第八讲 四则运算问题
小学四年级下册数学《四则运算》课件
挑战练习题
总结词：挑战高难度，培 养解决复杂问题的能力
100-(30/6)*4=？
7+9*3/2=？
(3+4)*5/6=？
(8*5)/4+3=？
(10/5)+(6*3)=？
05
四则运算的常见错误及纠正方 法
加法常见错误及纠正方法
总结词
进位不准确
总结词
忽略小数点
详细描述
在进行加法运算时，学生常常会因为进位不准确而导致结 果错误。纠正方法包括加强进位规则的理解和练习，使用 计数器或画图等方式辅助理解。
03
04
购物时计算找零和总价。
计算时间和速度。
解决日常生活中的各种问题， 如计算工资、计算路程等。
在科学、工程、经济等领域中 也有广泛应用。
02 四则运算的基本规则
加法规则
总结词
加法交换律和结合律
详细描述
加法交换律指的是加法满足交换性质，即a+b=b+a；加法结合律指的是加法满 足结合性质，即(a+b)+c=a+(b+c)。
详细描述
在进行小数乘法运算时，学生可能会忽略小数点 的位置和乘法规则，导致结果错误。纠正方法包 括强调小数乘法的规则和注意事项，通过实例和 练习来加深理解。
除法常见错误及纠正方法
总结词
除数误解为被除数
详细描述
总结词
学生在进行除法运算时，有时 会将除数误解为被除数，导致 计算结果错误。纠正方法包括 强调除数和被除数的概念和区 别，通过实例和练习来加深理 解。
01
03
详细描述：在减法运算中，学生有时会忽略负数的存 在，导致结果错误。纠正方法包括强调负数的概念，
同步奥数培优六年级上 第八讲分数四则混合运算(稍复杂的分数应用题)
第八讲 分数四则混合运算（稍复杂的分数应用题）【知识概述】有些稍复杂的分数应用题中有两个或两个以上单位“1”的量，这时一般先用转化法统一单位“1”，有时还要根据解题需要，把分率转化成比，然后才能进行解答。
例题精学例1 甲、乙、丙、丁四人向希望工程捐款，结果甲捐了另外三人总数的一半，乙捐了另外三人总数的31，丙捐了另外三人总数的41，丁捐了91元。
甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？【思路点拨】根据题意可知，甲、乙、丙、丁四人捐款的总数是一定的，把四人捐款的总数看作单位“1”。
“甲捐了另外三人总数的一半”，则甲的捐款是四人捐款总数的量211+，同理，乙的捐款是四人捐款总数的工311+，丙的捐款是四人捐款总数的411+。
那么我们就可以求出丁捐的91元所对应的分率，再求出四人的捐款总数。
同步精练1. 甲、乙、丙、丁四个数，甲数是其他三个数之和的21，乙数是其他三个数之和的31，丙数是其他三个数之和的41。
已知丁数是260，则四个数的和是多少？甲数是多少？2. 三个小朋友合买一枚价值24元的2012年奥运会纪念章，第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的一半，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的31。
问：第三个孩子付了多少元？3. 学校有数学、气象、航模三个兴趣小组，其中数学小组的人数是其他两组人数的21，气象小组的人数是航模小组人数的34，航模小组比数学小组少3人。
三个小组共有多少人？例2 乙队原有的人数是甲队的73。
现在甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的32。
原来两队一共有多少人? 【思路点拔】当“从甲队派30人到乙队”后，甲、乙两队的人数都发生了变化，但是两队的总人数没有变化，因此我们把甲、乙两队的总人数看作单位“1”。
“乙队原有的人数是甲队的73”，则乙队占总人数的733+，后来乙队占总人数的322+，求出30人所对应的分率，再求出原来的总人数。
同步精练1. 甲、乙两个粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的75。
四则混合运算PPT课件
混合运算的规则
乘法和除法优先于加法和减法
01
在四则混合运算中，乘法和除法的优先级高于加法和减法，即
先进行乘法和除法，再进行加法和减法。
同级运算从左到右进行
02
当表达式中存在同级的运算时，应从左到右依次进行计算，即
遵循先乘除后加减的原则。
括号内的运算优先
03
在四则混合运算中，括号内的运算具有最高的优先级，必须先
05 混合运算的注意事项
避免计算错误
仔细审题
在开始计算之前，要仔细审题， 确保理解题目的意思和要求。Fra bibliotek草稿纸使用
在草稿纸上进行计算，避免在原 题上涂改，保持卷面整洁。
验算
计算完成后要进行验算，检查计 算结果是否正确。
注意运算顺序
先乘除后加减
在进行四则混合运算时，应先进行乘法和除法运算，然后再进行 加法和减法运算。
四则混合运算ppt课件
目录
• 混合运算概述 • 混合运算的种类 • 混合运算的实例 • 混合运算的技巧 • 混合运算的注意事项
01 混合运算概述
定义与特点
定义
四则混合运算是指在一个数学表 达式中，包含了加减乘除四种运 算的算式。
特点
四则混合运算具有高度的综合性 ，需要掌握运算的优先级和运算 顺序，以正确计算结果。
将公共因子提取出来，简化计 算过程。
约分
将分子和分母中的公因数约掉 ，简化计算过程。
乘法分配律
利用乘法分配律简化计算过程 。
分配律的应用
分配律的定义
将一个数与括号内的每一个数相乘， 等于将这个数分别与括号内的每一个 数相乘后再相加。
分配律的运用
分配律的注意事项
在使用分配律时，要注意括号内的每 一个数都要与括号外的数相乘，不能 遗漏。
创新思维·小学奥数·解题思路和知识点归纳(运算法则方法、技巧与规律)
第八讲：运算法则或方法（技巧与规律）一、繁分数化简方法繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。
（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。
