2019年中科大创新班考试数学模拟试题

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中科大创新试点班初试试题

中科大创新试点班初试试题题目：中科大创新试点班初试试题一、数学本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。

具体如下：1.1 基础知识1.1.1 什么是实数？列举实数的几种表示方法。

1.1.2 什么是函数？列举常见的函数类型和它们的图像。

1.2 解析几何1.2.1 请画出以下函数的图像，并简要解释它们的性质：（1）y = x²（2）y = sinx1.2.2 请回答以下问题：（1）直线与平面是否能够唯一确定？（2）如何求出空间中两条直线的夹角？1.3 微积分1.3.1 请回答以下问题：（1）什么是导数？如何求导？（2）什么是极限？什么情况下不存在极限？1.3.2 请计算以下函数的导数：（1）y = x³ + 2x² - 3x（2）y = e^x - 5x二、物理本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。

具体如下：2.1 力学2.1.1 请回答以下问题：（1）什么是力？列举几个例子。

（2）什么是牛顿第二定律？请给出一个实例。

2.1.2 请回答以下问题：（1）什么是功？什么是能？它们之间有什么关系？（2）一个自由下落的物体，当其下落速度达到终端速度后，重力和空气阻力之间是否平衡？为什么？2.2 电磁学2.2.1 请回答以下问题：（1）什么是电势？与电场有什么关系？（2）什么是法拉第电磁感应定律？请举例说明。

2.2.2 请回答以下问题：（1）什么是电子？它们在原子中的排布有什么规律？（2）什么是电导率？请举例说明导体和绝缘体的区别。

三、英语本题共有三个小题，每个小题都要求回答若干个问题。

具体如下：3.1 语法3.1.1 请回答以下问题：（1）什么是名词？列举几个英文名词。

（2）什么是动词？有哪几种英文动词时态？它们的用法分别是什么？3.1.2 请造句：（1）用现在完成时造一个含“for”短语的句子。

（2）用过去完成时造一个含“since”短语的句子。

3.2 阅读理解3.2.1 阅读下列文章，回答问题：（1）文章的主题是什么？（2）文章的结构分为哪些部分？3.2.2 阅读下列句子，判断正误并说明原因：（1）The Earth is getting hotter and hotter every year.（）（2）There is no way to stop global warming.（）3.3 写作3.3.1 请根据以下提示，写一篇100-150字的短文：（1）介绍你自己的家乡。

2019年试验初中创新班招生考试数学试卷及答案

2019年试验初中创新班招生考试试卷（数学）一、选择题（每小题1分，共5分）1．甲数比乙数少25％，甲数比乙数的最简整数比是（）A、1：4B、4：1C、3：4D、4：32．把底面积是18平方厘米，高是2厘米的圆柱形零件削成最大的圆锥，削成的面积是（）立方厘米。

A、12B、18C、24D、363．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中的第34个数为（）A 、6 B、7 C、8 D、94．一件衣服打“七五折”出售，售价600元，这件西服原价是（）元A、150B、450C、800D、24005、如图，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（）A、π平方厘米B、9π平方厘米C、4.5π平方厘米D、3π平方厘米二、填空题（每题2分，共20分）1. ＝15÷（）＝七五折2．甲数的等于乙数的，乙数比甲数小（）。

3. 停车场有四轮车和两轮摩托车共13辆，轮子共有36个，摩托车共有（）辆。

4. 在101克水中放进4克盐，然后义加进20克浓度5％的盐水，搅匀后盐水浓度为（）％。

5．学校运来两捆苗，共240棵，准备分给四、五、六年级植树，六年载总棵树的，四五年级载的棵数比是3：4，四年级应栽树（）棵。

6. 做一个圆柱形的笔筒，底面半径是4厘米，高是10厘米，做这个笔简至少需要（）平方米的铁皮（保留整数）。

7. 将一个绳子对折后在对折，然后在对折一次，最后从对折的中间剪断，绳子被剪成（）段。

8．甲乙二人完成同样的工作，甲耗的时间是乙的8P则甲的工效比乙的工效高（）％9．一张等腰三角形纸片，底和高的比是8：3，把它沿底边上的高剪开，可以拼成一个长方形，拼成的长方形的周长是28厘米，原来三角形面积（）平方厘米。

10．一根长方体的木料，正好可以截成两个同样的正方体，这是表面积增加了24平方厘米，这根长方体原来的表面积是（）平方厘米。

三．判断题（每题1分，共5分）1．圆的周长一定，圆的直径和圆周率成反比。

创新班试题

中科大自主招生试题数学：选择（选项顺序已记不清，共四道）第一aA2+bA2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是1.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<02.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<0332+匕人2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=0432+匕人2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。

另一道记不得。

第四道：sin 6*s in 42*s in 66*s in 78 的值1.1/22.1/43.1/164.1/32编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把我。

sin66打印成sin56。

着实吓填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）1.x属于（-n /2, n /2,编者注：不确定），求8/sinx+1/cosx的最小值。

2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是编者评价：等我想起其他题，再补充。

解答题：（共六道）1.证明：xA2+xy+yA2>=3*（x+y-1）对任意的实数x, y都成立。

2•数列Xn , Yn满足下式：X（ n+2）=2X（ n+1）+X n,Y（ n+2）=Y（ n+1）+2Y n求证：存在n。

，使得一切正整数n>n。

，都使Xn>Yn。

3.如图，三角形ABC的面积为1 , D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.，求三角形GIH的面积。

3.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。

4.N+是正整数集，为全集。

（n+n! , n是正整数）为A的集合，B是A的补集。

（1）试证明：不可能从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等差数列。

中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题

中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。

根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。

以下是部分真题。

填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。

如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。

(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。

若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。

(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。

涉及到二次曲线参数方程的知识。

解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。

(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。

题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。

中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。

随机分组，不分专业。

面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。

面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。

“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。

2019年中科大创新班笔试数学真题及答案

4.
设
O
是
ABC
的外心，
4

OA
5

OB
6

OC

0
，则
tan
BAC
_____.
5. 设曲线 x 13 y 13 1 关于直线 y kx b 对称，则 k,b _____.
6. 设 x 3 cost , y 4 cost , t 是参数，则 x2 y2 的最大值为_____.
解析：易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面体置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.
a 3 6 ,b 2
10 2
,c

3
10 2
. VABCD

15 4
6
10 .
解析：令 fn
本试题由天科教育研究院整理。
2019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案【天科教育研究院解答】
本试题由天科教育研究院解答。
1. x 2 y 3x 4 y 5 区域面积
.
1 .答案：25 解析：
画出可行域如图，
S ABCD

4S ABO

4*
25 4

25
。
2. 方程 sin 2x cos 3x 0, x 0,2 的所有根之和
解析：由几何意义注意 z 1与z 1的夹角，z 的轨迹为单位圆上对应复数,所以
z2

z3 min

z
z2

z3 min

z 1 3z min

2018-2019学年高一3月月考数学试卷(创新班)(附答案)

2019级创新实验班阶段检测（一）数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1．设集合U =R ，A ={x |0<x <2}，B ={x |x <1}，则图中阴影部分表示的集合为（）．A. {x |x ≥1}B. {x |x ≤1}C. {x |0<x ≤1} D. {x |1≤x <2}2．已知函数2()4f x x，则函数的值域为（）．A. (0，+∞)B. [0，+∞)C. (2，+∞) D. [2，+∞)3．函数123yxx的定义域为（）．A. (2，3)∪(3，+∞)B. [2，3)∪(3，+∞)C. [2，+∞)D. (3，+∞)4．函数,0,2,0,1)(2xx xx x f 则f (f (-2018))= （）．A. 1B. -1C. 2018D. -2018 5．若关于x 的一元二次方程x 2- 4x + m =0没有实数根，则m 的取值范围为（）．A. m <2 B.m>4 C. m>16 D. m<8 6．函数y =|x 2-1|与y =a 的图象有4个交点，则实数a 的取值范围是（）．A．(0，) B．(-1，1) C．(0，1) D．(1，)7．已知函数22()21f x xax a，若关于x 的不等式0ff x的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）．A ．(-3，-2)B ．(-∞，-1)C ．(-∞，-2)D ．(-∞，-2]8．函数f (x )定义域为R ，且对任意x ，y ∈R ，()()()f xy f x f y 恒成立.则下列选项中不恒成立．．．．的是（）．A ．(0)0f B ．(2)2(1)f f C．11()(1)22f f D．()()0f x f x 9．已知函数f (x )=|1- |x -1||，若关于x 的方程 [f (x )]2+af (x )=0(a ∈R)有n 个不同实数根，则n 的值不可能为（）．A ．3B ．4C ．5D ．610．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y =f (x )- g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的解，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )=x 2-3x +4与g (x )=2x +m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为（）．A. 9(2]4， B. [-1，0] C. (-∞，-2)D.9()4，二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11．函数,03,82,10,11)(2xx xx x x f 的值域是▲ ．12．已知函数()y f x 的定义域为(22)，，函数()(1)(32)g x f x f x ．则函数()g x 的定义域▲ ．13．不等式11x的解集是▲ ．14．已知函数f (x )=x 2-2x 在区间[-1，t ]上的最大值为3，则实数t 的取值范围是▲ ．15．已知关于x 的不等式20ax bx c的解集是(21)，，则不等式20cxbx a的解集是▲ ．16．定义：符合()f x x 的x 称为f x 的一阶不动点，符合(())f f x x 的x 称为()f x 的二阶不动点．设函数2f xxbx c ，若函数()f x 没有一阶不动点，则函数()f x 二阶不动点的个数为▲ ．三、解答题：本大题共6小题，计80分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）已知集合2+230A x x x ≤，22240Bx xmx mx m R R ≤，，．（1）若]1,0[B A ，求实数m 的值；（2）若B A RC ，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分）已知二次函数2()f x axbx c 最小值为1，且(2)(2)()f x f f x ．（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间2,1m m 上单调，求m 的取值范围．。

