中考数学一轮复习 函数的综合运用

中考数学一轮复习 函数的综合运用

知识考点：

会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。 精典例题：

【例1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于D 点，OB ＝10，tan ∠DOB ＝

3

1。 （1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；并写出自变量m 的取值范围。 （3）当△OCD 的面积等于

2

S

时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解析：（1）x

y 3= （2）A （m ，

m 3），直线AB ：m

m x m y -+=31，D （3-m ，0） )3

1(321m

m S S S ADO BDO +⋅-=

+=∆∆ 易得：30<

m

S 292

-=（30<

（3）由2

S S OCD

=∆有

m m m m 29212)3(2

2-⋅=-，解得11=m ，32=m （舍去）

∴A （1，3），过A 、B 两点的抛物线的解析式为a x a ax y 32)21(2

-+++=，设抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x ，则a a x x 2121+-

=+，a

a

x x 3221-= 若321=-x x 有9324212

=-⨯

-⎪⎭

⎫

⎝⎛+-a a a a 整理得01472

=+-a a ，由于△＝－12＜0方程无实根 故过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3。

评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数以及三角形面积等知识，并注意挖掘问题中的隐含条件。

【例2】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式（不必写出自变量x 的取值范围）；

例1图

（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ （4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？ 解析：（1）[]675010)5055(500)4055(=⨯--⨯-（元） （2）[]10)50(500)40(⨯---=x x y 400001400102

-+-=x x

（3）当8000=y 时，801=x ，602=x （舍去）

（4）9000)70(102

+--=x y ，销售单价定为70元时，月销售利润最大为9000元。

评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实际问题中建立二次函数的解析式，然后应用其性质求解。 探索与创新：

【问题】如图，A （－8，0），B （2，0），以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴交于点C 。 （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求顶点M 的坐标和直线MC 的解析式； （3）判定（2）中的直线MC 与⊙P 的位置关系，并说明理由；

（4）过原点O 作直线BC 的平行线OG ，与（2）中的直线

MC 交于点G ，连结AG ，求

出G 点的坐标，并证明AG ⊥MC 。

解析：（1）OB OA OC ⋅=2

，42

3

412-+=

x x y ； （2）M （－3，425），直线MC ：44

3

-=x y

222PN CN PC =+，直

（3）直线MC 交x 轴于N （3

16

，0），易证

线MC 与⊙P 相切；

（4）直线BC ：42-=x y ，直线OG ：x y 2=，由⎪⎩

⎪

⎨⎧-==443

2x y x y 解得： G （516-

，532-），∵BC ∥OG ，∴GN ON CN BN =，易证△NBC ∽△NGA ，有NA CN

CN BN =

∴NA

CN GN ON =，又∠CNO ＝∠ANG ，∴△NOC ∽△NGA ，∴∠AGN ＝∠CON ＝900

，故AG ⊥MC 。 评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结合的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。 跟踪训练： 一、选择题：

1、若抛物线122

2

+++-=m m mx x y 的顶点在第二象限，则常数m 的取值范围是（ ）

问题图

A 、1-m

B 、01<<-m

C 、21<<-m

D 、0>m

2、抛物线c bx ax y ++=2

（a ＞0）与y 轴交于P ，与x 轴交于A （1x ，0），B （2x ，0）两点，且210x x <<，若

OP OB OA 31

21==

，则b 的值是（ ） A 、32 B 、29 C 、23- D 、29

-

3、某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ） A 、8元或10元 B 、12元 C 、8元 D 、10元 二、填空题：

1、函数132

++-=x ax ax y 的图像与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值是 ，与x 轴的交点坐标

为 。

2、已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线x

y 21

=

上，点N 在直线3+=x y 上， 设点M （a ，b ），则抛物线x b a abx y )(2

++-=的顶点坐标为 。

3、将抛物线5632

+-=x x y 绕顶点旋转1800

，再沿对称轴平移，得到一条与直线2--=x y 交于点（2，m ）的新

抛物线，新抛物线的解析式为 。

4、已知抛物线4822

+-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，连结AC 、BC ，点A 1、A 2、A 3、…1-n A 把AC n 等分，过各分点作x 轴的平行线，分别交BC 于B 1、B 2、B 3、…1-n B ，线段A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、…、11--n n B A 的和为 。（用含n 的式子表示） 三、解答题：

1、汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米／小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米。查有关资料知：甲种车的刹车距离甲S （米）与车速x （千米／小时）之间有下列关系，x x S 1.001.02+=甲；乙种车的刹车距离乙S （米）与车速x （千米／小时）的关系如图所示。请你就两车的速度方面分析相碰的原因。

第1题图

第2题图