2021重庆巴蜀中学高三月考(三)数学试卷及答案
重庆市巴蜀中学2021届高三数学第二次月考试题 文
重庆市巴蜀中学2021—2021学年度第一学期第二次月考高2021级高三（上）数学(文科)试题卷一、选择题（每题5分，共50分）1. 设集合{|2},{|41}A x x B x x =>-=-≤≤,则A B =（ ）2. 已知向量(1,1)a =-，(2,)b m =若a b ⊥,则m =( )A ．—2B ．—12C ．12 D ．23. 已知等差数列{a }n 知足2104a a +=，那么6a =( )A ．2-B ．2C ．4D ．4-4. 函数lg(1)()1x f x x +=-的概念域是（ ）A ．(1,)-+∞B ．[1,)-+∞C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 5. 已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x ≥； :2q x =是方程30x +=的根,那么以下命题为真命题的是( )6. 在ABC ∆中，知足sin cos a B A =,那么角A 为（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π以下四个函数中，图象既关于直线125π=x 对称，又关于点)0,6(π对称的是（ ） A. )32sin(π-=x y B. )32sin(π+=x y C. )64sin(π+=x y D.)64sin(π-=x y 已知概念在R 上的函数)(x f 知足0)()(=--x f x f ，且在区间),0[+∞上0)('>x f ，那么使)31()12(f x f <-成立的x 取值范围是（ ） A. )32,31( B. )32,31[ C. )32,21( D. )32,21[9. 已知各项为正数的等比数列}{n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，那么1172a a +的最小值为（ ）A. 16B. 4C. 8D. 2210. 函数2cos 2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是（ ）A 、)32,3(ππB 、)2,6(ππC 、)3,0(π D 、)6,6(ππ- 二、填空题（每题5分，共25分）11.已知α为第二象限角，3sin 5α=，那么sin2α=12. 已知函数3()f x x ax =+的一个极值点是1x =,则a = 13.已知a 为单位向量，9|2|),4,3(=-=b a b ，那么=⋅b a _____________14.化简=-40sin 125cos 40cos _______________15、五位同窗围成一圈依次循环报数，规定：（1）第一名同窗第一次报出的数为1，第二位同窗第一次报出的数为2，以后每位同窗所报出的数都是前两位同窗所报出的数之和；（2）假设报出的数为3的倍数，那么报该数的同窗需鼓掌一次；已知甲同窗第一个报数，当五位同窗依次循环报到第100个数时，甲同窗鼓掌的总次数是 。
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期高考适应性月考(一)数学试题(解析版)
解：首先从6名同学中选一名到甲、乙、丙三个场馆，方法有 种，
同理可得选第二名同学到甲、乙、丙三个场馆，方法有 种，依此类推，
由分步计数原理可得6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者共有 ，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查排列组合中的分步计数原理，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题型.
12．已知函数 若函数 有四个零点，则实数 的取值范围是（）
（1） ， ，
，
，
令 ，解得 ，
当 或 ， ，
当 时， ，
在区间 上， 为减区间，在 上为增区间，
；
（2） ，
使 无极值，即使 无解或只有一个解，
，
.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，考查利用函数的极值求参数，属于中档题.
18．“云课堂”是一类面向教育的互联网服务，通过网络互动直播技术服务的方式，就可以实现面向全国的高质量的网络同步和异步教学，是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式.某市随机抽取1000人对“云课堂”倡议的了解程度进行了问卷调查，并对参与调查的1000人的性别以及是否了解“云课堂”倡议情况进行了分类，得到的数据如下表所示：
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面 的法向量 ，可得 ，取平面 的法向量为 ，利用 ，即可得出.
【详解】
（1）证明：如图所示的等腰梯形 中，经过点 分别作 、 ，垂足为 ，
则 为正方形，在 中，可得 ，故 ，
在 中，利用余弦定理可得 ，
∴ ，即 ，故 ，
又∵ 平面 ，而 平面 ，即 ，
而 ， 平面 ， 平面 ，
【答案】
【解析】所拨数字共有 种可能，若所拨数字能被5整除，则个位数字只能是5或0，然后分个位数字为5和个位数字为0两种情况求出所需要的种数，再利用古典概型的概率公式求解即可
重庆市巴蜀中学2021届高三数学(理)上学期五次月考卷附答案解析
A.xy 的最大值为1 3
C.x2 +4y2 的取值可以为4 3
B.xy 的最大值为1 2
D. x2 +4y2 的取值可以为 4
12.
设函数
f
(
x)
ln( x
|
x
2), x 2, 1|, x ≤ 2,
g
(
x)
x
2
(m
1)
x
m
2
2
，下列选项正确的有
A.当 m>3 时，f[ f ( x )] = m 有 5 个不相等的实根
高消费用户
非高消费用户
总计
男性用户
20
女性用户
40
总计
80
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
P (K2≥k0) k0
0. 100 2. 706
0.050 3. 841
0. 010 6. 635
0.001 10.828
3
(1) 将列联表填充完整，并判断是否有 99%的把握认为线上购物时“高消费用户” 与性别有关？ (2) 若采用分层抽样的方法从随机调查的 200 个用户中抽出 10 个人， 再随机抽 4 人， 求高消费 用户人数比女性用户人数多 l 人的概率.
重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考(二)数学试题 含答案
巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时l20分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设集合{}280x A x =-≥，{}27100B x x x =-+≤，则A B ⋂=（ ）． A ．{}23x x ≤≤B ．{}35x x ≤≤C ．{}5x x ≤D ．{}2x x ≥2．设i 为虚数单位，已知12iz i =+，则z 的虚部为（ ）． A ．25B ．25-C ．15D ．15-3．“0AB AC ⋅>”是“ABC △为锐角三角形”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB 为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为()f v dB ，那么满足：()1210lg110vf v -=⨯⨯．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）． A ．40 B ．100 C ．40000D ．100005．设单位向量a ，b 满足：21a b +=，则2a b -=（ ）． A ．1 B ．2 C ．3D ．46．某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（ ）种不同的结果． A ．36B ．27 D ．24 D ．187．522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为（ ）．A ．60B ．60-C ．80-D ．808．设函数()()*sin N sin nxf x n x=∈，则下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()1f x ≤9．设()0,πθ∈，若22cos cos 21θθ+=，则θ=（ ）．A ．π5π,66B ．ππ,63C ．πππ,,632 D ．ππ5π,,62610．设ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列式子一定成立的是（ ）．A ．tan tan tan tan tan tan ABC A B C ⋅⋅=+- B ．2222cos a b c bc A =++⋅C ．222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=． D ．22cos cos cos b c ab C ac B bc A +=++11．为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：12y x =-，239y x =-分别与该曲线相切于()0,0，()3,0，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（ ）．A ．()3215233f x x x x =-+-B ．()3211233f x x x x =-- C ．()3211293f x x x x =+-D ．()32123f x x x x =--+12．如图，设在ABC △中，AB BC AC ==，从顶点A 连接对边BC 上两点D ，E ，使得30DAE ∠=︒，若16BD =，5CE =，则边长AB =（ ）．A ．38B ．40C ．42D ．44二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()3,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则m =______． 14．设函数()π3sin 213f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为______． 15．去年底，新一代的无线网络技术WIFI6发布。
2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析
2021巴蜀中学数学月考试卷及答案分析第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1.-2的绝对值是（）A．-2 B．2 C．1/2 D．-1/22．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1 B．6 C．7 D．103．如果|a|=﹣a，下列成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤04、在数轴上，把表示-4的点移动2个单位长度后，所得到的对应点表示的数是（）A.-1B.-6C.-2或-6D.无法确定5．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（）A．小王去时的速度大于回家的速度B．小王在朋友家停留了10 分钟C．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D．小王去时走上坡路，回家时走下坡路6．下列说法正确的是( ) A．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行B．两点之间的所有连线中，线段最短C．相等的角是对顶角D．若AC＝BC，则点C是线段AB的中点7．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是…………………………………………………（）A．4m B．4n C．2(m+n)D．4(m－n)8．一根绳子弯曲成如图1的形状，用剪刀像图2那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪为9段．若用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪(n－2)次(剪开的方向与a平行)，这样一共剪n次时绳子的段数是( )A．4n＋1 B．4n＋2 C．4n＋3 D．4n＋59`在数轴上与-3的距离等于4的点表示的数是（）.A、1.B、-7C、1或 -7D、无数个10．如图，AC、BD相交于点O，∠1= ∠2，∠3= ∠4，则图中有（）对全等三角形。
