猴子分苹果问题
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已经知道了整系数方程),(互质b a c by ax =+的一个解,,p 0
0q y x ==那么我们就能知道它的全部整数解。
事实上,如果y x ,是已知方程的另一解,则由
⎩
⎨⎧=+=+,,c bq ap c by ax 得 。)()(q y b p x a --=-
由于b a ,互质,从而必有整数k 使,bk p x =-此时
ak q y -=-
于是,我们得到:
⎩⎨⎧-=+=,
,ak q y bk p x (k =0, ,2,1±±) 以上表明,如果我们能够看出二元一次不定方程的某个特殊解,那么要写出其全部整数解,几乎不会有什么困难。
1979年春,美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士,在访问中国科技大学时,向科大少年班学生提出过以下有趣的问题:
“海滩上有一堆栗子,这是5只猴的财产,它们要平均分配。第一只猴子来了,它左等右等,见别的猴子还没来,便自作主张把栗子分成相等的5堆。分完后还剩一个,它便把剩下的那个顺手扔到海里,自己拿走5堆中的一堆走了。第二只猴子来了,它不知道刚才发生的事,也把栗子分成相等的5堆,还是多一个。它也扔掉一个,自己拿走一堆走了。以后每只猴子来时也都遇到类似情形,也全都照此办理。问:原来至少有多少个栗子?最后至少有多少个栗子?”
这道题可以这样解答:设原来有x 个栗子,最后剩下y 个栗子。依题意得: ,1)1)1)1)1)1(5
4(54(54(54(54y x =------ 整理得 1024x -3125y =8404。
要解上述不定方程似乎不太容易。但如果注意到系数3125-1024=2101,恰为
8404的4
1, 也就知道=x -4,=y -4是方程的一个特解。根据前面我们讲到的公式,上述不定方程的所有整数解可以写成:
⎩⎨⎧--=--=,
10244,31254k y k x (k =0, ,2,1±±) 上式当=k -1时,得到最小的正数=x 3121及最小的正数=y 1020。这就是
李政道教授所提问题的答案。
李政道教授在讲到上述这一问题时还指出:著名的英国物理学家狄拉克,曾提出过一个巧妙的解法。狄拉克的方法,这里不准备介绍;但最终的结论不能不提,因为它简洁得使人惊异!狄拉克的答案是:如果题中的猴子数为5,则有
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=。
4,44555y x
然而,怎样才能保证方程n qy px =+有整数解呢?我们说只要p 、q 互质,上述不定方程就必然有整数解。事实上,当p 、q 互质时,我们一定能够找到一组整数l 、m ,使得:
,1=+qm pl
这样就有 ,)(n qm pl n =+
即得 ⎩⎨⎧==。
nm y nl x , 求l 、m 的方法,其历史相当古老,相传是由古希腊数学家欧几里得最早想到的。欧几里得方法的核心是辗转相除。两数p 与q (p 来用r 2除r 1,再得余数r 3;如此反复,辗转相除。由于p 、q 互质,上述步骤 必达某余数等于1而止。 利用辗转相除的式子,逐一倒推,即可求得l 、m 。我们以上节李政道教授问题中的不定方程为例,来讲解这一道理。令 1024l +3125m =1, 显然,p =1024,q =3125。用辗转相除法: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=。 18217;231753;1719531024;53310243125 由上面各式逐一倒推可得 1=17-28⨯=17-(53-17⨯3)⨯8=17⨯25-53⨯8 =(1024-53⨯19)⨯25-53⨯8=1024⨯25-53⨯483 =1024⨯25-(3125-1024⨯3)⨯483 =1024⨯1474-3125⨯483, 于是得到l =1474,m =-483。又因n =8404, 从而 ⎩ ⎨⎧=⨯=-==⨯==。40591324838404,1238749614748404nm y nl x 上一节讲过,不定方程1024x -3125y =8404的所有整数解是 ⎩⎨⎧--=--=。 k y k x 10244,31254 上面所求的解,相当于k =-3964,这也是一个特解。 从表面上看,本节所求的特解要比上一节的特解=x -4,=y -4复杂得多,但两者是有很大不同的。前者靠的是科学推理,后者凭的是一时的猜想。一时的猜测乃思维的贫困,严密的推理系科学的结晶。