第八讲 四则运算问题

？米
学校 （100×5）米
7：平均数问题
• 例1.有5个数，它们的平均数是138。如果 再添上2个数240和190，那么这些数的平均 数是多少？
8：浓度问题
• 在题目内容中含有药水、盐水、酒精等， 涉及它们的浓度及其计算的问题，叫做浓 度问题。浓度问题的数量关系是： • 浓度＝溶质重量÷溶液重量×100%＝溶质 重量÷（溶质重量＋溶剂重量）×100%
10：年龄问题
• 涉及几个人的年龄及其年龄之间关系的问 题就是年龄问题。年龄问题往往与和差问 题、和倍问题、差倍问题交织在一起，综 合性强，因此有一定的难度。解答年龄问 题，关键是要抓住年龄差不变的特点进行 分析，找到解答问题的方法。
• 例1.父亲今年48岁，儿子今年12岁。几年 以后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
• 例1.一辆汽车2小时行130千米。如果用同 样的速度，5小时行多少千米？ • 例2.同学们参加劳动，6个同学糊了108个 纸盒。照这样计算，糊360个纸盒需要多少 个同学？
5：归总问题
例1.车间要加工一批零件，计划18人20天完成。 照这样计算，如果派24人去加工，那么多少天可 以完成？ 分析：题目没有直接给出这个车间要加工零件的总 数（工作总量）。可以这样想，如果假设这批零 件的加工任务是由“1个人”来完成的，那么就需 要的时间是（20×18）天；或者假设这批零件的 加工任务是用“1天”加工完成的，则需要的人数 是（18×20）人，这就是“工作总量”。知道了 这个工作总量，接着再考虑解答“24人去加工多 少天可以完成？”的问题，用除法进行计算。
变式：买5个凳子和4把椅子，共付出320元； 买2个凳子和3把椅子，共付出184元。每个 凳子和每把椅子各是多少元？
• 例2 李明从家出发去学校上学。如果他每分 钟走80米，那么他将会迟到2分钟；如果他 每分钟走100米，那么他会提前5分钟到校。 李明家到学校的路程是多少米？
（80×2）米
李明家
例2.甲、乙两仓库共存有化肥4300吨，如果 从甲仓库运出300吨化肥存入乙仓库，这时 甲仓库的化肥比乙仓库还多100吨。甲、乙 两仓库原来各存有化肥多少吨？
• 例3 食堂有面粉、大米和黄豆共有960千克。 已知面粉比大米少220千克，大米比黄豆多 80千克。面粉、大米和黄豆各有多少千克？
面粉比大米少220千克 面粉 大米 黄豆 大米比黄豆多80千克
• 例1 甲杯中的盐水重50千克，浓度为28%， 乙杯中的盐水重80千克，浓度为8%。现从 甲杯中取出一些盐水倒入丙杯，再从乙杯 中取出一半盐水倒入丙杯，混合后，讲丙 杯中的盐水40%千克倒入乙杯，余下的倒 入甲杯。结果，甲杯中的盐水浓度是乙杯 中的盐水浓度的2倍。问：甲杯中有多少千 克盐水倒入丙杯？
• 例4 甲、乙、丙三人共加工3600个零件。乙 比甲多加工240个，丙加工的零件是甲、乙 两人加工的合并在一起的2倍。甲、乙、丙 各自加工多少个零件？ • 分析：甲加工的最少，把甲加工的个数作为 1份（标准数），那么，乙加工的个数就是 这样的1份又240个；丙加工的个数是甲、乙 两人加工的合并在一起的2倍，即是这样的 （1＋1）×2又（242×2）个，所以从总数 3600中减去240个和（242×2）个后，就是 甲加工零件个数的[（1＋1）＋（1＋1）×2] 倍，从而可以先求出甲加工的个数。
3：差倍问题
• 已知两个数的差和它们之间的倍数关系， 求这两个数的问题叫做差倍问题。 • 如果是已知两个数的差与它们之间的倍数 关系，那么差倍问题的数量关系是： • 差÷（倍数－1）＝标准数（较小数，就 是1份的数） • 标准数×倍数＝较大的数，或：差＋标 准数＝较大的数
• 例1.有两桶食油，已知甲桶的油是乙桶的4 倍，甲桶的油比乙桶多36千克。两桶食油 原来各有多少千克？
2：和倍问题
已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求 这两个数的问题叫做和倍问题。 如果是已知两个数的和与它们之间的倍数关 系，那么和倍问题的数量关系是： 和÷（倍数＋1）＝标准数（较小数，就是 1份的数） 标准数×倍数＝较大的数，或：和－标 准数＝较大的数
• 例1.学校图书馆买来科技书与故事书共720 本，买来的故事书的本数是科技书的3倍。 买来科技书和故事书各多少本？
