线性代数维向量空间

1
1
0 1
,
0
0
2
1
1
,
2
0
3
2 2
,
1
1
4
0 0
1
证明它们是 R4 的一个基。
证明
1 0 0 1
A
[1
,2
,
3
,4
]
0 1
1 1
2 2
0 0
0 2 1 1
初等行变换
1 0 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
0
0
0
1
R(1,2 ,3 ,4 ) 4
则 1,2 ,3 ,4 线性无关
所以1,2 ,3 ,4 是R4 的一个最大无关 组，从而也是 R4 的一组基
2
3,
2
4 3
1
2
2 3
3
0, a2 , , an T , 0, b2 , , bn T V1 ,
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
所以V1是向量空间 .
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
所以V 是一个向量空间
二、子空间
定义2 设V是一个向量空间，S是V的一个非空子集， 若S也是一个向量空间，则称S是V 的子空间．
实例 设V 是任意一个由n 维向量所构成的向量空间，
显然V Rn
所以V总是 Rn的子空间.
定义3 设V是一个向量空间，如果 1,2,L ,m V
1 (1,0, ,0),
例如
单位坐标向量组
2
(0,1, ,0),
n (0,0, ,1),
是 Rn 的一个基，我们把它称为 Rn 的自然基，
Rn 中的任一向量 (a1, a2 ,L , an ) 在该基下的坐 标正好是 的n个分量 a1 , a2 ,L , an
例5 给定四个4维向量
三、向量空间的基、维数与坐标
定义4 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V ，且满足
(1) 1,2 , ,r线性无关;
(2)V中任一向量都可由1,2 , ,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 , ,r 就称为向量空间V的
一个基， r称为向量空间V的维数，记作 dimV r
并称V 为r维向量空间．
即
x11
(1,
2
)
(1
,2
,3
)
x21
x31
x12
x22
,
x32
记作B AX . 则 X A1B.
对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为E，
则a1 ,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为
X A1B.
2 2 1 1 4 ( AB) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基
就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.由于最大无关组不唯一，所以基也是不唯一的。
（3）若向量组
1 ,2 ,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
则由1,2,L ,m 的一切线性组合所构成的集合
S x 11 22 L mm 1,L ,m R
称为由向量 1,2,L ,m 生成的子空间，
或称为V 的一个生成子空间。
V 中只有零向量的子集也构成子空间， 该子空间称为零子空间；另外V 本身也是 V 的子空间。
因此任何一个向量空间至少有两个子空间： 一个是其本身，另一个是零子空间。
初等行变换
(A B)
1
0
0
2 3
4
3
0
1
0
2 3
1
0 0 1
1
2 3
初等行变换
(A B)
1
0
0
2 3
4
3
0
1
0
2 3
1
0 0 1
1
2 3
因有A ; E， 故 1 ,2 ,3为R3的一个基，且
2 4
3
3
1,
2
(1
,2
Байду номын сангаас
,3
)
2 3
1 .
1
2 3
1
2 3
1
2 3
解 因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
所以V2不是向量空间 .
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 因为若 x1 1a 1b, x2 2a 2b， 则有 x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 因为对于V1的任意两个元素
（4）向量空间的维数与组成向量空间的向量 的维数是两个不同的概念。
定义5：设 1,2 ,L ,n 是向量空间V的一个基，
对于任一向量 V，总有唯一的一组数
x1, x2 ,..., xn，使得 x11 x22 L xnn
这组有序的数 x1, x2 ,..., xn 称为向量 在基
1,2 ,L ,n 下的坐标，记作 ( x1, x2 ,..., xn )
例6 设矩阵
2 2 1
A
(1
,
2
,
3
)
2
1
2
,
1 2 2
1 4
B
(
1
,
2
)
0
3
,
4 2
验证1,2,3,是R3的一个基，并把1, 2用这个基
线性表示.
解 要证1,2,3是R3的一个基，只要证1,2,3
线性无关，即只要证A ~ E.
设
1 x111 x212 x313 ,
2 x12 1 x222 x323，
第四章 向量空间
一、n维向量空间
二、向量的内积
§4.1 n维向量空间
一、向量空间的概念
定义1 设V为n维向量的非空集合，若集合V 满
足条件，
V对于加法 运算封闭
（1）对于任意 V , V , 总有 V;
（2）对于任意的数 和任意的 V ,总有 V .
那么就称集合V为向量空间．
V对于数乘 运算封闭