（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。
这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。
例如【求连分数的值的方法】由数列a 0，a 1，……及b 1，b 2，……所组成的表达式称为“连分数”。
它可简记为为连分数的值。
连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。
例如，求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。
一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。
例如上面的这个有限连分数：求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。
当层次愈多时，就愈接近它的值。
注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。
分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：的任意两个约数a 1，a 2；（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a 1+a 2），（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。
注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。
例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。
拆成n 个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A 的n 个约数的和（a 1+a 2+…+a n ）。
人教版四年级下册四则运算知识点归纳及练习
四则运算一．四则运算1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。
例：97—12×4＋45 (97—12)×4＋45 94＋4×52—15 94＋4×（52—15）二．0的运算1、“0”不能做除数；字母表示：a÷0错误2、一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0= a3、一个数减去0还得原数；字母表示：a－0= a4、被减数等于减数，差是0；字母表示：a－a = 05、一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0= 06、0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a（a≠0）= 0例：0×25= 0÷25= 0＋25= 100+100×0=三．运算定律加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b) ＋c＝a＋(b＋c) 例：82+75＋18 75+18＋82 94—4×22＋6 94＋4×22＋12乘法交换律：a×b＝b×a 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)例：8×103×125 25×55×4 103×8×125 55×25×4乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c或a×(b＋c) ＝a×b＋a×c拓展：(a－b)×c＝a×c－b×c 或a×(b－c) ＝a×b－a×c例：40×(125＋25) 40×（125—25）32×5＋28×5 32×5—28×5 125×16 125×32×25 102×12 99×1249×101—49 37×91+8×37+37 37×121—37—37×20连减：a—b—c＝a—(b＋c) 连除：a÷b÷c＝a÷(b×c)例：674—63—237 254—38—52 656—（300+56） 540—（140+90）867+98 867—98 217+102 217—1025000÷125÷8 1100÷25÷4 250÷100×4 120×120÷12一、填空。
四则混合运算知识点讲解学习
四则混合运算知识点讲解学习
1.运算顺序：按照运算顺序进行四则混合运算是解决问题的基本原则。
运算顺序是指先乘除后加减，如果有多个乘法或除法运算，按照从左到右
的顺序进行。
括号里的运算按照特定的顺序进行。
例如，表达式2+3×4
的运算顺序是先进行乘法3×4得到12，再加2得到14
2.加法和减法：加法是将两个数或多个数相加，减法是将一个数减去
另一个数。
在进行加法和减法时，只需要按照运算顺序进行即可。
例如，20+15-8的运算顺序是先进行加法20+15得到35，再进行减法35-8得到
27
3.乘法：乘法是将两个数相乘得到积。
在进行乘法运算时，只需要将
两个数相乘即可。
例如，5×6的结果是30。
4.除法：除法是将一个数除以另一个数得到商。
在进行除法运算时，
需要注意除数不能为0。
除数为0会导致无法得到有效的结果。
例如，
10÷2的结果是5
5.括号运算：在四则混合运算中，括号运算是最先进行的运算。
在有
括号的表达式中，先计算括号内的表达式再进行其他运算。
例如，表达式
2×(3+4)的括号运算先计算括号内的3+4得到7，再进行乘法2×7得到
14
通过对四则混合运算的学习，我们能够在面对复杂的数学问题时能够
清晰地进行思考解决。
若要在四则混合运算中迅速准确地得出结果，需要
灵活运用运算顺序和基本运算法则，注意数学中的特殊情况，如除数不能
为0等。
此外，还需要多做练习，通过不断实践提高运算的速度和准确性。
四则运算有关的运算ppt
