρρ-=-=⨯⨯-⨯⨯=⨯
（2）Hg g g A B p gh p z h ρρρ+=+∆+
Hg g (g g)A B p p z h ρρρ-=∆+-
3333
9.8100.5(13.6109.89.810)0.2Pa 29.59610Pa
⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=⨯⎣⎦
2－11 一直立煤气管，如图所示。

在底部测压管中测得水柱差h 1＝100mm ，在H ＝20m 高处的测压管中测得水柱差h 2＝115mm ，管外空气密度a ρ＝1.29kg/m 3，水的密度ρ =1000kg/m 3，求管中静止煤气的密度c ρ。

（考虑大气和煤气中高差20 m 两点间的静压强差值，测压管中的则忽略不计。

）
解：考虑煤气、空气中的压强，都沿高程的变化，即 12c p p H ρ=+g ，43a p p gH ρ=+ 由测压管中读数可得
141p p gh ρ=+，232p p gh ρ=+ 所以可得
4132431212()()c a c p gh p gh gH
p p g h h gH g h h gH gH
ρρρρρρρ+=++-+-+-=
=
333
9.810(0.100.115)1.29kg/m 0.54kg/m 9.820⎡⎤⨯⨯-=+=⎢⎥⨯⎣⎦
2－12 设有一盛水密闭容器的表面压强为p 0。

试求该容器以等速铅垂向上运动时，液体内的压强分布规律。

解：容器以等速铅垂向上运动时，液体内的压强分布规律仍符合水静力学基本方程， 即：0p p gh ρ=+
2－13 为了测定运动物体的加速度，在运动物体上装一直径为d 的U 形管，如图所示。

现测得管中液面差h ＝0.05m ，两管的水平距离L ＝0.3m ，求加速度a 。

解：d d d 0x y z f x f y f z ++= 因为 x f a =-，0y f =，z f g =-，所以
d d 0a x g z ，
d d z a x g ，d d z h x L
=- 220.05
9.8m/s 1.63m/s 0.3
h a g L =
=⨯= 2－14 一洒水车（如图所示）以0.98m/s 2的等加速度向前行驶。

设以水面中心点为原点，
建立O xz 坐标系，试求自由表面与水平面的夹角θ。

又自由表面压强p 0＝98kPa ，车壁某点A 的坐标为x ＝－1.5m ，z ＝－1.0m ，试求A 点的绝对压强。

解：d p =ρ（d d d x y z f x f y f z ++） 因为 x f a =-，0y f =，z f g =-，所以 d p =ρ(d d a x g z --) 积分上式并根据边界条件可得
0()p p ax gz ρ=+--
自由表面方程为 0ax gz += 0.98arctan
arctan 5.719.8
a g θ︒=== （2）[98 1.0(0.98)( 1.5) 1.09.8( 1.0)]kPa A p =+⨯-⨯--⨯⨯-109.27kPa =
2－15 设有一敞口容器（如图所示）以3.0 m/s 2的等加速度沿α =30º的倾斜轨道向上运动，试求容器内自由表面方程及其与水平面所成的角度θ。

解：（1）d d d 0x y z f x f y f z ++= 因为 x f =－cos a α，0y f =，z f =－（g +sin a α）, 所以 (cos )d (sin )d 0a x g a z αα--+= 积分上式可得
(cos )(sin )a x g a z C αα--+=（常数） z =
(cos )sin a x
C g a ＋αα
-+
上式为平行于y 轴的平面方程 ，它与水平面的夹角为θ。

（2）
d cos tan d sin z a x g a αθα-'==+，cos tan sin a g a αθα
=+ 2－16 设有一弯曲河段，如图所示。

已知凸岸曲率半径r ＝135m ，凹岸曲率半径R ＝
150m ，断面平均流速v ＝2.3m/s 。

试求在Oxz 平面内的水面曲线方程和两岸水位差z 。

（注：河弯水流的水力现象比较复杂，为了粗略估算，假定横断面上各点流速皆为断面平均流速，同一横断面上的水流质点之间没有相对运动，即处于相对平衡状态。

）
解： （1）d d d 0x y z f x f y f z ++=
因为 x f =2
v x ，0y f =，z f =－g
所以 2
d d 0v x g z x
-= ，积分上式可得 2v lnx －gz ＝C
积分常数C ，可根据边界条件确定。

