直角三角形的边角关系测试题(1)

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人教版苏科版初中数学—直角三角形的边角关系(经典例题 )

班级小组姓名成绩（满分120）一、锐角三角函数（一）正切、正弦、余弦的定义：（共4小题，每题3分，题组共计12分）例1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=1，BC=2,则tanB的值是()A.55 B.12 C.2 D.13例1.变式1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则sinB的值为()A.512 B.1213 C.513 D.135例1.变式2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，三边分别为a，b，c，则cosA=()A.ac B.abC.ba D.bc例1.变式3.在Rt△ABC中，∠C=90°,cosB=513，BC=15,则AC=.（二）坡度（坡比）（共4小题，每题3分，题组共计12分）例2.某段公路每在水平方向上前进100米，就升高4米，则路面的坡度为.例2.变式1.如图，某人从山脚下的点A沿着斜坡走了1000米到达山顶B点，已知山顶到山脚的垂直距离为500米，则山坡的坡度为.例2.变式2.已知传送带与水平面所成斜坡的坡度为1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米.例2.变式3.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1:2，则斜坡AB的长为()A.3B.5C.5D.24米二、30°，45°，60°角的三角函数值（共4小题，每题3分，题组共计12分）例3.在△ABC 2，则∠B 的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°例3.变式1.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=2BC，则sin B 的值为()A.12B.22C.32D.1例3.变式2.计算：22sin 60cos 453tan 30sin 45tan 30-︒︒+︒︒︒例3.变式3.计算：())2231360-+-︒三、解直角三角形（一）解直角三角形的方法（共4小题，每题3分，题组共计12分）例4.如图,在Rt△ABC 中，斜边AB 的长为m，∠B=40°，则直角边BC 的长是()A.sin 40m ︒B.cos 40m ︒C.tan 40m ︒D.tan 40m ︒例4.变式1.在Rt△ABC 中，∠C=90°,若∠A=45°,a=1，则∠B=,b=,c=.例4.变式2.如图，在△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a，b，c,且b=85,∠BAC的平分线16153.例4.变式3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,sin A=25，D为AC上一点,∠BDC=45°,CD=6,求AB的长.（二）解直角三角形综合（共4小题，每题3分，题组共计12分）例5.如图，在△ABC中,已知AB=32,AC=4,∠A=60°,求ABCS的值.例5.变式1.等腰三角形的底边长为10cm,周长为36cm,那么底角的余弦值是()A.513 B.1213 C.1013 D.512例5.变式2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,∠BAC的平分线交BC于D,AD=1033cm，求∠B,AB,BC.例5.变式3.如图,某幼儿园为了加强安全管理,决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°,已知原滑滑板AB的长为5米,点D,B,C在同一水平地面上.改善后滑滑板会加长多少米?(结果精确到0.01236≈2.449)四、三角函数的应用（一）仰角和俯角（共4小题，每题3分，题组共计12分）例6.如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°,飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()A.1200米B.2400米C.4003米D.12003米例6.变式1.如图，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米例6.变式2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=米.例6.变式3.如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D处与C，B在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，问荷塘宽BD为多少米？(取3 1.73，结果保留整数)（二）方向角（共4小题，每题3分，题组共计12分）例7.如图，上午9时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时到达B处,从A，B望灯塔C，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B处到灯塔C的距离是()A.20海里B.36海里C.72海里D.40海里例7.变式1.如图所示，一只船向东航行，上午9时到达一座灯塔P的西南方向60海里的N处,上午11时到达这座灯塔的正南的M处，则这只船航行的速度为海里/时.例7.变式2.如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向(点A，B，C在同一水平面上).请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离(结果精确到1米).(参考数据:sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin 65°≈0.9063，cos65°≈0.4226，tan65°≈ 2.1445)例7.变式3.如图,一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向,这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行,半小时后到达B处,在B处看见灯塔M在北偏东15°方向,此时灯塔M与渔船的距离是()A.72海里B.142海里C.7海里D.14海里（三）运用三角函数的解决实际问题（共4小题，每题3分，题组共计12分）例8.在倾斜角为32°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么相邻两棵树间的斜坡距离为()A.3sin32︒米B.3cos32︒米C.3tan32︒米D.3 cos32︒米例8.变式1.如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A.20海里B.103海里C.202海里D.30海里例8.变式2.如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO(不计粗细)上有两个木瓜A，B(不计大小),树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°，木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO(结果精确到132≈1.41).例8.变式3.如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处.(1)求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离；(2)若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗船以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗船之前去救货轮?(结果保留根号)五、利用三角函数测高（一）测量底部可以到达的物体的高度（共4小题，每题3分，题组共计12分）例9.如图，在离铁塔150m的A处，用测倾器测得塔顶的仰角为30°，已知测倾器高AD=1.52m，则塔高BE≈.(精确到2≈3≈ 1.732).例9.变式1.如图，已知楼AB高30m，从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60°，又从离地面5m一窗口E处测旗杆顶C的仰角为45°，则旗杆CD的高是m.例9.变式2.某兴趣小组用仪器测量湛江海湾大桥主塔的高度.如图，在距主塔AE60米的D处，用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD=1.3米，求主塔AE的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈ 2.48).例9.变式3.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为()A.(63+米B.12米+米 D.10米C.(423（二）测量底部不可以到达的物体的高度（共4小题，每题3分，题组共计12分）例10.如图，已知两测角α，β和两测点距离BC，则高AD 等于()A.tan tan tan tan BC αββα⋅⋅- B.11tan tan BC αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.tan tan BC αβ- D.()tan tan BC αβ-例10.变式1.如图，河对岸有一座小山AB，在C 处测得山顶A 的仰角是30°，向小山前进16米到D 处，测得A 的仰角是45°,求小山AB 的高.例10.变式2.如图，两建筑物的水平距离为a，从A 点测得D 点的俯角为α,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高度为()A.aB.tan a αC.()sin cos a αα- D.()tan tan a βα-例10.变式3.如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔.小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D 处，测得地面上点B 的俯角α为45°，点D 到AO 的距离DG 为10米；从地面上的点B 沿BO 方向走50米到达点C 处，测得塔尖A 的仰角β为60°.请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差.(参考数据：3≈ 1.732，2≈1.414，结果精确到0.1米)。

直角三角形的边角关系测试题(含A组答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题(每小题2分,共计24分):1．在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（） A ．sin a c B = B ．cos a b B = C ．tan c a B = D ．tan a b A =2. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且（cosA-12 ）2+|tanB-3 |=0，你认为最确切的判断是( )A.△ABC 是等腰三角形B.△ABC 是等腰直角三角形C.△ABC 是直角三角形D.△ABC 是等边三角形 3.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=12，则sinB 等于( ) A 、15 B 、15 5 C 、25 5 D 、24. 当锐角A 的cosA ＞22时，∠A 的值为（）。

A. 小于45° B. 小于30° C. 大于45° D. 大于30°5.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D′处，那么tan ∠BAD′等于（） A. 22 B.22C. 2D. 16.如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（）A ．53B ．54C ．34D ．437.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD的值为（）A ．34 B ．43 C ．54 D ．538．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于（）A ．100 mB ．350mC ．250mD ．50（13+）m9.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B ，取∠ABD =145°，BD =500米，∠D =55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（）5题 6题7题 8题A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米D ．500tan35°米10.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是（）。

边角关系测试题及答案

边角关系测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果∠A = 50°，∠B = 70°，那么∠C的度数是多少？A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°2. 如果一个三角形的内角和为180°，那么在三角形ABC中，如果∠A = 90°，∠B = 45°，∠C的度数是多少？A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°3. 在一个直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角的度数是多少？A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题4. 如果三角形的一个角是直角，那么这个三角形的另外两个角的和是______。

5. 在一个三角形中，如果两个内角的度数之和为90°，那么这个三角形被称为______三角形。

三、简答题6. 解释什么是补角，并给出一个补角的例子。

7. 解释什么是邻补角，并给出一个邻补角的例子。

四、计算题8. 在一个三角形中，已知∠A = 120°，求∠B和∠C的度数。

9. 如果一个三角形的三个内角的度数之和为180°，且已知∠A = 60°，∠B = 50°，求∠C的度数。

五、解答题10. 证明在一个三角形中，任意两个内角的和小于180°。

答案：一、选择题1. C2. A3. C二、填空题4. 90°5. 直角三、简答题6. 补角是指两个角的度数之和等于90°，例如，如果一个角是60°，那么它的补角是30°。

7. 邻补角是指两个角共享一条边，且它们的另一条边互为反向延长线，例如，在一个直角三角形中，两个锐角互为邻补角。

四、计算题8. ∠B = ∠C = (180° - 120°) / 2 =30°9. ∠C = 180° - 60° - 50° = 70°五、解答题10. 证明：设三角形ABC中，∠A和∠B为任意两个内角。

九年级数学三角函数习题

九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（一）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______ 1.如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =___ ___.2.支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5 那么旗杆的有为米（用含α的三角比表示）．3.甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上（梯子顶端靠墙），小明测得甲与地面的夹角为603米，且顶端距离墙脚3米；丙的坡31。

那么，这三张梯子的倾斜程度（）A.甲较陡 B ．乙较陡 C ．丙较陡 D ．一样陡4.如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是（）A ．500sin55°米B ．500cos55°米C ．500tan55°米；D ．o55tan 500米5.如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）αP oy34第4题图︒60︒45A B北北6.（2012•陕西）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）7.如图是使用测角仪测量一幅壁画高度的示意图，已知壁画AB的底端距离地面的高度BC=1m，在壁画的正前方点D处测得壁画底端的俯角∠BDF=30°，且点距离地面的高度DE=2m，求壁画AB的高度．九年级数学《直角三角形的边角关系》测试题（二）班级：_______ 姓名:_________组名_________审核人_______一、选择题1．在△ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边，c 是斜边，则有（）。

北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系测试题 (含答案)

