第二章流体静力学
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7
按照平衡条件，所有 作用于微小四面体上 的外力在各坐标轴上 投影的代数和应分别 为零。
Ax
1 An cos(n, x) yz 6
1 An cos( n, y ) zx 6 1 An cos( n, z ) xy 6
而四面体四个表面面积：
Ay
x y z
积分得
p z C g
而自由面上
z z0 ,
p p 0 g g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 g ( z0 z)
式中 深度。
p p0 gh
h z 0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
p0 ：自由面上的气体压强。
20
（1） 静止液体内任意点的静水压强有两 部分组成：一部分是自由面上的气体压强P0 ，另一部分相当于单位面积上高度为h的水
12
同理可得
f y f x y x f y f z z y f x f z x z
满足上式必然 存在力势函数
U（x, y, z )
U fx x U fy y U fz z
p p p
v a
'
真空值用液柱高度表示，称为真空度
h
v
p
v
p p
a
23
四、 测压管高度，测压管水头
（一）、测压管高度及测压管水头
压强大小的表示： 1. 以单位面积上的压力数值即千帕 （KPa）来表示。 2. 用液柱高表示。 液体中任一点的相对压强可以用测压管内的液体高度 p 来表示，称为测压管高度，即 h 。把任一点的测压
）。
p 80kPa
'
解：绝对压强
或为
或为
相对压强 柱
98
80 736 601mm 98
80 10 8.16 m 98
水柱
水银柱
p p' pa 80 98 18kPa
13.6
或为 18 10 1.84 m 水柱， 或为 1840 135 mm 水银
C点的相对静水压强为
p p' pa 94.8 98 3.2kPa
相对压强为负值，说明 C点存在 真空。真空值为
pk pa p 98 94.8 3.2kPa
'
若求水箱的绝对压强和相对压强的最大值；相对压强最小值，真空度最大值
27
例2-3：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大 气压强为 98kN/m2 ，在水箱右下侧连接一根封闭的测 压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空）， 求测压管水面比水箱水面高出的h值为多少？ 解：因水箱和测压管内是互相连通 的同种液体，故和水箱自由表面同高 程的测压管内N点，应与自由表面位于 同一等压面上，其压强应等于自由表 ' pa 。 面上的大气压强，即 p N
Fpz
Fpz Fpn 1 1 zf z 0 lim ( zf z ) 0 pz pn V 0 A Apz An 3 A 3 z n
Fpn
所以
p x p y p z pn
8
2－2 液体平衡的微分方程式及其积分
液体平衡微分方 程式:是表征液体处
静水压强：取微小面积
水压力为
P
A
，令作用于 A 的静
，则 A 面上单位面积所受的平均静水
P p A
压力为
，当 A 趋向零，其极限
P p lim 值为该形心点的静水压强： A 0 A
静水压强 p 的单位：牛顿／米 2 （ N／ m2 ），又称为 “帕斯卡”（Pa）。98kPa =1个工程大气压 ＝10m 水柱 ＝736mm水银柱
13
二、积分方程
对 dp
dU 进行积分可得
0
p U C
如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强 为 p0 、力势函数为U ，则 积分常数
C p0 U 0
得 p p0 (U U 0 ) 结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液 体内的一切点上；即当 p0 增大或减小时，液体内任意 点的压强也相应地增大或减小同样数值。
第二章 水静力学
水静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其实
际应用。
液体的平衡状态有两种：一种是静止状态；
另一种是相对平衡状态。 注意：液体在平衡状态下没有内擦力，此时理想液 体和实际液体一样。
1
2－1 静水压强及其特性
一、静水压力
与静水压强
如图所示：
2
静水压力： 静止（或处于相对平衡状态）液体
