复变函数课后部分习题解答

1.2求下列各式的值。

〔1<

3-i>5 解：3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>]

=2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>]

=25<-

3/2-i/2> =-163-16i

1.2求下列式子的值

〔2〔1+i 6

解：令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2

tan θ=x y =1

x>0,y>0

∴θ属于第一象限角

∴θ=4

π ∴1+i=2〔cos

4π+isin 4

π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i

=-8i

1.2求下式的值 <3>61-

因为

-1=〔cos π+sin π

所以

61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>] . 习题一

1.2〔4求<1-i>3

1的值。

解：<1-i>31 =[2]31 =62[cos<

12)18(-k ∏>+isin<12

)18(-k ∏>] 1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-

因为-8=8〔cos π+isin π 所以38-= ρ [cos<π+2k π>/3+isin<π+2k π>/3] k=0,1,2 其中ρ=3r =38=2

即

1w =2[cos π/3+isin π/3]=1—3i

2w =2[cos<π+2π>/3+isin<π+2π>/3]=-2

3w =2[cos<π+4π>/3+isin<π+4π>/3]= 1—3i

习题二

1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。

<1> Im>0

解：设z=x+iy

因为Im>0,即,y>0

而),(∞-∞∈x

所以,不等式所确定的区域D 为：不包括实轴的上半平面。

由所确定的区域可知,不存在某一个正数M,使得确定区域内的每个点z 满足M z <,所以该区域是无界的。

在该区域D 内任意作一条简单闭曲线,该曲线的内部总是属于D 区域,所以区域D 为单连通区域。

综上所述,该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域,是无界的单连通区域。

描出下列不等式的区域或闭区域,并指出它是有界还是无界的,单连通的还是多连通的。

1.5〔2

解：该不等式的区域如图所示：

圆+=4的外部〔不包括圆周,无界的,为开的多连通区域

1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的

1 5 x

y

0<1

由直线X=0与X=1所围成的带形区域,不包括两直线在内,是无界的、开的单连通区域。

1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的：

解：

3

2≤

≤z即9

42

2≤

+

≤y

x为由圆周4

2

2=

+y

x与9

2

2=

+y

x所围成的环形闭区域〔包括圆周,是有界多连通闭区域。

如图：

已知映射w=z3, 求

（1）点z1=i,z2=1+i,z3=3+i,在w平面上的像。

解：z=r eiθ,则w=z3r3。于是

⑴ Z 1=i=e 2 i ,

z 2=1+i=<>=

Z 3=+i=2〔+i =2<>=

经映射后在w 平面上的像分别是

W 1==-i,

W 2==〔-+i =-2+i2,

W 3=

=8i

第47页 3.5计算下列各题 〔1= =-<z=1 -z=0 -

dz >

=cos1-sin1

注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f〔z=1/z2

当z→0时,极限不存在

解法一：首先假设z＝r e iθ

则有：

＝r2 < e-2 iθ- e2 iθ >/ r2

＝-2isin2θ

可见是随θ发生变化而变化的变量

所以根据极限必须为常数可知

当z→0时,极限不存在

是以此题得证。

解法二：首先假设z＝x+iy

则

＝/x2 ＋y2

＝-4ixy/ x2 ＋y2

所以可见,当z→0时,

即当x→0, y→0时

因为有lim xy/ x2 ＋y2极限不存在

所以当z→0时,

f〔z=1/z2 的极限不存在

是以此题得证。

2.1 利用导数定义推出：

〔1 、=nz n-1；

解 0

lim →∆z z z z z n n ∆-∆+)( = 0lim →∆z z

z z c z z c z z c z c n

n n n n n n n n n ∆-∆++∆+∆+-- 222110 =0

lim →∆z

n 1-∆n z > =nz 1-n

2.1

<2> <>ˊ=-

=

=-

<2>f=2x 3+3y 3i 解：∵u=2x 3 ,v=3y 3 。

26x x

u =∂∂ ,0=∂∂y u ,0=∂∂x v , 29y y v =∂∂ 上述4个偏导处处连续,但仅当2x 2=3y 2时C-R 方程成立。因而函数只