直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，cos A ＝1213，则tan A 的值为( )A.125B.1312C.1213D.512第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )A.53 B.255 C.52 D.233.如图，在△ABC 中，点E 在AC 上，点G 在BC 上，连接EG ，AE ＝EG ＝5，过点E 作ED ⊥AB ，垂足为D ，过点G 作GF ⊥AC ，垂足为F ，此时恰有DE ＝GF ＝4.若BG ＝25，则sin B 的值为( )A.2510B.510C.255D.55 4.如图，直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，则点O ′的坐标是( )A ．(3，3)B ．(3，3)C ．(2，23)D ．(23，4) 5．tan45°的值为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 6．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B 的值为( ) A.12 B.22 C.32D ．1第6题图第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( ) A ．m sin35° B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35°8．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫33－tan B 2＝0，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题9.运用科学计算器计算：317sin73°52′≈________(结果精确到0.1)． 10.计算：cos30°－sin60°＝________.11.如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1∶1.5，上底宽为6m ，路基高为4m ，则路基的下底宽为________m.12.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，tan A ＝43，AB ＝15，AC ＝________．第11题图第12题图第13题图第14 题图13.如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，AN ⊥CM ，交BC 于点N .若CM ＝3，AN ＝4，则tan ∠CAN 的值为________．14.如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里(结果取整数，参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)．三、解答题15.如图，CD 是一高为4米的平台，AB 是与CD 底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A 点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E ，在点E 处测得树顶A 点的仰角β＝60°，求树高AB (结果保留根号)．16.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．17.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C，利用上述结论可以求解如下题目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b的值．解：在△ABC中，∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝6sin30°sin45°＝6×1222＝3 2.解决问题：如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟后到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．(1)判断△A1A2B2的形状，并给出证明；(2)乙船每小时航行多少海里？参考答案与解析1.D2.A3．C 解析：在Rt △ADE 与Rt △EFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝EG ，DE ＝GF ， ∴Rt △ADE ≌Rt △EFG (HL)，∴∠A ＝∠GEF .∵∠A ＋∠AED ＝90°，∴∠GEF ＋∠AED＝90°，∴∠DEG ＝90°.过点G 作GH ⊥AB 于点H ，则四边形DEGH 为矩形，∴GH ＝DE ＝4.在Rt △BGH 中，sin B ＝GH BG ＝425＝255.故选C.4．A 解析：过点O ′作O ′C ⊥x 轴于点C .∵直线y ＝－33x ＋2与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，∴点A ，B 的坐标分别为(23，0)，(0，2)，∴tan ∠BAO ＝OB OA ＝223＝33，∴∠BAO＝30°.∵把△AOB 沿直线AB 翻折后得到△AO ′B ，∴O ′A ＝OA ＝23，∠O ′AO ＝60°，∴CA ＝12O ′A ＝3，O ′C ＝O ′A ·sin ∠O ′AC ＝23×32＝3，∴OC ＝OA －CA ＝23－3＝3，∴点O ′的坐标为(3，3)．故选A. 5．B 6.B 7.A 8.D 9.11.9 10．0 11.18 12.913.23 解析：∵∠ACB ＝90°，CM 为AB 边上的中线，∴AB ＝2CM ＝6，CM ＝BM ，∴∠B ＝∠MCB .∵AN ⊥CM ，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°.又∵∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠CAN ＝∠MCB ，∴∠B ＝∠CAN .又∵∠ACN ＝∠BCA ，∴△CAN ∽△CBA ，∴CN CA ＝AN BA ＝46＝23，∴tan ∠CAN ＝CN AC ＝23.14．11 解析：过点P 作PC ⊥AB 于点C .依题意可得∠A ＝30°，∠B ＝55°.在Rt △P AC 中，∵P A ＝18海里，∠A ＝30°，∴PC ＝12P A ＝12×18＝9(海里)．在Rt △PBC 中，∵PC ＝9海里，∠B ＝55°，∴PB ＝PC sin B ≈90.8≈11(海里)．15．解：过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则BF ＝CD ＝4米，CF ＝BD .设AF ＝x 米．在Rt △ACF 中，tan ∠ACF ＝AF CF ，∠ACF ＝α＝30°，则CF ＝AF tan30°＝3x 米．在Rt △ABE 中，AB ＝AF ＋BF ＝(x ＋4)米，tan ∠AEB ＝AB BE ，∠AEB ＝β＝60°，则BE ＝AB tan60°＝33(x ＋4)米．∵CF ＝BD ＝DE ＋BE ，∴3x ＝3＋33(x ＋4)，解得x ＝33＋42.则AB ＝33＋42＋4＝33＋122(米)．答：树高AB 是33＋122米．16．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33，∴α＝30°； (2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米．∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面AC 的坡度为1∶3，∴BD ＝CD ＝6米，AD ＝3CD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，∴文化墙PM 不需要拆除．17．解：(1)△A 1A 2B 2是等边三角形．证明如下：由题意可得A 2B 2＝102海里，A 1A 2＝302×2060＝102(海里)，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∵∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形；(2)由(1)可知△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝102海里，∠A 2A 1B 2＝60°，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.由题意可知∠CB 1A 1＝180°－105°＝75°，∴∠B 2B 1A 1＝75°－15°＝60°.在△A 1B 2B 1中，由正弦定理得B 1B 2sin45°＝A 1B 2sin60°，∴B 1B 2＝A 1B 2sin60° ·sin45°＝10232×22＝2033(海里)．乙船的速度为2033÷2060＝203(海里/时)．答：乙船每小时航行203海里.。

中考数学直角三角形的边角关系综合试题及详细答案

中考数学直角三角形的边角关系综合试题及详细答案一、直角三角形的边角关系1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=3==米，639∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠C AO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，某公园内有一座古塔AB ，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD ．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A 在地面上的影子E 与墙角C 的距离为15米（B 、E 、C 在一条直线上），求塔AB 的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，2 1.4142≈．【答案】塔高AB 约为32.99米. 【解析】【分析】过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，设AB ＝x ，则 AH ＝x ﹣3，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ．由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC ，∠ABC =∠AHD = 90°， ∠ADH = 32°．设AB = x ，则 AH = x – 3．在Rt △ABE 中，由 ∠AEB = 45°，得 tan tan451ABAEB EB∠=︒==． ∴ EB = AB = x ．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．在Rt △AHD 中，由 ∠AHD = 90°，得 tan AHADH HD∠=．即得 3tan3215x x -︒=+．解得 15tan32332.991tan32x ⋅︒+=≈-︒．∴ 塔高AB 约为32.99米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8. （1）求k 的值；（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y . 【解析】【分析】（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BOPD MO=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =，又∵4ABO S ∆=，∴142AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，把4x =-，0y =代入4y kx =+，得044k =-+，解得1k =. 故答案为1；（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，∴90PDO CEO ∠=∠=︒， ∴90POD OPD ∠+∠=︒，∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=︒，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=︒， ∴OPD EOC ∠=∠， ∴POD OCE ∆≅∆， ∴OE PD =，4m t =+.故答案为4m t =+.（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒， ∴ABO ∆为等腰直角三角形，∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=︒， ∴90TPO TOP ∠+∠=︒， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=︒， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ∆≅∆， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠，设KPB x ∠=︒， ∴BPN x ∠=︒， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=︒，45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠， ∴PO PM =，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，442t t t =+， 14t =，22t =-（舍）∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y P 轴，∵90PNM POC ∠=∠=︒， ∴BM OC P ，∴四边形BOCM 是平行四边形， ∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y . 故答案为32. 【点睛】本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．5．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°，在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题. 【详解】证明：如图，连接OE ， ∵AE 平分∠DAC ， ∴∠OAE ＝∠DAE ． ∵OA ＝OE ， ∴∠AEO ＝∠OAE ．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×3=33，在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=3×33=9 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32 秒、95- ．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CEA D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′；（2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ， ∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ， ∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ，∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）；（2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283．（3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒；②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36， ∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x＝6695-，x＝6695--（舍去）；③如图2，当AB′＝AA′时，A′N＝BM＝BB′+B′M＝2x+185，A′M＝NB＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．7．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）BE=【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝FG＝DG＝2GH＝，得出DFDG＝Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC＝90°，∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，∴∠GEC＝∠GCE＝45°，∴∠BEG＝∠GCF＝135°，由平移的性质得：BE＝CF，在△BEG和△GCF中，BE CFBEG GCF EG CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG≌△GCF（SAS），∴BG＝GF，∵G在正方形ABCD对角线上，∴BG＝DG，∴FG＝DG，∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°，∴∠CGF+∠AGB＝90°，∴∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DGF＝90°，∴FG⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝32，在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH ＝3＝323＝6，∴DG ＝2GH ＝26，∴DF ＝2DG ＝43，在Rt △DCF 中，CF ＝()22436-＝23，∴BE ＝CF ＝23．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．8．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是31°，拉索AB 的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD 的长），试求出主塔BD 的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.9．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．∴此车超过限制速度．…4分10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°，①如图1，∠DCB等于多少度；②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB ＝60°．②结论：CP ＝BF ．理由见解析；（2）结论：BF ﹣BP ＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A ＝30°，只要证明△CDB 是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP ≌△DBF ，根据全等的性质得出CP ＝BF ，（2）求出DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，求出∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，DP ＝DF ，根据全等三角形的判定得出△DCP ≌△DBF ，求出CP ＝BF ，推出BF ﹣BP ＝BC ，解直角三角形求出CE ＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠B ＝60°，∵AD ＝DB ，∴CD ＝AD ＝DB ，∴△CDB 是等边三角形，∴∠DCB ＝60°．②如图1，结论：CP ＝BF ．理由如下：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠DCB ＝60°，∴△CDB 为等边三角形.∴∠CDB ＝60°∵线段DP 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DF ，∵∠PDF ＝60°，DP ＝DF ，∴∠FDB ＝∠CDP ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．11．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA 交BC 于点D ．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt △ACD 中,米，CD =2AD =3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，0），点B（0，33），点O为原点．动点C、D分别在直线AB、OB上，将△BCD沿着CD折叠，得△B'CD．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.【解析】【分析】(1)设OD 为x ，则x ，在RT △ODA 中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC ∽△BOA ，再利用A 、B 坐标及BD=AC 可求解出BD 长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C 作CE ⊥AO 于E ，由A 、B 坐标及C 的横坐标为2，利用相似可求解出BC 、CE 、OC 等长度；分点B’在A 点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C ，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD 为x ，∵点A （3，0），点B （0，），∴AO=3，BO=∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt △ADO 中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（﹣OD ）2．∴∴D （0）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD ∥OA ∴BD BC BO AB=且BD=AC ， ∴66BD -= ∴BD=18∴OD=﹣（18）=18﹣∵tan ∠ABO=OB AO = ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60°∵tan ∠ABO=BD CD = ∴CD=12﹣∴D（12﹣18）（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E∵CE⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE⊥AO，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE⊥AO∴AC=2，3∵BC=AB﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE⊥OA∴22B C CE-='13∴13∴B'（130）若点B'落在A点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE⊥OA∴22-='13B C CE∴132∴B'（2130）综上所述：B'（130），（2130）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.。

第一章《直角三角形的边角关系》单元测试题(含答案)

