计算方法简明教程王能超 引论分解38页PPT
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计算计算法
计算方法引论
1
“计算方法 研究对象与特点 计算方法"研究对象与特点 计算方法
计算方法也叫做计算数学或数值分析。 是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支， 它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现. 由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化， 新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化 学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行 科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编 程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共 性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.
x
x
ex = 1+ x +
在实际计算时，我们只取前面有限项（ n 在实际计算时，我们只取前面有限项（例如 n 项） 2
Sn (x) = 1 + x +
x x +L + +L n! 2!
计算部分和 Sn ( x) 作为 e x 的值必然产生误差，其误 的值必然产生误差， eξ 差为： 差为： Rn ( x) = x n + 1 ξ 在0与x之间 ( n + 1) ! 这个误差就是“截断误差” 这个误差就是“截断误差”。
3 主要内容
本课程是数值分析的基础部分， 本课程是数值分析的基础部分 ， 只包括非线性方程及线性方程 组求解， 插值与最小二乘法，数值积分与常微分方程数值解， 组求解 ， 插值与最小二乘法 ， 数值积分与常微分方程数值解 ， 学习本课程必须具备微积分， 学习本课程必须具备微积分 ， 线性代数与常微分方程的基础知 识 和 具 有 编 程 进 行 科 学 计 算 的 技 能 。
8．计算方法——典型例题与解法 ．计算方法 典型例题与解法 10．计算方法——典型题分析解集 ．计算方法 典型题分析解集 11．计算方法——典型例题分析 ．计算方法 典型例题分析 12．计算方法重点内容重点题 ．
1
“计算方法 研究对象与特点 计算方法"研究对象与特点 计算方法
计算方法也叫做计算数学或数值分析。 是计算数学的一个主要部分.而计算数学是数学科学的一个分支， 它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现. 由于计算机的发展及其在各技术科学领域的应用推广与深化， 新的计算性学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化 学、计算经济学等等，不论其背景与含义如何，要用计算机进行 科学计算都必须建立相应的数学模型，并研究其适合于计算机编 程的计算方法.因此，计算数学是各种计算性科学的联系纽带和共 性基础，是一门兼有基础性、应用性和边缘性的数学学科.
x
x
ex = 1+ x +
在实际计算时，我们只取前面有限项（ n 在实际计算时，我们只取前面有限项（例如 n 项） 2
Sn (x) = 1 + x +
x x +L + +L n! 2!
计算部分和 Sn ( x) 作为 e x 的值必然产生误差，其误 的值必然产生误差， eξ 差为： 差为： Rn ( x) = x n + 1 ξ 在0与x之间 ( n + 1) ! 这个误差就是“截断误差” 这个误差就是“截断误差”。
3 主要内容
本课程是数值分析的基础部分， 本课程是数值分析的基础部分 ， 只包括非线性方程及线性方程 组求解， 插值与最小二乘法，数值积分与常微分方程数值解， 组求解 ， 插值与最小二乘法 ， 数值积分与常微分方程数值解 ， 学习本课程必须具备微积分， 学习本课程必须具备微积分 ， 线性代数与常微分方程的基础知 识 和 具 有 编 程 进 行 科 学 计 算 的 技 能 。
8．计算方法——典型例题与解法 ．计算方法 典型例题与解法 10．计算方法——典型题分析解集 ．计算方法 典型题分析解集 11．计算方法——典型例题分析 ．计算方法 典型例题分析 12．计算方法重点内容重点题 ．
计算方法ppt
再按消元公式计算 ai(j（3) i,j=3,…,n）。
然后每一步类似的都在右下角方阵中的第一列中选
主元，再经行对调, 将主元素换到右下脚方阵中左上
角的位置。再按下一步计算 ai(jk（) i,j=k,…,n)
直至将方程组化成上三角方程组，再进行回代就可 求得解。
21
全主元消去法
a11 a12 a1n b1
+
a (1) 1n
xn
+
...
+
a(2) 2n
xn
=
b(1) 1
=
b(2) 2
a(2) 32
x2
+
...
