高中数学全套讲义 选修2-3 组合 中等教师版
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目录
考点一：组合 (2)
题型一、组合数计算 (3)
题型二、组合在实际问题中的应用 (5)
课后综合巩固练习 (6)
考点一：组合
组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．
组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n
表示．
组合数公式：
(1)(2)(1)!C !!()!
m
n
n n n n m n m m n m ---+==
-，,m n +
∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：1
1C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）
排列组合一些常用方法特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一
排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．
分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
实际问题的解题策略
排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是
分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
题型一、组合数计算
1．（2019春•安徽期末）若0k m n ，且m ，n ，k N ∈，则0
(m
n m k
n k n k C C --==∑ )
A ．2
m n
+
B ．2
m
n
m C
C ．2n m
n C D ．2m m n C
【分析】运用组合数的阶乘可得：n m k m k
n k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所求和． !
)!!()!
n k n k -!)!!()!
m k m k -则010
()2m
n m k m m m m
n k n n m m m n k C C C C C C C --==++⋯+=∑， 故选：D ．
【点评】本题考查组合数公式的运用和二项式系数的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
2．（2019春•淮安期末）已知3888x x C C -=，则实数x 的值为
【分析】根据m n m
n n C C -=求解即可．
【解答】解：依题意，38x x =-或者(38)8x x +-=，且8388x N x x ∈⎧⎪
⎨⎪-⎩
，
解得：4x =． 故答案为：4．
【点评】本题考查了组合数公式的性质，属于基础题．
3．（2019春•高邮市期中）若212626x x C C -=，则x =
【分析】由212626x x C C -=，再根据组合的互补性质可得26(21)
2626x x C C --=，即可解得x 的值．
【解答】解：由21
2626x x C C -=，可得：21x x =-，解得：1x =，
又根据组合的互补性质可得26(21)
2626x x C C --=，可得：26(21)x x =--，解得：9x =．
故答案为：1或9．
【点评】本题主要考查了组合及组合数公式的应用，掌握组合数的性质和组合数公式是解题的关键，属于基础题．
4．（2017春•青山区校级月考）计算：01213
34516C C C C +++⋯+= ．（用数字作答）
【分析】 原式
1233333333433333
4
5
6
7
15
16
6
7
15
16
6
6
7
15
16
1410=
+
+
++
+⋯+
+
=+++
+
+⋯+
+
=
+
+
+⋯+
+
，利用
111
r r r n
n
n ++++
=即可得出．
【解答】解：原式01233333
4
5
6
7
15
16
=
+++
+
+⋯+
+
33336
7
1516
1410=++++
+⋯+
+
433336
6
7
15
16
=++
+⋯+
+
433377
15
16
=++⋯+
+
431616
=+
417
=
2380=．
故答案为：2380．