乘法可以用于整数、小数和分数的相乘。例如，将 2 和 3 相乘得到 6，将 5.2 和 4.3 相乘得到 22.76，将 2/3 和 4/5 相乘得到 8/15。
除法的实例
总结词
除法是数学中基本的运算方法之一，是指将一个数除以另一 个数的运算。
详细描述
除法可以用于整数、小数和分数的相除。例如，将 6 除以 2 得到 3，将 22.76 除以 5.2 得到 4.4，将 8/15 除以 2/3 得到 4/5。
加法、减法、乘法、除法在科学中的应用
01
物理科学
在物理中，加法和减法被用来计算矢量和标量的和与差，乘法和除法
被用来计算物体的质量和速度等物理量的乘积和商。
02
化学反应
在化学反应中，加法和减法被用来计算反应物和生成物的摩尔数，乘
法和除法被用来计算化学反应的速率和平衡常数。
03
工程设计
在工程设计中，加法和减法被用来计算尺寸和重量的和与差，乘法和
四则运算有关的运念 • 四则运算的规则 • 四则运算的运用 • 四则运算的实例 • 四则运算的练习题
01
四则运算的基本概念
加法
定义
加法是把两个数合并成一个数 的运算。
符号
用“+”表示。
例子
3 + 5 = 8。
减法
定义
减法是从一个数中去掉另一个 数的运算。
结合律
乘法结合律是指，对于任何实数a、b和c，都有(a×b)×c=a×(b×c)。这种特 性使得在乘法运算中，可以添加括号并改变运算的顺序，只要不改变括号的 层次就不会影响结果。
加法和乘法的运算律
分配律
加法分配律是指，对于任何实数a、b和c，都有(a+b)×c=a×c+b×c。这种特性 使得在加法和乘法混合运算中，可以将加法分配到乘法的各个因子上。
加、减、乘、除四则算法知识点总结与例题解析
加、减、乘、除四则算法知识点总结与例题解析一、四则算法的概念1、加法：（1）加法的意义：把两个数合并成一个数的算法叫做加法。
小数、分数加法与整数加法的意义完全相同。
（在加法算式中，加号两边的数叫做加数，等号后面的数叫做和。
）（2）加法各部分之间的关系：加数+ 加数= 和和－一个加数= 另一个加数2、减法：（1）减法的意义：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的算法叫做减法。
小数、分数减法与整数减法的意义完全相同。
（在减法算式中，减号前面的数叫做被减数，减号后面的数叫做减数，等号后面的数叫做差。
）（2）减法个部分的关系：被减数－减数=差减数＋差= 被减数被减数－差=减数3、乘法：（1）乘法的意义：求几个相加数的和的简便算法叫做乘法。
小数、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同。
（在乘法算式中，乘号两边的数叫做因数，等号后面的数叫做积。
）一个数乘分数的意义，就是求这个数的几分之几是多少。
一个数乘小数的意义，就是不求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…… 是多少。
（1）乘法各部分的关系：因数X因数=积积十一个因数=另一个因数4、除法：（1）除法的意义：已知两个因数的积，与其中的一个因数，求另一个因数的算法叫做除法。
小数、分数除法和整数除法意义相同。
（在除法算式中，除号前面的数叫做被除数除数，除号后面的数叫做除数，等号后面的数叫做商。
）（2）除法各部分的关系：被除数十除数=商除数X商=被除数被除数十商= 除数（3）有余数的除法各部分的关系：商X除数+余数=被除数5、四则算法的方法指导：（1）整数、小数加减法的计算方法加法：相同数位对齐，从低位加起，哪一位相加满十，要向前一位进一。
减法：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上不够减，就向前一位退一作十再减。
（2）整数、小数、分数乘法的计算方法整数、小数乘法计算方法基本相同，都是把末位数字对齐，从低位起，依次用下面个因数每上的数去乘上面个因数，用哪一位上的数去乘，乘得的积的末尾就和那一位对齐，最后再把几次乘得的积相加。
四则运算整理和复习课件
乘法运算
总结词
小数乘法运算规则
详细描述
小数乘法运算时，应将小数点对齐，然后按照整数乘法规则进行计算，最后得出结果。 例如：0.5 × 0.3 = 0.15。
除法运算
总结词
小数除法运算规则
详细描述
小数除法运算时，应将小数点对齐，然后按 照整数除法规则进行计算，最后得出结果。
例如：0.8 ÷ 0.5 = 1.6。
01
小数四则运算
加法运算
总结词
小数加法运算规则
详细描述
小数加法运算时，应将小数点对 齐，然后按照整数加法规则进行 计算，最后得出结果。例如：0.5 + 0.3 = 0.8。
减法运算
总结词
小数减法运算规则
详细描述
小数减法运算时，应将小数点对齐， 然后按照整数减法规则进行计算，最 后得出结果。例如：0.8 - 0.5 = 0.3。
详细描述
括号在四则运算中具有优先级，学生在运算时可能会 忽略括号的存在，或者在括号内和括号外的运算处理 上出现混淆。例如，在算式“(2+3)×4”中，学生可 能会忽略括号，直接将“2+3”与“4”相乘，导致结 果错误。
运算顺序错误
总结词
运算顺序错误是指在运算过程中，对先进行哪一步运 算没有遵循正确的顺序，导致运算结果错误的情况。
总结词
乘除法混淆错误是指在进行四则运算时，将乘法误认为 是除法或除法误认为是乘法的情况。
详细描述
学生在进行乘除法运算时，可能会因为对概念理解不清 晰或注意力不集中而混淆乘除法的操作。例如，将 “×”误读为“÷”或将“÷”误读为“×”。
括号处理不当错误
总结词
括号处理不当错误是指在运算过程中，对括号内的内 容处理不当，导致运算结果错误的情况。
《四则运算》课件
就是求把5600平均分成8份，求一份是多少， 用除法计算。
5600 ÷ 8 = 700 (千克) 答：这头牛重700千克。
2. 根据乘、除法各部分间的关系,写出另外两 个算式。
17×42=714
714÷17＝42 714÷42＝17
208×67=1393 13936÷208=67
4.
