函数的奇偶性习题

2 x x( x 0) (2) f ( x) 2 x x( x 0)
1．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原 点对称； (2)确定f(－x)与f(x)的关系； (3)作出相应结论． 2．若f(－x)＝f(x)或 f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数． 3．若f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
[-b,-a] o [a ,b] x
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义 域是否关于原点对称； (2)确定f(－x)与f(x)的关系；
(3)作出相应结论．
判断函数的奇偶性
判断下列函数是否具有奇偶性． (1)f(x)＝x＋x3＋x5； (2)f(x)＝x2＋1；
且f(-2)=10，则f(2)等于( ABiblioteka Baidu)
A -26 B -18
C -10
D 10
a (2 x 1) 2 1 已知 f（x）= 是奇函数，则实数 a 的值等于 x 2 1
2.函数f(x),g(x)在区间［-a，a］ (a＞0）上都是 奇函数，则下列结论： ①f(x)-g(x)在［-a,a］上是奇函数； ②f(x)+g(x)在［-a,a］上是奇函数； ③f(x)· g(x)在［-a,a］上是偶函数； ④f(0)+g(0)=0,其中正确的个数是
存在3∈[－1,3]，而－3 [－1,3]．
∴f(x)＝x2，x∈[－1,3]既不是偶函数，也不是奇函数． 点评：定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提．
练习. 判断下列函数的奇偶性
(1)
f ( x) x x 1, x [1, 4]
2
(2)
1 x f ( x) ( x 1) 1 x
4
跟踪训练 2．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区 间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，使f(x)＜0的自变量 范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－∞，－4)∪(－1,0) D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 解析：根据题目条件，想象函数图象如下：
(3)f(x)＝x＋1；
(4)f(x)＝x2，x∈[－1,3]．
分析：先求定义域，再判断f(－x)与f(x)的关系．
解析：(1)函数f(x)＝x＋x3＋x5的定义域为R.
当x∈R，－x∈R. ∵f(－x)＝－x－x3－x5＝－(x＋x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)＝x＋x3＋x5为奇函数．
(2)函数f(x)＝x2＋1的定义域为R，当x∈R，－x∈R. ∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
因为f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－x－x4.
跟踪训练 3．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－
x)，求当x≥0时，函数f(x)的解析式．
分析：将x<0时，f(x)的解析式转化到x>0上，这是解决 本题的关键．
解析：由f(x)是奇函数，
4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的 奇偶性是函数的整体性质．
5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的 一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一 定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)． 6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值 相反． 7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值 相同． 8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公 共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶， 偶×偶＝偶，奇×偶＝奇
(3)
f ( x) x 1 1 x
2
2
(4)
f ( x)
x (1 x ), x 0 x (1 x ), x 0
①偶函数 ②奇函数 ③既奇又偶函数 ④非奇非偶函数
说明：根据奇偶性,函数可划分为四类,
题2.已知函数 f(x) x ax bx 8
5 3
答案：B
利用函数的奇偶性求函数的解析式 已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，求当x∈(0，＋∞)时，f(x)
的表达式．
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
因为x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，
所以f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4，
当x>0时，f(x)＝－f(－x) ＝－{(－x)[1－(－x)]}＝x(1＋x)； 当x＝0时，f(0)＝－f(0) f(0)+ f(0)=0 ∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)． 2 f(0)=0即f(0)＝0.
作业、判断下列函数是否具有奇偶性
1 1 f x 1 x x 1
函数奇偶性
函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数.
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
定义域关于原点对称是 函数具有奇偶性的必要条件 （前提条件）。
∴f(x)＝x2＋1是偶函数．
(3)函数f(x)＝x＋1的定义域是R，当x∈R时，－x∈R， ∵f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)， f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，(x∈R) ∴f(x)＝x＋1既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)因为函数的定义域关于原点不对称，
题5.定义在R上的函数f（x）满足： 任意x、y∈R，有f（x+y）= f（x）+ f （y）， 当 x＞0，f（x）＜0， f（－1）= 2. 求证：（1）判断函数f（x）的奇偶性 ； （2） f（x）在R上是减函数; （3）求函数在区间[－ 3，3]上的最值. 练习： 已知函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y) （1）求证：f(x)是奇函数； （2）若f(-3)=a，试用a表示f(12)