+
a(2) 3n
xn
=
b(2) 3
......
a(2) n2
xn
+ ... +
a(2) nn
xn
=
b(2) n
A(2) x = b(2)
其中 a(2) ij
=
a (1) ij
− li1a1(1j)
右端列向量视为方程组A的第n＋1列，直接对矩阵A
（指现在的n行，n＋1列的增广矩阵）进行行初等变换，
将其变换为上三角形矩阵，从而回代求解得到方程组
的解。
15
Gauss消去法（续）
Remark2：可以统计出，如果A为n阶方阵，则Gauss顺
序消去法消去过程所需的乘除运算次数为
∑n−1 (n − k + (n − k)(n − k +1)) = n3
(3.1)
2
引言（续）
其矩阵表示形式为： AX = b
a11 a12 a1n
x1
计算方法第二章ppt
当方程组的系数矩阵为非奇异 矩阵（即满秩矩阵）时，高斯 消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的 基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列 中绝对值最大的元素作为主元进行消 元，以避免出现小主元导致的误差放 大问题。
列主元高斯消元法的 步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素 作为主元，通过行交换将其移到第一 行第一列位置，然后进行高斯消元。 在后续的消元过程中，每次均选取当 前列中绝对值最大的元素作为主元进 行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近 似解的方法，主要包括欧拉方法 和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化， 取离散点上的函数值作为近似解 ，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前 一步的函数值及其导数来推算 下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得 到下一步的函数值，具有较高 的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法 的优点，提高算法的精度和效 率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式， 得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精 度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局 部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。
《计算方法第二章》PPT课件
的解的数值方法。
• 迭代法：Iteration
从给定的一个或几个初始近似值x0 , x1 , … , xr 出发，按某种方法产生一个序 列
x0 , x1 , … , xr , xr+1 , … , xk , …
(1.2)
称为迭代序列，使得此序列收敛于方程
f(x)=0 的一个根p, 即
xk→p, (k→∞), 这样，当k足够大时，取xk作为p的一个 近似值。
我们通常的做法：
因为局部收敛方法比大范围 收敛方法收敛的更快。 所以， 一个合理的算法是先用一种 大范围收敛方法求得接近于 根的近似值，再以其作为新 的初始值使用局部收敛方法。
§2 区间分半法[Interval Having]
• 理论依据： • 闭区间上连续函数的零点定理 • 区间套定理 • 根本思想 • 优缺点 • 程序简单，对函数性质要求低，敛
否 则 x 0 p .
s te p 4输 出 （ ‘ M e t h o df a i l e d ’ ） ; 停 机 。
局部收敛定理：（P20 定理 1）
设 g( x) 为定义在有限区间 I=[a, b] 上的
一个实函数，它满足下列条件：
（I） x I, g(x) I ; （映内性）
（II）满足 Lipschitz 条件。即存在正常数 L<1,
step2p (ab)/2.
step3若 f(p)TO 1或 L(ba)/2TO 2L 则 输 出 （ p ） ， 停 机 。
step4若 f(p)f(b)0,则 a p,否b则 p.
step5 输 出 （ ‘ Method failed’ ） ; 停 机 。
区 间 分 半 法 产 生 的 序 列 p n n 1
• 迭代法：Iteration
从给定的一个或几个初始近似值x0 , x1 , … , xr 出发，按某种方法产生一个序 列
x0 , x1 , … , xr , xr+1 , … , xk , …
(1.2)
称为迭代序列，使得此序列收敛于方程
f(x)=0 的一个根p, 即
xk→p, (k→∞), 这样，当k足够大时，取xk作为p的一个 近似值。
我们通常的做法：
因为局部收敛方法比大范围 收敛方法收敛的更快。 所以， 一个合理的算法是先用一种 大范围收敛方法求得接近于 根的近似值，再以其作为新 的初始值使用局部收敛方法。
§2 区间分半法[Interval Having]
• 理论依据： • 闭区间上连续函数的零点定理 • 区间套定理 • 根本思想 • 优缺点 • 程序简单，对函数性质要求低，敛
否 则 x 0 p .
s te p 4输 出 （ ‘ M e t h o df a i l e d ’ ） ; 停 机 。
局部收敛定理：（P20 定理 1）
设 g( x) 为定义在有限区间 I=[a, b] 上的
一个实函数，它满足下列条件：
（I） x I, g(x) I ; （映内性）
（II）满足 Lipschitz 条件。即存在正常数 L<1,
step2p (ab)/2.
step3若 f(p)TO 1或 L(ba)/2TO 2L 则 输 出 （ p ） ， 停 机 。
step4若 f(p)f(b)0,则 a p,否b则 p.
