高中数学选择性必修二 北京一零一实验学校高二下学期期末数学试题(含答案)

【详解】（1）设数列 的公比为 ，数列 的公差为 ，
由 ，解得 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 ，
又由 ，则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
【详解】（1）由题意， ，
∴ ，得 ，又 ，即 .
（2）由（1）知： ，则 ，
又 ，即 ，
∴切线方程为 ，整理得 .
∴与x、y轴交点为 、 ，
∴ 且 ，则 ，
∴ 时在 上 递减； 时 上 递增；
∴ 的极小值，也是最小值为 .
19.若函数 满足：对于 ，都有 ，且 ，则称函数 为“ 函数”
（1）试判断函数 与 是否为“ 函数”，并说明理由
17.已知等比数列 的首项为2，等差数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）设数列 的公比为 ，数列 的公差为 ，由题设条件，列出方程组，求得 的值，即可得到数列 ， 的通项公式；
（2）由（1）得 ，得到 ，结合等比数列的前n项和公式，即可求解.
故选：D.
【点睛】本题考查了集合的包含关系，补集运算，属于简单题.
2.下列数列中， 是其中一项的是（）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别令四个选项的通项等于 ，解方程判断是否有正整数解即可求解.
【详解】对于A：令 ，无正整数解，故选项A不符合题意；
对于B：令 ，无正整数解，故选项B不符合题意；
（2）令 且 ，结合“ 函数”性质判断 大小关系，讨论 、 、 确定 否符合题设，即可证结论.
（3）写出一个“ 函数”，并应用“ 函数”性质判断是否符合题设.
【详解】（1）在 上 恒成立， 恒成立，
对于 ，则 ， ，
∴ ，即 成立；
， ，
∴ ，即 ，又 为增函数，
∴ ，
综上， 是“ 函数”， 不是“ 函数”.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得分离参数将不等式等价于不等式 在区间 上有解，设 ，由函数 在 上单调递增，可求得实数 的取值范围.
【详解】由题意得：关于 的不等式 在区间 上有解，等价于不等式 在区间 上有解，
设 ，则函数 在 上单调递增，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
即－1≤x2＋a≤1，
得
解得－1≤a≤0.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出集合A，B，再求两集合的交集
【详解】解：由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 ,
所以 ，
故答案为：
12.写出“ ”的一个充分不必要条件_____．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】先由不等式 求出解集，在解集内的任何数或范围，都可以是“ ”的一个充分不必要条件.
【答案】
【解析】
【分析】求得 的最小值，以及 的最大值，根据已知条件的等价转化，列出不等式，则问题得解.
【详解】当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1，2]时，g(x)min＝g（2）＝ －m，
对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min，
故答案为： ； .
三､解答题，共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程
16.已知函数f(x)＝x2＋a，x∈R.
(1)对任意x1，x2∈R，比较 [f(x1)＋f(x2)]与f 的大小；
(2)若x∈[－1，1]时，有|f(x)|≤1，求实数a的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）－1≤a≤0.
【详解】解： ，
∵ 的一个充分不必要条件只需是 的真子集，
∴ 是答案之一．
故答案为 ；（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的概念，熟记概念即可解题，属于基础题型.
13.已知函数 分别由下表给出：
1
2
3
1
3
1
1
2
3
3
2
1
满足 的 值是___________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的对应表，写出 、 、 对应的 值，并比较大小，即可确定满足条件的 值
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
所以 等价于 ，
所以 即 ，
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C.
8.设 是等差数列 的前 项和，且 ，则下列结论正确的有（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】等差数列 的前 项和 ，即可把等差数列的前 项和看成关于 的二次函数，常数项为 ，结合二次函数的图象与性质求解即可.
（2）设函数 为“ 函数”，且存在 ，使 ，求证：
（3）试写出一个“ 函数”，满足 ，且使集合 中元素最少（只需写出你的结论）
【答案】（1） 是“ 函数”， 不是“ 函数”；（2）证明见解析；（3） (答案不唯一).
【解析】
【分析】（1）利用“ 函数”定义，结合 与 解析式，判断 上的符号，利用作差法、函数单调性比较对应函数 的大小，进而确定是否为“ 函数”；
A.16B.25C.9D.36
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知条件，由基本不等式可得 的最大值．
【详解】解： ， ，且 ，
，
当且仅当 时，取等号，
的最大值为25．
故选： ．
【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．
6.已知关于 的不等式 在区间 上有解，则实数 的取值范围为（）
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】令 ，利用数列的函数特性，可判断函数的单调性及最值问题；若 ，且 不存在峰值，即 不存在最大值，从而求出实数 的取值范围.
【详解】令 开口向下，且对称轴为 ，但由于 ，所以 时， ，所以对于任意的 ，都有 ，所以 的峰值为 ；
因为 ，且 不存在峰值，令 ，
因为开口向下，所以数列 是满足 且 ，其中 ， ），故 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .
【详解】若关于 的方程 恰有两个不同实根，
则函数 与 的图象恰有两个不同的交点，
作出 的图象如图：
当 时， ，所以
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，此时最大值为 ，
由图知：当 或 时函数 与 的图象恰有两个不同的交点，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：C.
10.关于函数 ,下列说法错误的是
A. 是奇函数
【解析】
【详解】试题分析：（1）作差后配方，根据平方数非负得证（2）根据绝对值定义将不等式转化为对应函数最值： ，求对应函数最值可得实数a的取值范围．
试题解析：解：(1) ∵ 对任意x1，x2∈R， [f(x1)＋f(x2)]－f ＝ (x1－x2)2≥0，
∴ [f(x1)＋f(x2)]≥f
(2) 由|f(x)|≤1，得－1≤f(x)≤1，
B. 不是 的极值点
C. 上有且仅有3个零点
D. 的值域是
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】分析：利用函数的奇偶性、极值、零点、值域分析每一个选项得解.
详解：对于选项A,f(-x)=sin(-x)+xcos(-x)=-sinx+xcosx=-(sinx-xcosx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，所以选项A是正确的.
【点睛】本题主要考查比较函数值大小的问题，含有对数、幂的复合型大小比较问题，常常通过中间变量进行比较.
4.如果a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中不一定成立 是（）
A.ab>acB.c(b－a)>0
C.cb2<ab2D.ac(a－c)<0
【答案】Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】
【分析】有题设条件可知， ， ， 取值不定，根据不等式的性质即可判断选项.
得0≥ －m，所以m≥ .
故 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】本题考查指数函数和对数型函数值域的求解，其中对已知条件的转化是本题的关键，属综合基础题.
15.数列 中，如果存在 ，使得“ 且 ”成立（其中 ， ），则称 为 的一个峰值.（1）若 ，则 的峰值为___________（2）若 ，且 不存在峰值，则实数 的取值范围是___________
对于选项B, ，可以得到函数f(x)在 是增函数，在 也是增函数，所以0不是函数的极值点，所以选项B正确.
对于选项C,由于函数在 是增函数，在 是增函数，且f(0)=0,所以函数在 上有且仅有1个零点，所以选项C错误.
对于选项D,函数的值域为R，所以选项D正确
故选:C.
二､填空题，共5小题
11.若集合 ，则 ___________
故选：D.
【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况： 有解⇔ ， 有解⇔ .
7.已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满足 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 是偶函数可得 ，原不等式等价于 ，再利用偶函数以及单调性可得 即可求解.
（2）令 ，且 ， ，
∴ ，即 ，
∴对于在 上 ，一定有 .
∵ 为“ 函数”，
∴ ， .
若 ，则 不合题意；
若 ，则 不合题意；
∴ ，得证.
（3） ，
当 ， ，则 ，
当 ， ，则 ，而此时 ，则 ，
∴ ，且 ， 元素个数最少.
【点睛】关键点点睛：第二问，令 ，应用“ 函数”性质易得 ，再讨论 大小关系证明结论；第三问，写出一个“ 函数”并利用其性质证明满足题设条件.
【详解】当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
当 时， ，则 ，而 ，则 ，即 ；
∴满足 的 的值是 .
故答案为：
14.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝ －m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________.
【详解】因为c<b<a，且ac<0，所以有 ，
A：因为 ， ，所以 ，即A正确；
B： ， ，所以 ，即B正确；
C： ， 取值不定，当b＝0时，C不成立，故C错误；
D： ， ，所以 ，即D正确.
故选：C
【点睛】本题考查不等式性质的应用，熟悉不等式的性质是解题的关键，本题属于基础题.
5.已知 ， ，且 ，则 的最大值为（）
18.已知函数 是奇函数，且
（1）求实数 的值
（2）设函数 ，函数 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的单调区间及最值.
【答案】（1） ， ；（2） 在 上递减， 上递增；且最小值为0.
【解析】
【分析】（1）由奇函数定义 求n值，再由 求m值；
（2）利用导数的几何意义求 在 处的切线方程，进而求其与x、y轴交点坐标，并写出 的解析式，利用导数研究其单调性并求最值.
对于C：令 ，即 解得 ，所以 是数列 的第 项，故选项C符合题意；
对于D：令 ，无正整数解，故选项D不符合题意；
故选：C.
3.已知 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数与对数函数的性质分别与0，1比较大小后即可判定出结果.
【详解】因为 ， ， ,即 ，
故选A.
北京一零一实验学校2020-2021学年度第二学期期末考试高二数学
一､选择题，共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.若全集 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算 ，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】 ， ， ，则 ，故 ，D正确；
且 ， ，ABC错误；
【详解】因为等差数列 的前 项和 ，
所以由 可知， ，抛物线开口向下，其对称轴在 之间，
所以抛物线与 轴正半轴交点的横坐标范围是 ，
结合二次函数的图象和性质可知 ； ； ； .
故选：A
9.已知函数 ，若关于 的方程 恰有两个不同实根，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知函数 与 的图象恰有两个不同的交点，作出函数 的图象，数形结合即可求解.