悖论的含义
关于数学悖论
引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论. “悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”. 这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义.1 数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说.1.1 悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡.那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：(1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的；(2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；(3）对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”.因为悖论与诡辩有含义上的不同.后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因.我们认为，布拉里——弗蒂与希尔伯特关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论.数学悖论也叫“逆论”或“反论”，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学悖论.这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定是错了，但实际却是对的；有的看起来是对的，但实际是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境.数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后的逐步发展又动摇了某些数学基础，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩.历史上人民对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革.1.2研究数学悖论的意义数学科学历来视为严格、和谐、精确的典型学科，但是数学的发展从来不是直线式的，它的体系并不是永远和谐的，而常常出现悖论，特别是一些重要悖论的产生，自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠信仰的动摇.数学史上的三次数学危机皆由数学产生悖论而引起.悖论虽然看似荒诞，但却在数学史上产生过重要影响，一些著名的悖论曾使那些著名数学家和逻辑学家为之震惊，并引发人们长期艰难而深入的思考.可以说是悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的.悖论是一种思辨的方法，是研究问题的一种方式，也是历史上一种旧理论被新理论替代的前奏，数学少不了悖论，数学公理系统没有悖论就是不完备的，我们不是去容忍悖论，而是去消除悖论，在消除悖论的过程中提高认知水平.消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程.悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，对科学发展的意义不言而喻.从数学方面来看，悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的.因而研究悖论的定义、悖论产生背景、解决方案以及对数学发展是非常必要的.数学悖论是一种特殊的逻辑矛盾，它的形成与客观对象的复杂性、多样性，每一代人认识的有限性和局限性，以及人类的主观认识与客观现实的不一致性相关.在数学发展的过程中，人的认识是不断深化的.在不同的历史阶段，人的认识具有一定的片面性和相对性，就会出现“悖论”.因此，它的发生是必然的、不可避免的.数学悖论的发现改变了人们以往的思维方式，迫使人们重新构建理论，从而，在数学认识史中具有积极的意义.2 数学史上三个著名的悖论出现、消除及历史意义数学拥有“美”的内容，也存在着“丑”的东西，数学悖论就是一种“丑”的表现，追求数学美能促进数学发展，同样的，为了消除它的“丑”必然也能推动数学自身的发展，数学三次危机的克服对数学发展的推动作用，就是历史事实.数学发展是矛盾运动的结果.爱因斯坦指出：“提出问题比解决问题更重要.”问题就是矛盾，解决问题就是促使矛盾转化.数学探索与研究起源于数学问题，数学问题的源泉存在于自然科学、社会科学及数学自身的矛盾运动.数学问题一经提出，数学家一般要先经过各种尝试（如类比、归纳、演绎、分析、综合、试验等），经过长时期（甚至几代人）的不懈努力，最终目的促使数学问题得以解决，或说促使数学矛盾得以转化，从而创造出新的数学理论、新的数学成果及新的数学思想方法.数学的历史，就是不断解决数学矛盾又产生新的数学矛盾的过程.从哲学上看，数学是现实世界量的侧面在人们头脑中的反映，因为现实世界是充满着矛盾的，所以数学也必然充满了矛盾.正像恩格斯所指出的：不仅高等数学充满着矛盾，连初等数学也充满着矛盾.比如：正与负、直与曲、平行与相交、已知与未知、常量与变量、有限与无限、连续与不连续、精确与近似、必然与或然、加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、微分与积分、几何变换与其逆变换、数学算子与逆算子、实在的与虚构理性的，等等.当然在整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾.例如：有穷与无穷、连续与离散，乃至存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算，等等.他们可以说贯穿了整个数学发展史，而这些大大小小矛盾的产生，发展到激化，到解决，总是不断为数学产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的概念、新的方法、新的理论，也可能产生新的危机.危机实际上是一种激化的、非解决不可的矛盾，而这些矛盾的消除、危机的解决，往往给数学带来新的内容、新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力的基本原理.纵观数学与数学文化的发展史，数学问题是数学中的一种疑难和矛盾，它的提出和解决是推动数学发展的重要力量.2.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的化解2.1.1“毕达哥拉斯悖论”与第一次数学危机的出现在古希腊毕达哥拉斯时期,数学思维尚处于刚刚形成有理数观念的早期阶段.由于数量概念源于测量,而测量得到的任何量在任何精确度的范围内都可以表示成有理数,所以,人们普遍相信一切量均可用有理数表示.