巴蜀中学2021届高考适应性月考卷(三)数学-答案
2x
1 2
sin
2x
1 2
2 2
sin
2x
π 4
，选项
A：函数
f
(x)
的
最大值是
2 2
1 2
，错误；选项
B：当
x
π ，π 48
，t
2x
π 4
单调递增，且t
π 4
，π 2
，
而此时
y
1 2
2 2
sin t
在t
π ，π 42
上单调递减，故函数
y
f
(x)
在
x
π ，π 48
上单调
递减，故错误；选项
3 4
85，P( X
0)
1 2
1 2
1 2
1 4
3 8
，
数学参考答案·第 5 页（共 8 页）
学生甲的得分 X 的分布列为
X
0
3
3
5
P
8
8
故
E(
X
)
15 8
；
学生乙： P(Y
3)
1 2
C32 C24
1 4
，P(Y
5)
1 2
C22 C24
1 12
，P(Y
0)
2 3
，
学生乙的得分 Y 的分布列为
分）
（2）∵
S△ABD S△ACD
1 2
AB
1 2
AC
AD sin BAD AD sin CAD
AB AC
4 2
2，
且
S△ABC
1 2
AB
AC
sin BAC
2
重庆市巴蜀中学2021届高三数学上学期适应性月考试题二
重庆市巴蜀中学2021届高三数学上学期适应性月考试题（二）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时l20分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设集合{}280x A x =-≥，{}27100B x x x =-+≤，则A B ⋂=（ ）．A ．{}23x x ≤≤B ．{}35x x ≤≤C ．{}5x x ≤D ．{}2x x ≥2．设i 为虚数单位，已知12iz i =+，则z 的虚部为（ ）． A ．25B ．25-C ．15D ．15-3．“0AB AC ⋅>”是“ABC △为锐角三角形”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB 为单位来表示声音大小的等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为()f v dB ，那么满足：()1210lg110vf v -=⨯⨯．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）． A ．40 B ．100 C ．40000D ．100005．设单位向量a ，b 满足：21a b +=，则2a b -=（ ）． A ．1 B ．2 C ．3D ．46．某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（ ）种不同的结果．A ．36B ．27 D ．24 D ．187．522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为（ ）．A ．60B ．60-C ．80-D ．808．设函数()()*sin N sin nxf x n x=∈，则下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()1f x ≤9．设()0,πθ∈，若22cos cos 21θθ+=，则θ=（ ）．A ．π5π,66B ．ππ,63C ．πππ,,632D ．ππ5π,,62610．设ABC △中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列式子一定成立的是（ ）． A ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=+- B ．2222cos a b c bc A =++⋅C ．222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=． D ．22cos cos cos b c ab C ac B bc A +=++11．为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：12y x =-，239y x =-分别与该曲线相切于()0,0，()3,0，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（ ）．A ．()3215233f x x x x =-+- B ．()3211233f x x x x =--C ．()3211293f x x x x =+- D ．()32123f x x x x =--+12．如图，设在ABC △中，AB BC AC ==，从顶点A 连接对边BC 上两点D ，E ，使得30DAE ∠=︒，若16BD =，5CE =，则边长AB =（ ）．A ．38B ．40C ．42D ．44二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量()3,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则m =______． 14．设函数()π3sin 213f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为______． 15．去年底，新一代的无线网络技术WIFI6发布。
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学(文)试题Word版含答案
2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x ==，则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1D ．{}02.函数1()ln(3)f x x =+-的定义域为（ ）A ．[2,3)B ．(2,3)C ．[2,)+∞D ．(,3]-∞3.复数z 满足2iz i i+=+，则||z =（ ）AB ．2C D 4.等差数列{}n a 中，7116a a ⋅=，4145a a +=，则2010a a -等于（ ） A ．23或32B ．13或12- C ．52D ．52±5.函数y =M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．2B ．3C ．6D ．126.已知33cos()25πϕ-=，且||2πϕ<，则tan ϕ=（ ） A ．43-B ．43C ．34-D ．347.已知(2,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则||a b +=（ ）A ．5B ．C ．6D ．508.已知实数[]1,10x ∈执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于63的概率为（ ） A ．310B ．49C ．25D ．139.已知函数()f x 是R 上的奇函数，且对任意实数x 满足3()()02f x f x ++=，若(1)1f >，(2)f a =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a <-C ．2a >D ．2a <-10.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >0ω>，||2πϕ<，x R ∈）在一个周期的图象如图所示，则()y f x =的图象可由cos y x =的图象（纵坐标不变）（ ）得到A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位 D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π单位11.已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 为正三角形，AD ⊥平面ABC ，6AD =，3AB =，则该球的表面积为（ ）A ．45πB ．24πC ．32πD ．48π12.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若3A π=，则(cos 3)a C C ⋅=（ ）A ．a b +B ．b c +C ．a c +D ．a b c ++第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在各项为正数的等比数列{}n a 中，若212n n n a a a ++=+（*n N ∈），则公比q = ．14.已知M 为抛物线28y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，若120MFO ∠=︒，(2,0)N -（O 为坐标原点），则△MNF 的面积为 ．15.向量AB ，AC 的夹角为60︒，且3AB AC ⋅=，点D 是线段BC 的中点，则||AD 的最小值为 ． 16.定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足(3)1f =，(2)3f -=，当0x ≠时有'()0x f x ⋅>恒成立，若非负实数a 、b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算得10180ii x==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720i i x ==∑．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+； （2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．18.已知函数21()cos cos 2f x x x x =--． （1）求函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域； （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2c =，3a =,()0f B =,求边b 俄值．19.如图所示的几何体QPABCD 为一简单组合体，在底面ABCD 中，60DAB ∠=︒，AD DC ⊥，AB BC ⊥，QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，1PA =，2AD AB QD ===．（1）求证：平面PAB ⊥平面QBC ；（2）求该组合体QPABCD 的体积．20.如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线1l ：2a x c =-和右准线2l ：2a x c=分别与x 轴相交于A 、B 两点，且1F 、2F 恰好为线段AB 的三等分点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）过点(3,0)D -作直线l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且满足2PD DQ =，当△OPQ 的面积最大时（O 为坐标原点），求椭圆C 的标准方程． 21.已知函数()ln f x x ax x =-⋅（a R ∈）． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()()ln f x g x x=，若函数()g x 在()1,+∞上为减函数，求实数a 的最小值； （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，且两坐标系取相同的长度单位．