吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测(三)理科数学试题
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(文)试题(解析版)
2020届吉林省长春市高三质量监测（三）（三模）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =≤，{}lg 1B x x =≤，则A B =I （ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．()0,1D ．[]1,10-【答案】B【解析】先分别计算集合A 和B ，再计算A B I 【详解】{}{}21=-11A x x x x =≤≤≤ {}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤ {}01A B x x ⋂=<≤故答案选B 【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.2．已知向量,a b r r 满足a =r （2，1），b =r （1，y ），且a b ⊥r r，则2a b +r r ＝（ ）A B ．C ．5D ．4【答案】C【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =r （2，1），b =r （1，y ），且a b ⊥r r ，则有a b ⋅=r r 2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =r（1，﹣2），则2a b +=r r（4，﹣3），故2a b +=r r =5；故选：C 【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.3．已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】利用复数除法运算求得z，由此求得z，进而求得z对应点的坐标及其所在象限.【详解】由（1+i）2•z＝1﹣i，得z()()2211111(1)2222i ii iii i i----====--+-，则1122z i=-+，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限．故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.4．某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x y+的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．故选：B．【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x ，y 的值，进而得到x +y 的值．5．等比数列{a n }中，a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，则a 3•a 9等于（ ） A ．﹣3 B ．3C ．﹣4D ．4【答案】B【解析】根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a ⋅的值. 【详解】∵a 5、a 7是函数f （x ）＝x 2﹣4x +3的两个零点，∴a 5、a 7是方程x 2﹣4x +3＝0的两个根， ∴a 5•a 7＝3，由等比数列的性质可得：a 3•a 9＝a 5•a 7＝3． 故选：B 【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6．函数3()x xx f x e e -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果. 【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x xx f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数，排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A, 故选：B 【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 7．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥r r的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥【答案】C【解析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥r r成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案. 【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确.B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确.C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥r r，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8．已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B ．51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， C ．51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D ．511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】B【解析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝2，即2πω=2，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2k π2π+，k ∈Z ，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k ∈Z ， 故选：B 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题.9．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，4）B ．（﹣4，0）∪（0，4）C ．（0，4）∪（4，+∞）D ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】D【解析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集. 【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 10．若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C ．[﹣1，0） D ．[0，+∞）【答案】B【解析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020x log x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B 【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.11．已知双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）与椭圆22182x y +=1有相同焦点F 1，F 2，离心率为43．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为12，N 为线段MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．23【答案】B【解析】根据双曲线的定义求得NO 的表达式，根据椭圆方程求得双曲线的c ，结合双曲线的离心率求得a ，由此求得NO 的值. 【详解】如图，∵N 为线段MF 2的中点，∴|NO |12=|MF 1|12=（|MF 2|﹣2a ）＝6﹣a ，∵双曲线2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为e43=，∴43ca=，∵椭圆22182x y+=1与双曲线2222x ya b-=1的焦点相同，∴c182=-=4，则a＝3，即6﹣a＝3，∴|NO|＝3．故选：B．【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，属于基础题.12．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2②当32a=-时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．①③C．②④D．①②【答案】A【解析】根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线332y x =--和圆()2211x y ++=的位置关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得x y +的最大值，由此判断③的正确性.将45OPQ ∠=o 转化为过P 的两条切线所成的角大于等于90o ，由此求得OP 的取值范围，进而求得b 的取值范围，从而判断出④的正确性.【详解】对于①，将y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半， 根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，正确； 对于②，当32a =-时，直线()()33222322y ax a a x x x =+=+=-+=--,过点()()2,0,0,3--，所以直线2y ax a =+与白色部分在第I 和第IV 象限部分没有公共点.