这种认识反映到历史上第一个数学共同体——毕达哥拉斯学派的理论体系中,便凝练为可公度原理,即“一切量均可表示为整数与整数之比”.毕氏学派深信数的和谐与数是万物的本源,而宇宙间的一切现象都归纳为整数和整数比的信条.然而，毕达哥拉斯定理（勾股定理）却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”.毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新的数来表示.希帕索斯的发现的诞生.这却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴.它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌.实际上，这一伟大发现不但对毕达哥拉斯学派是致命打击，对于当时所有古希腊人的观念也是一个极大的冲击.这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数.这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它竟然把以前所知道的事情从根本上推翻了.更糟糕的是，面对这一“荒谬”人们竟然毫无办法.这在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”.也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”.2.1.2 第一次数学危机的解决第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”的彷徨之中.为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力.在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得.在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯给出的两个比相等的新定义所解决，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立.欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统，并编写出《几何原本》一书.这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次数学危机的产物.第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数.由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了一个难听的名字—无理数.不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑.甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”.戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法.这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具.第一次数学危机也随之化解.这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展.复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了.第一次数学危机持续了两千多年. 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论.十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论.实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质.实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了.直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！2.1.3 “毕达哥拉斯悖论”的历史意义这次危机导致了数学史上第一个无理数的诞生，之后，许多数学家正式研究了无理数，直到19世纪下半叶，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论.无理数本质才被彻底搞清，无理数在数学中的合法地位才被真正确立，同时也为数学分析的发展奠定了基础.第一次数学危机还表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示.反之，数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击.于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根.进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，古典逻辑学应运而生.从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系.这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物.第一次数学危机的影响是巨大的.首先，它推动了数学及相关学科的发展.例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的.其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引发了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，极大地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间几乎成为是全部严密数学的基础，这不得不说是数学思想史上的一次巨大革命.当然，这种将整个数学捆绑在几何上的狭隘做法，对数学的发展也产生了不利的影响.不可公度量的发现，使希腊人把几何看成了全部数学的基础，在数的研究过程中割裂了它们之间的密切关系.这样做的最大弊端是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，从而导致了基本理论变的十分薄弱.这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年.总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念，并取得重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上取得杰出成就，甚至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础.2.2“贝克莱悖论”与第二次数学危机的化解2.2.1 “贝克莱悖论”与第二次数学危机的出现在希腊的后期，除了研究直线、折线的长度、直线形的面积外，还讨论过曲线的长度和曲线形的面积问题.