中科大创新班考试数学模拟试题

2019年中科大创新班考试数学模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。

4.本试卷共四大题，满分100分，解答题需写出必要的计算和证明过程。

一、填空题（每小题5分，共40分）1.设{}|12A a a =-≤≤，则平面点集(){},|,,0B x y x y A x y =∈+≥的面积为．2.已知{}7,6,5,4,3,2,1,0=A ，A A f →:，若7=+j i ，则ij j f i f =)()(，那么映射f 的个数是.3.已知抛物线P 以椭圆E 的中心为焦点，P 经过E 的两个焦点，并且P 与E 恰有三个交点，则E 得离心率等于.4.在锐角ABC △中，G O ,分别是其外心和重心，若AC OG ∥且 75=∠B ,则=+C A tan tan .5.如图，在单位正四面体ABCD 中，K N M ,,分别在棱BD AD AB 、、上，满足.41,31===DK DN BM 则面ACK 与面CMN 所夹锐角的余弦值为.6.设复数z ，11=+z z ，则z 的取值范围是为.7.严格递增的正实数数列{}n x 满足：{}n x x ∈当且仅当2{}x x +=整数，（其中，等式中的{}x 表示x 的小数部分）．那么，这个数列的前100项之和是．8.任意m 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是11的倍数，则m 的最小值为.二、解答题（20分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边依次成等差数列。

求证：312tan 2tan =C A .三、解答题（20分）已知对于任意的]1,1[-∈x ，都有12≤++c bx ax ，证明：对于任意的]1,1[-∈x ，都有22≤++a bx cx 。

四、解答题（20分）在坐标平面内，从原点出发以同一初速度0v 和不同发射角（即发射方向与x 轴正向之间的夹角）[]2,,0(παπαα≠∈射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。

中科大创新班初试入围考试试卷解析

中科大创新班初试入围考试试卷解析一、数学部分（共75分）1. （15分）已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求函数f(x)的极值。

- 解：首先对函数f(x)求导，f^′(x)=3x^2 - 3。

- 令f^′(x)=0，即3x^2 - 3 = 0，化简得x^2 - 1=0，解得x = ±1。

- 当x < - 1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。

- 当-1 < x < 1时，f^′(x)<0，函数f(x)单调递减。

- 当x>1时，f^′(x)>0，函数f(x)单调递增。

- 所以x = - 1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=(-1)^3 - 3×(-1)+1 = 3；x = 1时，函数f(x)取得极小值f(1)=1^3 - 3×1 + 1=-1。

2. （20分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，已知a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)，求角B和边c的值。

- 解：根据正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，将a = 2√(3)，b = 2，A=(π)/(3)代入可得：- sin B=(bsinA)/(a)=(2×sinfrac{π)/(3)}{2√(3)}=(2×frac{√(3))/(2)}{2√(3)}=(1)/(2)。

- 因为a>b，所以A>B，又A=(π)/(3)，所以B=(π)/(6)。

- 然后根据三角形内角和C=π - A - B=π-(π)/(3)-(π)/(6)=(π)/(2)。

- 再根据勾股定理c=√(a^2)+b^{2}=√((2sqrt{3))^2+2^2} = 4。

3. （20分）已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n + 1=2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：由a_n + 1=2a_n+1可得a_n + 1+1 = 2(a_n+1)。

2019创新班数学真题集答案补充

提示：不动点法。
8、从正 2017 边形的边和对角线中选取 3 条不同线段，它们两两不相交的概率是
。
3C26017
C 答案：
3 C22017
提示：如果三条线不相交，则需要 6 个点，而在一个 6 边形只有 3 组两两不相交的线段。
三、（20 分）设实数 a1, b1, a2 , b2 ，a2017 , b2017 满足 0 ai bi 1, i 1,2,,2017 ，证明：若，则存在实数 x 使得 ai x bi , i 1,2,,2017 。
综上： (a,b, c) (1, 2, 0), (1, 1, 1) 。
a b c a 解 2：由题意令 f (x) (x a)(x b)(x c) x3 ax2 bx c ，则 ab bc ca b ，
abc c
③ x 0, y 0 ， n种 2④x0,
y

0
，
C2 n2
2n 1
4
最终
1
n

2

n

2

4
C2 n2

2n
1
2n2 2n 1
4、【解析】最小值显然如答案
f x
4x 4
2x2 2x 1 2x2 2x 5

4t
2t 2 6t 5 2t 2 2t 5
，令 t x 1考虑 t 0 情况

4
2
6 5 t t2

2

2 t

5 t2
显然 t 时，原式最大 2
6、【解析】
PA PB PC PD 6

2019-2020学年高一数学下学期期中试题(创新班)