已知点N 的极坐标为(2,)4π，圆1C 的极坐标方程为1ρ=，若M 为曲线2C 上的动点，且M 到定点N 的距离等于圆1C 的半径．（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于A 、B 两点，求11||||PA PB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =+--（a R ∈）． （1）若2a =，求不等式()3f x ≥-的解集；（2）若存在实数x 使得()2f x a ≥成立，求实数a 的取值范围．2021届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次月考数学（文）试题参考答案一、选择题二、填空题13.2 14. 16.4,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.解：（1）由题意知10n =，1180810n i i x x n ====∑，1120210n i i y y n ====∑，18.解：（1）2131()3cos cos 2cos 21sin(2)1226f x x x x x x x π=--=--=--， ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴1sin(2),162x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）因为()0f B =，即sin(2)16B π-=，∵(0,)B π∈，∴112(,)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3B π=，又有2c =，3a =，在△ABC 中，由余弦定理得：22212cos49223732b c a ac π=+-=+-⨯⨯⨯=，即7b =． 19.解：（1）证明：因为QD ⊥平面ABCD ，//PA QD ，所以PA ⊥平面ABCD ， 又因为BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，且ABPA A =，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面QBC ，所以平面PAB ⊥平面QBC ． （2）面QDB 将几何体分成四棱锥B PADQ -和三棱锥Q BDC -两部分， 过B 作BO AD ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PA BO ⊥，又因为AD OB ⊥，PAAD A =，所以BO ⊥平面PADQ ，即BO 为四棱锥B APQD -的高， 并且3BO =，3PADQ S =，所以B PADQ V -133PADQ S BO =⋅⋅=，因为QD ⊥平面ABCD ，且已知2QD =，△BCD 为顶角等于120︒的等腰三角形，2BD =，3BDC S ∆=所以13Q BDC BDC V S QD -∆=⋅⋅=，所以组合体QPABCD +=20.解：（1）焦点2(,0)F c ，右准线2l ：2a x c =，由题知12||3||AB F F =，即2232a c c =⋅，即223a c =，解得c e a ==（2）由（1）知c e a ==223a c =，222b c =，可设椭圆方程为222236x y c +=．设直线l 的方程为x my =222(23)660m y c +-+-=， 因为直线与椭圆相交，所以222484(23)(66)0m m c ∆=-+->，由韦达定理得12y y +=，21226623c y y m -=+，又2DP QD =，所以122y y =-，得到1y =，2y =2212222669623(23)c m y y m m --==++，得到22216123m c m -=-+，所以1221||1|||||1818322||32||||DPQ m S OD y y m m m ∆=⋅-==⋅=⋅≤++， 当且仅当232m =时，等号成立，此时25c =，代入∆满足0∆>w ， 所以所求椭圆方程为2211510x y +=．21.解：（1）1a =时，()ln f x x x x =-⋅，'()ln f x x =-， 令'()0f x >，解得01x <<，令'()0f x <，解得1x >， ∴()f x 在(0,1)递增，在()1,+∞递减． （2）由已知得()ln xg x ax x=-，函数的定义域为()()0,11,+∞，函数()g x 在(1,)+∞上为减函数，∴2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+0≤在(1,)+∞恒成立，即2ln 1(ln )x a x -≥211()()ln ln x x =-+在(1,)+∞恒成立． 令1ln t x =，则0t >，得到2a t t ≥-+在0t >恒成立，得14a ≥，即a 的最小值为14． （3）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得001()ln 4f x x ≤成立， 问题等价于：存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得000()1()ln 4f x g x x =≤成立， 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有min 1()4g x ≤”，且()ln x g x ax x=-， ∵2ln 1'()(ln )x g x a x -=-+，结合（2）知：当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，2ln 110,(ln )4x x -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ①当14a ≥时，'()0g x ≤在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，即()g x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， 则222min1()()24e g x g e ae ==-≤，得到21124a e≥-成立．22.解：（1）点N 的直角坐标为(1,1)，曲线1C ：1ρ=1=，即221x y +=， 曲线2C 表示以(1,1)N 为圆心，1为半径的圆，方程为22(1)(1)1x y -+-=．（2）将12,2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入方程22(1)(1)1x y -+-=，得22(1)1)12t -+=，即2(110t t -+=，设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则121211,t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，易知10t >，20t >，∴12121212||||11||||1||||||||||||t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++====⋅⋅⋅． 23.解：（1）5,13()41,1235,2x f x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥-，得413,31,2x x -≥-⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或32x >，解得1322x -≤≤或32x >，即12x ≥-， 故不等式的解集为1[,)2-+∞．（2）∵()|2||23||223||3|f x x a x x a x a =+--≤+-+=+， 当且仅当(2)(23)0x a x +-≥且|2||23|x a x +≥-时，如取32x =，“=”成立， ∴()f x 的最大值为|3|a +，∴|3|2a a +≥．。
重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考(二)数学试题(原卷版)
巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时l20分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 设集合{}280xA x =-≥，{}27100B x x x =-+≤，则A B =（ ）．A. {}23x x ≤≤B. {}35x x ≤≤C. {}5x x ≤D. {}2x x ≥2. 设i 为虚数单位，已知12iz i=+，则z 的虚部为（ ）． A.25B. 25- C. 15D. 15-3. “0AB AC >”是“ABC 为锐角三角形”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 交通运输部发布了《城市轨道交通客运组织与服务管理办法》，对乘客在地铁内一系列行为进行规范，其中就包括“使用电子设备时外放声音”，不听劝阻者将被列入“乘客行为黑名单”．该办法已于2020年4月开始施行．通常我们以分贝()dB 为单位来表示声音大小等级，30~40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重影响听力且会引起神经衰弱等疾病．如果强度为v 的声音对应的分贝数为()f v dB ，那么满足：()1210lg110vf v -=⨯⨯．若在地铁中多人外放电子设备加上行车噪音，车厢内的声音的分贝能达到90dB ，则90dB 的声音与50dB 的声音强度之比为（ ）． A. 40 B. 100 C. 40000D. 100005. 设单位向量a ，b 满足：21a b +=，则2a b -=（ ）．A. 1B. 2C. 3D. 46. 某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（ ）种不同的结果． A. 36B. 27C. 24D. 187. 522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为（ ）． A. 60B. 60-C. 80-D. 808. 设函数()()*sin N sin nxf x n x=∈，则下列说法正确的是（ ）． A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 是周期函数C. ()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. ()1f x ≤9. 设()0,πθ∈，若22cos cos 21θθ+=，则θ=（ ）． A.π5π,66B.ππ,63C.πππ,,632D.ππ5π,,62610. 设ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列式子一定成立的是（ ）． A. tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=+- B. 2222cos a b c bc A =++⋅C. 222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=．D. 22cos cos cos b c ab C ac B bc A +=++11. 为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：12y x =-，239y x =-分别与该曲线相切于()0,0，()3,0，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该解析式为（ ）．A. ()3215233f x x x x =-+- B. ()3211233f x x x x =--C. ()3211293f x x x x =+-D. ()32123f x x x x =--+12. 如图，设在ABC 中，AB BC AC ==，从顶点A 连接对边BC 上两点D ，E ，使得30DAE ∠=︒，若16BD =，5CE =，则边长AB =（ ）．A. 38B. 40C. 42D. 44二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设向量()3,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则m =______．