圆()2211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线332y x =--，即直线3260x y ++=1=>，所以直线2y ax a =+与白色部分在第III 象限的部分没有公共点.综上所述，直线y ＝ax +2a 与白色部分没有公共点，②错误；对于③，设l ：z ＝x +y ，由线性规划知识可知，当直线l 与圆x 2+（y ﹣1）2＝1相切时，z 最大，1=解得z 1=（1z =-，③错误； 对于④，要使得∠OPQ ＝45°，即需要过点P 的两条切线所成角大于等于90o ，所以245sin OP ≥︒=，即OP，于是22+b 2≤8，解得22b -≤≤． 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.二、填空题13．已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．【解析】根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值. 【详解】∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα10==-，sinα10==-， 则cosα﹣sinα==.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N ），设b n ＝（﹣1）n •a n a n +1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 20＝_____． 【答案】880【解析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得n b 的表达式，利用并项求和法求得20T . 【详解】∵4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N ），当n ＝1时，211142S a a =+，解得a 1＝2或0（舍去），当n ≥2时，4S n ＝a n 2+2a n ①，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1②，①﹣②得：2211422n n n n n a a a a a --=+--，整理得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，∴b n ＝（﹣1）n•a n a n +1＝4×（﹣1）n n （n +1），∴T20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]＝4×[（﹣2+6）+（﹣12+20）+（﹣30+42）+……+（﹣380+420）]＝4×（4+8+12+……+40）＝4() 104402⨯+⨯=880，故答案为：880【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查并项求和法，属于中档题.三、解答题15．已知长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，现将长方形ABCD沿着对角线BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD，则折后几何图形的外接球表面积为_____．【答案】4π【解析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】长方形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，可得BD＝2，AD=作AE⊥BD于E，可得AE•BD＝AB•AD，所以AE2=BE12 ===，因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊂面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥面BCD，由直角三角形BCD可得其外接圆的圆心为斜边BD的中点O1，且外接圆的半径r12BD==1，过O1作OO1垂直于底面BCD，所以EO1＝O1B﹣BE＝11122-=，所以OO1∥AE，取三棱锥外接球的球心O，设外接球的半径为R，作OF⊥AE于F，则四边形EFOO1为矩形，O1E＝OF，EF＝OO1，则OA＝OC＝OB＝OD＝R，在△AFO中，OA2＝AF2+OF2＝（AE﹣EF）2+EO12即R2＝（2-OO1）214+；①在△BOO1中：OB2＝OO12+EO12，即R2＝OO1214 +；②由①②可得R2＝1，OO1＝0，即外接球的球心为O1，所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故答案为：4π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.16．笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56]（0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．【答案】（Ⅰ）35；（Ⅱ）400万元【解析】（I）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（II）根据频率分布直方图求得一刀宣纸的利润，由此估计出年利润.【详解】（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5的样本，设抽出的2张正牌为A ，B ，2张副牌为a ，b ，1张废品为t ，从中任取两张，基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，At ，Ba ，Bb ，Bt ，ab ，at ，bt ，共10种，其中无废品包含的基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，ab ，共6种，∴其中无废品的概率p 63105==． （Ⅱ）由频率分布直方图得：一刀（100张）宣纸有正牌宣纸100×0.1×4＝40张， 有副牌宣纸100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张， ∴该公司一刀宣纸的利润为40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元， ∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元． 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查频率分布直方图的运用，属于基础题. 17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ． （Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4π=，△ABC 的面积为6，求BC ．【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）【解析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a 也即BC 的值. 【详解】（Ⅰ）∵2a ＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sin A ＝2sin B cos C +sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2． （Ⅱ）∵tan B ＝2，B ∈（0，π），可得sin B=，cos B =．∴sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C==∴a bsinA sinB=，可得：a3103225b b=⨯=．又12ab sin4π=6，可得b122a=．∴a32122=⨯，即218a=，解得BC a=＝32．【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.18．四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA＝CD＝2，PA⊥平面ABCD，E在棱PB上．（Ⅰ）求证：AC⊥PD；（Ⅱ）若V P﹣ACE29=，求证：PD∥平面AEC．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（I）过A作AF DC⊥，判断出四边形ABCF为则方程，由此证得AC DA⊥，结合AC PA⊥证得AC⊥平面PAD，从而证得AC PD⊥.（II）利用题目所给体积求得E到平面ABCD的距离，连接DB交AC于O，连接OE，通过证明::PB EB DB OB=，证得//PD OE，由此证得//PD平面AEC.【详解】（Ⅰ）过A作AF⊥DC于F，∵AB∥CD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，∴四边形ABCF为正方形，则CF＝DF＝AF＝1，∴∠DAC＝90°，得AC⊥DA，又P A⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥P A，又P A，AD⊂平面P AD，P A∩AD＝A，∴AC⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，∴AC⊥PD；（Ⅱ）设E到平面ABCD的距离为h，则V P﹣ACE()112112329h=⨯⨯⨯⨯-=，得h23=．又P A＝2，则PB：EB＝P A：h＝3：1．∵BC＝1，CD＝2，∴DB5=，连接DB交AC 于O，连接OE，∵△AOB ∽△COD ，∴DO ：OB ＝2：1，得DB ：OB ＝3：1，∴PB ：EB ＝DB ：OB ，则PD ∥OE ．又OE ⊂平面AEC ，PD ⊄平面AEC ，∴PD ∥平面AEC ．