12.1(2013新人教版)全等三角形的定义与性质资料
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
12.1全等三角形全等三角形的性质(教案)
本节课旨在让学生在掌握全等三角形知识的基础上，全面提升学科核心素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）全等三角形的定义：理解全等三角形的含义，掌握全等三角形的判定条件。
-举例：强调全等三角形是大小和形状完全相同的三角形，要求学生对SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法熟练掌握。
2.教学难点
（1）全等三角形的判定方法的区分与应用：学生容易混淆SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，不知道在具体情况下如何选择。
-举例：通过典型例题和练习，帮助学生区分各种判定方法，并指导他们在实际问题中灵活运用。
（2）全等三角形性质的应用：学生在解决问题时，往往不知道如何运用全等三角形的性质。
-举例：针对这一问题，设计不同类型的题目，指导学生运用全等三角形的观察和想象全等三角形的过程中，可能存在一定的困难。
-举例：利用几何画板、实物模型等教具，帮助学生培养空间想象能力。
（4）团队合作能力的培养：学生在小组讨论和合作探究过程中，可能存在沟通不畅、分工不明确等问题。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法和在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生们对全等三角形的定义和性质的理解程度参差不齐。在讲授过程中，我尽量用简单明了的语言解释全等三角形的判定方法，并通过实例让学生们更好地理解。但我也意识到，对于一些学生来说，这些概念仍然难以消化。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，采用更为直观和生动的方式，帮助他们真正掌握全等三角形的判定方法和性质。
2013年秋新人教版八年级数学第十二章全等三角形教案
课题:12．1全等三角形【教学目标】知识与技能目标:掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的的概念及表示方法。
掌握全等三角形的性质。
体会图形的变换思想，逐步培养动态研究几何意识.初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算.过程与方法目标：围绕全等三角形的对应元素这一中心，。
设计一系列问题,给出三组组合图形,让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角,进面引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题---—-全等三角形的性质，经历理解性质的过程.，体会图形的变换思想,逐步培养学生动态研究几何图形的意识。
情感与态度目标：学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习,提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣.教学重点：全等三角形的性质教学难点：寻找全等三角形中的对应元素教学方法：采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法.学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。
课前准备：全等三角形纸片【教学教程】一、创设情境，引入新课1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。
归纳:能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.学生动手操作⑴在纸板上任意画一个三角形ABC,并剪下，然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角.⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF，使它与△ABC全等？3.板书课题：全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形“全等”用“≌"表示,读着“全等于”如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF二、探究全等三角形中的对应元素1。
问题:你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？2．学生讨论、交流、归纳得出：⑴。
两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合，只有当把相同的角重合到一起（或相同的边重合到一起)时它们才能完全重合。
这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
人教版八年级数学上册 第十二章 全等三角形 知识点归纳
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形知识点归纳12.1全等三角形经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个图形叫做全等形。
经过平移、翻折、旋转，能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
例1、△ABC≌△DEF读作：三角形ABC全等于三角形DEF。
把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
用“≌”表示两个图形全等的时候，必须把对应的顶点写在对应的位置上。
例2、已知△ABC≌△DEF，那么就说明：①点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F②∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F③AB=DE，AC=DF，BC=EF用“全等于”这个词表示两个图形全等的时候，顶点不一定有一一对应关系。
例3、已知△ABC全等于△DEF，那么点A不一定对应D，点A也可能对应点E或者点F 。
全等三角形的性质：①对应边相等②对应角相等③角平分线、中线、高分别对应相等④周长相等⑤面积相等12.2三角形全等的判定全等三角形的判定依据：①三边对应相等的两个三角形全等，简称“边边边”或“SSS ”。
②两边一夹角对应相等的两个三角形全等，简称“边角边”或“SAS ”。
③两角一夹边对应相等的两个三角形全等，简称“角边角”或“ASA ”。
④两角一对边对应相等的两个三角形全等，简称“角角边”或“AAS ”。
⑤一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边直角边”或“HL ”。
温馨提示：“SSA ”和“AAA ”不能证明两个三角形全等。
全等三角形的证明格式：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 的证明格式： HL 的证明格式：在△ABC 与△DEF 中 在Rt △ABC 与Rt △DEF 中∵{ 条件1条件2条件3∵{条件1条件2 ∴△ABC ≌△DEF （条件） ∴△ABC ≌△DEF （HL ）12.3角的平分线的性质如果从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线。
12.1 全等三角形 课件 人教版八年级数学上册(22张PPT)
新课讲授
探究：请同学们把课前准备好的三角尺按在纸片上， 划下图形，照图形裁下来的纸片和三角尺的形状、 大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸片放在一起 能够完全重合吗？
归纳总结
全等形的定义： 能够完全重合的两个图形称为全等形. 全等形的性质： 形状相同，大小相等.