14. 设函数()π3sin 213f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最大值为______．15. 去年底，新一代的无线网络技术WIFI6发布.相比于上一代，WIFI6加入了新的OFDMA 技术，支持多个终端同时并行传输，有效提升了效率并降低延时，小明家更换了支持WIFI6的新路由器，设在某一时刻，家里有n 个设备接入该路由器的概率为()P n ，且()()10,13,30,4,nP n P n n ⎧⎛⎫⋅≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩那么没有设备接入的概率()0P =______．16. 函数[]y x =称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，例如：[]1.31=，设函数()xe f x x x=-，则函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦在[]2,3x ∈的值域为______．（其中： 2.718e ≈，27.389e ≈，320.086e ≈）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且21cos 2cos 20B C +-=．（1）求sin :sin B C 的值；（2）若a =，且ABC 为锐角三角形，求c 的取值范围．18. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是12． （1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；（2）若现在的比分是3比1甲领先，记ξ表示结束比赛还需打的局数，求ξ的分布列及期望． 19. 已知())()2sin sin 10f x xx x ωωωω=-+>．（1）若函数()f x 的最小正周期为π，求ω的值及()f x 单调递增区间； （2）若π0,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()1f x =恰好有两个解，求实数ω取值范围．20. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，且1A C ⊥平面ABC ，E 是AB 的中点，且2AB =．（1）求证：1//BC 平面1A EC ； （2）已知三棱锥11A CC E -的体积为36，求二面角11C A E C --的余弦值． 21. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率32e =，12BF F △3．（1）求椭圆E 的标准方程； （2）直线:1l ykx m m与椭圆E 相交于点P ，Q ，则直线BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，且，12k t k +=，其中t 是非零常数，则直线l 是否经过某个定点A ？若是，请求出A 的坐标．22. 已知()()1ln f x ax x ax =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）令()()g x f x '=，存在120x x <<，且121x x =+，()()12g x g x =，求实数a 的取值范围．。
重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考(三)数学答案
数学参考答案·第1页（共8页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（三）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBCCADBA【解析】1．2i (1i)2i i(1i)1i 1i 1iz z z -=⇒==+=-+⇒=--- ，故选D ．2．2201||a b x x a b ⊥⇒-=⇒=⇒-=，故选B ．3．(10)(01)A =- ，，，(1][0)(01)B A B =-∞-+∞⇒=R R ，，， ，故选C ．4．令0(0)(0)(0)1(0)1x y f f f f ==⇒=+-⇒=，这样()()()1()f x x f x f x f x -=+--⇒+()2f x -=，所以()f x 的图象关于点(01)，对称，故选C ． 5．设AG x =，则GC GE x ==，所以1121828.38CE x x ⎛=-=⇒=+≈ ⎝，所以站台高度28.38 1.629.9830.0AB AG GB =+=+=≈，故选A ．6．2221546593377373722()8a a a a a a a a a a a a a a ++=++=+==⇒+，故选D ．7．62AB AC ==，∵，AD 为BAC ∠的角平分线，23144AD AC AB =+⇒= ∴221(96)16AC AC AB AB ++ ，1cos sin 33ABC BAC BAC S ∠=-⇒∠=⇒=△∴，故选B ． 8．如图1，由双曲线的定义知，12|||2|QF QF a -=，1||=||QF QP ∵，212||||4PF a PF a =⇒=∴，而12||2FF c =，设12F F P θ∠=，在12PF F △中，由余弦定理知：2222244163cos 2222a c a c a a c acθ+--==， cos 4c e aθ===∵．因为2122||||2a a QF QF a λλ==+，，在12QF F △中，由余弦定理有：222222282cos 3a a a a a θλλλλ⎛⎫⎛⎫+=++⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．图1数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BCDABDACBC【解析】9．A ．由22||||a b a b ⇔==得不出a b = 或a b =- ，所以错误；B ．由||||||a b a b a b =⇒ ∥，所以正确；C ．由||||0a b a b a b a b +=-⇒=⇒⊥ ，所以正确；D ．由a ，b同向得：||||||||a bb a a b a b =⇒=，所以正确，故选BCD ． 10．137771330S a a a ==⇒=，而10a >，所以A ，B 正确；60a >，70a =⇒n S 取最大值时，6n =或7，所以C 错误；1314131400S S S a ==+<，，所以D 正确，故选ABD ．11．A ．0a =时，()ln ()ln 1(1)1f x x x f x x f =⇒'=+⇒'=，而(1)0f =，所以在1x =处的切线方程是1y x =-，正确；由于始终有(1)0f =，所以B 错误；C ．1a >时，1()ln 10e 1a f x x a x -'=-+=⇒=>，11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，而x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在1(e )a -+∞，有唯一零点，显然()f x 在1(0e )a -，有唯一零点1x =，所以正确；D. 1a <时，同样有11()(e )e 0a a f x f a --==-<极小值，此时10e 1a -<<，令ln 2(01)a =∈，，此时()(ln ln 2)ln 2f x x x =-+，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在ln 21(0e )-，有一零点，又(1)0f =，所以错误，故选AC ．12．在等腰ABC △中，120BAC ∠=︒， 2BC AB AC =⇒==，AM AE EM AE =+=+212233333EF AE AF AB AC λμ=+=+，||||2AB AC == ，∵120BAC ∠=︒，AB AC ∴ 4cos1202=︒=-，222416849999AM λμλμ=+-= ∵，22421λμλμ+-=∴，所以A 错误；22()31λμμ-+=∵，∴令cos sin λμθθ-==，显然cos [11]λμθ-=∈-，，所以B正确；cos μθλθθ==+，，∴22222sin cos cos 3λμθθθθ+=++∴11cos 25(1cos 2)2)tan 326θθθθϕϕ⎛+=-+=++= ⎝⎭，当sin(2)θϕ+ 1=时，22max 5()6λμ++=，所以C 正确，故选BC ．数学参考答案·第3页（共8页）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．设第1r +项为常数项，则23631332C ()C (2)rr rr r rr T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭为常数项，所以2r =，2221332C ()12T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．14．35ππ3ππ241234T T ω⎛⎫=--=⇒=⇒= ⎪⎝⎭，5ππππ2()2sin 212233f xx ϕϕ⎛⎫+=⇒=-⇒=- ⎪⎝⎭ ． 15．取AB ，11A B 的中点分别为E ，F ，在等腰梯形ABCD 中易算得：AC =222AC BC AB+=，∵90ADB ACB ∠=∠=︒，∴122ED EC AB ===，∴∴外接球的球心O 是EF 的中点，1322OE h ==∵，2EB =，52R OB ==∴，34π3V R =∴ 125π6=． 16．2222()()2log [()2]3()f x x a x a f x -=-+-++-=∵，()f x ∴为R 上的偶函数，()f x ∵为R上的偶函数，又有且只有一个零点，2(0)2301f a a a =+-=⇒=∴或3a =-，当1a =时，222()2log (2)2f x x x =++-，显然(0)0f =，当x ∈R 且0x ≠时，222x +>⇒222log (2)20()0x f x +->⇒>，()fx ∴此时只有0x =这个零点，符合题意；当3a =-时，222()6log (2)6f xx x =-++，286log 440f =-=-<∵，2366log 32f =-60=>，()f x ∴在内至少还有一个零点，与题意不合，舍去，所以1a =． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）1111094910100122a d a d a d ⨯+=+=⇒==，，， 21n a n =-∴．…………………………………………………………（5分）（2）21max 222(41)200430143n a n n n n n b T n -==⇒=-<⇒<⇒=． ………………（10分）数学参考答案·第4页（共8页）18．（本小题满分12分）（1）证明：3sin cos sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+2sin cos cos sin tan 2tan A C A C C A ⇒=⇒=．……………………………………（6分）（2）解：2222221323a b c a b c a b ab +-=⇒=+ ，而3c b =，222712933b a b a b =+⇒=，∴1πcos 323b C C a ===∴． ……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）列联表如下：…………………………………………………………………………（3分）由公式得：222()400(12010010080)4004.040()()()()20020018022099n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯5.024<，所以认为喜爱马拉松项目与性别无关． ………………………………………（6分）（2）易得：采取分层抽样方法从接受问卷调查且喜爱马拉松的居民中抽取10人中有6名男士，4名女士；从10人中抽取4人有1名女士的概率：31641410C C 821C p ==， 从10人中抽取4人没有女士的概率：462410C 114C p ==， 所以从10人中抽到的4人中至少有2名女士的概率：1223142p p p =--=．