2019-2020学年高一数学下学期期中试题(创新班)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R▲ ．2．设i 是虚数单位，若复数z 满足)1()1(i i z -=+，则复数z3.函数y 的定义域为 ▲ ．4．若()π1sin 123α+=，则()7πcos 12α+的值为 ▲ .5. 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 6. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为 ▲ ．7．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成 ▲ 个没有重复数字的四位偶数． 8. 用数学归纳法证明：“11123+++…121n n +<-即2111n k n k -=<∑，其中2n ≥，且*n ∈N ”时，第一步需验证的不等式为：“ ▲ ．”9．已知函数()f x x b =+有且只有一个零点，则实数b 的取值范围是 ▲ . 10．设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y，1z 成等差数列，则x z z x+的值是 ▲ ．11．设,x y 满足约束条件0,0,210,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≤≥则目标函数z xy =的取值范围为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE 的长为▲________13. 设函数)(x f 在R 上存在导数)('x f ,对任意的),0(+∞上()f x 'x >.若a a f a f 22)()2(-≥--,则实数a 的取值范围 ▲ ．14．设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则ba c+的最大值为 ▲ . 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（1）直线1A E ∥平面1ADC ；（2）直线EF ⊥平面1ADC ．16.（本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.17. （本题满分14分）ABCDE A 1 B 11C 1 F （第15题）(第12题)已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于,A B 两点，且2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧，直线,PA PB 与直线4x =交于,M N 两点，若以MN 为直径的圆与x 轴交于,E F ，求点P 横坐标的取值范围及EF 的最大值．18．(本小题满分16分)如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒PQ ＝l ；方案二如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 24tan θ；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数32()f x ax bx cx b a =-++- (a > 0，b ，c ∈R )．（1）设0c =．①若a b =，()f x 在0x x =处的切线过点(1，0)，求0x 的值； ②若a b >，求()f x 在区间[0 1]，上的最大值；（2）设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立．20．（本小题满分16分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 成立.求满足等式31=n n a T 的所有正整数n .参考答案1.【答案】[1，2]2.【答案】13.【答案】()1 12，4.【答案】13-5.【答案】3116.【答案】 x 24－y 212＝17.【答案】116 8.【答案】111223++<9.【答案】{}(22,2--10.【答案】341511.【答案】1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12.13.【答案】(,1]-∞14.【答案】12．15. 证明：（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =，所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面，所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分16. 解：（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅-=. ……………2分所以1cos232022A A -+-=，12cos212A A -=， ………3分即 ()πsin 216A -=. ……………………………………4分因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. ……………………5分故ππ262A -=，π3A =. ………………………………………7分（2）由余弦定理，得 224b c bc =+-. …………………………………8分又1sin 2ABC S bc A ∆==， ………………………………9分而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立） ……11分所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形. …14分17. 解：（1）由题意可得，1b =，c e a ==，………………………………………………2分得22134a a -=，解24a =，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.…………………4分（2）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -，所以001PA y k x +=，直线PA 的方程为0011y y x x +=-，同理得直线PB 的方程为 0011y y x x -=+，直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y M x -+，直线PB 与直线4x =的交点为004(1)(4,1)y N x +-，线段MN 的中点04(4,)y x ，…………………………………………………………8分所以圆的方程为22200044(4)()(1)y x y x x -+-=-，令0y =，则2220200164(4)(1)y x x x -+=-，因为220014x y +=，所以 2020114y x -=-，所以28(4)50x x -+-=，因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以0850x ->，解得08(,2]5x ∈．………………………………………………12分设交点坐标12(,0),(,0)x x ，则1208||25x x x -=-（0825x <≤），所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2．………………………………………14分18. 解：（1）设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l2θ，所以 S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π2)． ……………………………4分(2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以l 2≥2ab －2ab cos2θ． ……………………………………6分所以ab ≤l 22(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立．所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ，即S 2＝l24tan θ． ………………8分(3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π2)，． ………………………………10分令f (θ)＝tan θ－θ，则f (θ)＝(sin θ cos θ)－1＝sin 2θcos 2θ． ……………12分当θ∈(0，π2)时，f (θ)＞0，所以f (θ)在[0，π2)上单调增，所以，当θ∈(0，π2)，总有f (θ)＞f (0)＝0．所以1S 2－1S 1＞0，得S 1＞S 2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分) …………16分19. 解：（1）当0c =，0a >时，32()f x ax bx b a =-+-，[]0 1x ∈，， ①若a b =，则32()f x ax ax =-，从而2000()32f x ax ax '=-，故()f x 在0x x =处的切线方程为()3200y ax ax --= ()200032()ax ax x x --，将点(1，0)代入上式并整理得，()2001x x -=()000(1)32x x x --，解得00x =或01x =； …… 5分 ②若a b >，则由()22()32303b f x ax bx ax x a '=-=-=得，0x =或213b x a=<，若0b ≤，则()0f x '≥，所以()f x 为[]0 1x ∈，上的增函数，从而()f x 的最大值为(1)0f =； …… 7分若0b >，列表：x 0()20 3b a， 23b a()2 13b a ， 1 ()f x ' ﹨-0 +﹨ ()f x0b a -<↘ 极小值↗所以()f x 的最大值为(1)0f =，综上，()f x 的最大值为0； …… 10分（2）证明：假设存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立，不妨设12x x <，则1()f x <2()f x ，因为1x x =，2x x =（12x x <）为()f x 的两个极值点，所以212()323()()f x ax bx c a x x x x '=-+=--(a >0)，因为[]12 x x x ∈，时，()0f x '≤，所以()f x 为区间[]12 x x ，上的减函数，从而1()f x >2()f x ，这与1()f x <2()f x 矛盾，故假设不成立，即不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =与22()f x x = 同时成立． …… 16分20.解：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ，即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ； …………………………………………4分（2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即i k j 36233⋅⋅=+μλ，所以1233=+--i k i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， ……………………6分 123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，； …………………8分（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， ……………………10分又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ，从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n 当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；……………………………12分下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ， )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n nn n n n n …14分当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ，所以当3n ≥时，n n a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ； …………15分综上可得，满足等式31=n n a T 的正整数n 的值为1和3. ………………………………16分欢迎您的下载，资料仅供参考！资料仅供参考!!!。

2019-2020学年高一数学上学期期中试题(创新班,含解析)

