等腰三角形的性质和判定教学设计

等腰三角形的性质和判定

等腰三角形是一种特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实些。

【重点、难点】

重点：等腰三角形的性质与判定。

难点：灵活利用等腰三角形的性质与判定。

关键：掌握好等腰三角形的性质及判定。

【知识要点】

1、等腰三角形的一些重要性质：

①等腰三角形的两底角相等。这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。

②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(“三合一”)。这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。

2、以上的两条重要性质在教科书中被当作两条重要定理。除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。

①等腰三角形两腰上的中线相等

已知：在ΔABC 中，AB＝AC，若BD，CE分别是AC，AB边上的中线，则有BD＝CE。

证明：∵BD，CE是AB，AC边上的中线(已知)

∴AD＝AC，AE＝AB(中线定义)

∵AB＝AC(已知)

∴AD＝AE

在ΔABD和ΔACE中，

∴ΔABD≌ΔACE(SAS)

∴BD＝CE(全等三角形对应边相等)。

②等腰三角形两腰上的高相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是AC，AB边上的高，那么BD＝CE。

同学可以试着证明一下，还用全等三角形去证。

③等腰三角形两底角的平分线相等

已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，那么BD ＝CE。

同学可利用全等三角形法证明。

3、等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。

已知：如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC。

分析：要想证出AB＝AC需构造全等三角形。考虑学过等腰三角形性质中的“三合一”，我们不妨作顶角的平分线，或过A作AD⊥BC于D。

证明：过A作AD⊥BC于D

∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直定义)

在ΔABD和ΔACD中，

∴ΔABD≌ΔACD(AAS)

∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)。

4、等腰三角形分类

等腰三角形

5、有关等腰三角形周长的计算

给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。

若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。

【例题讲解】

例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。

分析：要想CE＝CB∠CEB＝∠B∠A＝∠CEB CE∥DA(已知条件)，故可完成证明。

证明：∵CE∥DA(已知)

∴∠A＝∠CEB(两直线平行，同位角相等)

又∵∠A＝∠B(已知)

∴∠CEB＝∠B(等量代换)

∴CE＝CB(等角对等边)

例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。

分析：这道题证法很多，如果要找全等三角形来证，证明ΔABD≌ΔACE，缺少条件，需首先推出相等的条件，学习了等腰三角形，可以用等腰三角形的性质来考虑，为了把等腰三角形的性质揭示出来，需添加辅助线，作BC上的高，即平分BC又平分DE，证明如下：证明：作AF⊥BC于F，

∵AB＝AC(已知)

AD＝AE(已知)

AF⊥BC(辅助线作法)

∴BF＝CF，DF＝EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)

∴BD＝CE(等式性质)

说明：在证题时要注意选择方法和依据，以简捷为目的，若学习了线段的垂直平分线的性质，角的平分线的性质能直接用这些定理证明线段相等就不需再证一遍三角形全等。

例3：如图，点D，E在AC上，∠ABD＝∠CBE，∠A＝∠C，求证：BD＝BE。

分析：本题只需证出∠BDE＝∠BED即可，要证∠BDE＝∠BED，而∠BDE＝∠A＋∠ABD，∠BED＝∠C＋∠CBE，条件已给出∠A＝∠C，∠ABD＝∠CBE。

证明：∵D，E在AC上(已知)

∴∠BDE＝∠A＋∠ABD，∠BED＝∠C＋∠CBE(三角形的外角等于和它不相邻的两内角的和)

∵∠A＝∠C(已知) ∠ABD＝∠CBE(已知)

∴∠BDE＝∠BED(等式性质)

∴BD＝BE(等角对等边)

例4：求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形。

分析：这是一文字叙述的证明题，首先要根据题意画出草图，结合图形写出已知、求证，再给予证明。

已知：如图，ΔABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E且CD＝BE，

求证：AB＝AC

证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E(已知)

∴∠ADC＝∠AEB＝90°(垂直定义)

在ΔABE和ΔACD中，

∴ΔABE≌ΔACD(AAS)

∴AB＝AC(全等三角形对应边相等)

例5：已知：在ΔABC中，AB＝AC，O是ΔABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC。

分析：因为ΔABC为等腰三角形，只需证出AO平分顶角(∠1＝∠2)即可，利用等腰三角形“三合一”性质定理证明。

证明：在ΔABO和ΔACO中，

∴ΔABO≌ΔACO(SSS)

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)

∴AO平分∠BAC，

又∵AB＝AC(已知)

∴AO⊥BC(等腰三角形顶角平分线与底边上的高互相重合)

例6：已知：如图，ΔABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，求证：DB＝DE。