………………………………………………………………（12分）喜爱 不喜爱 合计 男性 120 100 220 女性 80 100 180 合计200200400数学参考答案·第5页（共8页）20．（本小题满分12分）（1）证明：连接DQ ，因为PO ⊥平面ABC ，所以PO AB ⊥．又因为CD AB ⊥，CD PO O = ，所以AB ⊥平面PCD ， 所以AB PC ⊥，AB DQ ⊥．由二面角的定义可知：QDC ∠即为截面QAB 与底面ABC 所成的二面角． 又因为QDC OPC ∠=∠，所以90PQD POD ∠=∠=︒，即PC DQ ⊥． 又因为AB DQ D = ，所以PC ⊥平面QAB ，证毕．…………………………（5分）（2）解：由（1）知：可以Q 为坐标原点，向量QD ，DB ，QP所在方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系Q xyz -，由题可知：(000)Q ，，，(002)P ，，，(420)A -，，，(420)B ，，， 所以(002)QP = ，，，(422)PA =-- ，，，(422)PB =-，，，设平面PAB 和平面PBC 的法向量分别为1111()n x y z = ，，，2222()n x y z =，，， 则有1100n PA n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得11111142204220x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，， 令11x =，得10y =，12z =，所以1(102)n =，，， 则有2200n QP n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，可得2222204220z x y z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，， 令21x =，得22y =-，20z =，所以2(120)n =-，，， 设平面ABP 与平面BPC 夹角的大小为θ， 则1212||1cos 5||||n n n n θ==． …………………………………………………………（12分）图2数学参考答案·第6页（共8页）21．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：2222221914a c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………………………（4分）（2）证明：设直线l 的方程为1x my =+，点11()M x y ，，22()N x y ，， 联立2213412x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得：223(1)412my y ++=， 化简得：22(34)690m y my ++-=，由于直线l 所过点F 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必相交，即0∆>， 所以由韦达定理得：122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩易得：121246()my y y y =+，…………………………………………………………………（7分）又因为(20)A -，，11()M x y ，，所以直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 又因为(20)B ，，22()N x y ，，所以直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--， 联立直线AM 与BN 得：1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，…………………………………………………………………（9分）解得：21121221121221121221121224422(1)442(1)22(1)22(1)x y y y x y my y y y my y x x y y y x y my y y y my y -+++-+++==-+++-+++++1212121212124266()26433my y y y y y y y y y y y -++-+===++，即点P 的横坐标为4，同理：点Q 的横坐标也为4，PQ 即为直线4x =， 所以PQ x ⊥轴，证毕．…………………………………………………（12分）数学参考答案·第7页（共8页）22．（本小题满分12分）（1）解：由题可知：()f x 的定义域为(0)+∞，，导函数222e e 11(1)(e )()(0)x x xx x k f x k x x x xx ----⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭．……………………（1分）①当1k ≤时，易得：e 0x k ->，从而当(01)x ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1k >时，由()0f x '=可得：1x =或ln k ， 1︒．当ln 1k =时，即e k =时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在(0)+∞，上单增；2︒．当ln 1k <时，即1e k <<时，从而当(0ln )x k ∈，时，()0f x '>； 当(ln 1)x k ∈，时，()0f x '<；当(1)x ∈+∞，时，()0f x '>， 所以()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； 3︒．当ln 1k >时，即e k >时，从而当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(1ln )x k ∈，时，()0f x '<；当(ln )x k ∈+∞，时，()0f x '>； 所以()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增． 综上：①当1k ≤时，()f x 在(01)，上单减，(1)+∞，上单增；②当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增； ③当e k =时，()f x 在(0)+∞，上单增；④当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增．…………………………………………………………………（5分）（2）证明：由（1）知：若()f x 存在极小值，则1e k <<或e k >，①当1e k <<时，()f x 在(0ln )k ，上单增，(ln 1)k ，上单减，(1)+∞，上单增， 易得：()(1)e 0f x f k ==->极小，而2(ln )0k -<，所以不符合题意，舍去；…………………………………………………………………（6分）②当e k >时，()f x 在(01)，上单增，(1ln )k ，上单减，(ln )k +∞，上单增，数学参考答案·第8页（共8页）易得：2()(ln )ln(ln )(ln )f x f k k k k ==-=-极小， 得到：2ln(ln )(ln )k k k =，令ln 1t k =>，则有2e ln tt t =，得到ln ln e e ett t t t t ==，………………………………………………………………………（8分） 令ln ()(1)x g x x x =>，则21ln ()xg x x -'=， 从而得到()g x 在(1e)，上单增，(e )+∞，上单减， 又因为()(e )t g t g =，所以1e e t t <<<， 令()(2e )ln ln(2e )G x x x x x =---，1e x <<， 则2e 2e ()ln ln(2e )ln((2e ))2e 2e x x x xG x x x x x x x xx --'=-+--+=--++--2222e ln((e)e )ln(e )202e x xx xx -=---+++>-+=-， 所以()G x 在(1e)，上单增，从而()(e)0G x G <=， 得到：(2e )ln ln(2e )x x x x -<-，即ln ln(2e )2e x x xx -<-，又因为1e e tt <<<，所以ln e ln ln(2e )2e et t t t t t -=<-， 又因为()g x 在(e )+∞，上单减，所以e 2e t t >-， 从而e 2e t t +>，即ln 2e k k +>，证毕．…………………………………（12分）。
重庆市巴蜀中学2021届高三高考适应性月考卷(一)数学
秘密★启用前巴蜀中学2021届高考适应性月考卷（一）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U =R ，集合{}012345A =，，，，，，{}3B x x =<，则图1中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}45，B ．{}345，，C ．{}012，，D ．{}0123，，，2．命题p ：所有高三学子学习态度都是认真的，则p ⌝是（） A ．所有高三学子学习态度都是不认真的 B ．有的高三学子学习态度是认真的 C ．有的高三学子学习态度是不认真的 D ．学习态度认真的不都是高三学子 3．函数()()1x f x x e =+的极值点是（） A ．21e-B ．212e ⎛⎫--⎪⎝⎭，C ．2-D ．1-4．若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则z =（）ABC ．2D 5．用最小二乘法得到一组数据()i i x y ，其中12345i =，，，，的线性回归方程为3y bx =+，若5125ii x==∑，5165i i y ==∑，则当8x =时，y 的预报值为（）A ．18B ．19C ．20D ．216．设2log 9a =，0.64b =，0.83c =，则（） A ．b c a << B ．c b a << C ．b a c <<D ．c a b <<7．已知函数()()y f x x =∈R 的图象如图2所示，则不等式()01f x x '<-的解集为（）A ．()1022⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，，B ．()()1113-⋃，，C ．11222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，D ．()1122⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭，，8．若()828012812x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则01237a a a a a +++++=（）A ．8832+B ．82C ．83D ．8832-9．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且()10x ∈-，时，()129xf x =+，则()2log 18f =（）A ．1-B ．89-C ．1D ．8910．甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点.则四人中去过磁器口古镇的人数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只能去1个场馆，则不同的安排方法共有（） A ．729B ．726C ．543D ．54012．已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，，，.若函数()()23g x f x mx m =--+有四个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．