考研数学三必背知识点：概率论与数理统计

概率论与数理统计必考知识点

一、随机事件和概率

1、随机事件及其概率

二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

2、

3..

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布

2、离散型二维随机变量条件分布

3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰

∞-∞

-=

x y

dvdu v u f y x F ),(),(

4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰

∞-+∞

∞

-=

x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰

+∞

∞

-=

dv v x f x f X ),()(

5、二维随机变量的条件分布

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型随机变量：∑+∞

==1

)(k k k

p x

X E 连续型随机变量：⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

2、数学期望的性质

(1)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质

(1)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)

()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关

7、协方差和相关系数的性质 8

五、大数定律和中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2

)

(})({ξξX D X E X P ≤

≥-或2

)

(1})({ξξX D X E X P -

≥<-

2、大数定律：若n X X Λ1相互独立且∞→n 时，

∑∑

==−→

−n

i i

D

n

i i X E n

X n

11

)(1

1

(1)若n X X Λ1相互独立，2)

(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2

σ则：

∑∑

==∞→−→

−n

i i

P

n

i i n X E n

X n

1

1

)(),(1

1

(2)若n X X Λ1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−

∑=P

n i i X n 1

1 3、中心极限定理

(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有： (2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n Λ=η则对任意x 有：

(3)近似计算：)(

)(

)(

)(1

1

σ

μσ

μσ

μσ

μ

σ

μn n a n n b n n b n n X

n n a P b X a P n

k k

n

k k -Φ--Φ≈-≤

-≤

-=≤≤

∑∑

==

六、数理统计

1、总体和样本

总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X Λ的联合分布为)(),(121k n

k n x F x x x F =∏=Λ

2、统计量

(1)样本平均值：∑

==

n

i i X n

X 1

1

(2)样本方差：∑∑

==--=

--=

n

i i

n

i i X n X

n X X n S 1

2

2

1

2

2

)(11

)(1

1

(3)样本标准差：∑

=--=

n

i i X X n S 1

2

)(1

1 (4)样本k 阶原点距：Λ2,1,1

1

==

∑=k

X

n A n

i k

i k

(5)样本k 阶中心距：∑==-=

=n

i k i

k k k X X

n

M B 1

3,2,)(1

Λ

(6)次序统计量：设样本),(21n X X X Λ的观察值),(21n x x x Λ，将n x x x Λ21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤Λ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤Λ为样本

),(21n X X X Λ的次序统计量。),min(21)1(n X X X X Λ=为最小次序统计量；),max(21)(n n X X X X Λ=为

最大次序统计量。 3、三大抽样分布

(1)2χ分布：设随机变量n X X X Λ21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量

2

22212n X X X Λ++=χ所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ

性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ (2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则随机变量：n

Y X T =

所服从的分布称

为自由度的n 的t 分布，记为)(~n t T

性质：①)2(,2)]([,0)]([>-==n n n n t D n t E ②2

2

2)(21)1,0()(lim σμπ

--∞→=

=x n e N n t

(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U χχ，且U 与V 独立，则随机变量2

1

21),(n V n U n n F =所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布，记为),(~21n n F F 性质：设),(~n m F X ，则

),(~1

m n F X

七、参数估计

1、参数估计

(1) 定义：用),,(21n X X X Λ∧

θ估计总体参数θ，称),,(21n X X X Λ∧

θ为θ的估计量，相应的),,(21n X X X Λ∧

θ为总体θ的估计值。

(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩） 离散型样本均值：∑

==

=n

i i X n

X E X 1

1

)( 连续型样本均值：dx x xf X E X ⎰

+∞

∞

-=

=),()(θ