第一章直角三角形的边角关系一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，那么sin A 的值为( )A.12B.22C.32 D ．1 2．在△ABC 中，∠C ，∠B 为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，则∠A 的度数为( )A ．100°B ．105°C ．90°D ．60°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，cos A ＝14，则AC 等于( )A ．45B ．5 C.15 D.1454．在Rt △ABC 中，如果边长都扩大为原来的5倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值( )A ．都没有变化B ．都扩大为原来的5倍C ．都缩小为原来的15D ．不能确定5．如图1－Z －1，过点C (－2，5)的直线AB 与坐标轴分别交于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB 的值为( )图1－Z －1A.25B.23C.52D.326．如图1－Z －2①为折叠椅，图②是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长度相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32 cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿AB 的长应设计为(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin50°＝cos40°≈0.77，sin40°＝cos50°≈0.64，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19)( )图1－Z －2A ．38.1 cmB ．49.8 cmC ．41.6 cmD ．45.3 cm 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 7．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝14，则tan B ＝________．8．如图1－Z －3，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB ＝________．图1－Z －39．如图1－Z －4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sin A ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．图1－Z －410．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB 的高度，如图1－Z －5，在教学楼一楼C 处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D 处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为________米．图1－Z －511．已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为D ，且满足BD ∶CD ＝2∶1，则△ABC 的面积为________．三、解答题(本大题共5小题，共56分) 12．(8分)计算：24sin45°＋cos 230°－12tan60°＋2sin60°.13．(10分)如图1－Z －6，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43.求：(1)BD 的长； (2)sin B 的值．图1－Z －614．(12分)某大坝修建有以下方案：大坝的横断面为等腰梯形，如图1－Z －7，AD ∥BC ，坝高10米，迎水坡面AB 的坡度i ＝53，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE 的坡度i ＝56.(1)求原方案中此大坝迎水坡AB 的长(结果保留根号)；(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC 方向拓宽2.7米，求坝底将会沿AD 方向加宽多少米．图1－Z －715．(12分)“和谐号”高铁列车的小桌板收起时可近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平，其示意图如图1－Z －8所示．连接OA ，此时OA ＝75 cm ，CB ⊥AO ，∠AOB ＝∠ACB ＝37°，且桌面宽OB 与BC 的长度之和等于OA 的长度．求支架BC 的长度(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)．图1－Z －816．(14分)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can)．如图1－Z －9①，在△ABC 中，AB ＝AC ，底角∠B 的邻对记作can B ，这时can B ＝底边腰＝BCAB .容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝________；(2)如图②，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，can B ＝85，S △ABC ＝24，求△ABC 的周长．图1－Z －9详解详析1．[解析] A ∵∠C ＝90°，AB ＝2BC ，∴sin A ＝BC AB ＝12.故选A.2．[解析] B ∵⎪⎪⎪⎪sin C －22＋(32－cos B )2＝0，∴sin C －22＝0，32－cos B ＝0，则sin C ＝22，cos B ＝32，故∠C ＝45°，∠B ＝30°，∴∠A ＝180°－45°－30°＝105°.故选B. 3．[答案] B4．[解析] A 三角函数值的大小只与角的大小有关，当角度一定时，其三角函数值不变． 5．[解析] B 方法1：设直线AB 的表达式是y ＝kx ＋b .根据题意，得⎩⎨⎧－2k ＋b ＝5，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32，b ＝2，则直线AB 的表达式是y ＝－32x ＋2.在y ＝－32x ＋2中令y ＝0，解得x ＝43.则点B 的坐标是(43，0)，即OB ＝43.则tan ∠OAB ＝OB OA ＝432＝23.故选B.方法2：过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∵C (－2，5)， ∴CD ＝2，OD ＝5.∵A (0，2)，∴OA ＝2， ∴AD ＝OD －OA ＝3.在Rt △ACD 中，tan ∠OAB ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝23.故选B.6．[解析] C 连接BD ，由题意得OA ＝OB ＝OC ＝OD .∵∠DOB ＝100°，∴∠DAO ＝∠ADO ＝50°，∠OBD ＝∠ODB ＝40°，∴∠ADB ＝90°.又∵BD ＝32 cm ，∴AB ＝BD sin ∠DAO ≈320.77≈41.6(cm)．故选C. 7．[答案] 158．[答案] 12[解析] 过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图，在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝2，则tan ∠AOB ＝AD OD ＝12. 9．[答案] 40[解析] ∵DE ⊥AB ，垂足是E ，∴△AED 为直角三角形，则sin A ＝DE AD ，即35＝6AD ，∴AD ＝10，∴菱形ABCD 的周长为10×4＝40.10．[答案] 9[解析] 过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意可知，四边形ACDE 为矩形，则AE ＝CD ＝6米，AC ＝DE .设BE ＝x 米．在Rt △BDE 中，∵∠BED ＝90°，∠BDE ＝30°，∴DE ＝3BE ＝3x 米，∴AC ＝DE ＝3x 米．在Rt △ABC 中， ∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝3AC ＝3×3x ＝3x (米)． ∵AB －BE ＝AE ，∴3x －x ＝6， ∴x ＝3，∴AB ＝3×3＝9(米)，即旗杆AB 的高度为9米． 11．[答案] 8或24[解析] △ABC 有两种情况：(1)如图①所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD＝23BD ＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；(2)如图②所示，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12.∵AD ⊥BC ，tan B ＝23，∴AD BD ＝23，∴AD ＝23BD ＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为8或24.12．解：原式＝24×22＋(32)2－12×3＋2×32 ＝14＋34－36＋ 3 ＝1＋5 36.13．[解析] (1)根据在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AB ＝22，CD ＝8，tan A ＝43，可以求得AD 的长，从而可以求得BD 的长；(2)由(1)中BD 的长和题目中CD 的长可以求得BC 的长，从而可以求得sin B 的值．解：(1)∵在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝8，tan A ＝43，∴tan A ＝CD AD ＝43，解得AD ＝6，∴BD ＝AB －AD ＝22－6＝16.(2)由(1)知BD ＝16，∵CD ⊥AB ，CD ＝8， ∴BC ＝CD 2＋BD 2＝82＋162＝8 5，∴sin B ＝CD BC ＝88 5＝55.14．[解析] (1)过点B 作BF ⊥AD 于点F ，在直角三角形ABF 中求得AF ，AB 的长； (2)过点E 作EG ⊥AD 于点G ，延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN . 由S △ABE ＝S 梯形CMND 从而求得DN 的长．解：(1)如图，过点B 作BF ⊥AD 于点F . 在Rt △ABF 中，∵i ＝BF AF ＝53，且BF ＝10米，∴AF ＝6米，∴AB ＝102＋62＝2 34(米)．答：原方案中此大坝迎水坡AB 的长为2 34米． (2)如图，过点E 作EG ⊥AD 于点G . 在Rt △AEG 中，∵i ＝EG AG ＝56，且EG ＝BF ＝10米，易得AG ＝12米，BE ＝GF ＝AG －AF ＝6米．延长EC 至点M ，延长AD 至点N ，连接MN .∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变， ∴S △ABE ＝S 梯形CMND ， ∴12·BE ·EG ＝12(MC ＋ND )·EG ，即BE ＝MC ＋ND ，∴ND ＝BE －MC ＝6－2.7＝3.3(米). 答：坝底将会沿AD 方向加宽3.3米．15．解：延长CB 交AO 于点D ，∴CD ⊥OA . 设BC ＝x cm ，则OB ＝(75－x )cm. 在Rt △OBD 中，∵∠DOB ＝37°， ∴OD ＝OB ·cos ∠DOB ≈0.8(75－x )＝(60－0.8x )cm ，BD ＝OB ·sin ∠DOB ≈0.6(75－x )＝(45－0.6x )cm ，∴DC ＝BD ＋BC ≈(0.4＋45x )cm.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝37°，∴AD ＝DC ·tan ∠ACD ≈0.75(0.4x ＋45)＝(0.3x ＋33.75)cm. ∵OA ＝AD ＋OD ＝75 cm ，∴0.3x ＋33.75＋60－0.8x ＝75，解得x ≈37.5， ∴BC ≈37.5 cm ，故支架BC 的长度约为37.5 cm. 16．解：(1) 3(2)过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵can B ＝85，可设BC ＝8x ，AB ＝5x ，则BE ＝12BC ＝4x ，∴AE ＝AB 2－BE 2＝3x .∵S △ABC ＝24， ∴12BC ·AE ＝12x 2＝24，解得x ＝2(负值已舍去)，故AB ＝AC ＝5 2，BC ＝8 2， ∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝5 2＋5 2＋8 2＝18 2.。