经过中世纪和文艺复兴，直到十七、八世纪，人们发现下列问题需要处理：(1)知路程函数，求速度以及它的逆问题；(2)求——曲线的切线；(3)求——函数的极值.在研究上述问题过程中逐步产生了微积分.牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他们把有关运动、切线、极值和求积等各种问题的解决统一成微积分方法，有计算微分的明确步骤，确立它是(不定)积分的逆运算，得到牛顿——莱布尼茨公式，这一新生而有力的数学方法，受到数学家们的欢迎，解决了大量过去无法解决的问题，同时，微积分基础的问题也越来越严重了.这就是如何解释“无穷小”的问题，牛顿给出瞬时速度的定义，又给出有效的计算方法：第一步，他用无穷小作分母进行除法运算；第二步，他又把无穷小看作零，以去掉那些包含着它的项，而得到所要的公式.这时的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在着漏洞，还不能自圆其说.例如，牛顿当时是这样求函数n y x =的导数的：()()()212()12nn n n n x x x n x x n n x x x --+∆=+⋅⋅∆+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆ 然后把函数的增量△y 除以自变量的增量△x ，得到：()()()()211212n n n n n n x x x y x x n n x x nx x x x x ----+∆-∆==⋅+-⋅⋅∆+⋅⋅⋅+∆+∆∆∆ 最后，扔掉其中所有含 x ∆的项，就得到函数n y x =的导数为1n nx - .“无穷小”在逻辑推理上是零与非零的矛盾，而牛顿却不能在逻辑上说清楚，他说：“量在其中消失的终极比，严格地说来，不是终极量的比，而且它与无限减小的这些量所趋近的极限之差虽然能比任意给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前即不能超越也不能达到这个极限.”无论牛顿用数学语言，还是利用物理意义，他都没有说清楚无穷小量是什么.科学家们相信它，因为它使用起来十分有效，得出的结果总是对的，但是由于逻辑上的漏洞，遭到一些人指责，甚至嘲讽与攻击.如1695年，荷兰数学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等.法国数学家罗尔（罗尔中值定理以他的名字命名）也对微积分表示怀疑.然而，对新生的微积分攻击得最厉害的是爱尔兰主教贝克莱，他的观点是“存在即被感知”，认为一切事物不过是人的感知的综合，他的哲学目的是论证上帝的存在.贝克莱在1734 年写了题为《分析学家》，副标题“致不信神的数学家”一书，该书对微积分大肆攻击：“既不是有限量，也不是无穷小，但又不是无”、“是消失了的量的鬼魂”.尽管一些数学家对贝克莱的攻击进行反驳，但没有在逻辑上说清楚无穷小量引起的数学逻辑基础的混乱.贝克莱是出于恐惧当时自然科学发展所造成对宗教信仰的威胁，也是由于当时的微积分理论缺乏牢固基础，所以当时的微积分遭到攻击和非难在所难免. 历史上，人们就把微积分自诞生以来数学界出现的混乱情形叫做“第二次数学危机”，也把贝克莱的攻击称为“贝克莱悖论”.2.2.2 第二次数学危机的解决贝克莱悖论的提出与第二次数学危机的出现，使微积分基础问题引起了更大的重视.十七、十八世纪，数学家们不顾贝克莱们的挑剔和攻击，受微积分有大用的鼓舞，继续在不牢固的基础上建筑微积分的大厦.在英国，数学家马克劳林对贝克莱悖论做出最重要的回应.虽然马克劳林巨大的努力回答了贝克莱的质疑，但十八世纪的大多数数学家对他这种用几何方法严格论证微积分的工作并不欣赏.后来欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等为微积分的基础严密化做了重大贡献，但是微积分逻辑基础在十八世纪结束的时候仍然是一个悬而未决的问题.十九世纪初，许多迫切的问题基本上得到解决，一种追求严密性的风尚开始在数学界蔓延开来.一些数学家开始沿着正确的途径建立微积分的严格基础.例如波尔查诺、阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等，波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量，而是变量，无穷小量是以零为极限的变量，并且定义了导数和积分；狄利克雷给出了函数的现代定义.在这些工作的基础上，魏尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，完成了一套被认为是天衣无缝的()N ξξσ--语言，严格刻画了极限的定义.人们放弃了无穷小，而以一个无限过程刻画的极限理论统一了导数和积分概念.由于这个理论用不着“无穷小”，一切都按程序操作,“无穷小”引起的混乱被消除了.十九世纪八十年代初，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限理论的基本定理，这样，数学分析中微积分的理论基础——严格的极限理论建立起来了，微积分的发展从此进入了一个新的阶段.原有的悖论在新的体系下可以圆满地予以清除，第一次数学危机和第二次数学危机几乎同时在十九世纪消除.第二次数学危机的消除，与第一次数学危机的消除，两者实际上是密不分的.为解决微积分问题，必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论，加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论，这样，第一、二次数学危机就相继消除.2.2.3 “贝克莱悖论”的历史意义“贝克莱数学上的悖论”源于他的哲学上的悖论认知.比如,他的著名观点“存在就是被感知”,就包含了存在、感知、观念、精神以及上帝.这里就潜藏着悖论因子:如果从上帝开始,那么,那是《创世纪》的方向,一切以经文为准,即“信仰之道”；相反,如从观念开始,就成了逆式的“哲学之路”了.这样他就混淆了这两条路:论证的路一再被信仰打破；而论证的困境一次又一次地因信仰而解决.事实上,贝克莱的思想处处充满逻辑悖论.对于他的“物质”观念化,我们就有理由追问:他的上帝似乎在虚无中创世,而创造的也是虚无.尽管作为抽象概念的物质并不存在,但在感知的另一头,是否会有某些不可名状的东西?但如果没有被动的观念,哪来主动的精神?既然没有物质实体,精神实体又在何处?如果没有精神实体,无限精神又当如何?最后的归宿就是:没有上帝,他的哲学注定漂无定所,假设有上帝,哲学又将变得可疑；如果哲学的虚拟性贯穿始终,则上帝将止于空洞的说词.可见,他的矛盾式的、悖论式的哲学思想就为微积分的缺口的批判——无穷小悖论做了伏笔.虽然从贝克莱本人的目的来看,他试图通过对微积分的批判,曲解数学而为神学辩护.但从客观上看,微积分的理论体系还是具有高度的精确性(虽然不十分严谨)和广泛的应用性.贝克莱悖论的出现只是从一个更高层次上对新生的微积分理论体系所提出的更高的要求,这样迫使数学家认真对待这一悖论：柯西用极。
悖论