被除数÷＝除商数×＝除商数....+.. 余数
被除数 除数
商
余数
225
21
10
15
420
18
23
6
478
36
13
10
除数＝（被除数–余数）÷商
5.计算下面各题，并利用乘、除法各部分间 的关系进行验算。
48×27= 1296
48
27
× 257 验 × 458
336 算 216
1
96
1 028
1296
③ 数。
替换为 ① − ② = × − ÷
综合算式
×− ÷=
11.
进入知识宫的密码是
，
请破译密码。
14+82− = 87
密码是
。
×6+10 = 58 =9
14+82− = 87
96 96−87=9
11.
进入知识宫的密码是
，
请破译密码。
14+82− = 87 密码是 9898 。
×6+10 = 58 =9 =8
89×❀=356 ❀÷20=35
❀×18=774 29×❀=928
672÷❀=24 858÷❀=39
89×❀ = 356 ❀× 18 = 774 672÷❀ = 24
(完整版)四则运算规律及其简便运算
四则运算规律及其简便运算一、四则运算的运算顺序1、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
2、在没有括号的算式里，同时有加、减法和乘、除法，要先算乘除法，再算加减法。
3、算式有括号，先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。
二、关于“0”的运算：1、“0”不能做除数；2、一个娄加上0或者减去0，最终还等于原数3、被减数等于减数，差得04、0乘任何数或0除以任何数，都得0三、运算定律与简便运算（一）加法运算定律：1、两个加数交换位置，和不变这叫做加法交换律。
字母公式：a+b=b+a2、先把前两个数相加，或者先把后两个数相加；和不变，这叫做加法结合律。
字母公式：(a+b)+c=a+(b+c)（二）乘法运算定律1、交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。
字母公式：a × b=b × a2、先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这叫乘法结合律。
字母公式：（a ×b）× c=a ×(b ×c)3、两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这员乘法分配律。
字母公式：(a+b)⨯c=a⨯c+b⨯c 或a⨯(b+c)=a⨯b+a⨯c（加号也可以换成减号）（三）减法简便运算：1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。
用字母表示：a-b-c=a-(b+c)2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。
用字母表示：a-b-c=a-c-b （四）除法简便运算1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。
用字母表示：a÷b÷c=a÷(b x c)2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。
用字母表示：a÷b÷c=a÷c÷b能简便运算的要简算，不能简算的按四则运算来计算。
【最新】人教版小学数学四则运算知识汇总含例题
【精选】人教版小学数学四则运算知识汇总含例题四则运算识点一：知识点一：四则运算的概念和运算顺序1. 加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2. 在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3. 在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4. 算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。
括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
知识点二：0的运算1. 0不能做除数；字母表示：无，a÷０是错误的表达2. 一个数加上0还得原数；字母表示：a＋0 = a3. 一个数减去0还得原数；字母表示：a－0 = a4. 一个数减去它本身，差是0；字母表示：a－a =05. 一个数和0相乘，仍得0；字母表示：a×0 =06. 0除以任何非0的数，还得0；字母表示：0÷a =0(a≠0)知识点三：运算定律1.加法交换律：在两个数的加法运算中，交换两个加数的位置，和不变。
字母表示：a＋b＝b＋a2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加另一个加数；或者先把后两个数相加，再加另一个加数,和不变。