step5 输 出 （ ‘ Method failed’ ） ; 停 机 。
区 间 分 半 法 产 生 的 序 列 p n n 1
《计算方法第五章》PPT课件
因此，用 T ( h ) 作为积分精确值 I [ f ] 的近似值，误差为：
a1h2a2h4 O (h2)
容易看出：
T 1 (h ) 4 T 0 (h /2 3 ) T 0 (h ) , T 0 (h ) T (h )
则
I[f]T 1(h ) b 2h 4 b 3 h 6
由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推
T ( 1 / 8 ) 3 . 1 3 8 9 8 8 4 9 3T ( 1 / 4 ) T ( 1 / 8 ) 0 . 0 1 s t o p 用辛浦生公式
S ( 1 /8 ) T ( 1 /8 ) 1 [ T ( 1 /8 ) T ( 1 /4 ) ] 3 .1 4 1 5 9 2 5 3
法）：
T0(h) T(h)
Tk(h)
22kTk1(2h2/k2)1Tk1(h)
T k ( h ) 的计算误差为 O(h2(k1) ) 。
下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。
引入记号 Tki , T0i T0(h/2i) ， i 表示将区间[a , b] i 等分。
步骤如下：
1、求 T00, T00b 2a[f(a)f(b)]
则得到插值型求积公式，通常称为牛顿－柯特斯公式：
n
I[f]Q[f] Ai f(xi) i0
显然，公式的计算误差为：
R [f] I [f] Q [f] ( n 1 1 ) !b af( n 1 )() ( x x 0 ) ( x x 1 )( x x n ) d x
等距节点时， x i a i h ,h ( b a ) /n ( i 0 ,1 ,2 ,,n )，记 xath,t [0,n]，求积系数为：
A i i(! (1 n ) n ii) h !0 n t(t 1 ) (t i 1 )(t i 1 ) (t n )d t
a1h2a2h4 O (h2)
容易看出：
T 1 (h ) 4 T 0 (h /2 3 ) T 0 (h ) , T 0 (h ) T (h )
则
I[f]T 1(h ) b 2h 4 b 3 h 6
由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推
T ( 1 / 8 ) 3 . 1 3 8 9 8 8 4 9 3T ( 1 / 4 ) T ( 1 / 8 ) 0 . 0 1 s t o p 用辛浦生公式
S ( 1 /8 ) T ( 1 /8 ) 1 [ T ( 1 /8 ) T ( 1 /4 ) ] 3 .1 4 1 5 9 2 5 3
法）：
T0(h) T(h)
Tk(h)
22kTk1(2h2/k2)1Tk1(h)
T k ( h ) 的计算误差为 O(h2(k1) ) 。
下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。
引入记号 Tki , T0i T0(h/2i) ， i 表示将区间[a , b] i 等分。
步骤如下：
1、求 T00, T00b 2a[f(a)f(b)]
则得到插值型求积公式，通常称为牛顿－柯特斯公式：
n
I[f]Q[f] Ai f(xi) i0
显然，公式的计算误差为：
R [f] I [f] Q [f] ( n 1 1 ) !b af( n 1 )() ( x x 0 ) ( x x 1 )( x x n ) d x
等距节点时， x i a i h ,h ( b a ) /n ( i 0 ,1 ,2 ,,n )，记 xath,t [0,n]，求积系数为：
A i i(! (1 n ) n ii) h !0 n t(t 1 ) (t i 1 )(t i 1 ) (t n )d t
计算方法 课件第一章
舍入误差
计算机实现计算时，机器的有限字长所造成
1.2.2 误差与有效数字
x 定义1 设 x 是某量的准确值，* 是 x 的一个 近似值，则称 e* = x* − x为近似值的误差或绝 对误差。 * 的绝对值的上界，即满足 x* − x ≤ ε * 的 ε *， e 称为近似值 x* 的误差限。 误差与精确值的比值称为相对误差。即 * er = ( x* − x) / x ，如果 ( x* − x) / x ≤ ε r*，则 ε r 称 为相对误差限。 实际使用中以 er* = ( x* − x) / x*为相对误差。
*
ε r (s ) ≈
ε (s )
*
s
*
27 = * * ≈ = 0.31% ld 8800
ε (s )
*
1.3 误差定性分析与避免误差危害
前面讨论的误差限的方法是最坏情况 对于千万次的运算可用概率统计的方法 20世纪60年代后提出
向后误差分析法 区间分析法
目前尚无有效方法对误差做出定量分析 本节讨论：
数值分析
Numerical Analysis
主讲教师： 主讲教师： 郭策安
Instructor: GUO CEAN E-mail: guocean@
教材
(Text Book)
TUP & Springer Press
李庆扬、王能超、 李庆扬、王能超、易大义 编
数值分析
参考书目 (Reference)
In = e (x e
I0 = e
−1
−1
n x 1 0
− n ∫ x n −1e x dx) = 1 − nI n −1 (n = 1, 2,L)0来自1∫1
0
力学中的计算方法(引论)
2
2
0
Of course mine is more I can tell tell that distance I can that this accurate ! The accuracy between two planets part’s diameter isis relates to not only 1 million light year ±the 1 20cm 1cm. absolute error, light year.but also to the size of the exact value.