练一练 下面哪些图形是全等形？
看大小、形状 是否完全相同
课堂小结
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
全
对应边相等
等 三
基本性质
对应角相等
角
长对长，短对短，中对中
形
对应边 公共边一般是对应边
对应元素 确定方法
对应角
大角对大角，小角对小角 公共角一般是对应角 对顶角一般是对应角
作业布置
1.完成课本P33页1-4题； 2.复习整理本节课知识框架，预习全等三角 形的判定并尝试整理思维导图； 3.探究性作业：利用全等形设计美丽的图案， 比比看谁的设计最好。
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
A
D
B
C
E
F
△ABC≌△DEF
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点
的字母写在对应的位置上.
全等三角形的性质
A
D
B
C
E
F
∵△ABC≌△DEF，
∴ AB = DE，AC = DF，BC = EF (全等三角形的对应边 相等)，
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F(全等三角形对应角相等).
牛刀小试
如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出
这两个三角形全等，并写出相等的边和角. D 解：△ABC≌△ADC.
A
数学人教版八年级上册121全等三角形1《全等三角形》新人教版精品PPT课件
则∠DEF= ____，∠F= ____.
A
D
教学过程
B
E
C
F
练习2、如图是一个等边三角形，你能利用 折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗？ 你能把它分成三个，四个全等的三角形吗？
(1)
(2)
(3)
教学过程
小结
全等三角
情感目标：
通过构建和谐的课堂教学氛围，激发学生的学习兴趣，调动学生的 学习积极性，使学生勇于提出问题，乐于探索问题，同时注重培养 学生善于合作交流的良好情感和积极向上的学习态度.
全等三角形的概念、性质 及对应元素的确定
全等三角形对应元素的确定
情景引入
教学过程
这两张图片里都有 形状、大小相同的 图形。
“全等”用符号≌“
教学过程
”来表示 读作“全等于”
A
D
B
CE
F
≌ 记作 ∆ABC ∆DEF
注意:通常对应顶点写在对应位置上。
请你说出下面两个图中全等三角形的
表示方法以及他们的对应元素。
A
D
E
B
C
A
B
C
D
教学过程
例1.如图所示， 已知△ABD≌△ACE， 请找出对应边及对应角.
E A
D
B
教学过程
A
B
D
D
B
E
D
A D
CA
B
B E
A
C
C
E
B
E
C
A
D
C
1.必做题：教科书习题12.1 复习巩固第1、2题 ， 综合运用第3题
第十二章12.1全等三角形.1全等三角形课件ppt
A
B
D
A
D B
A
D
B
C
CLeabharlann C2、有公共角 、对顶角
D
A O
A
D
O
A
E
D
C B
C
B
C
B
让我们记住找对应边、对应角的方法
活动5：展示才华 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目
A
填一填：
1、已知△ABC≌△ADE，
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
同一张底片洗出的照片
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。 能够完全重合的两个图形叫做全等形．
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
F
全等三角形的性质: 1、全等三角形的对应边相等,
2、全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△DEF （已知）
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）
∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）
例1
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
C
D
A
B
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
全等三角形ppt课件
=50° ∵ △DEF ≌△ABC ∴ ∠F =∠C =50° （全等三角形的对应角相等） E
A
C D
F
探究活动
先写出全等式，再指
B
∵△ABC≌△ABD
∴AB = AB , BC=BD , AC=AD
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D
A
D
B
C
E
F
小试牛刀
已知：如图，△ABC ≌△DEF. （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 10 cm； （2）若∠A =100°，则∠D 的度数为 100°；
A
D
B
CE
F
小试牛刀
已知：如图，△ABC ≌△DEF.