字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)3. 乘法交换律：两个数相乘的乘法运算中，交换两个乘数的位置，积不变。
字母表示：a×b＝b×ａ4. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
字母表示：(a×b)×c＝a×(b×c)5. 乘法分配律：两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,再把两个积相加（相减）,得数不变。
字母表示：①(a＋b)×ｃ＝a×c＋b×c；a×c＋b×c＝(a＋b)×c；②a×(b—c)＝a×b—a×c；a×b—a×c＝a×(b—c)6. 连减定律：①一个数连续减两个数, 等于这个数减后两个数的和，得数不变；字母表示：a—b—c＝a—(b＋c)；a—(b＋c)＝a—b—c；②在三个数的加减法运算中，交换后两个数的位置，得数不变。
《四则运算》精品课件
我们知道的四则混合运算的顺序有哪些？
1 在没有括号的四则混合运算中，要先算 乘、除法运算，再算加、减法运算，如果是 同级运算，从左到右依次计算。
我们知道的四则混合运算的顺序有哪些？
2 如果算式里有小括号，要先算小括号里 面的。
3 如果一个算式里，既有小括号，又有中括 号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。
(72 − 4)×6÷3
= 68×6÷3 = 408÷3 = 136
3. 计算下面各题。
6000÷75 − 60 − 10
6000÷(75 − 60 )− 10
= 80−60−10
= 6000÷15−10
= 20−10
= 400−10
= 10
= 390
6000÷[75−(60−10)]
= 6000÷[75−50]
① ＝209 +102÷17
②
＝209 + 6
③
＝215
1. 先说出运算顺序，再计算。
940××[[112288−−((115544−−3311))]]
①
＝940×[128− 123]
②
＝940×5
③
＝4700
2. 按照顺序计算并填写下面的 列出综合算式。
，然后
128 147 +
275 25 ÷
方案二 6+4= 10（人） 100×10=1000（元）
960元 < 1000元 答：选方案一合算。
6. 下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的运算才 能得到24？
方案一：
方案二：
（6-3）×2×4=24 （6+4-2）×3=24
四则运算及运算律详解
（1）运算公式：加数+加数=和和-一个加数=另一个加数（2）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。
a ＋b ＝b ＋a（3）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，和不变。
a ＋b ＋c ＝a ＋(b ＋c)＝（a ＋b ）＋c（1）运算公式：被减数－减数=差被减数－差＝减数 减数＋差＝被减数（2）减法的运算性质：一个数连续减去几个数，可以从这个数里减去这几个数的和，差不变。
a －b －c ＝a －(b ＋c)a －（b －c ）＝a －b ＋c（1）运算公式：因数（被乘数）×因数（乘数）＝积积÷一个因素=另一个因素（2）乘法交换律：两个数相乘，因数交换位置，积不变。
a ×b ＝b ×a（3）乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，积不变。
a ×b ×c ＝a ×(b ×c) （4）乘法分配律：两个数与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
(a ＋b)×c ＝a×c ＋b ×c（1）运算公式：①没有余数的除法：被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数②有余数的除法：被除数÷除数＝商……余数除数＝（被除数-余数）÷商商＝（被除数-余数）÷除数余数=被除数-除数×商（2）0不能作除数，0除以任何不是0的数都得0。
（3）除法的验算（没有余数）：计算法则：（1）用除法验算，即交换除法和商的位置（2）用乘法验算（逆运算）（4）除法的性质（没有余数）：一个数连续除以几个数，可以除以后几个数的积，也可以先除以第二个数，再除以第一个数。
a÷b÷c＝a÷（b×c）（b，c ≠0）（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c （b，c ≠0）（a－b）÷c＝a÷c－b÷c （b，c ≠0）（5）商不变性质：①没有余数的除法：被除数和除数都乘（或除以）一个非0的数，商不变。
《解决问题》四则运算