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
考察第n步的误差
En
* * n |En1| n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
可见初始的小扰动 | E0 | 0 .5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
＋考试(70)
＋平时成绩(10)
先修课程：
高等数学，线性代数，计算机语言等。
引 论
•
提问：数值分析是做什么用的？
提出问题
如：工程问题，自然现象……
建立数学模型
解析解
半解析解
求解
数值解
建立数学模型
选择数值方法
上机计算
编写计算程序
数值解
后处理
运算量： 一个算法所需的乘除运算总次数. 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 a n 10 2 0 .a1 1 10 n 1 2a1
2
0
Of course mine is more I can tell tell that distance I can that this accurate ! The accuracy between two planets part’s diameter isis relates to not only 1 million light year ±the 1 20cm 1cm. absolute error, light year.but also to the size of the exact value.
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
考察第n步的误差
En
* * n |En1| n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
可见初始的小扰动 | E0 | 0 .5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
＋考试(70)
＋平时成绩(10)
先修课程：
高等数学，线性代数，计算机语言等。
引 论
•
提问：数值分析是做什么用的？
提出问题
如：工程问题，自然现象……
建立数学模型
解析解
半解析解
求解
数值解
建立数学模型
选择数值方法
上机计算
编写计算程序
数值解
后处理
运算量： 一个算法所需的乘除运算总次数. 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标。
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 a n 10 2 0 .a1 1 10 n 1 2a1
优选计算方法演示ppt
2 4 1
1 2 2
3 5 0
1 4 7
m21 m31
a21 a11 a31 a11
2
1 2
2 0 0
1
4
5 2
3
1
3 2
12 m32
a32 a22
5 8
6.5
2 0 0
1 4 0
3 1 0.875
1
2
5.25
2 x1 x2 3x3 1
4x2 x3 2
0.875x3 5.25
x3 6 x2 1 回代 x1 9
（优选）计算方法课件
第一页，共59页。
2.2.4 迭代过程的加速
一、加权法
xk 1
1 1 c
[ ( xk
)
cxk
]
二、埃特金加速法和斯蒂芬森迭代法
1、埃特金加速法
2
xk 2 xk 1 xk 1 xk 2 xk 2 2xk 1 xk
2、斯蒂芬森算法
yk xk1 (xk )
zk ( yk ) xk2
3.3.1 矩阵三角分解原理 3.3.2 解线性方程组的三角分解法 3.3.3 平方根法
3.3.4 追赶法
3.4 向量和矩阵的范数
3.4.1 向量的范数 3.4.2 矩阵的范数
第二十六页，共59页。
3.1 高斯消去法
3.1.1 基本思想 利用初等变换用逐次消去未知数的方法把
原方程组化为上三角形方程组进行求解 。
3.3 矩阵三角分解法
3.3.1 矩阵三角分解原理 3.3.2 解线性方程组的三角分解法
3.3.3 平方根法
3.3.4 追赶法
所以牛顿迭代法为线性收敛。
第八页，共59页。
计算方法第三章演示文稿(共80张PPT)
第三页，共八十页。
因此，采用(cǎiyòng)数值方法来计算定积分的值是非常
必要的 。
用数值方法计算定积分的基 本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数。
（二） 数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程(guòchéng)中，需要讨论如下三 个
基本问题
1 、求积公式(gōngshì)的构造
2有些积分虽然可以解析地求解但原函数比被积函数复杂得多而且也难于给出最后的数值结没有具体表达式而只能通过观测数据给出因此在这种情况下更无法采用解析法求数值积分法的三个基本问题在研究数值积分的整个过程中需要讨论如下三个基本问题因此采用数值方法来计算定积分的值是非常必要的用数值方法计算定积分的基本思想是将积分区间细分在每个小区间上用简单函数代替复杂函作为定积分11的近似值其中叫做求积系数结点有关而与的具体形式无关
第三章 数值积分.