• 例2.有一批货物，计划用载重量4吨的汽车3 辆12次运完。运了2次以后，剩下的货物要 6次运完，还需要增加几辆汽车？
6：根据两个差求未知数的问题
• 有些问题，可以通过比较已知条件，研究 对应数量的差的变化情况，从而找到问题 的解题方法，这种数学问题就是根据两个 差求未知数的问题。
• 例1.买5个凳子和3把椅子，共付出280元；买2个 凳子和3把椅子，共付出184元。每个凳子和每把 椅子各是多少元？ • 分析：我们把题目中两次购买情况作一些简要的 摘录。 • 5个凳子 3把椅子 共付出280元； • 2个凳子 3把椅子 共付出184元。 • 可以看出，两次买的椅子的把数相同，而买的凳 子的个数不一样，所付出的钱数也不一样。由于 第一次比第二次多买了（5―2）个凳子，因此多 付出了（280―184）元钱。所以就可以先求出每 个凳子的多少元，再求出每把椅子多少元。
9：比和比例问题
• 比是对整数除法以及分数的引申、扩展， 它与除数除法、分数有着密切的联系 . • 例1 加工一个零件，甲、乙、丙3个工人所 需要的时间的比是4∶5∶8，现有9200个零 件需要加工，如果甲、乙、丙3个工人用同 样的时间加工，各自应该加工多少个零件？
• 例2 一辆汽车从甲地出发开往乙地，如果把 行驶速度提高20%，那么就可以比原计划 提前1小时到达目的地；如果仍然以原速行 驶120千米后，再将速度提高25%，那么可 以提前40分钟到达目的地。甲、乙两地之 间的路程是多少千米？
变式：学校图书馆买来科技书与故事书共 820本，买来的故事书的本数是科技书的3 倍还多100本。买来科技书和故事书各多少 本？
• 例2 甲有图书150本，乙有图书45本，甲给 乙百度文库少本后，甲的本数是乙的2倍？
• 例3 儿童公园运来牡丹、菊花和月季三种花 卉共2500盆，其中菊花的盆数是牡丹的3倍 月季的盆数是菊花的2倍。问这三种花卉各 有多少盆？
待续……
比乙桶多36千克 甲桶 乙桶 ？千克 ？千克
• 例2.原来书店文学类图书的本数是科普类图 书本数的3倍，经过一周，文学类图书卖出 460本，科普类图书卖出60本，这时文学类 图书与科普类图书同样多。原来文学类和 科普类图书各有多少本？
4：倍比问题
• 例1.一辆汽车2小时行驶95千米的路程。照 这样计算，6小时行驶多少千米的路程？ • 分析1：由于车间加工零件的效率不变，剩 下的零件个数是已经加工了的零件个数的 几倍，那么剩下零件的加工天数也就是已 经加工零件天数的几倍。根据同类量之间 的倍数关系就可以解答。
4：归一问题
• 归一问题是已知两个相关联的量，其中一个量变 化，另一个量也随着发生变化，并且变化的规律 是相同的，这种问题称为归一问题。 • 解答归一问题的关键，往往归结到通过一组相关 联的量，先求出单一量，然后以这个单一量为标 准，求出所要求的数。这种解题方法称为归一法。 归一问题的主要数量关系是： • 总数量÷份数＝单一量
第八讲 四则运算应用题
1：和差问题
已知两个数的和与两个数的差，求这两个数 的问题叫做和差问题。 和差问题的数量关系是： 大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2
例1.甲、乙两个书架一共有图书680本。如果从甲书 架上取出40本图书放在乙书架上，那么两个书架 上的图书的本数正好相等。甲、乙两书架原来各 有图书多少本？ 解：（1）甲书架上有图书： （680＋40×2）÷2＝760÷2＝380（本） （2）乙书架上有图书： （680－40×2）÷2＝600÷2＝300（本） 或 680－380＝300（本） 答：甲书架原来有图书380本，乙书架原来有图书 300本。
例2 2011年，小明爷爷的年龄将是小明年龄 的5倍还多1岁，和小明的年龄的差是小明 出生年的数字和的3倍，问：爷爷2011年多 少岁？
11:盈亏问题
• 例1.给小朋友分水果糖。如果每人分4块水 果糖，那么就多出8块水果糖；如果每人分 6块水果糖，那么就少10块水果糖。小朋友 有多少个？水果糖有多少块？
• 分析2：在车间加工零件的效率不变的情况下，计 划加工零件的个数“1152”个是已经加工零件个 数“192个”的多少倍，那么加工这些零件的时 间也是已经加工零件所用时间的多少倍。 • 分析3：按照一般的思路进行思考，先求每天加工 多少个零件，再求出计划加工1152个所需要的时 间，减去已经加工的4天时间，就能求出剩下的零 件还需要加工多少天。