-----B阿---------C龟 阿A------ ---B阿---------C阿------D龟
飞矢不动： 1、飞箭在每一瞬间只能占据空间上 的一个点，不能同时又在另一个点上 2、每一个点是静止的 3、许多静止的点的集合也是静止的
: OOOO 运动场： B : OOOO C : OOOO A : OOOO B :O O O O C : OOOO
3、如果有多，存在物在数目
上就是无穷的。因为在各个个 别事物之间永远有一些别的事 物，而这些事物之间又有别的 事物。这样一来，存在物就是 无穷的了。
论题：事物是没有运动的 1、二分法 2、阿基里斯追乌龟 3、飞矢不动 4、运动场
阿基里斯追乌龟： 阿A----------B龟 阿A----
古典逻辑、欧式几何的产生。19世纪数 学家哈密顿、梅雷、戴德金、海涅、波 雷尔、康托尔和维尔斯特拉斯等正式研 究了无理数,提出了一个含有有理数和无 理数的新的数类———实数,才完全消除 了第一次数学危机。
芝诺悖论
（爱利亚）芝诺（前490-436）追
随他的老师巴门尼德（前六世纪 末-五世纪初）继续证明世界是 单一的、没有运动的。
哲学悖论： A：有人说社会是在冲突中发展
的——冲突论：改革、革命 ┓A：有人说社会是在协调中发 展的——和谐发展观
A:有人提出要恢复繁体字
┓A
:有人说没必要恢复繁体字
科学悖论： 生物学悖论：人类进化是在遗传 中变异 光是粒子还是波？ 实际上光既是粒子又是波，以粒 子的形式组成以波的形式发出
3、混淆了集合词项和非集合词项 自然数集合、桌子的集合是平常
集，集合词项 概念的集合、一切集合所组成的 集合是非常集，非集合词项
科学发展的杠杆逻辑悖论
罗素悖论（集合论悖论）
集合：由一些对象构成的总体。 关系：属于。每个元素都 具有该集合的特征属性。 元素：构成该总体的对象。 自属集：属于自身的集合。（如：非人的事物的集合）
非自属集：不属于自身的集合。（如：人的集合）
问：非自属集是否属于自身？
① 非自属集不属于自身 非自属集属于自身 ② 非自属集属于自身 非自属集不属于自身
PU 的基数不大于 U 的基数
狭义逻辑悖论
语义悖论
1. 说谎者悖论 2. 说谎者型悖论
（1）方框悖论 本方框中的 语句是假的
（2）卡片悖论
卡片A 的正面：反面的语句是假的。 卡片A 的反面：正面的语句是真的。
狭义逻辑悖论
2. 说谎者型悖论
（3）砝码悖论 设有五个语句A、B、C、D、E， 已知其中A、B是真的，C、D是假的 E 是：“这五个语句中，假的比真的多。” ①：地球围绕太阳转。
良序集：如果一个序集的任一非空子集，都有一个在给定 次序下的最初元素，则称该序集为良序集。
如：{1, 2, 3……} 是良序集
{…… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3……} 不是良序集
狭义逻辑悖论
相似序集：如果两个序集的全部元素都能一一对应，而且 相应元素的次序关系相同，则称这两个序集相似。
他应该给自己刮胡子，iff, 他不应该自己刮胡子。
悖论的构成要素、类型
例如：
“自相矛盾”
楚人有鬻[yù ]盾与矛者， 誉之曰：“吾盾之坚，物莫能陷也。” 又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。” 或曰：“以子之矛，陷子之盾，何如？” 其人弗能应也。 夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。 ——《韩非子·难一》
—— 其“公认正确的背景知识”处于哲学思维领域。 其所由以导出的背景知识及推导过程，均未能得到 如狭义逻辑悖论那样的语形学、语义学和语用学的严格塑 述。 其逻辑的无误性只是在认知共同体未找到其推导过 程中的逻辑错误的意义上成立。 如：芝诺悖论、康德的二律背反
第七章悖论与反讽
1948年，布鲁克斯发表《反 讽与“反讽”诗》一文，给 反讽下了一个定义：“反讽， 是承受语境的压力，因此它 存在于任何时期的诗中，甚 至简单的抒情诗里。”
也就是说，反讽是指文本 中的词语受到语境的压力 而意义发生扭曲，所言非 所指。只要你承认了语境， 承认了一个词的意义是受 语境的压力而新生的，你 也就承认的反讽。
我眼睛里飞过了万支的金 箭，
我耳边又谣传着翅膀的摩
静得像入定了的一般，那
声，
天竹，
仿佛有一群天使在空中逻
那天竹上密叶遮不住珊瑚； 巡……
那碧桃；在朝暾里运气的 忽然深巷里迸出了一声清
麻雀。
籁：
春光从一张张的绿叶上爬 “可怜可怜我这瞎子，老
过。
爷太太！”
5．悖论性反讽
悖论在文字上就表现出矛盾形式，矛盾的 两个方面同时出现，并在一个真理上统一 起来。而反讽的形态是只出现矛盾的一方， 但言非所指，明此暗彼。
过去人们认为，悖论语 言只是为了辩论，诗中 只能偶尔采用。
布鲁克斯采用这一术语， 目的在于说明自己的一 个重要观点，即诗的语 言是悖论语言。
布鲁克斯说：“悖论语 言正合诗歌的用途，并 且是诗歌不可避免的语 言。科学家的真理要求 其语言清除悖论的一切 痕迹；很明显，诗人要 表达的真理只能用悖论 语言。”
超越语义学的现代分类
1．言语反讽 上述的各种反讽多数属于言语反讽，也就
是言语的表层意义与深层意义的不一致。
闻一多《洗衣歌》
洗衣是美国华侨最普通的职业。因此
留学生常常被人问道：“你的爸爸是 洗衣裳的吗？”许多人忍受不了这侮
辱，然而洗衣的职业确乎含着一点神
赫拉克利特悖论也可以理解为生命的循环和因果律
赫拉克利特悖论也可以理解为生命的循环和因果律
（原创实用版）
目录
1.赫拉克利特的哲学思想概述
2.赫拉克利特悖论的含义
3.生命的循环与因果律的联系
4.赫拉克利特悖论对后世的影响
正文
1.赫拉克利特的哲学思想概述
赫拉克利特是古希腊哲学家，被誉为朴素辩证法思想的代表人物。
他提出了“逻各斯”思想，这一思想影响深远。
他是第一个提出认识论的哲学家，并试图将宗教哲学化。
2.赫拉克利特悖论的含义
赫拉克利特悖论是关于事物变化的一种思考。
他提出：“一个人不能两次踏入同一条河流”，这意味着事物在不断变化，人们无法重复经历完全相同的情境。
另一方面，他又说：“一个人踏入不同的河流”，这表明事物虽然变化，但它们之间存在某种连续性。
3.生命的循环与因果律的联系
赫拉克利特悖论与生命的循环和因果律有着密切联系。
生命的循环意味着生命在不断地生死轮回，而因果律则强调事物之间的因果关系。
在赫拉克利特看来，生命的循环和因果律共同构成了事物变化的规律。
4.赫拉克利特悖论对后世的影响
赫拉克利特悖论对后世哲学思想的发展产生了深远的影响。
它引发了对事物变化和永恒之间的辩证关系的探讨，促进了哲学家们对认识论和形
而上学的研究。
同时，赫拉克利特悖论也对宗教哲学的发展产生了重要影响，为宗教哲学的辩证发展提供了理论基础。
总之，赫拉克利特悖论作为古希腊哲学家赫拉克利特的重要思想，从生命的循环和因果律的角度阐述了事物变化的规律。
营业悖论名句
营业悖论名句
【原创实用版】
目录
1.营业悖论的概念和含义
2.营业悖论的经典名句
3.营业悖论在商业领域的应用
4.营业悖论对我们的启示
正文
1.营业悖论的概念和含义
营业悖论，又称为“悖论”，是一种逻辑上的矛盾，它源于古希腊哲学家提出的一种辩论方式。