2019-2020学年高一数学上学期期中试题（创新班，含解析）一、选择题1.已知集合，集合，则中元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出整数的个数，即可得出答案.【详解】解不等式，得，，的取值有、、、、、、，因此，中元素的个数为.故选：C.【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.2. 设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用以及平方差公式进行化简，再代值即可.【详解】原式==因为，故，代入原式=.故选：A.【点睛】本题考查指数和对数的运算，注意三次方差公式的利用，先化简后求值.3.幂函数在定义域内为偶函数，则m=（）A. －1B. 2C. －1或2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据函数为幂函数，求得参数，再根据奇偶性进行取舍.【详解】由幂函数定义可知，，解得或；当时，，是奇函数，不满足题意；当时，，是偶函数，满足题意.综上所述：.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的定义，以及幂函数的奇偶性，属基础题.4.函数，若，则（）A. －1B. 1C. －9D. 9【答案】C【解析】【分析】判断的奇偶性，根据奇偶性，列方程求解即可.【详解】函数定义域为R，关于原点对称，且=故是奇函数；则因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用；值得注意的是函数是R上的单调增函数，且为奇函数，可以当作一个一般性结论进行总结.5.若等差数列的公差，且，则的前17项的和（）A. 17B. 18C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式的下标和性质，结合数列的前项和性质，进行整理化简即可.【详解】等价于因为是等差数列，故其等价于解得：，因由等差数列前项和性质可得.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项公式的下标和性质，以及前项和的性质，属性质应用题；除本题解法外，也可以采用基本量进行计算，但计算量较大，不推荐.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可.【详解】=.【点睛】本题考查利用正切函数的和角公式进行恒等变化和化简，其难点在于反凑的技巧.7.函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二分法，估算的零点，结合选项函数的零点进行判断.【详解】因为，是单调增函数，又，故的零点所在区间为，若使得的零点与的零点之差的绝对值不超过，只需的零点在区间即可.显然A选项中，的零点为满足题意，而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点均不满足题意.故选：A.【点睛】本题考查零点的求解，以及用二分法估算函数的零点，属综合基础题.8.把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到，再由题中条件得到＝3，进而可得出结果.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得：，所以，＝3，得：.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.9.设是定义在R上的函数，若存在两个不相等实数、，使得，则称函数为“创新函数”.则下列函数不是“创新函数”的是（）①②③④A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】【分析】根据对创新函数的定义，对每个选项的函数进行逐一判断即可.【详解】根据创新函数的定义，其本质含义是：函数上，存在一点，使得函数图像上其它两点关于该点对称即可.对A：函数为R上的奇函数，故函数上存在对称点，对函数上任意其它关于原点对称的两个点，均满足创新函数的定义；对B：函数也是R上的奇函数，故函数上存在对称点，对函数上任意其它关于原点对称的两个点，均满足创新函数的定义；对C：函数是R上的偶函数，但存在点，对函数上的和两点，关于对称，故满足创新函数的定义；对D：不存在点，使得函数图像上其它两点关于该点对称.故选：D.【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及函数图像以及函数性质，属函数性质应用题.10.已知函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将函数的解析式表示为分段函数，并判断出函数的单调性，由可得出关于的不等式组，解出即可.【详解】，当时，，所以，函数在区间上为增函数，由可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，分析出函数的基本性质是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知直线，与函数的图象交于、两点，与函数的图象交于、两点，则直线与的交点的横坐标（）A. 大于B. 等于C. 小于D. 不确定【答案】B【解析】【分析】求出、、、的坐标，利用待定系数法求出直线与的函数解析式，然后求出这两条直线的交点坐标，即可得解.【详解】由题意可知点、、、，设直线对应的函数解析式为，则，解得,所以直线的函数解析式为，同理可知直线的函数解析式为，两直线均过原点，所以，直线与的交点的横坐标为零.故选：B.【点睛】本题考查两直线交点横坐标的求解，考查对数的运算性质，解题的关键就是求出两条直线对应的一次函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12.已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A. 2B. -2C. 4D. -4【答案】D【解析】【分析】将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则三点共线如下图所示：与反向共线本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、填空题13.已知实数、、、满足，，，，则________.【答案】【解析】【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式可计算出的值.【详解】，，同理，，，由换底公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，考查计算能力，属于基础题.14.已知正项数列的前n项和为.若,均为公差为d的等差数列，则________.【答案】【解析】【分析】根据两个数列是等差数列，结合特殊的几项，寻找等量关系，解方程求解.【详解】因为数列的前项和为，故，，，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②-①可得：③把③代入①得：.故或，因数列为正项数列，故舍去；当，代入③解得.故.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前项和，利用基本量处理即可.15.已知向量与的夹角为，且，，实数k满足与的夹角为钝角，则k的取值范围为________.【答案】且【解析】【分析】根据向量的夹角为钝角，则数量积为负数进行计算，但注意排除平角的可能.【详解】由已知条件可知：，因为与的夹角为钝角故，即：整理得：，解得：；设，且，解得，解得，又故，即此时.此时，与的夹角为平角，故.综上所述：故答案为：且.【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉及向量共线定理，属向量基础题.16.已知且，且，方程组的解为或，则________.【答案】【解析】【分析】利用换底公式得出，分别消去和，可得出二次方程，利用韦达定理可求出和的值，进而可计算出的值.【详解】由换底公式得，由①得，代入②并整理得，由韦达定理得，即，则，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题17.设集合，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再根据公共元素为代入集合，即可求出实数的值；（2）由推出，然后分、、、四种情况讨论，求出对应的实数的值或取值范围，综合可得出结果.【详解】由题意得.（1），，，即，或.当时，，，满足；当时，，，满足.综上所述，或；（2），.①当时，方程无解，，解得；②当时，，无解；③当时，，无解；④当时，，无解.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合和集合以及元素和集合之间的关系，属于基础题目，特别提醒，第一问求出参数的值后一定要注意代入检验，避免出错．18.“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每个城市至少要投资万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）.（1）求及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】（1），定义域为；（2）当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大.【解析】【分析】（1）由化简，并结合题意得出该函数的定义域；（2）配方，得出函数的最大值及其对应的的值即可．【详解】（1）由题意可得，且有，解得，故函数定义域为；（2），当时，即当万元时，.当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大为万元.【点睛】本题考查了函数模型的实际应用，考查了二次函数最值的计算，考查计算能力，属于中等题．19.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角的大小；（2）若，，O为的外心，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将角化边，反凑余弦定理，求出角度；（2）利用向量数量积的几何意义，用表示出和，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）由正弦定理得∴∴.又，∴.（2），故①同理②由①②可得：故：当且仅当时，取得最大值.即当时，取得最大值.【点睛】本题考查由正弦定理进行角化边，以及余弦定理的使用，涉及向量数量积的几何意义，以及利用均值不等式求最值，是解三角形、向量、均值不等式的综合题.20.设函数在定义域具有奇偶性.（1）求的值；（2）已知在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）分类讨论，当为奇函数时，由可解得的值；当函数为偶函数时，由可解得的值；（2）按及两种情况分类讨论，在时，换元；在时，换元，将问题转化为二次函数的最小值为，对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，利用二次函数的单调性得出关于的方程，解出即可.【详解】（1）若函数为奇函数，则，即，，；若函数为偶函数，则，，对一切都成立，.综上所述，；（2）①当时，令，则函数在上单调递增，，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，，，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，或（舍去）；当时，.②当时，，令，当时，，内层函数在时单调递增，外层函数在上单调递增，所以，函数在时单调递增，，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，，，；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，（舍）.所以，当时，.综上所述，当时，；当时，.【点睛】本题考查函数的奇偶性及函数的最值，考查换元思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，难度中等．21.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）若，数列的前n项和，且恒成立，求的最小值.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】分析】（1）根据已知，利用数列的基本量求通项公式，列方程求解即可；（2）先分组求和，再使用公式法以及错位相减法求前项和；（3）由（1）结论可得，使用裂项求和，再进行适度放缩.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解之得.∴，∴.（2）∴.令，则，∴∴，∴.（3），故=因为恒成立，则，故的最小值为.【点睛】本题考查由数列的基本量求解数列的通项公式，以及分组求和，裂项求和，属数列综合题.22.定义域为的奇函数同时满足下列三个条件：①对任意的，都有；②；③对任意、且，都有成立，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给出条件知，，，结合条件③，可求出，同理构造出等量关系，直到能够得出关于的方程，解得的值即可；（2）根据①对任意的，都有，得出函数的周期为，再利用（1）得出的结论及条件③②，求出结果即可．【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，又，对任意、且，都有成立，其中.，，同理可得，，，，，，，即.又，；（2），，所以，函数是以为周期的周期函数.，由（1）可知，，，，，，，，.【点睛】本题考查了抽象函数求值问题，要根据给出条件合理构造方程求解，属于中档题．2019-2020学年高一数学上学期期中试题（创新班，含解析）一、选择题1.已知集合，集合，则中元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出整数的个数，即可得出答案.【详解】解不等式，得，，的取值有、、、、、、，因此，中元素的个数为.故选：C.【点睛】本题考查交集元素个数的计算，考查计算能力，属于基础题.2. 设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用以及平方差公式进行化简，再代值即可.【详解】原式==因为，故，代入原式=.故选：A.【点睛】本题考查指数和对数的运算，注意三次方差公式的利用，先化简后求值.3.幂函数在定义域内为偶函数，则m=（）A. －1B. 2C. －1或2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据函数为幂函数，求得参数，再根据奇偶性进行取舍.【详解】由幂函数定义可知，，解得或；当时，，是奇函数，不满足题意；当时，，是偶函数，满足题意.综上所述：.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的定义，以及幂函数的奇偶性，属基础题.4.函数，若，则（）A. －1B. 1C. －9D. 9【答案】C【解析】【分析】判断的奇偶性，根据奇偶性，列方程求解即可.【详解】函数定义域为R，关于原点对称，且=故是奇函数；则因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用；值得注意的是函数是R上的单调增函数，且为奇函数，可以当作一个一般性结论进行总结.5.若等差数列的公差，且，则的前17项的和（）A. 17B. 18C. 30D. 32【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式的下标和性质，结合数列的前项和性质，进行整理化简即可.【详解】等价于因为是等差数列，故其等价于解得：，因故；由等差数列前项和性质可得.故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项公式的下标和性质，以及前项和的性质，属性质应用题；除本题解法外，也可以采用基本量进行计算，但计算量较大，不推荐.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可.【详解】=.故选：D.【点睛】本题考查利用正切函数的和角公式进行恒等变化和化简，其难点在于反凑的技巧.7.函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二分法，估算的零点，结合选项函数的零点进行判断.【详解】因为，是单调增函数，又，故的零点所在区间为，若使得的零点与的零点之差的绝对值不超过，只需的零点在区间即可.显然A选项中，的零点为满足题意，而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点均不满足题意.故选：A.【点睛】本题考查零点的求解，以及用二分法估算函数的零点，属综合基础题.8.把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将函数按题意平移得到，再由题中条件得到＝3，进而可得出结果.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得：，所以，＝3，得：.故选B【点睛】本题主要考查函数的平移以及对数的运算，熟记函数平移的法则以及对数的定义即可，属于基础题型.9.设是定义在R上的函数，若存在两个不相等实数、，使得，则称函数为“创新函数”.则下列函数不是“创新函数”的是（）①②③④A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】D【解析】【分析】根据对创新函数的定义，对每个选项的函数进行逐一判断即可.【详解】根据创新函数的定义，其本质含义是：函数上，存在一点，使得函数图像上其它两点关于该点对称即可.对A：函数为R上的奇函数，故函数上存在对称点，对函数上任意其它关于原点对称的两个点，均满足创新函数的定义；对B：函数也是R上的奇函数，故函数上存在对称点，对函数上任意其它关于原点对称的两个点，均满足创新函数的定义；对C：函数是R上的偶函数，但存在点，对函数上的和两点，关于对称，故满足创新函数的定义；对D：不存在点，使得函数图像上其它两点关于该点对称.故选：D.【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及函数图像以及函数性质，属函数性质应用题.10.已知函数，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将函数的解析式表示为分段函数，并判断出函数的单调性，由可得出关于的不等式组，解出即可.【详解】，当时，，所以，函数在区间上为增函数，由可得，即，解得.因此，不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查函数不等式的求解，分析出函数的基本性质是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知直线，与函数的图象交于、两点，与函数的图象交于、两点，则直线与的交点的横坐标（）A. 大于B. 等于C. 小于D. 不确定【答案】B【解析】【分析】求出、、、的坐标，利用待定系数法求出直线与的函数解析式，然后求出这两条直线的交点坐标，即可得解.【详解】由题意可知点、、、，设直线对应的函数解析式为，则，解得,所以直线的函数解析式为，同理可知直线的函数解析式为，两直线均过原点，所以，直线与的交点的横坐标为零.故选：B.【点睛】本题考查两直线交点横坐标的求解，考查对数的运算性质，解题的关键就是求出两条直线对应的一次函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12.已知点O是内一点，满足，，则实数m为（）A. 2B. -2C. 4D. -4【答案】D【解析】【分析】将已知向量关系变为：，可得到且共线；由和反向共线，可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由得：设，则三点共线如下图所示：与反向共线本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、填空题13.已知实数、、、满足，，，，则________.【答案】【解析】【分析】将指数式化为对数式，利用换底公式可计算出的值.【详解】，，同理，，，由换底公式可得.故答案为：.【点睛】本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，考查计算能力，属于基础题.14.已知正项数列的前n项和为.若,均为公差为d的等差数列，则________.【答案】【解析】【分析】根据两个数列是等差数列，结合特殊的几项，寻找等量关系，解方程求解.【详解】因为数列的前项和为，故，，，又也是公差为的等差数列，则，两边平方得：①，两边平方得：②②-①可得：③把③代入①得：.故或，因数列为正项数列，故舍去；当，代入③解得.故.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及前项和，利用基本量处理即可.15.已知向量与的夹角为，且，，实数k满足与的夹角为钝角，则k的取值范围为________.【答案】且【解析】【分析】根据向量的夹角为钝角，则数量积为负数进行计算，但注意排除平角的可能.【详解】由已知条件可知：，因为与的夹角为钝角故，即：整理得：，解得：；设，且，解得，解得，又故，即此时.此时，与的夹角为平角，故.综上所述：故答案为：且.【点睛】本题考查向量数量积的运算，涉及向量共线定理，属向量基础题.16.已知且，且，方程组的解为或，则________.【答案】【解析】【分析】利用换底公式得出，分别消去和，可得出二次方程，利用韦达定理可求出和的值，进而可计算出的值.【详解】由换底公式得，由①得，代入②并整理得，由韦达定理得，即，则，，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档题．三、解答题17.设集合，集合.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再根据公共元素为代入集合，即可求出实数的值；（2）由推出，然后分、、、四种情况讨论，求出对应的实数的值或取值范围，综合可得出结果.【详解】由题意得.（1），，，即，或.当时，，，满足；当时，，，满足.综上所述，或；（2），.①当时，方程无解，，解得；②当时，，无解；③当时，，无解；④当时，，无解.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合和集合以及元素和集合之间的关系，属于基础题目，特别提醒，第一问求出参数的值后一定要注意代入检验，避免出错．18.“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资万元，根据行业规定，每个城市至少要投资万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）.（1）求及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【答案】（1），定义域为；（2）当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大.【解析】【分析】（1）由化简，并结合题意得出该函数的定义域；（2）配方，得出函数的最大值及其对应的的值即可．【详解】（1）由题意可得，且有，解得，故函数定义域为；（2），当时，即当万元时，.当甲城市投入万元，乙城市投入万元时，总收益最大为万元.【点睛】本题考查了函数模型的实际应用，考查了二次函数最值的计算，考查计算能力，属于中等题．19.在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求角的大小；（2）若，，O为的外心，且，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将角化边，反凑余弦定理，求出角度；（2）利用向量数量积的几何意义，用表示出和，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）由正弦定理得∴∴.又，∴.（2），故①同理②由①②可得：故：当且仅当时，取得最大值.即当时，取得最大值.【点睛】本题考查由正弦定理进行角化边，以及余弦定理的使用，涉及向量数量积的几何意义，以及利用均值不等式求最值，是解三角形、向量、均值不等式的综合题.20.设函数在定义域具有奇偶性.（1）求的值；（2）已知在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】【分析】（1）分类讨论，当为奇函数时，由可解得的值；当函数为偶函数时，由可解得的值；（2）按及两种情况分类讨论，在时，换元；在时，换元，将问题转化为二次函数的最小值为，对二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，利用二次函数的单调性得出关于的方程，解出即可.【详解】（1）若函数为奇函数，则，即，，；若函数为偶函数，则，，对一切都成立，.综上所述，；（2）①当时，令，则函数在上单调递增，，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，，，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，或（舍去）；当时，.②当时，，令，当时，，内层函数在时单调递增，外层函数在上单调递增，所以，函数在时单调递增，，.二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数在区间上单调递增，，，；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，（舍）.所以，当时，.综上所述，当时，；当时，.【点睛】本题考查函数的奇偶性及函数的最值，考查换元思想及分类讨论思想，考查运算求解能力，难度中等．21.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前n项和；（3）若，数列的前n项和，且恒成立，求的最小值.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】分析】（1）根据已知，利用数列的基本量求通项公式，列方程求解即可；（2）先分组求和，再使用公式法以及错位相减法求前项和；（3）由（1）结论可得，使用裂项求和，再进行适度放缩.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解之得.∴，∴.（2）∴.令，则，。