02
解决问题的方法
代数法
代数法是一种通过设立代数式来解决问题的方法。它通过将 问题中的未知数用字母表示，然后通过代数运算来求解未知 数。这种方法在解决复杂问题时非常有效，可以化简问题， 使问题更容易解决。
代数法在解决线性方程、二次方程、分式方程、对数方程等 复杂数学问题时非常有用。它通过将问题转化为代数方程， 然后求解代数方程，最终得出问题的解。
算术法
算术法是一种通过基本的四则运算来解决问题的方法。它通过直接对问题进行计 算，得出结果。这种方法在解决简单问题时非常有效，不需要设立未知数和代数 方程。
算术法在解决加、减、乘、除等基本数学问题时非常有用。它通过直接对问题进 行计算，得出结果。这种方法在解决实际问题时非常常见，比如购物时的计算、 时间计算等。
设定变量
定义变量
根据问题的需求，定义合适的变量来 表示未知数或相关量。
建立变量关系
根据问题描述，建立变量之间的关系 ，以便将实际问题转化为数学表达式 。
建立方程
建立数学模型
根据问题的实际情况和已知条件，建 立相应的数学模型，如代数方程、不 等式或几何模型等。
确定方程形式
根据问题的特点和数学模型，确定方 程的形式，以便求解未知数。
解方程
选择合适的方法
根据方程的特点和已知条件，选择合适的方法来求解方程。
求解方程
通过计算和化简，求解方程得到未知数的值或满足条件的解。
04
解决问题实例
线性方程问题
总结词
线性方程问题主要涉及一元一次方程或二元一次方程的求解，通过移项、合并同类项、代入消元法等 方法得到解。
详细描述
线性方程问题在现实生活中应用广泛，如购物时计算找零、工程中计算时间与工作量等。解决这类问 题需要掌握一元一次方程的解法，并能够灵活运用。
第8节 四则运算的关系
四则运算的关系月日姓名【知识要点】熟悉四则运算的意义和加﹑减﹑乘﹑除各部分之间的关系是很重要的.为了帮助同学们加深对四则运算间关系的理解,做了如下的整理:加数+加数=和被减数-减数=差因数×因数=积被除数÷除数=商在有余数的除法里还有:被除数=除数×商+余数(余数要比除数小).此外,还要合理﹑灵活地运用整数四则运算的运算定律,我们就可以解决许多有趣的实际问题.【典型例题】例1 31×□ - □×27=24,如果两个□里的数相同,这两个□内应填上的数是( ).例2 小明在做题时,由于粗心大意把被减数个位上的9写成了4,把十位上的0写成了6.这样算得的差是199,正确的差应该是多少?例3 甲数除以乙数的商是9,余数是3.已知甲数﹑乙数﹑商和余数的和是65,甲﹑乙两数各是多少?例4 两个数相乘,如果一个因数增加5,积增加80,如果另一个因数减少4,积就减少100,原来这两个数相乘的积是多少?例5 两个数的和是792,其中一个加数的个位是0,若把0去掉,刚好与另一个加数相同,这两个数分别是多少?【课堂练习】1. 华杯赛’是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型数学竞赛. 华罗庚教授生于1910年,现在用‘华杯’代表一个两位数,已知1910与‘华杯’之和等于2004,那么‘华杯’代表的两位数是多少?1 9 1 0+ 华杯2 0 0 42 计算□÷△结果是:商为10,余数为5.那么△的最小值是 .3.小红在做题时,把被减数个位上的3写成了8,把十位上的0写成了6,这样算得的差是187,正确的差是多少?4. 甲数除以乙数的商是8,余数是5.已知甲数﹑乙数﹑商和余数的和是81,甲数是多少?乙数是多少?5.明明和亮亮做同一道乘法题,明明误将一个因数增加了12,计算结果增加60,亮亮将另一个因数增加12,计算的结果增加了72,正确的积应该是多少?6. 一个因数是10,积比另一个因数多630,另一个因数是多少?【经典回顾】1. 我的年龄和妈妈的年龄一共42岁.妈妈的年龄是我的3倍还多2岁.请问妈妈岁了.2. 小明的科技书比故事书少14本，故事书是科技书的3倍，科技书有本, 故事书有本 .【课后练习】1. 一个数除以9.商和余数相同,这个数最大是多少?2. 两个数相除商是15余13,被除数﹑除数﹑商与余数的和是297,被除数是多少?3 两个数相乘,如果一个因数增加3,积就增加60,如果另一个因数减少5,积就减少60,原来两个数的积是多少?4. 天天和咪咪在用同一个数做被除数.天天用12去除,咪咪用15去除,天天得到的商是32还余6,咪咪计算的结果应该是多少?家长留言：家长签名：。
四则运算和差问题
四则运算和差问题
1. 什么是四则运算
四则运算是基本的数学运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算符号分别用加号（+）、减号（-）、乘号（×）和除号（÷）表示。
四则运算是解决数值问题和计算的基础，它们可以用来求和、相减、相乘和相除。
2. 什么是加法
加法是一种运算，用于将两个或多个数值相加，得到它们的和。
在加法中，两个或多个数称为加数，它们的和称为和。