作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压 力， 常以字母P表示。单位：牛顿（N）
柱重量。 （2）淹没深度相同的各点静水压强相等 ，只适用于质量力只有重力的同一种连续 介质。对不连续液体或一个水平面穿过了 两种不同介质，位于同一水平面上的各点 压强并不相等。
21
二、 绝对压强、相对压强与真空值
（一）、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压
强，称为绝对压强。总是正的。
等压面性质2：等压面与质量力正交。
17
（a）
（b）
（c）
18
2－3 重力作用下流体静压强的分布 规律
一、流体静力学方程
实际工程中，作用 于平衡液体上的质 量力常常只有重力 ，即所谓静止液体 。
19
重力作用下 X＝0，Y＝0，Z＝－g ，代入平衡微分方 程式
dp ( f dx f dy f dz) gdz
后相加得。
p p p dx dy dz dp ( f x dx f y dy f z dz) x y x
上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达 形式。
将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数
f x f y 2 p ( f x ) ( f y ) yx y x y x
真空值
pk pa p' 98 80 18kPa
26
真空度：或为1.84mm水柱 ， 或为135mm水银柱
例2-2：一封闭水箱（见图），水深为2m，自由面上气体
绝对压强 为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C的
绝对静水压强、相对静水压强和真空值。
解：C点绝对静水压强为
p' p0 gh 85 9.8 1 94.8kPa
Az
则有
Fpx Fpx Fpn 1 1 xf x 0 lim ( xf x ) 0 p x pn V 0 A Ax An 3 A 3 x n
Fpn
Fpn
Fpy
Fpy Fpn 1 1 yf y 0 lim ( yf y ) 0 p y pn V 0 A Ay An 3 A 3 y n
3
二、静水压强的特性
静水压强的两个重要特性：
1 ．静水压强的方向与受
压面垂直并指向受压面。
4
2．任一点静水压强的大小和受压面方向无 关，或者说作用于同一点上各方向的静 水压强大小相等。
(a)
(b)
5
理论证明静水压强具有各向同性
为作用在O`DB面 上的静水压力； Fpz 为作用在O`DC 面上的静水压力； Fpy 为作用在O`BC 面上的静水压力； Fpn 为作用在DBC面 上的静水压力；
证明：在平衡液体中 任取一等压面，质点M 质量为dm，在质量力F
作用下沿等压面移动。
F ( f xi f y j f z k )dm ds (dxi dyj dzk)
16
力 F 沿 ds 移动所做的功可写作矢量F与ds的数性 积：W F ds ( f x dx f y dy f z dz)dm W dUdm 因等压面上 dU=0 ，所以W=F*ds=0。也即质量力 必须与等压面正交。 注意: (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必 定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正 交的曲面; (2) 平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3) 不同流体的交界面也是等压面。 (4)同时满足同种、连续、静止这三个条件的水平 面必是等压面。
25
Βιβλιοθήκη Baidu
静止液体中的能量守恒定律：
z dm gz dm g
dm g p g dm g
例 2-1 若 已 知 抽 水 机 吸 水 管 中 某 点 绝 对 压 强 为
80kN/m2，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱 及 水 银 柱 表 示 出 来 （ 已 知 当 地 大 气 压 强 为
pa 98kPa
于平衡状态下，作 用于液体上各种力
之间的关系式。
取平行六面体如图： A（ x,y,z) 点压强为p，单位质量力为f
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 2!