（3）若∠A =100°，∠B =30°，求∠F 的度数.
解：
∵ ∠A =100°，∠B =30°
按照上述探究活动 进行平移、翻折、旋转，变换前 后的两个三角形还全等吗？
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但 形状、大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后 的图形全等 .
图（1）中，△ABC ≌△DEF； 图（2）中，△ABC ≌△DBC； 图（3）中，△ABC ≌△AED.
你能说出它们的对应顶点、对应边和对应 角吗？
温馨提示：记三角形全等时，要把表示对 应顶点的字母写在对应的位置.
练习巩固
2.如图，△OCA≌△OBD,点C和点B、点AA和点D是 对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.
对应边的关系： OC=OB CA=BD OA=OD
对应角的关系: ∠A=∠D ∠C= ∠B ∠COA= ∠BOD
课堂总结
通过这节课的学习，谈谈你掌握了 什么？
《12.1 全等三角形》课件(3套)
DDDDDDDDD
B
规律五：一对最大的角是对应角 一对最小的角是对应角
已知△A0B≌△COD 指出图中 两三角形的对应边和对应角
A
D O B
C
已知△ABC≌△DCB 指出图 中两三角形的对应边和对应角
A B
D O
C
找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角
解：在△ABC中，∠ACB＝180°－30°－50°＝ 100°.∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC，∴EC ＝BF＝2
10．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下 列结论中错误的是( D )
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90° C．AC＝DF D．EC＝CF
1．不能准确确定全等三角形的对应关系． 2．对应关系考虑不全面而出错．
观察 （1）
(2)
(3)
每组的两个图形有什么特点? 重合 思 考 能够完全重合的两个图形叫做全等形
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流。
形状
1
相同
大小 相同
2
全等图形的特征： 全等图形的形状和大小都相同
3．如图，将△ABC沿CB方向平移得到△DFE，则△ABC≌△__D_F_E， ∠ABC的对应角是 ∠DFE，∠C的对应角是 ∠DEF，BC的对应边是 _F__E_．
4．如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△ADE，那么∠BAC的 对应角是∠__D_A_，E ∠B的对应角是_∠__D_，AC的对应边是__A_E_，BC的对应边 是__D_E_．
典型例题
例3：如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列
全等三角形及性质PPT课件
角角边定理
两角和一边对应相等的两个三角 形全等，简称AAS。
若两个三角形有两个角相等，且 其中一个角的对边也相等，则这
两个三角形全等。
举例：若△ABC和△DEF中， ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则
△ABC≌△DEF。
04
全等三角形与相似三角形关系
相似三角形定义及性质
定义：两个三角形如果它们 的对应角相等，则称这两个
行推导。
全等三角形在几何证明中作用
01
02
03
04
证明线段相等
通过全等三角形的对应边相等 来证明两条线段相等。
证明角相等
通过全等三角形的对应角相等 来证明两个角相等。
证明垂直关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线垂直。
证明平行关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线平行。
典型例题解析
例题1
已知△ABC和△DEF全等，且AB=DE，BC=EF，∠B=∠E。 求证：AC=DF。
HL全等（直角三角形）
在直角三角形中，斜边和一条直 角边分别相等的两个三角形全等 。
典型例题解析
解析
根据SAS全等的判定方法，已知两边和夹角分别相等，因 此可以判定△ABC和△DEF全等。
例2
已知△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，且AB = 6cm，求△DEB的周长。
边角边判定
如果两个多边形的一组对 应边和它们之间的对应角 都相等，则它们是全等的 。
角边角判定
如果两个多边形的一组对 应角和它们之间的夹边都 相等，则它们是全等的。
典型例题解析
1. 例题一
已知两个四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF, BC=FG, CD=GH, DA=HE，且∠A=∠E, ∠B=∠F, ∠C=∠G, ∠D=∠H。求证：四边形ABCD与四边形EFGH全等。
12.1 全等三角形
第十二章全等三角形教材分析本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明．本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质．第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法．在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明．学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备．通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础．全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容．