直角三角形的边角关系练习题及答案

一、选择题(每小题3分,共36分)1.(2022河口模拟)在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列选项中不正确的是( C )A.sin B=ba B.sin C=caC.cos B=bc D.tan B=bc2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=12,则AB的长是( C )A.2B.8C.2√5D.4√53.若锐角A满足sin A=√32,则∠A的度数是( C )A.30°B.45°C.60°D.75°4.(2022张店模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=512,则cos A等于( D )A.512B.125C.513D.12135.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( B )第5题图A.12B.√22C.√32D.√336.(2022福山模拟)按如图所示的运算程序,能使输出y 值为12的是( C )第6题图A.α=60°,β=45°B.α=30°,β=45°C.α=30°,β=30°D.α=45°,β=30°7.在△ABC 中,∠A 和∠B 都是锐角,且sin A=12,cos B=√22,则△ABC 三个内角的大小关系为( D ) A.∠C>∠A>∠B B.∠B>∠C>∠A C.∠A>∠B>∠C D.∠C>∠B>∠A8.一辆小车沿着斜坡向上行驶了100 m,其铅直高度上升了15 m,在用科学计算器求坡角α的度数时,其按键顺序是( A )9.如图所示,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔 60 n mile 的A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处,这时,B 处与灯塔P 的距离为( B )A.60√3 n mileB.60√2 n mileC.30√3 n mileD.30√2 n mile10.如图所示,△ABC,△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的夹角为∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角为∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AF∥BE,AC⊥BE,FD⊥BE,若A点到B 点的距离AB=1.6 m,则盲区中DE的长度是(参考数据:sin 43°≈0.7,tan 43°≈0.9,sin 20°≈0.3,tan 20°≈0.4)( B )A.2.6 mB.2.8 mC.3.4 mD.4.5 m11.如图所示,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠DAE的值为( D )A.12B.920C.25D.1312.因为cos 60°=12,cos 240°=-12,所以cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°;由此猜想、推理知:当α为锐角时有cos(180°+α)=-cos α,由此可知cos 210°的值为( C )A.-12B.-√22C.-√32D.-√3二、填空题(每小题3分,共18分)13.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos B 的值为5.1314.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8.连接AC,AC⊥,则AD的长度是10 .CD,若sin∠ACB=13第14题图15.平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1 m,BC边上露出部分BD的长为0.9 m,则铁板BC边被掩埋部分CD的长为0.8 m.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan 54°≈1.38)第15题图16.(2021东营期末)直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6,8,现将△ABC按如图所示方式折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值为7.24第16题图17.如图所示,小明在距离地面30 m 的P 处测得小山山顶A 处的俯角为15°,山脚B 处的俯角为60°.若山坡AB 的坡度为1∶√3,则小山的高度为 10√3 m.(结果保留根号)第17题图18.(2022任城模拟)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x, sin(x+y)=sin x ·cos y+cos x ·sin y.据此判断下列等式成立的是 ②③④ .(写出所有正确的序号) ①cos(-60°)=-12;②sin 75°=√6+√24; ③sin 2x=2sin x ·cos x;④sin(x-y)=sin x ·cos y-cos x ·sin y. 三、解答题(共46分) 19.(6分)计算:(1)sin 60°-cos 60°·tan 45°+12√1-2tan30°+tan 230°; (2)sin 245°+cos 230°-tan 260°.解:(1)原式=√32-12×1+12√(1-tan30°)2=√32-12+12×(1-√33) =√33.(2)原式=(√22)2+(√32)2-(√3)2=12+34-3=-74.20.(8分)如图所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sin B=13,AD=1.(1)求BC 的长; (2)求tan ∠DAE 的值. 解:(1)∵AD 是BC 边上的高, ∴AD ⊥BC.在Rt △ABD 中,sin B=AD AB =13,AD=1,∴AB=3,∴BD=√AB 2-AD 2=√32-12=2√2. 在Rt △ADC 中,∵∠C=45°,∴CD=AD=1. ∴BC=BD+CD=2√2+1. ∴BC 的长为2√2+1.(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE=12BC=2√2+12, ∴DE=CE-CD=2√2+12-1=√2-12, ∴tan ∠DAE=DE AD=√2-121=√2-12.21.(10分)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200 m 且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图所示,加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯,平均每级阶梯高 30 cm,斜坡AB 的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2 m,斜坡EF 的坡度为1∶√5,求BF 的长.(结果保留根号)解:如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,则四边形EGHA是矩形.∴EG=AH,GH=AE=2 m.∵斜坡AB的坡度为1∶1,∴AH=BH=30×30=900 cm=9 m.∴BG=BH-HG=9-2=7(m).∵斜坡EF的坡度为1∶√5,∴FG=9√5 m.∴BF=FG-BG=(9√5-7)m.∴BF的长为(9√5-7)m.22.(12分)(2020包头)如图所示,一个人骑自行车由A地到C地途经B地,当他由A地出发时,发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3√2 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75°方向,然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地.(1)求A地与电视塔P的距离;(2)求C地与电视塔P的距离.解:(1)如图所示,过点B 作BD ⊥AP 于点D. 在Rt △ABD 中,∠BAD=45°,AB=3√2 km,∴AD=BD=AB ×sin ∠BAD=3√2×sin 45°=3√2×√22=3(km). ∵∠PBN=75°,∴∠APB=∠PBN-∠PAB=75°-45°=30°. ∴在Rt △BDP 中,PD=BDtan∠APB =3tan30°=√33=3√3(km),PB=2BD=2×3=6(km). ∴AP=AD+PD=(3+3√3)km.∴A 地与电视塔P 的距离为(3+3√3)km. (2)∵∠PBN=75°,∠CBN=15°, ∴∠CBP=60°. ∵BP=BC=6 km, ∴△BPC 为等边三角形. ∴PC=6 km.∴C 地与电视塔P 的距离为6 km.23.(10分)(2022垦利模拟)数学活动课上,小明和小红要测量小河对岸大树BC 的高度,小红在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°,小明从A点出发沿斜坡走3√5 m到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为31°,且斜坡AF的坡比为1∶2.(1)求小明从点A到点D的过程中,他上升的高度;(2)依据他们测量的数据能否求出大树BC的高度?若能,请计算;若不能,请说明理由.(参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60)解:(1)如图所示,过点D作DH⊥AE于H.在Rt△ADH中,∵DHAH =12,∴AH=2DH.∵AH2+DH2=AD2,∴(2DH)2+DH2=(3√5)2,解得DH=3,故小明从点A到点D的过程中,他上升的高度为3 m.(2)如图所示,延长BD交AE于点G,设BC=x m,由题意得∠G=31°,∴GH=DHtanG ≈30.60=5.∵AH=2DH=6,∴GA=GH+AH=5+6=11.在Rt△BGC中,tan G=BCGC ,∴CG=BCtanG≈x0.60=53x.在Rt△BAC中,∠BAC=45°,∴AC=BC=x.∵GC-AC=AG,∴53x-x=11,解得x=16.5.故大树的高度约为16.5 m.。

中考数学直角三角形的边角关系综合题

中考数学直角三角形的边角关系综合题一、直角三角形的边角关系1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD 的长，得到答案．试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm）？【答案】【解析】于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．3．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．【答案】（1）∠BME=15°；（2BC=4；（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，当h≥2时，S=18﹣3h．【解析】试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．试题解析：解：（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=4；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，∵△CMN∽△CED，∴，∴，解得FM=4﹣，∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形4．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=．【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣【解析】【分析】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；（2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM，②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM；(3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，，可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长.【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠C=45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM=MN，在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，∵∠ENF=135°，，∴∠BME=∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵CN=CF+NF，∴BE+CF=BM；（2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=NF﹣CF，∴BE﹣CF=BM；针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE=NF，∵MN⊥AC，∠C=45°，∴∠CMN=∠C=45°，∴NC=NM=BM，∵NC=CF﹣NF，∴CF﹣BE=BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB=AN=+1，在Rt△ABC中，AC=AB=+1，∴AC=AB=2+，∴CN=AC﹣AN=2+﹣（+1）=1，在Rt△CMN中，CM=CN=，∴BM=BC﹣CM=+1﹣=1，在Rt△BME中，tan∠BEM===，∴BE=，∴①由（1）知，如图1，BE+CF=BM，∴CF=BM﹣BE=1﹣②由（2）知，如图2，由tan∠BEM=，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE=BM，∴CF=BM+BE=1+，故答案为1，1+或1﹣．【点睛】本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解. 5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD 的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．7．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE 和BF 的长，然后利用勾股定理求出AD 和BC ，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC ，梯形的面积公式可得出答案．试题解析：∵迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，DE=30m ，∴AE=18米，在RT △ADE 中，AD=22DE AE +=634米∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，在RT △BCF 中，BC=22CF BF +=305米，∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米，面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．8．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且»»AC BD=. （1）求证：AB CD =；（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；（3）如图，在（2）的条件下，点P 在»CG上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O e 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 的半径的长为10. 【解析】【分析】 (1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；（3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =，设HM n =，则有2LK KG n ==，222FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HF FK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10．【详解】解：（1）证明：∵»»AC BD =，∴»»»»AC CBBD CB +=+， ∴»»AB CD =，∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===，又∵AO DO =，∴AOJ DOQ ∆≅∆，∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥，∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒，如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒，∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =，在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL =设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，22LK KG ==，2222FK FL LK n =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠，∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒，∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠，∴tan tan KFG HMF ∠=∠，∴KG HF FK HM =，∴2222222n nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =.即O e 的半径的长为10.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．9．如图，直线y ＝12x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x +2≥﹣12x 2+bx +c 的x 的取值范围；（3）设点D 为该抛物线上的一点、连结AD ，若∠DAC ＝∠CBO ，求点D 的坐标．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y ＝12x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标．【详解】解：（1）由y ＝12x +2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣12x2+bx+c得：322bc⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，∴抛物线的解析式为：213222y x x=--+（2）当x≥0或x≤﹣4时，12x+2≥﹣12x2+bx+c（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，由213222y x x=-+令y＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴CO＝1，AO＝4，设点D的坐标为（m，213222m m--+），∵∠DAC＝∠CBO，∴tan∠DAC＝tan∠CBO，∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有DE COAE BO=，当D在x轴上方时，213212242--+=+m mm解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，2）．当D在x轴下方时，213(2)12242---+=+m mm解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．10．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5︒方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5︒方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的位置（不写作法）并计算：（1）M，N两村庄之间的距离；（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米．【解析】【分析】（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．【详解】解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°∴NE=AN•sin∠NAB=10•sin36.5°=6，AE=AN•cos∠NAB=10•cos36.5°=8，过M作MC⊥AB于点C，在Rt △MAC 中，AM =5，∠MAB =53.5°∴AC =MA •sin ∠AMB =MA •sin36.5°=3，MC =MA •cos ∠AMC =MA •cos36.5°=4，过点M 作MD ⊥NE 于点D ，在Rt △MND 中，MD =AE -AC =5，ND =NE -MC =2，∴MN =2252+=29，即M ，N 两村庄之间的距离为29千米．（2）由题意可知，M 、N 到AB 上点P 的距离之和最短长度就是MN ′的长．DN ′=10，MD =5，在Rt △MDN ′中，由勾股定理，得MN ′=22510+=55（千米）∴村庄M 、N 到P 站的最短距离和是55千米．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作//PN AC ，且3PN PQ =，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .（1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长.（2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值.（3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值【答案】（1）23PQ t =；（2）45；（3）2193403163t t -+-；（4） 23t = 或87t = ．【解析】【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，证出△APQ是等腰三角形，得出PF=QF，PF=PA•sin60°=3t，即可得出结果；（2）当点M落在边BC上时，由题意得：△PDN是等边三角形，得出PD=PN，由已知得PN=3PQ=3t，得出PD=3t，由题意得出方程，解方程即可；（3）当0＜t≤45时，PQ=23t，PN=3PQ=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN，即可得出结果；当45＜t＜1时，△PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，FN=3NE=3（5t-4），S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，△ACD是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG是△MNH的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可；当45＜t≤2时，由平行线得出△OEF∽△MEQ，得出EF OFEQ MQ=，即233ttEF t-=+，解得EF=2332t t-，得出EQ=23323t tt-+，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵在菱形ABCD中，∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∵PQ⊥AC，∴△APQ是等腰三角形，∴PF=QF，PF=PA•sin60°=2t×3=3t，∴PQ=23t；（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD=PN，∵PN=32PQ=32×23t=3t，∴PD=3t，∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，解得：t=45．（3）当0＜t≤45时，如图1所示：PQ=23t，PN=3PQ=3×23t=3t，S=矩形PQMN的面积=PQ×PN=23t×3t=63t2；当45＜t＜1时，如图3所示：∵△PDN是等边三角形，∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，∴335t-4），∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积32-2×1235t-4）2=-19t233，即S=-19t233（4）分两种情况：当0＜t≤45时，如图4所示：∵△ACD 是等边三角形， ∴AC=AD=4，∵O 是AC 的中点，∴OA=2，OG 是△MNH 的中位线， ∴OG=3t-（2-t ）=4t-2，NH=2OG=8t-4， ∴△MNH 的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=13×63t 2，解得：t=23；当45＜t≤2时，如图5所示：∵AC ∥QM ，∴△OEF ∽△MEQ ，∴EF OF EQ MQ =233t t EF t-=+，解得：2332t t -， ∴23323t t t - ∴△MEQ 的面积=12×3t×23323t t t -+=1332，解得：t=87；综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为23或87．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．12．如图，由一段斜坡AB 的高AD 长为0.6米，ABD 30∠=o ，为了达到无障碍通道的坡道标准，现准备把斜坡改长，使ACD 5.71∠=o ．()1求斜坡AB 的长；()2求斜坡新起点C 与原起点B 的距离.(精确到0.01米)(参考数据：3 1.732≈，tan5.710.100)≈o【答案】()1?AB 1.2=米；()2斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米．【解析】【分析】()1在Rt ABD V 中，根据AB AD sin30=÷o 计算即可；()2分别求出CD 、BD 即可解决问题；【详解】()1在Rt ABD V 中，1AB AD sin300.6 1.2(2=÷=÷=o 米)， ()2在Rt ABD V 中，3BD AD tan300.6 1.039(=÷=≈o 米)，在Rt ACD V 中，CD AD tan5.716(=÷≈o 米)，BC CD BD 6 1.039 4.96(∴=-=-=米)．答：求斜坡AB 的长为1.2米，斜坡新起点C 与原起点B 的距离为4.96米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷(附答案)