当x = r ，z =0，则C =2
ln v r 。

代入上式得水面曲线方程为
22.3lg v x
z g r
=
（2）20 2.3150
2.3lg m 0.057m 9.8135
z =⨯
=。

2－17 设有一圆柱形敞口容器，绕其铅垂中心轴作等角转速旋转，如图所示。

已知直径D =30cm ，高度H =50cm ，水深h =30cm 。

试求当水面恰好达到容器的上边缘时的转速n 。

解：设容器旋转后，铅垂中心处（坐标原点）水深为1h 。

根据旋转前后液体总体积保持不变这一条件，可得
22
11π1π()()424
D D h h H h -⨯=⨯-，所以
()1220.30.5m 0.1m h h H =-=⨯-=
自由表面方程为
22
1(0.50.1)m 0.4m 2R z H h g
ω=
=-=-=，所以
18.67rad/s ω=
=
2πn ω=，606018.67
r/min 178.2r/min 2π2π
n ω⨯===⨯ 2－18 一旋转圆柱形容器，直径D =1.2m ，完全充满水，顶盖上在r 0 =0.43m 处开一小
孔，旋转稳定后敞口测压管中的水位h =0.5m ，如图所示。

试求此容器顶盖所受静水总压力为零时，容器绕其铅垂中心轴的旋转转速n 。

解：设顶盖中心点所受的压强为0p ，根据相对平衡液体中压强的分布规律，可得
22
002r p g
gh g
ωρρ+=
22
00()2r p g h g
ωρ=-
设顶盖上任一点所受的压强为p ，则
22
22
22
00(
)222r r r p p g
g h g
g
g ωωωρρ=+=+-
当顶盖所受静水总压力P 为零时，即
22
22
/2
/2
00
2πd 2π(
)d 22D D r r P p r r g h r r g
g
ωωρ==+-
⎰
⎰
2222
40112π[()()()]0222242
r D
D
g h g g ωωρ=-+= 所以 22
22
00216r D h g
g
ωω-
+
=
44.72rad/s ω=
==
606044.72r/min 427r/min 2π2π
n ω⨯===
2－19 设有一圆柱形容器，如图所示。

已知直径D =600mm ，高度H =500mm ，盛水至
h =400mm ，剩余部分盛满密度ρ0 =800kg/m 3的油。

容器顶盖中心有一小孔与大气相通。

试求当油面开始接触到容器底板时，此容器绕其铅垂中心轴旋转的转速n ，和此时顶板、底板上的最大、最小压强值。

解：（1）油水分界面为等压面。

设容器旋转后，容器底板中心处压强为ρ0gH ，r=r 1处的压强为22
102r g
g
ωρ。

因此可得
22
11
22gH
r H g
r ωω=
=
， 因旋转后，油所占据的旋转抛物体体积与旋转前所占据的圆柱体体积相等，所以
2
21ππ()()22H D
r H h =- 10.50.4
0.6m 0.19m 220.5H h r D H --===⨯
1229.80.5rad/s 16.48rad/s 0.19gH r ω⨯⨯=
== 16.486060r/min 157.37r/min 2π2π
n ω==⨯=
（2）顶板中心点压强 p 1=0
底板中心点压强 2108009.80.5Pa 3920Pa p p gH ρ=+=⨯⨯= 底板边缘点压强
22
22
3
32(/2)16.480.3(39209.810)Pa 16142Pa 229.8
D p p g g ωρ⨯=+=+⨯⨯=⨯
顶板边缘点压强 3
43(161429.8100.5)Pa 11242Pa p p gH ρ=-=-⨯⨯=
2－20 设在水渠中装置一水平底边的矩形铅垂闸门，如图所示。