从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．这既是本章的重点，也是教学的难点．教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定．在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了．在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．用这些结论可以判定两个三角形全等．三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理．但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊．学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握．所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性．值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的．运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等．还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”判定两个直角三角形全等．本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性．在“角的平分线的性质”一节中，介绍了角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论．教科书用三角形全等证明了前一个结论，并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步骤．这两个结论是互逆定理．为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍．本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点．这也为学生今后在“圆”一章的学习作好了准备．教学目标1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角，掌握并能够运用全等三角形的性质．2．经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实和定理，能判定两个三角形全等．3．能利用三角形全等证明一些结论．4．探索并证明角的平分线的性质定理，能利用角的平分线的性质．课时安排12.1 全等三角形1课时12.2 三角形全等的判定6课时12.3 角的平分线的性质2课时小结与自测2课时12.1 全等三角形教学目标1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．学习重点全等三角形的性质．课时安排1课时．教案A教学内容全等三角形．教学过程一、新课导入让学生观察一下这些图形，从中找出形状、大小相同的图形．二、探究新知1．全等形及全等三角形的定义能够完全重合的图形叫做全等形．学生举出现实生活中能够完全重合的图形的例子．教师指出在以上实例中，有我们上章讲过的三角形，所以出现全等三角形的定义．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的表示方法（1）概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，•重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．（2）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，•如下图△ABC 和△A 1B 1C 1全等，点A 和点A 1，点B 和点B 1，点C 和点C 1是对应顶点，记作△ABC ≌△A 1B 1C 1．“≌”读作“全等于”．C 11C A B A 1（3）思考：在图（1）中，把△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；在图（2）中，把△ABC 沿BC 翻折180°，得到△DBC ；在图（3）中，把△ABC 绕点A 旋转，得到△AED ．在以上变化中得到的两个三角形全等吗？△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ．教师提醒学生书写时对应顶点字母写在对应的位置上．提示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但 、 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 ．学生仔细观察得到全等三角形的性质：全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等．三、巩固练习1．如左图所示，△ACF ≌△DBE ，∠E ＝∠F ，若AD ＝20cm ，BC ＝8cm ，你能求出线段AB 的长吗？与同伴交流．2．如右图所示，△ABC ≌△AEC ，∠B ＝30°，∠ACB ＝85°，求△AEC 各内角度数．• 参考答案：1．AB ＝6 2．∠AEC ＝30°，∠EAC ＝65°，∠ECA ＝85°四、课堂小结1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．五、布置作业习题12.1第1、2、3、4题．教案B教学内容全等三角形．教学过程一、新课导入活动1让学生完成以下操作：1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，•思考得到的图形有何特点？2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，•思考得到的图形有何特点？二、自主学习1. 学生动手操作，仔细观察，小组交流，优秀学生代表发言．然后师生得出结论：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2. 