九年级数学下册《直角三角形的边角关系》单元测试卷（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（）A．都扩大2倍B．都扩大4倍C．没有变化D．都缩小一半3．在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cos α的值是（）A．B．C．D．4．计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B的值是（）A．B．C．D．7．已知tan A＝0.85，用计算器求∠A的大小，下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sin A＝，那么BC边的长是（）A．2B．8 C．4D．1210．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0二．填空题（共10小题，满分30分）11．如图，在平面直角坐标系内有一点P（5，12），那么OP与x轴正半轴的夹角α的余弦值．12．若α为锐角，且，则m的取值范围是．13．用科学计算器计算： tan16°15′≈（结果精确到0.01）14．如果3sinα＝+1，则∠α＝．（精确到0.1度）15．计算：sin225°+cos225°﹣tan60°＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tan A 的值为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，sin B＝，那么AB＝．18．已知∠A是锐角，且tan A＝2，那么cos A＝．19．已知∠A+∠B＝90°，若，则cos B＝．20．化简＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝．求AB的长和sin B的值．22．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．23．计算下列各题：（1）；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sin A，cos B，tan A的值．25．如图，在所示的直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标是（6，y），且OP与x轴的正半轴的夹角α的正切值是，求角α的正弦值．26．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE＝1，求cos A的值．27．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．参考答案与解析一．选择题1．解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴tan A＝＝．故选：B．2．解：根据锐角三角函数的定义，知各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的大小不变，所以其正切值不变．故选：C．3．解：如图：过点P作PE⊥x轴于点E，∵tanα＝，∴设PE＝4x，OE＝3x，在Rt△OPE中，由勾股定理得OP＝，∴cosα＝．故选：C．4．解：sin45°＝故选：C．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴cos B＝sin A＝，故选：C．7．解：根据计算器功能键，先按反三角2ndF，再按正切值．故选：A．8．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．9．解：由sin A＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（4）2+（2k）2＝（3k）2，解得k＝4（取正值），所以BC＝2k＝8，故选：B．10．解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：过P作PA⊥OA，∵P点坐标为（5，12），∴OA＝5，PA＝12，由勾股定理得，OP＝＝＝13．∴cosα＝＝．故答案为：．12．解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．13．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：0.71．14．解：∵3sinα＝+1，∴sinα＝，解得，∠α≈65.5°，故答案为：65.5°．15．解：∵sin225°+cos225°＝1，tan60°＝，∴sin225°+cos225°﹣tan60°＝1﹣，故答案为：1﹣．16．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝3a，∴b＝＝＝2a，∴tan A＝＝＝，故答案为：．17．解：∵sin B＝，∴AB＝＝＝6．故答案是：6．18．解：设∠A所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tan A＝2，即＝2，设b＝k，则a＝2k，∴c＝＝k，∴cos A＝＝，故答案为：．19．解：由∠A+∠B＝90°，若，得cos B＝，故答案为：．20．解：∵tan30°＝＜1，∴原式＝1﹣tan30°＝1﹣＝．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tan A＝＝，∴AC＝12，∴AB＝＝＝6，∴sin B＝＝＝．22．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245 ＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．23．解：（1）＝（2×﹣）+＝2﹣+＝2；（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．＝×﹣×+（）2+（）2＝﹣1++＝．24．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，根据勾股定理可得：AC＝4，∴sin A＝，cos B＝＝，tan A＝＝．25．解：作PC⊥x轴于C．∵tanα＝，OC＝6∴PC＝8．则OP＝10．则sinα＝．26．（1）证明：法一、连接AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．法二、连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠OCD＝∠B，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）解：由（1）知OD∥AE，∴∠FOD＝∠FAE，∠FDO＝∠FEA，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，∴，解得FC＝2，∴AF＝6，∴Rt△AEF中，cos∠FAE＝＝＝＝．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

直角三角形边角关系练习题及测试题

FED 60°AABC┐ 直角三角形的边角关系综合练习（1）一、选择题1. 60cos 的值等于（） A ．21 B ．22 C ．23 D ．12.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（） A.123.已知α为锐角，且2 cos （90°－α）＝3，则α的度数为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°4.已知在Rt ABC △中，90C ∠=，1sin 2A =，AC =BC 的值为（） A ．2B ．4C．D ．65.在Rt ABC △中，90C ∠=，BC=，AC =A ∠=（） A ．90B ．60C ．45D ．306. 在Rt ABC △中，ACB ∠为90，CD AB ⊥，2cos 3BCD ∠=，1BD =，则边AB 的长是（） A ．910B ．109C ．2D ．957.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝2，则cos A 的值是（） A ．215 B ．25 C ．212 D ．52 8.在ABC △中，90C ∠=°，2B A ∠=∠，则cos A 等于（） AB ．12C D9.如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，3AC =，则sin B 的值是（）A ．23B ．32C ．34D ．4310.在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝31，则sin B ＝（） A ．1010B ．32C ．43D ．1010311.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（）Ｃ．12Ｄ．212.如图，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =52°，则拉线AC 的长为（）C AB DA B CA ．6sin 52︒米 B ．6tan 52︒米 C ． 6·cos52°米 D ．6cos52︒米二、填空题13.若等腰梯形下底长为4cm ，高是2cm ，下底角的正弦值是45，则上底长为 cm ，腰长是 cm ．14.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）．15.如图，小明在楼顶A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52°，楼底点D 处的俯角为13°．若两座楼AB 与CD 相距60米，则楼CD 的高度约为米．（结果保留三个有效数字）（sin130.2250︒≈，cos130.9744≈，tan130.2309≈，sin520.7880≈，cos520.6157≈，tan 52 1.2799≈三．解答题16.计算：0)151(30sin 2273--︒+17.计算： 201()2sin 3032--+︒+-18.已知：如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长（结果保留根号）．19.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m ）． 1.73≈）解：1320.如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险?21.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C．一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C．方案II：从A 地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍．（1）求牧民区到公路的最短距离CD．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由．（结果精确到0.11.731.41）BP北东A D Ｂ北东直角三角形边角关系练习题(2)一．选择题1.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（） ABC ．12D ．22.在Rt ABC △中，90C ∠=，若2AC BC =，则tan A 的值是（）A ．12B ．2 CD3.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（） A ．12B．2CD4.已知ABC ∆中，AC =4，BC =3，AB =5，则sin A =（）A.35 B. 45 C. 53 D. 345. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A ．sin A 的值越大，梯子越陡B ．cos A 的值越大，梯子越陡C ．tan A 的值越小，梯子越陡D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关6. 把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（）Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定7.如图，菱形ABCD 的周长为40cm ，DE AB ⊥，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的有（） ①6cm DE =②2cm BE = ③菱形面积为260cm④BD = Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个 8. 2cos 45的值等于（）A．2BC．4D．9.如图，在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D，若AC =AB = 则 tan BCD ∠的值为（）ABCD10.如图，AD CD ⊥，13AB =，12BC =，3CD =，4AD =，则s i n B =（）A ．513B ．1213C ．35D ．45ABODCBEAAC BD D ABC11.已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α等于（）Ａ．︒50 Ｂ．︒60 Ｃ．︒70 Ｄ．︒80 12. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（） A ．247BC ．724D ．13二．填空题13.已知在Rt ABC △中，90C ∠=，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是 .14. 在Rt ABC △中，90C =∠，3sin 5B =，则BC AB = ． 15. 在Rt ABC △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．16.计算：1sin 60cos302-=．17.计算：102(1cos60-+-= ．三．解答题18.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.19.计算：01(π4)sin 302---；20.32cos458-+21.计算：22012(tan 601)()22-⎛⎫-+--+-π- ⎪⎝⎭6 8CEAB D22.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．23.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠， (1) 求证：AC=BD ； (2)若12sin 13C =，BC =12，求AD 的长． (1)证：(2)解:24.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34．（1）求B ′ 点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．ＣＢＡＡACB 直角三角形的边角关系测试题一、选择题1.在△ABC 中，AC =3，BC =4，AB =5，则tan B 的值是（） A 、43 B 、34 C 、53 D 、542.如图，已知一坡面的坡度i =α为（）Ａ．15Ｂ．20Ｃ．30Ｄ．453.计算2sin30°cos60°的结果为（） A ．B ．32C ．12D ．14.在ABC △中，︒=∠90C ，AB =15，sin A =13，则BC 等于（） A ．45 B ．5 C ．15 D ．1455.如图，CD 是ABC Rt △斜边上的高，43AC BC ==，，则cos BCD ∠的值是（）(A)35 (B)34 (C)43 (D)456.如图，电线杆AB C 的中点处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为45，若点D 到电线杆底部点B a 的距离为，则电线杆AB 的长可表示为Ａ．a Ｂ．2a Ｃ．32a Ｄ．52a 二、填空题7. 求值：sin 230°+cos 230°= ．8. 计算：sin 45cos60sin 30+= ．9. 如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD AB ∥．则α∠的余弦值为． 10.等腰直角三角形的斜边长为，则此三角形的腰长为．11.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P 的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M 处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N 处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是海里／时．三、解答题13.计算：1sin3021)5-+-+-14.tan 60.- 15.计算：1cos 602-+． ABO30东16. 下图为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层的高度为3m ，两楼间的距离30AC =m ．现需了解在某一时段内，甲楼对乙楼的采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B 落在乙楼的影子长EC h =，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h ；（2）当30α=︒时，甲楼楼顶B 的影子落在乙楼的第几层?从此时算起，若α每小时增加10︒，几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．17. 如图8，大楼AD 的高为10m ，远处有一塔BC ．某人在楼底A 处测得塔顶B 点处的仰角为60︒，爬到楼顶D 点处测得塔顶B 点的仰角为30︒．求塔BC 的高度．解：18. 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ABC 的斜边AB 在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上，3tan 4ABC ∠=，点P 在线段OC 上，且PO 、PC 的长（PO <PC ）是方程212270x x -+=的两根．（1）求P 点坐标；（2）求AP 的长；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ 的解析式；若不存在，请说明理由．AB C D Eα 太阳光甲楼乙楼图8。