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19．已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为x 2＝2py （p ＞0），其焦点为F ，过点M （0，4）的直线l 与抛物线相交于P 、Q 两点且△OPQ 为以O 为直角顶点的直角三角形． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设点N 为曲线E 上的任意一点，证明：以FN 为直径的圆与x 轴相切． 【答案】（Ⅰ）x 2＝4y ；（Ⅱ）见解析【解析】（I ）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，化简后写出根与系数关系，根据三角形OPQ 是直角三角形，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得p ，由此求得抛物线方程.（II ）设出N 的坐标，求得线段NF 中点N 的纵坐标，结合抛物线的性质，证得结论成立. 【详解】（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +4，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程242y kx x py=+⎧⎨=⎩，整理可得：x 2﹣8kpx ﹣8p ＝0，所以x 1x 2＝﹣8p ，所以y 1y 222212122()224x x x x p p p=⋅==16， 因为△OPQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⋅=u u u r u u u r0，即x 1x 2+y 1y 2＝0，所以﹣8p +16＝0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F （0，1），准线方程为：y ＝﹣1， 设N （m ，n ），则NF 的中点M 的纵坐标12n +，即以NF 为直径的圆的圆心M 到x 轴的距离为12n +， 而由抛物线的性质可得|NF |＝n +1，即以NF 为直径的圆的半径为12n +， 所以可得圆心M 到x 轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN 为直径的圆与x 轴相切． 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，属于中档题. 20．已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同的切线l ． （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1e≤k ≤e 【解析】（I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程. （II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x（x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩，即243ae ae b c=⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4，∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x ﹣（x 2+2x ﹣1），即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0， ∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x ﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x ﹣1），①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增， 又h （x ）min ＝h （﹣1）2ke =-+2()2e k e-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， ∴h （x ）min ＝h （﹣1）2ke =-+2()2e k e-==0，即h （x ）≥0恒成立， （iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1e≤k ＜e ， 综上所述得：1e≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.21．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l的参数方程为235x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN V 为等边三角形，求PMN V 边长的取值范围.【答案】（1）C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2）1515⎡⎢⎣⎦【解析】（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭， 故可得2223sin 12ρρθ+=，则()222312x yy++=，整理得223412x y +=，也即22143x y +=，由0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可得0,0x y ≥≥，故其参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤）；又直线的参数方程为23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故可得其普通方程为280x y +-=.（2）不妨设点P的坐标为()2cos αα， 则点P 到直线280x y +-=的距离d ==0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 容易知4sin 86y πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]6,4--，故可得d ∈⎣⎦. 则三角形PMN，故其范围为,1515⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.22．已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+．（Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b +=【解析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值. 【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤Q 在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-，又()()32235x x x x ++-≥--+=Q ，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立．5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤， 若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈Q ，1m ∴=，∴综上所述：1m =， 22ab a b ∴--=，221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩Q ，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，37a b ∴+≥=，当且仅当411a a -=-，即3a =时等号成立， 此时2241a b a +==-．∴当3a =，4b =时，()min 7a b +=． 【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.四、双空题23．若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.【答案】2 654ln 24-【解析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果.【详解】2121247()2702740,22f x x x x x x x x x '=-+=⇒-+=⇒+==，2212111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+21212121265()27()4ln()4ln 24x x x x x x x x =+--++=-. 故答案为：2；654ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.。
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(理)试题(解析版)
【答案】C
【解析】根据圆心的连线与公共弦所在直线垂直，即可求得圆心；再结合弦长公式，即可容易求得半径.
【详解】
两圆圆心连线与公共弦垂直，不妨设所求圆心的坐标为 ，
又圆 的圆心为 ，半径为1，
故 ，解得 .故所求圆心为 .
直线 截得 所成弦长 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 截得所求圆的弦长 ，
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用 之间的关系，即可容易求得 ，则 得解，再用并项求和法即可求得结果.
【详解】
由 得 ，作差可得：
，又 得 ，
则 所以 ，
…，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用 的关系求数列的通项公式，涉及等差数列前 项和的求解，属综合中档题.
