电磁场与电磁波静电场

dq dS
线电荷密度：
l
q lim l0 l
dq dl
空间§一2.点1.的2电电场场强强度定度义（为单该位点：伏z /米，VRv/mrv)rv
的单位正试验电荷所受到的力
q
• 真空中点电荷电场强度为：
Ev(rv) q
4 0
v R R3
q
4 0
rv rv rv rv 3
rv
x0
rv
y
•
真空中n个点电荷：Ev(rv)
n qi
i1 4 0
rv rvi rv rvi 3
n qi
i1 4 0
evR R2
•
体分布电荷：Ev(rv) 1
4 0
V
(rv)(rv rv rv 3
rv)dV
1
4 0
V
(rv)evR R2
dV
• 面分布电荷：Ev(rv) 1
4 0
S
S
(rv)(rv rv rv 3
rv)dS
第二章 静电场
§2.1 库仑定律与电场强度 §2.2 高斯定理 §2.3 静电场的旋度与静电场的电位 §2.4 电偶极子 §2.5 电介质中的场方程 §2.6 静电场的边界条件 §2.7 导体系统的电容 §2.8 电场能量与能量密度 §2.9 电场力
本章重点
• 库仑定律与电场强度 • 真空中静电场的基本方程 • 电介质中的静电场方程 • 静电场的电位 • 静电场的边界条件 • 导体系统的电容 • 电场能量与能量密度
用球坐标中的散度公式
v A
1 r2
(r 2 Ar ) r
1
r sin
(sin A )
1
r sin
A
可得
0 ra
o E0
15 2a 3
(a2
r2)
ra
例的：线有电荷限，长求直线线外l上任均意匀点分P布的着电线场密强度度为ρl
解：采用圆柱坐标系，在直线l上选一
线元dz′,其上的电荷为ρl dz′，它在场
z
rv
v R
rv rv (z2 a2 )1 2
0
dl ad
y
x
rv
所以
Ev(rv) l
4 0
2 0
( zevz
a
cos evx a
(a2 z2 )3 2
sin
evy
)
ad
al 2 0
(a2
z z2 )3 2
evz
补充作业
两点电荷q1=8C，位于x轴上x=4处， q2 =-4C，位于y轴上y=4处，求z轴 上点（0，0，4）处的电场强度。
§2.1 库仑定律与电场强度
§2.1.1 库仑定律
• 定律：真空中两个点电荷之间的作用力的大小与
两点电荷量之积成正比，与距离平方成反比，力
的方向沿着它们的连线，同号相斥，异号相吸。
• 表达式： 只能直接用于点电荷
v
v F
qq
4 0 R2
v R0
qq
4 0
R R3
z
q
rv
v R
rv
rv
q
rv
真空介电常数：
当r≤a时，Er 4 r 2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 3 0
(r )
例 2 - 3 已知半径为a的球内、 外的电场强度为
v E
evr E0
a2 r2
(r
a)
v E
evr E0
5
r 2a
3
r3 2a 3
(r
a) 求电荷分布。
解：由高斯定理的微分形式
v E
， 得电荷密度为
v0
0 E
点电荷q的电场穿过任意闭曲面S的通量： 立体角
蜒S Ev
v dS
q
4 0
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rv rv rv rv 3
v dS
q
4 0
?S d
若q位于S内部，立体角为4π；若q位于S外部，立
体角为零。
Ñ 点电荷系或分布电荷的高斯定理
vv E dS
Q
S
0
高斯定理积分形式：S
n
E
dS
Q
0
点电荷：Q q
1
4 0
S
S
(rv)evR R2
dS
• 线分布电荷：Ev(rv) 1
4 0
l
l
(rv)(rv rv rv 3
rv)dl
1
4 0
l
l
(rv)evR R2
dl
例2-1 半径为a的均匀带电圆环，求轴线上电场强度。
解： 取如图坐标系，设电荷密度为 l
rv zevz
rv a cos evx a sin evy
§2.2 高斯定理
一、立体角（单位，球面度）
• 定义：由过一点的射线绕过
S
该点的某一轴旋转一周所扫 o
出的锥面所限定的空间
》如果以o’球心，R为半径作球面，若立体角的锥面
在球面上截下的面积为S，则立体角为： S / R2(sr)
整个球面对球心的立体角为 4
》任意面元对某点o’
d
dS cos
R2
0
y
表征真空电性质的物理量 x
0
8.854 1012
1
36
109 F
/
m
分布电荷：对于实际带电体，应看成是连续分布在 一定区域内，如一段线，一个面，一个体积。 电荷密度：定量描述电荷的空间分布情况
体电荷密度：
V
q lim V 0 V
dq dV
q 为体积元 V 上的电荷
面电荷密度： S
q lim S0 S
关键：高斯面的选择。 高斯面的选择原则：
v E
//
dSv或
• 场点位于高斯面上；
v S
v S1
v S2
且Ev
//
v dS1 ,
v E
v dS2
• 高斯面为闭合面；
• 在整个或分段高斯面上，Ev或Ev dSv为恒定值
微分形式：从电场分布计算电荷分布。
对高斯定理的讨论
• 物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内 所围电荷量有关。
v dS
(rv
rv)
rv rv 3
v dS
整个曲面S对点o’
v
R
(rv
rv)
v dS
S rv rv 3
o
rv
rv
闭合曲面S对点o’
o
蜒 S d
S
(rv rv) dS rv rv 3
4
0
rv 在S内 rv 在S外
二、高斯定理
高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭
合面内电荷间的关系。
• 静电荷是散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 • 无电荷处，散度为零，但电场不一定为零。
例2-2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的 电荷，试求任意点的电场强度。
解：作一个与带电体同心、半径为r的球面为高斯面。
当r>a时，Er 4 r 2
0 0
4
3
a3
故
Er
0a3 3 0r 2
(r )
多个点电荷：Q qi i
体分布电荷： Q dV V
面分布电荷：Q S S dS 线分布电荷： Q l l dl
高斯定理微分形式：
E
0
证明
若闭合面内的电荷密度为
，有
S
E
dS
1
0
V
dV
利用散度定理：V
EdV
1
0
V
dV
由于体积V是任意的，所以有
E
0
高斯定理应用：
积分形式：求电场，适用于呈对称分布的电荷系统。
点P(ρ,φ,z)的电场强度为
dE
1
4 0
l dz
R2
eR
Ev(rv) 1
4 0
l
l
(rv)evR R2
dl
由于直线电荷具有轴对称性，因此
电场 dE可以分解为如下三个分量：