2019年试验初中创新班招生考试数学试卷及答案

2019年试验初中创新班招生考试试卷（数学）一、填空：（21％）1、一个数由7个亿、9个百万、7个千组成，这个数是（），省略万后面的尾数是（）万。

2、1÷（ )=0.375=( ):16==( ) ％3、度同时2、5、3整除的最小四位数是（），把它分解质因数是（）。

4、钟面上9点30分时，时针与分针组成的较小角是（）度。

5、5千米的米＝（）千米： 6.75时＝（）时（）分6、30米减少米后是（）米，（）吨增加20是72吨。

7、如果x和y成正比例，那么“？”填（ ).如果x和y成反比例，里么“？”填（ )8、一种书每本定价30元，售后可以获利20％，如果按定打九五折出售可获利（）元。

9、有一个小数，先把它的小数点向左移动2010位后，再向右移动2012位，结果是201.2。

原来的小数是（）。

10、把自然数a和b分解质因数得到a＝5×5×7×M，b＝3×5×M，如果a和b的最大公因数是55，那么M是（），a和b的最小公倍数是（ )。

11、一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满。

如果把一块与水桶等底等高的圆锥形、放入水中，桶内还有（）升水。

12、天马小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人那王好是整行，这班至少有学生（）人。

13、甲数的等于乙数的（甲不等于0），那么甲数与乙数的比是（ )。

14、小明中考试成损语文比语、数、英三科平均分低7.5分，数学比语、数、英三科平均分高9分。

英语成提比数学成最低（）分。

二、判断：（9）1、一个长2毫米的零件画在图纸上长是1分家，这张图的比例尺是1：50。

（）2、圆柱的侧面展开图是正方形时，圆柱的高和它的底面直径相等。

（）3、一根钢材，器成3段需12分钟，如果成4段需18分钟。

（）4、一个等腰三角形的两边分别是3厘米和7厘米，那么周长是13厘来。

（）5．比的前项乘以2，比的后项除以2，那么比值扩大4倍。

2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案

2019年中科大创新班考试数学模拟试题参考答案一、填空题1、答案：7．解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为133227.MRS MNPQ S S -=⨯-⨯⨯=正方形2、答案：480．解析：对0,7两元素的像而言，因为0)()(=j f i f ,所以，0,7这两个元素的像至少有一个为0，共计有1518*2=-种情形。

对1,6两元素的像而言，此时，3*26*16)()(===j f i f ，对1,6两元素的像有四种可能。

同理对2,5有2种，对3,4有4种，共计15*4*2*4=480种3、答案：552．解析：不妨设椭圆E 的方程为22221(0)+=>>x y a b a b，P 经过E 的两个焦点，222=+x cy c222=+a b c ，P 与E 恰有三个交点，所以2=c b ，则E 得离心率等于5==c e a 4、答案：324+.解析：如图所示：324tan 2tan tan sin sin sin 322sin 2122+==+⇔=⇔=⇔∆∆B C A C B A R B R S S AC OG AGC AOC ∥5、答案：.96如图：记MN 与AK 交于点G 并设面ACK 与面CMN 所成的锐角大小为θ。

作⊥CO 面ABD 于点O 。

延长AO 交于BD 于点X ，易知O 是ABD ∆的中心，则XD BX OX AO ==,2，又ND AN MB AM 2,2==，因此，M 、O 、N 三点共线。

O 是MN 的中点。

由MN AO ⊥，CO AO ⊥知⊥AO 面CMN 。

故ACG ∆在面CMN 上的投影为OCG ∆。

由面积射影定理得963129641241cos =⨯⨯⨯===∆∆∆∆ACK CMN ACG COG S S S S θ6、答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-215215，.解析：设()()cos sin 0z r i r θθ=+>，由已知得11cos i sin 1r r θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212cos 21r r θ++=，所以2132cos 25r r θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭≤，有1r r +，即210r -+≤．解这个一元二次不等式，注意到z r =，可知1122z ≤≤．7、答案：2475+.解析：显然每个正整数x 皆属于{}n x ，称{}n x 的这种子列为A 型的，记为123,,,a a a ；下面考虑x 不是正整数的情况，称{}n x 的这种子列为B 型的，记为123,,,b b b ；由[]{}x x x =+，其中0{}1x <<，所以20{}1x <<，设2{},x x k k +=为整数，则2[]{}{},x x x k ++=而由22{}{}[],0{}{}2x x k x x x +=-<+<，得[]1k x -=，所以[]1x k =-，1,2,3,k = ，并且2{}{}1x x +=，解得51{}2x -=，于是11,2x k =-+1,2,3,k = ，因此任两个相邻自然数之间恰有一个B 型子列的项，从而11,2k b k -=-+k a k =，1,2,3,k = ，且{}n x 的前100项自小到大排列是：11225050,,,,,,b a b a b a ，所以，5050100112475k k k k S b a===+=+∑∑．8、答案：39.解析：首先存在38个连续的正整数，其中每一个数的数码之和不是11的倍数,如下：999981,999982， (1000018)若39≥m ，至少有3个是10的倍数，这3个数中必有一个数的十位不大于8，且该后至少有19个数在所取的39个连续的正整数中.设这个数为a ，并设它的数码和为)(a S ，现在考虑数a ，a +1,a +2,...,a +9,a +19,这11个数都是所取的39个数中的数，它们的数码之和构成11个连续的正整数，必有一个是11的倍数.二、解答题证明：由b c a 2=+，得CA B sin sin sin 2+=即2cos 2sin 22cos 2sin4C A C A C A C A -+=++因为02sin ,20≠+<+<C A C A π所以2cos 22cos C A C A +=-展开并整理，得2cos 2cos 2sin 2sin3C A C A =所以312tan 2tan =C A 三、解答题证明：令c bx ax x f ++=2)(，则c f =)0(，c b a f ++=)1(，c b a f +-=-)1(，且1)0(≤f ，1)1(≤f ，1)1(≤-f ，则)0(f c =，2)1()1(--=f f b ，2)0(2)1()1(f f f a --+=，所以当[]1,1-∈x 时，2)0(2)1()1(2)1()1()0(22f f f f f x f x a bx cx --++--⋅+⋅=++)0()1()1(21)1(212f x f x f x ⋅-+-⋅-+⋅+=)0(1)1(1)1(12f x f xf x ⋅-+-⋅-+⋅+≤221212122≤-=-+-++≤x x x x 所以命题得证。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题及其详解