活动2 在纸板上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做平移、翻折、旋转等运动，观察其运动前后的三角形会全等吗？学生动手操作，仔细观察，小组交流，优秀学生代表发言．师生得出结论：一个三角形经过平移、翻折、旋转前后的图形是全等三角形．3. 活动3让学生思考如何用数学符号表示两个三角形全等．学生独立思考后，小组交流，优秀学生代表发言．提示：任意放置时，并不一定完全重合，只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合；这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．4. 活动4在下图中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？学生独立思考后，优秀学生代表发言，师及时点评．并总结出全等三角形的性质：全等三角形对应边相等；全等三角形对应角相等．三、自我检测1．全等三角形的对应边相等，对应角相等．（）2．全等三角形的周长相等，面积也相等．（）3．面积相等的三角形是全等三角形．（）4．周长相等的三角形是全等三角形．（）5．已知△ABD≌△CDB，AB与CD是对应边，那么AD＝____ ，∠A＝______________；答案：1．√ 2．√3．×4．×5．CB∠C四、课堂小结复习、巩固所学内容．五、布置作业习题12.1第1、2、3、4题．。
人教版八年级数学上册《全等三角形》知识归纳
第十二章全等三角形
12.1 全等三角形（对应顶点、对应边、对应角）
全等形：能够完全重合的两个图形。
全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
12.2 三角形全等的判定
SSS边边边
SAS边角边
ASA 角边角
AAS角角边
HL斜边、直角边
12.3 角的平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
证明几何命题的大概步骤：
1、明确命题中的已知和求证；
2、根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
全等三角形全部概念
全等三角形全部概念全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形，它们的所有对应边长度相等，所有对应角度相等。
全等三角形的性质和定理在几何学中起着重要作用，对于解决各种三角形相关的问题具有重要意义。
以下是关于全等三角形的全部概念、性质和定理的详细介绍：一、全等三角形的定义：1. 全等三角形定义：如果两个三角形的所有对应边相等，对应角相等，那么这两个三角形就是全等的。
2. 全等三角形的记法：当两个三角形全等时，通常用符号“≌”来表示，如三角形ABC≌三角形DEF。
3. 全等三角形的条件：两个三角形全等的条件是：对应的三边相等，对应的内角相等。
即两个三角形的任意两对边相等，夹角相等或对应角相等，则这两个三角形全等。
二、全等三角形的性质：1. 全等三角形的性质1：全等的三角形的对应边相等，对应角相等。
2. 全等三角形的性质2：全等的三角形的对应角的对边也相等。
3. 全等三角形的性质3：全等的三角形的各边都是对应边的相等。
4. 全等三角形的性质4：如果两个三角形全等，则它们的周长相等。
5. 全等三角形的性质5：如果两个三角形全等，则它们的面积也相等。
6. 全等三角形的性质6：如果三角形ABC≌三角形DEF，则三角形ABC的内角和等于三角形DEF的内角和。
7. 全等三角形的性质7：全等三角形对应边之间的比例相等，即对应边之比相等。
8. 全等三角形的性质8：全等的三角形的顶点到对边的距离相等。
三、全等三角形的定理：1. SSS全等定理：如果一个三角形的三条边分别等于另一三角形的三条边，那么这两个三角形全等。
2. SAS全等定理：如果一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，那么这两个三角形全等。
3. ASA全等定理：如果一个三角形的两个角和夹边分别等于另一个三角形的两个角和夹边，那么这两个三角形全等。
4. RHS全等定理：如果一个直角三角形的斜边和一个锐角三角形的一个锐角以及两边分别等于另一个锐角三角形的一个锐角以及两边，则这两个三角形全等。
人教版数学八年级上册12.1 全等三角形课件(共24张PPT)
图 (1)
图 (2)
图 (3)
12.1 全等三角形
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有 改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
图 (1)
图 (2)
图 (3)
12.1 全等三角形
把两个全等的三角形重合到一起，
重合的顶点叫做对应顶点，
A
D
重合的边叫做对应边，
重合的角叫做对应角.
除颜色外形状、大小完全一样. 能够完全重合.
12.1 全等三角形
归纳
可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，我们把能够 完全重合的两个图形叫作全等形.
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
12.1 全等三角形
思考
我们将买来的一面三角彩旗的三个顶点分别标为A、B、C， 在图 (1) 中，把△ABC 沿直线 BC 平移，得到△DEF. 在图 (2) 中，把△ABC 沿直线 BC 翻折180°，得到△DBC. 在图 (3) 中，把△ABC 绕点 A 旋转，得到△ADE. 各图中的两个三角形全等吗？
A
D
B
CE
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 对应的位置上.
12.1 全等三角形 例1 说出图 (2)(3) 中两个全等三角形的对应顶点、对应边和对应角，并 写成△***≌△***的形式.
解：△ABC≌△DBC. 对应顶点：点 A 和点 D，点 B 和点 B，点 C 和点 C ； 图 (2) 对应边：AB 和 DB，BC 和 BC，AC 和 DC； 对应角：∠A 和∠D，∠ABC 和∠DBC，∠ACB 和∠DCB .
