(完整版)向量积数量积
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向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b , 作OA a ,OB b则AOB （0 ） 叫做向量 a 和 b 的夹角。
B
θ
O
A
判断下面两个向量的夹角大小：
a
a
a
┐b
b
b
(1)
( 2)
(3)
a
a
60O
b (4)
120O
b
注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. 范围0≤≤180
小结： (1)向量的数量积的定义及几何意义. (2)向量数量积的5条性质. (3)向量数量积的运算律。
2
求：a b及a
解：a2=a . a = a a cos α
a
2Hale Waihona Puke Baidu
|
a
|2
= a a cos 0 =a2
| a |
a
2
=52=25
变式：已知| a | 5 , | b | 4,且ab 5求a 与b的夹角余弦.
cos a b
|a||b|
夹角公式
根据定义思考下列各题:
设a , b 是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，
a b 的几何意义： 向 量a 与b的 数 量 积a b等 于a的 长 度 与
b在a的 方 向 上 的 投 影| b | cos的 积
平面向量数量积的运算律
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b) （数乘结合律）
（3）(a b) c a c b c （分配律）
(√)
(× ) (√ ) (× )
如图：作出| b | cos ，并说出它的几何意义
B
B
B
b
b
b
θ ┐a O B1 A
┐ θ a ┓θ
a
B1 O A O (B1) A
（1）
（2）
（3）
| b | cos 叫 做b在a方 向 上 的 投 影 ；
| a | cos 叫 做a在b方 向 上 的 投 影
注意：数量积运算不满足结合律
探究：数量积的运算律
证明运算律（3） (a b) c a c b c
A
a
θ2
b
B
θ1
θ O
c A1
B1 C
练习3：
已知 a,b为任意向量 求（1）(a b)2 (2)(a b) (a b)
平面向量数量积的常用公式
2
2
(1)(a b)2 a 2a b b
是 a , e 的夹角，则
（１） a e 和 e a 的关系是： a e e a | a | cos
（２） a b 0 则 a 与 b的关系是: a b 0 a b
（３） 当 a 与 b 同向时，a b | a | | b |
当 a 与 b 反向时，a b | a | | b |
（4） a a | a |2 或 | a | a a
（5） | a b || a | | b |
cos a b
|a||b|
2、判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0------
(2)若a≠0,且a·b=0,则b=0 ------------------(3)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(4)若a≠0且a·b=a·c,则b=c -------------------
规定：零向量与任一向量的数量积为0
0·a=0
练习1：已知a 5 , b 4, a 与 b 的夹角 120 ，
2
求：a b及a
解：a b | a | | b | cos
5 4 cos120o 54( 1)
2 10 思考： 平面向量的数量积与差向量、和 向量的区别是什么？
练习1：已知a 5 , b 4, a 与 b 的夹角 120 ，
F θ
O
A
位移S
问：一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
力F做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角。
定义：已知两个非零向量a和b,他们的夹角为θ，我 们把数量│a││b│cosθ叫做a与b的数量积 （或内积），记作a·b,即
a·b=│a││b│cosθ
2
2
(2)(a b)(a b) a b
练 习4： 已 知 a 3 , b 2 , a 与 b 的夹 角为60
求 （1）: (a 2b)2
(2) :| a 2b | (3) : (a 2b) (a 3b)
练习5：已知 a 5 , b 4, a 与 b（且 a 与 b 不共线），当且仅当k为何值时， 向量 a kb 与a kb 互相垂直？
已知两个非零向量 a 和 b , 作OA a ,OB b则AOB （0 ） 叫做向量 a 和 b 的夹角。
B
θ
O
A
判断下面两个向量的夹角大小：
a
a
a
┐b
b
b
(1)
( 2)
(3)
a
a
60O
b (4)
120O
b
注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的. 范围0≤≤180
小结： (1)向量的数量积的定义及几何意义. (2)向量数量积的5条性质. (3)向量数量积的运算律。
2
求：a b及a
解：a2=a . a = a a cos α
a
2Hale Waihona Puke Baidu
|
a
|2
= a a cos 0 =a2
| a |
a
2
=52=25
变式：已知| a | 5 , | b | 4,且ab 5求a 与b的夹角余弦.
cos a b
|a||b|
夹角公式
根据定义思考下列各题:
设a , b 是非零向量，e 是与 b 方向相同的单位向量，
a b 的几何意义： 向 量a 与b的 数 量 积a b等 于a的 长 度 与
b在a的 方 向 上 的 投 影| b | cos的 积
平面向量数量积的运算律
（1）a b b a （交换律）
（2）( a) b (a b) a (b) （数乘结合律）
（3）(a b) c a c b c （分配律）
(√)
(× ) (√ ) (× )
如图：作出| b | cos ，并说出它的几何意义
B
B
B
b
b
b
θ ┐a O B1 A
┐ θ a ┓θ
a
B1 O A O (B1) A
（1）
（2）
（3）
| b | cos 叫 做b在a方 向 上 的 投 影 ；
| a | cos 叫 做a在b方 向 上 的 投 影
注意：数量积运算不满足结合律
探究：数量积的运算律
证明运算律（3） (a b) c a c b c
A
a
θ2
b
B
θ1
θ O
c A1
B1 C
练习3：
已知 a,b为任意向量 求（1）(a b)2 (2)(a b) (a b)
平面向量数量积的常用公式
2
2
(1)(a b)2 a 2a b b
是 a , e 的夹角，则
（１） a e 和 e a 的关系是： a e e a | a | cos
（２） a b 0 则 a 与 b的关系是: a b 0 a b
（３） 当 a 与 b 同向时，a b | a | | b |
当 a 与 b 反向时，a b | a | | b |
（4） a a | a |2 或 | a | a a
（5） | a b || a | | b |
cos a b
|a||b|
2、判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a·b=0------
(2)若a≠0,且a·b=0,则b=0 ------------------(3)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(4)若a≠0且a·b=a·c,则b=c -------------------
规定：零向量与任一向量的数量积为0
0·a=0
练习1：已知a 5 , b 4, a 与 b 的夹角 120 ，
2
求：a b及a
解：a b | a | | b | cos
5 4 cos120o 54( 1)
2 10 思考： 平面向量的数量积与差向量、和 向量的区别是什么？
练习1：已知a 5 , b 4, a 与 b 的夹角 120 ，
F θ
O
A
位移S
问：一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功应当怎样计算？
力F做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角。
定义：已知两个非零向量a和b,他们的夹角为θ，我 们把数量│a││b│cosθ叫做a与b的数量积 （或内积），记作a·b,即
a·b=│a││b│cosθ
2
2
(2)(a b)(a b) a b
练 习4： 已 知 a 3 , b 2 , a 与 b 的夹 角为60
求 （1）: (a 2b)2
(2) :| a 2b | (3) : (a 2b) (a 3b)
练习5：已知 a 5 , b 4, a 与 b（且 a 与 b 不共线），当且仅当k为何值时， 向量 a kb 与a kb 互相垂直？