例如，将2和3相加，得到的和是5（2 + 3 = 5）。
加法可以用来计算物品的总数、计算时间的累计等。
3. 什么是减法
减法是一种运算，用于从一个数中减去另一个数，得到它们的差。
在减法中，被减数减去减数，得到差。
例如，将5减去2，得到的差是3（5 - 2 = 3）。
减法可以用来计算物品的剩余数量、计算时间的差异等。
4. 什么是乘法
乘法是一种运算，用于将两个或多个数相乘，得到它们的积。
在乘法中，被乘数与乘数相乘，得到积。
例如，将2乘以3，得到的积是6（2 ×3 = 6）。
乘法可以用来计算物品的总数、计算面积和体积等。
5. 什么是除法
除法是一种运算，用于将一个数分成若干等份。
被除数被除以除数，得到商和余数。
例如，将6除以2，商是3，余数是0（6 ÷2 = 3，余0）。
除法可以用来计算均等分配、计算比率等。
以上是关于四则运算的解释。
四则运算是数学中基本的运算方式，它们可以用来处理各种数值问题和计算，提高数学运算能力和解决实际生活中的计算需求。
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1：和差问题
已知两个数的和与两个数的差，求这两个数 的问题叫做和差问题。 和差问题的数量关系是： 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2
例1.甲、乙两个书架一共有图书680本。如果从甲书 架上取出40本图书放在乙书架上，那么两个书架 上的图书的本数正好相等。甲、乙两书架原来各 有图书多少本？ 解：（1）甲书架上有图书： （680＋40×2）÷2＝760÷2＝380（本） （2）乙书架上有图书： （680－40×2）÷2＝600÷2＝300（本） 或 680－380＝300（本） 答：甲书架原来有图书380本，乙书架原来有图书 300本。
变式：买5个凳子和4把椅子，共付出320元； 买2个凳子和3把椅子，共付出184元。每个 凳子和每把椅子各是多少元？
• 例2 李明从家出发去学校上学。如果他每分 钟走80米，那么他将会迟到2分钟；如果他 每分钟走100米，那么他会提前5分钟到校。 李明家到学校的路程是多少米？
（80×2）米
李明家
待续……
• 分析2：在车间加工零件的效率不变的情况下，计 划加工零件的个数“1152”个是已经加工零件个 数“192个”的多少倍，那么加工这些零件的时 间也是已经加工零件所用时间的多少倍。 • 分析3：按照一般的思路进行思考，先求每天加工 多少个零件，再求出计划加工1152个所需要的时 间，减去已经加工的4天时间，就能求出剩下的零 件还需要加工多少天。
2：和倍问题
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求 这两个数的问题叫做和倍问题。 如果是已知两个数的和与它们之间的倍数关 系，那么和倍问题的数量关系是： 和÷（倍数＋1）＝标准数（较小数，就是 1份的数） 标准数×倍数＝较大的数，或：和－标 准数＝较大的数
• 例1.学校图书馆买来科技书与故事书共720 本，买来的故事书的本数是科技书的3倍。 买来科技书和故事书各多少本？
例2 2011年，小明爷爷的年龄将是小明年龄 的5倍还多1岁，和小明的年龄的差是小明 出生年的数字和的3倍，问：爷爷2011年多 少岁？
11:盈亏问题
• 例1.给小朋友分水果糖。如果每人分4块水 果糖，那么就多出8块水果糖；如果每人分 6块水果糖，那么就少10块水果糖。小朋友 有多少个？水果糖有多少块？
例2.甲、乙两仓库共存有化肥4300吨，如果 从甲仓库运出300吨化肥存入乙仓库，这时 甲仓库的化肥比乙仓库还多100吨。甲、乙 两仓库原来各存有化肥多少吨？
• 例3 食堂有面粉、大米和黄豆共有960千克。 已知面粉比大米少220千克，大米比黄豆多 80千克。面粉、大米和黄豆各有多少千克？
面粉比大米少220千克 面粉 大米 黄豆 大米比黄豆多80千克
• 例1 甲杯中的盐水重50千克，浓度为28%， 乙杯中的盐水重80千克，浓度为8%。现从 甲杯中取出一些盐水倒入丙杯，再从乙杯 中取出一半盐水倒入丙杯，混合后，讲丙 杯中的盐水40%千克倒入乙杯，余下的倒 入甲杯。结果，甲杯中的盐水浓度是乙杯 中的盐水浓度的2倍。问：甲杯中有多少千 克盐水倒入丙杯？
9：比和比例问题
• 比是对整数除法以及分数的引申、扩展， 它与除数除法、分数有着密切的联系 . • 例1 加工一个零件，甲、乙、丙3个工人所 需要的时间的比是4∶5∶8，现有9200个零 件需要加工，如果甲、乙、丙3个工人用同 样的时间加工，各自应该加工多少个零件？
• 例2 一辆汽车从甲地出发开往乙地，如果把 行驶速度提高20%，那么就可以比原计划 提前1小时到达目的地；如果仍然以原速行 驶120千米后，再将速度提高25%，那么可 以提前40分钟到达目的地。甲、乙两地之 间的路程是多少千米？