的是△DEF，若△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
全等三角形的定义与性质ppt课件
C E
D A
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
• 小结提高
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？ 全等三角形的概念、性质、表示方法、对应写法等. 2、找全等三角形对应边、对应角的方法.
注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在对应
的位置上。
A
E
B
CF
D
△ABC≌△DEF △ABC≌△EFD
5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
想一想：能否根据下列全等式
说出两个三角形的对应边和对应角
Ａ、大（小）边对应大（小）边， 大（小）角对应大（小）角.
Ｂ、公共边是对应边，公共角是对应角，记住哟！
对顶角也是对应角。 Ｃ、对应边所对的角是对应角，
对应角所对的边是对应边.
作业：P95 第2、3、4题
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
C
A
翻
C
折
A
BA
B B
如图△DABD≌△ABC
D
⑴AD的对应边是 AC ；AB的对应边是 AB
⑵∠DAB的对应角是 ∠CAB
小结：有公共边的，公共边也是对应边.
数学人教版八年级上第十二章12.1 全等三角形
12.1 全等三角形1．全等形的概念(1)定义：能够完全重合．．．．的两个图形叫做全等形． (2)全等形的判别方法：两个图形⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫形状相同大小相等→即完全重合． (3)能够完全重合的两个以上．．．．的图形，它们也是全等形． 析规律 全等图形的识别 两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在的位置无关，只要把它们叠放在一起，看是否重合，重合即为全等形．【例1】 下列图形中是全等形的是____________．解析：上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6)和(10)大小、形状都不同；(1)和(9)、(2)和(3)、(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，(4)和(8)都是五角星，是全等形．答案：(1)和(9)、(2)和(3)、(4)和(8)、(11)和(12)2．全等三角形的定义和表示方法(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等三角形是特殊的全等形．(2)对应元素：把两个全等的三角形重合到一起：①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角．如下图，△ABC 与△DEF 全等．对应顶点有：点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F ；对应边有：AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF .对应角有：∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F .(3)表示方法：“全等”用“≌”表示，读作“全等于”．例如，△ABC 与△A ′B ′C ′全等，点A 和点A ′，点B 和点B ′，点C 和点C ′是对应顶点，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′.警误区 全等三角形的表示法 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，顺序不能随意书写．(4)对应元素的确定方法：①字母顺序确定法：由于在表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，因此可以利用字母的顺序确定对应元素．例如，△ABC≌△D EF，先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，D→E→F，然后按照同样的顺序找出对应元素：a．点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应顶点；b．线段AB和线段DE，线段BC和线段EF，线段AC和线段DF分别是对应边；c．∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F分别是对应角．②对应元素确定法：a．如果全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连接对应顶点的边是对应边，对应顶点的对边是对应边，以对应顶点为顶点的角是对应角，剩下的第三个角是对应角；b．如果两条边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角，第三条边为对应边；c．如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边，第三个角为对应角．