直角三角形边角关系10套题

三角形边角关系11.已知Α为锐角,3cos 5A =,则tan Α= .2.在周长12的Rt A B C ∆中, sin B =0.5,则b= ,c= .3.在Rt A B C ∆中,05090,10,33A B C C a S ∆∠===, 则b= ,c= .4.已知在Rt A B C ∆中,090,,,sin C AC b AB c A ∠====那么 ,sin B = .5.在A B C ∆中,090,65,615C a b ∠===,则c= ,B ∠= .6.在Rt ∆MNP 中,若NP 是斜边，MN=15，NP=17，那么tanN + cotP= .7. √2×sin45°+√3×cos30°-3/2= .8.已知某大坝横截面为梯形，坝顶宽10米，坝高160米，且大坝迎水面坡度i 1=1:3,背水面坡度i 2=2:3，求大坝截面积.三角形边角关系21.在Rt A B C ∆中,0090,10,55C AC B ∠==∠=,则AB 上的高CD 的长可表示为 .2.在A B C ∆中,若cosB=0,b=21,c:a=5:3则BC 边上的中线AD 的长为 .3. 点Α在O 点北偏西035方位上,点B 在O 点北偏东055的方位上且O Α长80m,OB 长60m,那么ΑB 间的距离是 .4. 在Rt A B C ∆中,斜边上的高CD 把ΑB 分成ΑD 和BD,若ΑD:BD=34,则sin B = .5.在A B C ∆中,0490,sin ,8,5C B A B B C A C ∠==+==则 .6.在梯形ΑBCD 中,ΑD//BC,ΑB=CD,ΑD=4,BC=6,1cos ,4B S =梯则= .7. 已知tan α=3.则1/(sin²α+sinαcosα+cos²α) 的值为？8.从高24米的甲楼顶部Α处测得乙楼顶部B 的仰角α=300，测得乙楼底部C 的俯角β=600，求乙楼的高.三角形边角关系31.如图9-8,在A B C ∆中,D 是ΑB 的中点, DC ⊥ΑC,B C D ∠的正切值是13,则A ∠的正弦值是 .2.在A B C ∆中,1,2,12tgA tgC AC ===,那么BC 的值是 .3.在A B C ∆中,090,2,4,cos ABC C AC S A ∆∠===则= .4.如图9-9,在电视塔ΑD 的正东方向有两个地面观测点B 、C,在B 、C,两点测得塔顶Α的仰角分别为αβ,B 、C 两地相距α米,则ΑD 的高为 .5.飞机在离地面1200m 上空测得地面目标的俯角为060,那么此时飞机距目标 m.6.已知在A B C ∆中,ΑB=ΑC=10,BC=12,那么c o s B = ,tgC = ,sin A = .7. 3/5cosβ-4/5sinβ=5/13，求sinβ？8.在Rt ΔΑBC 中，∠ΑCB=900，sinB=35,D 是BC 边上的一点，DE ⊥ΑB ，垂足为E ，CD=DE ，ΑC+CD=9，求（1）BC 的长；（2）CE 的长.三角形边角关系41.A B C ∆中,05120,21,,3A B C c B b S a ∆∠===且则= .2.如图9-10,在四边形ΑBCD 中,ΑD=CD,ΑB=7,tg Α=2,090B D ∠=∠=,那么BC 的长为 .3.在ΔΑBC 中，∠C=900，CD ⊥ΑB ，垂足为D ，则比值B CC D B D A CA B A C B C B C、、、中等sin Α的个数有（）.（Α）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个4.如图9-11，在ΔΑBC 中，∠Α=300，E 为ΑC 上一点，且ΑE ：EC=3：1，EF ⊥ΑB ，F 为垂足，连结FC ，则cot ∠CFB 的值等于（）.（Α）36（B ）32（C ）433 （D ）1345.在ΑBC 中，∠Α=750，∠C=450，ΑB=2，则ΑC 的长等于（）.（Α）22 （B ）23 （C ）6 （D ）2636.在Rt ΔΑBC 中，∠C=900，CD ⊥ΑB 于D ，若14B D A D=，则tan ∠BCD 的值是（）.（Α）14（B ）13（C ）12（D ）27.在ΔΑBC 中，已知∠B=2倍等于其他两角的和，最长边与最短边的和是8，积是15，求这个三角形的面积及∠B 所对边的长.三角形边角关系51.在ΔΑBC 中，∠B=600，ΑB=6，BC=8，则ΑBC 的面积是（）. （Α）123 （B ）12 （C ）243 （D ）1222.如图9-12，在矩形ΑBCD 中，BC=2，ΑE ⊥BD ，垂足为E ，∠B ΑE=300，则ΔECD 的面积是（）.（Α）23 （B ）3 （C ）32（D ）333.如图9-13，∠ΑOP=∠BOP=150，PC ∥ΑO ，PD ⊥O Α，若PC=4，则PD 等于（）. （Α）4 （B ）3 （C ）2 （D ）14.在ΔΑBC 中，∠Α=300，tgB=13,BC=10,那么ΑB 的长为（）.【2】（Α）3 （B ）3 （C ）33-（D ）33+5.如图9-14，在ΑBC 中，点D 在ΑC 上，DE ⊥BC ，垂足为E ，若ΑD=2CD ，ΑB=4DE ，则sinB=( ). （Α）12（B ）73（C ）377（D ）346.如图9-15，x=（）.（Α）sin cos a b a β- （B ）cos cos a b a β- （C ）cos sin b b aβ- （D ）sin sin a b aβ-7.如图9-28，∠ΑCB=900，ΑB=13，ΑC=12，∠BCM=∠B ΑC ，求sin ∠B ΑC 和点B 到直线MC 的距离.三角形边角关系6１．如图１所示的Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｃｏｓＡ＝＿＿＿；２．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝４，ｓｉｎＡ＝23，则ＡＢ＝＿＿＿；３．已知α为锐角，下列结论：○1ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１；○2如果α＞４５°，那么ｓｉｎα＞ｃｏｓα；○3如果ｃｏｓα＞12，那么α＜６０°；○4()2sin 11sin αα-=-．正确的有（）Ａ．１个；Ｂ．２个；Ｃ．３个；Ｄ．４个．４．△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，如果ｓｉｎＡ＝35，那么ｔａｎＢ的值等于（）5．如图２，在高度为１０米的平台ＣＤ上测得一高层建筑物ＡＢ的顶端Ａ的仰角为６０°，底端Ｂ的俯角为３０°，则高层建筑物的高ＡＢ＝＿＿＿＿米；6．如图３，小明想测量电线杆ＡＢ的高度，发现电线杆的影子恰好在落在土坡的坡面ＣＤ和地面ＢＣ上，量得ＣＤ＝４米，ＢＣ＝１０米，ＣＤ与地面成３０°角，且此时测得１米杆的影长为２米，则电线杆的高度约为＿＿＿米（结果保留两位有效数字）．7．如图７，∠ＰＯＱ＝９０°，边长为２ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ在ＯＰ上，Ｃ在ＯＱ上，且∠ＯＢＣ＝３０°，分别求点Ａ，Ｄ到ＯＰ的距离．ＢＣＡ１３５图１ＤＢＣＡ图２３０°ＡＥＢＤＣＦ图３P ＥＢＦＯＡＤＧＣＱ图７三角形边角关系7１．已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝35，则ＢＣ∶ＡＣ等于（）Ａ．３∶４；Ｂ．４∶３；Ｃ．３∶５；Ｄ．４∶５．２．∠Ａ为锐角，且ｓｉｎＡ＝35，那么（）Ａ．０°＜∠Ａ＜３０°；Ｂ．３０°＜∠Ａ＜４５°；Ｃ．４５°＜∠Ａ＜６０°；Ｄ．６０°＜∠Ａ＜９０°；３．计算：2cos45︒＋ｔａｎ６０°ｃｏｓ３０°＝＿＿＿；４．如果一个角的补角是这个角余角的４倍，则这个角的正弦值是＿＿＿；５．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若３ＡＣ＝3ＢＣ，则∠Ａ的度数是＿＿＿，ｃｏｓＢ的值是＿＿＿；６．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，若ｔａｎＡ＝12，则ｓｉｎＡ＝＿＿＿；７．若ｔａｎ９°·ｔａｎα＝１，则锐角α＝＿＿＿度；８．在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ、ｂ、ｃ分别是∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边，则33sin sina Bb A+＝＿＿＿；9．如图６，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的高，ｔａｎＢ＝ｃｏｓ∠ＤＡＣ．（１）求证：ＡＣ＝ＢＤ；（２）若ｓｉｎＣ＝1213，ＢＣ＝１２，求ＡＤ的长．ＢＤＣＡ图６三角形边角关系81．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，各边长都扩大２倍，则锐角Ａ的正弦和余弦值（）Ａ．都不变；Ｂ．都扩大２倍；Ｃ，都缩小２倍；Ｄ．不能确定．2．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ｃ，ＢＣ＝ａ，且ａ，ｃ满足2234a ac c-+＝０，则ｓｉｎＡ＝（）；Ａ．１；Ｂ．13；Ｃ．１或13；Ｄ．１或３．3．三角函数ｓｉｎ２３°，ｃｏｓ１５°，ｃｏｓ４１°的大小关系是（）ＣＡ．ｃｏｓ４１°＞ｓｉｎ２３°＞ｃｏｓ１５°；Ｂ．ｃｏｓ１５°＞ｓｉｎ２３°＞ｃｏｓ４１°；Ｃ．ｃｏｓ１５°＞ｃｏｓ４１°＞ｓｉｎ２３°；Ｄ．ｃｏｓ４１°＞ｃｏｓ１５°＞ｓｉｎ２３°．4．在△ＡＢＣ中，∠Ａ，∠Ｂ均为锐角，且｜ｔａｎＢ－3｜＋()22sin3A-＝０，则△ＡＢＣ是（）Ａ，等腰三角形；Ｂ．等边三角形；Ｃ．直角三角形；Ｄ．等腰直角三角形．5．河堤的横断面如图４所示，堤高ＢＣ是５米，迎水斜坡ＡＢ的长是１０米，那么斜坡ＡＢ的坡度ｉ是（）Ａ．１∶２；Ｂ．１∶3；Ｃ．１∶１．５；Ｄ．１∶３．6．若α为锐角，且ｓｉｎα是方程２2x＋３ｘ－２＝０的一个根，则ｃｏｓα＝（）Ａ．12；Ｂ．32；Ｃ．22；Ｄ．12或327．如图５，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点Ｄ在ＢＣ上，ＢＤ＝４，ＡＤ＝ＢＣ，ｃｏｓ∠ＡＤＣ＝35，求：（１）ＤＣ的长；（２）A CB C的值．ＢＤＣＡ图５ＢＣＡ图４三角形边角关系91、等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（） A 030 B 060 C 090 D 01202、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为（）A 090 B 060 C75D 01053、如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB= 4, 则AD 的长为（）．（A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）5164、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为4502cm ，则对角线所用的竹条至少需（）．（A ）cm 230 （B ）30cm （C ）60cm （D ）cm 260 5、如果α是锐角，且135cos sin 22=︒+α，那么=αº．6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米．7．如图９，登山队员在山脚Ａ点测得山顶Ｂ点的仰角为∠ＣＡＢ＝４５°，当沿倾斜角为３０°的斜坡前进１００ｍ到达Ｄ点以后，又在Ｄ点测得山顶Ｂ点的仰角为６０°，求山的高度ＢＣ．（精确到１米）ＡＥＣＢＦＤ图９A BCD E三角形边角关系101、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.2、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为米（用含α的三角比表示）．3、在Rt ABC ∆中∠A＜∠B，CM 是斜边AB 上的中线，将ACM ∆沿直线CM 折叠，点A 落在点D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于度．4、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为 10米，坡角为︒55，路基高度为5.8米，求路基下底宽5.如图１１，客轮沿折线Ａ－Ｂ－Ｃ从Ａ出发经Ｂ再到Ｃ匀速航行，货轮从ＡＣ的中点Ｄ出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线Ａ－Ｂ－Ｃ上的某点Ｅ处．已知ＡＢ＝ＢＣ＝２００海里，∠ＡＢＣ＝９０°，客轮速度是货轮速度的２倍．（１）选择：两船相遇之处Ｅ点（）（Ａ）在线段ＡＢ上；（Ｂ）在线段ＢＣ上；（Ｃ）可以在线段ＡＢ上，也可以在线段ＢＣ上；（２）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）6、如图，客轮沿折线A―B―C 从A 出发经B 再到C 匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C 上的某点E 处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =︒90，客轮速度是货轮速度的2倍．（1）选择：两船相遇之处E 点（）A ．在线段AB 上 B ．在线段BC 上C ．可以在线段AB 上，也可以在线段BC 上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）ＣＦＥＢＡＤ．图１１αPoy x34︒555.8m10mABC D.。

