人教版初中数学三角形技巧及练习题附答案解析

13．如图，在 ， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， ，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作弧线 ，交 于点 ．已知 ， ，则 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．
B.若 ， ， ，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；
C．若BC：AC：AB=3：4：5，则BC2+AC2=AB2，故△ABC是直角三角形；
D．若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；
故答案为：C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8．如图，直线 ，点 、 分别在直线 、 上， ，若点C在直线b上， ，且直线a和b的距离为3，则线段 的长度为（ ）
A． B． C．3D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
过C作CD⊥直线a，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．
【详解】
过C作CD⊥直线a，∴∠ADC=90°．
∵∠1=45°，∠BAC=105°，∴∠DAC=30°．
考点：全等三角形的判定与性质．
12．满足下列条件的是直角三角形的是（）
A． ， ， B． ， ，
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【详解】
A．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．
3．如图，点 是 的内心， 、 是 上的点，且 ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，连接OA，OB，OC，进而求得 ， ，即∠CBO=∠CMO，∠OBA=∠ONA，根据三角形内角和定理即可得到∠MON的度数.
由于 ，
根据勾股定理的逆定理得： 不是直角三角形；
的三边分别是： = ， = ， = ；
由于 ，
根据勾股定理的逆定理得： 是直角三角形；
因此有两个直角等三角形；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．
15．在直角三角形中，自锐角顶点引的两条中线为 和 ，则这个直角三角形的斜边长是( )
【详解】
如图，连接OA，OB，OC，
∵点 是 的内心，
∴ ，
∵CM=CB，OC=OC，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.
4．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）
【分析】
根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．
【详解】
设网格的小正方形的边长是1，
由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，
的三边分别是：AB= ，AC= ，BC= ；
由于 ，
根据勾股定理的逆定理得： 是直角三角形；
的三边分别是： = ， = ， = ；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得 的面积．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）
A．9 cmB．10 cmC．11 cmD．12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．
【详解】
过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
∵CD=3，∴AC=2CD=6．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
9．如图，在矩形 中， 将其折叠使 落在对角线 上，得到折痕 那么 的长度为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理求出AC的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x，则CE= ，利用勾股定理，即可求出x的值，得到BE的长度．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.
【详解】
由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
A．65°B．70°C．75°D．80°
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠源自文库＝∠1＝45°，
∵∠3是△CDE的一个外角，
∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，
由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，
∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，
∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.
故选：B．
【点睛】
【详解】
解：在矩形 中， ，
∴∠B=90°，
∴ ，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF，
∴CF=5 3=2，
在Rt△CEF中，设BE=EF=x，则CE= ，
由勾股定理，得： ，
解得： ；
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE的长度．
【详解】
解：连接OD，设⊙O半径OD为R,
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，
∴DM= CD=4cm，OM=R-2,
在RT△OMD中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB的长为:2×5=10cm．
故选B．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
A．3B．2 C．2 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可．
【详解】
设AC=b，BC=a，分别在直角△ACE与直角△BCD中，根据勾股定理得到：
两式相加得：
根据勾股定理得到斜边
故选:D.
【点睛】
考查勾股定理，画出图形，根据勾股定理列出方程是解题的关键.
16．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
5．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()
A．50°B．55°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．
【详解】
如图，延长l2，交∠1的边于一点，
∵11∥l2，
∴∠ACD＝∠ACB＝ ∠BCD=25°，
∵EF垂直平分线段BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB=25°，
∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，
根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，
故选：A．
【点睛】
此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
∴ 即为AB或CD的垂直平分线，
则 ， ，
∵正方形 的边长为4，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵正方形 的面积与 面积相等，
即 ，解得： ，
∵ 不符合题意，故舍去，
∴ ，则S正方形EFGH ，
∵ ， ， ， 全等，
∴ ，
∵正方形 的面积 ， ， ， ， 也全等，
∴ S正方形ABCD− S正方形EFGH ，
人教版初中数学三角形技巧及练习题附答案解析
一、选择题
1．如图，在菱形 中， ， 的垂直平分线交对角线 于点 ，垂足为 ，连接 、 ，则 的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB即可解决问题；
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
AC2+BC2=AB2，
即x2+82=（x+4）2，
解得：x=6，即AC的长为：6．
故答案为：C．
【点睛】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．
14．如图为一个 的网格，在 ， 和 中，直角三角形有（）个
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A．2B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，连结EG并向两端延长分别交AB、CD于点M、N，连结HF，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ，则点E在AB的垂直平分线上，
∵ ≌ ，
∴ 为等腰三角形，
∴ ，则点G在CD的垂直平分线上，
∵四边形 为正方形，
∴AB的垂直平分线与CD的垂直平分线重合，
10．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）
A．28°B．22°C．32°D．38°
【答案】B
【解析】
【分析】
延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．
2．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36°
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．
∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，
由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，
∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．
6．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（）
【详解】
解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∠ABC=60°，
∵∠1=38°，
∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=22°，
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
11．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO= AC；③△ABD≌△CBD，
其中正确的结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
试题解析：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB，
在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC，
∴AC⊥DB，
故①②③正确；
故选D．