悖论指的是一个陈述既不能被证明为真，也不能被证明为假的情况。
在商业领域，营业悖论常常出现在营销策略、销售技巧等方面，让商家和消费者陷入一种纠结的境地。
2.营业悖论的经典名句
有关营业悖论的经典名句有很多，其中最著名的一句是：“所有的产品都是为了满足消费者的需求，但是消费者自己并不知道他们需要什么。
”这句话道出了商家在开发产品和服务时面临的困境，即为了满足消费者需求，商家需要去猜测和引领消费者的需求，但这种猜测又充满了不确定性。
3.营业悖论在商业领域的应用
在商业领域，营业悖论广泛应用于以下几个方面：
（1）产品定位：如何在满足消费者需求的同时，创造出独特的产品价值，使产品在竞争激烈的市场中脱颖而出；
（2）价格策略：如何制定合理的价格策略，既能吸引消费者，又能保证企业的盈利水平；
（3）营销策略：如何通过营销活动，让消费者产生购买欲望，并转化为实际销售业绩。
4.营业悖论对我们的启示
面对营业悖论，我们应该认识到以下几点：
（1）在商业活动中，要学会把握消费者的需求和心理，善于发现和创造商机；
（2）要勇于创新，敢于挑战传统观念，从而在激烈的市场竞争中脱颖而出；
（3）在制定商业策略时，要充分考虑市场环境和竞争对手，以确保策略的有效性和可行性。
总之，营业悖论既是商业领域的一种挑战，也是推动商业发展的动力。
悖论相关知识点总结高中
悖论相关知识点总结高中一、悖论的概念和特点悖论（Paradox）一词源自希腊语“para”（反对）和“doxa”（意见），意为“反常的意见”。
悖论是指一种自相矛盾的现象或论证形式，它在逻辑上无法成立，而且通常是深奥而难以理解的。
悖论具有以下几个特点：1. 自相矛盾：悖论的论证过程中常常存在自相矛盾的情况，即前提和结论之间存在逻辑上的冲突，无法得出合理的结论。
2. 深奥难解：悖论往往涉及到深刻的逻辑思考和哲学思考，需要对相关知识有较高的理解和掌握；有些悖论之所以称为悖论，是因为其背后蕴含着某种深刻而难以理解的哲学命题。
3. 对逻辑推理的挑战：悖论的出现挑战了人们对于逻辑推理的认知，使人们重新审视逻辑原理和常识的适用性，从而推动了逻辑学领域的发展。
4. 吸引人的兴趣：悖论常常具有一种神秘和迷惑人的魅力，吸引着人们对于其深层含义的探索和思考。
二、著名的悖论1. 赫拉克利特悖论：古希腊哲学家赫拉克利特提出：“你无法两次踏进同一条河流。
”这一命题意味着世间万物都在不断变化，河流水流不息，永远不可能是同一条河流。
2. 赛德阿比尔悖论：赛德阿比尔悖论是一个涉及概率和逻辑的悖论，即在一个村庄中，有一个男人声称他是这个村庄中唯一不说谎的人，这引发了一个悖论：如果他说的是真话，那么他就不是唯一不说谎的人；如果他说的是谎话，那么他依然是唯一不说谎的人。
3. 贝利桶悖论：贝利桶悖论涉及到容积的悖论，即在一个贝利桶中，上半部分装满了水，下半部分装满了油，按理说水和油是不可能混合在一起的，然而现实中却是两者可以混合在一起。
4. 赌徒悖论：赌徒悖论是一个牵涉到概率和赌博的悖论，即一个赌徒在连续多次赢得赌局后由于得意忘形而大把下注，最终导致破产。
5. 贝尔森利特悖论：贝尔森利特悖论是一个涉及到无限集合的悖论，即一个有无穷个元素的集合可以和一个真子集有相同的势（大小）。
三、悖论的意义和影响悖论的出现引发了人们对于逻辑推理和哲学思考的深刻探讨，对人类认识世界、认识自我等方面产生了深远的影响。
falsedilemma的例子
falsedilemma的例子【原创版】目录1.悖论的定义2.假悖论的含义3.假悖论的例子4.如何解决假悖论5.结论正文悖论是指一个陈述或问题，既不能被证明为真，也不能被证明为假，从而使人陷入两难的境地。
在逻辑学和哲学领域，悖论的研究一直受到广泛关注。
假悖论，又称为伪悖论，是一种表面上看起来像是悖论，但实际上可以通过逻辑分析解决的问题。
本文将通过一些假悖论的例子，探讨如何识别和解决这类问题。
一个典型的假悖论例子是“谎言者悖论”。
假设有一个人说：“我现在正在说谎。
”如果这句话是真的，那么这个人在说谎，所以这句话是假的；但如果这句话是假的，那么这个人实际上是在说实话，所以这句话又是真的。
这样，我们陷入了一个无法解决的悖论。
然而，通过仔细分析，我们可以发现这个问题实际上是一个假悖论。
因为谎言者悖论的前提条件是自指，即一个人在谈论自己正在说话的内容。
我们可以通过引入一个外部观察者来解决这个问题，例如，一个外部观察者可以说：“那个人说他正在说谎，但实际上他在说实话。
”这样，我们就成功地解决了这个假悖论。
另一个假悖论的例子是“罗素悖论”。
这个悖论源于英国哲学家罗素提出的一个关于集合的问题。
罗素悖论的核心问题是：所有不包含自身的集合组成的集合是否包含自身？如果这个集合包含自身，那么它就不满足最初的定义，因为它是一个包含所有不包含自身的集合的集合；如果这个集合不包含自身，那么它也应该被包含在所有不包含自身的集合组成的集合中，从而产生矛盾。
然而，我们同样可以通过逻辑分析发现，这个问题也是一个假悖论。
我们可以认为，所有不包含自身的集合组成的集合是一个更大的集合，而这个更大的集合并不包含自身。
这样，我们就解决了这个假悖论。
如何解决假悖论呢？一般来说，解决假悖论的方法有以下几点：1.分析问题中的自指或循环结构，尝试寻找外部观察者的角度来解决问题；2.扩展问题所涉及的范围，将问题放在一个更大的背景或系统中进行分析；3.对问题的前提条件进行修正，使问题不再陷入悖论。
世界10大悖论
世界10大悖论悖论是指在逻辑上似乎自相矛盾、难以理解的陈述或情境。
世界上有许多悖论，以下是其中一些比较著名的：1.薛定谔的猫悖论（Schrodinger's Cat Paradox）：描述了量子力学的现象，一个在特定情况下既被认为是死亡又被认为是活着的猫。
2.巴塞尔悖论（The Basel Problem）：是数学上的一个悖论，涉及到级数的求和问题，由皮埃尔·德·费马引起。
3.爱普斯坦悖论（The Epimenides Paradox）：是古代希腊哲学家爱普斯坦提出的一个悖论，涉及到说谎的问题，即“克里特人说他们所有的克里特人都是说谎者”。
4.俄巴马悖论（The Barber Paradox）：涉及到一个理发师修剪所有不修剪自己的人的悖论，提出了自指的问题。
5.维特根斯坦的悖论（Wittgenstein's Paradox）：维特根斯坦在他的《逻辑哲学论》中提出的悖论，涉及到语言的自指问题。
6.莱布尼兹悖论（Leibniz's Paradox）：是一个关于单子和单子的集合的悖论，由哲学家莱布尼兹提出。
7.薛定谔的量子纠缠悖论（Quantum Entanglement Paradox）：描述了两个或多个粒子之间发生纠缠的量子现象，即使它们之间的距离很远，改变一个粒子的状态也会立即影响到其他粒子。
8.巴纳姆悖论（Barnum Effect）：也称为“福尔摩斯效应”，指的是人们倾向于接受模糊或广义的描述，认为这些描述适用于自己。
9.罗塞塔石碑的解读悖论：涉及到对古埃及罗塞塔石碑上文字的解读问题，为了理解其中的埃及象形文字和希腊文，需要通过解读其中一个文字来推导出另一个文字的含义。
10.强可计数悖论（The Strong Law of Small Numbers）：是由数学家理查德·加德纳提出的，指的是人们在处理小样本数据时容易陷入的一种认知偏误，即过于相信在小样本中看到的模式。
悖论 人话解释