九下《第一章直角三角形的边角关系》测试题一

33αP o y x34 九下《第一章直角三角形的边角关系》测试题一姓名一、认真填一填！（每题4分，共32分）1．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于。

2．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=3/5，cosA= ，sinB= 。

3．计算：sin 2450+ cos 2450 = 。

5. 如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且P 点坐标为(3,4),则αsin = ,αcos =______.6. 如图，P 是∠AOx 的边OA 上的一点，且点P 的坐标为（1，3），则∠AOx =_______度．7.如图，飞机A 在目标B 的正上方1 000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，则地面目标B 、C 之间的距离是______________．8.如图，有一斜坡AB 长40m ，此斜坡的坡角为60°,则坡顶离地面的高度为．（答案带根号）二．认真选一选！（每题5分，满分30分）9、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB 的值是（）A.4/5B.3/5C.3/4D.4/310．在△ABC 中，∠C =90°，如果125tan =A ，那么sinB 的值等于（）． A ． B ．C ．D ． 11在△ABC 中，∠C =90°，∠B =2∠A ，则cos A 等于（）．A． B ． C ．3 D ． 12、某人沿着倾斜角为α的斜坡前进了100米，则他上升的最大高度是（）A.αsin 100米B.100sin α米C.αcos 100米 D.100cos α米 13.把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（）Ａ．cos cos A A '= Ｂ．c o s 3c o s A A '= Ｃ．3c o s c o s A A '= Ｄ．不能确定14、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（）A.1B.2C.22D.22三、计算题（每题5分，共10分）． (第14题) 15．︒-︒45sin 260cos 21 16．︒⋅︒-︒30tan 60tan 45cos 22D CB A D ′ （第7题）P AO yx (第6题) (第8题)13513121255122321A B C D 四．解答题（共28分）17．（满分6分）如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，6,5BC CD ==，求AC 的长和tan ACD ∠的值。

第一章《直角三角形的边角关系》检测(含答案)-

第一章《直角三角形的边角关系》检测一、填空题（每题2分，共24分）1.计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°=_______.2.已知角α为锐角，且53sin =α，则αcos ＝ . 3.在△ABC 中，若AC，BC，AB =3，则cos A = . 4.已知A 是锐角，且sin A =13，则cos （90°－A ）＝___________． 5.在Rt △ABC 中，∠C =90°，已知sin A =35,则cos B =_______. 6.用科学计算器或数学用表求：如图1，有甲、乙两楼，甲楼高AD 是23米，现在想测量乙楼CB 的高度.某人在甲楼的楼底A 和楼顶D ，分别测得乙楼的楼顶B 的仰角为65°13′和45°，处用这些数据可求得乙楼的高度为米（结果精确到0.01米）. 注：用数学用表求解时，可参照下面正切．．表的相关部分.7.已知36α∠=︒，若β∠是α∠的余角，则β∠= 度，sin β=____（结果保留四个有效数字）.8.如图2青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为A D CB图145° 65°13′（甲楼）（乙楼）图230°30′.因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为_____米，才能保证不挡光（sin30°30′=0.5075,tan30°30′=0.5890,结果保留四个有效数字）. 9.如图3，河对岸有古塔AB ，小敏在C 处测得塔顶A 的仰角为α，向塔s 米到达D ，在D 处测得塔顶A 的仰角为β，则塔高是__________米.10.在△ABC 中，∠A ＝90°，设∠B ＝θ，AC ＝b ，则AB ＝________________(用b 和θ的三角比表示)．11.某山路坡面坡度i =沿此山路向上前进200米,升高了_______米．12.如图4，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m(精确到0.1m).二、选择题（每题2分，共24分） 13.2sin450的值等于（）A.1D.2, 14.在△ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则con B 等于（）B.3 C.23 D.2115.在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是（）A ．135 B ．1312 C ．125 D ．51216.已知α为锐角，tan （90°－α），则α的度数为（）图3图4A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°17.如图5，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为（） A ．5.2 m B ．6.8 m C ．9.4 m D ．17.2 m18.如图6，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（） A.1 B.2 C.22D.22 19.在ΔABC 中，∠C ＝90°，sin A =35，则cos A 的值是（） A ．45 B ．35 C ．34 D ．4320.如图7，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，测得AC ＝a ，∠ACB ＝α，那么AB 等于（）．A ．a ·sinαB ．a ·cosαC ．a ·tanαD ．a ·cotα21.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A=2，则的值为（）A ..12D.122.如图8，△ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，CA =4，那么sin A 等于（）ACB图8图5图7 a B AC图6A.34 B.43 C.35 D.4523.如图9在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α，AB = 4, 则AD的长为（） A.3 B.316 C.320 D.51624.某市在“旧城改造”中计划在一块如图10所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（） A.450a 元 B.225a 元 C.150a 元 D.300a 元三、解答题（第25题2分，其余每题5分，共52分）25.计算：︒⋅︒-︒60tan 45cos 30sin 2．26.在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,且sin A =12,tan B,AB =10,求△ABC 的面积.A BCDE图9︒15020米30米图1027.如图11，从一块矩形薄板ABCD 上裁下一个工件GEHCPD （阴影部分）. 图中EF //BC ，GH //AB ，∠AEG =11°18′，∠PCF =33°42′，AG =2cm ，FC =6cm. 求工件GEHCPD 的面积.（参考数据：322433tan ,518111tan ≈'︒≈'︒）28.如图12将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD ，试求ADB ∠的余切值.CABD图12DBAC图11FH29.如图13，沿AC 的方向修建高速公路，为了加快工程进度，要在小山的两边同时施工．在AC 上取一点B ，在AC 外另取一点D ，使∠ABD ＝130°，BD ＝480 m ，∠BDE ＝40°，问开挖点E 离D 多远，才能使A 、C 、E 在一条直线上（sin50°=0.7660，cos50°=0.6428，精确到0.1m ）.30.如图14，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ，坝顶宽CD ＝5米，斜坡AD ＝16米，坝高 6米，斜坡BC 的坡度3:1 i .求斜坡AD 的坡角∠A （精确到1分）和坝底宽AB （精确到0.1米）.图14D CBA图1331.在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案（如图15－①所示）：(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度（如图15－②）的方案：(1)在图15－②中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当字母）；(2)写出你设计的方案.①NM②图1532.如图16，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，点D 在BC 边上，且∠ADC ＝45°，DC ＝6，求∠BAD 正切值.33.如图17，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD )方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ABCD 图16图17图1834.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图18），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：53106sin 32,cos32,tan 321001258≈≈≈鞍?35.为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先划定以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现在某工人站在离B 点3米远的D 处，从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°，树的底部B 点的俯角为30°.问：距离B 点8米远的保护物是否在危险区内？参考答案一、1.0；2.54； 4.31；5.35；6.42.73；7.54、0.8090；8.33.96或33.95；9.βαcot cot -s；10.b ·cot θ；11.10；12.2.3.二、13，B ；14，C ；15，C ；16，C ，17，A ；18，B ；19，A ；20，C ；21，B ；22，C ；23，B ；24，C . 三、25，4621-；26，3225；27，48； 28，过点A 作DB 的延长线的垂线AE ，垂足为E .cot 1)1DE ADB EA ∠===+ 29, 367.7ｍ；30，∠A =22°1′ AB =37.8米； 31，（1）图略；（2）①在测点A 处安置测倾器，测得此时M 的仰角，∠MCE ＝α；②在测点A 与小山之间的B 出安置测倾器（A 、B 与N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角∠MDE ＝β；③量出测倾器的高度AC ＝BD ＝h ，以及测点A 、B 之间的距离AB ＝m .根据上述测量数据，即可求出小山的高度MN.；32，过D 点作，交AB 于E 点，所以tan=∠BAD ＝6515427DE AE =⨯=； 33，过点B 作BM ⊥AH 于M ，∴BM ∥AF .∴∠ABM =∠BAF =30°.在△BAM 中，AM =12,AB =5，BM 过点C 作CN ⊥AH 于N ，交BD 于K .,在Rt △BCK 中，∠CBK =90°－60°=30°,设CK =x ，11 则BKx , Rt △ACN ∠CAN =90°-45°=45°，AN =NC .∴AM +MN =CK +KN .又NM =BK ，BM =KN .即xx .解得x =5.∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险；34，（1）如图设CE=x 米，则AF =（20-x ）米，tan 32,AF EF?即20-x =15tan 32,11x ≈° ∵11＞6， ∴居民住房的采光有影响.（2）如图：sin 32,ABBF ?820325BF =⨯=，两楼应相距32米；35，可求出AB = 43米，因为8＞43，所以距离B 点8米远的保护物不在危险区内.。