１. 满足ｘ＋２ｙ＋３ｘ＋４ｙ ≤５ ( ｘꎬｙ∈Ｒ) 的点( ｘꎬｙ)
所构成的区域的面积是 .
２. 方程ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ３ｘ＝０(０ < ｘ≤２π) 根的和是
.
３. 若△ＡＢＣ三个顶点的坐标分别是Ａ (０ꎬ１ ) ꎬＢ (１ꎬ
０) ꎬ Ｃ ç ｘꎬ
２０１９年中国科学技术大学
自主招生数学试题及其详解
甘志国
( 北京市丰台二中１０００７１)
摘要:２０１９年中国科学技术大学自主招生数学试题共包含８道填空题和３道解答题ꎬ试题难度是中等.
解得由笔者给出.
关键词:２０１９年科学技术大学自主招生数学试题ꎻ不定项选择题ꎻ回忆版ꎻ详解
中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３４－００４６－０４
４
注由以ＢꎬＣꎬＤ的坐标分别是 (５ꎬ －２. ５ ) ꎬ( －１０ꎬ
７. ５) ꎬ( －５ꎬ２. ５) ꎬ(１０ꎬ －７. ５) . 可求得ＡＢ＝５１３ ꎬ直
５
线ＡＢꎬＣＤ的距离是
ꎬ所以题中的区域的面积是５１３
ï
î －２ｘ－２ｙ≤５ꎬ
Ｃ的坐标分别是( －１０ꎬ７. ５) ꎬ( －５ꎬ２. ５) ꎬ进而可求得其
１
５
２５
面积是５２
＝ .
２
２２４
ìｘ＋２ｙ≤０ꎬ
ïï
(３) í３ｘ＋４ｙ≤０ꎬ
ï
î －４ｘ－６ｙ≤５ꎬ
可得该区域即△ＯＣＤꎬ其中点Ｃꎬ
１
５
２５
面积是５１３
( ｎ∈Ｎ ∗ ) 有唯一的零

2019-2020年中考试数学试题(创新班) 含答案

2019-2020年中考试数学试题（创新班）含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1.已知集合A={2，0，1，4}，{}2,2,2Bk k R k A k A =∈-∈-∉，则集合B 中所有的元素之和为( )A.2B.－2C.0D.2 2.下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（）3230(1)()();1, 0||(2)()();1,0(3)()1().f x xg x x x x f x g x x x f x g x x ==>⎧==⎨-<⎩==和和和 A ．(1)、 (2) B ．(2) C ． (1)、(3) D ．(3) 3.设f ，g 都是由集合A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则)]1([g f 的值为（）A. 1 B.2C. 3D. 44.函数的定义域为（）A ．（，1）B ．（，∞）C ．（1，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞） 5.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∈3,2,1,21,31,21,1a ，则使幂函数a x y =为奇函数且在),0(+∞上单调递增的a 值的个数为（）A ． 6B ．5C ． 4D ．36.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（） A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥D ．六棱锥7.已知0,0a b >>且1ab =,则函数x a x f =)(与x x g b log )(-=的图象可能是（）A B C D8.设函数1()()lg 1f x f x x=+，则(10)f 的值为（） A ．1 B ．1- C ．10 D ．101 9.一只蚂蚁从正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C 1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图（）A ．①②B ． ①③C ． ②④D ． ③④10.已知0x 是函数1()21xf x x=+－的一个零点．若1020(1,),(,)x x x x ∈∈+∞ ，则（）A ．12()0,()0f x f x <<B ．12()0,()0f x f x <>C ．12()0,()0f x f x ><D ．12()0,()0f x f x >>11.对于实数,m n 定义运算“⊕”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊕-，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是（）A ．1(,0)32-B ．1(,0)16- C ．1(0,)32 D ．1(0,)1612.奇函数f （x ）、偶函数g （x ）的图象分别如图1、2所示，方程f （g （x ））=0、 g （f （x ））=0的实根个数分别为a 、b ，则a+b=( )A ．14B ．10C ．7D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.函数)(log )(221x x x f -=的单调递增区间是14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=)2()1()2(31)(x x f x e x f x，则=)3(ln f ．15.已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为 .16.关于x 的一元二次方程01)1(2=+-+x m x 在区间[0,2]上恰有唯一根，则实数m 的取值范围是三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（1）计算：3log +lg25+lg4+277log +4log 3log 32⋅；（2）设集合A={x|≤2﹣x≤4}，B={x|m ﹣1＜x ＜2m+1}．若A∪B=A，求m 的取值范围．18.设函数f （x ）=，则：（1）证明：f （x ）+f （1﹣x ）=1；（2）计算：f （20151）+f （20152）+f （20153）+…+f（20152014）．19.设二次函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象过点（0，1）和（1，4），且对于任意的实数x ，不等式f （x ）≥4x 恒成立．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）设g （x ）=kx+1，若G （x ）=在区间[1，2]上是增函数，求实数k 的取值范围。

2019年北京大学、清华大学、浙江大学、中国科技大学自主招生数学试题及参考答案

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。

5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。

．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。

10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。

2019-2020学年高一(创新班)下学期6月阶段考试数学试题 (1)