悖论是指在逻辑上自相矛盾的陈述或命题。
它既可以是一个陈述，也可以是一个问题，而且通常包含看似合理但实际上无法同时成立的观点或假设。
例如，著名的“理发师悖论”就是一个经典的悖论：一位理发师宣称他只给不自己刮胡子的人刮胡子。
那么，他是否应该给自己刮胡子呢？如果他给自己刮胡子，那么他就违反了自己的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他就必须承认自己不符合他的原则，因此也应该给自己刮胡子。
无论哪种情况，都会导致矛盾。
类似的悖论还有很多，比如“说谎者悖论”、“芝诺悖论”等等。
这些悖论在哲学、数学、逻辑等领域都有着广泛的讨论和研究，因为它们挑战了我们对真理、存在、知识等基本概念的理解。
虽然悖论看起来很奇怪，但它们实际上可以帮助我们更好地理解逻辑和思维的限制。
通过研究悖论，我们可以深入思考和探索哲学、数学和科学等领域中的基本问题，并推动这些领域的发展。
悖论的知识点
悖论的知识点
悖论（paradox），是指一句话表述看似矛盾的两个概念，但又表达着真理，含义无法解释却又具有可信性的一种思维行为，是一种完整的、有意义的句子，甚至可以说是智慧的事物。
在哲学上，悖论很盛行，常常被用来反映自然规律的矛盾。
它的做法就是两个思想相反，但又同时存在，像是知识和无知，神话和科学，也就是说两个简单的观点可以共存。
例如最古老的悖论：“我所说的一切都是假的”，它表
述了矛盾，但如果认为它说的都是假的，那么它是真的，而如果认为它所说的句子是真的，那么他就是假的。
这看上去矛盾，但它指出了对人们所认知的和感受到的真理的思考问题，它让人们思考自己如何判断真理，到底是谁说了真理，还或许还有什么是真理不是。
另一个例子就是“羊只吃草”。
这个悖论似乎在公认的
学问上很遥远，但它仍然暗示了另一个道理，它说的句子的意思是“人们的行为具有特殊现象，即吃草”，这不是一句普通的话，而是指出了一些社会中存在的真理，也是一种关于行为的思考。
悖论，虽然只是句子，但它仍然具有深远的意义，它反
映出人们思考和理解真理的方式，也引起了人们对思想的探索。
它不仅仅是一个普通的句子，而是有深刻启发性的，教给人们不要势必寻求简单的答案，而是在实际活动中学习用智慧去解决问题。
即使这些悖论有些看似无法解释，但它们仍然引发人们的思考，而且也是一种哲学思维。
生活中的悖论问题
阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善 跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步 稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一 点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无 限地缩小，但永远追不上乌龟。
这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行 进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的二分之一， 然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无 穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了D。
那有没有什么二维图形，面积有限大，周 长却无限长呢？答案是肯定的，Koch雪花 就是这样一个经典的例子。
Koch雪花 雪花
在我们的生活中， 在我们的生活中，总会对一些概念 有不正确的理解和认识， 有不正确的理解和认识，这就出现了悖 研究悖论有利于数学、逻辑学、 论。研究悖论有利于数学、逻辑学、语 义学等等理论学科的发展， 义学等等理论学科的发展，因此具有重 要意义。 要意义。
1.小组成员初步讨论，制作开题PPT 2.资料收集 3.调查研究，得出结论 4.整理材料，形成论文
“1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多” 多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避 三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔 （1845－1918）六年以后向无穷宣战。他成功地证明 了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应， 也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线 段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的 点都“一样多”。
我们组的研究分工如下
课题： 课题：生活中的悖论问题 组长 张茜 马可 周醒 孙昊 董翔宇 杨锐 分工
安排活动，联系组 员，资料收集 资料收集整理，课 题讨论 监督审核改良，课 题讨论，制定计划 问题探索讨论剖析 问题探索讨论剖析 材料收集整理，成 果展示
悖论及其作用
悖论及其作用悖论看似自相矛盾，其实往往揭示了真实。
印象里大多数悖论都只是无法成立的争论，但是对于提高批判思维能力，悖论确实具有一定价值。
悖论之一：伽利略悖论 [维基]不是所有的数都是平方数，所有数的集合不会超过平方数的集合伽利略悖论让人见识了无限集合的惊人特性。
在他最后的科学著作《两种新科学》里，伽利略写出了这个关于正整数的矛盾陈述。
首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的集合必定大于单独的平方数。
然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，切对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。
这个悖论虽然不是最早但也是早在无限集合中运用一一对应的例子。
伽利略在书中总结说，少、相等和多只能描述有限集合，却不能描述无限集合。
19世纪德国数学家格奥尔格·康托尔，也是数集理论的开创者，使用了相同的手法否定了伽利略的这条限制条件的必要性。
康托尔认为在无限数集中进行有意义的比较是可行的(康托尔认为数和平方数这两个集合的大小是相等的)，在这种定义下，某些无限集合肯定是比另一些无限集合大。
伽利略对后继者在无穷数上的突破的预测惊人的准确，伽利略在书中写到，一条线段内所有点的数目和比此更长的线段上点的数目相等，但是伽利略没有想出康托尔的证明法，即线段上所有点的数比整数大。
悖论之二：节约悖论假设经济衰退，全社会所有人都选择把钱存进银行，社会总需求因此下降，社会总资产反而更少。
节约悖论是指在经济萧条时期所有人都把钱存进银行，社会总需求会下降，反过来全社会的消费水平下降、经济增速减缓，全社会的资产总数也就下滑。
悖论认为个人资产增值的同时，全社会资产反而减少，或者再放开了说，储蓄额的增加在荼毒经济，因为传统认为个人储蓄有益社会，但是节约悖论认为大规模的储蓄会对经济造成伤害。
