高中数形结合问题总结

数形结合思想在高中数学中的应用
灵宝实验高中 王少辉
一、什么是“数形结合思想”？
数形结合是一种数学思考方法；是数学研究和学习中的重要思想；也是解决数学问题的有效方法。

“以形助数”可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够把抽象的数学语言变为直观的图形语言、把抽象的数学思维变为直观的形象思维；“以数助形”有助于把握数学问题的本质。

二、什么类型的题可以用“数形结合思想”解决？
“数”和“形”是数学研究的两个基本对象。

数，通俗地说一般是指文字语言、数学符号语言、代数式等；
形，通俗地说一般指图形语言、函数图象、代数式的几何意义等。

既能用“数”表示，又能用“形”表示的知识就可以用数形结合思想解决。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合思想，可以解决以下问题： ①集合问题②函数问题③方程与不等式问题④三角函数问题⑤向量问题⑥数列问题⑦线性规划问题⑧解析几何问题⑨立体几何问题⑩绝对值问题
三、数形结合思想应用举例
（一）在集合中的应用 {x |x ∪A ，或x ∪B } {x |x ∪A ，且x ∪B } {x |x ∪U ，且x ∪A }
在这个知识点中集合的三种运算除了抽象的符号语言描述之外，还有直观的图形语言。

所以在解决某些集合的运算问题时，我们可以用数形结合思想。

【例1】
(1)已知B A B C A C B A C B C A N x x x U U U U U ,},10,1{},9,7,5{},6,4,2{},,10|{*求===∈≤=
(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ∪A ，则实数m 的取值范围是_______.
【小结】
数形结合在集合中的应用，主要体现在集合的基本运算中：
（1）离散的集合用Venn 图表示
（2）连续的数集用数轴表示，注意端点
（二）在函数中的应用
1.二次函数区间求值问题
二次函数的图象我们都很熟悉，所以在解决二次函数的相关问题时，我们就可以借助图象来进行。

【例2】已知12)(2+-=ax x x f ，求f (x )在[1,2]上的最小值
【跟踪训练】已知12)(2+-=x x x f ，求f (x )在[t,t+2]上的最小值
2.函数性质综合应用
函数的性质在图象上都有直观的反应，所以在利用函数性质解决某些问题时，我们就可以借助图象来进行。

【例3】设函数⎩⎨⎧>≤+-=4,log 4,4)(2
2x x x x x x f ，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.
【例4】已知函数⎩⎨⎧<+-≥=0
,20,2)(x x x x f ，则满足不等式)2()3(2x f x f <-的x 的取值范围为 3.函数零点个数问题
函数零点、方程的根与函数图象的交点密切相关，所以在解决函数零点个数问题，方程根的个数问题时，常使用数形结合思想。

【例5】已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R )恰有4个零点，则m 的取值范围是________.
【例6】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0，2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.
【小结】
数形结合在函数中的应用，主要体现在函数图象的应用中
（1）二次函数求给定区间上的最值问题
①轴动区间定 ②轴定区间动
（2）函数性质（奇偶性、单调性、周期性）的综合应用
①求范围 ②解不等式
（3）函数零点个数、方程根的个数
转化为图象交点个数问题
【跟踪训练1】 函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞).在同一直角坐标系中
画出函数y 1＝|x －2|(x ＞0)，y 2＝ln x (x ＞0)的图象，如图所示：
由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.
答案 C
【跟踪训练2】若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.
解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示.
由图象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解.
答案 (0，＋∞)
【跟踪训练3】已知函数⎩⎨⎧>-≤+=0
,130,)(x x x a e x f x (a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－∞，0)
C.(－1，0)
D.[－1，0)
解析 当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13.
因此当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根，
∴a ＝－e x (x ≤0)，则－1≤a <0.
答案 D
【跟踪训练4】(2016·山东卷)已知函数⎩⎨⎧>+-≤=m
x m mx x m x x x f ,42|,|)(2，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.
解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象.
当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，
∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，
即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.
答案 (3，＋∞)
四、作函数图象的常用方法
数形结合的关键在于准确作出函数的图象，那么如何作函数图象就是最关键的步骤，同学们一定要掌握。

下面介绍两种高中数学中最常用的方法。

1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
①y ＝f(x+a)（a>0）的图象把y ＝f(x)的图象向左平移a 个单位即可 ；
②y ＝f(x -a)（a>0）的图象把y ＝f(x)的图象向右平移a 个单位即可 ；
③y ＝f(x)+b （b>0）的图象把y ＝f(x)的图象向上平移b 个单位即可；
④y ＝f(x) -b （b>0）的图象把y ＝f(x)的图象向下平移b 个单位即可；
即我们通常所说的左加右减，上加下减。

【练习1】作出下列函数的图象
（1）2
1-=x y （2）2)1(+=x y （3）12-=x y (2)对称变换
①y ＝－f(x) 的图象把y ＝f(x)的图象关于 x 轴对称即可 ；
②y ＝f(－x) 的图象把y ＝f(x)的图象关于 y 轴对称即可 ；
③y ＝－f(－x) 的图象把y ＝f(x)的图象关于原点对称即可 ；
【练习2】作出下列函数的图象
（1）x y 2-= （2）)ln(x y -= （3）x e y --=
(3)伸缩变换
①y ＝f(ax)（a>0）的图象
把y ＝f(x)的图象纵坐标不变，各点的横坐标变为原来的1倍即可 ； 相当于以y 轴为中心，把图象往左右伸长或压缩；a<1时伸长，a>1时压缩.
②y ＝Af(x)（A>0）的图象
把y ＝f(x)的图象横坐标不变，各点的纵坐标变为原来的 A 倍即可 ；
相当于以x 轴为中心，把图象上下伸长或压缩；A>1时伸长，A<1时压缩.
(4)翻转变换
①y ＝|f(x)|的图象，把y ＝f(x)的图象位于x 轴下方的部分翻到x 轴上方即可；
函数值为负数的变为其相反数，函数值为正数的不变，图象全部在x 轴上方。

②y ＝f(|x|)的图象，把y ＝f(x)的图象位于y 轴左边的部分去掉，然后把右边的对称到左边即可. 自变量为负数时，与其相反数对应的函数值一样，所以是偶函数。

【练习3】作出下列函数的图象
（1）|ln |x y = （2）||ln x y =
【练习4】作出下列函数的图象
（1）|)1ln(|+=x y （2）|1|ln +=x y。