一、 数值积分法的三个基本(jīběn)问题
（一） 数值积分的必要性
计算(jìsuàn)定积分
I
f
b
a
f
( x)dx
(1.1)
的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单,只要把
f (x) 的原函数 F(x) 求出来， 就可以求得积分（1.1）的值，即
I ( f ) F(b) F(a) 。但是，实际情况要复杂得多。其原因如下：
k 0
为求积公式（1.1）的余项或误差。
插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数 f x 在 (a,b) 上具有 n 1
阶连续导数，则求积公式（1.7）的余项为
Rn ( f )
1 (n 1)!
b a
f n1 n1 x dx
因此，采用(cǎiyòng)数值方法来计算定积分的值是非常
必要的 。
用数值方法计算定积分的基 本思想是，将积分 区间细分，在每个小区间上用简单函数代替复杂函 数。
（二） 数值积分法的三个基本问题 在研究数值积分的整个过程(guòchéng)中，需要讨论如下三 个
基本问题
1 、求积公式(gōngshì)的构造
2有些积分虽然可以解析地求解但原函数比被积函数复杂得多而且也难于给出最后的数值结没有具体表达式而只能通过观测数据给出因此在这种情况下更无法采用解析法求数值积分法的三个基本问题在研究数值积分的整个过程中需要讨论如下三个基本问题因此采用数值方法来计算定积分的值是非常必要的用数值方法计算定积分的基本思想是将积分区间细分在每个小区间上用简单函数代替复杂函作为定积分11的近似值其中叫做求积系数结点有关而与的具体形式无关
第三章 数值积分.
一、 数值积分法的三个基本(jīběn)问题
（一） 数值积分的必要性
计算(jìsuàn)定积分
I
f
b
a
f
( x)dx
(1.1)
的值，这在计算中经常碰到。这个问题似乎很简单,只要把
f (x) 的原函数 F(x) 求出来， 就可以求得积分（1.1）的值，即
I ( f ) F(b) F(a) 。但是，实际情况要复杂得多。其原因如下：
k 0
为求积公式（1.1）的余项或误差。
插值型求积公式的误差主要来源于插值误差，由 插值法知道，如果被积函数 f x 在 (a,b) 上具有 n 1
阶连续导数，则求积公式（1.7）的余项为
Rn ( f )
1 (n 1)!
b a
f n1 n1 x dx
王能超 计算方法
王能超计算方法第一章插值方法 1.1 Lagrange插值 1.2 逐步插值1.3 分段三次Hermite插值 1.4 分段三次样条插值第二章数值积分 2.1 Simpson公式 2.2 变步长梯形法 2.3 Romberg加速算法 2.4 三点Gauss公式第三章常微分方程德差分方法 3.1 改良的Euler方法 3.2 四阶Runge-Kutta方法 3.3 二阶Adams预报校正系统3.4 改良的四阶Adams预报校正系统第四章方程求根 4.1 二分法 4.2 开方法4.3 Newton下山法 4.4 快速弦截法第五章线性方程组的迭代法 5.1 Jacobi迭代5.2 Gauss-Seidel迭代 5.3 超松弛迭代 5.4 对称超松弛迭代第六章线性方程组的直接法 6.1 追赶法6.2 Cholesky方法 6.3 矩阵分解方法6.4 Gauss列主元消去法1第一章插值方法 1.1 Lagrange插值计算Lagrange插值多项式在x=x0处的值. MATLAB文件：〔文件名：Lagrange_eval.m〕 function [y0,N]= Lagrange_eval(X,Y,x0) %X,Y是插值点坐标 %x0是插值点%y0是Lagrange插值多项式在x0处的值 %N是Lagrange插值函数的权系数m=length(X); N=zeros(m,1); y0=0; for i=1:m N(i)=1; for j=1:m if j~=i; N(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j)); end endy0=y0+Y(i)*N(i); end用法》X=[…];Y=[…];》x0= ;》[y0,N]= Lagrange_eval(X,Y,x0)1.2 逐步插值计算逐步插值多项式在x=x0处的值. MATLAB文件：〔文件名：Neville_eval.m〕 function y0=Neville_eval(X,Y,x0)%X,Y是插值点坐标 %x0是插值点%y0是Neville逐步插值多项式在x0处的值 m=length(X); P=zeros(m,1); P1=zeros(m,1); P=Y; for i=1:m P1=P; k=1;for j=i+1:m k=k+1;2P(j)=P1(j-1)+(P1(j)-P1(j-1))*(x0-X(k-1))/(X(j)-X(k-1)); endif abs(P(m)-P(m-1))=X(i)&& x0=X(1,j)& x0。
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