如果所有人都把钱存进银行，账面上个人的资产会增值，但是全社会总体的宏观经济趋势会下降悖论之三：生日问题 [维基]这么几个人里就有两个人同天生日，怎么可能？生日问题提出了一种可能性：随机挑选一组人，其中会有两人同天生日。
paradox的名词解释
paradox的名词解释当我们谈到paradox（悖论）时，我们通常指涉某个看似矛盾却存在的论断或情境。
它挑战了我们对逻辑和常识的认知，探索了现实中不可思议的现象。
儿时的经典故事——亚里士多德逻辑最著名的悖论之一——兹诺停战悖论，以及更复杂的哥德尔不完全性定理，都是paradox的例子。
让我们深入理解这个名词的含义和其在不同领域中的应用。
在日常生活中，我们常常遇到各种各样的paradox，它们有时会激起我们的困惑，有时会引发我们思考。
一个典型的例子是"我说谎"悖论。
如果一个人说：“我现在正在撒谎”，那么他所说的是否属实？如果他说的是真话，那么他不符合自己的陈述。
但是，如果他是在说谎，那么他所说的就是真实的陈述了。
这个悖论揭示了一个自相矛盾的陈述，无论如何解析都会导致逻辑混乱的局面。
然而，paradox并不仅仅存在于平凡的对话中，它同样在科学和数学领域中扮演着重要角色。
例如，庞加莱回归悖论扰乱了我们对时间和空间的理解。
尽管有广泛的实证数据支持，我们对于过去和未来的批判分析却显示着微妙的矛盾。
这种现象并非于非闻，也揭示了时空的神秘性和我们对其认识的局限性。
数学也是paradox的家园之一。
哥德尔不完全性定理，由数学家哥德尔在1931年提出，质疑了逻辑的完备性。
它表明，一个形式化的数学系统无法通过自证或自求证来验证其非矛盾性。
换句话说，有些陈述是真实的但无法被证明，这就产生了哥德尔不完全性定理。
这个定理的发现打破了数学的完整性，并引发了关于逻辑和数学哲学的深入思考。
除了在数学和科学领域，paradox还在哲学和文学中扮演着重要角色。
柏拉图的悖论是个典型的例子。
柏拉图认为，真理的本质是关于特定事物的观念，而非关于物质世界的观察。
然而，这一理念本身就存在着悖论：如果真理是观念而非感知，那么我们如何确定该观念是否真实？随着时间的推移，paradox一词逐渐成为文学作品中的常见主题。
例如，约翰·斯坦贝克的小说《愤怒的葡萄》中，以及弗朗茨·卡夫卡的作品中，都有丰富的paradox元素。
数学小知识——悖论简介
逻辑中的两个悖论简介高一数学组沈继峰新课程改革中要求高中生学点数学史。
数学史告诉我们现代数学是建立在集合论这一基石上的。
而关于集合论中的“罗素悖论”导致了第三次数学危机的产生。
那么到底什么是悖论呢？“悖论”这个词的含义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论。
它有三种形式。
1、一种论断看起来好像是错了，但实际上却是对的。
这是一种似非而是的论断（佯谬）。
2、一种论断看起来好像是对的，但实际上却是错的。
这是一种似是而非的论断。
3、导致逻辑上自相矛盾的论断。
悖论具有重要的哲学意义和数学意义。
从古希腊的芝诺提出悖论开始，一直到罗素的关于集合论的悖论，都对数学理论的发展起了巨大的推动作用。
一、罗素悖论把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q ∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论。
一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。
”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。
因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。
由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。
理发师悖论与罗素悖论是等价的。
因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
悖论的含义
什么是悖论？悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
悖论一般有三种形式1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
______摘自百度百科著名的罗素悖论1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。
到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。
就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。
于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。
其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
经典的悖论除了以上的理发师悖论以外还有：（1）阿喀琉斯追不上乌龟——阿喀琉斯是希腊神话中的英雄，擅长跑步。
悖论
3.Paradox 的运用 在评论和文学中的运用 ①a lover of peace emerged as a magnificent leader of war (to make peace one sometimes has to fight ) ②John Major offered few clues as to what kind of prime minister he would make .“his main feature,’’ observed the Economist,“ is his featurelessness ”（it is a witty remark on John Major’s feature ) ③W. Churchill, referring to the development of nuclear weapons ,said “the stone age may return on the gleaming wings of science.” (it means nuclear weapons may destroy the humankind )
结构上的异同： in oxymoron contradictory expressions are juxtaposed(相互矛盾的词组放在一起形成短语达到 风趣和惹人注意的效果） tearful joy bitter sweet mercifully fatal shine darkly crowded solitude in antithesis 平行+对比 the coward does it with a kiss ,the brave man with a sword