1323e -⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．1323e -⎛⎫⎪⎝⎭，C ．1323e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1323e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数2x y +=的定义域是______.14．已知()()()212ln 212f f x x x f x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，则()()11f f '+=______. 15．算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.如图3，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518．若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为______.16．定义在()0+∞，上的函数()f x 的导函数为()f x '，()11f =且()()21xf x f x x '-<-，则当()01x ∈，时，()f x ______34.（用>，<，≥，≤填空）三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）设函数()32292f x x ax x =-+--.（1）若3a =，求()f x 在区间[]22-，上的最小值； （2）若()f x 在()-∞+∞，无极值，求a 的取值范围. 18．（本小题满分12分）“云课堂”是一类面向教育的互联网服务，通过网络互动直播技术服务的方式，就可以实现面向全国的高质量的网络同步和异步教学，是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式.某市随机抽取1000人对“云课堂”倡议的了解程度进行了问卷调查，并对参与调查的1000人的性别以及是否了解“云课堂”倡议情况进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对“云课堂”倡议的了解程度与性别有关系；（2）现按照分层抽样从不了解“云课堂”倡议的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送“云课堂”倡议解读宣传画，求抽取的2人中恰有1人是女性的概率参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：19．（本小题满分12分）如图4所示，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，AE CF ∥，AE CF =，CF ⊥平面BCD ，1DC BC AD CF ====.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）若FM EF λ=，是否存在实数λ，使平面MAB 与平面ABC 所成锐二面角为3π？若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，Q 为C 上一点且纵坐标为4，QP y ⊥轴于点P ，且12QP QF =，其中点F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点122M ⎛⎫-⎪⎝⎭，，A ，B 是抛物线C 上不同的两点，且满85AM BM k k +=-号，证明直线AB 恒过定点，并求出定点的坐标. 21．（本小题满分12分）为了提高学生复习的效果，某中学提出了两种学习激励方案，其中甲方案：课前提前预习并完成同步小练习可以获得70分，课前提前预习但没有完成同步小练习可以获得10分，课前没有提前预习也没有完成同步小练习则扣除20分（即获取-20分），其中对学生调查发现甲方案中三种情况的概率分别为16，13，12；乙方案：每天多做一套试题则获得80分若不能按时多做一套试题则扣除20分（即获取-20分）若每天多做一套试题的概率为()01p p <<，每位同学可以参加两次甲方案或乙方案（但是甲、乙两种方案不能同时参与，只能选择其一），且两次方案互不影响规定参加两次方案后获得的分数为正，则获得学校的嘉奖；获得的分数为负，则没有嘉奖. （1）若14p =，试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖？请说明理由； （2）当p 在什么范围内取值时，学生参与两次乙方案后取得的平均分更高？ 22．（本小题满分12分） 已知函数()ln nf x x mx x=--，其中0m >，0n >. （1）当1n =时，()f x 在[]12，上是单调函数，求m 的取值范围；（2）若()f x 的极值点为0x ，且()()()1212f x f x x x =≠0x <.。
重庆市巴蜀中学2021届高三数学下学期适应性月考试题八
某某市巴蜀中学2021届高三数学下学期适应性月考试题〔八〕须知事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的某某、某某号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每一小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试完毕后，请将本试卷和答题卡一并交回．总分为150分，考试用时120分钟．一、单项选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．“{}3|log (2)1x x x ∈-≤〞是“{||11}x x x ∈-≤∣〞的〔 〕条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要出 D ．既不充分也不必要2．复数z 在复平面内对应的点都在射线3(0)y x x =>上，且||z =，如此z 的虚部为〔 〕 A ．3 B ．3i C ．3±D ．i 3±3．“垃圾分类〞已成为当下最热议的话题，我们每个公民都应该认真履行，逐步养成“减量、循环、自觉、自治〞的行为规X ，某小区设置了“可回收垃圾〞、“不可回收垃圾〞、“厨余垃圾〞、“其他垃圾〞四种垃圾桶．一天，小区住户李四提着属于4个不同种类垃圾桶的4袋垃圾进展投放，发现每个桶只能再投一袋垃圾就满了，作为一个意识不到位份子，李四随机把4袋垃圾投放到了4个桶中，如此有且仅有一袋垃圾投放正确的概率为〔 〕 A ．16B ．23C ．13D ．124．直线34100x y +-=与圆22:24200C x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，点P 在圆C 上，且满足4PABS=，如此满足条件的P 点个数为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．4 5．在边长为3的等边ABC 中，1123AP AC AB =+，如此CP 在CB 上的投影为〔 〕A ．154B ．54-C ．54D ．1526．函数lg||()10sin x f x x x =+的大致图象为〔 〕A ．B ．C ．D ．7．在三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，3PA =，4PB =，5PC =，点E 为线段PC 的中点，过点E 作该三棱锥外接球的截面，如此所得截面圆的面积不可能为〔 〕 A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π 8．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，且412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，假如()f x 在[0,)t 上存在最大值和最小值，如此实数t 的取值X 围为〔 〕 A ．2,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,,633πππ⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、多项选择题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分．在每一小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，局部选对的得3分〕9．2020年12月31日，我国第一支新冠疫苗“国药集团中国生物新冠灭活疫苗〞获得国家药监局批准附条件上市，保护率为79.34%，中和抗体阳转率为99.52%，该疫苗将面向全民免费．所谓疫苗的保护率，是通过把人群分成两局部，一局部称为对照组，即注射安慰剂；另一局部称为疫苗组，即注射疫苗来进展的当从对照组和疫苗组分别获得发病率后，就可以计算出疫苗的保护率=〔对照组发病率疫苗组发病率〕/对照组发病率100%⨯．关于注射疫苗，如下说法正确的答案是〔 〕 A ．只要注射了新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎B ．新冠疫苗的高度阳转率，使得新冠肺炎重症感染的风险大大降低C ．假如对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病80人，如此保护率为60%D ．假如某疫苗的保护率为80%，对照组发病率为50%，那么在10000个人注射了该疫苗后，一定有1000个人发病10．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，点P ，Q 分别是棱1BB ，1DD ⊥上异于端点的两个动点，且DQ BP =，如此如下说法正确的答案是〔 〕A ．三棱锥D APQ -的体积为定值B ．对于任意位置的点P ，平面APQ 与平面1111A BCD 所成的交线均为平行关系 C ．PAQ ∠的最小值为3πD ．对于任意位置的点P ，均有平面APQ ⊥平面11AC CA11．非零实数a ，b 满足32a b=，如此如下不等关系中正确的答案是〔 〕A ．a b <B ．假如0a <，如此0b a <<C ．||||1||1||a b a b <++ D ．假如30log 2a <<，如此b aa b <12．给定两个函数()f x 与()g x ，假如实数m ，n 满足()()g m f n =，如此称||n m -的最小值为函数()f x 与()g x 的横向距．0k >，1()lnx f x k k=+，()e x k g x -=，如此〔 〕 A ．当1k =时，()f x 与()g x 的横向距为0 B ．假如()f x 与()g x 的横向距为0，如此01k <≤ C ．()f x 与()g x 的横向距随着k 的增大而增大 D ．假如()f x 与()g x 的横向距大于1，如此e k > 三、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上〕 13．在5(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为________．14．数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，假如271233a a a =，17136b b b π++=，如此212311tanb b a a +=________． 15．如图，为测量C 点到河对岸塔顶A 的距离，选取一测量点D ，现测得75BCD ∠=︒，60BDC ∠=︒，40m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为30︒，如此CA 的距离为________m ．16．点P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点，点D 为线段1PF 上一点，12F PF ∠的角平分线与线段2F D 交于点M ，且满足24377PM PD PF =+，如此2||DM MF =________；假如D 为线段1PF 的中点且1260F PF ∠=︒，如此双曲线C 的离心率为________．