已知闸门宽度b =5m ，闸门高度H =2m 。

试求闸门前水深H 1 =3m ，闸门后水深H 2 =2.5m 时，作用在闸门上的静水总压力F p （大小、方向、作用点）。

解： 3
3
p 12()9.810(3 2.5)25N 4910N F Ab g H H Hb ρ==-=⨯⨯-⨯⨯=⨯
p F 的方向：垂直于闸门，并指向右。

p F 的作用点：
11
2m 1m 22
H =⨯=，即离渠底1m ，且在闸门对称轴线上。

2－21 设在某一小桥上，装置一水平底边的矩形铅垂闸门，如图所示。

已知闸门宽度b ＝3m ，闸门与其导轨的摩擦系数f =0.30，闸门自重G =2.45×103N （不考虑浮力），闸门前水深H =1.5m 。

试求当闸门后水深h ≈ 0时，开启闸门所需的提升力F L ；如果考虑到闸门下缘（压紧梁）与门槛的紧密接触情况，若其接触面积为70%，压紧梁厚度δ＝0.1m ，试求开启
闸门所需增加的提升力ΔF L 。

解：（1）L F =P f F +G
2323p 11
9.810 1.53N 33.0810N 22
F gH b ρ=
=⨯⨯⨯⨯=⨯ L F =（0.3×33.08×103＋2.45×103）N ＝12.37×103 N
（2）43
a 0.79.8100.130.7N 20.610N L F p
b δ∆=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯>L F
2－22 设一铅垂平板安全闸门，如图所示。

已知闸门宽b = 0.6m ，高h 1 =1m ，支撑铰链C 装置在距底h 2 =0.4m 处，闸门可绕C 点转动。

试求闸门自动打开所需水深h 。

解：将闸门对称轴线上的梯形静水压强分布图，分为矩形和三角形两部分。

对支点C 写力矩平衡式，可得
111121121
()(
)()223h h g h h h b h g h h b h ρρ-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯- 111
(1)10.6(0.4)110.6(0.4)223
g h g ρρ-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-
h =1.333m
当水深h >1.333m 时，闸门将自动打开。

2－23 设有一可转动的闸门用以调节水槽中的水位，如图所示。

当槽中水位为H 时，此闸门应使壁上一尺寸为a ×b 的矩形孔开启。

试求铰链轴O 的位置y c （铰链摩擦力等不计）。

解：将闸门对称轴线上的梯形静水压强分布图，分为矩形和三角形两部分。

梯形面积的形心位置根据分力力矩的总和等于合力力矩的力矩平衡方程式求出。

对闸门上缘而言，可得
1
21()22
32
c a gH a b ga a b a gH a b ga a b y ρρρρ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯⨯
(32)3(2)
c a H a y H a +=+
铰链轴O 的位置设在闸门上缘下y c 处，为极限平衡状态；若再稍深一些，当槽中水位为H 时，闸门将自动打开。

2－24 设有一水平底边矩形铅垂金属闸门，它由三根水平横梁和平板所组成，如图所示。

已知闸门宽度b =3m ，闸门前水深H =2m 。

试根据横梁负荷相等的条件布置闸门三根横梁的位置（y 1、y 2、y 3）。

解：用图解法求解，设三根横梁的位置离自由水面的距离分别为y 1、y 2、y 3。

221111
g g 232
h H ρρ=⨯ 1 1.15m 33
h ===，1122 1.15m 0.77m 33y h ==⨯=
222121
g g 232
h H ρρ=⨯，2222m 1.63m 33h H ==⨯= 12212112(2)1
()3()
h h y h h h h h +=+-⨯+
1(1.152 1.63)1.15(1.63 1.15)m 1.40m 3(1.15 1.63)⎡
⎤
+⨯=+-⨯
=⎢⎥+⎣
⎦ 23222(2)1
()3()
h H y h H h h H +=+-⨯+
1(1.6322)1.63(2 1.63)m 1.82m 3
(1.632)⎡⎤
+⨯=+-⨯
=⎢⎥+⎣
⎦
2－25 设有一水压机，如图所示。

已知杠杆的长臂a =1m ，短臂b =0.1m ，大圆活塞的直径D =0.25m ，小圆活塞的直径d =0.025m ，效率系数η =0.85。

如一人加于杠杆一端上的力F =196N ，试求此水压机所能产生的压力F P2值（不计活塞的高差及其重量）。

解：根据力矩方程式，可得
P1a F F b
=⨯
根据帕斯卡定律，可得 2
P1P22214ππ4
F F a F A D A d b ⨯⨯=
⨯=⨯ 考虑效率系数η，则
22
P222
10.25=0.85196N 166600N 166.6kN 0.10.025a D F F b d η=⨯⨯⨯==
2－26 设有一容器盛有两种液体（油和水），如图所示。