9
一、微分方程
1．表面力
X方向：静水压力各为 ( p
这就是物理学中著名的帕斯卡原理。
14
三 等压面
等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可
能是平面也可能是曲面）。
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。 等压面上 p=Const，故 dp=0，亦即ρ dU=0。 对不可压缩均质液体，ρ 为常数，由此dU=0，即
U=Const
15
2．等压面与质量力正交。
管高度与该点相对于基准面的位置高度之和称为测压管水 p 头，即 z
24
（二）、静力学基本方程的意义
在静力学的基本方程式
z p Const g
中：
z：位置水头，静止液体内任意点在参考坐标平面
p ：压强水头，是该点的压强高度。 g
(z p ) g
以上的几何高度。
： 测压管水头。 代表了单位重量液体所具有的位能。 代表了单位重量液体所具有的压能。
Fpx
6
1 四面体总质量力： F xyzf 6
总质量力在三个坐标 方向的投影为：
1 F xyzf x x 6 F 1 xyzf y y 6 1 Fz xyzf z 6
1 Fpx Fpn cos(n, x) xyzf x 0 6 1 Fpy Fpn cos(n, x) xyzf y 0 6 1 Fpz Fpn cos(n, x) xyzf z 0 6
x
10
同理，对于 Y 、 Z 方向可推出类似结果，从而得到
欧拉平衡微分方程组：
p f x x p f y y p f z z
该式的物理意义为： 平衡液体中，静水压强沿某
一方向的变化率与该方向单位体积液体的质量力相等。
11
将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然
（二）、 相对压强
把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。 可正可负。 以 p' 表示绝对压强，p表示相对压强， p a 则表示当地 的大气压强。则有
'
p p' pa gh
22
绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。
相对压强为负值时，则称该点存在真空。
真空值是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。
p dx p dx 及 )dydz (p )dydz 。 x 2 x 2
2．质量力
X方向：
f x dxdydz
。
p dx p dx 则X方向： ＝0 )dydz ＋ f x dxdydz (p )dydz － ( p x 2 x 2
以
dxdydz 除上式各项并化简后为： p f x
从测压管来考虑 p' p gh gh N 0 因（ p0 0 ） pa 98 10m 故 pa gh h g 9.8
28
静止液体的压强分布图
(1)按一定比例，用线段长度代表该点静水压强 的 大小。 (2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂 直。
有力势函数的全微分应等于：
U U U dU dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z
上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡
故有
U U U dp ( dx dy dz) dU x y dz
按照平衡条件，所有 作用于微小四面体上 的外力在各坐标轴上 投影的代数和应分别 为零。
Ax
1 An cos(n, x) yz 6
1 An cos( n, y ) zx 6 1 An cos( n, z ) xy 6
而四面体四个表面面积：
Ay
x y z
积分得
p z C g
而自由面上
z z0 ,
p p 0 g g
得出静止液体中任意点的静水压强计算公式：
p p0 g ( z0 z)
式中 深度。
p p0 gh
h z 0 z ：表示该点在自由面以下的淹没
p0 ：自由面上的气体压强。
20
（1） 静止液体内任意点的静水压强有两 部分组成：一部分是自由面上的气体压强P0 ，另一部分相当于单位面积上高度为h的水
12
同理可得
f y f x y x f y f z z y f x f z x z
满足上式必然 存在力势函数
U（x, y, z )
U fx x U fy y U fz z
p p p
v a
'
真空值用液柱高度表示，称为真空度
h
v
p
v
p p
a
23
四、 测压管高度，测压管水头
（一）、测压管高度及测压管水头
压强大小的表示： 1. 以单位面积上的压力数值即千帕 （KPa）来表示。 2. 用液柱高表示。 液体中任一点的相对压强可以用测压管内的液体高度 p 来表示，称为测压管高度，即 h 。把任一点的测压
）。
p 80kPa
'
解：绝对压强
或为
或为
相对压强 柱
98
80 736 601mm 98
80 10 8.16 m 98
水柱
水银柱
p p' pa 80 98 18kPa
13.6