12．设椭圆 的左右焦点为 ，焦距为 ，过点 的直线与椭圆 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为（）
【详解】
因为 ，又 与向量 共线
故可得 ，解得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式，涉及向量的坐标运算，属基础题.
4．已知函数 的图象为C，为了得到关于原点对称的图象，只要把C上所有的点（）
A．向左平移 个单位B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】利用辅助角公式化简 ，再根据三角函数的奇偶性，即可求得结果.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，求得 ，结合余弦定理，即可求得 的齐次式，据此即可求得结果.
【详解】
根据题意，作图如下：
由 得 ， ，
由
即 ，
整理得 ，
2020届吉林省长春市高三质量监测(三)(三模)数学(文)试题(wd无答案)
2020届吉林省长春市高三质量监测（三）（三模）数学（文）试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知向量满足（2，1），（1， y），且，则＝（）A．B．C．5D．4(★★) 3. 已知复数 z满足（1+ i）2• z＝1﹣ i，则 z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★★) 4. 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为（）A．7B．8C．9D．10(★) 5. 等比数列{ a n}中， a 5、 a 7是函数 f（ x）＝ x 2﹣4 x+3的两个零点，则 a 3• a 9等于（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4(★★) 6. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．，，B．，，C．，，D．，，(★★) 8. 已知直线 y＝﹣2与函数，（其中 w＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数 f（ x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．(★★) 9. 已知函数 f（ x）是定义在 R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且 f（﹣4）＝0，则使得 xf（ x）＞0成立的 x的取值范围是（）A．（﹣4，4）B．（﹣4，0）∪（0，4）C．（0，4）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）(★) 10. 若函数有且只有一个零点，则 a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．[﹣1，0）D．[0，+∞）(★★) 11. 已知双曲线1（ a＞0， b＞0）与椭圆1有相同焦点 F 1， F 2，离心率为．若双曲线的左支上有一点 M到右焦点 F 2的距离为12， N为线段 MF 2的中点， O为坐标原点，则| NO|等于（）A．4B．3C．2D．(★★★) 12. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线 y＝ ax+2 a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（ x， y），则 x+ y的最大值为2；④设点 P（﹣2， b），点 Q在此太极图上，使得∠ OPQ＝45°， b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A．①④B．①③C．②④D．①②二、填空题(★) 13. 已知tanα＝3，π＜α ，则cosα﹣sinα＝_____．(★★★) 14. 已知数列{ a n}的各项均为正数，其前 n项和为 S n，满足4 S n＝ a n2+2 a n（ n∈N*），设 b n＝（﹣1）n• a n a n+1， T n为数列{ b n}的前 n项和，则 T 20＝_____．三、解答题(★★★) 15. 已知长方形 ABCD中， AB＝1，∠ ABD＝60°，现将长方形 ABCD沿着对角线 BD折起，使平面ABD⊥平面 BCD，则折后几何图形的外接球表面积为 _____ ．(★★) 16. 笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值 x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56] （0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率； （Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．(★★) 17. △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知2 a ＝2 bcos C+ csin B ． （Ⅰ）求tan B ；（Ⅱ）若 C，△ ABC 的面积为6，求 BC ．(★★) 18. 四棱锥 P ﹣ ABCD 中， AB∥ CD， AB⊥ BC， AB ＝ BC ＝1， PA ＝ CD ＝2， PA⊥平面 ABCD ， E 在棱 PB 上．（Ⅰ）求证： AC⊥ PD； （Ⅱ）若 V P ﹣ ACE，求证： PD∥平面 AEC ．(★★★) 19. 已知 O 为坐标原点，抛物线 E 的方程为 x 2＝2 py （ p ＞0），其焦点为 F ，过点 M （0，4）的直线 与抛物线相交于 P 、 Q 两点且△ OPQ 为以 O 为直角顶点的直角三角形． （Ⅰ）求 E 的方程；（Ⅱ）设点 N 为曲线 E 上的任意一点，证明：以 FN 为直径的圆与 x 轴相切．(★★★★) 20. 已知函数 f （ x ）＝ axe x ， g （ x ）＝ x 2+2 x+ b ，若曲线 y ＝ f （ x ）与曲线 y ＝ g （ x ）都过点 P （1， c ）．且在点 P 处有相同的切线 l ． （Ⅰ）求切线 l 的方程；（Ⅱ）若关于 x 的不等式 k[ ef （ x ）]≥ g（ x ）对任意 x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数 k的取值范围．(★★★) 21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的参数方程与直线的普通方程；（2）设点过为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且满足为等边三角形，求边长的取值范围.(★★★) 22. 已知函数，，．（Ⅰ）当时，有，求实数的取值范围．（Ⅱ）若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．四、双空题(★★) 23. 若是函数的两个极值点，则____，____.。
吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测理科数学试卷(含答案)
所以 an+1
−
an
=
3n ，
an
=
(an
− an−1)
+
(an−1
− an−2 )
+ ......+ (a2
−
a1) +
a1
=
3n −1 2
.