〔第一空2分，第二空3分〕四、解答题〔共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分为10分〕在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且ABC 的外接圆半径为R ，________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题〔1〕和〔2〕： ①cos cos 2cos C B Bac ab bc+=，②sin cos R A b A c +=，③(3sin cos )0a c b C C +-+=． 问题：〔1〕求角B 的大小；〔2〕假如2R =，求a c +的最大值． 18．〔本小题总分为12分〕正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()14n n n n S S a S +-⋅=，*n ∈N ．〔1〕求2a ，3a ，4a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求数列()121n n a a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和公式n T ．19．〔本小题总分为12分〕如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD//BC ，AF //BE ，AD AB ⊥，AB AF ⊥，222AD AB BC BE ====．〔1〕点G 为AF 上一点，且1AG =，求证：BG//平面DCE ； 〔2〕直线BF 与平面DCE 5DCE 与平面BDF 所成锐二面角的余弦值． 20．〔本小题总分为12分〕在“十三五〞期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫〞阶段．到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．某某市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽．因地制宜开展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划开展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；某某油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香〞而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．脐橙分类标准：果径80mm 85mm ~为一级果，果径75mm 80mm ~为二级果，果径7075mm ~或85mm 以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量奉节脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径〔单位：m m 〕，得到如下列图的频率分布直方图．〔1〕试估计这1000个奉节脐橙的果径的中位数；〔2〕在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径7085mm ~中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X 的分布列与数学期望；〔3〕以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购置100个，其中一级果的个数为Y ，记一级果的个数为k 的概率为()P Y k =，写出()P Y k =的表达式，并求出当k 为何值时，()P Y k =最大？21．〔本小题总分为12分〕 函数()ln(1)1x f x x a x x ⎛⎫=+-+⎪+⎝⎭，12a ≥． 〔1〕当0x >时，求证：()0f x <； 〔2〕记数列{}n a 的前n 项和为n S ，假如()*1n a n n =∈N ，求证：2ln 24n n n aS S -+>． 22．〔本小题总分为12分〕椭圆方程22221(0)y x a b a b+=>>，抛物线方程：22(0)y px p =>，O 为坐标原点，F 是抛物线的焦点，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，如下列图．〔1〕证明：直线OA ，OB 的斜率乘积为定值，并求出该定值；〔2〕反向延长OA ，OB 分别与椭圆交于C ，D 两点，且225OC OD +=，求椭圆方程； 〔3〕在〔2〕的条件下，假如OABOCDS S 的最小值为1，求抛物线方程． 巴蜀中学2021届高考适应性月考卷〔八〕数学参考答案一、单项选择题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分〕【解析】1．3log (2)1[1,2)x A -≤⇒=-，|1|1[0,2]x B -≤⇒=，因为A B ⊂，B A ⊂/，∴x A ∈是x B ∈的既不充分也不必要条件，应当选D ．2．设3i z a a =+，a ∈R ，0a >=1a =，虚部为3，应当选A ．3．四袋垃圾总共有44A 24=种不同的情况，选出一袋投放正确14C 4=，剩下3袋与对应垃圾桶全部错位排，共2种情况，1444C 21A 3P ⨯==，应当选C ．4．圆22:(1)(2)25C x y -++=，5r =，(1,2)C -到直线34100x y +-=的距离|3810|35d --==，如此弦长||8AB ==，设P 到AB 的距离为h ，如此1||42PABSAB h =⋅⋅=，解得1h =，而圆上AB 两侧的动点到直线AB 的最大距离分别为5和2，故满足条件的点P 共4个，应当选D ． 5．1132CP AP AC AB AC =-=-，∴21115()3236CP CB AB AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭211524AC =，∴CP 在CB 的投影为54||CP CB CB ⋅=，应当选C ． 6．()||sin (0)f x x x x x =+≠为偶函数，定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，排除AC 选项；0x >时，()sin (1sin )0f x x x x x x =+=+≥，图象横在x 轴的上方，排除D 选项；当sin 1x =-，32()2x k k ππ=+∈Z 时，()0f x =，应当选B ．7．构造以PA ，PB ，PC 为棱长的长方体，设该长方体的外接球球心为O ，半径为R ，如此有249162550R =++=，如此2504R =，在所有过点E 的截面里，当截面过球心O 时，截面圆的面积取最大值，此时半径为R ；在所有过点E 的截面里，当OE 与截面垂直时，截面圆的面积取最小值，此时截面圆的圆心为E，因为522OE ==，∴最小截面圆的半径为52r ===，∴最小截面圆的面积为2252524S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故截面圆的面积X 围为2525,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，应当选A ． 8．()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以120326322T ππππωω-=≤=⋅⇒<≤，又41263ππππ-=<，所以41226πππ+=，∴()662k k πππωπ⨯+=+∈Z ，26k ω=+，k ∈Z ，所以0k =，2ω=，当[0,)x t ∈时，2,2666x t πππ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，52266t πππ<+≤或326263t t ππππ+>⇒<≤或23t π>，应当选D ． 二、多项选择题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分．在每一小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，局部选对的得3分〕【解析】9．A 选项错误：B 选项中阳转率高说明有高滴度的抗体，当感染新冠肺炎后，肺炎症状将会大大降低，进而减少重症率；C 选项中由保护率的计算公式可得：对照组和疫苗组的发病率分别为1%，0.4%，代入可得保护率为60%；D 选项中虽然根据公式算出样本中疫苗组的发病率为10%，但实际是否会发病是随机事件，应当选BC ．10．对于A 选项，D APQ P ADQ V V --=，ADQ 面积不定，而P 到平面ADQ 的距离为定值AB ，故D APQ V -不是定值；对于B 选项，由于PQ//平面1111A B C D ，如此经过直线PQ 的平面APQ 与平面1111A B C D 的所有交线均与直线PQ 平行，根据平行的传递性，可得所有交线也平行；对于C 选项，设正方体棱长为1，(0,1)PB DQ a ==∈，如此AP AQ ==，PQ =，如此()22222112cos 121a a a PAQ a a +++-∠==++21110,12a ⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，如此,32PAQ ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，错误；对于D 选项，易得直线PQ 与平面11AC CA 垂直，故平面APQ ⊥平面11AC CA ，应当选BD ．11．A 选项中，由指数函数的图象可知，0a b <<或者0b a <<，所以错误，所以B 正确；C 选项中，函数1111x y x x-==+++在(1,)-+∞上单增，而||||a b <，所以正确；或者也可以将B 选项等价转化为证明||||a b <是正确的；D 选项中，30log 201a a b <<⇒<<<，如此有b a a a a b <<，所以正确，应当选BCD ．12．由()()g m f n =，令1eln 0m kn t k k-=+=>，如此ln m t k =+，1e t k n k -=，所以1eln t kn m k t k --=--，记函数1()eln t kh t k t k -=--，0t >，如此11()et kh t k t-'=-，显然()h t '单调递增，且10h k ⎛⎫'=⎪⎝⎭，故()h t 在10,k ⎛⎫↓ ⎪⎝⎭，1,k ⎛⎫+∞↑ ⎪⎝⎭，即min 11()ln ln h t h k k k ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，①当1k >时，ln 0k >，所以min ()ln n m k -=0>，即函数()f x 与()g x 的横向距为ln k ；②当01k <≤时，ln 0k ≤，所以min ()ln 0n m k -=≤，所以min ||0n m -=，即函数()f x 与()g x 的横向距为0，应当选ABD ． 三、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分〕【解析】13．25C 10=．14．由数列性质知32712733a a a a ==，得73a =，又1713736b b b b π++==，得72b π=，又212724b b b π+==，231173a a a ==，所以2123114tantan tan 333b b a a ππ+===．15．由题意知45CBD ∠=︒，由正弦定理40sin 45sin 60BC =︒︒，得206BC =，所以402CA =．16．过M 作2MN //PF 交1PF 于点N ，作1MG//PF 交2PF 于点G ，由24377PM PD PF =+，得234DM DN MF NP ==，由角平分线定理2234PD DM PF MF ==，因为D 为PF 的中点，所以1264PF PF =，由双曲线的定义，122PF PF a -=，所以16PFa =，24PF a =，122F F c =，在12PF F 中，由余弦定理22236164cos60e 7264a a c a a+-︒=⇒=⨯⨯．四、解答题〔共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17．