或为 18 10 1.84 m 水柱， 或为 1840 135 mm 水银
C点的相对静水压强为
p p' pa 94.8 98 3.2kPa
相对压强为负值，说明 C点存在 真空。真空值为
pk pa p 98 94.8 3.2kPa
'
若求水箱的绝对压强和相对压强的最大值；相对压强最小值，真空度最大值
27
例2-3：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大 气压强为 98kN/m2 ，在水箱右下侧连接一根封闭的测 压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空）， 求测压管水面比水箱水面高出的h值为多少？ 解：因水箱和测压管内是互相连通 的同种液体，故和水箱自由表面同高 程的测压管内N点，应与自由表面位于 同一等压面上，其压强应等于自由表 ' pa 。 面上的大气压强，即 p N
Fpz
Fpz Fpn 1 1 zf z 0 lim ( zf z ) 0 pz pn V 0 A Apz An 3 A 3 z n
Fpn
所以
p x p y p z pn
8
2－2 液体平衡的微分方程式及其积分
液体平衡微分方 程式:是表征液体处
静水压强：取微小面积
水压力为
P
A
，令作用于 A 的静
，则 A 面上单位面积所受的平均静水
P p A
压力为
，当 A 趋向零，其极限
P p lim 值为该形心点的静水压强： A 0 A
静水压强 p 的单位：牛顿／米 2 （ N／ m2 ），又称为 “帕斯卡”（Pa）。98kPa =1个工程大气压 ＝10m 水柱 ＝736mm水银柱
13
二、积分方程
对 dp
dU 进行积分可得
0
p U C
如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强 为 p0 、力势函数为U ，则 积分常数
C p0 U 0
得 p p0 (U U 0 ) 结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液 体内的一切点上；即当 p0 增大或减小时，液体内任意 点的压强也相应地增大或减小同样数值。
第二章 水静力学
水静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其实
际应用。
液体的平衡状态有两种：一种是静止状态；
另一种是相对平衡状态。 注意：液体在平衡状态下没有内擦力，此时理想液 体和实际液体一样。
1
2－1 静水压强及其特性
一、静水压力
与静水压强
如图所示：
2
静水压力： 静止（或处于相对平衡状态）液体
作用在与之接触的表面上的水压力称为静水压 力， 常以字母P表示。单位：牛顿（N）
柱重量。 （2）淹没深度相同的各点静水压强相等 ，只适用于质量力只有重力的同一种连续 介质。对不连续液体或一个水平面穿过了 两种不同介质，位于同一水平面上的各点 压强并不相等。
21
二、 绝对压强、相对压强与真空值
（一）、 绝对压强
设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压
强，称为绝对压强。总是正的。
等压面性质2：等压面与质量力正交。
17
（a）
（b）
（c）
18
2－3 重力作用下流体静压强的分布 规律
一、流体静力学方程
实际工程中，作用 于平衡液体上的质 量力常常只有重力 ，即所谓静止液体 。
19
重力作用下 X＝0，Y＝0，Z＝－g ，代入平衡微分方 程式
dp ( f dx f dy f dz) gdz
后相加得。
p p p dx dy dz dp ( f x dx f y dy f z dz) x y x
上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达 形式。
将欧拉方程前两式分别对y和x取偏导数
f x f y 2 p ( f x ) ( f y ) yx y x y x
真空值
pk pa p' 98 80 18kPa
26
真空度：或为1.84mm水柱 ， 或为135mm水银柱
例2-2：一封闭水箱（见图），水深为2m，自由面上气体
绝对压强 为85kN/m2，求液面下淹没深度h为1m处点C的
绝对静水压强、相对静水压强和真空值。
解：C点绝对静水压强为
p' p0 gh 85 9.8 1 94.8kPa
Az
则有
Fpx Fpx Fpn 1 1 xf x 0 lim ( xf x ) 0 p x pn V 0 A Ax An 3 A 3 x n
Fpn
Fpn
Fpy
Fpy Fpn 1 1 yf y 0 lim ( yf y ) 0 p y pn V 0 A Ay An 3 A 3 y n
3
二、静水压强的特性
静水压强的两个重要特性：
1 ．静水压强的方向与受
压面垂直并指向受压面。
4
2．任一点静水压强的大小和受压面方向无 关，或者说作用于同一点上各方向的静 水压强大小相等。
(a)
(b)
5
理论证明静水压强具有各向同性
为作用在O`DB面 上的静水压力； Fpz 为作用在O`DC 面上的静水压力； Fpy 为作用在O`BC 面上的静水压力； Fpn 为作用在DBC面 上的静水压力；