.
（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： bn = n 3n − n ，
Tn = 1 31 + 2 32 + ...... + n 3n ， ①
3Tn = 1 32 + 2 33 + ...... + (n −1) 3n + n 3n+1 ， ②
①-②可得
−2Tn
=
31
+
32
+
...... +
3n
−
n 3n+1
=
3n+1 − 2
3
−
n
3n+1
，
则 Tn
=
−
3n+1 − 3 4
+
n 3n+1 2
=
(2n
−1) 3n+1 4
+
3
即
Sn
=
(2n
−1) 3n+1 4
+
3
−
n(n +1) 2
.
20. (本小题满分 12 分)
（12 分）
【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）已知点 P 在椭圆 C ：
（4 分）
（Ⅱ）设直线 AP 的方程为： y = k(x + 2) ，则直线 OM 的方程为 y = kx .
长春市三模理科数学答案
平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，故 BF ⊥ 平面 PAD ，又 BF ⊂ 平面 BEF ，
所以平面 BEF ⊥ 平面 PAD . （6 分） （Ⅱ）(法一) 连 PF ∵ PA = PD ， F 为 AD 中点，∴ PF ⊥ AD 又 PF ⊂ 平面 PAD ，
平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD ，
【题号】21
【参考答案与评分细则】（Ⅰ） F(x) = f (x) − g(x) = m ln x − x −1 ， x
F′(x) = m − 1 = mx −1 ，
x x2
x2
当 m ≤ 0 时， F′(x) < 0 ，所以，函数 F(x) 在 (0, +∞) 上单调递减；
当 m > 0 时，由 F′(x) < 0 得： 0<x < 1 ；由 F′(x) > 0 得： x > 1
m
m
所以，函数 F(x) 在 (0, 1 ) 上单调递减，函数 F(x) 在 ( 1 , +∞) 上单调递增. （4 分）
m
m
（Ⅱ）函数 f (x) = mln x 在点 (a, m ln a) 处的切线方程为 y − m ln a = m (x − a) ， a
即 y = m x + m ln a − m ， a
函数 g(x) = x −1 在点 (b,1− 1) 处的切线方程为 y − (1− 1) = 1 (x − b) ，
x
b
b b2
即
y
=
1 b2
x−
2 b
+1.
y = f (x) 与 y = g(x) 的图象有唯一一条公切线.
吉林省长春市普通高中高三质量监测(三)数学(理)试题
长春市202X 届高三质量监测(三)理科数学本试卷共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
考前须知：I.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘2. 选赤题，荡1扁用2B 铅楚鬲涂：非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不折叠，不弄破、弄皱，不使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 设集合 A = {XE Z| 亍 W4}, B = {X \-4<X <2}9 那么 A(}B =A. {x|-2Wxv2}B. {x|T<x 〈2}C. {-2,-1,0.1,2}D. {-2,-1,0,1}2. Ll 知复数z = (〃 + i)(l-2i) (“cR )的实部为3,其中i 为虚数单位，那么复数z 的虚部为A. -1 3.己知向星。
=(1,一2),力=(3, - 3), c = (lj)，假设向量。
与向量b , c 共线，那么实数，=4.己知函数/(x) = cos ；-J5sin ；的图象为C,为了得到关于原点对称的图象，只要 把C 上所有的点5.函数f(x) = 的图象大致为C. D.A.向左平移:个单位 C,向右平移：个单位B.向左平移一厂个单位 D.向右平移号个单位6. 7. 在（X+A-）5的展开式中，一定含有JTA.常数项B.X 项C. X"1项 己知直线〃7,〃和平面a ，D ，y ,有如下四个命题：① 假设 m la . mH §,那么 a ±/7 ；② 假设 m ±a. mH n .③ 假设n La . 〃 J/?,④ 假设〃】-L a , m ± n , 其中真命题的个数是A. 1B.2〃u/?，那么al/?；mla 9 那么m±flz那么nil a.C.3D.48. 9. 10. 风雨桥是佃族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亨组成，其塔俯视图通常是正 方形、正六边形利正八边形.右下列图是风雨桥中塔的俯视图.该塔共5层，假设Bq =以月=任用=坎/^ = 0.5〃?，4A = 8〃?，那么 /X /\这五层正六边形的周K 总和为——A. 35mB. 45mC. 210mD. 270mA.己知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆C ： r + y 2-2x = o 的公共弦所在直线的方程为 x->/3y = 0， A. /+（,、/5）2 =2 C.