已知h 1 =0.6m ，h 2 =1.0m ，α＝
60°，油的密度0ρ＝800kg/m 3，试绘出容器壁面侧影AB 上的静压强分布图，并求出作用在侧壁AB 单位宽度（b ＝1m ）上的静止液体的总压力。

解：容器壁面侧影AB 上的静水压强分布图，如图中虚线所示。

31P101110.6
8009.80.61N 1.6310N 2sin 2sin 60
h F gh b ρα=
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ []2P2010121
()2sin h F gh gh gh b ρρρα=++⨯⨯
3
18009.80.6(8009.80.69.8101)2⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⎣
⎦11sin 60⨯⨯N 311.0910N =⨯
作用在侧壁AB 单位宽度上的静水总压P 为
F P =F P1+F P2=(1.63×103＋11.09×103) N =12.72×103N
2－27 设涵洞入口处装置一圆形盖门（上缘A 点有一铰链，下缘D 点有一铁索），如图所示。

已知盖门直径d =1m ，与水平面有一夹角α ＝45°，盖门中心位置到水面的铅垂距离h c =2m ，试求开启盖门所需施于铁索上的拉力F L （铰链处摩擦力和盖门、铁索等自重略去不计）。

解：作用在盖门上的静水总压力F p 为
323P π
9.81021N 15.3910N 4
c F gh A ρ==⨯⨯⨯⨯=⨯
由式（2－27）及查表2－1得知
422ππsin 1sin 45
/()m 0.022m
64sin 416162
C C
D C C c I h d d CD y y d y A h αα⨯=-==⨯===⨯
所以 11
(10.022)m 0.522m 22
AD AC CD d CD =+=+=⨯+= 根据力矩方程式可得
33P 15.39100.522
N 11.3610N 1cos 45cos L F AD F AB α
⨯⨯⨯===⨯⨯⨯
所以，当拉力F L 大于11.36×103 N ，盖门即可开启。

2－28 试绘出如图所示的各种曲面上的压力体图的侧影，并标出铅垂总分力是向上还是向下？
解：各种曲面上的压力体图的侧影，如图中虚线部分所示；铅垂总分力的方向，如图中箭头所示。

2－29 设有一弧形闸门，如图所示。

已知闸门宽度b = 4m ，半径r = 2m ，圆心角ϕ= 45°，试求闸前水面与弧形闸门转轴O －O 齐平时，弧形闸门所受的静水总压力。

解：22P 11
(sin 45)22x F gh b g r b ρρ=
=⨯ 3231
9.810(2sin 45)4N 39.210N 2
=⨯⨯⨯⨯=⨯ P z F gV g b 扇形面积（OAB）-三角形面积（OBC）ρρ==⨯⎡⎤⎣⎦
2
11
(cos 45)2
2g r hr b ρϕ=-
3231451
9.810(22sin 452cos 45)4N 22.3410N
257.32
=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⨯闸门所受的静水总压力F p 为
2232323P P P (39.210)(22.3410)N 45.1210N x z F F F =+=⨯+⨯=⨯
静水总压力F P 的方向指向闸门，并通过闸门转轴；作用线与水平方向的夹角α为
P P 22.34
arctan
arctan
29.6839.2
z x
F F α=== 作用点位置：cos 2cos 29.68m 1.74m D x r α==⨯=
sin 2sin 29.68m 0.99m D z r α==⨯=
2－30 设有一充满液体（水）的铅垂圆管段，直径为d ，长度为∆L ，如图b 所示。

若已知压强水头
p
ρg
远较∆L 为大（如几百倍），则这管段所受的静水压强可认为是均匀分布；管壁材料的允许拉应力为σ，试求管壁所需之厚度δ。

解：设想沿管径将管壁切开，分为两半，如图b 所示，作用在半圆管段内曲面上的水平压力F P x 为
P 2x x F pA p d L F ==⨯⨯∆=
2
pd L
F ∆=
式中F 为∆L 管段上的管壁拉力，如图所示。