• 例1.一辆汽车2小时行130千米。如果用同 样的速度，5小时行多少千米？ • 例2.同学们参加劳动，6个同学糊了108个 纸盒。照这样计算，糊360个纸盒需要多少 个同学？
5：归总问题
例1.车间要加工一批零件，计划18人20天完成。 照这样计算，如果派24人去加工，那么多少天可 以完成？ 分析：题目没有直接给出这个车间要加工零件的总 数（工作总量）。可以这样想，如果假设这批零 件的加工任务是由“1个人”来完成的，那么就需 要的时间是（20×18）天；或者假设这批零件的 加工任务是用“1天”加工完成的，则需要的人数 是（18×20）人，这就是“工作总量”。知道了 这个工作总量，接着再考虑解答“24人去加工多 少天可以完成？”的问题，用除法进行计算。
？米
学校 （100×5）米
7：平均数问题
• 例1.有5个数，它们的平均数是138。如果 再添上2个数240和190，那么这些数的平均 数是多少？
8：浓度问题
• 在题目内容中含有药水、盐水、酒精等， 涉及它们的浓度及其计算的问题，叫做浓 度问题。浓度问题的数量关系是： • 浓度＝溶质重量÷溶液重量×100%＝溶质 重量÷（溶质重量＋溶剂重量）×100%
• 例2.有一批货物，计划用载重量4吨的汽车3 辆12次运完。运了2次以后，剩下的货物要 6次运完，还需要增加几辆汽车？
6：根据两个差求未知数的问题
• 有些问题，可以通过比较已知条件，研究 对应数量的差的变化情况，从而找到问题 的解题方法，这种数学问题就是根据两个 差求未知数的问题。
• 例1.买5个凳子和3把椅子，共付出280元；买2个 凳子和3把椅子，共付出184元。每个凳子和每把 椅子各是多少元？ • 分析：我们把题目中两次购买情况作一些简要的 摘录。 • 5个凳子 3把椅子 共付出280元； • 2个凳子 3把椅子 共付出184元。 • 可以看出，两次买的椅子的把数相同，而买的凳 子的个数不一样，所付出的钱数也不一样。由于 第一次比第二次多买了（5―2）个凳子，因此多 付出了（280―184）元钱。所以就可以先求出每 个凳子的多少元，再求出每把椅子多少元。
3：差倍问题
• 已知两个数的差和它们之间的倍数关系， 求这两个数的问题叫做差倍问题。 • 如果是已知两个数的差与它们之间的倍数 关系，那么差倍问题的数量关系是： • 差÷（倍数－1）＝标准数（较小数，就 是1份的数） • 标准数×倍数＝较大的数，或：差＋标 准数＝较大的数
• 例1.有两桶食油，已知甲桶的油是乙桶的4 倍，甲桶的油比乙桶多36千克。两桶食油 原来各有多少千克？
10：年龄问题
• 涉及几个人的年龄及其年龄之间关系的问 题就是年龄问题。年龄问题往往与和差问 题、和倍问题、差倍问题交织在一起，综 合性强，因此有一定的难度。解答年龄问 题，关键是要抓住年龄差不变的特点进行 分析，找到解答问题的方法。
• 例1.父亲今年48岁，儿子今年12岁。几年 以后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
4：归一问题
• 归一问题是已知两个相关联的量，其中一个量变 化，另一个量也随着发生变化，并且变化的规律 是相同的，这种问题称为归一问题。 • 解答归一问题的关键，往往归结到通过一组相关 联的量，先求出单一量，然后以这个单一量为标 准，求出所要求的数。这种解题方法称为归一法。 归一问题的主要数量关系是： • 总数量÷份数＝单一量
比乙桶多36千克 甲桶 乙桶 ？千克 ？千克
• 例2.原来书店文学类图书的本数是科普类图 书本数的3倍，经过一周，文学类图书卖出 460本，科普类图书卖出60本，这时文学类 图书与科普类图书同样多。原来文学类和 科普类图书各有多少本？
4：倍比问题
• 例1.一辆汽车2小时行驶95千米的路程。照 这样计算，6小时行驶多少千米的路程？ • 分析1：由于车间加工零件的效率不变，剩 下的零件个数是已经加工了的零件个数的 几倍，那么剩下零件的加工天数也就是已 经加工零件天数的几倍。根据同类量之间 的倍数关系就可以解答。
变式：学校图书馆买来科技书与故事书共 820本，买来的故事书的本数是科技书的3 倍还多100本。买来科有图书150本，乙有图书45本，甲给 乙多少本后，甲的本数是乙的2倍？
• 例3 儿童公园运来牡丹、菊花和月季三种花 卉共2500盆，其中菊花的盆数是牡丹的3倍 月季的盆数是菊花的2倍。问这三种花卉各 有多少盆？
• 例4 甲、乙、丙三人共加工3600个零件。乙 比甲多加工240个，丙加工的零件是甲、乙 两人加工的合并在一起的2倍。甲、乙、丙 各自加工多少个零件？ • 分析：甲加工的最少，把甲加工的个数作为 1份（标准数），那么，乙加工的个数就是 这样的1份又240个；丙加工的个数是甲、乙 两人加工的合并在一起的2倍，即是这样的 （1＋1）×2又（242×2）个，所以从总数 3600中减去240个和（242×2）个后，就是 甲加工零件个数的[（1＋1）＋（1＋1）×2] 倍，从而可以先求出甲加工的个数。