工2+（）,一后）2=3某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中，列出各个学段每个主题所包含的 条目数（如下表），下右图始将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高 条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中 错误的选项是那么圆£的方程为 B ・，/+(y + x/5)2=2 D ・ x 2+(y + V3)2=3段笫一学段 （1-3年坂） 第二学段 （4 6年欲） 第三学段 （7-9年级）合计 致勺代敷 21 28 49 98 图形凡何 18 25 87 130统计级率 3 8 11 22综合实践 3 4 3 10 合计45 65 150260第一学段第二学段第三学段匚■好凡何 匚二♦计（=□»*** A. 除了 “综合与实践”外，其它三个领域的条H 数都随着学段的升高而增加，尤其 “图形与几何”在第三学段增加较多，约是第二学段的3.5倍.B. 所有主题中，三个学段的总和“图形与儿何”条目数最多，占50%,综合与实践 最少，约占4%.C. 第一、二学段“数与代数”条目数最多，第三学段“图形与几何”条目数最多.D. “数与代数”条目数虽然随假设学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少.“图 形与几何”条目数 ，百分比都随学段的增长而增长.II.己知数列｛《,｝的各项均为正数，其前〃项和S 〃满足4S,；2q,,设如=（-1）"・时职,7；为数列｛勿｝的前〃项和，那么乌=A. 110B. 220C. 440D. 88012 •设椭圆的左右焦点为％，&，焦距为2c,过点A ；的直线与椭圆C 交于点P,Q,假设（长舂三切\PF 21= 2c,且那么椭圆C 的离心率为1 3 5 A. —B. —C.—247二、 填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.一名信息员维护甲、乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3.那么至少有一个公司不需要维护的概率为 __________ ・等差数列中，％=1,公差dc[l,2],旦《+如+弓5=15,那么实数人的最大 值为 .假设玉，冯是函数/（x ） = x 2-7x+4lnx 的两个极值点，那么x ｝x 2 =___________ , /（^） + /（^2）= _____________ ・（此题第一空2分，第二空3分）现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，48 = 2,侧面△ PAD^等边三角形，线段BC 的中点为E,假设 PE = 1.那么所需球体原材料的最小体积为 ______________ ・ 三、 解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （-）必考题：共60分.17. （12 分）笔、墨、纸、砚足中国独有的文书工具，即“文房四宝” O 笔、墨、纸、砚之名， 起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始丁•唐代，产于泾县”，而唐代 泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌 （优等品和合格品），某公司年产宣纸10（）00刀（每刀100张），公司按照某种质量标 准值X 给宣纸确定质量等级，如下表所示：X (48,521(44,482(5256](0,44|U(56J(X)|质房等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀 （l （X ）张）进行检验，得到频率分布直方图如 图所示，己知每张正牌纸的利润是10元，副 牌纸的利润是5元，废品亏损10元.（I ） 估计该公司生产宣纸的年利润（单 位：万元）：（II ） 该公司预备购置一种售价为100万 元的机器改良生产工艺，这种机器的使用寿命7D.二 313. 14. 15. 16.是一年，只能提高宣纸的质量，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量标准值A•的频率，如下表所示：(x-2,x + 2]其中三为改良工艺前质量标准值A•的平均值，改良工艺后，每张正牌和副牌宣纸的利润都卜降2元，请判断该公司是否应该购置这种机器，并说明理由.18. (12 分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。
吉林省吉林市普通中学2020年高三数学第三次调研考试题理
吉林省吉林市普通中学 2020 年高三数学第三次调研考试题 理本试卷共 23 小题，共 150 分，共 6页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试题 卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂 , 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域 （ 黑色线框 ）内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求。