设F 在管壁厚度δ内是均匀分布的，则
22F pd L pd
L L δσσσ
∆=
==
∆∆ 2－31 一球形容器盛水，容器由两个半球面用螺栓连接而成，如图所示。

已知球径D =4m ，水深H =2m ，试求作用于螺栓上的拉力F L 。

解：作用于螺栓上的拉力F L 等于液体作用于容器上半球的铅垂总压力F Pz 。

23π14()π()4
2232L D D D F g H ρ⎡⎤
=⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦
3233π
41449.8104(2)π()N 328.40110N 4
2232⎡⎤=⨯⨯⨯+-⨯⨯=⨯⎢⎥⎣⎦
2－32 设有一盛水的容器底部有一圆孔口，用一空心金属球体封闭，如图所示。

已知球
体重量G =2.45N ，半径r =4cm ，圆孔直径d =5cm ，水深H =20cm 。

试求提升该球体所需的力F L 。

注：球缺或球冠，即球被一个平面所截而得的部分，其体积221π3()62d V h h ⎡⎤=
+⎢⎥⎣⎦。

解：球体所受从上向下作用的液体压力F P1=ρg V 1。

实在压力体体积V 1为 2
3
114π[()]π23
V r H r h r =⨯---
⨯ 球体所受从下向上作用的液体压力F P2=ρgV 2。

虚构压力体体积V 2为
222
2
322141πππ()ππ(3)42364d d V r H H r r h r h h ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=----⨯-⨯+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
22
321241πππ(3)4364
d d V V V H r h h =-=-+⨯+
222
2
5(44)cm 0.88cm 44
d h r r =--=--=
223
235415π20π4π0.88(30.88)cm 4364V ⎡⎤=⨯-⨯+⨯⨯+⎢⎥⎣⎦
＝133.61cm 3
3133.61
(9.810 2.45)N 3.76N 1000000
L F gV G ρ>+=⨯⨯+=
２－33比重计系由带有刻度的空心圆玻璃管和充以铅丸的玻璃圆球组成，如图所示。

已知管外径d =0.025m ，球外径D =0.03m ，比重计重量G =0.49N 。

如果比重计浸入某液体内的浸没深度h =0.10m ，试求该液体的密度ρ。

解：P ρ==z F gV G
2323353π1π1π(0.0250.1π0.03)m 6.3210m 4646d V h D -=⨯+=⨯⨯+⨯=⨯
3350.49kg/m 791kg/m 9.8 6.3210
G gV ρ-===⨯⨯ 2－34 设有一外径为R 、内径为r 的空心圆球，由密度为ρ1的材料制成。

现要求把球完全淹没在水中，能在任何深度处平衡，试求该球的内、外径之比。

水的密度为ρ、球体体积
3
4π3
V
R 。

解：球所受的浮力为3
P 4π3
z F g
R ρ=。

当G =P z F 时，在水中任何深度处平衡，即333
14
4π()π3
3R r g
R g ，得 31
1ρρ-=R r 2－35 假定大气为静止流体，试在下列三种情况下，按国际标准大气计算海拔3000m
处的大气压强值（绝对压强）。

三种情况：（1）大气密度不变，为常数；（2）大气处于等温状态；（3）大气温度随高度线性变化。

解：重力加速度g ，在海平面处标准参考值为9.80665m/s 2；按国际标准大气计算大气对流层压强、密度分布规律时取g =9.805m/s 2，更接近式（2-41）、式（2-42）；现在习题解中均取g =9.8m/s 2，计算结果相差都不大。

（1）
00
00d ,d d d p Z p Z p
p g z z
g ρρ=-=-⎰⎰，000()p p g z z ρ-=--，所以 5
000() 1.01310 1.2259.8(30000)kP 65.285kPa p p g z z a ρ⎡⎤=--=⨯-⨯⨯-=⎣⎦
（注：大气密度0ρ取1.225kg/m 3） （2）5000()9.83000
exp
1.01310exp kPa 70.98kPa 287288
g z z p p RT --⨯==⨯⨯=⨯
（3）0000()g
R T z z p p T β
β⎡⎤
--=⎢
⎥
⎣⎦
9.8
2870.0065
5
2880.006530001.01310kPa 70.11kPa 288⨯-⨯⎡⎤
=⨯⨯=⎢
⎥⎣⎦。