微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念

教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程

的通解、特解及微分方程的初始条件等

教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件

教学难点：微分方程的通解概念的理解

教学内容：

1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足

x dx

dy 2= （1） 同时还满足以下条件：

1=x 时，2=y （2）

把（1）式两端积分，得

⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）

其中C 是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得

1=C ，

由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：

12+=x y （4）

（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函

数

)(t s s =满足：

4.02

2-=dt s d （5） 此外，还满足条件：

0=t 时，20,0==

=dt

ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt

ds v +-==

（7） 再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8）

其中21,C C 都是任意常数。

把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得

0 ,2021==C C

把21,C C 的值代入（7）及（8）式得

,204.0+-=t v （9）

t t s 202.02+-= （10）

在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：

)(504

.020s t ==。 再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程

).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=

上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

2、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。

微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程

()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-

是四阶微分方程。

一般地，n 阶微分方程的形式是

,0),,',,()(=n y y y x F （11）

其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

01)(=+n y

中，除)(n y

外，其他变量都没有出现。 如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程

).,,',,()1()(-=n n y y y x f y （12）

以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数f 在所讨论的范围内连续。

由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，

(),0)](,),('),(,[≡x x x x F n ϕϕϕ

那么函数)(x y ϕ=就叫做微分方程（11）在区间I 上的解。

例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程

（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。

由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。

设微分方程中的未知函数为)(x y y =，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常

数的条件是

0x x =时，0y y =，

或写成 00|y y x x ==

其中0x ，0y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：

0x x =时，0y y =，0''y y =

或写成 00|y y x x ==，0'|'0y y x x ==

其中0x ，0y 和0'y 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。

确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。

求微分方程),('y x f y =满足初始条件00|y y x x ==的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作

⎩⎨⎧===.|),,('00

y y y x f y x x （13） 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点),(00y x 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题

⎩⎨⎧=====00'|',|),',,(''00

y y y y y y x f y x x x x 的几何意义是求微分方程的通过点),(00y x 且在该点处的切线斜率为0'y 的那条积分曲线。

3、 例题

例1 验证：函数

kt C kt C x sin cos 21+= （14）

是微分方程

0222=+x k dt

x d （15） 的解。

解 求出所给函数（14）的导数