S n ，则 S n1 n 25． 若 （x）n 的展开式中只有第 7项的二项式系数最大，则展开式中含 x 2 项的系数是 xA ． 462B ． 462C ． 792D ． 792A. 0B. 1C. 2D. 33． 若 sin1, 且，则 sin23222424222A ．B ．C ．D ．9 9 9 9为 i . 其中正确命题的个数是4.已知等差数列 {a n } 的公差不为 0， a 11.若集合 B {x |x0} ，且 AI BA ，则集合 A 可以是 2． A ． {1,2}B ．{x|x1}C ． { 1,0,1}D ．已知复数 z 1 ii 为虚数单位）给出下列命题：① |z| 2 ；② z 1 i ；③ z 的虚部1，且 a 2,a 4, a 8成等比数列，设 {a n } 的前 n 项和为A.n(n 1) A. 2B.(n 1)22C.n 212n(n 3) 46． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为20192018D. 2018 2019 1 7． 0 | x 1|dxA ． 1B ． 1 2 8． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系C ． 2O xyz 中的坐标分别是 1 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1) ,( 1,1,0) , 绘制该四面体三视图时 , 按 2 D ． 39． 设曲线 f (x) mcosx(m 2R*) 上任一点 (x,y) 处切线斜率为 g(x) ，则函数 y x 2g(x)的部分图象可以为 最大值为D. 3 1A. 2B. 2 2 1C. 5A.2018B.C.201711．等比数列 {a n} 的首项为33，公比为2 1，前 n 项和为S n ，则当2N * 时，S n 1的Sn最大值与最小值的比值为12A.5 B.107C. 109D.12512．已知函数f (x)在实数m,n(m13 x , x22ln x, x 1n) ，满足f(m) ln x 是以 e 为底的自然对数，f (n) ，则n m 的取值范围为2.71828K )，若存2A. (0, e2 3)B.2 (4,e2 1]C. [5 2ln 2,e 1]D. [5 2ln2,4)二、填空题：本大题共4 个小题, 每小题5 分。
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吉林省长春市普通高中2020届高三质量监测（三）（三模）
理科数学试题
一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合2{|4}A x x =∈≤Z ,B={x|-4<x<2},则A∩B=
A.{x|-2≤x<2}
B.{x|-4<x≤2}.{2,1,0,1,2}C --.{2,1,0,1}
D --2.已知复数z=(a+i)(1-2i)(a ∈R )的实部为3,其中i 为虚数单位,则复数z 的虚部为
A.-1
B.-i
C.1
D.i
3.已知向量a =(1,-2),b =(3,-3),c =(1,t),若向量a 与向量b c + 共线,则实数t=
A.5
B.-5
C.1
D.-1
4.已知函数()cos 22
x x f x =-的图象为C,为了得到关于原点对称的图象,只要把C 上所有的点A.向左平移3
π个单位 B.向左平移23π个单位C.向右平移3π个单位 D.向右平移
23π个单位5.函数3()x x
x f x e e -=-的图象大致为
6.在52
1()x x +的展开式中,一定含有A.常数项 B.x 项1.C x -项3.D x 项
7.已知直线m,n 和平面,,,αβγ有如下四个命题:
①若m ⊥α,m//β,则α⊥β;
②若m ⊥α,m//n,n ⊂β,则α⊥β;
③若n ⊥α,n ⊥β,m ⊥α,则m ⊥β;
④若m ⊥α,m ⊥n,则n//α.
其中真命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
8.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一,风雨桥由桥､塔､亭组成,其塔俯视图通常是正方形､正六边形和正八边形.右下图是风雨桥中塔的俯视图｡该塔共5层,若01122334000.5,8.B B B B B B B B m A B m =====这五层正六边形的周长总和为
A.35m
B.45m
C.210m
D.270m
9.已知圆E 的圆心在y 轴上,且与圆C:2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0,x -=则圆E 的方程为
22.(2
A x y +-=22.(2
B x y ++=
22
.(3C x y +-=22.(3
D x y ++=10.某项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究中,列出各个学段每个主题所包含的条目数(如下表),下右图是将统计表的条目数转化为百分比,按各学段绘制的等高条形图,由图表分析得出以下四个结论,其中错误的是
A.除了“综合与实践”外,其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加,尤其“图形与几何”在第三学段增加较多,约是第二学段的3.5倍｡
B.所有主题中,三个学段的总和“图形与几何”条目数最多,占50%,综合与实践最少,约占4%
C.第一､二学段“数与代数”条目数最多,第三学段“图形与几何”条目数最多.