③图形特征确定法：a．有公共边的，公共边一定是对应边．如图1，△ADB≌△ADC，则AD一定是两个三角形的对应边．b．有公共角的，公共角一定是对应角．如图2，△ABD≌△ACE，则∠DAB和∠EAC 是对应角．c．有对顶角的，对顶角一定是对应角．如图3，△ABE≌△CDE，则∠1和∠2是对应角．d．两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．【例2】如图，△ABC≌△ADE，其中C和E，B和D是对应顶点，写出这两个三角形中的对应边和对应角．分析：观察图形可知，能重合的边是对应边，能重合的角是对应角，或根据△ABC≌△ADE表示的对应顶点找出对应边、对应角．解：对应边有：AB和AD，AC和AE，BC和DE；对应角有：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E.3．全等三角形的性质(1)性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．(2)作用：运用全等三角形的性质可以证明：两条线段相等、两个角相等．(3)拓展：由全等三角形的对应边相等、对应角相等，可以进一步推广到对应高、中线、角平分线相等、全等三角形的周长相等、面积相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等．谈重点用全等三角形的性质证明线段或角相等全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键．．是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字．【例3】已知△ABC≌△DEF，AB＝8，BC＝12，若△ABC的周长为32，则△DEF的三边长分别是多少？解：因为AB＝8，BC＝12，且△ABC的周长为32，所以AC＝32－8－12＝12.又因为△ABC≌△DEF，所以DE＝AB＝8，EF＝BC＝12，DF＝AC＝12.4．全等三角形中的全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变换，叫做全等变换．平移、翻折、旋转都属于全等变换．一个三角形经过全等变换，位置发生了变化，但其形状、大小未发生变化．通过观察两个全等三角形中的一个经过怎样的全等变换可以和另一个重合，从而可以确定它们的对应顶点、对应角和对应边．(1)平移型：如图所示，将△ACE沿直线AC平行移动AB的长度，得到△BDF，△ACE≌△BDF.(2)旋转型：如图①，将△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，△ABC≌△ADE.如图②，将△OAB绕点O旋转180°得到△ODC，则△OAB≌△ODC.(3)翻折型：如图③，将△ABC沿直线AB翻折，得到△ABD，则△ABC≌△ABD.如图④，将△ABD翻折得到△ACE，这两个三角形的∠A重合，则△ABD≌△ACE.5．综合运用全等三角形性质解决问题任意一个三角形通过平移、旋转、翻折后，位置发生了变化，但形状、大小都没有发生变化，所以平移、旋转、翻折后得到的三角形与原三角形全等．因为全等三角形的对应边是能重合的边，对应角是能重合的角，所以全等三角形的重要性质是：对应边相等，对应角相等．运用全等三角形的性质解决问题时，关键要找准对应顶点，然后根据对应顶点找出对应边、对应角．【例4－1】如图，△ABC≌△DEF，B与E，C与F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．分析：两个全等三角形是一定可以重合的，使两个图形完全重合的方法有三种：平移、旋转、翻折．解：将△DEF先沿直线EF翻折180°，然后沿CB向左平移CF的长度，得到△ABC，△ABC与△DEF重合．或将△ABC先沿BC向右平移CF的长度，再沿直线EF翻折180°，得到△DEF，则△DEF与△ABC重合．相等的边有：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF.相等的角有：∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.【例4－2】如图，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转30°后得到△DBE.(1)△ABC和△DBE有什么关系？(2)求∠CBE的度数．分析：将△ABC绕其顶点B旋转得到△DBE，是几何变换中的全等变换，改变的只是位置，而大小、形状没有变化，所以△ABC和△DBE全等．解：(1)根据旋转变换，得△ABC≌△DBE.(2)由△ABC绕B点顺时针旋转30°得到△DBE，知BC绕B点顺时针旋转30°得到BE，即∠CBE＝30°.【例5】(探究题)如图1所示，△ABC绕着点B旋转(顺时针)90°到△DBE，且∠ABC ＝90°.(1)△ABC和△DBE是否全等？指出对应边和对应角．(2)直线AC、直线DE有怎样的位置关系？解：(1)由题意可得△ABC≌△DBE，AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A 和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE是对应角．(2)延长AC交DE于点F，如图2所示，∵△ABC≌△DBE，∴∠A＝∠D.又∵∠ACB＝∠DCF(对顶角相等)，∠A＋∠ACB＝90°，∴∠D＋∠D CF＝90°.∴∠AFE＝90°，即AC⊥DE.6．全等三角形中的操作问题全等三角形中的操作问题，要动手去做一做，把实际问题抽象成数学图形．图形经过翻折、折叠，重叠部分的三角形是全等三角形．然后根据全等三角形的性质，得到重合的角相等、重合的边相等．综合运用相等的量及有关知识进行推理论证或计算．【例6】两块大小一样的含30°锐角的三角板放在桌上，可以拼出各种不同的图形，如下图所示的四个图形都满足条件：(1)每两个三角形的三个顶点至少有一个重合；(2)每两个三角形的三条边中至少有一条重合或部分重合．请你拼出更多的图形，并画出这些图形(画2个即可)．解：如下所示：。