江苏省如皋中学2019-2020学年度第二学期阶段考试高一数学（创新班）一、选择题：(本题共有12小题，每小题5分，共60分)1.椭圆22195x y +=的焦点的坐标为（）A. (14,0),(14,0)-B. (2,0),(2,0)-C. (0,14),(0,14)-D. (0,2),(0,2)-【★答案★】B 【解析】【分析】根据椭圆的方程，求出c ，即可得出焦点坐标.【详解】因为椭圆方程为22195x y +=，所以952c =-=，且焦点在x 轴上，所以焦点坐标为：(2,0),(2,0)-. 故选：B.【点睛】本题主要考查求椭圆的焦点坐标，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.2.某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为2:3:5，现用分层抽样抽取一个容量为200的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14，则该学校学生的总数为（） A. 400 B. 800C. 1000D. 2000【★答案★】B 【解析】【分析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14，结合样本容量为200可求得该学校学生的总数.【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为14，所以，在整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为14，所以，从该学校中抽取一个容量为200的样本时，则该学校学生的总数为20080014=.故选：B.【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.3.已知数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1，则数据1210,,,x x x ⋯的方差是（） A. 小于1 B. 1C. 大于1D. 无法确定【★答案★】C 【解析】【分析】根据数据的平均值和方差公式计算比较可得★答案★. 【详解】因为数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，所以12102211x x x ++++=，所以121020x x x +++=，所以1210,,,x x x 的平均值为2，数据1210,,,2,x x x ⋯的平均值为2，方差为1所以222212101[(2)(2)(2)(22)]111x x x -+-++-+-=，所以2221210[(2)(2)(2)]11x x x -+-++-=，所以数据1210,,,x x x ⋯的方差是22212101[(2)(2)(2)]10x x x -+-++-1110=1>，故选：C.【点睛】本题考查了数据的平均值和方差公式，属于基础题.4.若抛物线22y x =上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则点M 到该抛物线焦点的距离为（） A. 3B.32C. 2D. 1【★答案★】B 【解析】【分析】设2,2y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4234y y +=，解得22y =，故212y x ==，计算得到★答案★.【详解】设2 , 2yM y⎛⎫⎪⎝⎭，M到坐标原点O的距离为4234yy+=，解得22y=，故212yx==. 点M到该抛物线焦点的距离为131222p x+=+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了抛物线中的距离问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.假设在元旦假期期间，甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3，且两地是否降雨相互之间没有影响，则在该时段两地中恰有一个地区降雨的概率为（）A. 0.06B. 0.38C. 0.5D. 0.56【★答案★】B【解析】【分析】根据甲、乙两地恰有一个地方下雨，包括甲地下雨，乙地不下雨和甲地不下雨，乙地下雨两类情况，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果；【详解】解：甲、乙两地恰有一个地方下雨的概率：0.2(10.3)(10.2)0.30.140.240.38P=⨯-+-⨯=+=故选：B【点睛】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题．6.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（）①2013-2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013-2018年这6年中，2016年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小③2016-2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①③B. ②③C. ①②D. ①②③【★答案★】A 【解析】【分析】根据图象上的数据，对三种说法逐个分析可得★答案★. 【详解】观察图像可知说法① 正确；观察图像可知2014年增加45万人，2016年增加350万人，故说法② 不正确，排除B ，C ，D ；观察图像可知2017年增加320万人，2018年增加259万人，2016-2018年这3年中，每年增加的人次相差不大，基本持平，故说法③ 正确. 故选：A.【点睛】本题考查了对统计图表的理解和应用，属于基础题.7.已知双曲线22142x y -=的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，点(0,2)A ，则APF ∆周长的最小值为（） A. 42+ B. 4(12)+C. 2(26)+D. 632+【★答案★】B 【解析】曲线22142x y -=右焦点为F()6,0，APF∆周长2l AF AP PF AF AP a PF =++=++'+ 要使APF ∆周长最小，只需AP PF +' 最小，如图：当,,A P F '三点共线时取到,故l =2|AF |+2a =()412+ 故选B点睛：本题考查了双曲线的定义，两条线段之和取得最小值的转化，考查了转化思想，属于中档题.8.12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“抽得1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是（） A. 抽得3件正品 B. 抽得至少有1件正品C. 抽得至少有1件次品D. 抽得3件正品或2件次品1件正品【★答案★】A 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得★答案★.【详解】对于A , 抽得3件正品与抽得1件次品2件正品是互斥而不对立事件; 对于B , 抽得至少有1件正品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件, 对于C , 抽得至少有1件次品与抽得1件次品2件正品不是互斥事件,对于D , 抽得3件正品或2件次品1件正品与抽得1件次品2件正品既是互斥也是对立事件. 故选:A【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件的概念,掌握互斥事件与对立事件的概念是答题的关键,属于基础题.9.在平面直角坐标系xOy 中，圆221:4C x y +=与圆222:44120C x y x y +-+-=的公共弦的长为（） A .2B. 3C. 22D. 32【★答案★】C 【解析】【分析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得．【详解】解：由2222444120x y x y x y ⎧+=⎨+-+-=⎩，得：两圆的公共弦所在的直线方程为：20x y -+=，圆221:4C x y +=的圆心(0,0)到直线20x y -+=的距离为：22|002|211-+=+，公共弦长为：()224222-=．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．10.已知实数0a >，且1a ≠，函数2,1,()4ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围（） A. 15a <≤ B. 25a ≤≤ C. 1a > D. 5a ≤【★答案★】B 【解析】【分析】当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >，当1x ≥时，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+，分析可得★答案★.【详解】根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立，变形可得：242a x x≥-，又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数单调性以及分段函数的应用.首先根据指数函数确定出参数的大范围，然后再利用求导进一步求出参数范围，最后根据单调性来解答临界值的大小，从而得到结论,考查了运算和推论能力，属于中档题.11.已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（）A. )()0,2323,⎡-++∞⎣B. [23-,23+]C. (),0-∞D. [0∞+，）【★答案★】D 【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】圆C （2,0），半径r ＝2，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，PA ⊥PB ，由切线性质定理，知：PA ⊥AC ，PB ⊥BC ，PA ＝PB ，所以，四边形PACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2，则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：2|22|21k d k -=≤+，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.若关于x 的不等式e 2x﹣a ln x 12≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. [0，2e ] B. （﹣∞，2e ] C. [0，2e 2]D. （﹣∞，2e 2]【★答案★】C 【解析】【分析】讨论a ＜0时，f （x ）＝e 2x﹣a ln x 无最小值，不符题意；检验a ＝0时显然成立；讨论a ＞0时，求得f （x ）的导数和极值点m 、极值和最值，解不等式求得m 的范围，结合a ＝2me 2m，可得所求范围．【详解】解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时0x →时，f （x ）→-∞，所以不符合题意；当a ＝0时，e 2x﹣a ln x 12≥a 即为e 2x ≥0显然成立；当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为()f x '＝2e 2x a x-，由于y ＝2e 2xax-在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数），设()f x '＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m，22ma em=. 当0＜x ＜m 时，()f x '＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，()f x '＞0，f （x ）单调递增，可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m ﹣a ln m ，由题意可得e 2m﹣a ln m 12≥a ，即2a m -a ln m 12≥a ，化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，()g m '＝1+2（1+ln m ），所以函数()g m 在320,)e -（内单调递减，在32,)e -+∞（单调递增.当m ＝1时，g （1）＝1，当0x →时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1，设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数()h m 在(0,1]单调递增. 则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]，综上可得a ∈[0，2e 2]，故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：（本题有4小题，每小题5分，共20分.）13.不透明的口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1、2、3、4.若从袋中随机抽取出两个球，则取出的两个球的编号之和小于5的概率为______. 【★答案★】13【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中随机抽取出两个球，则所有的基本事件有：()1,2、()1,3、()1,4、()2,3、()2,4、()3,4，共6种，其中，事件“取出的两个球的编号之和小于5”所包含的基本事件有：()1,2、()1,3，共2种，因此，所求事件的概率为2163=. 故★答案★为：13. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.14.如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份x 1 2 3 4 用水量y 2.5344.5由散点图可知,用水量y 与月份x 之间有较明显的线性相关关系,其线性回归方程是 1.75x y b +=,预测2020年6月份该厂的用水量为_____百吨. 【★答案★】5.95 【解析】【分析】求出样本中心的坐标,代入回归直线方程,求出b ,然后代入x ＝6,推出结果即可. 【详解】解：由题意可知12342.54x +++==,2.534 4.53.54y +++==；又线性回归方程是 1.75x y b +=,经过样本中心,所以3.5 2.5 1.75b =+, 解得：0.7b =, 所以0.7 1.75y x =+,x ＝6时,y =0.7×6+1.75＝5.95（百吨）.预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨. 故★答案★为：5.95.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的计算以及根据回归方程预测的问题.属于基础题. 15.甲、乙、丙、丁、戊，共5位同学排成一排，若甲、乙都不排在两端，则不同的排法总数为_______. 【★答案★】18 【解析】【分析】先排甲、乙，再排没有限制条件的三人，结合分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，甲、乙都不排在两端，共有233A =种不同的排法，其余三个位置进行全排列即可，共有336A =种排法，根据分步计数原理，可得共有1863=⨯种不同的排法. 故★答案★为：18.【点睛】本题主要考查了分步计数原理的应用，属于基础题，解题时要注意先安排题目中有限制条件的元素，最后再排列没有限制条件的元素，这是解题的常见方法. 16.在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆()222210x y a b a b +=>>,A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足||2||PA PB =，△PAB 面积最大值为163 ,△PCD 面积最小值为23，则椭圆离心率为______．【★答案★】32【解析】【分析】利用两点间的距离公式求得P 点的轨迹方程，根据两个三角形面积的最值列方程，由此求得,a b 的值及离心率的值. 【详解】依题意()(),0,,0A a B a -，设(),P x y ，依题意的2PA PB =,()()222221x a y x y ++=-+，两边平方化简得2225433x a y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故圆心为5,03a ⎛⎫⎪⎝⎭，半径43a r =.所以PAB ∆的最大面积为14162233a a ⋅⋅=，解得2a =，PCD ∆的最小面积为1542223333a a a b b ⎛⎫⋅⋅-=⋅= ⎪⎝⎭，解得1b =.故椭圆离心率为2131142b e a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查阿波罗斯圆轨迹方程的求法，考查三角形的面积公式，考查椭圆的离心率以及圆的标准方程，考查了化归与转化的数学思想方法.要求一个动点的轨迹方程，可以先设出动点的坐标，然后代入题目所给的方程，如本题中比值为2这个方程，化简后可求得动点的轨迹方程. 三、解答题：（本题有6小题，共70分.要求规范书写推理、演算的过程.）17.某种水果按照肉质和口感可分为四类：标准果，优质果，精品果，礼品果，某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个（每个水果的重量相当），利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数 10304020（1）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考：方案①：不分类卖出，单价为20元/kg . 