九下直角三角形的边角关系测试卷

直角三角形的边角关系测试班级：__________ 学号：姓名____________ 成绩________________ 一、选择题（每题4分，共32分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，那么tanB 的值是（） A. 1 B.21 C. 3 D. 33 2、在一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大2倍，那么它的两个锐角的余弦值（）.A ．都没有变化B ．都扩大2倍C ．都缩小为原来的一半D ．不能确定是否发生变化3、在△ABC 中，AC=BC ，D 为AB 中点连接CD ，那么tanB 是（）A. CB CDB.BD CDC. BC ACD. ABAC4、某人从山脚下点A 走了100米后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为50米，则山的坡度为（）A.30°B.60°C.21 D. 335、在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=35°，AB ＝7，则BC 的长为（）A.7sin35°B.︒35cos 7C.7cos35°D.7tan35°6、三个梯子A,B,C 靠在墙上，同时与地面形成的夹角为α，β，γ，已知sin α=0.5， cos β=322，tan γ=1515，那么梯子与地面形成的夹角最大的是（） A.A B.B C. C D. 无法确定7、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m ，那么这棵树高是（）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+23335m B 、⎪⎭⎫⎝⎛+2335m C 、335m D 、4 m8、在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（） A ．直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定第7题第4题DB AC二、填空题（每小题4分，共24分）9、比较大小: sin400 cos400（＞，＜，=）10、如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则αsin = ．11、某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD = 1米，∠A=30°，则跨度AB 的长为 (用含有根号的式子表示)。

直角三角形的边角关系单元测试卷及答案

直角三角形的边角关系单元测试卷一、选择题：1．如下左图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（） A ．sin A =B ．1tan 2A =C．cos B = D．tan B =2. 在Rt△ABC 中，若各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的各锐角三角函数（）A 、都扩大2倍B 、没有变化C 、缩小2倍D 、不能确定3．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如上中图所示，45AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（） A．B．C．11)，D．1)4．如上右图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确的个数为（）①DE=3cm ； ②EB=1cm ； ③2ABCD 15S cm =菱形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米B．C．3D．3米6.如图,长方体的长为15，宽为10，高为2 0，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（） A. 215 B. 255 D. 357.在一次夏令营活动中，小亮从位于A 点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km 到达B 地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C 地，测得A 地在C 地南偏西30°方向，则A 、C 两地的距离为（） A.km 3310 B.km 335 C.km 25 D.km 35 8．如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（）米． A ．25B． C．3D．25+二、填空题：9.计算：sin600·cos300－21=_______. 10.已知∠A 为锐角，sinA ＝53，则tanA ＝__________。

直角三角形边角关系(一)(北师版)(含答案)

直角三角形边角关系（一）（北师版）试卷简介:直角三角形的边角关系，测量类应用题一、单选题(共20道，每道5分)1.式子2cos30°-tan45°-的值是( )A. B.0C. D.2答案：B解题思路：．故选B．试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值2.把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′,那么锐角A,A′的余弦值的关系为( )A.cosA=cosA′B.cosA=3cosA′C.3cosA=cosA′D.不能确定答案：A解题思路：解：根据锐角三角函数的定义，知把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍，那么它们的余弦值不变．故选A．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义3.sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是( )A.tan70°<cos70°<sin70°B.cos70°<tan70°<sin70°C.sin70°<cos70°<tan70°D.cos70°<sin70°<tan70°答案：D解题思路：解：根据锐角三角函数的定义，知sin70°<1，cos70°<1，tan70°＞1．又∵cos70°=sin20°，在大于0°小于90°范围内，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°，∴cos70°<sin70°<tan70°．故选D．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性4.已知A为锐角,且cosA≦,那么( )A.0°≦A≦60°B.60°≦A<90°C.0°<A≦30°D.30°≦A<90°答案：B解题思路：解：∵cos60°=，在大于0°小于90°范围内，余弦值随角增大而减小，∴当cosA≦时，∠A≧60°．又∵∠A是锐角，∴60°≦A<90°．故选B．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性5.如果△ABC中,,则下列说法正确的是( )A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是锐角三角形答案：A解题思路：解：由题意，得，∴∠A=60°，∠B=30°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．故选A试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值6.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，AC=4，．故选D 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义7.如图,在Rt△ABC中,tanB=,BC=,则AC等于( )A.3B.4C. D.6答案：A解题思路：解：由正切的定义知，，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义8.在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于( )A. B.C. D.答案：A解题思路：解：如图，过A作AC⊥x轴于C，∵A点坐标为（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=，∴sin∠AOB=．故选A．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义9.河堤横断面如图所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1:,则AB的长为( )A.12米B.米C.米D.米答案：A解题思路：解：Rt△ABC中，BC=6米，，则AC=BC=，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用--坡度坡角问题10.如图所示,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,则tan∠BAC的值为( )A. B.1C. D.答案：A解题思路：解：如图，连接BD，则△ABD是直角三角形，∠ABD=90°，∵BD=，AB=，∴tan∠BAC=．故选A．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义11.如图,从热气球C处测得地面A,B两点的俯角分别是30°,45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A,D,B在同一直线上,则AB两点的距离是( )A.200米B.米C.米D.米答案：D解题思路：解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100米．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°，∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=+100（米）．故选D．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用--仰角俯角问题12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥AB,AD=CD,cos∠DCA=,BC=10,则AB的值是( )A.3B.6C.8D.9答案：B解题思路：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=∠ACB．∵cos∠DCA=，AC⊥AB，BC=10，∴cos∠ACB===，∴AC=8，AB=6．故选B．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形13.在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：解：过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，∵∠A=120°，AB=4，AC=2，∴∠DAC=60°，∠ACD=30°，∴，∴BD=5，∴BC==2，∴sinB==，故选：D．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB为90°,CD⊥AB,cos∠BCD=,BD=1,则边AB的长是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：解：在Rt△BCD中，cos∠BCD=，设CD=2a，则BC=3a，根据勾股定理得，12+（2a）2=（3a）2，∴a=，∴BC=．∵∠BCD=∠BAC，∴cos∠BCD=cos∠BAC．设AC=2b，则AB=3b，在Rt△ABC中，由勾股定理得，（3b）2-（2b）2=，解得b=，∴AB=×3=．故选D试题难度：三颗星知识点：解直角三角形15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=16cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD,若cos∠BDC=,则BC=( )A.8cmB.4cmC.6cmD.10cm答案：A解题思路：解：∵MN为AB的垂直平分线，∴BD=AD．设AD=a cm，∴BD=a cm，CD=（16-a）cm，∴cos∠BDC===，∴a=10．在Rt△BCD中，CD=6cm，BD=10cm，∴BC=8cm．故选A．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形16.如图,在△ABC中,点D在AC上,DE⊥BC,垂足为E,若AD=2DC,AB=4DE,则sinB等于( )A. B.C. D.答案：D解题思路：解：作AF⊥BC于点F，则有DE∥AF．∵AD=2DC，∴DC：AC=1：3=DE：AF，∴AF=3DE．∵AB=4DE，∴sinB=．故选D．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形17.如图,已知P是正方形ABCD内一点,△PBC为正三角形,则tan∠PAB的值是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：解：如图，过点P作PF⊥AB于F．∵ABCD为正方形，△PBC为正三角形，∴PB=BC=AB，∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．设正方形的边长为1，则PB=AB=1，在Rt△PBF中，PF=，PB=1，由勾股定理BF=．∴AF=．在Rt△APF中，tan∠PAB==．故选A试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义18.如图所示,已知AD是等腰△ABC底边上的高,且tan∠B=,AC上有一点E,且足AE:CE=2:3,则tan∠ADE的值是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：解：如图，过E点作EF⊥AD于点F．设AD=3a，则BD=CD=4a，∵AE：CE=2:3，∴EF=CD=，AF=AD=，∴DF=3a-=．在Rt△EFD中，tan∠ADE==．故选B．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=,BC=3,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,则sin∠CAD=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：解：设AD=x，则CD=x-3，在Rt△ACD中，（x-3）2+()2=x2，解得，x=4，∴CD=4-3=1，∴sin∠CAD==；故选A．试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义20.如图,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为( )A.米B.米C.米D.米答案：D解题思路：解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB．在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=AB．设AB=x（米），∵CD=100，∴BC=x+100．∴x+100=x，∴米．故选D．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形的应用--仰角俯角问题。

中考数学专题复习题：直角三角形的边角关系

中考数学专题复习题：直角三角形的边角关系一、单项选择题（共12小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，AB＝5，则sinA的值是（）A．53B．35C．54D．452．如图，在△ABC中，AC=ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）AB．3C．D．4第2题图第3题图3．如图，一艘船由A港沿北偏东50︒方向航行100km至C港，然后再沿北偏西25︒方向航行至B港，B港在A港北偏东20︒方向，则A，B两港之间的距离为（）A．()50km B．()50km C．D．50km4．如图，某公园为了使残疾人的轮椅行走方便，设想拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10︒，此公园门前的台阶高出地面1.62米，则斜坡的水平宽度MN至少需（）（精确到0.1米，参考值：sin100.17,cos100.98,tan100.18︒≈︒≈︒≈）A．9.1米B．9.5米C．9.4米D．9.0米5．在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA×tanB的值一定是（）A．小于1B．等于1C．大于1D．不小于16．若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．25√3海里B．25√2海里C．50海里D．25海里第7题图第8题图8．长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2√3m B．(2√3−2) m C．2√6m D．(2√6−2)m 9．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．247B．724C．√73D．13C．43C．35EF折叠，使点D落在BC交于点M，DG与，那么BH的长为（二、填空题（共6小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM=3，则tan B5的值为________.14．在△ABC中，∠C=90°，若tan A=1，则sin B=________.215．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=√3，则sin A=________.230，过相交，得到图中所示的阴影梯形，若它们的面积依次极为BPC 是等边三角形，、BP CP 的延长线分别交相交于点H ，给出下列结论：①ABE △31BPDABCD S −=正方形，其中正确的是________．BQ 上的动点，连接，连接CE ，DE ，当CE三、解答题（共5小题）19．计算：（1）3tan30∘− (cos60∘)−1+√8cos45∘+√(1−tan60∘)2;（2）sin²30°− cos45∘⋅tan60∘+sin60∘cos45∘−tan45∘.20．如图所示，在矩形ABCD 中,点E 在线段CD 上,点F 在线段AB 的延长线上，连接EF 交线段BC 于点G ，连接BD,若DE=BF=2．（1）求证：四边形BFED 是平行四边形；（2）若tan∠ABD =23 ，求线段BG 的长度．21．如图，已知ABD △中，AC BD ⊥，8BC =，4CD =，4cos 5ABC ∠=，BE 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求BED 的面积．22．如图1、图2分别是某型号吊车的实物图与示意图，吊车底座抽象为矩形ABCD ，4AB =米，2AD =米．吊臂EF 现在的长度为30米，仰角32DEF ∠=︒．吊钩FG 现在的长度为6米，吊钩垂直于地面．已知1CE =米，求吊钩FG 的下端点G 到地面AB 的距离多少米？（结果精确到1米．参考数据：sin320.53︒=，cos320.85︒=，tan32062︒=.）23．在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN （如图），在跑道MN 的正西端14.5 km 处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°,且与点A 相距15 km 的B 处;经过1分钟,又测得该飞机位于点A 的北偏东60°,且与点A 相距5√3 km 的C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行,那么飞机能否降落在跑道MN之间?请说明理由．。