人教版八年级上册12.1全等三角形辅导教案
举例解释：
-通过对比图表，突出SSS、SAS、ASA、AAS定理的条件差异，帮助学生记忆。
-设计实际应用题，如建筑物的平面图中有全等三角形的应用，让学生练习如何使用全等定理来解决问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的基本概念。全等三角形是指能够完全重合的两个三角形。它们在形状和大小上完全相同，是几何学中的基本概念，广泛应用于实际问题中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何使用SSS定理判断两个三角形全等，并解决实际问题。
-在综合几何问题中，如多边形内角和的证明，引导学生运用全等三角形的性质，将复杂问题转化为已知的全等问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《全等三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状和大小完全相同的两个三角形？”比如，一块玻璃上的裂纹形成的三角形与另一块上的完全一样。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索全等三角形的奥秘。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对全等三角形的概念和判定定理的理解普遍较好。他们能够跟随我的讲解，通过模型和案例来直观感受全等三角形的特性。在导入新课的时候，通过日常生活中的例子来引起学生的兴趣，这个方法看来是有效的，大家都表现得很有好奇心。
让我印象深刻的是，在实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，热烈讨论。他们在解决实际问题时，能够尝也注意到，在具体的案例分析中，部分学生对于判定定理的选择和应用还不够熟练，有时会混淆SSS和SAS定理的使用。
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例：请指出下列全等三角形的对应边和对应角.
如上图中△ ABD ≌ △CDB则AB= CD ；AD=
；
BD= CB ； ∠ABDD=B
； ∠A∠DBC=DB ；
∠A= ∠DB；C
∠C
例：如图，已知△ AOC ≌ △BOD 求证：AC∥BD
例：如图，△ ABD ≌ △CDB，若AB=4， AD=5，BD=6，则BC= ，CD= 。
E
两个全等三角形能够完全重合
C
FHale Waihona Puke 其中重合的顶点叫__对__应__顶_点___
点A、点F的对应顶 点分别是_D__、 _C__
其中重合的边叫__对__应_边__ 其中重合的角叫_对__应__角__
AB、DF的对应边分别是 _D_E_、 _A_C_
∠A、∠F的对应角分 别是_∠_D_、 _∠_C_
A
D
子表示两个三角形全等,并指出对应角、对应边
A
D
平 移
B
C
D
F
两个三角形全等是通过什么方法验证的？
解：对应边是：AC与DF，AB与DE，BC与EF 对应角是：∠A与∠FDB，∠ABC与∠E，∠C与∠F
C
E
A D
旋 转
B
⑴△ ABC ≌△ DEC ⑵对应边是 AC与DC，AB与DE，BC与EC ⑶对应角是 ∠A与∠D、∠B与∠E、∠ACB与∠DCE
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等
如图：△ABC≌△DEF 则有：
B
E
C
F
在书写两个三角
形全等的时候,对
应字母要对应写
AB=DE AC=DF BC=EF
∠ A=∠D ∠B=∠E ∠C=∠F
思考：两个三角形三边对应相等，三对角也对应 相等，这两个三角形全等吗？
练习:有什么办法判断两个三角形全等？,用数学式
下列图形中有形状、大小完全相同的图形吗？
下列各组图形的形状与大小有什么特点？
（1）
（2）
（3）
（4）
思考:他们能完全重合吗?
（5）
把一块三角板按在纸上，画下图形，照图形 剪下纸板。剪下的纸板与三角板大小、形状 完全一样吗？他们能够完全重合吗？
• 形状、大小完全一样的两个图形能够完全 重合。
例：如图△ABD≌ △EBC，AB=3cm,BC=5cm,求 DE的长.
• 能够完全重合的图形叫做全等图形 • 能够重合的两个三角形叫做全等三角形 • 你能够找出生活中的一些全等图形吗？
1。与图1所示图形全等的图形是
图1
A
B
CD
2。将图2所示绕A点顺时针转90°所得到的图形是
B
A
C
图2
A
B
C
D
全等三角形的表示
A
D
△ABC≌△DEF
(读作:全等于)
思考:两个三角形全等表示的 B 含义是什么?