D.“数与代数”条目数虽然随着学段的增长而增长,而其百分比却一直在减少.“图形与几何”条目数,百分比都随学段的增长而增长.
11.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足2*42,()n n n S a a n =+∈N ,设1(1),n n n n b a a +=-⋅T n 为数
列{}n b 的前n 项和,则20T =
A.110
B.220
C.440
D.880
12.设椭圆的左右焦点为12,,F F 焦距为2c,过点1F 的直线与椭圆C 交于点P,Q,若2||2,PF c =且114||||3
PF QF =
,则椭圆C 的离心率为1
.2A 3
.4B 5
.7C 2
.3
D 二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡
13.一名信息员维护甲､乙两公司的5G 网络,一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护的概率分别为0.4和0.3,则至少有一个公司不需要维护的概率为___.
14.等差数列{}n a 中,11,a =公差d ∈[1,2],且391515,a a a λ++=则实数λ的最大值为___.
15.若12,x x 是函数2()74f x x x lnx =-+的两个极值点,则12x x =__；12()()f x f x +=___.(本题第一空2分,第二空3分)
16.现有一批大小不同的球体原材料,某工厂要加工出一个四棱锥零件,要求零件底面ABCD 为正方形,AB=2,侧面△PAD 为等边三角形,线段BC 的中点为E,若PE=1.则所需球体原材料的最小体积为____.
三､解答题:共70分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22~23题为选考题,考生根据要求作答｡
(一)必考题:共60分｡
17.(12分)
笔､墨､纸､砚是中国独有的文书工具,即“文房四宝”.笔､墨､纸､砚之名,起源于南北朝时期,其中的“纸”指的是宣纸,宣纸“始于唐代,产于泾县”,而唐代泾县隶属于宣州府管辖,故因地而得名“宣纸”,宣纸按质量等级,可分为正牌
和副牌(优等品和合格品),某公司年产宣纸10000刀(每刀100张),公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级,如下表所示:
x(48,52](44,48]∪(52,56](0,44]∪(56,100]
质量等级正牌副牌废品
公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀(100张)进行检验,得到频率分布直方图如图所示,已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元.
(1)估计该公司生产宣纸的年利润(单位:万元);
(II)该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺,这种机器的使用寿命是一年,只能提高宣纸的质量,不影响产量,这种机器生产的宣纸的质量标准值x的频率,如下表所示:
其中x为改进工艺前质量标准值x的平均值,改进工艺后,每张正牌和副牌宣纸的利润都下降2元,请判断该公司是否应该购买这种机器,并说明理由.
18.(12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=4ccosB.
(1)求证:sinBcosC=3sinCcosB;
(II)求B-C的最大值.
19.(12分)
四棱锥P-ABCD中,ABCD为直角梯形,BC//AD,AD⊥DC,BC=CD=1,AD=2,PA=PD,E为PC中点,平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点,PA//平面BEF.
(1)求证:平面BEF⊥平面PAD;
(II)若PC与底面ABCD所成的角为60°.求二面角E-BF-A的余弦值.
20.(12分)
已知点A(0,1),点B在y轴负半轴上,以AB为边做菱形ABCD,且菱形ABCD对角线的交点在x轴上,设点D 的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(II)过点M(m,0),其中1<m<4,作曲线E的切线,设切点为N,求△AMN面积的取值范围.
21.(12分)
已知函数1()ln ,()0)x f x m x g x x x
-==>.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上的单调性;
(II)是否存在正实数m,使y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一一条公切线,若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.
(二)选考题:共10分,请考生在22-23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4坐标系与参数方程](10分)
以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为
2212([0,])23sin πρθθ=∈+,直线1
的参数方程为23x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数).
(1)求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程;(II)设点P 为曲线C 上的动点,点M 和点N 为直线l 上的点,且满足△PMN 为等边三角形,求△PMN 边长的取值范围.
23.[选修4-5不等式选讲](10分)
已知函数()()2, , 3f x m x m g x x =--∈=+R .
(1)当x ∈R 时,有f(x)≤g(x),求实数m 的取值范围;
(II)若不等式f(x)≥0的解集为[1,3],正数a,b 满足ab-2a-b=3m-1,求a+b 的最小值.
来源：高中数学资料共享群 1073631656。