条件概率与独立性(包含全概率公式、贝叶斯公式)

P ( AB) P ( A B) P ( B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与
无条件概率P(B)有什么必然的关系.
例如，我们不能由定义断言
P( B) P( B A) 或 P( B) P( B A)
事实上，当B A时，有
P ( AB) P ( B) P ( B A) P ( B). P ( A) P ( A)
当AB = 时，有 P( B A) 0 P( B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P ( B A) P ( AB) P ( A) 1
P ( A) P ( A)
所以 P ( B) P ( AB) P( A) P( B A)
96 75 0.72 . 100 100
2.1.2 乘法公式
【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3，
1 2 3
如何求取得红球的概率？？？
2.2 全概率公式
分析：红球可能取自三个罐中的任何一个，如果记
Ai ={ 取到的是 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 } 则
A1,A2,A3 的发生都会导致B 发生， 并且A1,A2,A3 两两互不相容，于是
P( B ) P( A1B +A2 B +A3 B) = P( A1B)+P(A2 B)+P(A3 B)
所以,条件概率P(· A)也满足概率的所有其他性 | 质．
2.1.1 条件概率
例如:
(4) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1 A2 B);
(5) P ( A B) 1 P ( A B).
(6) 可列可加性 设 B1 , B2 , , Bn 是两两不相容 : 的事件, 则有
事实上
由于P ( A1 ) P ( A1 A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义,
且P ( A1 A2 A3 ) P (( A1 A2 ) A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A3 A1 A2 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ).
可进一步推广如下:
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P( B A) 1 / 3, 故P ( B A) P ( B). 又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4， P(AB)=P(B)=1/4，
i 1
i 1 n
n
称满足(1)和(2)的A1 ，A2 ，…，An 为完备事件组或 样本空间的一个划分． A A
2 1
A3
An1
An
2.2 全概率公式
证明：因为 B B B ( A ) ( BA ) i i i 1 i 1 由于A1，A2，…，An两两互不相容， 由有限可加性
1 4 1 4 3 1 3 5 5 4 5 4 3 5
2.1.2 乘法公式
【例2.5】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为
0.6．若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处， 此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至 50米远处，此时只有0.1的击中概率．求猎手三枪内 击中猎物的概率． 解：以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 则所求概率 P ( A1 A2 A3 )
2.1.1 条件概率
【例2.1】设某家庭中有两个孩子，已知其中有一 个是男孩，求另一个也是男孩的概率（假设男、女 孩出生率相同）． 解：用g代表女孩，b代表男孩， A =“该家庭中至少有一个男孩”， B =“两个都是男孩”，
在已知至少有一个男孩条件下， {bb, bg, gb} A 而 B {bb}
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
2.1.2 乘法公式
若已知最后一位数字是奇数，
则
P (B)
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
2.2 全概率公式
在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个
复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件 之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可 加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率 公式．
第2章 条件概率与独立性
2.2 全概率公式
2.2 全概率公式
引例： 有三个罐子, 1号装有 2 红 1 黑球, 2 号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人 从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求 取得红球的概率.
B =“拨号不超过3次接通电话”，
则事件B的表达式为 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P (B) P ( A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 A31 9 1 9 8 1 3 . )
10 10 9 10 9 8 10
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是 在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率． 下面首先看一个例子:
2.1.2 乘法公式
【例2.3】某厂的产品中有4%的废品，在100件合 格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率．
解：设A = "任取的一件是合格品"，B = "任取 的一件是一等品"．
因为 P ( A) 1 P ( A ) 96%,
且B A
P ( B A) 75%
由全概率公式得P ( B ) P ( Ai ) P (B | Ai )
i 1 3
依题意: P(B|A1)=2/3,
P( Ai )=1/3, i=1, 2, 3
P(B|A2 )=3/4,
P(B|A639 .
2.2 全概率公式
【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有 50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件 和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两 个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概率．
n i 1
n
n
P ( B ) P ( ( BAi )) P ( BAi )
i 1
n
由假设及乘法公式得到
P ( B) P ( BAi ) P ( Ai )P ( B Ai ).
n n
利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完 备事件组A1，A2，…，An;
i 1
i 1
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 A2 A3 )
1 P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )
1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73
☺课堂练习
设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破 的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的 概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的 概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解
P( AB) 14 1 P( B A) . 3 P( A) 3 4 这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如 下定义：
易得
2.1.1 条件概率
定义2.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P ( AB) P ( B A) P ( A)
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率． 类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
设Ai "透镜第i 次落下打破, ( i 1,2,3) "
2.1.2 乘法公式
B ＝“透镜落下三次而未打破”. 因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
n n P Bi A P ( Bi A). i 1 i 1
1.4.1 条件概率
【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有所求概率为 P ( B A) P ( AB) . P ( A) 因为 P ( A) 0.8, P ( B ) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B),
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件 n 2, ,
且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A A1 A2 ) ... P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( An A1 A2 An1 ).