高中数学指数和对数知识点

高中数学指数和对数知识点

(一)指数函数

1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x

≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

2.指数函数的图象和性质

1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：

（1）x )31(y = （2）x

)2

1(y =

（3）x

2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 图象特征

函数性质

1a >

1a 0<< 1a >

1a 0<<

向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +

函数图象都过定点（0，1） 1a 0=

自左向右看， 图象逐渐上升

自左向右看，

图象逐渐下降 增函数

减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图

1a ,0x x >> 1a ,0x x <>

正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m

)1,,,0(1

1*

>∈>=

=

-n N n m a a a

a n

m

n

m n

m

有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s

r r a

a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs

s

r a a =)(

),,0(Q s r a ∈>；

（3）s

r

r

a a a

b =)(

),0,0(Q r b a ∈>>．

对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =

对数式与指数式的互化：x N a =log ⇔

N a x = 对数的性质

对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

（二）对数函数的图象和性质

○

1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）

（1） x y 2log = （2） x y 2

1log =

（3） x y 3log = （4） x y 3

1log =

○2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表格：

图象特征

函数性质

1a >

1a 0<< 1a > 1a 0<<

函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R

函数图象都过定点（1，1） 11=α

自左向右看， 图象逐渐上升

自左向右看，

图象逐渐下降 增函数

减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0

第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><

第二象限的图象纵坐标都小于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

0log ,10<<x x a

○3 底数a 是如何影响函数x y a log =的．规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．