解：〔1〕选条件①：由题知cos cos 2cos b C c B a B +=，∴2sin cos 2sin cos 22sin cos R B C R C B R A B +⋅=⋅⋅⋅， ∴sin()2sin cos B C A B +=，∴sin 2sin cos A A B =，又0A π<<，如此sin 0A >， ∴1cos 2B =，又0B π<<，∴3B π=． 5分 选条件②：由题知2sin 4sin cos 4sin R A R B A R C +=，∴sin 2sin cos 2sin A B A C +=，又()C A B π=-+， ∴sin 2sin cos 2sin()A B A A B +=+，∴sin 2sin cos A A B =，又0A π<<，如此sin 0A >，∴1cos 2B =，又0B π<<，∴3B π=． 5分 选条件③：由题知2sin 2sin 2sin cos )0R A R C R B C C +-+=，∴sin()sin cos sin sin 0B C B C C B C +-+=，∴cos sin sin sin 0B C C B C +=，又0C π<<，如此sin 0C >，∴cos 10B n B +=， ∴2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又5666B πππ-<-<， ∴66B ππ-=，∴3B π=． 5分〔2〕由正弦定理知2sin bR B=，∴2sin b R B ==， 又2222cos b a c ac B =+-， ∴2212a c ac =+-， ∴212()3a c ac =+-，∴22()()12334a c a c ac ++-=≤⋅，∴2()48a c +≤，∴a c +≤〔当且仅当a c ==，∴a c +的最大值为 10分18．解：〔1〕由题知()*14n n n S a a n +=⋅∈N ①，又12a =，∴1124S a a =⋅，∴24a =， 又2234S a a =⋅，∴36a =， 又3344S a a =，∴48a =，由①知：2n ≥时，114n n n S a a --=⋅②，-①②：()()1114n n n n n S S a a a -+--=-，又0n a >，∴114(2)n n a a n +--=≥，∴对于数列{}n a 来说，1a ，3a ，5a ，…成等差数列，2a ，4a ，6a ，…成等差数列，〔ⅰ〕当n 为奇数时，11422n n a a n -=+⨯=， 〔ⅱ〕当n 为偶数时，22422n n a a n -=+⨯=， ∴*n ∈N 时，2n a n =． 8分 〔2〕()11111214(1)41n n a a n n n n n ⎛⎫==- ⎪-+⋅++⎝⎭，∴11111111114122314114(1)n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 12分 19．〔1〕证明：如图，连接AE 交BG 于点O ，取DE 中点为H ，连接HO ，HC ，GE ， 在四边形ABEG 中，AG //BE ，AG BE =， 故四边形ABEG 为平行四边形， 故O 为AE 中点，所以在ADE 中，OH 为中位线， 如此OH //AD 且12OH AD =， 又BC //AD 且12BC AD =， 故OH //BC 且OH BC =， 即四边形BCHO 为平行四边形， 所以HC //OB ，又∵HC ⊂平面DCE ，OB ⊂/平面DCE ，∴OB //平面DCE ，即BG//平面DCE ． 5分〔2〕解：ABCD ABEFABCD ABEF AB AD AD AB AD ABCD ⊥⎫⎪⋂=⎪⇒⊥⎬⊥⎪⎪⊆⎭平面平面平面平面平面平面ABEF ，如图，以点A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系，设AF a =〔0a >且1a ≠〕，如此(,0,0)F a ，(0,2,0)B ，(0,0,2)D ，(1,2,0)E ，(0,2,1)C ， 如此(0,2,1)DC =-，(1,2,2)DE =-，(,2,0)BF a =-，设平面DCE 的法向量为(,,)n x y z =，如此20220DC n y z DE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取(2,1,2)n =，所以直线BF 与平面DCE 所成角α满足2|||22|5sin 5||||34BF n a BF n a α⋅-===⋅⨯+， 即21140160a a --=，解得4a =或411a =-〔舍〕， 设平面BDF 的法向量为(),,m x y z '''=， ∵(4,2,0)BF =-，(0,2,2)BD =-，∴420220BF m x y BD m y z ⎧''⋅=-=⎪⎨''⋅=-+=⎪⎩，取(1,2,2)m =， 所以平面BDF 与平面DCE 所成锐二面角θ满足||88cos ||||339m n m n θ⋅===⋅⨯． 12分20．解：〔1〕果径[65,80)的频率为(0.0130.0300.045)50.440.5++⨯=<， 果径[65,85)的频率为(0.0130.0300.0450.060)50.740.5+++⨯=>，故果径的中位数在[80,85)，不妨设为a ，如此(80)0.0600.50.440.06a -⨯=-=， 解得中位数81a =． 3分〔2〕果径[70,75)，[75,80)，[80,85)的频率之比为(0.035)(0.0455):(0.065):3:4:2⨯⨯⨯=， 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，故随机变量0,1,2,3X =，3539C 10(0)C 84P X ===，215439C C 40(1)C 84P X ===， 125439C C 30(2)C 84P X ===，3439C 4(3)C 84P X ===， 所以X 的分布列为期望41124()012384848484843E X =⨯+⨯+⨯+⨯==． 7分 〔3〕这批果实中一级果的概率310P =，每个果实相互独立，如此3~100,10Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如此10010037()C 1010kkkP Y k -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，题目即求k 为何值时，()P Y k =最大，令199110010010037C (1)3(100)10101()7(1)37C 1010k kk k k kP Y k k P Y k k +-+-⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==>=+⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得29.3k <， 故当29k ≤时，(1)()P Y k P Y k =+>=，即(30)(29)(28)(27)P Y P Y P Y P Y =>=>=>=>…，当30k ≥时，(1)()P Y k P Y k =+<=，即(30)(31)(32)(33)P Y P Y P Y P Y =>=>=>=>…，所以max ()(30)P Y k P Y ===，即一级果的个数最有可能为30个． 12分 21．证明：〔1〕∵()ln(1)1x f x x a x x ⎛⎫=+-+⎪+⎝⎭，12a ≥，如此(0)0f =，当0x >时，221111()11(1)(1)1f x a a a x x x x ⎡⎤'=-+=-⋅+-⎢⎥++++⎣⎦， 令1(0,1)1t x =∈+， 如此由()0f x '=，可得20a t t a -⋅+-=， ∵12a ≥， ∴2140a ∆=-≤，如此()0f x '≤，在(0,x ∈+∞恒成立， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递减， 如此()(0)0f x f <=． 6分 〔2〕由〔1〕知，当12a =时，11ln(1)121x x x ⎛⎫+<+ ⎪+⎝⎭，取1x n =， 如此1111ln 11112211n n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭， ∴111ln(1)ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭， ∴111ln(2)ln(1)212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，∴111ln(3)ln(2)223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…，∴111ln(2)ln(21)2212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，上式全部相加，如此有112221ln(2)ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++⋅⋅⋅++ ⎪++-⎝⎭， 如此211111ln 22122144n n n aS S n n n n n <+++⋅⋅⋅++=-+++-，证毕． 12分 22．〔1〕证明：设直线OA 的斜率为()110k k >，直线OB 的斜率为2k ，由题可知，直线l 的斜率不为0， 设直线:2p l x ty =+， 如此由222p x ty y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y pty p --=，易知0∆>，且212y y p =-，又()222212121222244y y y y p x x p p p =⋅==，如此2121221244y y k k p x x p⋅=⋅=-⋅=-． 3分 〔2〕解：设(),c c C x y ，(),d d D x y ， 由〔1〕可知，1:OA l y k x =，214:OB l y k x x k ==-， 联立方程12222,1y k x y x a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222221c a b x b k a =+， 用14k -替换式子中的1k ，有222222122221221164d a b a b k x a k bb a k ==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 2222222222222211c d ccddcd x x OC OD x y x y x a x a b b ⎛⎫⎛⎫+=+++=+-⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222221c d a a x x b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭222222221222222211216b a a b a b k a b b k a a k b ⎛⎫-=++ ⎪++⎝⎭()22244422242112224442221121621616b a a b k a b k a b a b a b k a b k a b -++=+⋅+++又225OC OD +=，如此42244216a b b a b =+，且2222225b a a b b-+⋅=， 即225a b +=，∴2241a b ⎧=⎨=⎩，此时椭圆方程为2214y x +=． 7分 〔3〕解：∵12121||sin ||21||||sin 2OAB OCDc d c d OA OB AOBS OA OB x x x x S OC OD x x x x OC OD COD ∠===⋅=∠‖‖‖‖，由〔2〕可知，当24a =，21b =时，22144cx k =+，221214d k x k =+，如此12124c d k x x k =+， 又由〔1〕可知2124p x x =，2221211121442824OABOCDc d p S x x p p k k S x x k k ⎛⎫===+≥⎪⎝⎭+， 当且仅当12k =时等号成立，由题意212p =，p =，此时抛物线方程为2y =． 12分。