④Nurse: his name is Romeo ,and a Montague the only son of your great enemy Julie: my only love sprung from my only hate too early seen unknown, and known too late! Prodigious birth of love it is to me that I must love a loathed enemy . (the paradox expresses Julie’s mixed feelings that she has fallen in love with the son of the family she has been brought up to hate )
悖论及其科学意义
悖论及其科学意义西班牙的小镇塞维利亚有一个理发师,他有一条很特别的规定:只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。
这个拗口的规定看起来似乎没什么不妥,但有一天,一个好事的人跑去问这个理发师一个问题,着实让他很为难,也暴露了这个特别规定的矛盾。
那个人的问题是:“理发师先生,您给不给自己刮胡子呢?”让理发师为难的是:如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的规定,他不能给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,他就是不自己刮胡子的人,按照他的规定,他就应该给自己刮胡子。
不管怎样的推论,理发师的做法都是自相矛盾的。
这真是令人哭笑不得的结果。
这就是悖论。
悖,中文的含义是混乱、违反等。
悖论,在英语里是paradox,来自希腊语“para+ dokein”。
意思是“多想一想”。
悖论是指一种导致矛盾的命题。
悖论都有这样的特征:它看上去是合理的,但结果却得出了矛盾——由它的真,可以推出它为假;由它的假,则可以推出它为真。
悖论与谬论不同,谬论是用目前的理论就能够证明、判断其为错误的理论、观点,总体来说,谬论是完全错误的;而悖论则看起来是是非难辨的。
但这种“是非难辨”并非是永远不能分辨的,随着人们认识能力的不断提高,随着科学的不断发展,悖论是可以逐步得到消除的,矛盾是可以解决的。
广义上说,凡似是而非或似非而是的论点,都可以叫做悖论,如欲速则不达、大智若愚等都是典型的悖论;还有一些对常识的挑战也可称为悖论。
狭义上说,悖论是从某些公认正确的背景知识中逻辑地推导出来的两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式。
通俗地说,如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。
这就是悖论。
狭义的悖论又可称为严格意义上的悖论或真正的悖论。
“我说的这句话是假的”,这就是典型的悖论,因为从这句话所包含的大前提来看,这是一句假话,其内容必定就是“假”的;既然是假的,则其意必然与其所指相反,所以,这句话应该是“真”的。
纽康门悖论
纽康门悖论引言纽康门悖论是一种哲学思考问题的方法，该方法通过逻辑推理和思维实验来探讨一些看似矛盾的问题。
本文将详细探讨纽康门悖论的含义、起源、应用以及相关的哲学思考。
纽康门悖论的定义纽康门悖论是一种逻辑悖论，它通过构造一个自指的命题来引发自相矛盾的问题。
该悖论源自20世纪初逻辑学家纽康门的研究，他提出了一种自指的命题：“这个句子是假的”。
如果这个命题是真的，那么它自己所说的是假的，与命题本身相矛盾；如果这个命题是假的，那么它自己所说的是真的，同样与命题本身相矛盾。
因此，无论这个命题是真是假，都会导致自相矛盾的结果。
纽康门悖论的起源纽康门悖论最早由逻辑学家纽康门在20世纪初提出，并成为逻辑学中的一个经典问题。
纽康门悖论的起源可以追溯到古希腊哲学家爱泼斯坦的悖论，他提出了一个类似的问题：“我说谎”。
这个命题无论是真是假，都会导致自相矛盾的结果。
纽康门悖论的应用纽康门悖论在哲学、逻辑学和数学中有广泛的应用。
它被用来探讨自指命题、真理、逻辑系统的完备性等问题。
纽康门悖论的思维实验也被用来挑战传统的逻辑观念，引发人们对于逻辑原理的思考和重新评估。
纽康门悖论的思考纽康门悖论引发了人们对于真理和逻辑的思考。
在纽康门悖论中，命题既不能被证明为真，也不能被证明为假。
这使得人们开始思考真理的本质和逻辑系统的局限性。
一些哲学家认为，纽康门悖论揭示了真理的相对性和主观性，真理并非是一个确定的概念，而是依赖于观察者的主观判断。
纽康门悖论的哲学思考纽康门悖论引发了一系列的哲学思考。
首先，它挑战了传统逻辑学中的二分法思维，即真与假的对立。
纽康门悖论表明，有些命题既不是真的，也不是假的，它们存在于一个模糊的边界之上。
其次，纽康门悖论引发了对于自指命题的思考。
自指命题是指命题中包含了对命题本身的描述，这种命题往往会导致自相矛盾的结果。
最后，纽康门悖论引发了对于逻辑系统的思考。
逻辑系统是人类用来推理和推断的一种工具，但纽康门悖论表明，逻辑系统并不是完备的，它存在着局限性和缺陷。
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（2） 上帝全能悖论——基督教认为，上帝是全知全能的。那么，上帝能否造出一块他举不起来的石头？如果可以，那么他将无法举起这块石头，所以他不是全能的；如果不能造出来，那么他就不是全能的。更一般的问题是，既然上帝是全能的，他能不能否定他自己？如果他能够否定他自己，那么他就是说自己不是全能的；如果不能，那么他依然不是全能的。
最简洁的悖论：
不要听我的话。我在撒谎。
经典的悖论除了以上的理发师悖论以外还有：
（1）阿喀琉斯追不上乌龟——阿喀琉斯是希腊神话中的英雄，擅长跑步。但是假设让他与一只乌龟赛跑，乌龟在他前面100米的位置，他俩同时起跑，阿喀琉斯一定不能追上乌龟。因为每当他跑过一段时间后追到了乌龟原来所在地，乌龟也向前爬行了一段距离；这个过程是无限进行下进一段距离，不管这段距离有多么短，乌龟总是在阿喀琉斯的前面。所以阿喀琉斯永远追不上乌龟。但是实际情况是，不用多长时间，他肯定可以追上去的，那么问题究竟出在什么地方呢？
这是西方最著名的三个悖论，前者涉及到数学的根基——集合论的问题，第二个涉及到无限、时空连续性等问题，最后一个涉及宗教信仰和全知全能等问题。
由此看来 悖论是十分有趣的。其实我们生活中也有很多，以下是我们组员从各种途径收集过来的
鸡与蛋的问题不能算作是悖论，而是一种无限倒退循环，并非不能得到合理解释的。这只是个定义问题。只要你能明确给出鸡蛋的定义来，那么问题就迎刃而解了。什么是鸡蛋？1、鸡生的蛋才叫做鸡蛋。按这种解释，那么显然没有鸡就没有鸡蛋，鸡在蛋前；或者是2、能够孵出鸡的蛋才叫鸡蛋。按此，那么显然蛋在鸡前。主要也就是如上两种对于鸡蛋的定义，如果定义不清楚，自然无法解释清楚了。更进一步说，鸡与蛋的问题提出者高明之处在于，他用一个时间上模糊不清的问题（究竟世界上是先有了鸡还是先有了蛋），提出了一个逻辑上先后的问题（这两者是截然不同的）。
什么是悖论？
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。悖论一般有三种形式1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来 好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。