方案②：分类卖出，分类后的水果售价如下表：等级标准果优质果精品果礼品果售价（元/kg ） 16 182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案较好？并说明理由.（2）从这100个水果中用分层抽样的方法抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取2个，求抽取的2个水果不是同一级别水果的概率. 【★答案★】（1）选择方案①，理由见详解；（2）79. 【解析】【分析】（1）先设方案②的单价为X ，求出其均值，即可得出结果；（2）先根据分层抽样，得出各种等级的果品抽取的个数；再根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可求出结果.【详解】（1）设方案②的单价为X ，则单价的期望为()103040201618222420.620100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以从采购商的角度考虑，应选择方案①；（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中标准果10101100⨯=；优质果10303100⨯=；精品果10404100⨯=个；礼品果10202100⨯=；再从抽取的10个水果中随机抽取2个，共有21045C =种情况；则抽取的2个水果不是同一级别水果的概率为222342210271199C C C P C ++=-=-=. 【点睛】本题主要考查期望的应用，以及古典概型的概率计算问题，属于常考题型.18.如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的余弦值.【★答案★】（1）见解析；（2）14- 【解析】【分析】（1）证明BC AQ ⊥及PB AQ ⊥，即可证明：AQ ⊥平面PBC ，问题得证．（2）建立空间直角坐标系，由（1）得()3,0,3AQ =-为平面PBC 的法向量，求得平面PCD 的法向量为()0,3,1n =，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角B PC D --的余弦值. 【详解】（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以BC ⊥平面PAB .又AQ ⊂平面PAB ，所以BC AQ ⊥，因为Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，所以PB AQ ⊥. 又PB BC B ⋂=，所以AQ ⊥平面PBC .（2）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以⊥OD AB .以AB 中点O 为坐标原点，分别以OA ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.所以()2,0,0A ，()0,2,0D，()2,2,0C -，()0,0,23P ，()2,0,0B -，所以()0,2,23DP =-，()2,0,0CD =，由（1）知，AQ 为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以()1,0,3Q -，所以()3,0,3AQ =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由00n CD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =. 所以23cos ,3331AQ nAQ n AQ n⋅==+⋅+ 14=. 因为二面角B PC D --为钝角，所以，二面角B PC D --的余弦值为14-. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题．19.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4C y x =，圆22:(1)1E x y -+=，已知直线l 与圆E 相切，且与抛物线C 相交于,A B 两点.（Ⅰ）求直线l 在x 轴上截距c 的取值范围；（Ⅱ）设F 是抛物线的焦点，0FA FB ⋅=，求直线l 的方程. 【★答案★】（Ⅰ）()[),02,-∞+∞；（Ⅱ）3710x y ++=或3710x y -+=．【解析】【分析】（Ⅰ）设直线l 的方程为x my c =+，由直线l 与圆22(1)1x y -+=相切，可得222m c c =-，直线l 的方程代入24y x =，消去x ，由直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，得>0∆，即可求直线l 在x 轴上截距c 的取值范围；（Ⅱ）由2212121212(1)(1)(1)(1)44y y FA FB x x y y y y =--+=--+，结合韦达定理和条件，解方程，即可求直线l 的方程．【详解】解：（Ⅰ）设直线l 的方程为x my c =+，22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)，半径为1，由直线l 与圆22(1)1x y -+=相切，得2|1|11c m-=+，化简得222m c c =-，直线l 的方程代入24y x =，消去x ，得2440y my c --=，(*)由直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，得△2(4)160m c =-+>，即20m c +>，将222m c c =-代入上式，得20c c ->．解得1c >或0c <，注意到2220m c c =-，从而有2c 或0c <，即()[),02,c ∈-∞+∞.（Ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(1,0)F ，由(*)得124y y m +=，124y y c =-，所以2212121212(1)(1)(1)(1)44y y FA FB x x y y y y =--+=--+22121212311()()12164y y y y y y =+-++，将124y y m +=，124y y c =-代入上式，由0FA FB =，得224610c m c --+=，所以224(2)610c c c c ---+=，即23210c c --=．解得13c =-，或1c =（舍去）．故73m =±．所以直线l 的方程为3710x y ++=或3710x y -+=．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键． 20.设函数()sin xf x e a x b =++.（1）当1a =，[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围；（2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求a 、b 的值.并证明当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x >. 【★答案★】（1）1b ≥-（2）见解析【解析】【试题分析】（1）当1a =时，由于()'0fx >，故函数单调递增，最小值为()010,1f b b =+≥≥-.（2）利用切点()0,1-和斜率为1建立方程组，解方程组求得,a b 的值.利用导数证得先证21x e x ->-，进一步利用导数证1ln x x -≥，从而证明原不等式成立.【试题解析】解：由()sin xf x e a x b =++，当1a =时，得()cos xf x e x '=+.当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，且当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时1x e >. 所以()cos 0xf x e x =+>'，即()f x 在[)0,+∞上单调递増，所以()()min 01f x f b ==+，由()0f x ≥恒成立，得10b +≥，所以1b ≥-. （2）由()sin xf x e a x b =++得()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得()001f e a '=+=，所以0a =.又()0,1b +在切线10x y --=上. 所以0110b ---=.所以2b =-. 所以()2xf x e =-.先证21x e x ->-，即10(0)xe x x -->>，令()1(0)xg x e x x =-->，则()10xg x e ='->，所以()g x 在()0,+∞是增函数.所以()()00g x g >=，即21x e x ->-.① 再证1ln x x -≥，即1ln 0(0)x x x --≥>，令()1ln x x x ϕ=--，则()111x x x xϕ'-=-=， ()0x ϕ'=时，1x =，()0x ϕ'>时，1x >，()0x ϕ'< 时，01x <<.所以()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以()()min 10x ϕϕ==.即1ln 0x x --≥，所以1ln x x -≥.②由①②得2ln x e x ->，即()ln f x x >在()0,+∞上成立.【点睛】本小题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式.第一问由于a 题目给出，并且导函数没有含有b ，故可直接有导数得到函数的单调区间，由此得到函数的最小值，令函数的最小值大于或等于零，即可求得b 的取值范围，从而解决了不等式恒成立问题.21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32. 已知过点2,05M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA NB ⋅为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【★答案★】（1）2214x y +=；（2）()4,0N . 【解析】分析：（1）先根据已知得到三个方程解方程组即得椭圆C 的方程. (2) 设N (n ，0)，先讨论l 斜率不存在的情况得到n=4,再证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA NB ⋅＝12．详解：（1）离心率e ＝32c a =，所以c ＝32a ，b ＝22ac -＝12a ，所以椭圆C 的方程为222214x y b b+=．因为椭圆C 经过点83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2216912525b b +=\，所以b 2＝1，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设N (n ，0)，当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2＝1－2254（）＝2425，则NA NB ⋅＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－2425＝n 2－45n －45，当l 经过左､右顶点时，NA NB ⋅＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．令n 2－45n －45＝n 2－4，得n ＝4．下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA NB ⋅＝12．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由222()5+y 14y k x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y ，得(4k 2＋1)x 2－165k 2x ＋1625k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2216541k k +，x 1x 2＝221642541k k -+，所以NA NB ⋅＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2 ＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2(x 1－25)(x 2－25) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2＝(k 2＋1) 221642541k k -+－(4＋25k 2) 2216541kk +＋16＋425k 2＝2216441k k --+＋16＝12．所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA NB ⋅为定值．点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程和直线和椭圆的位置关系，考查向量的数量积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力基本计算能力. (2)对于定点定值问题，可以通过特殊情况先探究，再进行一般性的证明.本题就是这样探究的.先通过讨论l 斜率不存在的情况得到n=4, NA NB ⋅=12，再证明斜率存在时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －25)，恒有NA NB ⋅＝12． 22.已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-. 【★答案★】(1)当x e =时，()f x 的极大值为12e，无极小值；(2)122a e -≤-；(3)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解. 试题解析：（1）当0a =时，()ln xf x x=，定义域为()0,+∞， ()312ln 'xf x x -=，令()'0f x =，得x e =. x()0,ee(),e +∞()f x +-()'f x极大值12e∴当x e =时，()f x 的极大值为12e，无极小值. （2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-，()30x a ∴+<，∴ 12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立， ∴ 2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+，①若120a e -<-≤，即120a e ->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴ ()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----，()0ln a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去； ②若12a e -->，即12a e -<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e -=，当120x e -<<时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12e x a -<<-时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭ 111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，()()2ln 1xf x x =-，()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+ 2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=， ①当121ex -≤<时，()'0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦， ()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e -<≤时，()'0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12210e -=->又()()222212ln h e e e e ----=--⋅ 2510e=-<， ∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，()0'0f x ∴=，当00x x <<时，()0'0f x >，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时，()0'0f x <，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由①和②可知，()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减， ∴当0x x =时，()()2ln 1x f x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--=，0001ln 2x x x -∴=， ()()0020ln 1x f x x ∴=- ()2000112111222x x x ==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()020*******f x x ∴=<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。