证明：在平衡液体中 任取一等压面，质点M 质量为dm，在质量力F
作用下沿等压面移动。
F ( f xi f y j f z k )dm ds (dxi dyj dzk)
16
力 F 沿 ds 移动所做的功可写作矢量F与ds的数性 积：W F ds ( f x dx f y dy f z dz)dm W dUdm 因等压面上 dU=0 ，所以W=F*ds=0。也即质量力 必须与等压面正交。 注意: (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必 定是水平面，也即等压面应是处处和地心引力成正 交的曲面; (2) 平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3) 不同流体的交界面也是等压面。 (4)同时满足同种、连续、静止这三个条件的水平 面必是等压面。
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静止液体中的能量守恒定律：
z dm gz dm g
dm g p g dm g
例 2-1 若 已 知 抽 水 机 吸 水 管 中 某 点 绝 对 压 强 为
80kN/m2，试将该点绝对压强、相对压强和真空度用水柱 及 水 银 柱 表 示 出 来 （ 已 知 当 地 大 气 压 强 为
pa 98kPa
于平衡状态下，作 用于液体上各种力
之间的关系式。
取平行六面体如图： A（ x,y,z) 点压强为p，单位质量力为f
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 2!
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一、微分方程
1．表面力
X方向：静水压力各为 ( p
这就是物理学中著名的帕斯卡原理。
14
三 等压面
等压面：静水压强值相等的点连接成的面（可
能是平面也可能是曲面）。
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。 等压面上 p=Const，故 dp=0，亦即ρ dU=0。 对不可压缩均质液体，ρ 为常数，由此dU=0，即
U=Const
15
2．等压面与质量力正交。
管高度与该点相对于基准面的位置高度之和称为测压管水 p 头，即 z
24
（二）、静力学基本方程的意义
在静力学的基本方程式
z p Const g
中：
z：位置水头，静止液体内任意点在参考坐标平面
p ：压强水头，是该点的压强高度。 g
(z p ) g
以上的几何高度。
： 测压管水头。 代表了单位重量液体所具有的位能。 代表了单位重量液体所具有的压能。
Fpx
6
1 四面体总质量力： F xyzf 6
总质量力在三个坐标 方向的投影为：
1 F xyzf x x 6 F 1 xyzf y y 6 1 Fz xyzf z 6
1 Fpx Fpn cos(n, x) xyzf x 0 6 1 Fpy Fpn cos(n, x) xyzf y 0 6 1 Fpz Fpn cos(n, x) xyzf z 0 6
x
10
同理，对于 Y 、 Z 方向可推出类似结果，从而得到
欧拉平衡微分方程组：
p f x x p f y y p f z z
该式的物理意义为： 平衡液体中，静水压强沿某
一方向的变化率与该方向单位体积液体的质量力相等。
11
将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然
（二）、 相对压强
把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。 可正可负。 以 p' 表示绝对压强，p表示相对压强， p a 则表示当地 的大气压强。则有
'
p p' pa gh
22
绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。
相对压强为负值时，则称该点存在真空。
真空值是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。
p dx p dx 及 )dydz (p )dydz 。 x 2 x 2
2．质量力
X方向：
f x dxdydz
。
p dx p dx 则X方向： ＝0 )dydz ＋ f x dxdydz (p )dydz － ( p x 2 x 2
以
dxdydz 除上式各项并化简后为： p f x
从测压管来考虑 p' p gh gh N 0 因（ p0 0 ） pa 98 10m 故 pa gh h g 9.8
28
静止液体的压强分布图
(1)按一定比例，用线段长度代表该点静水压强 的 大小。 (2)用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂 直。
有力势函数的全微分应等于：
U U U dU dx dy dz f x dx f y dy f z dz x y z
上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡
故有
U U U dp ( dx dy dz) dU x y dz